几个常见函数的导数1

几个常见函数的导数制作人：徐凯精讲部分：

年级：高三科目：数学类型：同步难易程度：易建议用时：20-25min

一.知识点：

知识点一几个常用函数的导数

知识点二

二.典例分析：

题型一 利用导数公式求出函数的导数 例1 求下列函数的导数：

(1)y ＝sin π3；(2)y ＝5x ；(3)y ＝1x 3；(4)y ＝4

x 3；(5)y ＝log 3x ；(6)y ＝1－2sin 2x 2.

解 (1)y ′＝0；(2)y ′＝(5x )′＝5x ln 5；(3)y ′＝⎝⎛⎭

⎫1x 3′＝(x －3)′＝－3x －4

； (4)y ′＝(4

x 3)′＝(x

34)′＝1

434x -＝344

x

；(5)y ′＝(log 3x )′＝1

x ln 3； (6)y ＝1－2sin 2x

2

＝cos x ，y ′＝(cos x )′＝－sin x .

反思与感悟 若给出函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化指数幂的形式求导． 题型二 利用导数公式解决切线有关问题

例2 (1)已知P ，Q 为抛物线y ＝1

2x 2上两点，点P ，Q 横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别

作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的坐标为________． 答案 (1，－4)

解析 y ′＝x ，k P A ＝y ′|x ＝4＝4，k QA ＝y ′|x ＝－2＝－2. ∵P (4,8)，Q (－2,2)，∴P A 的直线方程为y －8＝4(x －4)， 即y ＝4x －8，

QA 的直线方程为y －2＝－2(x ＋2)，即y ＝－2x －2，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝4x －8，y ＝－2x －2，得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝1，y ＝－4.

∴A (1，－4)．

(2)已知两条曲线y ＝sin x ，y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．

解 设存在一个公共点(x 0，y 0)使两曲线的切线垂直，

则在点(x 0，y 0)处的切线斜率分别为k 1＝y ′|0x x =＝cos x 0，k 2＝y ′|0x x =＝－sin x 0， 要使两切线垂直，必须k 1k 2＝cos x 0(－sin x 0)＝－1， 即sin 2x 0＝2，这是不可能的．

∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直． 反思与感悟 1.利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 (1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．

(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． 2．求过点P 与曲线相切的直线方程的三个步骤 题型三 利用导数公式求最值问题

例3 求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离．

解 设切点坐标为(x 0，x 20

)，依题意知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线的切点到直线x －y －2＝0的距离最短．

∵y ′＝(x 2)′＝2x ，∴2x 0＝1，∴x 0＝12，∴切点坐标为(12，1

4)，

∴所求的最短距离d ＝|12－1

4－2|2

＝72

8.

反思与感悟 利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P (x 0，y 0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算． 三.课堂小结：

1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．

2．有些函数可先化简再应用公式求导．

如求y ＝1－2sin 2x 2的导数．因为y ＝1－2sin 2x

2＝cos x ，所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .

3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化．

精练部分：

年级：高三 科目：数学 类型:同步

难易程度：易 建议用时：随堂练习10-15min 课后作业30min

四.随堂练习： 一、选择题

1．下列各式中正确的个数是( )

①(x 7)′＝7x 6；②(x －1)′＝x －

2；③(1x

)′＝－12x －32；④(5

x 2)′＝25x －35；⑤(cos x )′＝－sin

x ；⑥(cos 2)′＝－sin 2.

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6 答案 B

2．已知过曲线y ＝1

x 上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为( )

A.⎝⎛⎭⎫12，2

B.⎝⎛⎭⎫12，2或⎝⎛⎭⎫－12，－2

C.⎝⎛⎭⎫－12，－2

D.⎝⎛⎭⎫1

2，－2 答案 B

解析 y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2＝－4，x ＝±12，故选B. 3．已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( ) A ．4 B ．－4 C ．5 D ．－5 答案 A

解析 f ′(x )＝ax a －

1，f ′(－1)＝a (－1)a －

1＝－4，a ＝4.

4．已知曲线y ＝x 3在点(2,8)处的切线方程为y ＝kx ＋b ，则k －b 等于( ) A ．4 B ．－4 C ．28 D ．－28 答案 C

解析 ∵点(2,8)在切线上，∴2k ＋b ＝8，①又y ′|x ＝2＝3×22＝12＝k ，② 由①②可得：k ＝12，b ＝－16，∴k －b ＝28.

5．已知f (x )＝1x ，g (x )＝mx ，且g ′(2)＝1

f ′(2)，则m ＝________.

答案 －4

解析 f ′(x )＝－1x 2，g ′(x )＝m .∵g ′(2)＝1

f ′(2)

，∴m ＝－4.

6．设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1

x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为

________． 答案 (1,1) 五. 课后作业：

1．若f (x )＝sin x ，f ′(α)＝1

2，则下列α的值中满足条件的是( )

A.π3

B.π6

C.2π3

D.5π6 答案 A

解析 ∵f ′(x )＝cos x ，∴f ′(α)＝cos α＝12，

∵α＝π3时，cos α＝1

2

，故选A.

2．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( ) A ．4x －y －3＝0 B ．x ＋4y －5＝0

C ．4x －y ＋3＝0

D ．x ＋4y ＋3＝0