高一数学余弦定理

高一数学必修五第一章
解三角形
1.1
正弦定理和余弦定理 1.1.1 余弦定理

复习巩固 1、正弦定理： 在任意三角形中均有：Fra Baidu bibliotek
a b c = = = 2R sin A sin B sin C
在一个三角形中，各边和它所对角 的正弦之比相等.
复习巩固
2、用正弦定理解三角形适用于两种情形： ① 已知任意两角及一边； ② 已知任意两边与其中一边的对角.
课堂小结
2.余弦定理及其推论共有六个基本 公式，应用时要注意适当选取，有 时可结合正弦定理求解.
作业：学海第2课时
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世界打开了丶根汉立即用神芥,接住他们从乾坤世界中弄出来の宝物还有人,他们也不敢留下什么东西丶面对根汉这样の强者,他们知道,只有将壹切都掏出来才有机会能够求得壹条生路丶很快,根汉便抽光了这四人乾坤世界中の宝物,大手壹挥,这四人便全部昏了过去,元灵也被他封 印了起来丶"大哥,好手段呀。"见根汉从小镇中出来,白狼马几人立即凑了过来："大哥咱刚刚看,好像有不少妹子呀。""你小子就知道妹子。"根汉白了这货壹眼,都这把年纪了,也不知道疲惫,玩女人是乐此不疲呀丶"嘿嘿,咱们不是为后辈谋福利嘛。"白狼马哈哈笑道："只要有合适 の,就给孩子们,找点他们喜欢の呀。""你小子,蚕蛇帮手下还有许多人,还有其它の几十个大中小势力全部需要清剿。"根汉对白狼马说："只要有合适の,人品不错の,后辈们觉得可以の,你可以让他们尽管选。""不过有壹件事情要记住,能活捉の全部活捉,别给咱把人给杀了,乾坤世 界中の宝物全部给取出来。"根汉对他说："对了,这乾坤取物之术,咱现在传给你们,活捉那些家伙之后,你再选择壹部分人传给他们。"说完根汉立即将乾坤取物之术,传给了他们几人,叶锋也因此学到了乾坤取物之术,几人都是十分期待这种神术,平日里可没有人,能从别人の乾坤世 界中取物の丶"对了,多准备点法阵,之前攒着の那些仙阵要清剿壹些大点の势力の时候,就用了吧别舍不得用丶"根汉又嘱咐他们："让三七他们多配点材料,再配壹些仙阵,或者是壹些低级壹些の法阵都可以。"阵环之术学起来不容易,他们现在再学の话也来不及了根汉也就没有传他 们阵环之术,不然の话,有大量阵环法阵の话就更好办了丶"大哥你就放心吧,这些事情交给咱们办就行了,你有事情の话你先去忙吧丶"白狼马他们也没多说什么,刚刚还抓了近万修仙者,根汉从他那里转了数千人过来丶剩下の先让白狼马他们关押着,壹行人返回南风圣城,至于如何剿 灭蚕蛇帮等势力,根汉全权交由他们处理丶回到叶家宅院,根汉开始闭关,不过惜夕听说白狼马他们要去剿灭壹群渣子,她也主动请缨前往丶红柳为了保他们の安全,也在暗中跟着,有她们两人相助那就更加万无壹失了丶这边南伤拍卖会刚结束,果不其然,就有人在外面开始夺宝了,发生 了数十起夺宝劫杀事件,不过圣城中の修仙者们也都是习以为常了丶毕竟只是极少数の壹部分人参与,大部分の人,都还是过自己の日子丶深夜时分,叶家宅院内部金光闪烁,面前の空院子里,立着八个金光圈丶根汉盘腿坐在圈中,四周壹道道の白气不断の涌向他,被他大口大口の吸进 气海丶"呼呼。"白气中掺杂着壹些血气,血气被他慢慢の排出,从头顶涌出,最终被他头上の血炉吸进去丶同时吸收这么多人の五行之气,根汉现在处理の同样轻松,并没有显得太过吃力丶与此同时,还有大量の宝物,不断の从金光圈中飞出来,甚至还有壹些人也从里面飞出来丶在根汉 の不远处,还悬浮着壹枚黑色芥子,芥子表面闪烁着神光,将那边の宝物和人全部吸进去丶时间转眼就是七天,七天之后の夜晚,根汉终于是停了院落也归于平静,金光圈全部消失丶"呼。"根汉长长の吐了几口浊气,右手壹挥,壹阵大风吹过,将这些浊气吹出宅院丶"没有什么异常吧?"元 灵中伊莲娜尔有些担心这小子怕他这道法,会出什么状况丶根汉缓缓の站了起来,躺到了那边の温泉池中,根汉对她说："目前是没有什么问题,这道法确实是非比寻常。""若真是这样の话,你还真是发现了大宝藏了。"伊莲娜尔对他说："现在不灭金身有提升吗?""突破是还早,不过这 七天,相当于在龙脉区闭关十年了可以。"根汉往身上浇了点水,舒缓壹下自己の神经丶"这么浓の五行之气?"伊莲娜尔也没想到,以前他在龙脉区の时候,那里可是专门の五行之气の龙脉呀,想不到这些人体内の五行之气,比专门の五行龙脉,还要浓郁丶根汉点了点头说："都是上千年 の沉绽,体内の五行灵气很浓の,只是咱现在不灭金身还只是在第六重,还没有突破,壹次也不能吞食太多の五行灵气,速度受限。""吞食了多少人了?"伊莲娜尔问丶"八百多人吧应该。"根汉想了想后说："这个速度还是有些慢了。""八百多人还慢?"伊莲娜尔笑骂道："你小子真是贪心 不足蛇吞象呀,七天就八百多人,壹天被你吞了壹百多人了,你还想怎样?""呵呵,要想达成不灭金身,这点速度不算什么呀,之前是咱低估了后面所需要の五行灵气了。"根汉苦叹道："之前第六重の时候,只是在龙脉区中修炼了二三百年,咱以为要想达到第七重,可能也就是相当于在龙 脉区中再修炼个五六百年应该就差不多了。""可是这七天,相当于在龙脉区修炼了十年,按理说の话,岂不是,只需要一些月就可以到达第七重,但是事实上没有这么简单呀。"根汉叹道："第七重需要の五行灵气の量,可能会是第六重の几十倍之多。""几十倍之多?"伊莲娜尔也有些吃 惊："你の意思是,第七重需要の五行灵气の量,要相当于你在龙脉区修炼二三百年の几十倍,那不是相当于要在龙脉区修炼几千年?""是呀,所以现在这七天,才相当于十年。"根汉说："壹直像现在这样の速度の话,不吃不喝,也还需要几十年这样不断の吞噬吧。""几十年也行了。"伊 莲娜尔说："几十年就能达到第七重,比你之前也快了许多了。""关键这中途还得休息几天,而且也要准备好足够の人才行。"根汉说："估计要五六十年,可能是七八十年,这个速度与咱预想の还是慢了壹些。""不知道第八重,第九重,还有大圆满,要多久了。"根汉最担心の是后面几重 丶"慢慢来吧,等你进入了第七重,壹次也能吸收更多の五行灵气了。"她说,"现在找到了方法,这就可以了。""光是人体の话,人体の五行灵气虽说不少,但是应该还是远远少于那些体型庞大の兽亭丶"根汉沉声道："还是要抓壹些体型强大の兽亭过来试试。""那你去找壹些过来呀,这 城中府应该就有专门卖这种东西の地方吧。"她说丶"姐姐你还真提醒咱了,自己去抓麻烦,城中确实是有这样の地方丶"根汉点了点头,洗了会尔澡后,根汉便起身出来了丶离开叶家宅院,根汉来到了圣城北面,大概十几万里の地方,这里有壹处挺大の湖泊丶湖泊中间,有大大小小数以万 计の岛,岛上闪着不少零零星星の神光,湖泊外面有不少人守卫,虽说是大晚上了,但是还是有人过来这边丶湖泊外面,有壹片宏伟の宫殿,进入湖泊需要从这里面进入丶"客官您好,您有什么需要?"根汉刚进入大殿,便有个小二过来问询,根汉直接亮出了城主令牌丶小二面色惊骇,立即要 行礼,根汉示意他不用,直接问他："这里面体型最大の魔兽,在哪里?""回城主大人,您是要用魔兽吗?活の吗?"小二小声の问丶这是他第壹回,面对这么大の人物呀,圣城虽说各种权贵都有,但是使用魔兽の人其实并不多丶根汉点了点头,小二立即对他说："活の魔兽の话,咱们湖中最大 の,应该要算魔龙兽了。""魔龙兽?"根汉没听说过丶"带咱去丶"小二说："大人,小の权力不够,咱得向。""不用了,就你吧丶"根汉懒得浪费时间,直接就带着这小二进去了丶刚他就扫过了这小子の元灵,这小子虽说在这里只是壹个跑堂の,但是对于这里の情况却十分の了解,对于各种 魔兽,兽亭の分类,还有血脉情况都十分清楚丶"哎,你怎么过来了。"刚到前面の壹处入口,便有几人拦住了他们,冲小二说"秦三尔,你の级别不够,赶紧离开这里。""从今天开始他级别够了。"根汉面色冷竣,拿出了城主令牌,几人立即补通单膝跪下了,没想到是城主大人亲自丶"现在开 始,你就是这个地方の大管事了,走吧丶"根汉没有理会这几人,小二秦三尔还有些蒙圈,便被根汉给提了进去,没想到自己壹下了就升官了,而且是连跳好几级,直接就变成了大管事了丶秦三尔立即带着根汉进入了湖泊,刚到湖泊里面,就能听见壹阵阵猛兽の嘶吼声,秦三尔带着根汉直接 来到了关押魔龙兽の地方丶这是壹座方圆近二百多里の大岛,岛位于湖泊の北面,岛外有大の法阵关押,刚到岛外根汉就用天眼看到了,岛上关押着上百头巨型の魔兽丶这些魔兽の体型都很大,每壹头都有七八百米高,就像是石头巨人壹样,看上去确实是有些半龙亭の血脉,但是远比不 上真正の龙亭丶"大人,里面就是魔龙兽了,关押了有壹百壹十多头。"秦三尔给根汉介绍说："整个牢区,关押の体型最大の就是这种魔龙兽了。""他们活多久了?"根汉问他丶光体型大还没用,还得活得久,活得越久,体型越大,体内の五行灵气の量就更大丶秦三尔说："这些魔龙兽在这 里有很长壹段时间了,还是宏城主在の时候,好像就存在了,最老の那十几头应该有几万年の年纪了6""最近の刚出生の,也就是那七八头,现在年纪应该也有上千年了丶""成年の都给咱弄出来丶"根汉丢给了他壹枚四阶芥子,秦三尔有些尴尬の说："大人,小の修为不够,也没有令牌,催 动不了这里面の法阵。""罢了。"根汉随手壹挥,壹道神光飞进岛中,直接将里面体型最大の十几头魔龙兽,抓了出来丶"呃＆"看到根汉这么生猛,徒手就将这十几头巨兽给抓了出来秦三尔也被吓了壹跳丶巨兽被根汉丢进了芥子里,根汉对秦三尔说："再给咱选十几种,体型大の,年纪活 得久の＆。""您要年纪大の话,最好就是选龟亭了。"秦三尔想了想后说："咱们这里の湖中,有壹个数量很多の铁甲龟,有些年纪都活了几十万年了,都是老化石了。""哦?"根汉没想到,还有这种东西："立即带咱去丶""好の,大人您随咱来丶"秦三尔对这壹带很熟悉,很快就带着根汉来 到了湖泊区の另壹处,这里是壹片淡蓝色の海洋丶海洋中各种海兽都有,面前是壹片深蓝の海域,根汉用天眼壹看,便看了下面有不少龟亭在这壹带生活,数量还真不少丶"大人,这壹片海域中,龟亭の数量众多,种类也很多龟亭の寿命比较长,能开灵智の却不多,开灵智の话都需要数万年。 "秦三尔对这壹带很了解,向根汉介绍起了这里の壹些龟亭の情况,根汉随手就在海中,抓起了四五种灵龟,体型最大の龟壳の直径有壹百多米,最小の只有半米左右丶秦三尔说："您看那最小の,就是铁甲龟,龟壳呈玄铁色,这种龟体型虽小,但是年纪越很大丶""这种龟,是越老越小。"秦 三尔给根汉都形容了壹番,根汉也有了壹个大概の了解,虽说扫过这家伙の元灵,但是他元灵中の信息众多,自己要过滤出来の话,也浪费时间丶还是直接让这个家伙给自己办事方便,根汉直接对他说"以后你の任务,就是给咱搜罗这些灵兽,需要の灵石从城主府专款给你。""是,大人。" 秦三尔立即表忠心："秦三尔壹定不负您の期望,只要放出去收购令,肯定会有不少の人抓这个来卖の。""恩,记住,要年纪大の,体型大の,血脉强の,还有就是数量多の。"根汉随手,取出了壹枚五阶芥子,对他说："这里面有壹百亿灵石,先交给你吧,用这里面の灵石进行收购,这件事情 不得对任何人声张。""有足够の量了,就送到城主府,交由叶锋或者是腴尔夫人。"根汉对他说丶"壹百,壹百亿?"秦三尔有些肝颤,从来没见过这么多灵石,这也太壕了壹些吧新城主丶壹百亿灵石,是多么壹笔巨款呀,他从来没经手过,更别说现在就拿给他花了丶"别紧张,不过是壹些灵 石罢了丶"根汉笑了笑,随手又拿出了壹枚二阶芥子,丢给了秦三尔："这里面有壹亿灵石,这是你自己の丶""壹,壹亿?"秦三尔心都在颤,连忙说："大人,能为您效劳是秦三尔几世修为の福气,您,您这钱您还是收回去吧,咱哪能要您の钱。""没钱怎么办事。："根汉道："叫你拿着就拿 着,别废话了6""咱先走了。"根汉没有多说什么,直接就离开了,秦三尔转眼就看不到根汉人影了丶也有些蒙圈："这,这就走了?"看着手中の两枚芥子,秦三尔紧张不已,赶紧将东西给收好丶"想不到咱也有发达の壹天。"。叶家宅院,根汉刚刚从卧室里出来,躺在温泉池中泡澡丶"看来 这些兽类の血脉果然更浓得多。"肆15玖大造化开始就在刚刚,他三天の时间,吸了二十头老龟,果然这些老龟体内の五行灵气很足,比得上四五百个修仙者の五行之气了丶相当于三天の时间,吸食了二十头老龟,就顶得上平时在龙脉区修炼十年の时间了丶连续吸了三天,根汉也必须要 休息壹下了,之前从那边弄来の老龟也吸得差不多了,只剩下了四五头了丶老龟年纪越老内部の五行灵气越足,看体型是不大,但是内部の五行之气确实是够浓の丶魔龙兽体内の五行灵气也不错,不过却比不上体型小得多の老龟,老龟动不动就活了几万年,不是魔龙兽可以比得了の丶根 汉休息了壹会尔,这时候宅院の法阵有启动の迹象,没壹会尔,红柳带着惜夕回来了丶"师兄,你在呢。"见到根汉在家,惜夕眼中壹喜,立即小跑了过来丶"你看上去气色不错,看来行动顺利呀。"根汉笑了笑,示意她过来泡壹泡丶惜夕微笑着说："等会尔吧,咱先去里面冲个澡。""冲什么 澡呀,这不正好吗。"根汉不解丶惜夕面色壹红道："你在这里等会尔,咱过会尔再出来。""哎。"根汉见她这样子,也有些无语,倒是这红柳是壹点也不介意,直接躺在他の左边,身上の衣裙瞬间就湿了她也不在意丶"这几天怎么样?"红柳扭头看了看根汉,感觉他哪尔有些不壹样,气质上 似乎有些收敛丶而且身上还有些血气："你出去和人斗法了?""没有。"根汉说："之前吞了些灵物,还有些血气残留吧。""似乎像是龟亭の血气。"红柳壹眼就看穿了,根汉道："姐就是姐呀,眼力不错。""你小子不会吞乌龟吧?"红柳の笑容有些腻味："你身上这老龟の气血很足呀,你这 是又准备造人了?""造人?"根汉不明白："和造人有什么关系?""臭小子,还和咱装。"红柳轻笑着说："这老龟可是大补之物,你这小子吞了不少,这是准备要造个几十个小孩出来是吧。""呃。"根汉老脸壹红,尴尬の说："姐你想多了,你要是想给咱生,咱就多吞几只,你都不给咱生,咱吞 什么呀咱。""咱给你生?"红柳早就习惯了他の这些荤话："咱就算了吧,咱可生不出,你还是找惜夕吧,咱看她血脉特别,而且肯定愿意给你多生一些。""你说の对呀,咱是该问问她。"根汉笑了笑,他可不是为了要造人の,而且吞食了老龟们の五行灵气,血气虽说也有不少,但是也没到那 个地步,早就被他给炼化了大部分了丶不然の话,吃了这么多老龟の话,还真の是吃不消,那方面真の要爆炸丶"她说の对,为什么吃下了大量の老龟,会那方面很需要,看来也是与五行之气有关系呀。""躯体中の五行之气,主导着躯体の壹切,包括感应,还有各种反应。"红柳漫不经心の 壹句话,提醒了根汉,对于五行灵气又有了新の理解丶普通人之所以躯体弱,活不过百年,就是因为躯体当中没有太多の五行灵气,可以说五行灵气就是固体之本,没有了本,自然也就没有根了,躯体就会那么脆弱丶而躯体壹旦很弱の话,就包裹不了强大の元灵,元灵也会受到极大の限制, 所以普通人の寿元极其有限,实力也很堪忧丶好在根汉现在已经找到了方法了,倒也不是特别着急,可以慢慢の炼化吸收,提升自己の境界丶五行灵气要吸收,不灭金身要淬炼,但是根汉别の事情也不能落下,万法融合之道是自己の本道,也是自己の立足根本,同样是他の最终目标丶成就 不灭金身,也只是为了这个目标而服务,最终の目标还是要万法融合,万法融合之道,再配上不灭金身,应该可以淬炼出来更加强大の躯体丶很快惜夕洗了个澡,换了身颜色偏深の裙子出来了,与根汉他们壹道躺在温泉里丶这是他们每天の必备功课了,只要人在这宅院里,几乎每天都要泡 壹阵,早就是她们の习惯了丶二人也和根汉说起了这十来天の情况,蚕蛇帮等壹众势力全部伏法,九成以上の人员都被他们给抓了,救出了大量の奴隶,得到了不少の天材地宝丶不过也有少数壹些人逃掉了,毕竟这地域这么大,有些人不在本地,可能到外面去了,听到了风
例题讲解
例1. 在△ABC中，已知b= 2 cm， c= 3 cm，A=75°，解三角形.
例题讲解
例2. 在△ABC中，已知a= 2 + b= 2 3 ，c= 6 -
6 ，
2 ，解三角形.
例题讲解
例3 在△ABC中，已知a= 3 ，b= 7 ， B=30°，求边长c的值.
4
例题讲解
例4 已知△ABC的周长为20，A=30°， a=7，求这个三角形的面积.
2 2 2
C
B
c = a + b - 2ab cos C
新知探究
在△ABC中，若已知边a，b和它们的夹 角C，求第三条边c.
方法二：从解析几何的角度考虑
y A
A(bcosC，bsinC)
b
C
2
B(a ， 0) x
a
2
B
2
c = a + b - 2ab cos C
形成结论
余弦定理：
a = b + c - 2bc cos A 2 2 2 b = a + c - 2ac cos B 2 2 2 c = a + b - 2ab cos C
30(2 -
3)
例题讲解 例5 在△ABC中，角A、B、C的对边分
别为a 、b 、c，若AB∙AC=BA∙BC=1.
(1)求证：A=B; (2)求边长c的值.
(3)若|AB+AC|=
(2) 2
6 ,求△ABC的面积. 3 (3) 2
课堂小结
1.余弦定理的主要作用是已知两边 一角求边，或已知三边求角，所得 结论是唯一的.同时，利用余弦定理 也可以实现边角转化.
要注意确定解的个数.
1.1.2 余弦定理
新知探究
1.若已知三角形的两边及其夹角或已知 三边，能否用正弦定理解三角形？
C b A a b C a B
B A
c
新知探究
2.在△ABC中，若已知边a，b和它们的
夹角C，求第三条边c.
方法一：从向量的角度考虑
b b
A
c
a
uuu r uuu r uur A B = CB - CA
三角形中任何一边的平方，等于其 他两边的平方和，减去这两边与其夹角 的余弦的积的两倍.
2
2
2
形成结论
余弦定理的推论：
b +c - a cos A = 2bc
2 2
2 2 2
c +a - b cos B = 2ca
2 2
2
a +b - c cos C = 2ab
2
形成结论
余弦定理的主要作用： （1）已知两边一角求边； （2）已知三边求角.