高一数学余弦定理
高一数学人必修课件余弦定理
c² = a² + b² - 2abcosC，其中a 、b、c分别为三角形的三边，C 为a、b两边的夹角。
三角形内角和公式推导
三角形内角和定理
三角形的内角和等于180°。
推导过程
通过平行线的性质及平角的定义，可以证明三角形的内角和等于180°。
任意三角形中边长与角度关系
边长与角度的正弦关系
方法一
利用余弦定理公式，将已知的三边代入公 式中，分别解出三个角。
方法二
通过正弦定理求出三角形的外接圆半径， 再利用三角函数关系求出三个角。
方法三
结合余弦定理和正弦定理，通过联立方程 求解。
判断三角形形状问题
01
通过余弦定理判断三角形的形状 ，如等边三角形、等腰三角形、 直角三角形等。
02
利用余弦定理判断三角形是否满 足勾股定理，从而判断是否为直 角三角形。
直角三角形。
应用勾股定理
在两个直角三角形中分别 应用勾股定理，推导出余
弦定理的表达式。
解析法证明余弦定理
建立坐标系
以三角形的一个顶点为原点，建 立平面直角坐标系。
表示顶点坐标
将三角形的三个顶点用坐标表示 。
计算距离
利用两点间距离公式，计算出三 角形的三边长度。
推导余弦定理
通过三边长度的计算，推导出余 弦定理的表达式。
在进行数值计算时，要注意数值的稳定性和精度问题，避免计算过程中的误差累积 。
在实际应用中，要根据具体场景和需求选择合适的算法和工具，以达到最佳的计算 效果。
谢谢您的聆听
THANKS
02
余弦定理证明方法探讨角，构造两个 向量。
向量数量积
利用向量的数量积公式，将向量的模与夹 角余弦值相关联。
高中数学余弦定理的定义公式及证法
高中数学余弦定理的定义公式及证法
这世上有两样东西是抢不走的：一是藏在心中的梦想，二是读进大脑里的书。
大家好，我是雨桐！每日分享最新的学习方法、教育资讯、笔记资料等，欢迎大家的关注哦！
本篇文章雨桐为同学们整理了高中数学余弦定理的定义公式及证法，包括：余弦定理的定义、余弦定理平面几何证法、余弦定理数学应用，下面就一起来学习吧。
余弦定理
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍。
即在三角形ABC中,已知AB=c,BC=a,CA=b,则有：
a2=b2+c2-2bccosA
b2=a2+c2-2accosB
c2=a2+b2-2abcosC
余弦定理平面几何证法
在任意△ABC中，做AD⊥BC.
∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a
则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c
根据勾股定理可得：
AC2=AD2+DC2
b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2
b2=(sinB*c)2+a2-2ac*cosB+(cosB*c)2
b2=(sinB^2+cosB^2)*c2-2ac*cosB+a2
b2=c2+a2-2ac*cosB
余弦定理数学应用
余弦定理是解三角形中的一个重要定理，可应用于以下两种需求：
当已知三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。
当已知三角形的三边，可以由余弦定理得到三角形的三个内角。
余弦定理求边
如果知道了三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。
高一数学 余弦定理公式
正弦、余弦定理 解斜三角形建构知识网络1．三角形基本公式：（1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,cos2C =sin 2B A +, sin 2C =cos 2B A +（2）面积公式：S=21absinC=21bcsinA=21casinBS= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2cb a ++, r 为内切圆半径)（3）射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A 2．正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===外 证明：由三角形面积111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===得sin sin sin a b c A B C==画出三角形的外接圆及直径易得：2sin sin sin a b cR A B C===3．余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA , 222cos 2b c a A bc+-=；证明：如图ΔABC 中，sin ,cos ,cos CH b A AH b A BH c b A ===-22222222sin (cos )2cos a CH BH b A c b A b c bc A=+=+-=+-当A 、B 是钝角时，类似可证。
正弦、余弦定理可用向量方法证明。
要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题． 4．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；有三种情况：bsinA<a<b 时有两解；a=bsinA 或a=b 时有 解；a<bsinA 时无解。
5．利用余弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。
高中数学余弦定理
在等腰三角形中，两边长度相等，对应的角度相等或互补，也可以利用余弦定理进行计算。
等腰三角形的余弦定理证明
03
CHAPTER
余弦定理的推论
总结词
利用余弦定理可以证明三角形的内角和等于180度。
详细描述
根据余弦定理，在任意三角形ABC中，有cosA=(b²+c²-a²)/2bc，同理可以得到其他角的余弦值。将三个角的余弦值相加，得到cosA+cosB+cosC=0，由此可以证明三角形ABC的内角和为180度。
题目
解析
根据余弦定理，cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)。将已知数值代入公式，即可求出墙角C的大小。
运用余弦定理解决实际问题的能力
THANKS
感谢您的观看。
VS
利用余弦定理可以解决与三角形相关的各种问题，如求边长、角度等。
详细描述
通过已知条件（如两边及夹角、三边）利用余弦定理可以求解三角形的各种问题。例如，已知三角形的两边及夹角，可以通过余弦定理求出第三边；已知三角形的三边，可以通过余弦定理求出三角形的角度等。
总结词
04
CHAPTER
余弦定理的实例应用
余弦定理在解三角形问题中应用广泛，能够解决已知两边及夹角或三边求角的问题。
当已知三角形的两边及夹角时，可以通过余弦定理求出第三边。同样地，当已知三角形的三边时，也可以利用余弦定理求出三角形的角度。
详细描述
总结词
余弦定理在求三角形的角度问题中同样具有应用价值，能够通过已知的两边及夹角或三边求出三角形的角度。
掌握余弦定理在复杂问题中的应用
总结词
在三角形ABC中，已知a=3, b=4, B=45°，求边c的大小。
6.4.3正弦定理余弦定理(第1课时)课件高一下学期数学人教A版
2ab
应用：已知三条边求角度．
变形二
a2 (b c)2 2bc(1 cos A)
b2 （a c）2 2a（c 1- cos B）
c2 （a b）2 2a（b 1- cos C）
应用：配方法的使用
想一想： 余弦定理在直角三角 形中是否
仍然成立？
cosC=
例 2 在△ABC 中，已知 a＝ 3，b＝ 2，B＝45°，解此三角形．
解析 由余弦定理知 b2＝a2＋c2－2accos B.
∴2＝3＋c2－2 3·22c.即 c2－ 6c＋1＝0.
6＋ 2
6－ 2
6＋ 2
解得 c＝ 2 或 c＝ 2 ，当 c＝ 2 时，由余弦定理得
cos A＝b2＋2cb2c－a2＝2＋
一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知 三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
在 ABC中，三个内角A、B、C的对边长分别记作a,b,c
二、余弦定理
在三角形ABC中，三个角A，B，C所对的边分别
为a，b，c，怎样用a，b和C表示c？
如图，设CB a,CA b, AB c,那么
3 2.
2.解析 ∵a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)， 令 a＝2k，b＝ 6k，c＝( 3＋1)k(k>0)． 由余弦定理的变形得，
又∵0°<B<180°， ∴B＝150°.
cos
b2＋c2－a2 6k2＋ 3＋12k2－4k2 A＝ 2bc ＝ 2× 6k× 3＋1k ＝
22.
∴A＝45°.
题型二 已知两边及一角解三角形
和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．
高中数学余弦定理
高中数学余弦定理余弦定理是高中数学的一个核心内容，也是三角函数的一个重要应用。
余弦定理描述了三角形中一边的平方与另外两边及其夹角的余弦值之间的关系。
对于任何一个三角形，余弦定理都可以给出以下公式：c² = a² + b² - 2abcos(C)其中，a、b和c分别代表三角形的三边长度，C是a和b之间的夹角。
余弦定理的应用范围非常广泛，无论是解三角形、解决实际问题，还是在数学竞赛中，它都是一个重要的工具。
一、解三角形余弦定理可以用来确定三角形的形状和大小。
例如，如果我们知道三角形的三边长a、b和c，以及角A、B和C的度数，我们可以用余弦定理来计算角C的度数。
公式如下：cos(C) = (a² + b² - c²) / (2ab)二、解决实际问题余弦定理也被广泛应用于解决实际问题。
例如，在物理学中，余弦定理可以用来解决与力的合成和分解相关的问题；在地理学中，余弦定理可以用来计算地球上两点之间的距离；在经济学中，余弦定理可以用来计算投资组合的风险和回报。
三、数学竞赛在数学竞赛中，余弦定理也是一个重要的考点。
例如，一些几何问题可能需要使用余弦定理来解决；在一些代数问题中，余弦定理也可能是一个关键的工具。
余弦定理是高中数学的一个重要内容，它不仅在数学中有广泛的应用，也在其他领域中有重要的应用价值。
通过学习和理解余弦定理，我们可以更好地理解和解决各种问题。
一、引言在中国的教育体系中，数学一直是核心学科，特别是在高中阶段，数学的学习对学生的学习生涯和未来的学术成就具有重大影响。
因此，如何设计有效且吸引人的数学课程，帮助学生理解和掌握数学知识，是所有教育工作者都应的问题。
在本文中，我们将探讨如何利用APOS 理论来设计高中数学定理的教学，并以余弦定理为例进行具体阐述。
二、APOS理论概述APOS理论是由美国学者杜宾斯基提出的一种学习理论，它强调学习过程中学生的主动性和实践性。
高中正余弦定理数学公式有哪些
高中正余弦定理数学公式有哪些高中正余弦定理数学公式有哪些高中正余弦定理数学公式正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R R为三角形外接圆的半径余弦定理:a2=b2+c2-2bc__cosA诱导公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα高考前数学的复习方法1、调整好状态，控制好自我。
保持清醒。
高考数学的考试时间在下午，建议同学们中午最好休息半个小时或一个小时，其间尽量放松自己，从心理上暗示自己：只有静心休息才能确保考试时清醒。
2、提高解选择题的速度、填空题的准确度。
高考数学选择题是知识灵活运用，解题要求是只要结果、不要过程。
因此，逆代法、估算法、特例法、排除法、数形结合法。
尽显威力。
12个选择题，若能把握得好，容易的一分钟一题，难题也不超过五分钟。
由于选择题的特殊性，由此提出解选择题要求“快、准、巧”，忌讳“小题大做”。
填空题也是只要结果、不要过程，因此要力求“完整、严密”。
《余弦定理》 讲义
《余弦定理》讲义一、什么是余弦定理在三角形中，余弦定理是一个非常重要的定理，它描述了三角形中边与角之间的关系。
具体来说，如果在一个三角形中，三条边的长度分别为 a、b、c，对应的角分别为 A、B、C，那么余弦定理可以表示为：＼（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2 2ab ＼cos C\）＼（b^2 ＝ a^2 ＋ c^2 2ac ＼cos B\）＼（a^2 ＝ b^2 ＋ c^2 2bc ＼cos A\）这三个公式可以帮助我们在已知三角形的两边及其夹角，或者已知三边的情况下，求出三角形的其他元素。
二、余弦定理的推导为了更好地理解余弦定理，我们来推导一下。
以三角形 ABC 为例，假设角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c。
我们以边 c 所在的直线为 x 轴，点 A 为原点建立直角坐标系。
则点 B 的坐标为\（（b ＼cos A, b ＼sin A)＼），点 C 的坐标为\（（c, 0)＼）根据两点间的距离公式，＼（＼vert BC ＼vert^2 ＝（b ＼cos A c)＾2 ＋（b ＼sin A 0)＾2\）展开并化简可得：＼＼begin{align}＼vert BC ＼vert^2&＝b^2\cos^2 A 2bc\cos A ＋ c^2 ＋ b^2\sin^2 A\＼＆＝b^2(＼cos^2 A ＋＼sin^2 A) 2bc\cos A ＋ c^2\＼＆＝b^2 2bc\cos A ＋ c^2＼end{align}＼因为\（＼vert BC ＼vert ＝ a\），所以\（a^2 ＝ b^2 ＋ c^2 2bc\cos A\）同理可以推导出其他两个式子。
三、余弦定理的应用1、已知两边及其夹角求第三边例如，在三角形 ABC 中，已知 a ＝ 3，b ＝ 4，角 C ＝ 60°，求边 c 的长度。
根据余弦定理\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2 2ab ＼cos C\）＼＼begin{align}c^2&＝3^2 ＋ 4^2 2×3×4×＼cos 60°＼＼＆＝9 ＋ 16 2×3×4×＼frac{1}｛2}＼＼＆＝25 12\＼＆＝13＼end{align}＼所以\（c ＝＼sqrt{13}＼）2、已知三边求角如果已知三角形的三边长度分别为 a ＝ 5，b ＝ 6，c ＝ 7，求角 A 的大小。
6.4.3.1余弦定理课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
课中探究
探究点三 利用余弦定理判断三角形的形状
例3（1） 在△ ABC中，c2 = bccos A + accos B + abcos C，则此三
角形必是(
)
√ A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.钝角三角形
[解析] 由c2 = bccos A + accos B + abcos C，
课中探究
［素养小结］ 已知三角形的两边和一个角解三角形的方法 （1）先利用余弦定理求出第三边，其余的角利用余弦定理的推论求出． （2）用余弦定理的推论求角时，首先求出的是这个角的余弦值，然后 根据余弦函数在(0, π)上单调递减，可得余弦值对应的角是唯一的．
课中探究
探究点二 已知三边解三角形
例2（1） 在△ ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
（1）利用余弦定理,可解决已知三角形三边求角的问题.( √ )
[解析] 结合余弦定理及三角函数知识可知正确.
（2）在△ ABC中,已知a = 2,b = 3,c = 5,则sin A = 35.( × )
[解析]
cos A = b2+c2−a2 = 9+5−4 =
2bc
2×3× 5
35，∵ 0∘ < A < 180∘
a2 = b2 + c2 − 2bccos A， b2 =__c2__+__a_2_−__2_c_a_c_o_s_B__， c2 =_a_2__+__b_2_−__2_a_b_c_o_s__C_
课前预习
余弦 定理
推论
常见 变形
cos A = b2+c2−a2，
2bc
cos B = c2+a2−b2，
高中数学必修余弦定理
在已知三边的情况下，可以利用海伦公式 S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]（其中p为半周长） 求得三角形的面积。
判断三角形形状问题
01
已知三边判断三角形 形状
若三边满足a²+b²=c²，则三角形为直 角三角形；若三边满足a=b=c，则三 角形为等边三角形；若只有两边相等 ，则三角形为等腰三角形；否则为一 般三角形。
到多边形的面积。
判断平面图形形状问题
在三角形中，通过余弦定理可以判断三角形的形状。若已知 三边长度满足勾股定理，则三角形为直角三角形；若不满足 勾股定理，则可以通过比较三边长度和角度大小来判断三角 形的形状。
在四边形中，通过余弦定理可以判断四边形的形状。若四边 形的两组对边分别相等且对角线互相平分，则四边形为平行 四边形；若四边形的四边长度相等且对角线互相平分，则四 边形为矩形或正方形。
任意三角形边长关系探讨
证明过程
假设在三角形ABC中，有a + b > c, a + c > b, b + c > a。根据三角形内角和定 理和余弦定理的表达式，我们可以推导出上述不等式。这些不等式表明了在任意 三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
应用
这些性质在解决三角形相关问题时非常有用，例如判断三条线段是否能构成三角 形、求三角形的面积等。
判断立体图形形状问题
判断四面体形状
通过余弦定理可以判断四面体的形状 ，如是否为正四面体、等腰四面体等 。具体方法是利用余弦定理求解四面 体的各个面的形状和大小，进而判断 其整体形状。
判断平行六面体形状
平行六面体的形状也可以通过余弦定 理来判断。通过计算平行六面体的各 个面的形状和大小，以及相邻两个面 的夹角，可以判断其是否为长方体、 正方体等特殊形状。
高一数学人教版必修二6.4.3.1余弦定理课件
求第三边和其他两个角.
a2+b2-c2=0
（3）判断三角形的形状（会推导） a2+b2-c2>0
cos A b2 c2 a2 2bc
c2 a2 b2 cos B
2ca cos C a2 b2 c2
2ab
C钝角 C直角 C锐角
已知三角形的几个元素求其他元素的过程 叫做解三角形(solving.triXXX),
例3.在ABC中，a=2 3,c= 6 2,B 45, 解这个三角形.
[解] 根据余弦定理得，
b2＝a2＋c2－2accos B＝(2 3)2＋( 6＋ 2)2－2×2 3×( 6＋ 2)
×cos 45°＝8，∴b＝2 2.
人教A版 数学（高中）
中物理 第六章 第4节
6.4.3.1余弦定理
1 学习目标
1、通过对三角形边角关系的探索，能证明余弦定理； 2、能够从余弦定理得到它的推论； 3、能够应用余弦定理及其推论解三角形； 4、了解余弦定理与勾股定理之间的联系，知道解三角形的
问题的几种情形及其基本解法。
2 课堂导入
定性的角度：如果已知一个三角形的两条边及其所夹的角，根据 三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的；
2 7 3 14
又 C为三角形的内角，且A=120
sin C 1 cos2 C 5 3 14
结论：已知三边可求三个角。
变式1：已知△ABC的三边为 7 :2:1 ，求它的最大内角。
解：不妨设三角形的三边分别为a= 7x ,b=2x,c=x
则最大内角为∠A.由余弦定理的推论得：
cos A x2 2x2 ( 7x)2 1
c ab
A
b
2
【高中数学】正弦定理和余弦定理
c
2ac
c
直角，则△ABC 为直角三角形．
4．在△ABC 中，a，b，c 分别是内角 A，B，C 的对边．若 bsin A＝3csin B，a＝3，
cos
B＝2，则 b＝( ) 3
A．14
B．6
C. 14D. 6解析：选 D ∵bsin A＝3csin B⇒ab＝3bc⇒a＝3c⇒c＝1，∴b2＝a2＋c2－2accos B＝9
所以 sin Acos B＋cos Asin B－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，
所以 cos A(sin B－sin A)＝0，
所以 cos A＝0 或 sin B＝sin A，
所以 A＝π或 B＝A 或 B＝π－A(舍去)， 2
所以△ABC 为等腰或直角三角形．
6
6
3
又 a＝ 3，由正弦定理得 a ＝ b ， sin A sin B
3
b
即 sin
2π＝sin
π，解得 b＝1.
3
6
[答案] (1)2 2 (2)1 3
考法(二) 余弦定理解三角形
[典例] (1)(2019·山西五校联考)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若
bcos A＋acos B＝c2，a＝b＝2，则△ABC 的周长为( )
Csin Bcos A＝1sin B，即 sin B(sin Acos C＋sin Ccos A)＝1sin B．∵sin B≠0，∴sin(A＋C)＝1，
2
2
2
即 sin B＝1.∵a>b，∴A>B，即 B 为锐角，∴B＝π.
2
6
6．(2019·山西大同联考)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 2(bcos A
《高一数学余弦定理》课件
• 余弦定理的引入 • 余弦定理的证明 • 余弦定理的应用 • 余弦定理的拓展 • 习题与解答
01 余弦定理的引入
三角形的边角关系
三角形的基本性质
三角形有三条边和三个角，这些 边和角之间存在一定的关系，这 是三角形的基本性质。
边角关系的重要性
理解三角形的边角关系是解决三 角形问题的关键，对于后续学习 余弦定理等知识点至关重要。
基础习题2
在三角形ABC中，已知A=45°， B=60°，a=2，求b的值。
基础习题3
已知三角形ABC中，a=2, b=2√3, B=60°，求角A的大小
。
提升习题
提升习题1
在三角形ABC中，已知A=45°，a=3, c=√13，求 b的值。
提升习题2
已知三角形ABC中，a=4, b=5, C=120°，求边c 的大小。
推论三
若三角形ABC的两边AB、 AC与平面α所成的角相等 ，且三角形ABC的两角相 等，则三角形ABC的两边 AB、AC与平面α所成的角 相等。
余弦定理在空间几何中的应用
应用一
在空间几何中，余弦定理可以用来解 决与角度和距离有关的问题，例如计 算点到平面的距离、两平面之间的夹 角等。
应用二
应用三
详细描述
首先，我们知道三角形的面积公式为S=1/2ab*sinC，其中a、b为三角形两边， C为两边之间的夹角。然后，利用三角形的面积公式和余弦定理的关系，我们可 以推导出余弦定理的表达式。
利用勾股定理证明余弦定理
总结词
勾股定理证明余弦定理是通过勾股定理和余弦定理的关系来推导余弦定理的表达式。
详细描述
应用二
在工程学中，余弦定理可以用来解 决与结构工程和机械工程有关的问 题，例如计算结构的承载能力、判 断结构的稳定性等。
高一数学重点知识点系列-正弦定理与余弦定理
正弦定理与余弦定理一、三角形中的各种关系设ABC ∆的三边分别是,,a b c ，与之对应的三个角分别是,,A B C .则有如下关系：1、三内角关系三角形中三内角之和为π（三角形内角和定理），即A B C π++=，；2、边与边的关系三角形中任意两条边的和都大于第三边，任意两条边的差都小于第三边,即,,a b c a c b b c a +>+>+>；,,a b c a c b b c a -<-<-<；3、边与角的关系（1）正弦定理三角形中任意一条边与它所对应的角的正弦之比都相等，即2sin sin sin a b c R A B C===（这里，R 为ABC ∆外接圆的半径）. 注1：（I ）正弦定理的证明：在ABC ∆中，设,,BC a AC b AB c ===, 证明：2sin sin sin a b c R A B C===（这里，R 为ABC ∆外接圆的半径）证：法一（平面几何法）：在ABC ∆中 ，作CH AB ⊥，垂足为H则在Rt AHC ∆中，sin CH A AC =；在Rt BHC ∆中，sin CH B BC =sin ,sin CH b A CH a B ∴== sin sin b A a B ⇒= 即sin sin a b A B = 同理可证：sin sin b c B C= 于是有sin sin sin a b c A B C== 作ABC ∆的外接圆⊙O ，设其半径为R连接BO 并延长，则可得到⊙O 的直径BD ，连接DA因为在圆中，直径所对的圆周角是直角所以90o DAB ∠=于是在Rt DAB ∆中，sin 2AB c D BD R== 又因为在同一圆中，同弧所对的圆周角相等所以D C ∠=∠2sin sin 2c c c R c C DR∴=== 故2sin sin sin a b c R A B C ===（这里，R 为ABC ∆外接圆的半径） 法二（平面向量法）（Ⅱ）正弦定理的意义： 正弦定理指出了任意三角形中三边与其对应角的正弦值之间的一个关系式，也就是任意三角形的边角关系.（Ⅲ）正弦定理适用的范围：（i ）已知三角形的两角及一边，解三角形；（ii ）已知三角形的两边及其中一边所对应的角，解三角形；（iii ）运用::sin :sin :sin a b c A B C =解决角之间的转换关系. 注2：正弦定理的一些变式：（i ）::sin :sin :sin a b c A B C =；（ii ）sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R===； （iii ）2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===.注3：已知三角形是确定的，则在运用正弦定理解该三角形时，其解是唯一的；已知三角形的两条边和其中一条边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解是不确定的，此时可结合平面几何作图的方法、“大边对大角，大角对大边”定理及三角形内角和定理解决问题.例1. ABC ∆中，,a b 分别为角,A B 的对边，若60,75,8o o B C a ===，则b =＿.例2. ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，,13A a b π===，则c =＿.例3.在ABC ∆中，60,1o b B c ===，求a 和,.A C例4. 在ABC ∆中，已知2,2,2B A BC AB ∠=∠==+则A ∠=＿. 例5.已知ABC ∆中，角,A B 所对的边分别是,a b ，若cos cos a B b A =,则ABC ∆一定是（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形（2）余弦定理三角形中任意一条边的平方等于其他两条边平方的和减去这两条边与它们夹角的余弦的乘积的2倍，即2222cos a b c bc A =+-，2222cos b c a ca B =+-，2222cos c a b ab C =+-. 注1：（I ）余弦定理的证明：法一（平面几何法）在ABC ∆中 ，作CH AB ⊥，垂足为H则在Rt AHC ∆中，sin CH CH A AC b ==；cos AH AH A AC b== sin ,cos CH b A AH b A ∴== cos BH AB AH c b A ⇒=-=- 在Rt CHB ∆中，由勾股定理有222BC CH BH =+于是有22222222222222(sin )(cos )sin 2cos cos (sin cos )2cos 2cos a b A c b A b A c bc A b Ab A Ac bc A b c bc A=+-=+-+=++-=+-同理可证：2222cos b c a ca B =+-，2222cos c a b ab C =+-.法二（平面向量法）（Ⅱ）余弦定理的意义： 余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当结合其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
高一数学-5.9正弦定理、余弦定理
［解析］可先由四边形内角和为360°，根据四个内角之比求出各内角的大小，再通过解三角形求出△ABD的有关边和角，然后利用三角形面积公式
［答案］ 由于四个内角A、B、C、D之比为3∶7∶4∶10，所以可设A、B、C、D的大小依次为3x，7x，4x，10x，再由四边形内角和为360°，得：3x＋7x＋4x＋10x＝360°，解得：x＝15°．
［答案］设边长为x（1＜x＜3＝，在△ABP中，
点拨（1）解题时要善于运用方程的思想方法，通过列方程求未知数．（2）在求解过程中，要注意三角形中三边长的关系．
出题方向3 判断三角形形状
［解析］解决本题，可分别利用正弦、余弦定理，把问题转化成角或边的关系求解．
点拨 利用正弦、余弦定理判断三角形形状，主要是将已知条件中三角形的边、角关系转化为边的关系或角的关系．
∴ A＝45°，B＝105°，C＝60°，D＝150°．
在△BCD中，由余弦定理得：
点拨 根据题目条件，将四边形分解为若干个三角形，便于利用已知条件和正弦、余弦定理等求解．
易错易混点警示
本节有两个地方容易出错：
（1）已知两边和其中一边的对角，利用正弦定理求另一边的对角，容易漏解或误解．
（2）在判断三角形形状时，出现漏判或误判．如本来是等腰或直角三角形，只判定为等腰三角形或判定为等腰直角三角形．
（3）大边对大角；
余弦定理揭示了三角形三边和一角的关系，它也是勾股定理及其逆定理的推广．
（2）余弦定理的变形：余弦定理也可写成下列形式：
解题方法、技巧培养
高一数学人教A版必修二《6.4.3余弦定理、正弦定理》完整课件(78页)
6.4.3 余弦定理、正弦定理 (完整课件78页)
高一数学人教A版必修2精品课件
第六章 | 平面向量及其应用
6.4.3.1余弦定理
高一数学人教A版必修2精品课件
第一课时 余弦定理
知识点 余弦定理 (一)教材梳理填空 1．余弦定理： 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适用于任何三
角形．
(√ )
(2)在△ABC 中，若 a2>b2＋c2，则△ABC 一定为钝角三角形
(√ )
(3)在△ABC 中，已知两边和其夹角时，△ABC 不唯一．
(× )
2．在△ABC 中，已知 B＝120°，a＝3，c＝5，则 b 等于
【学透用活】 1．已知边 a，b 和角 C.
2．已知边 a，b 和角 A.
[典例 1] 在△ABC 中，
(1)若 a＝2 3，c＝ 6＋ 2，B＝45°，求 b 及 A.
(2)若 A＝120°，a＝7，b＋c＝8，求 b，c.
[解] (1)由余弦定理，得 b2＝a2＋c2－2accos B＝(2 3)2＋( 6＋ 2)2－
()
A．4
B． 15
C．3
D. 17
解析：cos C＝－cos(A＋B)＝－13. 又由余弦定理得 c2＝a2＋b2－2abcos C
＝9＋4－2×3×2×－13＝17，所以 c＝ 17.故选 D.
答案：D
2．若 b＝3，c＝3 3，B＝30°，求角 A，C 和边 a. 解：由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B， 得 32＝a2＋(3 3)2－2×3 3a×cos 30°， 即 a2－9a＋18＝0，所以 a＝6 或 a＝3. 当 a＝6 时，由 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝322＋×33×332－362＝0，可得 A＝90°，C ＝60°.当 a＝3 时，同理得 A＝30°，C＝120°.
高中数学余弦定理的定义公式及证法
高中数学余弦定理的定义公式及证法这个世界上有两样东西是带不走的:一个是藏在心里的梦想，一个是在脑子里读的书。
你好，我是宇通！分享最新的学习方法、教育信息、笔记等。
每天都是。
欢迎大家关注！宇通为学生整理了高中数学中余弦定理的定义公式和证明方法，包括:余弦定理的定义，平面几何中余弦定理的证明方法，余弦定理的数学应用。
让我们一起来学习吧。
余弦定理三角形任何一条边的平方等于其他两条边的平方之和减去这两条边与它们之间夹角的余弦的乘积。
即在三角形ABC中,已知AB=c,BC=a,CA=b,则有：a2=b2+c2-2bccosAb2=a2+c2-2accosBc2=a2+b2-2abcosC余弦定理平面几何证法在任意△ABC中，做AD⊥BC.∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c根据勾股定理可得：AC2=AD2+DC2b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2b2=(sinB*c)2+a2-2ac*cosB+(cosB*c)2b2=(sinB^2+cosB^2)*c2-2ac*cosB+a2b2=c2+a2-2ac*cosB余弦定理数学应用余弦定理是解三角形中的一个重要定理，可应用于以下两种需求：当三角形的两条边及其夹角已知时，可以用余弦定理求出已知角的对边。
当三角形的三条边已知时，可以用余弦定理求出三角形的三个内角。
余弦定理求边如果已知三角形的两条边及其夹角，就可以用余弦定理求出已知角的对边。
最后，我欢迎你们参加由我和清北学生发起的帮助该地区学生的活动。
今日读者可免费领取《直击高考漏洞》一书，从出卷人角度揭秘高考试题，有效率的规划剩余时间的复习内容，并附赠《逆向学习法》视频课程，逆向学习法这个视频课，揭示了普通学生如何运用逆向思维学习法省时省力，快速成为学霸的成功秘笈，其实很多孩子并不是没有能力取得高分，而是从一开始选择的道路就不对，一定要从根源解决问题：。
6.4.3第1课时余弦定理课件高一数学人教A版必修第二册第六章
b2＋c2－a2 cos A＝ 2bc ，
余弦
a2＋c2－b2
定理 推论 cos B＝ 2ac ，
a2＋b2－c2 cos C＝____2_a_b____
思考 在a2＝b2＋c2－2bccos A中，若A＝90°，公式会变成什么？ 答案 a2＝b2＋c2，即勾股定理.
知识点二 解三角形
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形 的 元素 .已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 解三角形 .
12345
5.在△ABC中，已知a＝2，b＝2 2 ，C＝15°，则c＝ π 6.
6－ 2，A＝
解析 由余弦定理，得 c2＝a2＋b2－2abcos C＝8－4 3，
所以 c＝ 6－ 2. 由余弦定理，得 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝ 23， 又A为△ABC的内角， 所以 A＝π6.
12345
A.90° C.135°
√B.120°
D.150°
解析 由余弦定理得 cos B＝a2＋2ca2c－b2＝252＋×654×－849＝12. 又0°＜B＜180°，所以B＝60°，所以A＋C＝120°.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
4.若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足(a＋b)2－c2
第六章 6.4.3 余弦定理、正弦定理
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法. 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.
内
知识梳理
容
题型探究
索
随堂演练
引
课时对点练
1
PART ONE
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
要注意确定解的个数.
1.1.2 余弦定理
新知探究
1.若已知三角形的两边及其夹角或已知 三边，能否用正弦定理解三角形？
C b A a b C a B
B A
c
新知探究
2.在△ABC中，若已知边a，b和它们的
夹角C，求第三条边c.
方法一：从向量的角度考虑
b b
A
c
a
uuu r uuu r uur A B = CB - CA
30(2 -
3)
例题讲解 例5 在△ABC中，角A、B、C的对边分
别为a 、b 、c，若AB∙AC=BA∙BC=1.
(1)求证：A=B; (2)求边长c的值.
(3)若|AB+AC|=
(2) 2
6 ,求△ABC的面积. 3 (3) 2
课堂小结
1.余弦定理的主要作用是已知两边 一角求边，或已知三边求角，所得 结论是唯一的.同时，利用余弦定理 也可以实现边角转化.
例题讲解
例1. 在△ABC中，已知b= 2 cm， c= 3 cm，A=75°，解三角形.
例题讲解
例2. 在△ABC中，已知a= 2 + b= 2 3 ，c= 6 -
6 ，
2 ，解三角形.
例题讲解
例3 在△ABC中，已知a= 3 ，b= 7 ， B=30°，求边长c的值.
4
例题讲解
例4 已知△ABC的周长为20，A=30°， a=7，求这个三角形的面积.
三角形中任何一边的平方，等于其 他两边的平方和，减去这两边与其夹角 的余弦的积的两倍.
2
2
2
形成结论
余弦定理的推论：
b +c - a cos A = 2bc
2 2
2 2 2
c +a - b cos B = 2ca
2 2
2
a +b - c cos C = 2ab
2
形成结论
余弦定理的主要作用： （1）已知两边一角求边； （2）已知三边求角.
2 2 2
C
B
c = a + b - 2ab cos C
新知探究
在△ABC中，若已知边a，b和它们的夹 角C，求第三条边c.
方法二：从解析几何的角度考虑
y A
A(bcosC，bsinC)
b
C
2
B(a ， 0) x
a
2
B
2
c = a + b - 2ab cos C
形成结论
余弦定理：
a = b + c - 2bc cos A 2 2 2 b = a + c - 2ac cos B 2 2 2 c = a + b - 2ab cos C
高一数学必修五第一章
解三角形
1.1
正弦定理和余弦定理 1.1.1 余弦定理
复习巩固 1、正弦定理： 在任意三角形中均有：
a b c = = = 2R sin A sin B sin C
在一个三角形中，各边和它所对角 的正弦之比相等.
复习巩固
2、用正弦定理解三角形适用于两种情形： ① 已知任意两角及一边； ② 已知任意两边与其中一边的对角.
课堂小结
2.余弦定理及其推论共有六个基本 公式，应用时要注意适当选取，有 时可结合正弦定理求解.
作业：学海根汉立即用神芥,接住他们从乾坤世界中弄出来の宝物还有人,他们也不敢留下什么东西丶面对根汉这样の强者,他们知道,只有将壹切都掏出来才有机会能够求得壹条生路丶很快,根汉便抽光了这四人乾坤世界中の宝物,大手壹挥,这四人便全部昏了过去,元灵也被他封 印了起来丶"大哥,好手段呀。"见根汉从小镇中出来,白狼马几人立即凑了过来："大哥咱刚刚看,好像有不少妹子呀。""你小子就知道妹子。"根汉白了这货壹眼,都这把年纪了,也不知道疲惫,玩女人是乐此不疲呀丶"嘿嘿,咱们不是为后辈谋福利嘛。"白狼马哈哈笑道："只要有合适 の,就给孩子们,找点他们喜欢の呀。""你小子,蚕蛇帮手下还有许多人,还有其它の几十个大中小势力全部需要清剿。"根汉对白狼马说："只要有合适の,人品不错の,后辈们觉得可以の,你可以让他们尽管选。""不过有壹件事情要记住,能活捉の全部活捉,别给咱把人给杀了,乾坤世 界中の宝物全部给取出来。"根汉对他说："对了,这乾坤取物之术,咱现在传给你们,活捉那些家伙之后,你再选择壹部分人传给他们。"说完根汉立即将乾坤取物之术,传给了他们几人,叶锋也因此学到了乾坤取物之术,几人都是十分期待这种神术,平日里可没有人,能从别人の乾坤世 界中取物の丶"对了,多准备点法阵,之前攒着の那些仙阵要清剿壹些大点の势力の时候,就用了吧别舍不得用丶"根汉又嘱咐他们："让三七他们多配点材料,再配壹些仙阵,或者是壹些低级壹些の法阵都可以。"阵环之术学起来不容易,他们现在再学の话也来不及了根汉也就没有传他 们阵环之术,不然の话,有大量阵环法阵の话就更好办了丶"大哥你就放心吧,这些事情交给咱们办就行了,你有事情の话你先去忙吧丶"白狼马他们也没多说什么,刚刚还抓了近万修仙者,根汉从他那里转了数千人过来丶剩下の先让白狼马他们关押着,壹行人返回南风圣城,至于如何剿 灭蚕蛇帮等势力,根汉全权交由他们处理丶回到叶家宅院,根汉开始闭关,不过惜夕听说白狼马他们要去剿灭壹群渣子,她也主动请缨前往丶红柳为了保他们の安全,也在暗中跟着,有她们两人相助那就更加万无壹失了丶这边南伤拍卖会刚结束,果不其然,就有人在外面开始夺宝了,发生 了数十起夺宝劫杀事件,不过圣城中の修仙者们也都是习以为常了丶毕竟只是极少数の壹部分人参与,大部分の人,都还是过自己の日子丶深夜时分,叶家宅院内部金光闪烁,面前の空院子里,立着八个金光圈丶根汉盘腿坐在圈中,四周壹道道の白气不断の涌向他,被他大口大口の吸进 气海丶"呼呼。"白气中掺杂着壹些血气,血气被他慢慢の排出,从头顶涌出,最终被他头上の血炉吸进去丶同时吸收这么多人の五行之气,根汉现在处理の同样轻松,并没有显得太过吃力丶与此同时,还有大量の宝物,不断の从金光圈中飞出来,甚至还有壹些人也从里面飞出来丶在根汉 の不远处,还悬浮着壹枚黑色芥子,芥子表面闪烁着神光,将那边の宝物和人全部吸进去丶时间转眼就是七天,七天之后の夜晚,根汉终于是停了院落也归于平静,金光圈全部消失丶"呼。"根汉长长の吐了几口浊气,右手壹挥,壹阵大风吹过,将这些浊气吹出宅院丶"没有什么异常吧?"元 灵中伊莲娜尔有些担心这小子怕他这道法,会出什么状况丶根汉缓缓の站了起来,躺到了那边の温泉池中,根汉对她说："目前是没有什么问题,这道法确实是非比寻常。""若真是这样の话,你还真是发现了大宝藏了。"伊莲娜尔对他说："现在不灭金身有提升吗?""突破是还早,不过这 七天,相当于在龙脉区闭关十年了可以。"根汉往身上浇了点水,舒缓壹下自己の神经丶"这么浓の五行之气?"伊莲娜尔也没想到,以前他在龙脉区の时候,那里可是专门の五行之气の龙脉呀,想不到这些人体内の五行之气,比专门の五行龙脉,还要浓郁丶根汉点了点头说："都是上千年 の沉绽,体内の五行灵气很浓の,只是咱现在不灭金身还只是在第六重,还没有突破,壹次也不能吞食太多の五行灵气,速度受限。""吞食了多少人了?"伊莲娜尔问丶"八百多人吧应该。"根汉想了想后说："这个速度还是有些慢了。""八百多人还慢?"伊莲娜尔笑骂道："你小子真是贪心 不足蛇吞象呀,七天就八百多人,壹天被你吞了壹百多人了,你还想怎样?""呵呵,要想达成不灭金身,这点速度不算什么呀,之前是咱低估了后面所需要の五行灵气了。"根汉苦叹道："之前第六重の时候,只是在龙脉区中修炼了二三百年,咱以为要想达到第七重,可能也就是相当于在龙 脉区中再修炼个五六百年应该就差不多了。""可是这七天,相当于在龙脉区修炼了十年,按理说の话,岂不是,只需要一些月就可以到达第七重,但是事实上没有这么简单呀。"根汉叹道："第七重需要の五行灵气の量,可能会是第六重の几十倍之多。""几十倍之多?"伊莲娜尔也有些吃 惊："你の意思是,第七重需要の五行灵气の量,要相当于你在龙脉区修炼二三百年の几十倍,那不是相当于要在龙脉区修炼几千年?""是呀,所以现在这七天,才相当于十年。"根汉说："壹直像现在这样の速度の话,不吃不喝,也还需要几十年这样不断の吞噬吧。""几十年也行了。"伊 莲娜尔说："几十年就能达到第七重,比你之前也快了许多了。""关键这中途还得休息几天,而且也要准备好足够の人才行。"根汉说："估计要五六十年,可能是七八十年,这个速度与咱预想の还是慢了壹些。""不知道第八重,第九重,还有大圆满,要多久了。"根汉最担心の是后面几重 丶"慢慢来吧,等你进入了第七重,壹次也能吸收更多の五行灵气了。"她说,"现在找到了方法,这就可以了。""光是人体の话,人体の五行灵气虽说不少,但是应该还是远远少于那些体型庞大の兽亭丶"根汉沉声道："还是要抓壹些体型强大の兽亭过来试试。""那你去找壹些过来呀,这 城中府应该就有专门卖这种东西の地方吧。"她说丶"姐姐你还真提醒咱了,自己去抓麻烦,城中确实是有这样の地方丶"根汉点了点头,洗了会尔澡后,根汉便起身出来了丶离开叶家宅院,根汉来到了圣城北面,大概十几万里の地方,这里有壹处挺大の湖泊丶湖泊中间,有大大小小数以万 计の岛,岛上闪着不少零零星星の神光,湖泊外面有不少人守卫,虽说是大晚上了,但是还是有人过来这边丶湖泊外面,有壹片宏伟の宫殿,进入湖泊需要从这里面