第三章函数练习题答案

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4
5．正实数 u ，v ，w 均不等于1，若 logu vw logv w 5 ，logv u logw v 3 ，则 logw v
的值为
◆答案： 4 5
★解析：令 logu v a ， logv w b ，则
1
第三章 函数练习题答案
logv
u
1 a
， logw
v
1 b
， logu
vw
性知， f (x) 在 0,1上递增，又 f (4 ) f ( ) 1， f (2 6) f (2 ) 0 ，所以不等
式等价于 f (2 6) f (x) f (4 ) ，又 0 2 6 4 1，即不等式的解集为
2 6,4 .
3．设 f (x) 是定义在 R 上函数，对任意的实数 x 有 f (x 3) f (x 4) 1 ，又当 0 x 7
logu
v
logu
v logv
w
a
ab
条件化为 a ab b 5， 1 1 3，由此可得 ab 5 ，因此
ab
4
logw
u
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logw
v
logv
u
4 5
．
6．设 a, b 为实数，函数 f (x) ax b 满足：对任意 x [0,1] ，都有 f (x) 1，则 ab 的最
大值为
知， f (x) 在 1,2上递增，又 f ( 2) f ( ) 1， f (8 2 ) f (2 ) f (2 ) 2 ，
所以不等式等价于 f ( 2) f (x) f (8 2 ) ，又1 2 8 2 2
所以 2 x 8 2 ，即不等式的解集为 2,8 2
时， f (x) log2 (9 x) ，则 f (100) 的值为 ◆答案： 1
2 ★解析：由条件知，f (x 7) f (x) 1 ，即 f (x 7) f (x 14) 1 ，故 f (x) f (x 14) ，
即函数 f (x) 的周期为14 ，所以 f (100) f (2) 1 1 f (5) 2
第三章 函数练习题答案
函数练习题 1
1．设 f (x) 是定义在 R 上的以 2 为周期的偶函数，在区间 0,1上严格递减，且满足 f ( ) 1 ，
f
(2
)
2
，则不等式组
1
1
f
x (x)
2
2
的解集为
◆答案： 2,8 2
★解析：由 f (x) 为偶函数及在区间 0,1上严格递减知， f (x) 在 1,0上递增，结合周期性
◆答案： 1 4
★解析：由题意得 a f (1) f (0) ， b f (0)
所以 ab f (0) f (1) f (0) f (0) 1 f (1)2 1 f 2 (1) 1 f 2 (1) 1 ，当且仅当
2 4
4
4
2 f (0) f (1) 1，即 a b 1 时， ab 1 ，故所求最大值为 1 。
◆答案： 2016
★解析：由条件知 f 0 g 0 2, ① f 2 g 2 81 8 1 90. ②
2
第三章 函数练习题答案
由 f x, g x 图像的对称性，可得 f 0 f 2, g 0 g 2 4, 结合①知， f 2 g 2 4 f 0 g 0 2. ③ 由②、③解得 f 2 48, g 2 42, 从而 f 2 g 2 48 42 2016.
2
4
4
7．设 g(x) x(1 x) ，是定义在区间[0,1]上的函数，则函数 y xg(x) 的图像与 x 轴所围成图形的面积为
◆答案： 16
★解析：显然 g(x) 的图像与 x 轴围成一个半圆，我们用 A 表示 xg(x) 与 x 轴围成的图形。
直线 2x 1是半圆的对称轴，它将 A 分成左右两个部分。我们知道：
2．设 f (x) 是定义在 R 上的以 2 为周期的偶函数，在区间 1,2上严格递减，且满足 f ( ) 1 ，
f
(2
)
0
，则不等式组
0
0
f
x (x)
1
的解集为
1
◆答案： 2 6,4
★解析：由 f (x) 为偶函数及在区间 1,2上严格递减知， f (x) 在 2,1上递增，结合周期
4．设 f (x) 是定义在 R 上的函数，若 f (x) x 2 是奇函数， f (x) 2 x 是偶函数，则 f (1) 的
值为
◆答案： 7 4
★解析：由条件知， f (1) 1 ( f (1) (1)2 ) f (1) 1， f (1) 2 f (1) 1 ， 2
两式相加消去 f (1) ，可知： 2 f (1) 3 1 ，即 f (1) 7 .
9．已知定义在 R 上的函数
f (x) 为
f
(x)
log3
x 1
,0
x
9 ，设 a, b, c 是三个
4 x ,x9
xg(x) (1 x)g(1 x) xg(x) (1 x)g(x) g(x)（ 0 x 1 ），这个式子的几何意义 2
如下图所示：
根据祖暅原理的二维形式， A 的左半部分与右半部分的面积之和恰好是四分之一圆的面积。 即我们要求的面积是 1 1 2 。
4 2 16
8．已知 f (x) , g(x) 均为定义在 R 上的函数， f (x) 的图像关于直线 x 1 对称，g(x) 的图 像关于点 (1,2) 中心对称，且 f (x) g(x) 9x x3 1，则 f (2)g(2) 的值为
另解：因为 f x g x 9x x3 1 ， ① 所以 f 2 g 2 90. ② 因为 f x 的图像关于直线 x 1 对称，所以 f x f 2 x. ③ 又因为 g x 的图像关于点 1, 2 中心对称，所以函数 h x g x 1 2 是奇函数， hx h x ， g x 1 2 g x 1 2 ，从而 g x g 2 x 4. ④ 将③、④代入①，再移项，得 f 2 x g 2 x 9x x3 5. ⑤ 在⑤式中令 x 0 ，得 f 2 g 2 6. ⑥ 由②、⑥解得 f 2 48, g 2 46.于是 f 2 g 2 2016.