机器人静力分析与动力分析

图2.2 二自由度机械手手爪沿X0方向运动示意图
例2.1 如图2.2所示的二自由度机械手，手部沿固定坐标系X0轴 正向以1.0 m/s的速度移动，杆长l1=l2=0.5 m。设在某瞬时 θ1=30°，θ2=60°，求相应瞬时的关节速度。
解 由式(2.6)知，二自由度机械手速度雅可比为
J
l1s1 l2s12
dx1
f 2 x2
dx2
f 2 x6
dx6
(2.2)
dy6
f6 x1
dx1
f6 x2
dx2
f6 x6
dx6
dY F dx X
式中, (6×6)矩阵 F 称为雅可比矩阵。 X
对于工业机器人速度分析和静力分析中遇到类似的矩阵, 我 们称为机器人的雅可比矩阵, 简称雅可比。
以二自由度平面关节机器人为例,如图2.1所示,端点位置X、
12
(2.12)
若已知关节上θ1.与θ2是. 时间的函数,θ1=f1.(t),θ2=f2(.t), 则可求出
该机器人手部在某一时刻的速度V=f(t), 即手部瞬时速度。反之,
给定机器人手部速度,可由V=J(q)q解出. 相应的关节速度, .
q=J-1V, 式中J-1为机器人逆速度雅可比矩阵。
3. 机器人雅可比讨论
❖
对于平面运动的机器人，其J的行数恒为3，列数则为
机械手含有的关节数目，手的广义位置向量[X，Y，φ]T均容 易确定，且方位φ与角运动的形成顺序无关，故可采用直接 微分法求φ，非常方便。
❖ 在三维空间作业的六自由度机器人的雅可比矩阵J的前三
行代表手部线速度与关节速度的传递比，后三行代表手部角 速度与关节速度的传递比。而雅可比矩阵J的每一列则代表 相应关节速度对手部线速度和角速度的传递比，J阵的行数 恒为6(沿/绕基坐标系的变量共6个)，通过三维空间运行的机 器人运动学方程可以获得直角位置向量[X，Y，Z]T的显式方 程。因此，J的前三行可以直接微分求得，但不可能找到方 位向量[φX，φY，φZ]T的一般表达式。一般不能运用直接微 分法来获得J的后三行。常用构造法求雅可比J。
衡，在关节驱动力矩(驱动力)的作用下将发生运
动变化。机器人的动态性能不仅与运动学因素
有关，还与机器人的结构形式、质量分布、执
行机构的位置、传动装置等对动力学产生重要
影响的因素有关。
机器人动力学主要研究机器人运动和受力之 间的关系，目的是对机器人进行控制、优化设计 和仿真。机器人动力学主要解决动力学正问题和 逆问题两类问题：
Y与关节θ1、θ2的关系为
X Y
l1c1 l2c12 l1s1 l2s12
(2.3)
其中 c12 cos1 2
s12 sin1 2
即
x y
x(1,2 ) y(1,2 )
(2.4)
图2.1 二自由度平面关节机器人
dx dy
x
1
y
1
d1 d1
x
2
y
2
d2 d2
x x
则 dq=dq1 dq2…dqn］T反映关节空间的微小运动。由X=X(q)可
知,
dX=J(q)dq
(2.8)
其中J(q)是(6×n)的偏导数矩阵, 称为n自由度机器人速度雅可比
矩阵。可表示为
X X
q1
q2
Y
Y
q1
qBiblioteka Baidu2
Z Z
J(q)
X qT
q1
q2
X X
q1
q2
Y Y
q1
q2
关系的雅可比矩阵;
q ——机器人关节在关节空间中的关节速度。
若把J(q)矩阵的第1列与第2列矢量记为J1、J2,则有
v J11 J22
说明机器人速度雅可比的每一列表示其它关节不动而某
一关节运动时产生的端点速度。
二自由度手部速度为
V
vx
v
y
l1s1 l2s12
l1c1
l2c12
l2s12 l2c12
1.动力学正问题是根据各关节的驱动力(或力 矩)，求解机器人的运动(关节位移、速度和加速 度)，主要用于机器人的仿真；
2.动力学逆问题是已知机器人关节的位移、速 度和加速度，求解所需要的关节力(或力矩)，是 实时控制的需要。
2.1 机器人雅可比矩阵
1.
数学上, 雅可比矩阵(Jacobian Matrix)是一个多元函数的偏 导矩阵。假设有六个函数, 每个函数有六个变量, 即
y1 f1(x1, x2 , x3, x4 , x5, x6 )
y2
f
2
(
x1
,
x2 ,
x3
,
x4
,
x5
,
x6
)
(2.1)
y6 f6 (x1, x2 , x3, x4 , x5, x6 )
可写成
Y=F(X)
将其微分, 得
dy1
f1 x1
dx1
f1 x2
dx2
f1 x6
dx6
dy2
f 2 x1
第2章 机器人静力分析与运动学
2.1 机器人雅可比矩阵 2.2 机器人静力分析 2.3 机器人动力学分析
❖
稳态下研究的机器人运动学分析只限于静
态位置问题的讨论，未涉及机器人运动的力、
速度、加速度等动态过程。实际上，机器人是
一个复杂的动力学系统，机器人系统在外载荷
和关节驱动力矩(驱动力)的作用下将取得静力平
l2s12 1
l1s1
l2s12
0
1
c12
l1s2
1 rad / s 2 rad / s 0.5
2
c1 l1s2
c12
l1s2
4 rad / s
因此，在该瞬时两关节的位置分别为θ1=30°，θ2= –60°；速 度分别为
1 2 rad/s 2 4 rad / s 手部瞬时速度为1 m/s。
l1c1
l2c12
l2s12
l2c12
因此，逆雅可比为
J 1
1
l1l2s2
l2c12
l1c1 l2c12
l2s12
l1s1
l2s12
由式(2.11)可知， θ J 1v且 v [1, 0]T 即 ，vX=1 m/s，vY=0，因此
1
2
1
l1l2s2
l2c12
l1c1 l2c12
d x
dy
1
y
2
y
d1 d2
(2.5)
1 2
令
x x
J
1
y
2
y
(2.6)
1 1
则式(2.7)可简写为
dX = J d
其中,
dX
ddyx , d
d1
d
2
由此可求得
J
l1s1 l2s12
l1c1
l2c12
l2s12
l2c12
(2.7)
对于n自由度机器人,关节变量q=［q1 q2…qn］T,当关节为转 动关节时, qi=θi ; 当关节为移动关节时, qi=di ,
Z
Z
q1 q2
X
qn
Y
qn
Z
qn
X
qn
Y
qn
Z
qn
(2.9)
q
2. 机器人速度分析
把式(2.9)两边各除以dt,
dX J (q) dq
dt
dt
或
v X J (q)q
(2.10) (2.11)
其中: v ——机器人末端在操作空间中的广义速度;
J(q)——为确定关节空间速度 q 与操作空间速度v之间