高三数学试题数列的极限

数列的极限

1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n }的项a n 无限地趋近于某个常数a （即|a n －a |无限地接近于0），那么就说数列{a n }以a 为极限.

注：a 不一定是｛a n ｝中的项.

2.几个常用的极限：①∞

→n lim C =C （C 为常数）;②∞

→n lim

n

1

=0;③∞→n lim q n =0

（|q |＜1）.

3.数列极限的四则运算法则：设数列｛a n ｝、｛b n ｝， 当∞

→n lim a n =a ,

∞

→n lim b n =b 时，∞

→n lim （a n ±b n ）=a ±b ;

∞

→n lim

（a n ·b n ）=a ·b ;

∞

→n lim

n

n

b a =b

a （

b ≠0）.

●点击双基

1.下列极限正确的个数是 ①∞

→n lim α

n 1=0（α＞0） ②∞

→n lim q n =0

③∞

→n lim

n

n

n n 3

232+-=－1 ④∞

→n lim C =C （C 为常数）

A.2

B.3

C.4

D.都不正确 解析:①③④正确. 答案:B 2.

∞

→n lim

［n （1－3

1）（1－4

1）（1－51） (1)

2

1

+n ）］等于 A.0 B.1

C.2

D.3

解析:

∞

→n lim

［n （1－3

1）（1－4

1）（1－5

1） (1)

2

1

+n ）］

=∞

→n lim ［n ×32×43×54×…×2

1++n n ］

=∞

→n lim

2

2+n n

=2. 答案:C ●典例剖析

【例1】 求下列极限： （1）∞

→n lim

7

5722

2+++n n n ;（2）

∞

→n lim

（

n

n +2－n ）;

（3）∞

→n lim （

2

2n +

2

4n +…+2

2n

n ）. 剖析:（1）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n 2后再求极限；（2）因

n

n +2与

n 都没有极限，可先分子有理化再求极限；（3）因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限.

解:（1）∞

→n lim

7

57

222

+++n n n =∞→n lim 2

2757

12n

n n +++

=5

2.

（2）∞

→n lim （

n

n +2－n ）=

∞

→n lim

n

n n n ++2=∞

→n lim

1111++

n

=2

1.

（3）原式=∞

→n lim

2

2642n n

++++Λ=∞

→n lim

2

)1(n n n +=∞→n lim （1+n 1

）=1. 评述:对于（1）要避免下面两种错误：①原式=)

75(lim )

72(lim 22+++∞

→∞

→n n n n n =∞

∞=1,

②∵∞

→n lim （2n 2+n +7）,

∞

→n lim （5n 2+7）不存在，∴原式无极限.对于（2）

要避免出现下面两种错误： ①∞

→n lim （

n

n +2－n ）=

∞

→n lim

n

n +2－∞

→n lim n =∞－∞=0;②原式=∞

→n lim

n

n +2－∞

→n lim n =∞－∞不存在.

对于（3）要避免出现原式=∞

→n lim 2

2n +∞

→n lim

2

4n +…+∞

→n lim

2

2n n =0+0+…+0=0这

样的错误.

【例2】 已知数列｛a n ｝是由正数构成的数列，a 1＝3，且满足lg a n ＝lg a n －1＋lg c ，其中n 是大于1的整数，c 是正数．

（1）求数列｛a n ｝的通项公式及前n 和S n ； （2）求∞

→n lim

1

122+-+-n n n n a a 的值．

解:（1）由已知得a n ＝ｃ·a n －1,

∴｛a n ｝是以a 1＝3，公比为c 的等比数列，则a n ＝3·ｃn －1.

∴S n ＝⎪

⎩⎪⎨⎧≠>--=).

10(1)

1(3)1(3c c c

c c n

n 且

（2）

∞

→n lim

1

122+-+-n n n n a a ＝∞→n lim n

n

n n c c 32321

1+---.

①当c =2时，原式＝－4

1;

②当ｃ＞2

时，原式＝∞→n lim c

c

c n n 3)2(23

)2

(11+⋅---＝－c 1;

③当0＜ｃ＜2

时，原式=∞→n lim

1

1

)2

(32)2(31--⋅+-n n c

c c ＝2

1.

评述:求数列极限时要注意分类讨论思想的应用.

【例3】 已知直线l :x －ny =0（n ∈N *）,圆M :（x +1）2+（y +1）

2

=1,抛物线ϕ:y =（x －1）2,又l 与M 交于点A 、B ，l 与ϕ交于点C 、D ，

求∞→n lim

2

2

||||CD AB .