小学数学中的基本思想(史宁中)ppt.
《基本概念和运算法则——小学数学教学中的核心问题》
《基本概念与运算法则——小学数学教学中的核心问题》的学习笔记放假前，在网上挑选了几本暑假期间要读的书，其中就有这本史宁中教授主编的《基本概念与运算法则——小学数学教学中的核心问题》一书，每读一页都有很多收获，结合《课标》和另外一本关于案例式解读《课标》的书，使得我对“四基”、“四能”、“十大核心概念”等有了更深刻、更具体的认识。
书读过一遍后，感觉还有必要再读一遍并做好笔记，于是就有了下面的摘要。
史宁中教授的思考：（1）课程标准应当规定哪些教学内容，为什么要规定这些内容，这些内容的教育价值是什么？（2）数学的本质是什么，应该如何在教学中体现这些本质？（3）思考数学教育的本质，为了学生一生的发展，在义务教育阶段应当实施一种什么样的数学教育？（4）培养创新型人才的关键是什么，应当通过什么样的教学活动进行培养？基本思想和基本活动经验是一种隐性的东西，恰恰是这种隐性的东西体现了数学素养。
判定数学基本思想的准则：（1）数学的产生和发展所必须依赖的那些思想；（2）学习过数学的人和没有学习过数学的人的思维差异。
数学基本思想：抽象、推理、模型。
基础知识主要指概念和法则的记忆，基本技能主要是计算和证明的能力。
对教师的更高要求：除了“双基”之外，（1）还要求教师能够把握教学内容的数学实质，并且能够设计出符合学生认知规律的教学过程让学生感悟这些实质；（2）引发学生思考问题，并且帮助学生养成良好的独立思考的习惯；（3）引导学生能够正确的思维与实践，并且帮助学生积累思维的和实践的经验。
数是对数量的抽象，因此在认识数之前，首先要认识数量。
数学的本质：在认识数量的同时认识数量之间的关系，在认识数的同时认识数之间的关系。
分数：虽然可以把分数看作除法运算，但分数更重要的还是数，分数本身是数而不是运算，人们用这种数表示自然数之间的两种重要关系：一种是整体与等分的关系，一种是整数的比例关系。
数量是对现实生活中事物量的抽象。
例如：一粒米、两条鱼、三只鸡、四个蛋等。
史宁中漫谈数学的基本思想
史宁中漫谈数学的基本思想史宁中，国务院学科评议组成员，第五届国家级教学名师，中国教育学会副会长，教育部第五届科技委数理学部委员，原东北师范大学校长数学思想是数学文化的核心，因为数学文化是数学的形态表现，可以包括：数学形式、数学历史、数学思想。
其中思想是本质的，没有思想就没有文化。
一、数学思想是什么数学思想需要满足两个条件：一是数学产生、发展过程中所必须依赖的那些思想，二是学习过数学的人所具有的思维特征。
可以归纳为三种基本思想：抽象、推理和模型。
通过抽象，把外部世界与数学有关的东西抽象到数学内部，形成数学研究的对象；通过推理，得到数学的命题和计算方法，促进数学内部的发展；通过模型，创造出具有表现力的数学语言，构建了数学与外部世界的桥梁。
二、什么是抽象数学抽象包括：数量与数量关系的抽象，图形与图形关系的抽象。
通过抽象得到数学的基本概念：研究对象的定义，刻画对象之间关系的术语和运算方法。
这是从感性具体上升到理性具体的思维过程，只是第一次抽象。
在此基础可以凭借想象和类比进行第二次抽象，其特点是符号化，得到那些并非直接来源于现实的数学概念和运算方法。
数量与数量关系的抽象。
数学把数量抽象成数；数量关系的本质是多与少，抽象到数学内部就是数的大小。
由大小关系派生出自然数的加法。
数的四则运算，都是基于加法的。
数学还有一种运算，就是极限运算，这涉及到数学的第二次抽象，微积分的运算基础是极限。
为了合理解释极限，1821年柯西给出了-语言，开始了现代数学的特征：研究对象的符号化，证明过程的形式化，逻辑推理的公理化。
数学的第二次抽象就是为这些特征服务的。
图形与图形关系的抽象。
欧几里得最初抽象出点、线、面这些几何学的研究对象是有物理属性的，随着几何学研究的深入，特别是非欧几何学的出现，人们需要重新审视传统的欧几里得几何学。
1898年希尔伯特给出了符号化的定义，基于五组公理，实现了几何研究的公理体系。
这些公理体系的建立，完成了数学的第二次抽象。
小学数学从“双基”发展为“四基”
论小学数学从“双基”发展为“四基”摘要：“双基”是中国土生土长的具有中国特色的教育，有着悠久的历史。
但是从21世纪开始，“双基”教学在发展过程中被异化，在素质教育的呼声下，“四基”教育应运而生，日渐丰富并发展起来。
“四基”的出现是对“双基”教育传统的继承、发展与创新，它的提出为小学数学教师的教学指明了方向。
关键词：“双基”“四基”小学数学教学基本思想基本活动经验一、“双基”产生的背景一般认为“双基”是指数学学科的基础知识和基本技能。
“双基”教学植根于中国教育的优良传统，有着悠久的历史。
远在2200年前，春秋战国时期的《论语》中说过，“学而时习之，不亦乐乎”，“温故而知新”。
这些就已经渗透着“双基”的复习策略了，即“熟能生巧”。
“熟能生巧”已经成了中国的教育格言，成为中华民族的一部分，但是此时的“双基”思想还没有形成理论框架。
直到新中国的成立，“双基”的理论框架才逐渐清晰起来。
一般认为“双基”教学萌芽于50年代，形成于60年代，发展于80年代，成熟于90年代。
[1]例如，1952年教育部颁发的《小学算术教学大纲（草案）》和《小学珠算教学大纲（草案）》任务之一是保证儿童自觉地及巩固地掌握算术知识和直观几何知识，并使他们获得实际运用这些知识的技能。
这是在教学大纲中第一次提出关于小学数学“双基”的教学任务。
到了六十年代，原来的草案在实施中存在很大的问题，于是教育部在1963年颁布了《全日制小学算术教学大纲（草案）》，大纲规定数学的教学目的是加强基础知识和指明三大能力。
一般认为这是数学“双基”的开端。
在经历了十年动乱之后，国家于1986年颁布了《全日制小学数学教学大纲》，大纲进一步明确了基础知识和发展智力、培养能力的重要性，可见“双基”的内涵在不断拓展。
再经过历时六年的修订，1992年国家颁布了《九年义务教育全日制小学数学教学大纲（试用）》，大纲在原来的知识和能力的基础上对思想品德的教育进行了进一步的明确。
史宁中教授把握数学的思想和本质PPT课件
（猜想） → ？ = 12 = 4 ÷ 1/3 12 = 4 × 3
（验证） → 4 ÷ a/b = 4 × b/a
（证明） ？× 1/3 = 4 ？× 1/3 × 3 = 4 × 3 ？= 4 × 3
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二、在一个房间里有四条腿的椅子和三条腿的凳子共16个，如果 椅子腿与凳子腿加起来共有60个，有几个椅子和几个凳子？
“双基” → “四基”
基础知识、基本技能 + 基本思想、基本经验。
“两能” → “四能” 发现问题、提出问题 + 分析问题、解决问题。
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讲课的例子
一、有鹅4只，是鸭子的1/3，问有几只鸭子？ 教学目的：4 ÷ 1/3 = 4 × 3 = 12。 除法是乘法的逆运算： ？ × 1/3 = 4 → ？ = 4 ÷ 1/3 3只鸭子 ：1只鹅 (破解1/3的含义) 6只鸭子 ：2只鹅 (推广1/3的含义) …… ？只鸭子 ：4只鹅 (最后到结论)
演绎推理的主要功能在于验证结论，而不在于发现结论。
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过去的教育重视的是演绎： 基础知识（概念记忆与命题理解）扎实； 基本技能（证明技能与运算技能）熟练。 绵延千年的科举。重视基本功：知识记忆； 重视操作技能：熟能生巧。
还缺少什么？ 根据情况“预测结果”的能力； 根据结果“探究成因”的能力。
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素质教育1 ：建立大教育的观念是素质教育的核心
学科外的活动要注意教育价值(30%) ◆开朗的性格。
◆与他人合作的能力、语言表达能力、组织能力。 ◆对于生活的观察与思考。
学科内的教学要注意全面培养(70%) ◆ 学习的兴趣。 ◆ 良好的学习的习惯。
◆ 良好的身心素质。
小学数学基本思想
《课标》把“双基”改变“四基”，即改为关于数学的：基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。
“基本思想”主要是指演绎和归纳，这理应是整个数学教学的主线，是最上位的思想。
演绎和归纳不是矛盾的，其教学也不是矛盾的，通过归纳来预测结果，然后通过演绎来验证结果。
在具体的问题中，会涉及到数学抽象、数学模型、等量替换、数形结合等数学思想，但最上位的思想还是演绎和归纳。
之所以用“基本思想”而不用基本思想方法，就是要与换元法、递归法、配方法等具体的数学方法区别。
每一个具体的方法可能是重要的，但它们是个案，不具有一般性。
作为一种思想来掌握是不必要的，经过一段时间，学生很可能就忘却了。
这里所说的思想，是大的思想，是希望学生领会之后能够终生受益的那种思想方法。
史宁中教授认为：演绎推理的主要功能在于验证结论，而不在于发现结论。
我们缺少的是根据情况“预测结果”的水平；根据结果“探究成因”的水平。
而这正是归纳推理的水平。
就方法来说，归纳推理十分庞杂，枚举法、归纳法、类比法、统计推断、因果分析，以及观察实验、比较分类、综合分析等均可被包容。
与演绎推理相反，归纳推理是一种“从特殊到一般的推理”。
借助归纳推理能够培养学生“预测结果”和“探究成因”的水平，是演绎推理不可比拟的。
从方法论的角度考虑，“双基教育”缺少归纳水平的培养，对学生未来走向社会不利，对培养创新性人才不利。
所谓的数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质理解，是从某些具体数学理解过程中提炼出的一些观点，它揭示了数学发展中普遍的规律，它直接支配着数学的实践活动，这是对数学规律的理性理解。
所谓的数学方法，就是解决数学问题的方法，即解决数学具体问题时所采用的方式、途径和手段，也能够说是解决数学问题的策略。
数学思想是宏观的，它更具有普遍的指导意义。
而数学方法是微观的，它是解决数学问题的直接具体的手段。
一般来说，前者给出理解决问题的方向，后者给出理解决问题的策略。
但因为小学数学内容比较简单，知识最为基础，所以隐藏的思想和方法很难截然分开，更多的反映在联系方面，其本质往往是一致的。
小学数学基本思想 第一部分 数学抽象思想
3.数学思想和方法有助于培养学生的能力 完善认知结构 指导学习迁移 促进思维发展
培养数学思想和 方法的三个阶段
多次Hale Waihona Puke 育初步形成应用发展
大量渗透，使学 生积累起足够的 感性体验
“正面突破”，使 学生明白其含义， 掌握程序
创造应用 的机会
近些年，在小学数学教学中，采用这样的教学形式，让学 生合作交流、实验探索的过程感悟数学思想方法的教学活 动越来越多。 教育部1992年颁布的《九年义务教育全日 制初级中学数学教学大纲（试用修订版）》首次明确提出 数学思想和方法是数学知识的组成部分。《义务教育数学 课程标准（2011年版）》关于课程的总目标指出，通过义 务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会和进一步发 展所必需的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经 验。学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。
2020/6/2
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那么什么是数学的基本思想？小学数学课程中如何体现数学的 基本思想？
二、基本数学思想概述 思考：数学的发展包含哪些过程？ 事实上，数学的发展并不是数学概念、定理、公式、法则在 数量上的简单积累，而是一个复杂的过程。如下图：
图1 数学发展的过程
数学基本思想是指这一过程中，起着核心作用的思想方法。 数学基本思想和方法经常出现三个相关的概念：“数学方法” 、“数学思想”和“数学思想方法”，三者之间存在密切的联系 ，但又有所区别。 1.数学方法 通常是指解决数学问题是所采用的方法途径手段和策略，一般 是从解决具体数学问题角度来认识。从不同的视角来看，存在着 一些差异。如教师所指的数学方法一般是解题方法，这些解题的 具体方法或技巧大多属于数学技能层面，数学家所指的数学思想 方法数学方法则更侧重于数学研究的方法。。
“小学数学基本思想”解读
“小学数学基本思想”解读刘玉和《数学课程标准》（2011版）在总体目标中明确指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必须的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验……”把“基本思想”作为“四基”之一，这就明确了数学思想在数学教学中的重要地位。
那么，什么是数学基本思想？数学“基本思想”蕴涵在教材的哪些内容之中？教学中怎样帮助学生获得“基本思想”呢？一、什么是数学基本思想？数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。
数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识；基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想，它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地发展着的。
通过数学思想的培养，数学的能力才会有一个大幅度的提高。
掌握数学思想，就是掌握数学的精髓。
史宁中教授指出：基本数学思想不应当是个案的，而必须是一般的。
这大概需要满足两个条件：一是数学产生以及数学发展过程中所必须依赖的那些思想。
二是学习过数学的人所具有的思维特征。
这些特征表现在日常的生活之中。
这就可以归纳为三种基本思想，即抽象、推理和模型。
通过抽象，人们把外部世界与数学有关的东西抽象到数学内部，形成数学研究的对象，其思维特征是抽象能力强；通过推理，人们得到数学的命题和计算方法，促进数学内部的发展，其思维特征是逻辑能力强；通过模型，人们创造出具有表现力的数学语言，构建了数学与外部世界的桥梁，其思维特征是应用能力强。
1、什么是抽象抽象是在思维中抛开对象的非特有、非本质属性，从中抽取对象的特有属性或本质属性的方法。
数学中抽象主要包括两方面的内容：数量与数量关系的抽象，图形与图形关系的抽象。
通过抽象得到数学的基本概念，这些基本概念包括：数学研究对象的定义、刻画对象之间关系的术语和符号以及刻画对象之间关系的运算方法。
小学数学中的基本思想史宁中
报告目录
一、数学的根本思想 二、小学数学中的抽象 三、小学数学中的推理 四、小学数学中的模型
一、数学的根本思想
1、课程目标：由双基到四基、从两能到四能 实现教育理念的转变
过去的教育理念：以知识为本 教学大纲
关心问题是： 应当教那些内容；应当教到什么程度
考核内容是： 规定的内容是否教了；学生的掌握是否到达要求 教学目标是： 根底知识〔概念记忆与命题理解〕扎实〔记忆〕 根本技能〔证明技能与运算技能〕熟练〔训练〕 教学形式是： 课堂、教材、教师〔凯洛夫的三中心论〕
比方几何概念 对应：称这样的图形为直线段、角 述说：角是由两条端点重合的射线所形成的图形
数的符号表达：简洁、关键是把握问题的本质 〔根本概念与运算法那么：小学数学教学中的核心问
题 高等教育出版社，2021年〕
读数的关键：十个符号 + 数位 如何读 2002
符号 0 很重要： 1 ～ 10 → 1 ～ 9 → 0 和 10 相反数： a + b = 0，b 为相反数，表示为 -a
直接推理：对命题的直接判断 一般推理：一个命题判断到另一个命题判断的思维过程
逻辑推理：命题的内涵之间存在一条主线、具有传递性。 A → P，x ∈ A， x → P。 x → P，x ∈ A， A → P。
前者：凡人都有死。苏格拉底是人。/ 苏格拉底有死。 后者：苏格拉底是人，苏格拉底有死。
柏拉图是人，柏拉图有死。/ 凡人都有死。 非逻辑推理：命题的内涵之间不存在一条主线、无传递性。
得到数学的根本特征： 一般性〔抽象〕、严谨性〔逻辑〕、应用的广泛性〔模型〕
二、小学数学中的抽象
数学思想：抽象、推理、模型〔不是知识，不靠讲解靠感悟〕
数学--史宁中--数学核心素养与小学数学教学
判断数学“基本思想”的准则： 数学的产生和发展所必须依赖的思想 学习过数学的人应当具有的基本思维特征 抽象、推理、模型 → 核心素养初见倪端
Key Laboratory of Applied Statistics of MOE Northeast Normal University
Key Laboratory of Applied Statistics of MOE Northeast Normal University
日常生活看到的图形都是三维的，点、线、面是抽象的结果。 什么是对称图形？什么是面积？
Key Laboratory of Applied Statistics of MOE Northeast Normal University
三、数与代数教学中的抽象素养
基于核心素养的教学（超出具体教学内容的教学目标、内容、原则） 小学数学教学目标 会用数学的眼光看；会用数学的思维想；会用数学的语言说。 小学数学教学内容 得到研究对象 研究对象的性质；研究对象之间的关系；研究对象的变化规律。 小学数学教学原则 充分考虑小学生的认知特征：真实情境、真实问题（荷叶上的青蛙）； 充分考虑小学生的认知过程：重在启发、循序渐进。
Key Laboratory of Applied Statistics of MOE Northeast Normal University
一、 数学核心素养提出的背景
教育部成立以北师大为中心的研究小组，研究什么是核心素养 把核心素养定义为：学生应具备的、能够适应终身发展和社会发展需要 的必备品格和关键能力。基于三个方面（文化基础、自主发展、社会参与） 提出六大要素、十八个基本要点（2016年9月13日颁布）。 参照世纪之交（1997-），经济合作与发展组织（OECD）、联合国教科 文组织、欧盟、以及美国等国家提出的有关内容， 可以把核心素养理解为： 后天习得的、与特定情境有关的、通过人的行为所表现出来的、知识能 力和态度（学识特征、能力特征、品质特征），涉及人与社会、人与自己、 人与工具。 问题：什么是数学核心素养？
小学数学课程标准(2011年版)解读
二、第一部分，前言内容作了较大调整
在“前言”部分除修改了对数学的意义与 价值、数学教育的功能、数学课程的基本 理念以及数学课程设计思路的表述外，还 增加了“数学课程的性质”。
1．修改了 “数学”的定义
实验稿： 数学是人们对客观世界定性把握和定量刻
画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并 进行广泛应用的过程。 修订稿（标准P1）： 数学是研究数量关系和空间形式的科学
（8）注意信息技术与课程内容的整合。
注意信息技术与课程内容的整合，注重实效。(标 准P3)
7．重新修订了课程设计思路：
（1）学段划分保持不变；(标准P4) 将九年的学习时间划分为三个学段： 第一学段（1-3年级） 第二学段（4-6年级） 第三学段（7-9年级）
（2）关于课程目标的调整(标准P4)
对课程目标动词及水平要求的设计基本保 持不变，增加了目标动词的同义词；
义务教育阶段数学课程目标分为总目标和 学段目标，从知识技能、数学思考、问题 解决、情感态度等四个方面加以阐述。
数学课程目标包括结果目标和过程目标。 结果目标使用“了解、理解、掌握、运用” 等行为动词表述，过程目标使用“经历、 体验、探索”等行为动词表。
2．修改了数学观
实验稿： 数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具。 数学为其他科学提供了语言、思想和方法； 数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法
和语言是现代文明的重要组成部分。 数学在提高人的推理能力、抽象能力、想象力和
创造力等方面有着独特的作用；
修订稿（标准P1）： 数学更加广泛应用于社会生产和日常生活
实验稿：
“符号感”主要表现在：能从具体情境中抽象出 数量关系和变化规律，并用符号来表示；理解符 号所代表的数量关系和变化规律；会进行符号间 的转换；能选择适当的程序和方法解决用符号所 表达的问题。”
漫谈数学基本思想史宁中
→ 实现了数学的符号化、形式化、公理化。
形式化与直观的矛盾 \数学是创造\
\直观认为\ 集合测度至少要满足下面四个条件：令Ω是由实数 集合构成的类，m是类中的集合测度，那么
1 零测度。空集的测度为零，即m(O)=0。 2 单调性。对于Ω中的两个集合A和B，如果B⊆A，那么 m(B)≦m(A)。 3 可列可加性。对于Ω中的两个集合A和B，如果A∩B=O，那么 m(A∪B)=m(A)+m(B)，对可数个不交集合成立。 4 平移不变性。对于给定的实数c，令B(c,A)表示集合A对于c的平 移变换，则这两个集合的测度相等，即 B≡B(c,A)={b=c宁中
东北师范大学，长春，130024
一、数学思想与数学文化 文化是生活的形态表现，文明是生活的物质表现。 数学文化是数学的形态表现：形式、历史、思想。 思想是本质的，无思想则无文化。 《数学课标》：双基→四基、两能→四能
基础知识、基本技能 + 基本思想、基本活动经验
分析问题、解决问题 + 发现问题、提出问题
1872年，康托基本序列：满足柯西准则的有理数列。 \解决实数的运算\ 假定有理数列 an → √a, bn → √b 。
根据极限的性质有
an2 → a, bn2 → b，an2·bn2 → a·b 则有理数列{an2·bn2 } ≡ {(an·bn)2 }确定实数a·b
所以有理数列{an·bn}确定实数 √a·b，即
大学的数学教学也要关注培养学生的
思维方法：创新的根本。
思维方法的教育：数学思想 + 思维经验。 数学思想方法是什么？通常认为的数学思想方法： 等量替换、数形结合、分类、递归、转换； 配方法、换元法、加强不等式。
二、数学的基本思想
小学数学新课程标准解读ppt课件
间和空间经历观察、实验、猜测、计算、
推理、验证等活动过程。
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注重启发式:
教师教学应该以学生的认知发展水平
和已有的经验为基础，面向全体学生，注
重启发式和因材施教。
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教师要发挥主导作用，处理好讲授与
学生自主学习的关系，引导学生独立思考、
主动探索、合作交流，使学生理解和掌握
基本的数学知识与技能、数学思想和方法，
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课标修改稿：
● 数学是研究数量关系和空间形式的科学。 ● 数学作为对于客观现象抽象概括而逐渐形成的科学
语言与工具 …… ● 数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代
社会每一个公民应该具备的基本素养。 ● 要发挥数学在培养人的理性思维和创新能力方面的
不可替代的作用 树立正确的数学教学观：教学活动是师生积极参与、
交往互动、共同发展的过程。有效的教学活动是学生 学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习 的组织者、引导者与合作者。
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数学教学中最需要考虑的是什么？
数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生 积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生 的创造性思维；要注重培养学生良好的数 学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习 方法。
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4.“双基”变“四基”
“双基”：基础知识、基本技能； “四基”：基础知识、基本技能、基本思想、
基本活动经验 “四基”与数学素养： ● 掌握数学基础知识 ● 训练数学基本技能 ● 领悟数学基本思想 ● 积累数学基本活动经验
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《国家数学课程标准》制定组组长、东北师大 校长史宁中教授提出了“数学教学的四基”， 引起了数学教育界的广泛关注。以前强调的双 基是指基础知识、基本技能，双基教学重视基 础知识、基本技能的传授，讲究精讲多练，主 张‘练中学’，相信‘熟能生巧’，追求基础 知识的记忆和掌握、基本技能的操演和熟练， 以使学生获得扎实的基础知识、熟练的基本技 能和较高的学科能力为其主要的教学目标。现 在提出的四基不但包括了基础知识、基本技能、 还增加了基本思想、基本活动经验。
小学数学中的基本思想(史宁中)ppt.29页PPT
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 பைடு நூலகம்融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
Thank you
小学数学中的基本思想(史宁 中)ppt.
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
《基本概念与运算法则》史宁中
小学数学教学中的若干问题史宁中东北师范大学数学与统计学院目录前言第一部分数的认识问题1数量是什么？数量关系的本质是什么？数量是对现实生活中事物量的抽象 / 数量关系的本质是多与少问题2如何认识自然数？数是对数量的抽象/ 数关系是对数量关系的抽象：大与小 / 可以有两种方法实现这种抽象：对应的方法和定义的方法问题3表示自然数的关键是什么？十个符号和数位 / 数位法则是依次相差十倍 / 自然数集合问题4如何认识自然数的性质？依据性质可以对自然数进行分类 / 奇数与偶数 / 素数与合数问题5如何认识负数？负整数是与自然数数量相等意义相反的数 / 绝对值表示数量问题6如何认识分数？分数本身是数而不是运算 / 整体与等分关系/ 整比例关系问题7如何认识小数？对应的方法 / 重新理解十进制 / 基底与线性组合 / 表示有理数与无理数问题8什么是数感？数与现实的联系 / 抽象的核心是舍去现实背景 / 联系的核心是回归现实背景第二部分数的运算问题9如何解释自然数的加法运算？可以有两种方法解释加法：对应的方法和定义的方法 / 如何体现数学思想问题10为什么说减法是加法的逆运算？四则运算源于加法 / 减法是加法的逆运算 / 相反数/ 整数集合问题11 乘法是加法的简便运算吗？自然数集合上的乘法 / 乘法运算的性质 / 整数集合上的乘法不是加法的简便运算问题12整数集合上的乘法是如何得到的？整数集合上的乘法运算是一种推广 / 为什么负负为正 / 运算与算理等价问题13为什么说除法是乘法的逆运算？如何表示除法 / 得到的商是一个整数 / 得到的商不是整数 / 倒数 / 有理数集合问题14 为什么混合运算要先乘除后加减？运算次序的两个基本法则 / 所有混合运算都是在讲述两个以上的故事问题15 为什么要学习估算？精算有利于培养抽象能力 / 估算有利于培养直观能力 / 估算问题要有合适的实际背景：合适的量纲 / 大多数的估算问题是为了得到上界或者下界问题16 什么是符号意识？用字母表示数 / 代数学的开始 / 两类符号：概念符号和关系符号 / 基于符号的运算/符号的表达具有一般性问题17 方程的本质是什么？用字母表示未知的量 / 讲述的是现实世界中的两个故事 / 两个故事的共同点 / 要用等式的性质解方程问题18什么是模型？小学数学中有哪些模型？用数学的语言讲述现实世界中一类与数量有关的故事 / 总量模型 / 路程模型 /植树模型 / 工程模型问题19发现问题和提出问题有什么不同？从双基到四基 / 发现问题与创新意识 / 提出问题与创新能力第三部分图形与几何问题20为什么要把“空间与图形”修改为“图形与几何”？时间和空间是人类认识世界最为基本的概念 / 几何学是研究如何构建空间度量方法的学科 / 欧几里得几何是平直的 / 欧几里得几何的核心是直线距离问题21如何理解点、线、面、体、角？看到的物体都是立体的 / 点、线、面、体、角是从立体图形中抽象出来的概念 / 如何用描述的方法给出几何概念问题22认识图形的教育价值是什么？更重要的是让学生学会分类 / 制定标准和遵循标准 / 培养学生的抽象能力问题23如何理解长度、面积、体积？长度是一维空间图形的度量 / 面积是二维空间图形的度量/ 体积是三维空间图形的度量 / 度量的基础是直线距离问题24如何理解平移、旋转、轴对称？图形的运动 / 保持两点间直线距离不变：刚体运动 / 运动的参照物问题25如何理解空间观念和几何直观？空间观念的本质是空间想象力 / 直观是对事物的直接判断因此是经验层面的 / 直观能力的养成依赖本人参与其中的思维活动 / 几何直观不限于几何甚至不限于数学第四部分统计与概率问题26：为什么要强调数据分析观念？统计学研究的基础是数据 / 描述数据分析/ 推断数据分析 / 通过样本推断总体问题27：三种统计图之间有什么共性和差异？直观地表述数据是三种统计图的共性 / 条形统计图表述数量的多少 / 扇形统计图表述数量的比例 / 折线统计图表述数量的变化问题28：如何理解数据的随机性？随机性与不确定性有所区别 / 减少系统误差/ 减少人为因素 / 估计是统计推断的重要手段 / 最大似然估计/ 通过样本频率估计概率问题29：平均数的意义是什么？样本平均数不仅是一个算式 / 误差模型 / 误差的随机性：正负抵消和为零 / 样本平均数是随机的 / 样本平均数是无偏估计问题30：什么是概率？如何得到概率？概率是随机事件发生的属性 / 概率是未知的/ 估计概率 / 定义概率 / 定义概率是一种度量 / 古典概率模型附录1 若干与小学数学有关的话题话题1 几种古代的数字符号话题2数量的本质话题3 数量多少的比较话题4十进制的自然数话题5十二进制与六十进制话题6公理体系定义的自然数话题7 借助算术公理体系解释加法运算话题8公理体系的必要性与数学证明的形式话题9 加法运算和减法运算性质的证明话题10 负数的意义话题11 用符号表示分类话题12 素数的故事话题13 有理数与无理数话题14 用反证法证明√2是无理数话题15数学证明的思维过程话题16逻辑推理的思维起点话题17数学归纳法的逻辑基础话题18 用小数定义有理数和无理数话题19乘法的定义话题20 除法运算规定0不能为除数话题21 除数是分数时的除法运算话题22 数学中的符号表达话题23 路程模型：绝对时间和相对时间话题24 几何学的由来话题25 欧几里得《几何原本》话题26 几何基本概念的进一步抽象话题27 长度单位的确定话题28 曹冲称象与浮力话题29 统计学的由来话题30 概率的定义和基于概率模型的估计附录2 相关内容的教学设计问题2“如何认识自然数”的相关教学设计问题3“表示自然数的关键是什么”的相关教学设计问题4“如何认识自然数的性质”的相关教学设计问题5“如何认识负数”的相关教学设计问题6“如何认识分数”的相关教学设计问题7“如何认识小数”的相关教学设计问题8“什么是数感”的相关教学设计问题9“如何解释自然数的加法运算”的相关教学设计问题11“乘法是加法的简便运算吗”的相关教学设计问题13“为什么说除法是乘法的逆运算”相关教学设计问题14“为什么混合运算要先乘除后加减”的相关教学设计问题15“为什么要学习估算”的相关教学设计问题16“什么是符号意识”的相关教学设计问题17“方程的本质是什么”的相关教学设计问题18“小学数学中有哪些模型”的相关教学设计问题21“如何理解点、线、面、体、角”的相关教学设计问题23“如何理解长度、面积、体积”的相关教学设计问题24“如何理解平移、旋转、轴对称”相关教学设计问题27“三种统计图之间有什么共性和差异”相关教学设计问题29“平均数的意义是什么”相关教学设计前言自从1998年担任东北师范大学校长以后，我开始关注基础教育，但关注的是一般性的问题，并没有深入到学科内部。
小学数学综合与实践内容分析讲座ppt课件
5．综合与实践”的教育功 能
“综合与实践”的教育价值在于五个方面：
有助于学生的发展（合作意识、应用意识，创新意 识，模型思想、动手实践能力等）；
有助于学生对数学全面理解；
有助于学生情感态度价值观的形成；
有助于教师的发展；
有助于课程的建设。
换句话说，就是有利于学生的全面发展和教师的专 业发展，以及课程的建设。
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知识 领域
数 与 代数
图形 与 几何
知识点
“数学乐园”中的题目
数数
数的 顺序 数的 组成 基数 意义 序数 意义 比大小 计算
位置
2一共有几个轮子？2家里的电话号码由几个数字组成?5帮 兵兵数一数有几双袜子。6回答小童的问题。. 3，19、18、（）、16616的前一个数是（），后一个数是 （） 1几和几组成8？719是由几个十和几个一组成的。
的知识块。 参与现实、生动、直观的
上 册
82 ~ 83
2、游戏中一 共有23个题 目，包含了 前6个单元所 学的内容。
数学活动，运用以学过的 数学知识和经验解决所遇 到的问题，从而在活动中 获得成功的喜悦，感受数 学与生活的联系，培养合
作和交流能力。
综合知 类 识型
数数、 数的顺 序、 数的组 成、 基数和 游 序数意 戏 义、 型 比大小、 计算、 位置、 认识图 形
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1.为何把 “实践与综合应用”改成“综合与实 践”？
两者从命名上来说没有本质上的变化，都突 出了两点：一个是综合；一个是实践。那么现在 改成了综合与实践，一是从领域的名称上比较对 仗；二是把这部分领域的两个非常重要的特征 （综合性与实践性）更加凸显了。首先强调综合 性，因为我们知道在其他领域中，也有实践活动， 但这里的实践活动往往是需要学生综合应用各数 学知识及其能力、情况、情感等来解决。所以就 把综合放在了前面，改为“综合与实践”。
数形结合思想在小学数学中的运用PPT幻灯片
示意图、 列表、动画等一系列
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三、数形结合思想在小学数学教材中的体现 （ 1 ）数的表示 用直线上的点表示数，可以明确地表示出数
的性质（有始无终，有序性等等）；
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三、数形结合思想在小学数学教材中的体现 （ 1 ）数的表示 用直线上的点表示数，可以明确地表示出数
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一、修订稿与实验稿的区别——基本理念的修订
基本活动经验：
数学活动经验，不仅仅是解题经 验，更多的是数学思维活动的经 验，数学思考习惯的经验。—— 不断积累！
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一、修订稿与实验稿的区别——基本理念的修订
4、关于“两能”到“四能”： 实验稿：
重点是分析问题和解决问题的能力
修改稿： 明确提出： 发现和提出问题能力 分析和解决问题能力
利用基本图形、表格、数轴、方格纸等。在教 学中要有意识的强化对基本图形的运用，不断地 运用这些基本图形去发现、描述问题，理解、记 忆结果，这应该成为教学中关注的目标。
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五、数形结合思想在解题问题中的运用举例
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数形结合运用（一）质数合数 用两个边长为1的正方形，你能用它们拼出一个 长方形吗？你拼的长方形是什么样的？还有不 同的拼法吗？
（ 3 ）解决问题中的形 ※画线段图表示数量关系。
甲比乙多 1/4 （鼓励学生画）
“1”
乙：
甲：
1 4
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三、数形结合思想在小学数学教材中的体现 （ 3 ）解决问题中的形 ※解决问题的直观策略
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三、数形结合思想在小学数学教材中的体现
（ 3 ）统计中的图形 条形统计图直观地反映出数量的多少。 折线统计图形象地表示数量发展的趋势。 扇形统计图鲜明地说明部分数量与整体数量之间的关系。
【VIP专享】《基本概念与运算法则——小学数学教学中的核心问题》
《基本概念与运算法则——小学数学教学中的核心问题》的学习笔记放假前，在网上挑选了几本暑假期间要读的书，其中就有这本史宁中教授主编的《基本概念与运算法则——小学数学教学中的核心问题》一书，每读一页都有很多收获，结合《课标》和另外一本关于案例式解读《课标》的书，使得我对“四基”、“四能”、“十大核心概念”等有了更深刻、更具体的认识。
书读过一遍后，感觉还有必要再读一遍并做好笔记，于是就有了下面的摘要。
史宁中教授的思考：（1）课程标准应当规定哪些教学内容，为什么要规定这些内容，这些内容的教育价值是什么？（2）数学的本质是什么，应该如何在教学中体现这些本质？（3）思考数学教育的本质，为了学生一生的发展，在义务教育阶段应当实施一种什么样的数学教育？（4）培养创新型人才的关键是什么，应当通过什么样的教学活动进行培养？基本思想和基本活动经验是一种隐性的东西，恰恰是这种隐性的东西体现了数学素养。
判定数学基本思想的准则：（1）数学的产生和发展所必须依赖的那些思想；（2）学习过数学的人和没有学习过数学的人的思维差异。
数学基本思想：抽象、推理、模型。
基础知识主要指概念和法则的记忆，基本技能主要是计算和证明的能力。
对教师的更高要求：除了“双基”之外，（1）还要求教师能够把握教学内容的数学实质，并且能够设计出符合学生认知规律的教学过程让学生感悟这些实质；（2）引发学生思考问题，并且帮助学生养成良好的独立思考的习惯；（3）引导学生能够正确的思维与实践，并且帮助学生积累思维的和实践的经验。
数是对数量的抽象，因此在认识数之前，首先要认识数量。
数学的本质：在认识数量的同时认识数量之间的关系，在认识数的同时认识数之间的关系。
分数：虽然可以把分数看作除法运算，但分数更重要的还是数，分数本身是数而不是运算，人们用这种数表示自然数之间的两种重要关系：一种是整体与等分的关系，一种是整数的比例关系。
数量是对现实生活中事物量的抽象。
例如：一粒米、两条鱼、三只鸡、四个蛋等。
数学核心素养ppt课件
二、如何在小学数学教学活动中体现数学核心素养 1.数学抽象（符号意识、数感；几何直观、空间想象） 2.逻辑推理（推理能力、运算能力） 3.数学模型（模型思想、数据分析观念）
中西部农村义2 务教育学校教师国家级远程培训 © 2008 史宁中
中西部农村义2 务教育学校教师国家级远程培训 © 2008 史宁中
开始用对应的方法： 三个苹果、三只鸡 → □□□ ←→ 3 （形式上去掉后缀名词、实质上舍去物理属性）
后天习得的、与特定情境有关的、通过人的行为所表现出来的 知识、能力和态度，涉及人与社会、人与自己、人与工具。
1
高中阶段的数学核心素养 数学抽象、逻辑推理、数学建模 直观想象、数学运算、数据分析
义教阶段的数学核心素养（核心词、核心概念） （数感、符号意识）、推理能力、模型思想 （几何直观、空间想象）、运算能力、数据分析观念
符号表示： b ＞ 0，则 a - (-b) = a + b 证明：令 x = a + b。等式两边加 b 的相反数 -b ，由命题2：
x + (-b) = a + b + (-b) = a 上面等式的两边同时减去(-b)，再由命题2：
x + (-b) – (-b) = a – (-b) 因为同数相减为 0：x = a – (-b)。由命题1：
数学教学活动的关键是启发学生学会数学思考。
中西部农村义2 务教育学校教师国家级远程培训 © 2008 史宁中
启发学生自己的思考，帮助积累活动经验，让学生： 会用数学的眼光观察现实世界、 会用数学的思维思考现实世界、 会用数学的语言表达现实世界。
这是数学教育的终极目标，也是制定数学核心素养的依据。
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抽象的小结
抽象出数学研究的对象：
把外部世界的数量和数量关系、 图形与图形关系引导数学内部。 概念：自然数、负数、点、线、面、体、角 关系：（代数）数的大小关系，（几何）两点决定一条直线 法则：加法 → 减法、乘法、除法 抽象的东西不存在：现实中没有 2，只有具体的两匹马、两头牛
抽象的东西是理念的存在
读数的关键：十个符号 + 数位
如何读 2002 符号 0 很重要： 1 ～ 10 → 1 ～ 9 → 0 和 10 相反数： a + b = 0，b 为相反数，表示为 -a 数位与数不同 数位：个(ones)、十(tens)，“十”是十个“个” “万”是十个“千” 数：10 = 9 + 1
10000 = 9999 + 1
现代的教育理念：以人为本 教育方针：育人为本（纲要）、立德树人（十八大） 课程标准 以学生的发展为本
人的成功依赖：知识技能、把握机遇、思维方法
不仅要记住一些数学的知识、掌握一些数学的技能 还要培养学生数学的基本素养（素质教育） 感悟数学的基本思想，积累基本活动经验 课程目标：基础知识、基本技能 + 基本思想、基本活动经验 分析问题、解决问题 + 发现问题、提出问题 基本活动经验：思维经验、会想问题；实践经验、会做事情
2. 什么是数学的基本思想
数学是研究数量关系和空间形式的科学 研究对象：数量、图形 研究内容：数量性质与关系、图形性质与关系 数学的基本思想：数学的产生与发展必须依赖的思想 学习过数学与没有学习数学的思维差异 抽象、推理、模型 数学教学的责任：会抽象、会推理 、会一般性地思考
通过抽象：现实 → 数学
小学数学中的基本思想
东北师范大学 史宁中 2014. 9
报告目录
一、数学的基本思想
二、小学数学中的抽象
三、小学数学中的推理
四、小学数学中的模型
一、数学的基本思想
1、课程目标：由双基到四基、从两能到四能 实现教育理念的转变 过去的教育理念：以知识为本 教学大纲 关心问题是： 应当教那些内容；应当教到什么程度 考核内容是： 规定的内容是否教了；学生的掌握是否达到要求 教学目标是： 基础知识（概念记忆与命题理解）扎实（记忆） 基本技能（证明技能与运算技能）熟练（训练） 教学形式是： 课堂、教材、教师（凯洛夫的三中心论）
点、线、面的抽象 0 维是点、1 维是线、2 维是面、3 维是体。 日常生活看到的几何图形都是三维的，点线面是抽象的。
角的抽象 角是由两条有公共端点的射线组成的图形。 → 称下面的图形为角。角由两条线段所夹部分组成，这两条 线段的一个端点重合。称这两条线段为角的边，角的大小与 边长无关。 几何作图（画角平分线）的教育价值：培养想象力
两种逻辑推理
演绎推理：命题内涵由大到小。从一般到特殊。 归纳推理：命题内涵由小到大。从特殊到一般。
演绎推理
演绎推理需要前提：公理或者假设。 “数与代数”演绎推理的前提 命题1 等式（不等式）关系具有传递性。 a = b (a ﹥ b），b = c (a ﹥ b） → a = c (a ﹥ c） 命题2 等式（不等式）两边加减相同的量，等式（不等式）不变。 a = b (a ﹥ b） → a + c = b + c (a + c ﹥ b + c） a - c = b - c (a - c ﹥ b - c）
把研究对象、以及对象之间的关系形成概念
从现实世界到数学内部，数学具有一般性 通过推理：数学 → 数学 从假设前提出发，通过推理得到数学的结果 数学内部的发展，数学具有逻辑性 通过模型：数学 → 现实 解决现实世界中的与数量和图形有关的问题 从数学内部到现实世界，数学具有应用性
得到数学的基本特征：
一般性（抽象）、严谨性（逻辑）、应用的广泛性（模型）
逻辑推理：命题的内涵之间存在一条主线、具有传递性。
A → P，x ∈ A， x → P。 x → P，x ∈ A， A → P。 前者：凡人都有死。苏格拉底是人。/ 苏格拉底有死。 后者：苏格拉底是人，苏格拉底有死。 柏拉图是人，柏拉图有死。/ 凡人都有死。 非逻辑推理：命题的内涵之间不存在一条主线、无传递性。 苹果是酸的，酸是一种味道，的方法，以后用述说方法 比如数的认识 对应：负数 量相等、意义相反 不能用数轴解释、最好不用减法或相反数解释 述说：如何认识 10000、比 9999 多 1 比如几何概念 对应：称这样的图形为直线段、角 述说：角是由两条端点重合的射线所形成的图形
数的符号表达：简洁、关键是把握问题的本质 （基本概念与运算法则：小学数学教学中的核心问题 高等教育出版社，2013年）
二、小学数学中的抽象
数学思想：抽象、推理、模型（不是知识，不靠讲解靠感悟）
教学要点：创设情境，让学生感悟。 感悟什么？如何感悟？ 数是数量的抽象，数量是对现实生活中量的表达。 同时抽象出关系：数量关系的本质是多与少 数关系的本质是大与小。
抽象有两种方法：对应起名（外延）、述说定义（内涵） 对应：三个苹果、三只鸡 → □□□ ←→ 3 （去掉物理属性） 述说：一个一个多起来（后继数）： 1 = 0 + 1，2 = 1 + 1，3 = 2 + 1，4 = 3 + 1，…
数的运算 与数的抽象一样，有两种方法表示加法：对应、定义。 3 + 1 = 4 ？ 4 = 3 + 1 → 3 + 1 = 4 对应： □□□ □□□□ □□□←□ □□□□ → 3 + 1 = 4 定义：□□□←□
哪边多 哪边多？
理解等号的意义：等号两边讲两个故事， 这两个故事量相等 （方程：含有未知数的等式？）
演绎推理
郑板桥：我画的不是我眼中之竹，而是我心中之竹。
三、小学数学中的推理
推理：数学内部的发展依赖的是逻辑推理 数学的结论都是命题 数学命题：可供正确或者错误判断的陈述 可供判断，下面陈述不是数学命题 这个三角形是美的 仅供判断，下面两个陈述都是数学命题 三角形内角和180度 三角形内角和120度 直接推理：对命题的直接判断 一般推理：一个命题判断到另一个命题判断的思维过程