2016行程问题多次相遇问题

课题多次相遇问题年级五年级（奥数）授课对象编写人时间

学习目标学会画图解行程题，掌握多次相遇问题两个物体之间的关系。区分两地同向出发和同地同向出发的区别。多次相遇问题解题的关键：几个全程

学习重点

难点

多次相遇或追击中物体之间的关系分析是难点

教学过程

T (测试)1.王新从教室去图书馆还书，如果每分钟走70米，能在图书馆闭馆前2分钟到达，如果每分钟走50米，就要超过闭馆时间2分钟，求教室到图书馆的路程有多远？

2.小红和小强同时从家里出发相向而行。小红每分钟走52米，小强每分钟走70米，二人在途中的A处相遇。若小红提前4分钟出发，但速度不变，小强每分钟走90米，则两人仍在A处相遇。小红和小强的家相距多远?

3.龟、兔进行1000米的赛跑．小兔斜眼瞅瞅乌龟，心想：“我小兔每分钟能跑100米，而你乌龟每分钟只能跑10米，哪是我的对手．”比赛开始后，当小兔跑到全程的一半时，发现把乌龟甩得老远，便毫不介意地躺在旁边睡着了．当乌龟跑到距终点还有40米时，小兔醒了，拔腿就跑．请同学们解答两个问题：它们谁胜利了？为什么？

4.上一次龟兔赛跑兔子输得很不服气，于是向乌龟再次下战书，比赛之前，为了表示它的大度，它让乌龟先跑10分钟，但是兔子不知道乌龟经过锻炼，速度已经提高到5倍，那么这一次谁将获得胜利呢？

专题解析：

S (归纳)由简单行程问题拓展出的多次相遇问题

所有行程问题都是围绕“=⨯

路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，结合画行程图逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解。

如果甲乙从A，B两点出发，甲乙第n次迎面相遇时，路程和为全长的2n-1倍，而此时甲走的路程也是第一次相遇时甲走的路程的2n-1倍（乙也是如此）。

掌握多次相遇追及的解题关键：几个全程

E (典例)【例题1】甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？

注：环型行程的多次相遇：要点

第一是：两人同地背向运动，从第一次相遇到下一次相遇共行一个全程；第二是：同地、同向运动时，甲追上乙时，甲比乙多行1全程。

【解析】

【例题2】甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A 地95千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇．求A、B两地间的距离是多少千米？

【思路导航】画线段示意图(实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线)运用倍比关系解多次相遇问题

【例题3】甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而

行，他们第一次相遇地点离A地6千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地4千米处第二次相遇，求两人第5次相遇地点距B 多远？

【解】

【例题4】小明和小红两人在长100米的直线跑道上来回跑步，做体能训练，小明的速度为6米/秒，小红的速度为4米/秒．他们同时从跑道两端出发，连续跑了12分钟．在这段时间内，他们迎面相遇了多少次？

【解】

【例题5】甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，乙的速度是，二人相遇后继续行进，甲到B地、乙到A地后立即返回．已知两甲的2

3

人第二次相遇的地点距第三次相遇的地点是100千米，那么，A、B两地相距千米．

【思路导航】由于甲、乙的速度比是3:2，所以在相同的时间内，两人所走的路程之比也是3:2．第一次相遇时，两人共走了一个AB的长，所以可以把AB的长看作5份，甲、乙分别走了3份和2份；第二次相遇时，甲、乙共走了三个AB，乙走了236

⨯=份；第三次相遇时，甲、乙共走了五个AB，乙走了2510

⨯=份．乙第二次和第三次相距10－6=4（份）所以一份距离为：100÷4=25（千米），那么A、B两地距离为：5×25＝125（千米）

P 【巩固1】

(练习) 1.甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米．如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇

几次？

注：

时间段甲乙路程和从两端出发到第1次相遇即为总路程S

从第1次相遇到第2次相遇 2倍总路程：2S

从第2次相遇到第3次相遇 2倍总路程：2S

…………

时间段甲乙路程和从两端出发到第1次相遇 S

从两端出发到第2次相遇 3S

从两端出发到第3次相遇 5S

从两端出发到第4次相遇 7S

…………

如果甲乙从A，B两点出发，甲乙第n次迎面相遇时，路程和为全长的

2n-1倍，而此时甲走的路程也是第一次相遇时甲走的路程的2n-1倍（乙

也是如此）。

两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程；

第2次相遇，共走3个全程；

第3次相遇，共走5个全程；

…………，………………；

第N次相遇，共走2N-1个全程；

注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。即甲第1次如果

走了N米，以后每次都走2N米。

2. 甲、乙两人从400米的环形跑道上一点A背向同时出发，8分钟后两

人第五次相遇，已知每秒钟甲比乙多走0.1米，那么两人第五次相遇的地点与点A沿跑道上的最短路程是多少米?

【巩固2】

1.甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地4千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离。

2. 甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地18千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地13千米处第二次相遇，求AB两地之间的距离.

【巩固3】

1.甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地3千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地2千米处第二次相遇，求第2000次相遇地点与第2001次相遇地点之间的距离.

2. 甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他