中学生标准学术能力诊断性测试2020年3月测试(理科数学)

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2020届中学生标准学术能力诊断性测试文理文科数学(一卷)试卷THUSSAT3月测试

上单调递减
B．在区间
−
π 6
,
π 3

上单调递增
C．在区间
−
π 3
,
π 6

上单调递减
D．在区间
−
π 3
,
π 6

上单调递增
10．已知正四面体 ABCD ，点 E 为棱 AD 的中点，O 为△ BCD的中心，则异面直线 EO 与 CD 所成的角等于（）
A． 30
A． 3 3
B． 2
( ) C． 3 +1
D． 3
4．下列函数中，周期是的奇函数为（ 2
A．
y
=
sin

2x
+
π 3

）
B．
y
=
cos

3 2
π
−
4x

C．
y
=
sin

4x
−
2

D． y = tan x
5．如右图所示，已知 BA = a ， BC = b ， DC = 3BD ， AE = 2EC ，则 DE =（）
（
t
为参数），曲线
C
的参数方程为

x y
= =
3cos 2 sin
（
为参
数）．
（1）写出直线 l 与曲线 C 的普通方程；（2）过曲线 C 上任意一点 A 作与 l 夹角为的直线，交直线 l 于点 B ，若 tan = 1 ，求| AB | 的最大值和最
2
小值．
23．[选修 4-5：不等式选讲] （10 分）
4 14. 23 15. x − y −1 = 0

2020年高三数学中学生标准学术能力诊断性测试(1月)试题理

2020年高三数学中学生标准学术能力诊断性测试（1月）试题理本试卷共150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若集合A ＝{x|－1<x<2}，B ＝{－2，0，1，2}，则A ∩B ＝A.ΦB.{0，1}C.{0，1，2}D.{－2，0，1，2}2.若(2＋i)z ＝5，则z 的虚部为A.－1B.1C.－iD.i3.已知双曲线2221(0)2x y b b-=>的两条渐近线互相垂直，则b ＝ A.1 B.2 C.3 D.24.由两个圆柱组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.3πB.2π C.π D.2π 5.函数f(x)＝(x 2－2x)e x 的图象可能是6.已知关于x 的不等式ax 2－2x ＋3a<0在(0，2]上有解，则实数a 的取值范围是 A.3,3⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭ B.4,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C.33⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭D.4,7⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 7.已知a ，b 为实数，则0<b<a<1是log a b>log b a 的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.已知随机变量ξ，η的分布列如下表所示。

则A.,E E D D ξηξη<<B.,E E D D ξηξη<>C.,E E D D ξηξη<=D.,E E D D ξηξη==9.在△ABC 中，若2AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则AB BC =u u u r u u u r A.1 B.22 C.3 D.6 10.在矩形ABCD 中，已知AB ＝3，AD ＝4，E 是边BC 上的点，EC ＝1，EF//CD ，将平面EFDC 绕EF 旋转90°后记为平面α，直线AB 绕AE 旋转一周，则旋转过程中直线AB 与平面α相交形成的点的轨迹是A.圆B.双曲线C.椭圆D.抛物线11.已知函数f(x)＝(lnx －1)(x －2)i－m(i ＝1，2)，e 是自然对数的底数，存在m ∈RA.当i ＝1时，f(x)零点个数可能有3个B.当i ＝1时，f(x)零点个数可能有4个C.当i ＝2时，f(x)零点个数可能有3个D.当i ＝2时，f(x)零点个数可能有4个12.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n (2S n －a n )＝1，则下列结论中①数列{S n 2}是等差数列； ②2n a n < ③a n a n ＋1<1 A.仅有①②正确 B.仅有①③正确 C.仅有②③正确 D.①②③均正确二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届高三第三次诊断性检测数学(理)试题(解析版)

数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3≤0}，集合A＝{0，1，2}，则∁U A＝（）(A){﹣1，3} (B){﹣1，0} (C){0，3} (D){﹣1，0，3} 2．复数z＝（2+i）（1+i）的共轭复数为（）(A)3﹣3i(B)3+3i(C)1+3i(D)1﹣3i3．已知函数f（x）＝x3+a sin x，a∈R．若f（﹣1）＝2，则f（1）的值等于（）(A)2 (B)﹣2 (C)1+a(D)1﹣a4．如图，在正方体ABCD﹣A1B l C1D1中，已知E，F，G分别是线段A1C1上的点，且A1E ＝EF＝FG＝GC1．则下列直线与平面A1BD平行的是（）(A)CE(B)CF(C)CG(D)CC15．已知实数x，y满足，则z＝2x+y的最大值为（）(A)1 (B)2 (C)3 (D)46．若非零实数a，b满足2a＝3b，则下列式子一定正确的是（）(A)b＞a(B)b＜a(C)|b|＜|a| (D)|b|＞|a|7．已知sin（），则sinα的值等于（）(A)(B)(C)(D)8．执行如图所示的程序框图，则输出的n的值为（）(A)1 (B)2 (C)3 (D)49．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，﹣2），N（l，0）．若动点M满足，则的取值范围是（）(A)[0，2] (B)[0，2] (C)[﹣2，2] (D)[﹣2，2] 10．“幻方’’最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“n阶幻方（n≥3，n∈N*）”是由前，n2个正整数组成的﹣个n阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如表所示）．则“5阶幻方”的幻和为（）(A)75 (B)65 (C)55 (D)4511．已知双曲线C1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，抛物线y2＝2px （p＞0）与双曲线C有相同的焦点．设P为抛物线与双曲线C的一个交点，cos∠PF1F2，则双曲线C的离心率为（）(A)或(B)或3 (C)2或(D)2或312．已知函数f（x），，＜．若函数f（x）的极大值点从小到大依次为a1，a2，…，a n，并记相应的极大值为b1，b2，…，b n，则（a i+b i）的值为（）(A)250+2449 (B)250 +2549 (C)249+2449 (D)249+2549二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13．在（2+x）5的展开式中，x2的系数为．（用数字作答）14．已知公差大于零的等差数列{a n}中，a2，a6，a12依次成等比数列，则的值是．15．某学习小组有4名男生和3名女生．若从中随机选出2名同学代表该小组参加知识竞赛，则选出的2名同学中恰好1名男生1名女生的概率为．16．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝AC，侧棱AA1⊥底面ABC，且三棱柱的侧面积为3，若该三棱柱的顶点都在同一个球O的表面上，则球O的表面积的最小值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分）已知△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且a cos B b+(C)（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求sin2B+sin2C+sin B sin C的值．18．(本小题满分12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，△P AD为正三角形，平面P AD上平面ABCD，E，F分别是AD，CD的中点．（Ⅰ）证明：BD⊥平面PEF；（Ⅱ）若∠BAD＝60°，求二面角B﹣PD﹣A的余弦值．19．(本小题满分12分）某保险公司给年龄在20～70岁的民众提供某种疾病的一年期医疗保险，现从10000名参保人员中随机抽取100名作为样本进行分析，按年龄段[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70]分成了五组，其频率分布直方图如图所示；参保年龄与每人每年应交纳的保费如表所示．据统计，该公司每年为这一万名参保人员支出的各种费用为一百万元，（Ⅰ）用样本的频率分布估计总体分布，为使公司不亏本，求z精确到整数时的最小值x0；（Ⅱ）经调查，年龄在[60，70]之间的老人每50人中有1人患该项疾病（以此频率作为概率）．该病的治疗费为12000元，如果参保，保险公司补贴治疗费10000元．某老人年龄66岁，若购买该项保险（x取（Ⅰ）中的x0），针对此疾病所支付的费用为X元；若没有购买该项保险，针对此疾病所支付的费用为Y元，试比较X和Y的期望值大小，并判断该老人购买此项保险是否划算？20．(本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：l（a＞b＞0）的短轴长为2，直线l与椭圆C相交于A，B两点，线段AB的中点为M．当M与0连线的斜率为时，直线l的倾斜角为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若|AB|＝2，P是以AB为直径的圆上的任意一点，求证：|OP|．21．(本小题满分12分）已知函数f（x）＝xlnx﹣2ax2+3x﹣a，a∈Z．（Ⅰ）当a＝1时，判断x＝1是否是函数f（x）的极值点，并说明理由；（Ⅱ）当x＞0时，不等式f（x）≤0恒成立，求整数a的最小值，22．(本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）．以坐标原点O为极点，z轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ）．（Ⅰ）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）设点M（0，1）．若直线l与曲线C相交于A，B两点，求|MA|+|MB|的值．23．已知函数f（x）＝x2﹣a|x﹣1|﹣1，a∈R．（Ⅰ）当a＝4时，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）∃x0∈[0，2]，f（x0）≥a|x0+1|，求实数a的取值范围．1．U＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x∈Z|﹣1≤x≤3}＝{﹣1，0，1，2，3}，则∁U A═{﹣1，3}，答案(A)2．∵z＝（2+i）（1+i）＝1+3i，∴．答案(D)3．∵函数f（x）＝x3+a sin x，a∈R．f（﹣l）＝2，∴f（﹣1）＝（﹣1）3+a sin（﹣1）＝﹣1﹣a sin1＝2，∴1+a sin1＝﹣2，∴f（l）＝1+a sin1＝﹣2．答案(B)4．如图，连接AC，使AC交BD与点O，连接A1O，CF，在正方体ABCD﹣A1B l C1D1中，由于A1F AC，又OC AC，可得：A1F OC，即四边形A1OCF为平行四边形，可得：A1O∥CF，又A1O⊂平面ABD，CF⊄平面ABD，可得CF∥平面AB (D)答案(B)5．作出实数x，y满足表示的平面区域，如图所示：由z＝2x+y可得y＝﹣2x+z，则z表示直线y＝﹣2x+z在y轴上的截距，截距越大，z越大作直线2x+y＝0，然后把该直线向可行域平移，当直线经过B时，z最大由可得B（2，0），此时z＝4．答案(D)6．令2a＝3b＝t，则t＞0，t≠1，∴a＝log2t，b＝log3t，∴|a|﹣|b||lgt|•＞0，∴|a|＞|b|．答案(C)7．∵sin（），∴sinα＝﹣cos（α）＝﹣cos2（）＝﹣[1﹣2sin2（）]＝﹣[1﹣2×（）2]．答案(A)8．根据程序框图：执行循环前：a＝0，b＝0，n＝0，执行第一次循环时：，a＝1，b＝2，所以：92+82≤40不成立．继续进行循环，…，当a＝4，b＝8时，62+22＝40，所以：n＝1，由于a≥5不成立，执行下一次循环，当a＝5时，输出结果n＝2答案(B)9．设M（x，y），由动点M满足，得，化简得：x2+（y﹣2）2＝8，由圆的参数方程得：M（2cosθ，2sinθ），则2cosθ∈[﹣2，2]，答案(D)10．由1，2，3，4…24，25的和为325，又由“n阶幻方（n≥3，n∈N*）”的定义可得：“5阶幻方”的幻和为65，答案(B)11．过P分别向x轴和抛物线的准线作垂线，垂足分别为M，N，不妨设PF1＝m，PF2＝n，则F1M＝PN＝PF2＝PF1cos∠PF1F2，∵P为双曲线上的点，则PF1﹣PF2＝2a，即m2a，故m＝7a，n＝5(A)又F1F2＝2c，在△PF1F2中，由余弦定理可得，化简可得c2﹣5ac+6a2＝0，即e2﹣5e+6＝0，解得e＝2或e＝3．答案(D)12．∵f（x），，＜的极大值点从小到大依次为a1，a2，…，a n，相应的极大值为b1，b2，…，b n，∴a1＝2，a2＝4，…，即是以2为首项，以2为公差的等差数列，且共有50项，即n＝50，但是最后一项不是极大值，满足题意的共有49项，∴a n＝2n，∵b1＝f（2）＝1，b2＝f（4）＝2f（2）＝2…是以1为首项，以2为公比的等比数列，b n＝2n﹣1，则（a i+b i）a i b i＝2449+249．答案(C)13．二项展开式的通项为T r+1＝25﹣r C5r x r令r＝2得x2的系数为23C52＝80答案80．14．公差d大于零的等差数列{a n}中，a2，a6，a12依次成等比数列，可得a62＝a2a12，即为（a1+5d）2＝（a1+d）（a1+11d），化为a1＝7d，则．答案．15．某学习小组有4名男生和3名女生．从中随机选出2名同学代表该小组参加知识竞赛，基本事件总数n21，选出的2名同学中恰好1名男生1名女生包含的基本事件个数m12，∴选出的2名同学中恰好1名男生1名女生的概率为p．答案．16．根据题意，如图，设AB＝BC＝AC＝a，AA1＝b，该三棱柱的外接球的半径为R，球心O在底面ABC上的射影为O′，O′为底面三角形△ABC的外心，则AO′a，OO′AA1，则R2，又由三棱柱的侧面积为3，则3ab＝3，变形可得ab，则R2221，即外接球半径的最小值为1，其表面积的最小值S＝4πR2＝4π；答案4π17．（I）由正弦定理得s in A cos B sin A+sin C，又sin C＝sin（A+B）．∴sin A cos B sin A+sin A cos B+cos A sin(B)即cos A sin B sin B＝0，∴cos A，∵0＜A＜π，∴A．（II）∵A，∴由余弦定理可得：a2＝b2+c2+bc，∵，∴sin2B+sin2C+sin B sin C＝（）2+（）2＝（）2＝sin2A．18．证明：（Ⅰ）连结AC，∵P A＝PD，且E是AD的中点，∴PE⊥AD，∵平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，∴PE⊥平面ABCD，∵BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PE，又ABCD为菱形，且E，F为棱的中点，∴EF∥AC，BD⊥AC，∴BD⊥EF，又BD⊥PE，PE∩EF＝E，∴BD⊥平面PEF．解：（Ⅱ）∵四边形ABCD是菱形，且∠BAD＝60°，∴EB⊥AD，分别以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AD＝1，则D（，，），B（0，，0），P（0，0，），（，，0），（，，），设平面PBD的法向量（x，y，z），则，∴，取x，得（，，），平面APD的法向量（0，1，0），∴cos＜，＞，由图得二面角B﹣PD﹣A的平面角是锐角，∴二面角B﹣PD﹣A的余弦值为．19．（Ⅰ）由（0.007+0.016+a+0.025+0.020）×10＝1，解得a＝0.032．保险公司每年收取的保费为：10000×（0.07x+0.16×2x+0.32×3x+0.25×4x+0.20×5x）＝10000×3.35x．∴要使公司不亏本，则10000×3.35x≥1000000，即3.35x≥100，解得x29.85，∴x0＝30．（Ⅱ）①若该老人购买了此项保险，则X的取值为150，2150．P（X＝150），P（Y＝2150）．∴E（X）147+43＝190元．②若该老人没有购买此项保险，则Y的取值为0，12000．∵P（Y＝0），P（Y＝12000），所以E（Y）240元，所以E（Y）＞E（X）．∴年龄为66的该老人购买此保险比较划算．20．（Ⅰ）解：由已知得，b＝1，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，两式作差，得．由已知条件，知当时，，∴，即a．∴椭圆标准方程为；（Ⅱ）证明：当直线l的斜率不存在时，|OP|＝1＜，不等式成立；当直线l的斜率存在时，设l：y＝kx+m．联立，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2＝0．△＝16k2﹣8m2+8＞0．，．∴M（，），．由|AB|，化简得，．∴．令4k2+1＝t≥1，则|OM|2．当且仅当t时取“＝”．∴|OM|．∵|OP|≤|OM|+1，∴|OP|，当且仅当时取“＝”．综上，|OP|．21．（Ⅰ）当a＝1时，f′（x）＝lnx﹣4x+4，令F（x）＝f′（x）＝lnx﹣4x+4，则，∴当x＞时，F′（x）＜0，即f′（x）在（，+∞）内为减函数，且f′（1）＝0，∴当x∈（，1）时，f′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（，1）内是增函数，在（1，+∞）内是减函数，综上，x＝1是函数f（x）的极大值点．（Ⅱ）由题意得f（1）≤0，即a≥1，现证明当a＝1时，不等式f（x）≤0成立，即xlnx﹣2x2+3x﹣1≤0，即证lnx﹣2x+30，令g（x）＝lnx﹣2x+3，则g′（x），∴当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）内单调递减，∴g（x）的最大值为g（1）＝0，∴当x＞0时，不等式f（x）≤0成立，综上，整数a的最小值为1．22．（Ⅰ）由，得（x﹣2）2+y2＝4，由ρsin（θ），得ρsinθ+ρcosθ＝1，∴直线l的直角坐标方程为x+y＝1．（Ⅱ）设直线l的参数方程为（t为参数），代入（x﹣2）2+y2＝1得t2+31＝0，设A，B对应的参数为t1，t2，∴t1+t2＝﹣3＜0，t1t2＝1＞0，t1＜0，t2＜0，∴|MA|+|MB|＝|t1|+|t2|＝|t1+t2|＝323．（Ⅰ）当a＝4时，f（x）＝x2﹣4|x﹣1|﹣1，，＜，当x≥1时，f（x）＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1≥﹣1，即此时f（x）≥﹣1，当x＜1时，f（x）＝x2+4x﹣5＝（x+2）2﹣9≥﹣9，即此时f（x）≥﹣9，综上f（x）≥﹣9，即函数f（x）的值域为[﹣9，+∞）．（Ⅱ）由f（x）≥a|x+1|等价为x2﹣a|x﹣1|﹣1≥a|x+1|，即a（|x+1|+|x﹣1|）≤x2﹣1，即a在区间[0，2]内有解，当0≤x≤1时，a，当0≤x≤1时，0．此时a≤0，当1＜x≤2时，a（x），当1＜x≤2时，0＜（x），此时a，综上a，即实数a的取值范围是（﹣∞，]．。

THUSSAT中学生标准学术能力2023年3月诊断性测试数学试卷+答案

中学生标准学术能力诊断性测试2023年3月测试数学试卷本试卷共150分，考试时间120分钟。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2430A x x x =−+<，2112x B y y −−⎧⎫⎪⎪⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B =A ．[)2,3B ．()1,3C ．[)2,+∞D ．()3,+∞2．设z 是纯虚数，若31iz++是实数，则z 的虚部为A ．3−B ．1−C ．1D ．33．已知函数()()()()cos 0,f x x x ωϕωϕωϕπ=+−+><，则“函数()f x 是偶函数”是“=3πϕ−”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若圆()()22320x a y −+−=上有四个点到直线210x y −+=则实数a 的取值范围是A ．1317,,22⎛⎫⎛⎫−∞−+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．1317,22⎛⎫− ⎪⎝⎭C ．37,,22⎛⎫⎛⎫−∞−+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．37,22⎛⎫−⎪⎝⎭ 5．若111111777n n n nn n n C C C −−+++++++是9的倍数，则自然数n 为A ．4的倍数B ．3的倍数C ．奇数D ．偶数6．现将0-9十个数字填入右方的金字塔中，要求每个数字都使用一次，第一行的数字中最大的数字为a ，第二行的数字中最大的数字为b ，第三行的数字中最大的数字为c ，第四行的数字中最大的数字为d ，则满足a b c d <<<的填法的概率为A ．110B ．15C ．215D ．257．在矩形ABCD 中，已知24AB AD ==，E 是AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻折成1A DE ∆，连接1AC ．当二面角1A DE C −−的平面角的大小为60︒时，则三棱锥1A CDE −外接球的表面积为 A ．563πB ．18πC ．19πD ．533π8．已知0a >且1a ≠，若集合{}22log a A x x x =<，1ln ln 2B x y x x ⎧⎫⎛⎫==+−⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，且A B ≠⊂，则实数a 的取值范围是A ．14e 10,1,e 4⎛⎤⎛⎫ ⎥⎪⎝⎭⎝⎦B ．14e10,e ,4⎡⎫⎛⎫+∞⎪⎢ ⎪⎝⎭⎣⎭C ．12e 1,11,e 4⎛⎤⎛⎫ ⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦D ．12e1,1e ,4⎡⎫⎛⎫+∞⎪⎢ ⎪⎝⎭⎣⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．设0,0a b >>，满足321a b +=，下列说法正确的是A ．ab 的最大值为124B ．21a b+的最小值为 C ．22a b +的最小值为113D ．2294a b +的最小值为110．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足12321a a a ++=，525S =，下列说法正确的是A ．23n a n =+B ．210n S n n =−+C ．{}n S 的最大值为5S D ． 11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为1099−11．已知ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,ab c ，已知4,6b c ==，ABC ∆的面积S 满足()()228b c S a +=+，点O 为ABC∆的外心，满足AO AB AC λμ=+，则下列结论正确的是（第7题图）（第6题图）A ．=6SB ．10CB AO ⋅=C ．2213AO=D ．23λ=−12．已知()()1122,,,P x y Q x y 是椭圆229144x y +=上两个不同点，且满足121292x x y y +=−，则下列说法正确的是A ． 1122233233x y x y +−++−的最大值为6+B ． 1122233233x y x y+−++−的最小值为3C ． 11223535x y x y −++−+的最大值为D ． 11223535x y x y −++−+的最小值为10−三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知点M 为抛物线28y x =上的动点，点N 为圆()2245x y +−=上的动点，则点M 到y 轴的距离与点M 到点N 的距离之和最小值为．14．已知()f x 为R 上的偶函数，函数()()2=h x x f x 在[)0,+∞上单调递增，则不等式()()()()2211330x f x x f x −−−++>的解集为．15．用0,1,2,3,4,5这六个数字组成无重复数字的六位数，要求任意两个偶数数字之间至少有一个奇数数字，则符合要求的六位数的个数有个．16．若关于x 的不等式()e23xk x x −<+对任意的()0,x ∈+∞恒成立，则整数k 的最大值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在数列{}n a 中，149a =，()()()2313912n n n n a n a ++⋅+=+．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设{}n a 的前n 项和为n S ，证明：525443n nn S +<−⋅． 18．（12分）已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2b A a c −=．（1）求角B ；（2）设ABC ∠的角平分线BD 交AC 于点D ，若BD =2，求ABC ∆的面积的最小值． 19．（12分）如图所示，在三棱锥A BCD −中，满足BC CD ==，点M 在CD 上，且5DM MC =，ABD ∆为边长为6的等边三角形，E 为BD 的中点，F 为AE 的三等分点，且2AF FE =．（1）求证：FM面ABC ；（2）若二面角A BD C −−的平面角的大小为23π，求直线EM 与面ABD 所成角的正弦值． 20．（12分）为提高学生的数学应用能力和创造力，学校打算开设“数学建模”选修课，为了解学生对“数学建模”的兴趣度是否与性别有关，学校随机抽取该校30名高中学生进行问卷调查，其中认为感兴趣的人数占70%．（1）根据所给数据，完成下面的22⨯列联表，并根据列联表判断是否有85%的把握认为学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别有关？（2）若感兴趣的女生中恰有4名是高三学生，现从感兴趣的女生中随机选出3名进行二次访谈，记选出高三女生的人数为X ，求X 的分布列与数学期望．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d −=++++，其中n a b c d =+++．21．（12分）已知双曲线C 以20x ±=为渐近线，其上焦点F 坐标为()0,3．（1）求双曲线C 的方程；（2）不平行于坐标轴的直线l 过F 与双曲线C 交于,P Q 两点，PQ 的中垂线交y 轴于点T ，问TFPQ是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由． 22．（12分）设()()ex xf x x =∈R ．（1）求()f x 的单调性，并求()f x 在12x =处的切线方程；（2）若()()()e ln 1x f x k x ⋅≤⋅+在()1,x ∈+∞上恒成立，求k 的取值范围．（第19题图）中学生标准学术能力诊断性测试2023年3月测试数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对但不全的得2分，有错选的得0分．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．132 14．(),1−∞− 15．10816．1四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）（1）()()()23+1391=2n n n n a n a +⋅++()()()()12233221n nn a n a n n +++∴=++即()()()()122321321n nn a n a n n +++=⋅++ ····································································· 2分又()()12312111a +=+，所以数列()()221n n a n ⎧⎫+⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭是首项为13，公比为13的等比数列从而()()21321n nn a n +⎛⎫= ⎪⎝⎭+，则()()2123n nn a n +=+⋅ ·················································· 5分（2）()()2111+123233n nn n n n n n a n n +++==⋅<+⋅+··························································· 6分 21233133 12+12333323131233331两式相减得：12111111229311+121+3333333131n n n n n n n T −++⎡⎤⎛⎫−⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=+++−=−−111211152513636233n n n n n −++⎡⎤++⎛⎫=+−−=−⎢⎥ ⎪⋅⎝⎭⎢⎥⎣⎦················································ 9分从而525443n n n T +−⋅=，故525443nnn S +<−⋅ ····················································· 10分 18．（12分）（1）由已知及正弦定理得：2sin cos sin 2sin B A A C ⋅−=又在ABC ∆中，()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+ ························· 2分 2sin cos sin 2sin cos 2cos sin B A A A B A B ∴−=+即2sin cos =sin A B A −又sin 0A ≠，1cos 2B ∴=− ········································································ 4分又0B π<<，2=3B π∴，即角B 的大小为23π·············································· 5分（2）13sin 24ABC S ac B ac ∆== ····································································· 6分 BD 是ABC ∠的角平分线，而ABC ABDBCD S S S ∆∆∆=+11sin 60sin 6022AB BD BD BC =⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒ 即()44ac BD a c =⋅⋅+，ac BD a c =+∴ ················································· 8分 2BD =，()2ac a c ∴=+2a c ac +≥，ac ∴≥，即16ac ≥ ···············································10分 4a c ==1sin 162S ac B =⋅≥= 1219．（12分）（1）在BE 上取一点N ，使得12BN NE =，连接FN ，NM 6BD =，116BN BD ∴==，2NE =，3ED =12AF FE =，12BN AF NE FE ∴== 则FNAB ··························································································· 2分FN ⊄面ABC ，AB ⊂面ABC ，FN∴面ABC15BN CM ND MD ==，NM BC ∴ ······························································· 4分NM ⊄面ABC ，BC ⊂面ABC ，NM∴面ABCFNNM N =，∴面FNM面ABCFM ⊂面FNM ，FM∴面ABC ·························································· 5分（2）AE BD ⊥，CE BD ⊥所以二面角A BD C −−的平面角为23AEC π∠= ············································ 6分又AECE E =，BD ∴⊥面AECBD ⊂面ABD ，∴面ABD ⊥面AEC面ABD面=AEC AE ，过点C 作CH AE ⊥，则CH ⊥面ABD则sin3CH CE π=⋅=()2233332CE =−=，CH ∴==······························· 8分即C 到面ABD 的距离为256MD CD =，M ∴到面ABD 的距离为5624⨯= ······························ 9分322232EMEM+−=⇒=···············································11分∴EM与面ABD=·········································12分（其他方法酌情给分）20．（12分）（1）列联表如下：·····················2分()2230125490.4082 2.0721614219K⨯⨯−⨯=≈<⨯⨯⨯所以没有85%的把握认为学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别有关 ············5分（2）由题意可知X的取值可能为0，1，2，3则()3539542CP XC===···········································································6分()21453910121C CP XC=== ············································································7分()5243912145C CP XC=== ············································································8分()34391321CP XC===················································································9分X()5105140123422114213E X =⨯+⨯+⨯+⨯= ··············································· 12分 21．（12分）（1）因为双曲线C以20x =为渐近线设双曲线方程为()()22x x λ=，即2245x y λ−= ························· 1分()0,3F ，0λ∴< ，即：22154y x λλ−=−−954λλ∴−−=，9920λ∴−=，即20λ=− ····················································· 3分所以双曲线C 的方程为：22145y x −= ··························································· 4分（2）设直线:3l y kx =+，()11,P x y ，()22,Q x y()22225420534203y x kx x y kx ⎧−=⇒+−=⎨=+⎩ 化简得：()225430250k x kx −++=··························································· 6分此方程的两根为12,x x ，则12212230542554k x x k x x k ⎧+=−⎪⎪−⎨⎪=⎪−⎩PQ ∴==()2220154k k +==− ·············································· 8分 PQ 中点M 坐标为221512,5454kk k −⎛⎫− ⎪−−⎝⎭······················································· 9分 22121155454k ⎛⎫02275422754则22227151535454k TF k k +=+=−− ···························································· 11分 ()22221515543420154k TF k PQ k k +−∴==+− ········································································ 12分 22．（12分）（1）令()()2e e 10e e x xxx x xf x −−'==> ··································································· 1分 1x ∴<，即函数()f x 的单调递增区间为(),1−∞，函数()f x 的单调递减区间为()1,+∞·········································· 2分当12x =时，121122e f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴切点为12⎛ ⎝ 又12111222e ef ⎛⎫'==⎪⎝⎭，()f x ∴在12x =处的切线方程为：12y x y x ⎫=−⇒=⎪⎭················································· 4分（2）()2e ln 1ex x k x ≤⋅+ ，ln 1ln 1ln 1e e e x x x x x k k x +++≤⋅=⋅ ()1,x ∈+∞，ln 1ln 10ex x ++∴>，ln 1e ln 1e x x xk x +∴≥+ ··············································· 6分由（1）可知()=ex xf x 在()1,+∞上单调递减，下证：ln 1x x >+即证：ln 1x x −>在()1,x ∈+∞恒成立令()ln g x x x =−，则()1110x g x x x−'=−=>1111 9 11()f x 在()1,x ∈+∞上单调递减()()ln 1f x f x ∴<+，即ln 1ln 1e ex x x x ++<，ln 1e 1ln 1e x x x x +∴<+ ································· 11分 1k ∴≥ ·································································································· 12分。

2020年春季学期九年级三月调研考试数学试题、答题卡及答案解析(经典珍藏版)

2020 年春季学期三月调研考试
九年级数学试题
本试卷共 24 小题，满分 120 分，考试时间 120 分钟．
注意事项:
本试卷分试题卷和答题卡两部分，请将答案答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效．考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交．
一、选择题(在各小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置将符合要求的选项前面的字母代号涂黑. 本大题共11小题，每题3分，计33分) 1. 下列各数，与 2020 相等的是（）．
22.（10 分）倡导全民阅读建设书香社会
【大数据统计】目前，某地传统媒体阅读率为 80%，数字媒体阅读率为 40%，而综合阅读率为 90%. 【知识清单】某种媒体阅读率，指有这种媒体阅读行为人数在总人口数中所占比例；下
图表示了综合阅读行为人数与传统媒体阅读行为人数和数字媒体行为人数的关系.
【问题解决】（1）求该地目前只．有．传统媒体阅读行为人数占总人口数的百分比；（2）若该地每．十．年．单一媒体阅读行为人数按照百分数 x 增加，而综合阅读行为人数按照百分数 2x 增加，这样预计二．十．年．后，同时有传统媒体和数字媒体阅读行为人数变为目前人数的 3 倍，求百分数 x.
4 燃烧后 y 48 (x 8) ------------------------------4 分
x （2）当 y=1.6 时，代入 y 48 中，求得 x=30--------------6 分
x ∴从开始消毒需要 30 分钟学生才能回到教室。----------7 分 20. （8 分）（1）14；（2）10,40,144°每空 1 分-------------------------4 分（3）正确画出树状图或者列表得 2 分，求出概率为 1 得 2 分。------------------8 分

【试卷】2020年3月南海区2020届高三年级综合能力测试理科数学试卷及答案

（2）小张某天恰好从 50 个零件中检查出 2 个不合格的零件，若以此频率作为当天生产零件的不合格率．已
知检查一个零件的成本为 10 元，而每个不合格零件流入市场带来的损失为 260 元．假设 n 充分大，为了
使损失尽量小，小张是否需要检查其余所有零件，试说明理由．
附：若随机变量ξ 服从正态分布 N (µ,σ 2 ) ，则
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②直线 B1F 与直线 BC 所成角的正切值的取值范围是
2 4
,
1 2
；
③α 与平面 CDD1C1 所成锐二面角的正切值为 2 2 ；
④正方体 ABCD − A1B1C1D1 的各个侧面中，与α 所成的锐二面角相等的侧面共四个．
其中正确命题的序号是
．（写出所有正确命题的序号）
r2 a
=
r2 b ，从而
；若不等式 f (n) ≥ 0 恒成立，则 λ 的最大值为
．
16．正方体 ABCD − A1B1C1D1 中，E 是棱 DD1 的中点，F 是侧面 CDD1C1 上的动点，且 B1F / / 平面 A1BE ，
3 千里之行始于足下
记 B1 与 F 的轨迹构成的平面为α ． ① ∃F ，使得 B1F ⊥ CD1 ；
=（
）
A． (0, 2)
B． (1, 2]
C．[0,1]
D． (0,1]
2．复数满足 z + z = 4 + 8i ，则复数 z 在复平面内所对应的点在（）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ，且 a2 = −2, a8 = 10 ，则 S9 = （
① g(x) 的值域为 (0,1]

2020年福建省普通高中3月质检理科数学答案

题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应
给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题 5 分，满分 60 分．
又因为 c2 a2 b2 2ab ，所以 2a2 2 b2 a2 2ab b2 ，
所以 4a2
b2
4ab
，即
4
a b
2
4
a b
1
0 ，.......................................................10
分
解得 a 1 2 ，因为 a 0,b 0 ，所以 a 1 2 .............................................12 分
衡水中学内部资料群：254241929
资料下载来源：高中数学教师教研及资料共享群：1072106043
解法二：（1）由已知，根据正弦定理得 sin2 C sin2 A sin2 B 2sin Asin B ， ...............................................................................................................................2 分
1．C 2．B 3．D 4．B 5．B 6．A
7．C 8．A 9．B 10．C 11．D 12．A
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题 5 分，满分 20 分．

2020年全国高考数学(理科)诊断性考试试卷含解析 (3)

棱台的体积等于棱锥 P − ABC 的体积减去棱锥 P − DEF 的体积.）
ax − y − z = 1
19．用行列式讨论下列关于
x
、
y
、
z
的方程组

x
+
y
−
az
=
2
的解的情况，并
x − y − z = 1
求出相应的解.
20．已知数列an 中， a1 = 3 ， an+1 + an = 3 2n ， n N * .
（2）证明：
Pn+1
−
Pn
=
−
1 2
( Pn
−
Pn−1 )(1
n

98)
；
（3）若最终棋子落在第 99 站，则记选手落败，若最终棋子落在第100 站，则记
选手获胜.请分析这个游戏是否公平.
18．如图， P − ABC 是底面边长为 1 的正三棱锥， D, E, F 分别为棱长
PA, PB, PC 上的点，截面 DEF / / 底面 ABC ，且棱台 DEF − ABC 与棱锥
(Ⅱ) 设 g ( x) = ex f ( x) ，当 m 1 时，若 g ( x1 ) + g ( x2 ) = 2g (m) ，且 x1 x2 ，求
证： x1 + x2 2m . 23．（选修 4-4.坐标系与参数方程）
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程是
x
=
1
+
2 cos , （为参数），以
B．1
C． − 1 2
D． −1
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分

中学生标准学术能力诊断性测试2020年3月测试答案(文科试卷)

1
则
g(
x)
=
2ax
+
2
13. (x −1)2 + (y + 2)2 = 2
14.
3，5 22
15. 2 + 3
16. (28,55)
三、解答题：共 70 分,解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤,第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答,第 22,23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：60 分. 17.（12 分）
（1）当 a =1时， f (x) = (x2 + 2x −1)e2x +1， f (x) = (2x + 2)e2x + 2(x2 + 2x −1)e2x = 2(x2 + 3x)e2x ，.......2 分
令 f (x) = 0，得 x = 0 或 x = −3，所以当 x(−,−3) 时， f (x) 0， y = f (x) 单调递增；当 x(−3,0) 时， f (x) 0 ， y = f (x) 单调递减；
18.（12 分）
（1） CD = 2 ， DE = BE =1， CDE = BED = 90，
BC = 2 ， AB = 2 ， AC = 2 ，AC ⊥ BC ............2 分
平面 ABC ⊥ 平面 BCDE ，平面 ABC 平面 BCDE = BC ， AC 平面 ABC 且 AC ⊥ BC AC ⊥ 面BCDE ............4 分
第3页共4页
当 x(0,+) 时， f (x) 0， y = f (x) 单调递增；.......4 分
（2）要证 x 0 时， f (x) 0 ， e2x 0 ，只要证当 x 0 时，

2020年乌鲁木齐第3次诊断性考试理科数学

（Ⅰ）求圆 C 的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线
l：ìíîxy
= =
t t
cos φ sin φ（t
为参数）被圆
C
截得的弦长为
2，求直线
l
的倾斜角.
23. 已知函数 f（x）= | 2x - a|，其中 a > 2. （Ⅰ）当 a = 4 时，求不等式 f（x）≥ 6 - | x + 1| 的解集；
（Ⅱ）已知关于 x 的不等式 | f（x + 2a） - f（x）| ≤ 4 的解集为 {x|-3 ≤ x ≤ -1}，求 a 的值.
日影长度之和为 31.5 尺，前九个节气日影长度之和为 85.5 尺，则谷雨这一天的日影长度为
A. 5.5 尺
B. 4.5 尺
C. 3.5 尺
D. 2.5 尺
9. 函数 f（x）= sin x· ln（ x2 + 1 - x）的大致图象为
A.
B.
C.
D.
10. 多面体欧拉定理是指对于简单多面体，其各维对象数总满足一定的数量关系，在三维空间中，多面体欧拉定理可表示为：顶点数+表面数-棱长数=2. 在数学上，富勒烯的结构都是以正五边形和正六边形面组成的凸多面体，例如富勒烯 C60（结构图如右图）是单纯用碳原子组成的稳定分子，具有 60 个顶点和 32 个面，其中 12 个为正五边形，20 个为正六边形。除 C60 外具有封闭笼状结构的富勒烯还可能有 C28，C32，C50，C70，C84，C240，C540，等，则 C84 结构含有正六边形的个数为
人数
15
15
20
30
20
（Ⅰ）试分别计算男性、女性在此活动中的平均消费金额；

中学生标准学术能力2022年3月诊断性测试理科数学试卷

第1页共4页第2页共4页中学生标准学术能力诊断性测试2022年3月测试理科数学试卷本试卷共150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合()()}{110A x x x =+−<，}{0B y y =>，则()B A=RA ．∅B ．[)0,1C ．(1,0)−D ．(]1,0−2．已知双曲线12222=−bx ay 的一条渐近线过点(2,1)，则此双曲线的离心率为A ．3B ．23 C ．5 D ．253．若复数z 满足()1i 2i 1z +=−（i 为虚数单位），则下列说法正确的是A ．z 的虚部为3i 2B．2z =C ．3z z +=D ．z 在复平面内对应的点在第二象限4．设0,0>>b a ，则“49≤+b a ”是“94≤ab ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知函数()x f 的图象如图所示，则该函数的解析式可能是A ．()2ln(1cos )f x x =+B ．()2ln(1cos )f x x x =⋅−C ．()2ln(1sin )f x x =+D ．()2ln(1sin )f x x x =⋅−6．为了得到函数sin(2)3y x π=+的图象，可以将函数cos 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象A ．向左平移524π个单位B ．向右平移524π个单位C ．向左平移2π个单位D ．向右平移2π个单位7．已知61(0)ax a x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭的展开式中含2−x 的系数为60，则61ax x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为A ．160−B ．160C ．80D ．80− 8．如图所示，已知四边形ABCD 是由一个等腰直角三角形ABC 和一个有一内角为30︒的直角三角形ACD 拼接而成，将ACD ∆绕AC 边旋转的过程中，下列结论中不可能成立的是 A ．AB CD ⊥B ．AD BC ⊥ C ．AB BD ⊥ D ．CD BC ⊥9．已知随机变量ξ的分布列如下表所示，且满足()0=ξE ，则下列方差值中最大的是A ．()D ξB ．()D ξC ．(21)D ξ+D ．(32)D ξ−10．已知椭圆()2222:10x y C a b ab+=>>的离心率为33，过左焦点F 作一条斜率为(0)k k >的直线，与椭圆交于B A ,两点，满足FB AF 2=，则实数k 的值为 A ．1B ．2C ．3D ．211．对任意的(]12,1,2x x∈，当12x x <时，1212ln 02x a x x x −+<恒成立，则实数a 的取值范围是A ．(2)+∞，B ．[)2,+∞C ．(4)+∞，D ．[)4,+∞12．设数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足()212n n na S n a *+=∈N ，则下列说法正确的是（第5题图）（第8题图）第3页共4页第4页共4页A ．202120221a a ⋅<B ．202120221a a ⋅>C ．202222022−<aD ．202222022>a二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在长方体1111D C B A ABCD −中，已知2=AB ，t BC =，若在线段AB 上存在点E ，使得ED EC ⊥1，则实数t 的取值范围是．14．平面向量,a b 满足：1,23a a b a b =+=−⋅，设向量,a b 的夹角为θ，则θsin 的最大值为． 15．已知实数b a ,满足ba b a44221+=++，则b a t 22+=的取值范围是．16．电影院一排有八个座位，甲、乙、丙、丁四位同学相约一起观影，他们要求坐在同一排，问恰有两个连续的空座位的情况有种．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）在ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，若2=b ，且42cos c a C −=．（1）求角B 的大小；（2）若ABC ∆是锐角三角形，求ABC ∆面积的取值范围．18．（12分）已知数列}{n a 满足11=a ，且123()n a a a a n n *⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∈N ．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设()()()()11,22,1n nn na n n nb na n ⎧⋅−⋅+≥⎪=⋅⎨⎪=⎩，且数列}{nb 的前n 项和为n S ，若()23+−≥n S n λ恒成立，求λ的取值范围．19．（12分）如图所示，在四棱锥ABCD P −中，平面⊥PAB 平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为2的菱形，120,1,ABC PB PB AB ∠=︒=⊥．（1）求证：平面⊥PBD 平面PAC ；（2）求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的大小． 20．（12分）已知实数y x ,满足()222e e 2x y x y +−+=．（1）若0=x 时，试问上述关于y 的方程有几个实根？（2）证明：使方程()222e e 2x y x y +−+=有解的必要条件为：20x −≤≤． 21．（12分）如图所示，已知抛物线2:2E y px =，其焦点与准线的距离为6，过点()0,4M 作直线21,l l 与E 相交，其中1l 与E 交于B A ,两点，2l 与E 交于D C ,两点，直线AD 过E 的焦点F ，若AD ，BC 的斜率为1k ，2k ．（1）求抛物线E 的方程；（2）问21k k 是否为定值？如是，请求出此定值；如不是，请说明理由．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．（10分）[选修：坐标系与参数方程]以直角坐标系的原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，已知直线l 的参数方程为cos (0)2sin 2x t αt y t απα=⎧≤<⎨=+⎩为参数，，曲线C 的极坐标方程为θθρsin 8cos 2=．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，当α变化时，求AB 的最小值． 23．（10分）[选修：不等式选讲]设函数()22+−=x x x f ．（1）若()3442>++−x x x f ，求x 的取值范围；（2）若2≤−a x ，求证：()()a af x f 46+≤−．（第21题图）（第19题图）中学生标准学术能力诊断性测试2022年3月测试理科数学参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．(]1,014．1313315．⎥⎦⎤ ⎝⎛+21031， 16．720三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17．（12分）（1）解：由余弦定理可得：4244cos 22c a aca C −=−+=，……………….………………….……….…2分整理得ac c a −+=224，解得2124cos22=−+=acc a B，……………….……………….……….…4分()0,B ∈π，故3B π=……………….………………….…………….…………….…….……….…5分（2）由（1）可知：sin 2b B==，所以有：C c A a sin 34,sin 34==故16162161sin sin sin sin sin sin 333322ac A C A A A A A ⎛⎫⎛⎫=⋅=π−=⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)288118π4cos sin 2cos 2sin 233222363A A A A A A ⎛⎫⎛⎫=+=−+=−+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………….8分ABC ∆是锐角三角形，022032A C A ππ⎧<<⎪⎪⎨π⎪<=−<⎪⎩，可得：,62A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，………………………9分 52,666A πππ⎛⎫−∈ ⎪⎝⎭，所以1sin 2,162A π⎛⎫⎛⎤−∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，故⎥⎦⎤ ⎝⎛∈4,38ac ……………….………………11分故ABC ∆的面积1sin 234S ac π==，则3S ∈⎝⎦……………………………….…12分 18．（12分）（1）解：123()n a a a a n n *⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∈N当2≥n 时，有：11221−=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−n a a a a n n ，……………………………………………………2分两式作商，可得：当2≥n 时，1−=n n a n ，……………………………………………….………3分又由11=a ，得()⎪⎩⎪⎨⎧=≥−=1,12,1n n n na n ………………………………………………………….………4分（2）当2≥n 时，()()nnn n n n n n nb 212111+=⋅+⋅−⋅−=，当1=n 时，111221===a b ，所以对任意的n *∈N ，均有n n n b 21+=，………………………5分n n n S 21232221++⋅⋅⋅++=①，1322123222+++⋅⋅⋅++=n n n S ②，利用错位相减法:①－②：n-123n 11111421111111122222212n n n S n n ++⎡⎤⎛⎫−⎢⎥ ⎪⎝⎭++⎢⎥⎣⎦=++++−=+−−=1212123++−−n nn ，求得nn n n S 212131+−−=−， ……………………………………………………8分由()23+−≥n S n λ得()nn n 223⋅++≥λ，……………………………………………………………9分令()()nn n n g 223⋅++=，则()()()()14132322n nn g n n n g n n ++++⋅=++⋅()()()224123n n n ++=<+，………………………………………………11分因为()0>n g ，所以有：()()n g n g <+1，即随着n 增大，()n g 减小，()()max 213g n g λ≥==……………………………………………………….……………………12分19．（12分）（1）证明：平面⊥PAB 平面ABCD ，面 PAB 面AB ABCD =，且AB PB ⊥，∴⊥PB 平面ABCD ，………………………………………………………………………………2分 ⊂AC 面ABCD ，∴PB AC ⊥，由菱形性质知BD AC ⊥， B BD PB = ，∴⊥AC 平面PBD ，…………………………………………………………………………………4分又⊂AC 平面PAC ，∴平面⊥PBD 平面PAC …………………………………………………5分（2）如图，设CD 的中点为E ， 121==CD CE ，60BCE ∠=︒，2BC =，CE BE ⊥∴，AB BE ⊥∴，平面⊥PAB 平面ABCD ，面 PAB 面AB ABCD =，且AB BE ⊥， ⊥∴BE 面PAB ，………………………………………………….…………………………………7分以点B 为原点，以直线BA 、BP 、BE 为x y z 、、轴，如图所示建立空间直角坐标系，可得()0,0,0B ，()2,0,0A ，()0,1,0P，(1,C −，(1,D 设平面PAD 的一个法向量为(),,m x y z =，而()()1,0,3,2,1,0AD AP =−=−，由0m AD m AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得⎩⎨⎧=+−=+−0203y x z x ，取3=x ，得()3,m =，……………………………………………………………………………….…9分设平面PBC 的一个法向量为(),,n a bc =，且()0,1,0BP =，(1,BC =−，由00n BP n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得⎩⎨⎧=+−=030c a b ，取3=a ，得()3,0,1n =， …………………….……11分设平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角为θ，则311cos cos ,23m n m n m nθ⋅+====+⋅，所以60θ=︒，故平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角为60︒……………………………………….……………12分注：其他解法酌情给分． 20．（12分）（1）解：将0=x 代入得：()221e 2y y −+=，不妨记()2221eyf y y y =−++，()'2222e y fy y =−+，……………………….………………2分易知()'fy 在R 上递增，且()'00f =，可得：当0y <时，()'0fy <；当0y >时，()'0f y >，即：()f y 在(),0−∞单调递减，()0,+∞单调递增；……………………………….………………4分由于()()00f y f ≥=，故0=x 时关于y 的方程有唯一的根 …………………………….………5分（2）先证e 1xx ≥+，令()()e 1x g x x =−+，则()'e 1x gx =−，当0x <时，()'0gx <，()g x 单调递减；0x >时，()'0g x >，()g x 单调递增；()()00g x g ≥=，所以有e 1xx ≥+恒成立， ……………………….………………………………8分由()()()22e 2e 1e 10xxxyy y −−−+=−−≥，可得：()()2e 2e 1xxy y −≥−−………………10分所以有：()()()2222222e e2e 1122e 21xyxxx yx y y x x x =+−+≥+−−++=+≥++，所以220x x +≤，即20x −≤≤……………………….……………………………………………12分21．（12分）（1）解：抛物线E ：px y 22=，焦点⎪⎭⎫⎝⎛0,2p F ，准线：2p x −=，∴焦点与准线的距离为6=p ，则抛物线E 的方程为：x y 122=…….…………………………….3分（2）设()1216,3t t A ，()2226,3t t B ，()3236,3t t C ，()4246,3t t D ，41242141123366t t tt t t k +=−−=，同理3222t t k +=，∴413232412122t t t t t t t t k k ++=++=① ….………………….……………………………………………………5分 ()211142:63AD l y t x t t t −=−+，….…………….………………………………………………………6分将()0,3F 代入可得：141−=⋅t t ②….……………………………………….…………………………7分 ()21211326:t x t t t y l AB −+=−，将()0,4M 代入可得：3421−=⋅t t③同理：3443−=⋅t t ④，….………………………………….…………………………………………8分由②③④可知：3434,34,11431214t t t t t t t =−=−=−=……………………………………………10分代入①：341134134341111111121=−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−=−+−=t t t t t t t t k k∴21k k 为定值，值为34………………………………….……………………………………………12分（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号． 22．（10分）（1）解：由θθρsin 8cos 2=,得()θρθρsin 8cos 2=，所以曲线C 的直角坐标方程为y x 82= ……………………………………………………………3分（2）将直线l 的参数方程代入y x 82=，得()()2sin 8cos 2+=αt αt ，化简得：016sin 8cos 22=−⋅−⋅t t αα，0>∆恒成立……………………………………………5分设B A ,两点对应的参数分别为21,t t ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−=⋅=+ααα221221cos 16cos sin 8t t t t ，…………………………………………………………………………………7分所以()αααα22222122121cos 8cos 64cos sin 84=+⎪⎭⎫⎝⎛=−+=−=t t t t t t AB ………………………9分当0=α时，AB 的最小值为8 ……………………………………………………………………10分 23．（10分）（1）解：函数()22+−=x x x f ，代入()3442>++−x x x f ，可得：363>+x ， ……………2分所以363>+x ，或363−<+x ，可知x 的取值范围是{}1,3−>−<x x x 或 …………………………………………………………4分（2）因为2≤−a x ，所以()()()2222f x f a x x a a −=−+−−+()22x a x a =−−−()()1x a x a =−+− …………………………………………………………6分1x a x a =−⋅+−21x a ≤+−()()221x a a =−+− …………………………………………8分()221x a a ≤−+−4221a ≤+−()4221a ≤++64a =+…………………………………10分。

中学生标准学术能力诊断性测试2024届高三下学期3月测试数学试卷答案

中学生标准学术能力诊断性测试2024年3月测试数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对但不全的得2分，有错选的得0分．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．16 14．−818515．45164516．a b +四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）（1）tan 2C ==−−C C 1tan 42tan 32 ········································································· 2分解得=C tan 3，故=C 10cos ·································································· 4分（2）222a b c ab C ab ab +=+=+≥52cos 16210·············································· 6分解得≤+ab 980 ·················································································· 8分由（1）知=Csin故=≤∆S ab C ABC 2sin 1······························································· 10分故∆ABC ．18．（12分）（1）对于≥n 2时，++=+=++a n a n a n n n n 4128241)()( ······································ 2分 =+⨯=a a 2,41611，+=⨯=⨯−a n a n n n n n 432,324 ··································································· 3分经验算，a 1符合上述结果，故=⨯−a n n n324 ················································· 4分（2）设=+=+⨯−⨯b n a n n n n nnn33643，则−=+−⨯+⨯−S n n n n nn2164311816)()( ························································· 6分设=⨯T n n n43，438312343T n =⨯+⨯+⨯++⨯n n 123，23413438312343T n =⨯+⨯+⨯++⨯+n n ····················································· 7分作差得到123124343434343n n T n =−⨯−⨯−⨯−−⨯+⨯+n ······························ 8分故−=+⨯=−⨯+−⨯−++T n n n n n n 1323213361311)()( ·········································· 10分 (n nn n S T=+−−+⨯−n21611816)()故=++⨯−−⨯−+S n n n n n n 22556213183312)( ················································ 12分 19．（12分）（1）圆C 1的方程可变形为−+=x y 2422)( ···························································· 2分故C 1的圆心坐标为2,0)(，半径为2······························································· 4分（2）设M x y M M ,)(，因为点M 是AB 的中点，∴⊥C M AB 1，∴⋅=−k k C M AB 11 ························································································ 6分故−−⋅=−x x y yM M M M 211 ················································································ 8分由此可得−++=x x y M M M 32022··································································· 10分故轨迹方程为⎝⎭ ⎪−+=⎛⎫x y M M 243122，轨迹是以圆心为⎝⎭ ⎪⎛⎫2,03，半径为21的圆 ······· 12分 20．（12分）（1）解：+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯=x y 10100.005100.0110100.019100.02100.0271，故+=x y 0.019························································································· 1分 ⨯−⨯=y x 200102001022，故−=y x 0.011 ························································································· 2分解得==x y 0.004,0.015 ············································································ 3分（2）①学院毕业生年薪在30,80)[区间的人数比例为：++++0.020.0270.0150.010.005)(⨯=1077%，故同类型合作办学高校毕业生平均年薪最高为30万元········································ 5分 ②对于单个毕业生，其年薪高于50万的概率=++⨯=P 0.0050.010.015100.3)(，故随机变量⎝⎭⎪⎛⎫ξB 10~4,3，故==−=ξP 010.30.24014)()( ·································································· 6分 ==⨯−⨯=ξP C 110.30.30.4116413)()( ························································ 7分 ==⨯−⨯=ξP C 210.30.30.26464222)()( ······················································ 8分 ==⨯−⨯=ξP C 310.30.30.0756433)()( ······················································· 9分===ξP 40.30.00814)( ········································································· 10分ξ的分布列为：ξ的数学期望=⨯=ξE 0.34 1.2)( ······························································· 12分21．（12分）（1）()()f x '==−++−−−−+x a x ax a x ax a x xx x e e 2424e e 2222)()()( ······················· 2分当=a 1时，'=−+−f x x x xe2522)(，'=−f 02)( ············································ 4分又()01f =，故曲线=y f x )(在f 0,0)()(处的切线方程为=−+y x 21 ············ 5分（2）()f x '===−++−−+−x a x a x a x x xe e 0242222)()()(，解得知==x x a 22,12··················································································· 7分若a f x >4,)(在⎝⎭⎪−∞+∞⎛⎫a 2,2,,)(递减，⎝⎭ ⎪⎛⎫a 22,递增 ······································· 8分极大值⎝⎭⎪=⎛⎫f a aa e 2>02··············································································· 9分若a =4，函数单调递减，无极大值 ····························································· 10分若a f x <4,)(在⎝⎭ ⎪−∞+∞⎛⎫a 2,,2,)(递减，⎝⎭⎪⎛⎫a 2,2递增 ····································· 11分极大值=−f a e2>082)( ············································································ 12分综上，f x )(的极大值恒为正数． 22．（12分）（1）椭圆+=E y x 4:122的左，右焦点分别为F F ,12))(，设⊥A m n AF AF ,,12)(，故(AF AF m nm n ⋅=−−−−−=3,3,012)() ··············· 1分即+=m n 322 ··························································································· 2分又+=n m 4122，解得==m n 33························································· 3分∴A 点坐标为⎝⎭⎛33, ············································································ 4分（2）设P 点坐标为p ,0)(，则可得Q 点坐标为p 2( ································· 5分(,02223OP OQ p p p p ⋅==−+=−−+⎝⎭ ⎛222() ················· 7分当=p 2时，OP OQ ⋅取最大值，最大值为3 ················································ 8分（3）A 点坐标为⎝⎭，B 点坐标为⎝⎭⎛，点O 到线段AB 的距离=h 1 ····································································· 9分若=S S 212，则点M 到线段AB 的距离应为=h 2故M 点的纵坐标为6或2，代入椭圆方程，解得M 点的横坐标为±3或±1 ······························································· 11分故M 点的坐标为：⎝⎭ ⎛或⎝⎭±⎛ ·············································· 12分。

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中学生标准学术能力诊断性测试 2020年 3 月测试理科数学试卷
本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数 z 满足 (1- i)2 + z (1 − i) + i = 0 ，则 z =（）
15．某校开设 A 类选修课 4 门，B 类选修课 3 门，一位同学从中选 3 门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有________种．
16．已知函数 f (x) = ln(x +1)(x 0) 与 g(x) = 2x − a 的图像上存在关于 y 轴对称的点，则 a 的取值范围是______．
A． 1 BA + 1 BC 26
B． 1 BA − 1 BC 26
C． − 1 BAБайду номын сангаас+ 1 BC 26
7．已知一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积为（）cm2
D． − 1 BA − 1 BC 26
A． 9 2 + 9
B． 9 2 +18
C．18
D．27
8．设抛物线 C： y2 = 4x 的焦点为 F，直线 l 过 F 且与抛物线 C 交于 A, B 两点．若 AB
为 005．这 420 名工人来自三个工厂，从 001 到 200 为 A 工厂，从 201 到 355 为 B 工厂，从 356 到 420 为 C 工
厂，则三个工厂被抽中的工人数依次为（）
A．28，23，9
B．27，23，10
C．27，22，11
D．28，22，10
4．已知公差不为 0 的等差数列{an} 的首项 a1 = 3 ，若 a2 ,a3 ,a6 成等比数列，则{an} 的前 5 项之和为（）
D． 5 5
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知函数 f (x) x2 2, x 0
，则 y = f (x) − x 的零点个数为________．
2x 6 ln x, x 0
14．已知数列{an} 满足 a1 = 2 ， (n −1)an = nan−1 + n(n −1)(n 2) ，则{an} 的通项公式为________．
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三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：60 分．
17．（12 分）在 ABC 中， AB = 3 ， AC =1， A = 60 ．（1）求 sin ACB ；（2）若 D 为 BC 的中点，求 AD 的长度．
A． −23
B． −25
C． −43
D． −45
5．设曲线 y = ax2 − bln x 在 x =1 处的切线方程为 y = 5x − 2 ，则 a,b 的值分别为（）
A． 2,1
B． 2, 1
C． 3,1
D． 3, 1
6．在平行四边形 ABCD 中，O 为 AC 与 BD 的交点，若 2AE = ED ，则 OE= （）
A． 1 4
B． 1 3
C． 1 2
D． 2 3
11．已知 P 为双曲线 C : x2 a2
y2 b2
1 （ a 0,b 0 ）右支上一点，A 为其左顶点，F (4 3,0) 为其右焦点，满足
AF PF , PFA 60 ，则点 F 到 PA 的距离为（）
A． 5 3 2
B． 7 2
C． 7 3 2
为取出此 2 球所得分数之和，求的分布列；
（2）当 a =1时，从该盒子中任取（每球取到的机会均等）1 个球，记随机变量为取出此球所得分数．若
E = 5 ， D = 5 ，求 b 和 c ．
3
9
20．（12 分）设椭圆 C : x2 + y2 = 1 的右焦点为 F ，过点 (m,0)（ | m |1）作直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点，且坐标原
4 点 O (0,0) 到直线 l 的距离为 1．
D． 15 2
12．在三棱锥 A - BCD 中，BC = BD = AC = AD =10 ，AB = 6 ，CD = 16 ，点 P 在平面 ACD 内，且 BP = 30 ，
设异面直线 BP 与 CD 所成角为，则 sin α 的最小值为（）
A． 3 10 10
B． 10 10
C． 2 5 5
与平面 PBC 所成角为 45°同时成立？
第 18 题
19．（12 分）设盒子中装有 6 个红球，4 个白球，2 个黑球，且规定：取出一个红球得 a 分，取出一个白球得 b 分，
取出一个黑球得 c 分，其中 a，b，c 都为正整数．
（1）当 a =1，b = 2 ，c = 3时，从该盒子中依次任取（有放回，且每球取到的机会均等）2 个球，记随机变量
AF BF =（）
16 ，且 AF BF ，则 3
第1页共4页
A．3
B． 5 2
C．2
D．4
9．若实数
x,y
满足
x x x
+ −
2y − y −1 1
4
0
0
，则
x2
+
y
−
1 2
2
的取值范围是（
）
A． 1,2
B．
5 4
,2
C．
5 4
,
17 4
D．
1,
17 4
10．在−4, 4 上随机地取一个数 m ，则事件“直线 x − y + m = 0 与圆 (x-1)2 + y2 = 2 有公共点”发生的概率为（）
18．（12 分）如图，在四棱锥 P－ABCD 中，PA ⊥ 平面 ABCD ，四边形 ABCD
为矩形，E 是 PD 的中点，M 是 EC 的中点，点 Q 在线段 PC 上且 PQ=3QC．（1）证明 QM//平面 PAB；（2）当 PBA 为多大时，在线段 PC 上存在点 F 使得 EF ⊥ 平面 PAD 且 EF
A． 1 + 1 i 22
B． 1 − 1 i 22
C． − 1 + 1 i 22
2．已知集合
A
= {x
|
log2 x
2}, B
= {x
|
1 2
2x
8} ，则
A
B =（
）
A． [−1, 3]
B． (0,3]
C． [−1, 4)
D． − 1 − 1 i 22
D． (0,4)
3．将 420 名工人编号为：001，002，…，420，采用系统抽样的方法抽取一个容量为 60 的样本，且随机抽得的号码