3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
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3.5劳斯稳定性及稳定判据
sn s n 1 s n 2 s n 3 s n4 s1 s0
an a n 1 A1 B1 C1
an 2 an 3 A2 B2 C2
an 4 an 5 A3 B3 C3
劳斯表
劳斯表计算举例
s 5 s s s s s s
4 3 2 1 0
6
a6 s6 a5 s5 a4 s4 a3 s 3 a2 s 2 a1 s a0 0
系统特征方程的根（即传递函数的极点）全为负实数或具有负 实部的共轭复数。 或者说，特征方程的根应全位于s平面的左半平面。
3 代数稳定判据
1 劳斯稳定判据
线性定常系统的特征方程一般式为
an s n an1s n1 a1s a0 0
系统稳定的充要条件为： 1）特征方程的全部 系数为正值； 2）由特征方程系数组成 的劳斯表的第一列也为正。
本次课程作业
3-16（1）、（6）
3-20
五 稳定性及其代数稳定判 据 1 稳定性的定义
处于某一初始平衡状态的系统。在任何足够小的初始偏差 作用下，其过渡过程随着时间的推移，是否具有逐渐恢复原平 衡状态的性能。
如果系统受到扰动，偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后， 经过足够长的时间后能回复到原来的初始平衡状态，则称系统 是稳定的。否则是不稳定的。
s3 j
s1 s4
c( ) 0 系统稳定
G( s ) N ( s) ( s 3)(s 20)(s 2 2 s 4)
s2
o
c(t)
t 0
s3,4 1 j 3
t t Ae cos 3 t Be sin 3t 增加运动模态 c( ) 0 系统稳定
an a n 1 A1 B1 C1
an 2 an 3 A2 B2 C2
an 4 an 5 A3 B3 C3
劳斯表
劳斯表计算举例
s 5 s s s s s s
4 3 2 1 0
6
a6 s6 a5 s5 a4 s4 a3 s 3 a2 s 2 a1 s a0 0
系统特征方程的根（即传递函数的极点）全为负实数或具有负 实部的共轭复数。 或者说，特征方程的根应全位于s平面的左半平面。
3 代数稳定判据
1 劳斯稳定判据
线性定常系统的特征方程一般式为
an s n an1s n1 a1s a0 0
系统稳定的充要条件为： 1）特征方程的全部 系数为正值； 2）由特征方程系数组成 的劳斯表的第一列也为正。
本次课程作业
3-16（1）、（6）
3-20
五 稳定性及其代数稳定判 据 1 稳定性的定义
处于某一初始平衡状态的系统。在任何足够小的初始偏差 作用下，其过渡过程随着时间的推移，是否具有逐渐恢复原平 衡状态的性能。
如果系统受到扰动，偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后， 经过足够长的时间后能回复到原来的初始平衡状态，则称系统 是稳定的。否则是不稳定的。
s3 j
s1 s4
c( ) 0 系统稳定
G( s ) N ( s) ( s 3)(s 20)(s 2 2 s 4)
s2
o
c(t)
t 0
s3,4 1 j 3
t t Ae cos 3 t Be sin 3t 增加运动模态 c( ) 0 系统稳定
3.5 线性定常系统的稳定性
显然这个系统处于临界(不)稳定状态。
五、劳斯判据的应用
1、判定系统的稳定性。如果系统不稳定， 则可知右根个数。
2、求取使系统稳定的参数取值范围。 例 3-8 系统结构图如图3-27所示，试求使系统
稳定时的K取值范围。
R(s) -
K
C(s)
s(0.1s 1)(0.25s 1)
图 3-27 控制系统
K-0.675>0
解得
0.675<K<4.8
a0sn a1sn1 a2sn2 an1s an 0
将各项系数，按下面的格式排成劳斯表
sn
a0
a2
a4
a6
sn-1
a1
a3
a5
a7
sn-2
b1
b2
b3
b4
sn-3
c1
c2
c3
c4
……………
s2
e1
e2
s1
f1
s0
g1
(a0 0)
… … … …
sn
a0
a2
a4
sn-1
k 1
l 1
式中，dl l
1
2 l
, l
仅当系统全部闭环极点都具有负的实部而 分布在左半s平面时，系统稳定。当系统有一个或一 个以上的正实根时，系统不稳定。如果系统的部分 特征根为纯虚根，位于平面的虚轴上，而其余特征 根均位于左半s平面时，系统临界稳定。
a1
a3
a5
sn-2
b1
b2
b3
sn-3
c1
c2
c3
…
…
…
…
s2
系统的稳定性和代数稳定判据
系统的稳定性和代数稳定判据系统的稳定性和代数稳定判据系统稳的定和代性稳数定判据系统的稳定性和代数稳定判据稳定性的本概基一、念统系稳定的性如一个果性定线常统在扰系作用消动后，失如一个果性定常线统系在扰作动用失消，能后恢够到复始的原衡状平态，能够复恢到始的平原衡态状，系即的零统输响入应是收的，则称敛统系是定的。
稳应收敛是的则，称统是系定的。
反之稳，若统不能恢系复到始的平原衡状，态反之若系，统能不复到原恢的平始衡态状，即系的零统入响应具输有幅震荡或等发性散，质即系统的零入输响具应等幅有荡或震发性质，散则称统是不稳系的。
定则称系统不是稳定的。
系统的稳定性和代数稳定判据二、线性统稳定系的充条件要设闭环系统的传函数C(s)递bmsm+m1bsm1 + +bs +b B(s)0 Φ1s( ) = = = nn 1(R) ans s+ n1sa++ a1 + as0D s()(m ≤ n )令p 系为特征统程) 方0= (Ds ,, , (i =i 12 n)而R( ) =s1 彼此等不干扰为理。
脉冲函数想：C ()s=k的根,B( ) s(Bs) R( s) =D( )s D (s)则αr js +β cji =∑ ∑ j +=1 (sσ j+j ωj ) (σs j jω j ) =i1 s pi[][]k+ 2 r=n ct() = ∑ i cei =1kpi t ∑+ej=1 rσ jt( A joc ωs j t+ B j s n i ω jt )(t≥ )0系统的稳定性和代数稳定判据式上明表：式表明上：1 当且。
仅系统当的征特根全具有负部部(和实均小。
当于且当系仅统特的征全部具有根实负部(),即征特的位根分布置在面平左半的时部，即征特根的置分布在S平面位的半左部时),零即特征根位置的分在布平的左面半时，才能成部此系时在扰动统消后能失恢复原来的平衡到态，状立此时，系统在扰消动失后能复到恢来的原衡状平态，系则统是稳的定统。
8讲3-5稳定判据
例3-7 单位负反馈系统的开环传递函数
G(s) = K s (0.1s + 1)(0.25s + 1)
.特征方程各项系数均大于零， 即
试求K的稳定域
解：
特征方程
ห้องสมุดไป่ตู้
S (0.1s + 1)(0.25s + 1) + k = 0
ai > 0
(i=0,1,2,….,4)
（ 1）
0.025 s 3 + 0.35 s 2 + s + k = 0
a1 a4 − a0 a5 a1 C a − a1C33 C a − a1C43 C24 = 13 5 C34 = 13 7 C13 C13
s1 s0
C1n
C1n +1 = an
例3-8 单位负反馈系统的开环传递函数
G(s) =
（ 1） （ 2） 解： （1） 开环增益K
特征方程
s 3 + 20ξ s 2 + 100s + K a = 0
2.古尔维茨行列式：
D1 = a1 > 0,
D2 = a1 a0 a3 1 = a2 2 5 = 1 × 3 − 2 × 5 = −7 < 0 3
ai > 0
D2 = a1 a0 a3 a2
(i=0,1,2,….,3)
K >0
（ 2）
= a1 a 2 − a 0 a 3 = 0.35 × 1 − 0.025 K > 0
反变换
c ( t ) = ∑ Ai 0e sit + ∑ B j e rj + ∑ Ci e sit
i =1 j =1 i =1
系统的稳定性和代数稳定判据
)
n2
(
s
2
2ll
l2)
j 1
l 1
n1
aj
j 1 s p j
n2
l 1
l
(s
lnl s2 2
) lnl 1 lnl s nl2
2 l
y2(t) n1 a je pjt n2 le lnlt cosnl
1l2t
n2
e lnlt
l
sin nl
1l2t
j 1
l 1
l 1
线性系统稳定的充要条件：
Tuesday, July 28,
2020
3
稳定的充要条件和属性
前面讨论的当外作用消失后，如果经过足够长的时间它能回复到 原来的起始平衡状态可看作第二项经过足够长的时间变为零。
系数取决于初始条件的多项式 系数取决于初始条件的多项式
Y2(s)
sn an1sn1 a1s a0
n1
(s
p
j
稳定的基本概念： 设系统处于某一起始的平衡状态。在外作用的影响下，离
开了该平衡状态。当外作用消失后，如果经过足够长的时间它 能回复到原来的起始平衡状态，则称这样的系统为稳定的系统 。 否则为不稳定的系统。
Tuesday, July 28,
2020
2
稳定的充要条件和属性
设系统或元件的微分方程为：
y(n)(t) an1y(n1) (t) a0 y(t) bmx(m)(t) bm1x(m1)(t) b0x(t)
系统特征方程的根（即传递函数的极点）全为负实数或具
有负实部的共轭复根。或者说，特征方程的根应全部位于s平面
的左半部。 Tuesday, July 28,
第五节稳定性和代数稳定判据 自动控制原理课件
s n 1 a n1 a n3 a n5
s n 2 b1
b2
b3
s n 3 c1
c2
c3
s n 4 d1
d2
d3
s1
f1
s0
g1
2020/9/30
时域分析法--稳定性和稳定判据
8
劳斯判据
s
0
s
n4
s
n3
s
n2
s
n 1
s
n
以下各项的计算式为：
an
a n2
an an2
b1
an1 an3 an1an2anan3
点有关，与零点无关。
对于一阶系统，a1sa0
系统是稳定的。
0,sa0 a1
,
只要
a0 , a1 都大于零，
对于二阶系统，a2s2a1sa00,s1,2a12 a a 1 224a2a0
只有 a0,a1,a2 都大于零，系统才稳定。（负实根或实部为负）
对于三阶或以上系统，求根是很烦琐的。于是就有了以下 描述的代数稳定性判据。
时域分析法--稳定性和稳定判据
11
劳斯判据特殊情况
特殊情况下劳斯阵列的列写及结论：
用一个正数去乘或除某整行，不会改变系统的稳定性结论；
劳斯阵第一列所有系数均不为零，但也不全为正数，则系统不 稳定。表示s右半平面上有极点，极点个数等于劳斯阵列第一列 系数符号改变的次数。
[例]：系统的特征方程为： s5 2 s4 s3 3 s2 4 s 5 0
稳定的基本概念： 设系统处于某一起始的平衡状态。在外作用的影响下，离
开了该平衡状态。当外作用消失后，如果经过足够长的时间它 能回复到原来的起始平衡状态，则称这样的系统为稳定的系统 。 否则为不稳定的系统。
第三章稳定性和代数稳定判据
如果特征方程中有一对实部为正的共轭复根，它的对应项 是发散的周期振荡。
上述两种情况下系统是不稳定的。
如果特征方程中有一个零根，它所对应于一个常数项，系 统可在任何状态下平衡，称为随遇平衡状态；
如果特征方程中有一对共轭虚根，它的对应于等幅的周期 振荡，称为临界平衡状态（或临界稳定状态）。
从控制工程的角度认为临界稳定状态和随遇平衡状态属于
s n2 b1
b2
b3
s n3 c1
c2
c3
s n4 d1
d2
d3
s0 g1
劳斯阵的前两行由特征方程的系数 组成。
第一行为1，3，5，…项系数组成，
第二行为2，4，6，…项系数组成。
Sunday, April 12, 2020
8
劳斯判据
以下各项的计算式为：
an an2
b1
an1 an3 an1an2 anan3
24
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Sunday, April 12, 2020
7
劳斯判据
二、 劳斯稳定性判据 （一）、劳斯判据
设线性系统的特征方程为 ansn an1sn1 a1s a0 0 则该系统稳定的充要条件为：
由特征方程系数组成的劳斯阵的第一列所有元素都为正。
sn an
an2 an4
s n1 an1 an3 an5
稳定的基本概念： 设系统处于某一起始的平衡状态。在外作用的影响下，离
开了该平衡状态。当外作用消失后，如果经过足够长的时间它 能回复到原来的起始平衡状态，则称这样的系统为稳定的系统 。 否则为不稳定的系统。
Sunday, April 12, 2020
2
稳定的充要条件和属性
自动控制系统的代数稳定判据
s35s28s60
劳斯表为
s3 1 8
s2 5 6 s 1 34
5 s0 6
可以看出，第一列中各项符号没有改变，所以 没有根在S平面的右侧，系统是稳定的。
检查上述系统是否有1 1 裕量。
将 sz1代入原特征方程式，得
(z 1 )3 5 (z 1 )2 8 (z 1 ) 6 0
新的特征方程为 z32z2z20
3.5 自动控制系统的代数稳定判据
1、稳定的基本概念 定义：如果线性定常系统受到扰动的作用，偏离
了原来的平衡状态，而当扰动消失后，系统又能够 逐渐恢复到原来的平衡状态（或达到新的平衡状 态），则称该系统是稳定的。否则，称该系统是不 稳定的。 注意：稳定性是系统的一种固有特性，这种特性只
取决于系统的结构和参数，与外作用无关。
注意：a0>0
劳斯判据给出了系统特征根分布的情况，而并 不能给出具体的特征根的值。
例3-4 系统的特征方程为
2 s 6 5 s 5 3 s 4 4 s 3 6 s 2 1 s 7 4 0
解：列劳斯表
s6
2
3
67
s5
5
4
14
s4
2 4 5 3 7
2
7
5
5
5
s3
18
7
11
s2
115
此判据被称为谢绪恺判据。 谢绪恺判据完全避免了除法，且节省了计算量。
６. 参数对稳定性的影响
应用代数稳定判椐可以用来判定系统是否稳 定，还可以方便地用于分析系统参数变化对系 统稳定性的影响，从而给出使系统稳定的参数 范围。
例3-8 系统的闭环传递函数为。
W BsT 1s1T 2s K 1K T 3s1K K
稳定性和代数稳定判据
率作等幅振荡，试拟定此时K和 旳值。
R(s)
K
s(0.2s 1)(s 1)
C(s)
解：系统旳闭环特征方程为
0.2s3 (0.2 )s2 s K 0
Saturday, December
31
10, 2023
劳斯行列表为： s3
0.2
1
s 2 0.2
K
s1 1 0.2K0Biblioteka 0.2 s0K
系统作等幅振荡，所以存在一对虚根。且 s1,2 5 j，这相 当于劳斯阵列中有一行全为0，在本例中，要求 s1 行为0， 而第一列其他元素全不小于0，所以有：
Saturday, December
11
10, 2023
在利用劳斯判据判断鉴别系统稳定性时，有时会遇到两种 特殊情况，这时必须进行某些相应旳数学处理。
（1）劳斯阵列某一行中旳第一列数字元素等于零，而该行旳 其他各列元素不为零或不全为零。
处理方法：用一种小正数 来替代该行第一列元素零，据此 算出其他各项元素，完毕劳斯阵列旳排列。假如 与其上项或
Saturday, December
22
10, 2023
解辅助方程 s4 1 0，得
s1,2 1
s3,4 j
利用辅助方程和多项式除法，特征方程变为
(s 2)(s4 1) 0
所以特征方程得另一种根为 s5 2
Saturday, December
23
10, 2023
三、 稳定性判据旳应用 1、参数变化对稳定性旳影响
28
10, 2023
例：系统旳特征方程为 2s3 10s2 13s 4 0 ，试检验系统 是否具有 1旳稳定裕量。
解：首先鉴别系统是否稳定。 （1）全部系数均不小于零。 （2）D2 a1a2 a0a3 10 13 2 4 122 0
R(s)
K
s(0.2s 1)(s 1)
C(s)
解：系统旳闭环特征方程为
0.2s3 (0.2 )s2 s K 0
Saturday, December
31
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劳斯行列表为： s3
0.2
1
s 2 0.2
K
s1 1 0.2K0Biblioteka 0.2 s0K
系统作等幅振荡，所以存在一对虚根。且 s1,2 5 j，这相 当于劳斯阵列中有一行全为0，在本例中，要求 s1 行为0， 而第一列其他元素全不小于0，所以有：
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11
10, 2023
在利用劳斯判据判断鉴别系统稳定性时，有时会遇到两种 特殊情况，这时必须进行某些相应旳数学处理。
（1）劳斯阵列某一行中旳第一列数字元素等于零，而该行旳 其他各列元素不为零或不全为零。
处理方法：用一种小正数 来替代该行第一列元素零，据此 算出其他各项元素，完毕劳斯阵列旳排列。假如 与其上项或
Saturday, December
22
10, 2023
解辅助方程 s4 1 0，得
s1,2 1
s3,4 j
利用辅助方程和多项式除法，特征方程变为
(s 2)(s4 1) 0
所以特征方程得另一种根为 s5 2
Saturday, December
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10, 2023
三、 稳定性判据旳应用 1、参数变化对稳定性旳影响
28
10, 2023
例：系统旳特征方程为 2s3 10s2 13s 4 0 ，试检验系统 是否具有 1旳稳定裕量。
解：首先鉴别系统是否稳定。 （1）全部系数均不小于零。 （2）D2 a1a2 a0a3 10 13 2 4 122 0
35劳斯判据
统可在任何状态下平衡，称为随遇平衡状态；
如果特征方程中有一对共轭虚根，它的对应于等幅的周期
振荡，称为临界平衡状态（或临界稳定状态）。
如果特征方程中有一对实部为负的共轭复根，它的对应项
是收敛的。
Im S平面
稳临 定界
不 稳
Re
区稳 定
定区
结论：
➢ 线性定常系统稳定的充分必要条件：特征方程式的 所有根均为负实根或其实部为负的复根，即特征方 程的根均在复平面的左半平面。
➢ 这表明：线性定常系统零输入响应稳定的充 要条件是其特征方程的根均具有负实部。
特征方程根与系统稳定性的关系
如果特征方程中有一个正实根，它所对应的指数项将随时间单
调增长；
如果特征方程中有一对实部为正的共轭复根，它的对应项
是发散的周期振荡。
上述两种情况下系统是不稳定的。
如果特征方程中有一个零根，它所对应于一个常数项，系
稳定性的条件除特殊情况外是一致的。 • 所以，线性定常系统的稳定性可以通过系统响
4.线性定常系统的稳定性表现
➢ LTI的稳定性与其时域响应的收敛性密切关联 控制系统的响应分为暂态分量和稳态分量，若 随时间推移，其暂态分量逐渐衰减，系统响应 最终收敛到稳态，则称该系统稳定(①)； 如果过渡过程发散，则该系统不稳定(②)。
2.零输入响应的稳定性（通常意义的稳定）
➢ 研究系统零输入响应的稳定性，就是研究系统 输出量中齐次方程通解的运动形式；
➢ 这种运动形式完全取决于系统的特征方程式， 即齐次微分方程，这个特征方程反映了扰动消 除之后输出量的运动情况。
➢ 单输入、单输出线性定常系统微分方程的一般形 式为
c(n) (t) a1c(n1) (t) a2c(n2) (t) an1c(t) anc(t) b0r (m) (t) b1r (m1) (t) b2r (m2) (t) bm1r(t) bmr(t)
(自动控制原理)3.5稳定性的概念
一个方面。
一个稳定的系统不一定是鲁 棒的，但一个鲁棒的系统必
须是稳定的。
在系统设计中，应综合考虑稳 定性和鲁棒性，以确保系统在 各种条件下都能保持稳定和可
靠的运行。
THANKS
感谢观看
系统在受到外部扰动后能够回到原来的平衡状态。
内部稳定性
系统在没有外部扰动的情况下，能够保持内部平衡状态。
稳定性与系统性能的关系
01
稳定性是系统性能的重要指标之一，它决定了系统能否正常工 作。
02
稳定性好的系统，其性能通常较好，能够更好地适应外部环境
的变化。
稳定性差的系统，其性能通常较差，容易受到外部扰动的影响，
环频率响应曲线来判断系统的稳定性。
02
博德图判据包括两个主要条件：一是系统的开环传递函数在复 平面的右半部分没有极点；二是系统的开环频率响应曲线在负
实轴上没有穿越点。
03
博德图判据的优点是直观易懂，适用于多变量系统和非线性系 统。但是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ对于高阶系统，需要借助计算机辅助工具进行计算
和分析。
05
稳定性与系统设计
劳斯表是一个包含系统极点的表格，通过计算可以得到系统的极点。赫尔维茨矩阵是由系统传递函数的 零点和极点构成的矩阵，其行列式和迹决定了系统的稳定性。
劳斯-赫尔维茨判据的优点是简单易行，适用于多变量系统。但是，对于高阶系统，计算量较大，需要借 助计算机辅助工具进行计算。
奈奎斯特判据
奈奎斯特判据是一种通过分析系统的频率响应来判断系统 稳定性的方法。它基于频率域分析，通过分析系统的开环 频率响应曲线来判断系统的稳定性。
系统设计中的稳定性考虑
01
稳定性是系统设计的重要考虑因素，因为不稳定的 系统可能导致不可预测的行为和性能下降。
一个稳定的系统不一定是鲁 棒的，但一个鲁棒的系统必
须是稳定的。
在系统设计中，应综合考虑稳 定性和鲁棒性，以确保系统在 各种条件下都能保持稳定和可
靠的运行。
THANKS
感谢观看
系统在受到外部扰动后能够回到原来的平衡状态。
内部稳定性
系统在没有外部扰动的情况下，能够保持内部平衡状态。
稳定性与系统性能的关系
01
稳定性是系统性能的重要指标之一，它决定了系统能否正常工 作。
02
稳定性好的系统，其性能通常较好，能够更好地适应外部环境
的变化。
稳定性差的系统，其性能通常较差，容易受到外部扰动的影响，
环频率响应曲线来判断系统的稳定性。
02
博德图判据包括两个主要条件：一是系统的开环传递函数在复 平面的右半部分没有极点；二是系统的开环频率响应曲线在负
实轴上没有穿越点。
03
博德图判据的优点是直观易懂，适用于多变量系统和非线性系 统。但是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ对于高阶系统，需要借助计算机辅助工具进行计算
和分析。
05
稳定性与系统设计
劳斯表是一个包含系统极点的表格，通过计算可以得到系统的极点。赫尔维茨矩阵是由系统传递函数的 零点和极点构成的矩阵，其行列式和迹决定了系统的稳定性。
劳斯-赫尔维茨判据的优点是简单易行，适用于多变量系统。但是，对于高阶系统，计算量较大，需要借 助计算机辅助工具进行计算。
奈奎斯特判据
奈奎斯特判据是一种通过分析系统的频率响应来判断系统 稳定性的方法。它基于频率域分析，通过分析系统的开环 频率响应曲线来判断系统的稳定性。
系统设计中的稳定性考虑
01
稳定性是系统设计的重要考虑因素，因为不稳定的 系统可能导致不可预测的行为和性能下降。
自动控制原理3第五节稳定性和代数稳定判据
项系数an1 至最后一项系数 a0 ，在主对角线以下各行中各项系数 下标逐次增加，在主对角线以上各行中各项系数下标逐次减小。
当下标大于n或小于0时，行列式中的项取0。
20
3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
2
3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
稳定的定义和定理
定义1：对于线性定常系统，在任何一组初始条件下，若输入
x(t)=0，当t→∞时，系统的输出及其各阶导数为零，即
lim y(t) lim y(t) ... lim y(n1)(t) 0
t
t
t
则称该系统为渐近稳定的。
定义2：对于线性定常系统在零初始条件下，加入一个有界的输
4
3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
稳定的充要条件和属性
前面讨论的当外作用消失后，如果经过足够长的时间它能回复到 原来的起始平衡状态可看作第二项经过足够长的时间变为零。
系数取决于初始条件的多项式 系数取决于初始条件的多项式
Y2(s)
sn an1sn1 ... a1s a0
n1
n2
(s p j ) (s2 2 kk k2 )
❖且 a1a2 a3a0 0
15
3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
特殊情况下劳斯阵列的列写及结论：
劳斯判据特殊情况
用一个正数去乘或除某整行，不会改变系统的稳定性结论；
劳斯阵第一列所有系数均不为零，但也不全为正数，则系统 不稳定。表示s右半平面上有极点，右极点个数等于劳斯阵列 第一列系数符号改变的次数。
an an2 an4 an6 ... 0 0
0
赫尔维茨行列式： 0
an1 an3 an5 ... 0 0 an an2 an4 ... 0 0
当下标大于n或小于0时，行列式中的项取0。
20
3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
2
3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
稳定的定义和定理
定义1：对于线性定常系统，在任何一组初始条件下，若输入
x(t)=0，当t→∞时，系统的输出及其各阶导数为零，即
lim y(t) lim y(t) ... lim y(n1)(t) 0
t
t
t
则称该系统为渐近稳定的。
定义2：对于线性定常系统在零初始条件下，加入一个有界的输
4
3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
稳定的充要条件和属性
前面讨论的当外作用消失后，如果经过足够长的时间它能回复到 原来的起始平衡状态可看作第二项经过足够长的时间变为零。
系数取决于初始条件的多项式 系数取决于初始条件的多项式
Y2(s)
sn an1sn1 ... a1s a0
n1
n2
(s p j ) (s2 2 kk k2 )
❖且 a1a2 a3a0 0
15
3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
特殊情况下劳斯阵列的列写及结论：
劳斯判据特殊情况
用一个正数去乘或除某整行，不会改变系统的稳定性结论；
劳斯阵第一列所有系数均不为零，但也不全为正数，则系统 不稳定。表示s右半平面上有极点，右极点个数等于劳斯阵列 第一列系数符号改变的次数。
an an2 an4 an6 ... 0 0
0
赫尔维茨行列式： 0
an1 an3 an5 ... 0 0 an an2 an4 ... 0 0
3自动控制原理第三章02
2）当特征根为复根时：
pi = σi ± jωi
σit
lim(ae i
t →∞
(σi + jωi )t
+ ai+1e
(σi − jωi )t
)
lim(ae sin(ωit +ϕi )) =
t →∞
∞ ai 0
σi > 0 σi = 0 σi < 0
特征根实部全 为负值， 为负值，响应 才收敛为零， 才收敛为零， 系统稳定； 系统稳定；
二、线性定常系统的稳定性
线性定常系统
C(s) bmsm + bm−1sm−1 +Lb1s + b0 G(s) = = n , n≥m n−1 R(s) s + an−1s +La1s + a0
设系统的n个特征根互异
si = pi = σi + jωi , i = 1,2,L, n
则系统的单位脉冲响应表为单极点形式 C(s) = 展开为部分分式 时间响应
例3－6 已知系统的闭环特征方程为 －
s4 + 2s3 + 3s2 + 4s + 5 = 0 试用劳斯判据判别系统的稳定性。 试用劳斯判据判别系统的稳定性。 解 作劳斯表如下 s4 1 3 5 s3 2 4 2×5 − 0×1 2×3 − 4×1 2 1 b2 = =5 b1 = =1 s 5 2 2 s1 -6 s0 5 第一列中有负值出现，不全部大于零， 负值出现 第一列中有负值出现，不全部大于零，所以系统不 稳定。 稳定
1、劳斯（Routh）判据 、劳斯（ ） 特征方程 D(s) = an sn + an−1sn−1 +La1s + a0 = 0 作劳斯表如下， 作劳斯表如下，将方程的各系数间隔填入前两行 sn an a n- 2 an-4 …… sn-1 an-1 a n- 3 an-5 …… sn-2 b1 b2 b3 …… sn-3 c1 c2 c3 …… sn-4 …… …… …… …… …… …… s2 e1 e2 s1 f1 计算以下各行。 计算以下各行。 s0 g1
3.5劳斯判据
j
P 3
注意：稳面
O
P n
P 4
对于复平面右半平面没有极点，但虚轴上存在极 点的线性定常系统，称之为临界稳定的，该系统
在扰动消除后的响应通常是等幅振荡的。
在工程上，临界稳定属于不稳定。因为参数的微
小变化就会使极点具有正实部，从而导致系统不
大范围稳定: 不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取 消后，系统都能够恢复到原有的平衡状态。
(a)大范围稳定
3. 零状态响应的稳定性（BIBO稳定）
• 零状态响应的稳定性 –如果系统对于每一个有界输入的零状态响应 仍保持有界，则称该系统的零状态响应是稳 定的。
• 零状态响应稳定又称为有界输入有界输出稳定 （BIBO稳定，外部稳定）。 • BIBO稳定可以由系统响应的收敛性直观表示。
例3-2:设控制系统的特征方程式为
s 41.5s 517 s 2.3 10 0
3 2 4
试用劳斯判据判别系统的稳定性。
解 :系统特征方程式的系数均大于零，并且没有缺项， 所以稳定的必要条件满足。列劳斯表
s3 s2 s1 1 41.5 38.5 517 0 2.3 104 0
表中，
a1a2 a0 a3 b1 ; a1
a1a6 a0 a7 a1a4 a0 a5 , b2 ; b3 a1 a1
系数b 的计算，一直进行到后面的全部为零时为止。 同样采用上面两行系数交叉相乘的方法，可以求出
c、d、e、f 等系数，即
b1a3 a1b2 b1a5 a1b3 c1 ; c2 ; b1 b1 b1a7 a1b4 c3 , b1 e1d 2 d1e2 f1 e1
P 3
注意：稳面
O
P n
P 4
对于复平面右半平面没有极点，但虚轴上存在极 点的线性定常系统，称之为临界稳定的，该系统
在扰动消除后的响应通常是等幅振荡的。
在工程上，临界稳定属于不稳定。因为参数的微
小变化就会使极点具有正实部，从而导致系统不
大范围稳定: 不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取 消后，系统都能够恢复到原有的平衡状态。
(a)大范围稳定
3. 零状态响应的稳定性（BIBO稳定）
• 零状态响应的稳定性 –如果系统对于每一个有界输入的零状态响应 仍保持有界，则称该系统的零状态响应是稳 定的。
• 零状态响应稳定又称为有界输入有界输出稳定 （BIBO稳定，外部稳定）。 • BIBO稳定可以由系统响应的收敛性直观表示。
例3-2:设控制系统的特征方程式为
s 41.5s 517 s 2.3 10 0
3 2 4
试用劳斯判据判别系统的稳定性。
解 :系统特征方程式的系数均大于零，并且没有缺项， 所以稳定的必要条件满足。列劳斯表
s3 s2 s1 1 41.5 38.5 517 0 2.3 104 0
表中，
a1a2 a0 a3 b1 ; a1
a1a6 a0 a7 a1a4 a0 a5 , b2 ; b3 a1 a1
系数b 的计算，一直进行到后面的全部为零时为止。 同样采用上面两行系数交叉相乘的方法，可以求出
c、d、e、f 等系数，即
b1a3 a1b2 b1a5 a1b3 c1 ; c2 ; b1 b1 b1a7 a1b4 c3 , b1 e1d 2 d1e2 f1 e1
5稳定性和代数稳定判据
3．代数稳定判据
设线性系统的特征方程为：a0 s n + a1 s n−1 + ⋯ + an−1 s + an = 0 ， 依照以下的方法构造劳斯表，构造方法如下：
sn s n −1 s n−2 ⋮ s1 s0
a0 a1 a1a2 − a0 a3 b1 = a1 ⋮ d1 e1
a2 a3 a1a4 − a0 a5 b2 = a1 ⋮ d2
a4 ⋯ a5 ⋯ ⋯ ⋮
劳斯判据：线性系统稳定的充分必要条件是劳斯表第一列的所有元 素符号不改变，且符号改变的次数为特征根位于s右半平面的个数。 [例4] 讨论二阶、三阶系统稳定的充分必要条件。
a0 s 2 + a1s + a2 = 0 ，构造劳斯表： 二阶系统：
s2 a0 s1 a1 s 0 a1a2 − a0 × 0 = a2 a1
（2）系统运动稳定性的描述
稳定性描述：线性系统受到扰动的作用而使被控量产生偏差， 当扰动消失后，随着时间的推移，该偏差逐渐减小并趋于零，即 被控量回到原来的平衡工作状态，则称该系统稳定。反之，若在 扰动的影响下，系统的被控量随着时间的推移而发散，则称系统 不稳定。 通过前面关于系统动态性能的分析可知， 通过前面关于系统动态性能的分析可知，线性系统由扰动作用而 使被控量产生偏差，当扰动消失后，偏差能否“消失” 使被控量产生偏差，当扰动消失后，偏差能否“消失”，实际上是 指系统的暂态响应能否消失，若暂态响应能消失的， 指系统的暂态响应能否消失，若暂态响应能消失的，则系统是稳定 若暂态响应不能消失，则系统是不稳定。 的，若暂态响应不能消失，则系统是不稳定。对于暂态响应不能消 失有2种情况 一种情况是系统的暂态响应呈现发散状态， 种情况， 失有 种情况 ， 一种情况是系统的暂态响应呈现发散状态 ， 另外一 种情况是系统的暂态响应呈现等幅振荡状态， 种情况是系统的暂态响应呈现等幅振荡状态，对于等幅振荡情形可 以称为临界稳定状态。 以称为临界稳定状态。 结论：线性系统的稳定性，与系统的输入信号、初始状态均无关， 结论：线性系统的稳定性，与系统的输入信号、初始状态均无关， 它是系统的固有本质属性，完全取决于系统的结构和参数。 它是系统的固有本质属性，完全取决于系统的结构和参数。
3.5劳斯稳定性及稳定判据
s3
B1
A1a3 a5 A2 A1
s2
C1
B1 A2 A1B2 B1
s1
D1
C1B2 B1C2 C1
s0
E1
D1C 2 D1
a0
a3
A2
a5a2 a6a1 a5
B2
A1a1 a5 A3 A1
C2
B1 A3 0 B1
a0
a1
0
0 A3
a5a0 a5
a0
s5 1
1
4
s4 2
3
5
一次符号变化
s 3 0.5 1.5 0
二次符号变化
s2 9
5
0
1 3 0 ( 1 ) 2
950
系统不稳定
其第一列系数符 号变化两次，表
s1 16
0
9
0
1( 32) 9
0
0
( 9 ) 32
示有两个极点在 s的右半平面。
s0 5
0
0
500
用一个正数去乘或除某整行，不会改变系统的稳定性结论；
s5 0 增加运动模态 常数项 k
c() k 系统不稳定
s3 j
s2
s1
o
N (s)
s4
G(s) (s 3)( s 20)( s2 2s 4)( s2 4)
s5,6 j2 增加运动模态 A1 cos 2t B1 sin2t
0
t
c() 0 系统持续震荡，也称为临界稳定
s1,2 j 2 , s3,4 j2
第五节稳定性和代数稳定判据
9
劳斯判据特殊情况
劳斯阵某行系数全为零的情况。表明特征方程具有大小相等 而位置径向相反的根。至少要下述几种情况之一出现，如：大 小相等，符号相反的一对实根，或一对共轭虚根，或对称于虚 轴的两对共轭复根。
例如: 1 (s2 4)(s2 25)(s 2) s5 2s4 24s3 48s2 25s 50 2 (s2 4)
[例3-7]已知系统的结构图，试确定系统的临界放大系数。 k
s(s 1)(s 2)
k
[解]：闭环传递函数为：(s)
s(s 1
1)(s k
2)
k
s3 3s2 2s k
s(s 1)(s 2)
特征方程为：s3 3s2 2s k 0
Tuesday, April 14, 2020
19
劳斯阵： s3 1 2
[处理办法]：可将不为零的最后一行的系数组成辅助方程，对 此辅助方程式对s求导所得方程的系数代替全零的行。大小相等， 位置径向相反的根可以通过求解辅助方程得到。辅助方程应为 偶次数的。
Tuesday, April 14, 2020
10
劳斯判据特殊情况
[例] s6 2s5 8s4 12s3 20s2 16s 16 0
[解]：劳斯阵为：s3 a3
a1
s 2 a2
a0
s1 a2a1 a3a0 0 a2
s0 a0
0
稳定的充要条件为：
❖ a3, a2 , a1, a0 均大于零
❖且a1a2 a3a0 0
Tuesday, April 14, 2020
7
劳斯判据特殊情况
特殊情况下劳斯阵列的列写及结论：
用一个正数去乘或除某整行，不会改变系统的稳定性结论；
5第五节稳定性与代数稳定判据45页PPT文档
不稳定。
I m S平面
稳 定
临 界
不 稳 Re
区 稳定
定区
9/16/2019
11
再来讨论有界输入－有界输出意义下的稳定性定义。同样假设
系统的单位脉冲响应为y (t)，则系统在任意输入信号r (t) 的作用
下，输y(出t)响应0yy(t()可)r表(t示为)dy (t)与 r (t) 的卷积，
M
，使得：
0|y(t)|d t M
则输出响应 y(t) 必定是有界的
9/16/2019
12
n1
y (t)
Ajepjt
j1
n2
Blelntlcon sl
n2
1l2t
Clelntlsinnlຫໍສະໝຸດ 1l2t， t0l1
l1
| y(t)|MrM
有界输入－有界输出稳定性的概念是考虑在输入影响下系 统的行为。
尽管在引出稳定性的定义时提到了输入作用和扰动作用， 但对线性定常系统来说，不论是在李亚普诺夫，还是在有界输 入－有界输出的意义下，系统稳定与否完全取决于系统本身的 结构和参数，稳定性是系统本身的一种特性，而与输入作用无 关。输入量不影响输出量的瞬态项，只影响输出量的稳态项。
如果r (t)有界，即存在常数 M r 使得：
|r(t)|M r
由于：|y(t)|0y()r(t)d0y()r(t)d
0y()||r(t)dMr 0y()d
可见，若
0
y (t)dt 绝对可积，即
y
(t ) 有界或存在常数
若为：0 若y (t系)dt统无的界单，位则脉不冲能响保应证函输数出为响y应 (t
9/16/2019
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Sunday, July 14, 2013
稳 临 不 Re 定 界 稳 区 稳 定 定 区
5
充要条件说明
注意：稳定性是线性定常系统的一个属性，只与系统本身的结 构参数有关，与输入输出信号无关，与初始条件无关；只与极 点有关，与零点无关。
对于一阶系统， 1s a0 0, s 0 , 只要 a0 , a1 都大于零， a a1 系统是稳定的。 a1 a12 4a2 a0 a 2 对于二阶系统， 2 s a1s a0 0, s1, 2 2 a2 只有 a0 , a1 , a2 都大于零，系统才稳定。（负实根或实部为负） 对于三阶或以上系统，求根是很烦琐的。于是就有了以下 描述的代数稳定性判据。
y(t ) y1(t ) y2 (t )
上式右边第一项为零状态解，对应与由输入引起的响应过程。 第二项为零输入解，对应于由初始状态引起的响应过程。 这项相当于系统齐次微分方程的解。
Sunday, July 14, 2013 3
稳定的充要条件和属性
前面讨论的当外作用消失后，如果经过足够长的时间它能回复到 原来的起始平衡状态可看作第二项经过足够长的时间变为零。
c1b3 b1c3 d2 c1 c1b4 b1c4 d3 c1
10
c1b2 b1c2 d1 c1
Sunday, July 14, 2013
e 依次类推。可求得 i , fi , gi ,...(i 1,2,...)
劳斯判据例子
[例]：特征方程为： 3s3 a2 s 2 a1s a0 0 ，试判断稳定性。 a [解]：劳斯阵为： 3 s
an an 6 an 1 an 7 an 1an 6 an an 7 b3 an 1 an 1
Sunday, July 14, 2013
an 2 an 3 b2 c2 d2
an 4 an 5 b3 c3 d3
0
s n an s n 1 an 1 s n 2 b1 s n 3 c1 s n 4 d1 s 0 g1
1 2 0( ) 2 2 1
1 1 2 0 1 0 0 0 0 0
2 2
则 0 令
2
2
一列不全为正，系统不稳定， s右半平面有两个极点。
故第
2 ,2 1
2
2
Sunday, July 14, 2013
13
劳斯判据特殊情况
劳斯阵某行系数全为零的情况。表明特征方程具有大小相等 而位置径向相反的根。至少要下述几种情况之一出现，如：大 小相等，符号相反的一对实根，或一对共轭虚根，或对称于虚 轴的两对共轭复根。
an 2 an 3 b2 c2 d2
an 4 an 5 b3 c3 d3
9
劳斯判据
c1
an 1 b1 b1
an 3 b2 b1an 3 b2an 1 b1
n 1 n 2n 3 n 4n
s an s an 1 s b1 s c1 s d1 s g1
a3 a2 a2 a1 a3 a0 a2 a0 a1 a0 0 0
s2 s
1
s0
稳定的充要条件为： a3 , a2 , a1 , a0 均大于零
且a1a2 a3a0 0
Sunday, July 14, 2013
11
劳斯判据特殊情况
特殊情况下劳斯阵列的列写及结论： 用一个正数去乘或除某整行，不会改变系统的稳定性结论； 劳斯阵第一列所有系数均不为零，但也不全为正数，则系统不 稳定。表示s右半平面上有极点，极点个数等于劳斯阵列第一列 系数符号改变的次数。 [例]：系统的特征方程为： s 5 2s 4 s 3 3s 2 4s 5 0
n 1 n 2n 3 n 4n
s an s an 1 s b1 s c1 s d1 s g1
an 2 an 3 b2 c2 d2
an 4 an 5 b3 c3 d3
劳思阵的前两行由特征方程的系数 组成。
第一行为1，3，5，…项系数组成，
第二行为2，4，6，…项系数组成。
an 1 an 5 b1 b3 b1an 5 b3an 1 c2 b1 b1
an 2 an 3 b2 c2 d2
an 4 an 5 b3 c3 d3
0
c3
an 1 b1 b1
an 7 b4 b1an 7 b4an 1 b1
( s n an 1s n 1 a1s a0 )Y ( s ) (bm s m bm 1s m 1 b1s b0 ) X ( s ) +系数取决于初始条件的多项式
bm s m bm1s m1 b1s b0 系数取决于初始条件的 多项式 Y ( s) n X ( s) s an 1s n 1 a1s a0 s n an 1s n 1 a1s a0
a
Sunday, July 14, 2013
6
劳斯判据
二、 劳思—赫尔维茨稳定性判据 （一）、劳思判据 设线性系统的特征方程为 an s n an1s n1 a1s a0 0 则该系统稳定的充要条件为： 特征方程的全部系数为正值；
由特征方程系数组成的劳思阵的第一列也为正。
s5 s
4
1 2 0.5 9 32 9 5
1 3 1 .5 5 0 0
4 5 0 0 0 0
s3 s2 s
1
-1 1
3 0（ 2） 0 0（
9 32
）
劳斯阵第一列有负数， 系统是不稳定的。其 符号变化两次，表示 有两个极点在s的右半 平面。
s0
Sunday, July 14, 2013
n1
aj
n2
y2 (t ) a j e
j 1
n1
p jt
l e
l 1
n2
l nl t
cos nl 1 l t l e t sin nl 1 l 2 t
2
l nl
n2
l 1
线性系统稳定的充要条件： 系统特征方程的根（即传递函数的极点）全为负实数或具 有负实部的共轭复根。或者说，特征方程的根应全部位于s平面 的左半部。
0
Sunday, July 14, 2013
7
sn s n 1
an an 1
an 2 an 3 b2 c2 d2
an 4 an 5 b3 c3 d3
s n 2 b1 s n 3 c1 s n 4 d1 s1 s0
f1 g1
Sunday, July 14, 2013
s4 s3 s2 s1 s0
1 1 1 3
6 8 6 8 3 0 8 0
辅助方程为：s 6s 8 0 ， 求导得：4s 3 12s 0 ， s 3 3s 0 ，用1，3，0代 或 替全零行即可。
4 2
从第一列都大于零可见，好象系统是稳定的。注意此时还要 计算大小相等位置径向相反的根再来判稳。由辅助方程求得： s1, 2 j 2 , s3, 4 j 2 (s 2 2)(s 2 4) 0 , 此时系统是临界稳定的。控制工程上认为是不稳定的。
Y2 ( s) 系数取决于初始条件的 多项式 系数取决于初始条件的 多项式 n n n 1 n s an 1s a1s a0 ( s p j ) ( s 2 2ll l2 l ( s l nl ) l nl 1 l 2 s pj s 2 2 l nl s nl 2 j 1 l 1
稳定的基本概念： 设系统处于某一起始的平衡状态。在外作用的影响下，离 开了该平衡状态。当外作用消失后，如果经过足够长的时间它 能回复到原来的起始平衡状态，则称这样的系统为稳定的系统 。 否则为不稳定的系统。
Sunday, July 14, 2013 2
稳定的充要条件和属性
设系统或元件的微分方程为：
1 (s 2 4)(s 2 25)(s 2) s5 2s 4 24s3 48s 2 25s 50 例如:
2 (s 2 4)
[处理办法]：可将不为零的最后一行的系数组成辅助方程，对 此辅助方程式对s求导所得方程的系数代替全零的行。大小相等， 位置径向相反的根可以通过求解辅助方程得到。辅助方程应为 偶次数的。
第五节 系统的稳定性和代数 稳定判据
Sunday, July 14, 2013
1
稳定的充要条件和属性
一、稳定的基本概念和线性系统稳定的充要条件 稳定是控制系统的重要性能，也是系统能够正常运行的首要条 件。控制系统在实际运行过程中，总会受到外界和内部一些因 素的扰动，例如负载和能源的波动、系统参数的变化、环境条 件的改变等。如果系统不稳定，就会在任何微小的扰动作用下 偏离原来的平衡状态，并随时间的推移而发散。因此，如何分 析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是自动控制理论 的基本任务之一。
y ( n ) (t ) an 1 y ( n 1) (t ) a0 y (t ) bm x ( m) (t ) bm 1x ( m 1) (t ) b0 x(t )
式中：x(t)—输入，y(t)—输出 ai , (i 0 ~ n 1); b j , j 0 ~ m) 为常系数。将上式求拉氏变化，得(初始值不全为零）
Sunday, July 14, 2013
14
劳斯判据特殊情况
[例]： s 6 2s 5 8s 4 12s 3 20s 2 16s 16 0