第五届中国女子数学奥林匹克试题

第五届中国女子数学奥林匹克试题

第一天

2006年8月8日 下午15：30——19：30 乌鲁木齐

中国在国际数学奥林匹克竞赛中，连续多年取得很好的成绩，这项竞赛是高中程度，不

包括微积分，但题目需要思考，我相信我是考不过这些小孩子的，因此有人觉得，好的数学家未必长于这种考试，竞赛胜利者也未必是将来的数学家，这个意见似是而非。数学竞赛大约是百年前在匈牙利开始的；匈牙利产生了同它人口不成比例的许多大数学家。

——陈省身

一、设a ＞0，函数 f : （0，＋∞） → R 满足f （a ）＝1．如果对任意正实数x ，y 有

()()()2a a f x f y f f f

xy x y ⎛⎫

⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，①求证： f （x ）为常数．

证明：

在①中令x ＝y ＝1，得 f 2（1）＋f 2（a ）＝2 f （1），

（f （1）－1）2

＝0， ∴ f （1）＝1。 在①中令y ＝1，得 f （x ）f （1）＋f （a x

）f （a ）＝2 f （x ），

f （x ）＝f （

a x

），x ＞0。 ②

在①中取y ＝a x

，得

f （x ）f （a x

）＋f （a x

）f （x ）＝2 f （a ），

f （x ）f （

a x

）＝1。 ③

由②，③得：f 2（x ）＝1，x ＞0。 在①中取x ＝y

，得 f 2

）＋f 2

）＝2 f （t ），

∴ f （t ）＞0。

故f （x ）＝1，x ＞0。

二、设凸四边形ABCD 对角线交于O 点．△OAD ，△OBC 的外接圆交于O ，M 两点，直线

OM 分别交△OAB ，△OCD 的外接圆于T ，S 两点．求证：M 是线段TS 的中点． 证法1：

如图，连接BT ，CS ，MA ，MB ，MC ，MD 。 ∵ ∠BTO ＝∠BAO ，∠BCO ＝∠BMO ，

∴ △BTM ∽△BAC ，得

T M B M A C B C =； ①

同理，△CMS ∽△CBD ，得

M S C M B D

B C

=

。 ②

①÷②得

T M B M

A C

M S

C M

B D

=

⋅。③

又∵ ∠MBD ＝∠MCA ，∠MDB ＝∠MAC ， ∴ △MBD ∽△MCA ，得

B M B D

C M

A C

=。 ④

将④代入③，即得TM ＝ MS 。 证法2：

设△OAB ，△OBC ，△OCD ，△ODA 的外心分别 为O 1，O 2，O 3，O 4，自作O 1，O 3作TS 的垂线， 垂足分别为E ，F 。连接O 2，O 4交TS 于G 。

因OM 是⊙O 2和⊙O 4的公共弦，故O 2O 4垂直平分 OM ，即G 是线段OM 的中点。

同样，O 1O 4垂直平分OA ，O 2O 3垂直平分OC ， 得O 1O 4∥O 2O 3；

同理，O 1O 2∥O 3O 4。

因此O 1O 2O 3O 4构成平行四边形，其对角线互相平分。 由此易知EG ＝ FG 。

又由垂径定理，E 是TO 中点，F 是OS 中点。 因此TM ＝ TO ＋OM ＝ 2EO ＋2OG ＝ 2EG ， ① MS ＝ OS －OM ＝ 2OF －2OG ＝ 2GF 。 ②

由①，②即知TM ＝ MS 。

三、求证：对i ＝1，2，3，均有无穷多个正整数n ，使得n ，n ＋2，n ＋28中恰有i 个可表

示为三个正整数的立方和．

证：

三个整数的立方和被9除的余数不能为4或5，这是因为整数可写为3k 或3k ±1（k ∈Z ），而（3k ）3＝9×3k 3，

（3k ±1）3＝9（3k 3±3k 2＋k ）±1。

对i ＝1，令n ＝3（3m －1）3－2（m ∈Z ＋），则n ，n+28被9除的余数分别为4，5，故均不能表示为三个整数的立方和，而

n+2＝（3m －1）3＋（3m －1）3＋（3m －1）3。

对i ＝2， n ＝（3m －1）3

＋222（m ∈Z ＋

）被9除的余数为5，故不能表示为三个整数的立方和，而

n+2＝（3m －1）3

＋23

＋63， n+28＝（3m －1）3＋53＋53。

对i ＝3， n ＝216m 3（m ∈Z ＋）满足条件： n ＝（3m ）3＋（4m ）3＋（5m ）3， n+2＝（6m ）3＋13＋13，

n+28＝（6m ）3＋13＋33

。

注：所命原题要求证明结论对i ＝0，1，2，3均成立。 为降低试卷难度，去掉了i ＝0的要求。 以下是i ＝0的证明。

对n ＝9m ＋3，m ∈Z ，n+2，n+28被9除的余数分别为5，4，不能表示为三个整数的立方和，若n ＝a 3＋b 3＋c 3

，a ，b ，c ∈Z ，由前知a ，b ，c 均为3 k ＋1型（k ∈Z ）的整数。 小于（3 N ）3（N ∈Z ＋）的9m ＋3型（m ∈Z ）的正整数共3 N 3个。（*） 小于3 N 的3k ＋1型（k ∈Z ）的正整数有N 个，三个这样的数的立方和的组合不超过N 3种，故（*）中正整数至少有3N 3－N 3＝2N 3

个不能表示为三个正整数的立方和。N 可取任意正整数，故i ＝0情形得证。 四、8个人参加一次聚会.

（1）如果其中任何5个人中都有3个人两两认识. 求证：可以从中找出4个人两两认识； （2）试问, 如果其中任何6个人中都有3个人两两认识, 那么是否一定可以找出4个人

两两认识? 解法1：

（1） 用8个点表示8个人，相识二人之间连一线段。按图论语言，这些点称为图的顶

点，线段称为图的边。

按照题意，该图的每个5点子图中均有一个三角形，而每个三角形属于2

83C -=2

5C =10

个不同的5点子图。我们知道，这些三角形共有

358C ＝3×56＝168

条边，其中每条边至多被重复计算了10次。这样一来，即知：每个顶点至少连出

21684810

⨯>⨯条边。所以存在一个顶点A ，由它至少连出5条边。

假设由顶点A 有边连向B ，C ，D ，E ，F 这5个顶点，而由题意在这5个点中又存在一个三角形，不妨设为△BCD 。于是A ，B ，C ，D 这4个点中的任何二点之间均有连线，所以它们所代表的4个人两两认识。 （2）如果其中任何6个人中都有3个人两两彼此认识, 则不一定可以找出4人两两彼此

认识, 例子为:

在正八边形中连出8条最短的对角线. 每个顶点代表一个人, 有线段相连的顶点表示相应二人相互认识. 不难验证: 其中任何6个人中都有3个人两两彼此认识, 但是却找不出4人两两彼此认识. 解法2：

（1）分情形讨论.

情形（i ）如果存在3个人两两互不认识. 那么其余5个人必然两两都认识. 因若不然, 假如他们之中有二人互不认识, 则在他们与原来的3个人一起构成的5人组中就找不出3个人两两认识, 导致矛盾. 所以此时题中结论成立.

情形（ii ）在剩下的情形中, 任何3人中, 都有某两个人相互认识.

（a ）如果8个人中有1个人A 至多认识3个人, 那么他至少不认识4个人. 显然这4个人中的任何二人都彼此认识. 因若不然, 这两个人与A 一起构成的3人组中就没有二人互相认识, 导致矛盾. 所以此时题中结论成立.

（b ）如果存在1个人A 至少认识5个人. 那么这5个人中有3个人两两彼此认识, 他