插补原理与速度控制

（4）逐点比较法圆弧插补终点判别 和直线插补一样，逐点比较法圆弧插补除偏差计 算外，还要进行终点判别。下面我们介绍两种方法。 ①插补运算开始前计算出两个坐标进给的总步数N， N=|Xe-X0|+|Ye-Y0|，在插补过程中，X或Y每走一步， 就从总步数N中减1，当N=0时，表示到达终点。 ②插补前分别计算两个坐标进给的总步数Nx和Ny，其 中Nx=|Xe-X0|，Ny=|Ye-Y0|，当X坐标进给一步时，计 算Nx-1，当Y坐标进给一步时，计算Ny-1，两坐标进给 的总步数均减为零时，表示到达终点。
逐点比较法逆圆插补运算过程
脉冲个数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 F0=0 F1=-19<0 F2=-18<0 F3=-15<0 F4=-10<0 F5=-3<0 F6=6>0 F7=-11<0 F8=0 F9=-15<0 F10=-2<0 F11=13>0 -X +Y +Y +Y +Y +Y -X +Y -X +Y +Y -X
1.逐点比较法直线插补算法 ⑴判别函数及判别条件 如图所示，对XY平面第一象限直线段进行插补。 直线段起点位于坐标原点O，终点位于A（Xe,Ye）。 设点P（Xi，Yi）为任一动点。 若P点在直线OA上，则： Y A (Xe,Ye） XeYi – XiYe = 0 若P点在直线OA上方，则： F＞0 P (Xi,Yi） XeYi – XiYe > 0 若P点在直线OA下方，则： F＜0 XeYi – XiYe < 0
线 型
G01
偏 判 F≥0 F＜0
差 别
象 1 +X +Y 2 +Y - X
限 3 -X -Y 4 -Y +X
（2）逐点比较法圆弧插补象限与坐标变换 各象限的顺、逆圆弧插补都可以采用第一象限逆 圆弧的插补计算公式，至于沿着哪一个坐标轴进给， 向哪一个方向进给可以根据圆弧所在的象限及其走向 决定，下表所示为八种圆弧插补的脉冲分配规律。
⒊ 坐标变换及自动过象限处理 ⑴逐点比较法直线插补的象限与坐标变换 前面介绍的逐点比较法进行直线插补的原理、计 算公式，只适用于第一象限。对于不同的象限，要做 不同的处理。对于1、3象限的直线，当F≥0时，都向X 坐标发脉冲，当F<0时，都向Y坐标发脉冲，之间的差 别只是发脉冲的方向不同。对于2、4象限的直线插补， 不但要考虑分配脉冲的方向，还要考虑坐标轴的变换。 下表为各个象限直线插补脉冲分配规律。
F0=0,Xe=5,Ye=3 n=8
Y A(5,3) 8 5 4 3 2 O 1 图4- 逐点比较法直线插补轨迹 X 6 7
2.逐点比较法圆弧插补 ⑴判别函数及判别条件 如图所示为第一象限逆圆弧,圆心为原点,起点A（X0,Y0）, 终点B（Xe,Ye）,圆弧半径为R。P（Xi ,Yi）为任一加工点。 其偏差函数为： F = （Xi2 +Yi2 ）- R2 =（Xi2 –X02）+（Yi2 -Y02） 根据加工点所在区域的不同，有下列三种情况： 当F=0时，加工点P落在圆弧上； 当F>0时，加工点P落在圆弧外侧； 当F<0时，加工点P落在圆弧内侧；
（5）逐点比较法圆弧插补例题 如图所示，要加工XY平面内第一象限的逆圆弧， 圆弧圆心在坐标原点，圆弧起点坐标A(10，0），终点 坐标为 B(6，8)。试对该段圆弧进行插补。 解 终点判别值为: N = |XB – XA| + |YB – YA| = |6-10|+|8-0| = 12 插补过程如下表所示。
偏百度文库判别
进给方向 F0=0
偏差计算
坐标计算 X0=10, Y0=0 X1=9 ,Y1=0 X2=9 ,Y2=1 X3=9 ,Y3=2 X4=9 ,Y4=3 X5=9 ,Y5=4 X6=9 ,Y6=5 X7=8 ,Y7=5 X8=8 ,Y8=6 X9=7 ,Y9=6 X10=7 ,Y10=7 X11=7 ,Y11=8 X12=10 ,Y12=8
（2）进给方向判别
①当F>0时，应该向X轴发出一负方向运动的进给脉冲使 刀具向圆弧内走一步。 ②当F<0时，应该向Y轴发出一正方向运动的进给脉冲， 使刀具向圆弧外走一步。 ③当F=0时，既可以向X轴方向发一负方向运动的进给脉 冲，也可以向Y轴方向发一负方向运动的进给脉冲。但 通常将F=0和F>0做同样的处理。
X
定义F= XeYi – XiYe偏差函数，则可得到如下结论： 当F=0时，加工点P落在直线上； 当F>0时，加工点P落在直线上方； 当F<0时，加工点P落在直线下方； ⑵进给方向判别 ①当F>0时，应该向+X方向发一脉冲，使刀具向+X方 向前进一步，以接近该直线。 ②当F<0时，应该向+Y方向发一脉冲，使刀具向+Y方 向前进一步，以接近该直线。 ③当F=0时，既可以向+X方向发一脉冲，也可以向+Y 方向前进一步。但通常将F=0和F>0做同样的处理，既 都向+X方向发一脉冲。
插补开始 偏差判别 坐标进给
偏差计算
到达终点？ 插补结束 Y N
图4- 逐点比较法工作循环图
（5）逐点比较法插补算法例题
设欲加工的直线位于XY平面的第一象限，直线的起点坐标为坐标原 点，终点坐标为Xe=5，Ye=3。试用逐点比较法对该段直线进行插补，并 画出插补轨迹。 解 插补过程运算过程如下表所示，表中Xe，Ye是直线终点坐标，n 为总步数，n= | Xe | + | Ye | =8。 脉冲个数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 F0=0 F1= -3<0 F2=2>0 F3= -1<0 F4=4>0 F5=1>0 F6= -2<0 F7=3>0 +X +Y +X +Y +X +X +Y +X 偏差判别 进给方向 偏差计算 F1=F0-Ye=-3 F2=F1+Xe=2 F3=F2-Ye=-1 F4=F3+Xe=4 F5=F4-Ye=1 F6=F5-Ye=-2 F7=F6+Xe=3 F8=F7-Ye=0 7 6 5 4 3 2 1 0 到达终点 终点判别
二、脉冲增量插补 （一）逐点比较法 逐点比较法又称区域判别法或醉步式近似法。逐 点比较法的基本思想是被控制对象在数控装置的控制 下，按要求的轨迹运动时，每走一步都要和规定的轨 迹比较，根据比较的结果决定下一步的移动方向。逐 点比较法可以实现直线和圆弧插补。 逐点比较法的特点是运算直观，插补误差小于一 个脉冲当量，而且输出脉冲均匀，输出脉冲的速度变 化小，调节方便。 逐点比较法的应用对象主要在两坐标开环CNC系 统中应用。
（一）脉冲增量插补算法 脉冲增量插补为行程标量插补。这类插补算法的 特点是每次插补结束仅产生一个行程增量，以一个个 脉冲的方式输出。脉冲增量插补算法主要应用在开环 数控系统中。 一个脉冲所产生的坐标轴移动量叫做脉冲当量， 通常用δ表示。脉冲当量δ是脉冲分配的基本单位，按 机床设计的加工精度选定。 脉冲当量δ值越小，数控 机床的加工精度就越高，对数控系统的计算能力的要 求也越高。采用脉冲增量插补算法的CNC系统，其坐 标轴进给速度受插补程序运行时间的限制。
⑷插补步骤 逐点比较法的直线插补过程，每走一步要进行以下四 个步骤，具体如下： ①偏差判别 根据偏差值确定刀具相对加工直线的位置。 ②坐标进给 根据偏差判别的结果，决定控制沿哪个坐标 进给一步，以接近直线。 ③偏差计算 计算新加工点相对直线的偏差，作为下一步 偏差判别的依据。 ④终点判别 判断是否到达终点，未到达终点则返回第一 步，继续插补，到终点，则停止本程序段的插补。终 点判别可采用两种方法：一是每走一步判断Xi-Xe≥0及 Yi-Ye≥0是否成立，如成立，则插补结束否则继续。二 是把每个程序段中的总步数求出来，即n=|Xe | + | Ye | ， 每走一步n-1，直到n=0为止。
⑵精插补 精插补是在粗插补算出的每一条微小直线段上再做 “数据点的密化”工作，这一步相当于对直线的脉冲 增量插补。粗插补一般用软件来实现，精插补既可以 用软件完成，也可以用硬件来完成。 ⒉ 数字增量插补实现过程 粗插补在每个插补周期内计算出坐标位置增量值， 而精插补则在每个采样周期内采样闭环或半闭环反馈 位置增量值及插补输出的指令位置增量值。然后算出 各坐标轴相应的插补指令位置和实际反馈位置并进行 比较，计算出跟随误差。根据跟随误差算出相应轴的 进给速度指令并输出给驱动装置。插补周期和采样周 期可以相等，也可以不相等，如不相等，则插补周期 应是采样周期的整数倍。
终点判别 N=12 N= 11 N= 10 N= 9 N= 8 N= 7 N= 6 N= 5 N= 4 N= 3 N= 2 N= 1 N= 0
F1=F0-2X0+1=-19 F2=F1+2Y1+1=-18 F3=F2+2Y2+1=-15 F4=F3+2Y3+1=-10 F5=F4+2Y4+1=-3 F6=F5+2Y5+1=6 F7=F6-2X6+1=-11 F8=F7+2Y7+1=0 F9=F8-2X8+1=-15 F10=F9+2Y9+1=-2 F11=F10+2Y10+1=13 F12=F11-2X11+1=0
（3）迭代法偏差函数F的推导 ①设加工点P在圆弧外侧或圆弧上，则加工偏差F≥0， 刀具需向X坐标负方向进给一步，即移动到新的加工点 P（Xi+1，Yi）。新加工点的偏差为： Fi+1，i = (Xi – 1)2 +Yi2 -（X02 + Y02） =Xi2-2Xi+1-X02+Yi2-Y02 =F-2Xi+1 ②设加工点P在圆弧内侧，则加工偏差F<0，刀具需向 Y坐标正方向进给一步，即移动到新的加工点P（Xi， Yi+1）。新加工点的偏差为： Fi，i+1 = Xi 2 - X02+（Yi+1）2-Y02 =Xi2-X02+Yi2+2Yi+1-Y02 =F+2Yi+1
第一节 插补原理 一、插补及其算法 所谓“插补”就是指在一条已知起点和终点的曲 线上进行数据点的密化。插补的任务就是根据进给速 度的要求，在一段零件轮廓的起点和终点之间，计算 出若干个中间点的坐标值。 CNC系统中具有的插补功能有直线插补功能、圆 弧插补功能、抛物线插补功能以及螺旋线插补功能等。 直线和圆弧插补功能采用的插补算法一般为脉冲 增量插补算法和数字增量插补（数据采样插补）算法。
⑶迭代法偏差函数F的推导 为了减少计算量，通常采用迭代法计算偏差函数F:即每 走一步，新加工点的偏差用前一点的偏差递推出来。 ①F≥0时，应向+X发出一进给脉冲，刀具从现加工点（Xi,Yi） 向+X方向前进一步，达到新加工点（Xi+1,Yi），则新加工点 的偏差值为： Fi+1,i= XeYi – Xi+1Ye= XeYi – (Xi+1)Ye = XeYi – XiYe - Ye =F – Ye ②F<0时，应向+Y发出一进给脉冲，刀具从现加工点（Xi,Yi） 向+Y方向前进一步，达到新加工点（Xi+1,Yi），则新加工点 的偏差值为： Fi+1,i= XeYi+1 – XiYe= Xe(Yi+1) – XiYe = XeYi – XiYe +Xe =F + Xe
（二）数字增量（数据采样）插补算法 1.数字增量插补的特点 数字增量插补也称数据采样插补，它为时间标量 插补，这类插补算法的特点是插补运算分两步完成： 第一步是粗插补：计算出插补周期内各坐标轴的增量 值。第二步是精插补：根据采样得到的实际位置增量 值，计算跟随误差，得到速度指令，输出给伺服系统， 通常称为精插补。 ⑴粗插补 它是在给定起点和终点的曲线之间插入若干个点， 即用若干条微小直线段来逼近给定的曲线，这些微小 直线段的长度∆L相等且与给定的进给速度有关。由于 粗插补在每个插补周期内之计算一次，因此每一微小 直线段的长度∆L与进给速度F和插补周期T的关系如下： ∆L=FT。粗插补在每个插补周期内计算出坐标位置增 量值。
第四章 插补原理与速度控制
第一节 插补原理 一、插补及其算法 二、脉冲增量插补 三、数字增量插补 第二节 刀具半径补偿 一、刀具半径补偿的基本概念 二、B功能刀具半径补偿计算 三、C功能刀具半径补偿 第三节 进给速度和加减速控制 一、开环CNC系统的进给速度及加减速控制 二、闭环(或半闭环)CNC系统的加减速控制