正项级数
正项级数
⎛ n2 ⎞ ⎟ 判别级数 ∑ ⎜ arctan 2 ⎜ n + 1⎟ n =1 ⎝ ⎠
⎛ n ⎞ ⎟ un = ⎜ ⎜ arctan n 2 + 1 ⎟ > 0, ⎠ ⎝
2 n
∞
n
的敛散性。
解
2 n π 由于 lim n un = lim arctan 2 = < 1, n→ ∞ n→ ∞ n +1 4
若数列 { S n } 有界， 则根据单调有界数列必 收敛可知：
{ S n } 收敛， 从而
反之若
定理 1 正项级数 ∑ a n 收敛的充要条件是 : 它的部分和数列 { S n }
有界．
n =1
∑ an 收敛，
∞
n =1
∑ an 收敛．
则 lim S n = S， 从而 { S n } 有界．
n→ ∞
( 2) 若 ∑ a n 发散，则 ∑ bn 发散． 证明 (1) 由于在级数的前面删去 有限项后，级数的敛散 性不改变．
考察
n = N +1
∑ an
∞
与
n= N +1
∑ bn，其部分和分别是
∞ ∞
∞
S n 与 σ n，
则有 S n = 不妨设
∞
N +n
i = N +1
∑ ai
≤
N +n
i = N +1
n 有 a n ≥ 1， 则 ∑ a n 发散．
推论 设 ∑ a n 为正项级数， 且 lim (1) 若 L < 1， 则 ∑ a n 收敛；
n
n→ ∞
an = L，
( 2) 若 L > 1 或 L = ∞ ， 则 ∑ a n 发散．
正项级数
1.引言级数是数学分析这门学科中的一个重要部分，而正项级数又是级数中最简单，同时也是级数中最基本的一种级数.证明级数的敛散性是级数的一种重要性质，解决级数的问题多半要涉及到讨论级数的敛散性.由于正项级数在级数中的基础地位，所以讨论正项级数的敛散性是级数的一个基础内容，也是十分重要的内容，所以正项级数敛散性判别法在数学分析中有着重要作用. 2.正项级数概念 2.1.正项级数定义设有数列{}n u ，即1u ，2u ，⋅⋅⋅，n u ，⋅⋅⋅，将此数列依次相加起来，即1n n u ∞=∑，称为数值级数，其中n u 称为级数的第n 项或通项.若级数的每一项n u 的符号都是正，则称级数1n n u ∞=∑是正项级数.2.2.正项级数收敛的充要条件部分和数列{n S }有上界,即存在某正数M,对0n ∀>,有n S <M ⇔正项级数1n n u ∞=∑收敛.2.3.正项级数敛散性判别法 2.3.1.比较原则设1nn u∞=∑和1nn v∞=∑是两个正项级数,如果存在某正数N,对一切n>N 都有n n u v ≤,那么 （1）若级数1nn v∞=∑收敛,则级数1nn u∞=∑也收敛； （2）若级数1nn u∞=∑发散,则级数1nn v∞=∑也发散；即1nn u∞=∑和1nn v∞=∑同时收敛或同时发散.比较原则的极限形式 ：设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑是两个正项级数.若limnn nu l v →∞=,则（1）当0l <<+∞时, 级数1nn u∞=∑与级数1nn v∞=∑同时收敛或同时发散；（2）当l =0且级数1nn v∞=∑收敛时, 级数1n n u∞=∑也收敛； （3）当l =+∞且级数1nn v∞=∑发散时，级数1nn u∞=∑也发散.2.3.2.达朗贝尔判别法（或比式判别法）设1n n u ∞=∑为正项级数,且存在某正数0N 及常数q （0<q<1）(1)若对一切n>0N , 成立不等式1n n u u +≤q,则级数1n n u ∞=∑收敛；(2)若对一切n>0N , 成立不等式1n n u u +≥1,则级数1n n u ∞=∑发散.达朗贝尔判别法的极限形式：若1n n u ∞=∑为正项级数,且1limn n nu u +→∞=q(1)当q<1时,则级数1n n u ∞=∑收敛；(2)当q>1或q=+∞时,则级数1n n u ∞=∑发散.2.3.3.柯西判别法（或根式判别法）设1n n u ∞=∑是正项级数,且存在某正数0N 及正常数L(1)若对一切0n N >,≤L<1,则级数1n n u ∞=∑收敛；(2)若对一切0n N >,≥1,则级数1n n u ∞=∑发散.柯西判别法的极限形式：设1n n u ∞=∑是正项级数,且n l ,则(1)当l <1时,级数1n n u ∞=∑收敛；(2)当l >1时,级数1n n u ∞=∑发散.2.3.4.积分判别法设f(x)为[1,+∞)上非负递减函数,那么正项级数()f n ∑与反常积分1()f x dx +∞⎰同时收敛或同时发散. 2.3.5拉贝判别法设1n n u ∞=∑是正项级数,且存在自然数0N 及常数r,（1） 若对一切n>0N ,成立不等式n 111n n u r u +⎛⎫-≥> ⎪⎝⎭,则级数1n n u ∞=∑收敛；（2） 若对一切n>0N ,成立不等式n 11n n u u +⎛⎫- ⎪⎝⎭≤1,则级数1n n u ∞=∑发散.拉贝判别法的极限形式：设1n n u ∞=∑是正项级数，且极限1lim 1n n n u u +→∞⎛⎫- ⎪⎝⎭=r 存在，则（1）当r>1时,级数1n n u ∞=∑收敛；（2）当r<1时,级数1n n u ∞=∑发散.3.判别方法的比较1.当级数可化为含参数的一般式、通项为等差或等比式或通项为含二项以上根式的四则运算且通项极限无法求出时,可以选用正项级数的充要条件进行判断.如：P 级数只能用正项级数的充要条件进行判断最为简便. 2.当级数表达式型如1nu ,n u 为任意函数、级数一般项如含有sin θ或cos θ等三角函数的因子可以进行适当的放缩,并与几何级数、P 级数、调和级数进行比较,1lim n n nu u +→+∞、n 易算出或1limn n nu u +→+∞=1、n 等此类无法判断级数收敛性或进行有关级数证明问题时,应选用比较原则.例：1.1111nn na a ∞=⎛⎫≤ ⎪+⎝⎭∑(a>1) 级数收敛 2.ln 11(ln )nn n ∞=∑= ln ln ln 1n n e 2ln 211n e n ≤= 级数收敛 比较原则使用的范围比较广泛,适用于大部分无法通过其它途径判别其敛散性的正项级数.3.当级数含有阶层、n 次幂,型如a!或n a 或分子、分母含多个因子连乘除时,选用达朗贝尔判别法.当通项含(1)n -与n u 的函数可以选用达朗贝尔判别法的极限形式进行判断,例：1. 113(21)!n n n ∞=⋅⋅⋅⋅-∑1limn n nu u +→∞=21lim 1n n n →∞++=2 级数发散x级数收敛.4.当级数含有n 次幂,型如n a 或()n n u 或通项1ln n p u n n=即分母含有含lnx 的函数,分子为1,或级数含有多个聚点时,可选用柯西判别法.例如：1. 121nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑lim21n n n n →∞=+=12,级数收敛一般来说,当选用柯西判别法无法判断时,我们也可以选用达朗贝尔判别法来判断,但有时候我们用柯西判别法而不使用达朗贝尔判别法,因为柯西判别法得到的收敛条件比达朗贝尔判别法更优.例如：2.1+b+bc+n n b c ⋅⋅⋅++⋅⋅⋅(0)b c <<比由例题可知,两种判别法都可以用来判断上题,但柯西判别法与达朗贝尔判别法相比得出的收敛范围更小,约束条件更为详细.因此,上题选用柯西判别法比达朗贝尔判别法更好.在使用判别法时,我们可以选用柯西判别法找到最佳收敛条件.同时也存在只能使用柯西判别法,使用达朗贝尔判别法无法判断的情况.例如：3. (1)2nn ---∑n n 12 级数收敛 不可使用达朗贝尔判别法1limn n nu u +→∞=12(1)lim 2n n -+-→∞ 无法判断敛散性 因此,当我们观察级数的一般项的极限趋近于0时,我们可以选用达朗贝尔判别法或柯西判别法.5.当级数表达式型如1n u ,n u 为含有ln n 的表达式或1nu 可以找到原函数,或级数n u 为[1,)+∞上非负单调递减函数,n u 含有sin θ或cos θ等三角函数的因子可以找到原函数,可以选用积分判别法.例：1.6.当级数同时含有阶层与n 次幂,型如a!与n a 时,或使用比式、根式判别法时极限等于1或无穷无法判断其敛散性的时候,选用拉贝判别法.例：不能用达朗贝尔判别法不能用柯西判别法因此,当柯西判别法与达朗贝尔判别法无法判断敛散性时,我们可以选用拉贝判别法. 4.应用举例例1 1!2!...!(2)!n n u n +++=分析：本题无法使用柯西判别法与达朗贝尔判别法,因此选择比较原则进行判断. 解!10!(1)(2)(1)(2)(21)(2)n n n n u n n n n n n n ⋅<≤=<+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅-,()n →∞且级数11(21)(2)i n n ∞=-∑收敛所以级数收敛. 例2 112(1)(1)...(1)nn na a a a ∞=+++∑分析：本题无法使用柯西判别法、达朗贝尔判别法,或比较原则以及其他的判别法进行判断,因此选用充要条件进行判断.解u所以级数收敛. 例3 1ln n p u n n=分析：本题分母含有ln n的表达式,优先选择积分判别法. +∞例4113135224246p p p⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭分析：本题中通项(21)!!(2)!!nnun-=含有阶层,但不能使用柯西判别法或达朗贝尔判别法进行判断,因此选用拉贝判别法.解12221pnnu nu n++⎛⎫= ⎪+⎝⎭122111112121lim1lim lim112pnn n nnnou pn n nnun n→∞→∞→∞++⎛⎫⎛⎫-++-⎪ ⎪⎛⎫++⎝⎭⎝⎭-===⎪⎝⎭当2p>1,即p>2时,级数收敛.例52(1)2nn+-∑分析：本题中分子含有(1)n-,无法用达朗贝尔判别法或其他方法判别,这种类型也是柯西判别法的典型类型,取上极限进行判断,因此,选用柯西判别法.解112n→∞==<,∴级数收敛.5.总结数学分析作为数学系的重要专业基础课程,对学习好其他科目具有重要作用.级数理论是数学分析的重要组成部分,在实际生活中的运用也较为广泛,如经济问题等.而正项级数又是级数理论中重要的组成部分,级数的收敛性更是级数理论的核心问题,要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断.判断正项级数的一般顺序是先检验通项的极限是否为0,若为0则发散,若不为0则判断级数的部分和是否有界,有界则收敛,否则发散.若级数的一般项可以进行适当的放缩则使用比较判别法,或可以找到其等价式用等价判别法.当通项具有一定的特点时,则根据其特点选择适用的方法,如达朗贝尔判别法、柯西判别法或拉贝判别法.当上述方法都无法使用时,根据条件选择积分判别法.当无法使用柯西判别法时,通常可以选用达朗贝尔判别法,当达朗贝尔判别法也无法使用时,使用比较原则,若比较雨泽还是无法判别时再使用充要条件进行断.由此,我们可以得到正项级数的判别法是层层递进使用的,每当一种判别法无法判断时,就出现一种新的判别法来进行判断,因此正项级数的判别法有无穷多种.正项级数收敛性判断的方法虽然较多,但使用起来仍有一定的技巧,根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断,能够最大限度的节约时间,提高效率,特别是一些典型问题,运用典型方法,才能事半功倍.本文归纳总结正项级数收敛性判断的一些典型方法,比较这些方法的不同特点,总结出一些典型的正项级数,根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断.正项级数收敛判别法也可用于判定负项级数及变号级数的绝对收敛性,也可以推广到傅立叶级数的敛散性判别,在复变函数中也可以用于判定级数在复平面上的敛散性和收敛半径.参考文献[1]陈欣.关于数项级数求和的几种特殊方法 [J] . 武汉工业学院学报,2002,4.[2]陈金梅.幂级数求和法例谈 [J] . 石家庄职业技术学院报,2005,9.[3]夏学启. 贝努利数的简明表达法 [J] . 芜湖职业技术学院学报,2006,2.[4]吴良森等编著.数学分析习题精解 [M] . 北京：科学出版社,2002,2.[5]费定晖,周学圣编著.吉米多维奇数学分析习题集题解 [M] . 济南：山东科学技术出版社,2005,1.[6]周应编著.数学分析习题及解答 [M] . 武汉：武汉大学出版社,2001,8.[7]王晓敏,李晓奇编著.数学分析学习方法与解题指导[M] . 长春：东北大学出版社,2005,12.[8] B.A zhuo, etc. (JiangFeng, Ritchie. Mathematical analysis [M]. Beijing: higher education press, 2006,12.[9]胡适耕,张显文编著.数学分析原理与方法 [M] .北京：科学出版社,2008,5.[10]陈纪修,于崇华,金路编著. 数学分析下册 [M] . 北京：高等教育出版社,2000,4.致谢我的本科论文是在仝雅娜老师的指导下圆满完成的,仝老师在兢兢业业工作的同时,还要抽出很多时间帮我答疑解惑,细心指导,让我学会了很多东西.在此,特向仝老师表示衷心的感谢和诚挚的敬意.此外,还要感谢我的许多同学,他们在我的论文写作中给予了大量的帮助,在此,我也深深的感谢他们.同时,我还要感谢在我学习期间给我极大关心和支持的老师、同学和朋友,感谢你们！。
正项级数
当p 1时, 收敛 p 级数 当p 1时, 发散
9
使用正项级数的比较判别法时, 需要知道
一些级数的敛散性, 作为比较的标准. 常用的比较级数
当 q 1时, 收敛 (1) 几何级数 aq n 0 当 q 1时, 发散 1 当p 1时, 收敛 (2) p-级数 p n 1 n 当p 1时, 发散
4
3. 比较判别法
定理2 若0 un vn , 则
v n 收敛 un 收敛 n 1 n 1 un 发散 v n 发散 n 1
n 1
证 设 vn
n 1
un vn
un 收敛 n 1
5
且 sn u1 u2 un v1 v2 vn
n 1 n 1
(3) 若un是vn的低阶无穷小 , 则级数 vn发 散 时,
级 数 un必 发 散 .
n 1
n 1
15
un l un l lim l , vn 2 n v n (1) 当0 l 时,两级数有相同的敛散性
un 证 (1) 由lim l n v n
收敛
故级数 1 cos 收敛. n n 1
20
ln n ( 2) 判 定 级 数 的敛散性 . 2 n 1 n
ln n 2 ln n n 解 lim lim 0 n n n 1
n3 2
ln x lim 0 x x ln n ln n 1 1/ 2 3 / 2 2 n n n
解 因为 un
而
1 1 2 n( n 1) n 1 3
正项级数知识
sn
1
1 2p
1 3p
n1pn1p
n
n1
dx xp
y
y
1 xp
(
p
1)
1
12
dx xp
n
n1
dx xp
1
1n
dx xp
o 1234
1
1
1
1
(1 p 1
n p1 ) 1
p 1
即sn有界,则P 级数收敛.
P
级数当 当pp
1时, 1时,
x
收敛 发散
例2证明级数
1 是发散的.
n1 n(n 1)
证明
+
ln 2
dt tq
故q 1时发散，q 1时收敛。
内容小结
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 利用正项级数审敛法
必要条件
lim
n
un
0
满足
不满足 发 散
比值审敛法 nlimuunn1
根值审敛法
lim n
n
un
1
1
收敛
发散
比较审敛法
1
不定
部分和极限
用它法判别
积分判别法
则 1时级数收敛; 1时级数发散; 1时失效.
证明 当为有限数时,对 0,
N ,当n N时,有 un1 ,
un
即 un1 (n N )
un
当 1时,取 1 ,使r 1,
uN 2 ruN 1, uN 3 ruN 2 r 2uN 1, ,
uN m
n1
n1!，（2）n11n0!n
，（3）
n1
(2n
1 1)
2n
正项级数定义
正项级数定义正项级数定义是在数学中用来表示一系列数值的抽象术语。
它可以帮助我们快速找出并计算这些数值之和，而不必将每个数值都考虑在内。
正项级数定义是一种非常有用的数学工具，它可以帮助我们解决许多复杂的问题。
首先，让我们来看一下正项级数定义的标准形式：Sn=a1+a2+a3+…+anS代表的是正项级数的总和，n代表的是正项级数中的数量。
a1、a2、a3等等，代表的是每个正项级数的值。
要确定正项级数的总和，需要先确定每个正项级数的值，然后将所有正项级数的值相加，即可得出总和。
比如，让我们来看一个例子：Sn=3+6+9+12+15+…+99在这个例子中，n=97（即有97个正项级数），a1=3，a2=6，a3=9，a4=12，a5=15，……，a97=99（即每个正项级数的值）。
因此，我们可以将所有正项级数的值相加，得出总和：Sn=3+6+9+12+15+…+99=3+6(1+2+3+4+5)+6(6+7+8+9)=3+6*45+6*30=3+270+180=45 3正项级数的定义也可以写成更具体的形式，比如：Sn=a+(a+d)+(a+2d)+(a+3d)+…+(a+(n-1)d)其中，a代表的是正项级数的初始值，d代表的是正项级数之间的差值，n代表的是正项级数的数量。
比如，让我们来看一个例子：Sn=2+(2+3)+(2+6)+(2+9)+…+(2+(97-1)*3)=2+5(1+2+3+…+32)=2+5*496=2482正项级数定义的另一个重要特点是可以利用等差数列的公式来计算总和，大大简化了计算的过程。
比如，让我们来看一个例子：Sn=3+6+9+12+…+99由于这是一个等差数列，所以我们可以使用等差数列的公式来计算总和：Sn=n/2[2a+(n-1)d] =97/2[2*3+(97-1)*3]=97/2*294=14076由此可见，正项级数定义在计算正项级数总和时非常有用，可以大大简化计算的过程。
正项级数
的敛散性.
故原级数收敛.
例2 判定级数
的敛散性.
解
收敛, 则级数
收敛.
例3 判定级数
的敛散性.
解 因为
发散, 则级数
发散.
定理9.2.3 (比较判别法的极限形式)
若两个正项级数
满足:
(1)当0 < l < +∞时, 级数
同敛散;
(2)当l= 0且级数 收敛时, 级数 也收敛;
(3)当l= +∞且级数
发散时, 级数 也发散.
§9.2 正项级数及其敛散性判别
一. 正项级数的概念 二. 正项级数敛散性的判别法
一、正项级数的概念
定义9.2.1 若数项级数 中的各项 则称此级数为正项级数.
于是正项级数的部分和数列
是一个单増数列, 即
定理9.2.1 正项级数 有上界.
收敛的充要条件是部分和数列
此定理的等价命题: 正项级数发散的充要条件是部分和数列 其等价命题是: “若 无上界, 则 从而正项级数发散.”
故原级数发散.
3. 根值判别法
定理9.2.5 (柯西根值判别法) 若正项级数
满足
则 (1) 当0 ≤ l < 1时, 级数
收敛;
(2) 当 l > 1时, 级数 发散;
(3) 当 l = 1 时, 级数
可能收敛, 也可能发散.
例6 判定级数
的敛散性.
解
故原级数收敛. 练习：
3,(1) 判定级数 解
无上界.
二. 正项级数敛散性的判别法
1. 比较判别法 定理9.2.2 (比较判别法) 设两个正项级数
的对
应项满足:
则 (1)当级数 收敛时, 级数 （大收小收）
正项级数
例7 讨论级数 nxn1 ( x 0)的敛散性。
解
un1 (n 1) x n n 1 x x ( n ) n 1 un nx n
当q=1时，比式判别法失效
由（6）式，对任意取定的正数 (|1 q |) 证明：
N 0, n N , 都有
当 ，取 使q 1 由上述不等式的右半部分 （ⅰ） q 1
及Th12.7推得级数
un 1 q q un
u 收敛
n
当 ，取 使q 1, 由上述不等式的左半部分 （ⅱ） q 1
un ② 设 un 收敛 ，能否推得 (un 0) 收敛？ n
2
un1 2、 un为正项级数，且 设 1，能否断定 un收敛？ un
思考题解答
un 1 ① 可以推得 lim u lim un 0 n n n 1 1 n 反之不成立. 例如： 2 收敛, 发散. n
由Th12.6及（3）式推得，
级数un和级数vn敛散性相同
（ⅱ） l =0时, 由（3）式右半部分和比较法则证得 当 （ⅲ） l =+时, 即对M 0, N 0, n N，都有 当
un M 或 un Mvn vn 则 由比较法则 若vn发散， un发散
sin
n
sin lim
n
n lim
n
sin
n ,
由
1 发散，知 sin 发散 n n
1 n
n
1 例4 判断级数 n 敛散性。 2 n 1 n 2n 1 解： lim 2 n lim n lim 1 n 1 n 2 n n n 1 n n 2 2
正项级数
n > N时,恒有 时
或
( l − ε )vn < un < ( l + ε )vn .
由比较原则及(4)式得 由比较原则及 式得, 当 0 < l < +∞ 时, 级数 式得 同时收敛或同时发散. 这就证得了(i). 与 ∑ vn 同时收敛或同时发散 这就证得了 .
(4)
∑u
n
un ≤ l < 1,
(9)
则级数 ∑ un 收敛;
(ii) 若对一切 n > N 0 , 成立不等式
n
un ≥ 1,
(10)
则级数 ∑ un 发散.
n n 证 由(9)式有 un ≤ l , 因为等比级数 ∑ l 当 1 < l < 1 式有
也收敛, 时收敛 , 故由比较原则 这时级数 ∑ un 也收敛, 对 故由比较原则, 于情形(ii), 由(10)式可得 于情形 式可得
n
判定下列级数的敛散性: 例 3 判定下列级数的敛散性:
1 (2) ∑ n ; n =1 3 − n 1 sin n = 1, 原级数发散 (1) ∵ lim n sin 1 = lim 解 原级数发散. n→ ∞ n n→ ∞ 1 n 1 n 3 − n = lim 1 = 1, ( 2) ∵ lim n→ ∞ 1 n→ ∞ n 1− n n 3 3 ∞ 1 故原级数收敛. ∵ ∑ n收敛 , 故原级数收敛 n =1 3
∞
( 2) 设 sn → ∞ ( n → ∞ ) 且 un ≤ v n ,
则 σ n ≥ sn → ∞
∴
不是有界数列 定理证毕. 定理证毕
∑ vn发散. n =1
∞
正项级数
第二节 正项级数
若 un 0, 则称 un 为正项级数 .
n1
定理 1. 正项级数
收敛
部分和序列
有界 .
证: “ ” 若 “”
收敛 , ∴部分和数列
故有界. 单调递增,
（2） 1 时级数发散;
（3） 1 时级数可能收敛也可能发散.
级数
1 发散,
n1 n
级数
1
n2
n1
收敛,
(
类似等比级数
1)
处理含阶乘的和含幂次的方便
比值收敛法的优点：不必找参考级数. 24
例5 判别下列级数的敛散性.
3n n3
(1)
n1
定理 则
设 un和vn均为正项级数，且un vn (n 1, 2,),
n1
n1
(1) 若大级数 vn 收敛,则小级数 un 收敛；
n1
n1
(2) 若小级数 un 发散，则大级数 vn 发散.
n1
n1
证明 (2)是(1)的等价命题.
注：定理的条件可放宽为：
n3nx来自limx
3x
lim
x
1 3x ln 3
0.
1
lim
n
3n
n
1 3n
lim
n
3n 3n
n
1
lim
n
1
n 3n
1.
22
例12 讨论
8.2正项级数
(1)当r 1时, 级数 un为收敛级数
n 1
(2)当r 1时, 级数 un为发散级数
n 1
(3)当r 1时, 级数 un可能收敛, 也可能发散
n 1
【微积分8-2-12】
2、证明： (1)当0 r
1时,
un1 un1 lim r , 对r r0 1, N , 使当n N时有 r0 ,即 n u un n
【微积分8-2-18】
n 1
3、应用举例：
an n 例8 判别级数 ( ) ( a 0)的敛散性 n 1 2n 1
na n a ) 解： lim un lim ( n n 2n 1 2
n n
a 当0 1即0 a 2时, 级数收敛 2
a 当 1即a 2时, 级数发散 2
n 1
un1 un1 1 1 当r 0时有, lim 0 , 故N , 使当n N时有 n u 2 un 2 n
同样可得级数 un为收敛级数
n 1
【微积分8-2-13】
un1 un1 (2)当r 1时, lim r 1,N , 使当n N时有 1 n u un n
n 1
1 n 1 1 n 解： 2 1 2 1 ln 2, 而级数 发散 n n 1 n
1 所以 (1 cos )收敛 n n 1
级数 ( n 2 1)为发散级数
n 1
【微积分8-2-11】
三、比值判别法
un1 r, 则有 1、定理： 设 un为正项级数, 且有 lim n u n 1 n
正项级数与负项级数统称为保号级数。
正项级数定义
正项级数定义
正项级数是一种数学结构，它包含一系列正整数增加的序列。
它一般形式如下：
a1+a2+a3+a4+…+an=∑an
其中，a1,a2,a3,a4,…,an为等差或者等比的数列，可以分别写出：
a1=a
a2=a+d
a3=a+2d
a4=a+3d
…
an=a+(n-1)d
其中，a为该等差数列的首项，d为该等差数列的公差，n为该数列的项数。
此外，我们还可以把它想象成是由一系列有规律的量组成，将每一项的和作为最终结果，也就是称之为正项级数。
这也就是我们中文里常说的“等积公差数列”。
正项级数也常常用来计算有限的等比级数的和，这可以是求解多个连续项的和问题，也可以是求解一个等比
数列的总和问题。
我们可以看到，正项级数的定义是有限的，也就是说只要给定前n项的和，我们就能够求出后面任意一项的值。
它也有着一些特殊的性质，比如说我们可以根据正项级数的性质来研究它的和，以及关于它的变换，移动等情况。
正项级数在实际应用中也有着重要的作用，比如说在数学上，我们经常会遇到一些已知前n项和，求第n+1项的问题，我们可以用正项级数的性质来求解；泰勒级数展开，也依赖于正项级数的概念来计算；常见的折现计算问题，也可以用正项级数的公式来求解；在真分数的概念里，我们也可以使用正项级数的性质来简化计算；在定积分计算中，很多问题也可以考虑利用正项级数的性质进行计算。
因此，我们可以看到，正项级数在数学实际运用中是十分重要的，它在多个应用场景中都有着十分突出的表现，非常值得我们去深入的学习和研究它的概念。
正项级数
有
于是
un k k vn 2
k un 3k 0 2 vn 2
k 3k vn un vn , 则级数 2 2
u 和 v
n 1 n n 1
n
同敛散;
un (2) 由 lim 0, 则对于 1, N , 使得 n N n v n
有 un 0 1, 即 un vn，则若级数 v n 收敛, n 1 vn
n1 n 1
例如,
1 1 1 2 , n( n 1) n n
1 收敛. n 1 n( n 1)
1 但 发散, 而 n 1 n
10
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注3 应用比较判别法时, 须找合适的已知敛散性的级数 作为参考级数. 重要参考级数: 几何级数, p - 级数, 调和级数.
23
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1 的敛散性. 例8 判定级数 n 0 n !
解
因为
un1 n! lim lim n u n ( n 1)! n
1 lim 0 1, n n 1
故原级数收敛.
24
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2n 例9 判定级数 3 的敛散性. n 1 n
2 1 1 p 1 p dx 1 2 n
1 dx n 1 n p
n
6
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1
2
1
dx p x
n dx dx 1 p n 1 x p 1 x
n
1 1 1 即sn有界, 收敛. 1 (1 p 1 ) 1 p1 n p1
正项级数
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机动
例4：判定下列级数的敛散性：
(1)
n1
2n 1 n 10
3
;
(2)
n1
1 3 n
n
;
2n 1
2n n n 10 ( lim 解： 1 ) lim 3 n 1 n n 10
3
3
2
2
n1
1 n
特别地， 当 u n ~ v n ( n ) 时 ，
两级数有相同的敛散性；
(2) 当 l 0 时 ， 若
v n 收敛
n1
，则
u n 收敛
n1
，
( 3 ) 当 l 时 ，若
vn
n1
则 发散 ，
un
n1
机动
发散 ，
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结束
证明
( 1 ) 由 lim l l 2 un vn un ห้องสมุดไป่ตู้n
1
收敛 发散
重要参考级数:
几何级数，p-级数，调和级数。
推论：设
un 、 vn 均为正项级数，且存在 N ，当
n 1 n 1
n N 时，有 un kv n ( k 0 ) ，则
（1）若
vn 收敛，则 un
n 1 n 1
收敛；
（2）若
un
n 1
发散，则
2
收敛 ,
n
2
1
(2)
故原级数收敛.
常用的正项级数
常用的正项级数常用的正项级数正项级数是数学中的一种重要数列。
它由无穷多个项组成，而且每一项都是正数。
正项级数在数值计算和数学推理中具有广泛的应用。
本文将介绍一些常用的正项级数及其性质。
一、等差级数等差级数是最简单的一种正项级数。
它的一般形式为：a + (a + d) + (a + 2d) + ... + (a + (n-1)d)+ ...，其中a为首项，d为公差。
等差级数的前n项和用Sn表示，可表示为：Sn = n(a + (a + (n-1)d)) / 2。
等差级数有一个重要的性质，即其前n项和可以通过求平均数乘以项数得到。
这一性质的应用非常广泛，例如在计算等差数列的和、计算等速直线运动的路程等方面都有重要的作用。
二、几何级数几何级数是另一种常见的正项级数。
它的一般形式为：a + aq + aq^2 + ... + aq^(n-1) + ...，其中a为首项，q为公比。
几何级数的前n项和用Sn表示，可表示为：Sn = a(1 - q^n) / (1 - q)。
几何级数有一个重要的性质，即其绝对值小于1的时候，前n项和有极限值，即Sn = a / (1 - q)。
这一性质被广泛应用于金融、物理等领域的计算中，例如计算复利、计算自然指数的级数等。
三、调和级数调和级数是指以倒数作为项的级数。
它的一般形式为：1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n + ...。
调和级数的前n 项和用Hn表示，可表示为：Hn = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n。
调和级数有一个重要的性质，即其发散。
也就是说，调和级数的和趋向于无穷大。
这一性质在概率论、统计学等领域有着重要的应用，例如计算随机事件的期望、计算样本的平均值等。
四、指数级数指数级数是以指数函数作为项的级数。
它的一般形式为：1 + a + a^2 + ... + a^n + ...，其中a为底数。
指数级数的前n项和用Sn表示，可表示为：Sn = (a^(n+1) - 1) / (a - 1)。
第7章2 正项级数
11
定理证明*
un =l 证 (1) 由 lim n→ ∞ v n
l 对于ε = > 0, 2 l un l ∃ N , 当n > N时, l− < <l+ 2 vn 2 l 3l 即 v n < un < v n ( n > N ) 2 2
由比较收敛法的推论, 得证 由比较收敛法的推论 得证. ∞ un ( 2) 由 lim 存在 , 若级数 ∑ un收敛 , n→ ∞ v n =1 n
10
1
比较判别法的极限形式 n
定理(比较判别法的极限形式)
(1) 若 0 < l < +∞ , 则级数
n
µn 设 ∑ µ n 与 ∑ ν n 均为正项级数 , 且有 lim =l n→∞ ν n
n n
∑ µ 与 ∑ ν 同时收敛或发散 ( 2 ) 若 l = 0 , 且 ∑ ν 收敛 , 则 ∑ µ 收敛 ; ( 3) 若 l = +∞ , 且 ∑ ν 发散 , 则 ∑ µ 发散
20
比值判别法的注解(续)
• （3）比值判别法适用于级数的一般项中含 有n次方，n阶乘！ • （4）次方法只考虑自身级数（该点与比较 判别法不同）
21
例题讲解（比值判别法）
例 判别下列级数的收敛性:
∞
1 (1) ∑ ; n =1 n!
n! (2) ∑ n ; n = 1 10
∞
1 (3) ∑ . n = 1 ( 2 n − 1) ⋅ 2 n
∑
∞
则 ρ < 1时 级 数 收 敛 ; ρ > 1时 级 数 发 散 ; ρ = 1时 失 效 .
证* 当 ρ 为有限数时 , 对∀ε > 0,
正项级数.ppt
un
un
于是 n N , 有un1 run
14
uN 1 ruN , uN 2 r 2uN , , uN n r nuN ,
而 r nuN (0 r 1) 收敛, 则 un ( r nN uN ) 收敛.
n1
n N 1
n1
从而在它前面增加N项的级数 un 也收敛.
n
un
lim n（ n ）2n1 n 3n 1
lim（
n
2n1
）n
n 3n 1
e 1 e （2 1）ln n
lim e n 3n1
1 2 ln
3
2 ln 3
n
故原级数收敛.
n
定理11 若正项级数 un 则级数 un2 也收敛.
n1
i 1
n1
(2)当 l > 1时, 则对任意给定的ε>0且满足 l q 1,
存在N , 使n N , 有 un1 l un1 l q 1,
un
un
则当n>N时,
后项un1 始终大于前项
un
lim
n
un
0.
于是 un 发散.
n1
题.请同学们务必掌握好其敛散性的判别法。
注2 因为对任意 n N 均有各项 un 0 则有
Sn1 Sn un1
于是正项级数的部分和是一个单増数列Sn.
1
定理6 正项级数 un 收敛的充要条件是部分和序列 n1
Sn 有上界。
证 “⇒”有单调有界准则知极限
lim
n
正项级数的定义
正项级数的定义正项级数的定义正项级数是指一个由非负实数构成的无穷级数，即所有项都大于等于零。
一、基本概念1. 无穷级数无穷级数是指由无限多个项组成的和，每个项都是一个实数。
2. 正项级数正项级数是指所有的项都大于等于零的无穷级数。
换句话说，如果一个无穷级数中所有的项都是非负实数，则该级数为正项级数。
二、符号表示正项级数通常用以下符号表示：∑n=1∞an=a1+a2+a3+...+an+...其中，a1, a2, a3,..., an,...均为非负实数。
三、收敛与发散1. 收敛如果一个正项级数的部分和有上界，则该正项级数收敛。
即：S = a1 + a2 + a3 + ... + an ≤ M其中，M为某个实常量。
2. 发散如果一个正项级数的部分和没有上界，则该正项级数发散。
即：S = a1 + a2 + a3 + ... + an → ∞四、判别法则在判断一个正项级是否收敛或发散时，可以使用以下几种判别法则：1. 比较法则对于两个正项级数∑an和∑bn，如果存在一个正整数N，使得对于n > N，有an ≤ bn，则有：- 如果∑bn收敛，则∑an也收敛；- 如果∑an发散，则∑bn也发散。
2. 极限比较法则对于两个正项级数∑an和∑bn，如果存在一个正实数L，使得当n趋向于无穷大时，则有：- 如果L < 1，则∑an和∑bn同时收敛或同时发散；- 如果L > 1，则当且仅当∑bn收敛时，∑an也收敛；- 如果L = 1，则该法则无法判断。
3. 比值法则对于一个正项级数∑an，如果存在一个正实数L，使得当n趋向于无穷大时，则有：- 如果L < 1，则该级数收敛；- 如果L > 1，则该级数发散；- 如果L = 1，则该法则无法判断。
4. 根值法则对于一个正项级数∑an，如果存在一个正实数L，使得当n趋向于无穷大时，则有：- 如果L < 1，则该级数收敛；- 如果L > 1，则该级数发散；- 如果L = 1，则该法则无法判断。
正项级数及其审敛法
判别法与极限审敛法
判别法是根据正项级数的通项性质来判断其收敛性的方法。通过对通项的分析，可以找到一些关键的 量，如相邻项的比值、绝对值的增长速度等，来判断级数的收敛性。
极限审敛法是通过分析级数部分和的极限行为来判断其收敛性的方法。它基于极限的性质，通过分析部 分和的极限是否存在或趋于无穷大，来判断级数的收敛性。
正项级数在数值分析中用于求解 微积分问题，例如数值积分、数 值微分等。
在物理中的应用
热力学
正项级数在热力学中用于描述热传导、热辐射 等过程，例如求解热传导方程。
波动理论
正项级数在波动理论中用于描述波动现象，例 如求解波动方程。
原子结构
正项级数在原子结构中用于描述电子的能级分布，例如求解薛定谔方程。
几何审敛法的优点
直观易懂，易于操作。
调和审敛法
调和审敛法
通过观察级数的调和级数部分（即分母）的增长情况来判断级 数的收敛性。如果调和级数部分增长速度较慢，则级数收敛；
反之，则发散。
调和审敛法的适用范围
适用于分母为连续正整数或分母为等差数列的正项级数。
调和审敛法的优点
适用于某些特殊类型的级数，计算简便。
详细描述
自然数幂级数的通项公式为$a_n = n^m$，其中$m$是一个常数。自然数幂级数的和可以通过公式$S_n = frac{n^{m+1}}{m+1}$计算。当$m = 1$时，自然数幂级数退化为等差级数。
几何级数
总结词
几何级数是每一项都与前一项成固定比例的级数。
详细描述
几何级数的通项公式为$a_n = a_1 times r^{(n-1)}$，其中$a_1$是首项，$r$是公比。几何级数的和可 以通过公式$S_n = frac{a_1 times (r^n - 1)}{r - 1}$计算，其中$S_n$表示前$n$项的和。当$r = 1$时， 几何级数退化为等差级数。
正项级数
1 例5 i) 2 n 1 2n n 1
收敛,
ii)
1 1 n 2 . 因为 lim n 2n n 1 2 n 1 发散 , n 1 n 3 2n 1
2
因为 lim n
n
1/ 2
n 1
iii)
sin n
n 1
n
Thm3 (非极限形式的比较判敛法) 设 为正项级数, 则
1） 若能找到一个收敛的正项级数
u
n 1
n
使得 n 0 un vn , 则
u
n 1
v
n 1
n
n
收敛；
2） 若能找到一个发散的正项级数 使得
证明
v
n 1
n
n 0 vn un ,
则
u
n 1
n
1 而 lim , n 2
所以
lim un .
n
例6
讨论级数的收敛性.
an ( a 0). n 1 n ! n 1
i)
a a a lim / lim 0, n ( n 1)! n ! n n 1
an ( a 0) n 1 n !
n
iii)
( n) a ,
n n 1
其中
(n) 表示n的正因子的个数,
n n
a 0.
所以有
易知 1 (n) n, 从而有 lim (n)a a.
n
a 1
a 1
n ( n ) a 时级数 发散，
n ( n ) a 时级数 收敛. n 1
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n1
vn
部分和分别是
n1
S n , Tn ,
u n cv n ( n 1, 2, , c 0 )
于是,
S n u1 u 2 u n c ( v 1 v 2 v n ) cT n
3
则 (1)当级数
n1
vn
收敛时,
Tn 有 上 界 , 那 么 S n 也 有 界 。
2
vn
n1
发散时,不一定有级数
1 n ,但
un
发散。 收敛。
4
n1
n1
1 n
发散，而
n 1
1 n(n 1)
例6 判定级数
解 1 . 因 2 s in
1 . 2 s in
n n 1
3
n
;
2 .
n 1
1 n2
n
的敛散性.
n
3
n
(
2 3
)
n
而
n n
;
( 2 ) a r c ta n (
n 1
e
n n
) ;
n
( 3 ) ln (1
n 1
p n
p
)( p 1 )
解 (1 )由 于 s in
4
n n
n n
4
n n
, 而
n1
4
收敛, 则
则
n 1
s in
4
收敛.
e
( 2 )由 于 a r c ta n (
n
解
因 lim
n
n
u n lim n（
n
）
2 n 1
n 3n 1
2 ln 3
2 n 1
）
n
lim e
n
1 n （ 2 ）ln n 3 n 1
e
2 ln
1 3
e
1
故原级数收敛. 定理11 若正项级数
n 1
un
则级数
i1
n
un
2
故级数
un
n1
收敛。
un
(2)当级数 故级数
n1
n1
发散时,
lim S n , 于 是
n
lim T n
n
vn
发散。
注3 因级数增加或去掉有限项不影响它的敛散性。故 定理中的不等式不一定从首项就开始面满足。 注4 当级数
例 1 n(n 1) 1 n
13
定理9 (达朗贝尔比值判别法) 若正项级数
n 1
un
满足
lim
un1 un
n
l,
则(1)当0≤l<1时, 级数
n 1
un
收敛;
(2)当 l >1时, 级数
n 1
un
发散;
(3)当l=1时, 级数
n 1
un
可能收敛,也可能发散.
l r 1,
n n
故原级数发散.
( 4 ) 因 lim un1 un
n
lim
x
n1
n
n1
n x
n
lim
n n1
n
x x
故当0 < x <1时, 原级数收敛; 当 x≥1 时原级数发散. 定理10 (柯西根值判别法)
若正项级数 u n
n 1
满足 lim n u n n
lim
n
(n 1)
lim
1 (1 1 n )
p
n
1
但当 p >1时, p 级数收敛; 当 p ≤1 时, p 级数发散. 例11 判定下列级数的敛散性.
(1 )
n0
1000 n!
n
( 2 )
n 1
2
n
2n 1
n1
( 3 )
n 1
n! 2
n
1
3
1 n 10n
3
1 (n 1)
3 2
而
n2
1 (n 1) 2
3
收敛, 则
n4
1 n
3
10n
收敛。
8
定理8 (比较判别法的极限形式) 若两个正项级数
n1
un 及
n1
vn
满足:
lim
un vn
n
k,
(1)当0<k<+∞时, 级数
n1
un 和
也收敛.
证
因 lim
un
2
n
lim
un
n
un 0,
n 2
而级数
n 1
un
收敛,
由定理8知级数
i1
un
也收敛.
18
例13
求 lim
5
n 5
n
.
n 5
( n !)
n1
un 及
n1
vn
的对应项满足:
则 (1)当级数
n1
u n cv n ( n 1, 2, , c 0 )
vn
收敛时, 级数
n1
un
也收敛;
（大收小收） (2)当级数
n1
u n 发散时,
级数
n1
vn
也发散。
（小发大发）
证 设
因
un ,
un1 un
则当n>N时, 后项 u n 1 始终大于前项
于是
u n lim u n 0 .
n
n 1
un
发散.
(3)当 l = 1时,级数
n 1
un
可能收敛, 也可能发散.
15
比如 p 级数
n 1
1 n
p
,
无论p取何值, 均有
n
p p
lim
un1 un
n
2n 1 2
n
2 lim
2n 1 2n 1
n
2 1
故原级数发散.
16
( 3 ) 因 lim
un1 un
n
(n 1) ! 2 1 lim ( n 1 ) lim n 1 n n 2 1 n!
n
1 2
1 2 1 1 2
9.2
正项级数
一.正项级数的概念
定义3 若数项级数
n 1
un中 的
各项
u n 0( n 1, 2, ),
则称此级数为正项级数。
例如
n 1
1 n
,
n 1
1 ( 1) 2
n 1
1 01 0
注1 不少级数的敛散性问题都可归结为它的敛散性问
题.请同学们务必掌握好其敛散性的判别法。
1 n
p
0( n )， 那么就看 u n
的多少阶无穷小.
(1 )
n1
如例8中的两个级数
1 n(n 1)
,( 2 )
n4
1 n
3
10n
1
有 (1 ) 1 n(n 1) 0 ( n ), 而 lim
n(n 1) 1 n
n
lim
n n(n 1)
2 n
而
n 1
r u N (0 r 1)
n
收敛, 则
n N 1
un (
n 1
r
n N
uN )
收敛.
从而在它前面增加N项的级数
n 1
un
也收敛.
l q 1,
l q 1,
(2)当 l > 1时, 则对任意给定的ε>0且满足
存在N, 使n N, 有 un1 un l
n 1
(
2 3
)
n
收敛, 则
1 2
n
2 s in
n
3
n
n 1
收敛;
2. 因
1 n2
n
而
n 1
1 2
n
收敛, 则
n 1
1 n2
n
收敛。
5
例7 判定p级数
n 1
1 n
p
1
1 2
p
1 n
p
( p 0)
的敛散性。 解 (1)当 p≤1 时, 因为
3k 2
有
k
0
于是
k 2
vn un
3k 2
v n , 则级数 u n 和
n1
n 1
vn
同敛散;
9
推论 若正项级数
n1
un和
n1
v n的
通项 u n 与 v n 为同阶