采样频谱及采样定理

等间隔的抽样值唯一地表示，此时最低抽样频率必须满足
fs
2 fm
，或者说抽样时间间隔必须小于
1 2 fm
(其中 m
2
fm
)。
f (t)
F ()
1
t
0
FS ()
（a）连续信号及频谱
m 0 m
FS ()
1/TS
t 0 TS
S m 0 m S
（b）满足抽样定理时的抽样信号及频谱（不混叠）
FS ()
S
1/TS
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6.1 抽样信号及其频谱
5.1.1 时域抽样
在时域，抽样过程是通过抽样脉冲序列 p(t) 与连续信号 f (t) 相乘来完成的，如图 5.1-3 所示。
f (t)
fs (t)
p(t ) 图 5.1-3 时域抽样过程
可以表示为 fs (t) f (t) p(t)
(5.1-1)
由于 p(t) 是周期序列，所以可以计算 p(t) 的傅里叶变换为
)对
f (t) 进行抽样，则抽样后，信号
fs (t) 的频谱 Fs () 是 F()
以 s 为重复周期的周期函数，即
P() 2 cn ( ns ) n
其中 cn
1 Ts
Ts 2
Ts
p(t)e jnst dt
2
(5.1-2)
s
2
fs
2 Ts
是抽样角频率， Ts
为抽样周期。
(5.1-3)
如果设连续信号 f (t) 的频谱为 F() ，则根据频域卷积定理可知，抽样信号 fs (t) 的傅里叶变换为
Fs ()
6.1 抽样信号及其频谱
前面各章主要研究的都是连续时间的信号与系统，它们的突出特点是比较直 观、物理概念比较明确。但在实际应用过程中，特别是随着计算机技术的发展，通 常是以离散信号或数字信号替换原来的连续信号，进而进行数字信号的加工或操 作。这就需要对连续时间信号进行抽样和量化，从而实现其离散化。连续信号的离 散化通常是以 A/D(模数转换器)来实现的，主要表现为两个过程：时间离散化称为 抽样，这时信号在时间轴上是离散的，但在幅值上却是连续的，通常称为抽样信号， 用 fs (t) 表示；如果对抽样信号的幅值也进一步离散化，此时信号在时间轴和幅值 上都是离散的，通常称为数字信号，用 f (nTs ) 表示，通常简单表示为 f (n) 。
PTs (t)
2
Ts
Sa n
n 2
( n)
由于fs(t)=f(t)·PTs(t)，同样，根据傅里叶变换的频域卷积
性质，可得
F[ fs (t)]
1
2
F
(
j
)
*
n
2
TS
Sa
n
2
(
n)
Sa
n
F[
j(
n)]
Ts n 2
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f (t)
F(j )
o
PTs(t) 1
数，所以 F() 在重复过程中不会使形状发生变化。
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1.周ຫໍສະໝຸດ Baidu矩形脉冲抽样
图 5.1-1 所示的抽样原理从理论上分析可表述为f(t)与抽 样脉冲序列PTs(t)的乘积，即
fs (t) f (t) PT s (t)
f (t)
fs(t)
f (t)
fs(t)
抽样器
o
t
图 5.1-1 信号的抽样
t (a)
－ m o m
F ［PTs(t)］
2 Ts
-Ts-τ2
τ o2
Ts
t (b)
－
o
Fs(j ) Ts
-Ts o Ts
t
－ － m o m
(c)
图 5.1-3
(a) f(t)的波形及其频谱；(b) PTs的波形及其频谱； (c) fs(t)的波形及其频谱
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2. 冲激抽样 若抽样脉冲 p(t) 是冲激序列 T (t) ，这种抽样通常称为“冲激抽样”或“理想抽样”。 因为
p(t) T (t) (t nTs ) n
fs (t) f (t)T (t) 由式(5.1-3)求出 T (t) 的傅里叶系数为
1
cn Ts
Ts 2
Ts 2
T
(t)e jnst dt
1 Ts
Ts 2
Ts 2
(t)e jnst dt
1 Ts
代入式(5.1-4)，得冲激抽样信号的频谱为
t
m
S
m
0 TS
m 0 m
（c）不满足抽样定理时的抽样信号及频谱（混叠）
图 5.2-1 冲激抽样信号的频谱
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为了证明此定理，可以参看图 5.2-1 所示。假设信号 f (t) 的频谱 F() 限制在 m ~ m 范围内，如
图 5.2-1(a)所示。若以间隔 Ts (重复频率 s
2 Ts
1 2
F() P()
1 2
F
(
)
2
n
cn
(
ns
)
cn F( ns )
n
(5.1-4)
连续信号 f (t) 在时域被抽样后，其抽样信号 fs (t) 的频谱 Fs () 是由连续信号 f (t) 频谱 F() 以抽样频率 s 为间隔
周期重复而得到的，在此过程中幅度被抽样脉冲 p(t) 的傅里叶变换 P() 的系数 cn 加权。因为 cn 只是 n(而不是 )的函
o Ts
t
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式中的抽样脉冲序列PTs如图 5.1-2 所示。它实际上就是周期 矩形脉冲函数，可表示为
PT s (t) g（r t nTs）
n
PTs(t)
1
－
Ts
－τ2
oτ 2
Ts
t
图 5.1-2 抽样脉冲序列PTs(t)
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fs (t) f (t) PTs (t)
抽样信号频谱函数 Fs () 是以周期 s 重复的， s 的大小与时域抽样间隔 Ts 有直接关系 s
2 Ts
。如果抽样
间隔大，则重复周期 s 小，反之抽样间隔小，重复周期大。
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5.2 抽样定理
5.2.1 时域抽样定理
时域抽样定理表明：一个频带受限的信号 f (t) ，如果它的频谱只占据 m ~ m 的有限范围，则信号 f (t) 可以用
Fs ()
1 Ts
F( ns )
n
(5.1-6)
式(5.1-6)表明：由于冲激抽样序列的傅里叶系数 c n 是常数，所以 F() 是以 s 为周期等幅地重复。
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f (t)
F ()
t
0 p(t )
1
…
…
t
Ts 0 Ts 2Ts fS (t)
…
…t
Ts 0 Ts 2Ts
m 0 m p( )
(S )
…
…
S …
0
S
FS ()
1
TS
…
S
0
S
(a) 冲激抽样
(b) 抽样信号频谱
图 5.1-5 冲激抽样信号的频谱
由以上讨论，有两点需要注意：(1) 原连续信号的频谱函数 F() 假设是有限带宽。根据前面的信号分
析，如果信号在频域是有限的，那么它在时域会是无限的，这就意味着它是一个物理上不存在的信号；(2)