2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员（打印并签名）：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：日期：2010年9月12日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：储油罐的变位识别与罐容表的标定摘要本文通过对卧式储油罐纵向倾斜和横向偏转对罐装表影响的深入分析，应用几何与积分方法建立了罐内储油量与油位高度以及变位参数之间关系的数学模型，经过对给定数据的处理与分析，结合罐容表制作原理，探讨了由于地基等因素对罐容表的影响，并给出了罐容表重新的标定模型，并依据实际监测数据分析和检验了模型的正确性与方法的可靠性。

针对模型一（小椭圆形储油罐罐容表标定的标定模型），通过分析给出的小椭圆形储油罐的几何图形，将储油罐中油品容量按照不同的油面高度范围分三种情况，利用积分学截面积分方法，得到小椭圆形储油罐罐容表的标定模型，完成对罐容表的标定。

应用已知的数据检验模型，得到模型的误差为0.5775%，模型可以使用，并且具有很高的准确性。

模型二（油罐变位对罐容表影响模型）为了测定储油罐变位后对罐容表的影响，本文采用最常用的误差计算模型的表达式（变位-相同位置处不变位）=Ω，然后利用几何与积分方法得%/不变位100*到无变位下的油品容量与油面高度之间的关系式，再结合小椭圆形储油罐罐容表标定模型，得到油罐变位对罐容表影响模型下的误差为7.4472%，说明当储油罐发生轻微的变位时就会使罐容表产生相对较大的误差。

模型三（实际储油罐的标定模型）将储油罐分为球冠体和直圆筒两部分求体积，直圆筒部分体积应用模型一得到，对于球冠体部分，利用三重积分求体积，计算得到三种情况下油量的体积与倾角α、β和h的关系式，利用附件二中的油位高度在matlab中拟合出倾角α=2.1,β=3.9，得到实际储油罐的标定模型，完成对实际储油罐的标定。

利用已知的数据分析检验模型，得到模型的误差为1.1496%，误差很小，说明此模型具有很高的准确性。

关键词：截面积分法 matlab拟合坐标系转换一、问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。

许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。

按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。

图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。

图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。

请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。

（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。

请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。

（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。

请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。

进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。

二、问题分析1.1.问题的重要性分析及社会背景介绍储油罐是加油站经营过程中必不可少的设备。

地埋是目前绝大多数加油站油罐采取的安装方式,是保障加油站安全经营的主要措施，通常加油站都会有若干个储存燃油的地下储油罐。

由于油罐位置的变化会影响油品的测量，将会对加油站的经营产生不可忽视的影响，所以及时监控储油罐的位置变化具有重要的意义。

与此同时由于储油罐物理位置的特殊性，这就决定了不能直接对其，所以必须应用一定的方法通过对油罐内油品的高度或容积监测来随时检验油罐的位置是否发生变动。

储油罐缺陷可分为两大类，一类为使用之前储油罐上已存在的缺陷，成为“先天性缺陷”；另一类为使用过程中发展（或扩展）了的和新生的缺陷，成为“后天性”缺陷。

缺陷的存在，不仅会影响储罐的使用寿命，而且容易被人们忽略，成为突发事故的祸端.因此，找出存在的缺陷，分析缺陷的起因，观其症状，正确使用消除缺陷的方式与方法，或采取有效的控制缺陷发展（扩展）的措施，就显得极其重要。

1.2.问题的思路分析本文所要解决的是储油罐的变位识别和罐容表的标定问题。

对变位识别问题，建立模型，分析比较相同高度下油罐变位前后的容量的差距，分析问题。

对于罐容表的标定问题，在已知储油罐变位的前提下，建立油品容积与油面高度的函数关系式，然后根据题意对罐容表进行标定。

针对具体问题一，要求建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。

对于罐油表标定，通过观察已知的小椭圆型储油罐的几何图形，提出合理的假设，建立模型，写出油罐变位后油品容积和油面高度的表达式，利用变位后的表达式以油位高度间隔为1cm为标准对罐油表进行标定。

对于分析变位然后求出没有变位情况下油品的容积和油面的高度的函数关系式，比较变位前后相同高度下油品的容量，计算得到罐油表的误差，分析变位对罐油表的影响。

针对具体问题二，要求建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。

并利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。

最后利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。

对于此问题，同样类似于问题一，先根据已知的实际储油罐的几何图形，在合理假设的前提下建立模型，求解出实际储油罐变位后油品的容积与油面的高度、纵向倾斜角以及横向偏转角之间的函数关系表达式，并应用已知的数据确定模型中的变位参数，进而对变为后的油罐的罐容表进行标定，最后分析与检验模型正确性与可靠性。

三、基本假设1)假设一：忽略储油罐的罐壁的厚度；2)假设二:不考虑油罐进油出油过程中压力和温度对油品高度和容积的影响；3)假设三：监测过程中只存在油罐位置的变化，不考虑油罐损坏渗漏等其它问题；4)假设四：油浮子所在的位置始终垂直于罐底；5)假设五：不考虑油品对罐壁的粘附，即注入的油品全部留到储油罐的底部；6)假设六：实验测数据的时间范围内，没有记录数据的时刻储油罐既没出油，又没进油；四、符号说明a----------椭圆的短半轴长；b----------椭圆的长半轴长；α----------油罐的纵向倾斜角度；β----------油罐的横向偏转角度；h-----------罐容表测得的油面的高度；v-----------油罐中油品的体积；L----------油罐底总长；Ω----------误差；R------------球冠所在球的半径；L-------------储油罐的长度；'L----------球冠所在球的球心到油面的距离。

五、模型的建立与求解1.3.模型一（罐容表的标定模型）的建立1.1.1.模型一概述此模型用来解决罐容表的标定问题。

根据已知的小椭圆形储油罐的几何图形应用积分学的知识求解出储油罐的容积与油罐变位后所读取的油品的高度之间的函数关系式。

由于油桶的形状为椭圆柱体，在求解体积的表达式时，可以将油桶的椭圆面看作底面，而油桶的长度看作高，这样可以相对简单地求解出表达式，进而应用表达式对不同高度下的油品的容积进行标定。

1.1.2. 模型一的运用与求解分析小椭圆形储油罐的几何图形，当油罐发生倾斜，且倾斜角度为α=4.10时，将椭圆面看作油罐的底面，以倾斜后的图像为标准建立直角坐标系，a 所在的直线为x 轴，b 所在的直线为Y 轴，靠近油浮子一侧的椭圆为底面，建立三维直角坐标系。

设a=1.78/2=0.89m,b=1.2/2=0.6m 。

倾斜时，由于油品是液体，根据油罐内油品容积的不同，油品在油罐内会显现出不同的形状，具体分为三种情况，如图：首先考虑图（1）所示的情况，即0<h<2.05*tan(α),建立直角坐标系并积分求解：设倾斜角为α，油罐总长为L ，油浮子到油罐椭圆面的最近距离为L1,油罐底的椭(c)小椭圆储油罐的坐标系建立圆方程为：12222=+by a x ，油浮子测得的高度h ，油面最高点距离油罐底AB=∂+tan *1L h ，且x=b-h-L*tan α。

在被积区域ABC ∆里，高∂=tan /AB BC ，被积三角形面积为：ααtan 2/)tan 1(**212⨯⨯+==L h AB BC S ，被积表达式为⎰=sdy dv ，积分区间为：])1(,)1([2222ax b a xb y ---∈，积分表达式为： 对于图（2），即2.05*tan(α)<h<1.2-0.4*tan(α)情况，运用与图（1）相同的方法，将梯形转化为三角形，即虚拟一部分相同的容器，计算出与上面相同情况下的油品的容积，再减去虚拟部分的容积，用图形表示其截面图为：ABE v 的方上总v v v -=，解得体积公式为：αααπtan 4.02.1,)tan 2/)tan 1(()1()1(22222->⨯⨯+-=⎰---h dy L h abL v a x b a x b 。

综上得到储油罐发生纵向倾斜时，油品的容积与油面高度的表达式为： ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧->⨯⨯+-⨯-<≤⨯⨯⨯+⨯--⨯⨯+⨯<<⨯⨯+=⎰⎰⎰⎰------------αααπααααααααααtan 4.02.1,)tan 2/)tan 1((tan 4.02.1tan 5.2,)tan 2/)tan 1)tan 45.2((()tan 2/)tan 1((tan 5.20,)tan 2/)tan 1(()1()1(2)1()1(2)1()1(2)1()1(22222222222222222h dy L h abL h dy L h dy L h h dy L h v ax b a x b a x b a x b a x b a x b a x b a xb 其中x=b-h-L*tan α。