高等数学试卷与答案第一学期期末考试上海海事大学高等数学A船(A)
(完整word版)大一第一学期期末高等数学(上)试题及答案
第一学期期末高等数学试卷一、解答下列各题(本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分)求极限 lim x x x x x x →-+-+-23321216291242、(本小题5分).d )1(22x x x⎰+求3、(本小题5分)求极限lim arctan arcsinx x x →∞⋅14、(本小题5分)⎰-.d 1x x x 求5、(本小题5分)．求dt t dx d x ⎰+2021 6、(本小题5分)⎰⋅.d csc cot 46x x x 求7、(本小题5分)．求⎰ππ2121cos 1dx x x8、(本小题5分)设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t==⎧⎨⎪⎩⎪=cos sin (),229、(本小题5分)．求dx x x ⎰+3110、(本小题5分)求函数 的单调区间y x x =+-422 11、(本小题5分)．求⎰π+202sin 8sin dx x x12、(本小题5分)．，求设 dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分)设函数由方程所确定求．y y x y y x dy dx =+=()ln ,22614、(本小题5分)求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分)求极限lim()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--12131101101111222216、(本小题5分).d cos sin 12cos x x x x⎰+求二、解答下列各题(本大题共2小题，总计14分) 1、(本小题7分),,512沿一边可用原来的石条围平方米的矩形的晒谷场某农场需建一个面积为.,,才能使材料最省多少时问晒谷场的长和宽各为另三边需砌新石条围沿2、(本小题7分).8232体积轴旋转所得的旋转体的所围成的平面图形绕和求由曲线ox x y x y ==三、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )设证明有且仅有三个实根f x x x x x f x ()()()(),().=---'=1230一学期期末高数考试(答案)一、解答下列各题(本大题共16小题，总计77分) 1、(本小题3分)解原式:lim =--+→x x x x 22231261812 =-→limx xx 261218 =2 2、(本小题3分)⎰+xx xd )1(22⎰++=222)1()1d(21x x =-++12112x c .3、(本小题3分)因为arctan x <π2而lim arcsin x x →∞=1故lim arctan arcsin x x x →∞⋅=14、(本小题3分)⎰-x x xd 1xx x d 111⎰----=⎰⎰-+-=x xx 1d d=---+x x c ln .1 5、(本小题3分)原式=+214x x6、(本小题4分)⎰⋅x x x d csc cot 46⎰+-=)d(cot )cot 1(cot 26x x x=--+171979cot cot .x x c7、(本小题4分)原式=-⎰cos ()1112x d x ππ=-sin112xππ=-1 8、(本小题4分)解： dy dx e t t e t t t t t =+-22222(sin cos )(cos sin ) =+-e t t t t t t (sin cos )(cos sin )22229、(本小题4分)令 1+=x u原式=-⎰24122()u u du=-2535312()u u =11615 10、(本小题5分)),(+∞-∞函数定义域 01)1(222='=-=-='y x x x y ，当(][)+∞<'>∞->'<,1011,01函数的单调减区间为，当函数单调增区间为， 当y x y x 11、(本小题5分)原式=--⎰d x x cos cos 9202π=-+-163302lncos cos x x π=162ln 12、(本小题6分)dx x t dt ='()[]dt t k t k e kt ωωωωsin )34(cos )34(+--=- 13、(本小题6分)2265yy y y x '+'='=+y yx y 315214、(本小题6分)定义域，且连续(),-∞+∞'=--y e e x x 2122()驻点：x =1212ln由于''=+>-y e e x x 2022)21ln 21(,,=y 故函数有极小值15、(本小题8分)原式=++++++++--→∞lim()()()()()()x x x x x x x 112131*********2222=⨯⨯⨯⨯=1011216101172 16、(本小题10分)dxxxdx x x x ⎰⎰+=+2sin 2112cos cos sin 12cos :解⎰++=xx d 2sin 211)12sin 21( =++ln sin 1122x c二、解答下列各题(本大题共2小题，总计13分) 1、(本小题5分)设晒谷场宽为则长为米新砌石条围沿的总长为 x xL x x x ,,()51225120=+> '=-=L x x 2512162 唯一驻点 ''=>=L x x 10240163 即为极小值点故晒谷场宽为米长为米时可使新砌石条围沿所用材料最省165121632,,=(完整word 版)大一第一学期期末高等数学(上)试题及答案2、(本小题8分)解 :,,.x x x x x x 232311288204====V x x dx x x dxx =-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎰⎰ππ()()()223204460428464=⋅-⋅π()1415164175704x x π=-π=35512)7151(44三、解答下列各题 ( 本 大 题10分 )证明在连续可导从而在连续可导:()(,),,[,];,.f x -∞+∞03 又f f f f ()()()()01230====则分别在上对应用罗尔定理得至少存在[,],[,],[,](),011223f x ξξξξξξ1231230112230∈∈∈'='='=(,),(,),(,)()()()使f f f 即至少有三个实根'=f x (),0,,,0)(它至多有三个实根是三次方程又='x f由上述有且仅有三个实根'f x ()高等数学（上）试题及答案一、 填空题（每小题3分，本题共15分）1、.______)31(lim 2=+→xx x 。
12高数A期末一真题与答案
淮 海 工 学 院11 - 12 学年 第 2 学期 高等数学A(2)试卷(A 闭卷)答案及评分标准一、选择题（本大题共8小题，每题4分，共32分）1．设向量(1,0,2)a =，(0,1,2)b =，则a b ⨯= --------------------------------------（C ）（A ）23（B ）2 （C ）3 （D ）42．2(,)()yf x y x x y =+，则(,0)xx f x=----------------------------------------------------（B ）（A ）1 （B ）2 （C ）x （D ）x23. sin cos u y x z =+-在点(0,0,1)-处沿下列哪个方向的方向导数最大-------（A ） （A ）(0,1,1)-（B ）(1,0,1)- （C ）(1,0,1)-（D ）)1,0,1( 4．二次积分x d y x f dy ee y⎰⎰10),(的另一种积分次序为-----------------------（C ）（A ）1ln 0(,)x dx f x y dy ⎰⎰ （B ）10(,)x e dx f x y dy ⎰⎰（C ）⎰⎰e xdy y x f dx 1ln 0),( （D ）1(,)xe e dxf x y dy ⎰⎰5．2252(51)(1)x y x y ds +=++=⎰-----------------------------------------------------------------（D ）（A ）0 （B ） π （C ）2π （D ）6．设n u =，则级数-------------------------------------------------------------------（C ）（A ）11nn n u ∞∞==∑与（B ）∑∞=1n nu与1n ∞=都发散（C ）∑∞=1n nu收敛，而1n ∞= （D ）∑∞=1n n u 发散，而1n ∞=7．设)(x f 是以π2为周期的周期函数，其在],(ππ-上的解析式为2,0(),0x x f x x x πππ⎧--<≤=⎨-<≤⎩，若记)(x f 的傅里叶级数为()S x ，则(7)S π=------（B ） （A ）2π- （B ）22π- （C ）22π （D ）2π8．微分方程28xy y y e -'''++=的一个特解可设为--------------------------------------（D ） （A ）xae- （B ）x axe - （C ）()x ax b e -+ （D ）2xax e -二、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分）1． 设(,)z f xy x y =+，其中(,)f u v 可微，且0,u f ≠求1()x y uz z f -. 解：x u v z yf f =+------------------------------------------------------------------------------------2y u v z xf f =+-----------------------------------------------------------------------------------2则1()x y uz z y x f -=-.---------------------------------------------------------------------3 2．设D 由,y x y ==x 轴所围成，求2231(1)Ddxdy x y ++⎰⎰. 解: :01,06D r πθ≤≤≤≤----------------------------------------------2则原式12360(1)d r rdr πθ-=+⎰⎰-----------------------------------------212320(1)(1)12r d r π-=++⎰32π=.---------------------------------33．设空间闭区域Ω{}22(,,)1,12x y z x y z =+≤-≤≤，∑是Ω的整个边界曲面的内侧，用高斯公式计算2()2()(1)x y dydz y z x dzdx z z dxdy ∑++-+-⎰⎰． 解: 2,2(),(1)P x y Q y z x R z z =+=-=+------------------------------------------1Ω是半径为1、高为3的圆柱体 ------------------------------------------------1原式=()P Q R Pdydz Qdzdx Rdxdy dxdydz x y z ∑Ω∂∂∂++=-++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰--------------2 dv Ω=-⎰⎰⎰3π=-．--------------------------------------------------------------------3 4．求411x y y e x x '+=的通解. 解： 1141[]'dx dx x x xye e e x ⎰⎰=-----------------------------------------------------------------------2则4[]'xxy e =-----------------------------------------------------------------------------------2有414xxy e C =+，---------------------------------------------------------------------------2故41()xy e C x=+.--------------------------------------------------------------------------1三、计算题（8分）和建制造，乐在共享。
高等数学A(二)船2009-2010(A)解答
试卷号：《 高等数学B （二）（船）》（A 卷） (答案)一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分4小题, 每小题4分, 共16分)1、答：D2、A3、(C)4、B二、填空题（将正确答案填在横线上）(本大题分4小题, 每小题4分, 共16分)1、22、y x A x B x *(cos sin )=+443、1++z e xdyydx4、S 9434ππ⎛⎝ ⎫⎭⎪=三、解答下列各题(本大题共10小题，总计68分)1、(本小题7分)⎰⎰-=θππθθθcos 022)sin ,cos (rdr rr f d I 7分2、(本小题6分)x z x 1= （6分）3、(本小题8分)由⎪⎩⎪⎨⎧=-+-==+-=0126306332y x z y x z y x ，得驻点(,),,021294⎛⎝⎫⎭⎪3分 D z z z z x x xx xyyx yy ==--=-6336369 D z xx (,),,0290129430=-<⎛⎝ ⎫⎭⎪=>6分 D 129490,⎛⎝ ⎫⎭⎪=>点(,)02非极值点。
函数z 无极大值点，在点1294,⎛⎝ ⎫⎭⎪处取极小值。
8分4、(本小题8分)t t f e e e x f x t x x d )()(0222⎰-+= （2分）)()(2)(x f x xf x f +=' （3分）故f x ()所满足的微分方程是⎩⎨⎧=+='1)0()()12()(f x f x x f （4分） 12)(+=x C x f 6分C=1，12)(+=x x f 8分5、(本小题5分) 解：,02sin >=n u n 同发散。
原级数与∑∞=∞→∴=11,21lim n n n nnu 5 分6、(本小题5分)1)1(1cos +-=+n n n nπ，2111,011lim +>+=+∞→n n n n 所以原级数条件收敛。
上海市高三数学上学期期末考试试题(含解析)沪教版
上海市高三数学上学期期末测试试题〔含解析〕沪教版高三数学试卷〔一模〕〔总分值：150分,完卷时间：120分钟〕〔做题请写在做题纸上〕一、填空题〔本大题共有14小题,总分值56分〕考生应在做题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否那么一律得零分.f(x)=3x - 2 的反函数f T(x)=由f(x)=3x-2 得x --2 ,即3 一/、x 2f (x) ------------ .3B={x| 0< x<1},那么A H R-【答案】{x| - 2W xw 0或1 w xw 2}2.假设全集UR,集合A={x| - 2<x<2},【解析】由于B={x| 0V x<1} B {x x 1或x 0},所以Apl^B {x 2 x 1 或-2 x 0}.3-函数y sin(2x -〕的最小正周期是【解析】由于2, 所以周期T4 .计算极限: lim(n2n2 -2 n n5.lim(n2n22n2lim(——n12n1n)2.a (1,x),b (4,2),假设由于a b,所以4 2x 0,解得x 2.6.假设复数〔1+2i〕〔1+ a i〕是纯虚数,〔i为虚数单位〕,那么实数a的值是.【解析】由(l+2i)(1+ a i)得1 2a (2 a)i ,由于1 2a (2 a)i 是纯虚数,所以 1 2a 0,2 a 0,解得 a 1.2_ _2、6 . .................. 7.在(X ―)6的二项展开式中,常数项等于.X【答案】-160・3——,由k tan 3B 、C 三所学校共有高三学生 1500人,且 A B 、C 三所学校的高三学生人数成等差数列,在一次联考后,准备用分层抽样的方法从所有高三学生中抽取容量为 行成绩分析,那么应从 B 校学生中抽取 人. 【答案】40xd,x,xd,那么xd x x d 3x 1500,所以x 500.那么在B 校学生中抽取的,一 ,120人数为——500 40人.150011.双曲线C ： x 2 - y 2= a 2的中央在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线y 2=16x 的准线交于 AB 两点,|AB| 4d3,那么双曲线C 的方程为 .(用数值表示)【解析】展开式的通项公式为T k 1 C ：x 6k ( 2)k( 2)k C k x 6 2k ,由 6 2k 0 得 kx3,所以常数项为T 4( 2)3C 3160.8.矩阵A = 矩阵4B =,计算: AB=.「 10 【答案】24 10【解析】：AB=10 4 24 109.假设直线l : y=kx 经过点P(sin —,cos — 3 3),那么直线l 的倾斜角为a由于直线过点P(sin 22 、 一——,cos ——),所以 2 2 口 3, ksin — cos —,即—k3 3 210. A 120的样本,进【解析】由于A 、B 、C 三所学校的高三学生人数成等差数列,所以设三校人数为2 2【答案】x_ 匕 14 4【解析】 抛物线的准线方程为 x 4,当x 4时,y 2 16 a 2.由|AB| 4v 3得,22V A 2J3,所以y 2 16 a 2 12,解得a 2 4 ,所以双曲线C 的方程为二 y- 1.4 412 .把一颗骰子投掷两次,第一次出现的点数记为m,第二次出现的点数记为 n ,方程组mx ny 3只有-组解的概率是 ______________ .(用最简分数表示) 2x 3y 2-17【答案】171813 .假设函数 y=f (x ) ( xC R)满足：f (x +2)=f (x ),且 xC[-1, 1]时,f (x ) = | x | ,函数 y=g (x )是定义在R 上的奇函数,且 xC (0, + °°)时,g (x ) = log 3 x,那么函数y=f (x )的图像 与函数y=g (x )的图像的交点个数为 . 【答案】4【解析】f(x+2)=f(x) f(x)的周期为2,由条件在同一坐标系中画出 f (x)与g(x)的图像如右,由图可知有 4个交点.14 .假设实数a 、b 、c 成等差数列,点 P( - 1,0)在动直线l ： ax+by+c =0上的射影为 M 点 M0, 3),那么线段M 冰度的最小值是. 【答案】4 、. 2【解析】a 、b 、c 成等差数列a -2b +c =0 a 1+b (-2)+ c =0,,直线l ： ax+by+c =0过定点Q1,-2),又 R - 1,0)在动直线 l : ax+by+c =0 上的射影为 M PMQ 90,.二 M&以 PQ 为直径白^圆上,圆心为C (0, -1),半径r=\|PQ| -22 22 <2 ,线段MN|£度的 最小值即是 N ., 3)与圆上动点 MB 巨离的最小值=|NGr =4-J 2.【解析】方程组只有一组解D 3m 2n 0,即除了m=2 且 n =3 或 m=4 且 n =6这两种情况之外都可以,故所求概率17 18 •二、选择题(本大题有4题,？t 分20分)每题有且只有一个正确答案,考生应在做题纸的 相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5分,否那么一律的零分.15.假设1 1 0,那么以下结论不正确的选项是 a b (A) b 2 (B) ab b 2 (C) a D 由1 由一aa cb ,2(D) 1 b a 1 0可知,b a 0,所以Bba 1,选 D.16.右图是某程序的流程图,那么其输出结果为 ( (A) 17. 1 k(A) (C) 2021(B)2021 C—(C)型(D)2021 20211 20212 k 22f (x )= x — 2x +3, 充分但不必要条件 充要条件1 1)(k 2)II Ig ( x )= kx - 1,贝U(D)(B)200,“I k |型,选C.2021W2〞是“ f (x ) >g(x )在R 上恒成立〞的必要但不充分条件 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：f (x ) >g (x )x 2 - 2x +3> kx - 1 x 2 - (2+ k ) x +4> 0,此式对任意实数 x 者B 成立△=(2+k )2-16 W0-4 < k +2 < 4 -6 wkW2,而“ |k | W2〞是“-6 wkw 2〞的充分不必要条件,应选A.1x18 .给TE 万程：(一)sinx 1 0,以下命题中：(1)该万程没有小于 0的实数解；(2)该(3)该方程在(-8, 0)内有且只有一个实数解；(4)假设x 0是该方程 的实数解,那么X O > - 1 .那么正确命题的个数是(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4【答案】C【解析】解：(；)x sin x 1 0 sin x 1 (；)x ,而由于g(x) 1 K)x 递增,小于1,且以直线y 1为渐近线,f(x) sin x 在—1到1之间振荡,故在区间(0,+ )上,两 者图像有无穷个交点,,(2)对,应选C.三、解做题(本大题共有 5个小题,总分值74分)解答以下各题必须在做题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤.19 .(此题总分值12分,第1小题6分,第2小题6分)2x 1集合 A ={x | | x- a | < 2 , x R },&{x | ------------------------------- <1, x R }.x 2(1)求 A 、B;(2)假设A B,求实数a 的取值范围.20 .(此题总分值14分,第1小题6分,第2小题8分)方程有无数个实数解; 令 f (x)sinx, g(x) 1 (1)x ,如函数f(x) sin(2x —) sin(2x —) J3cos2x m, XCR,且f(x)的最大值为1.(1)求m的值,并求f(x)的单调递增区间；(2)在△ABC\ 角A R C的对边a、b、c,假设f(B) J3 1 ,且J3 a b c ,试判断△ ABCW形状.21 .(此题总分值14分,第1小题6分,第2小题8分)2函数f(x) x ------------------ x-a,x (0,2],其中常数a > 0 .x⑴ 当a = 4时,证实函数f(x)在(0,2]上是减函数；(2)求函数f (x)的最小值.22.(此题总分值16分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题6分)设椭圆的中央为原点Q长轴在x轴上,上顶点为A左、右焦点分别为F I、F2,线段OF、OF的中点分别为B、B2,且△ ABB是面积为4的直角三角形.过B I作直线l交椭圆于P、Q 两点.(1)求该椭圆的标准方程；(2)假设PB2 QB2,求直线l的方程；⑶ 设直线l与圆O x2+y2=8相交于M N两点,令|MN的长度为t ,假设t C [4, 2 J7],求4RPQ的面积S的取值范围.6…数列｛a n ｝满足a 1- , 1 a 1 a 2a na n 1 0(其中入w0且,丰-1, neN*), S n 为数列｛d ｝的前n 项和. ⑴假设a 2 a 1 a 3,求的值； (2)求数列｛a n ｝的通项公式a n ；(3)当 1时,数列｛a n ｝中是否存在三项构成等差数列,假设存在,请求出此三项；假设不存 在,请说明理由.金山区2021学年第一学期高三期末测试试题评分标准 、填空题二、选择题三、简做题一 x 3 一 一一得工^<0,即-2V x <3,所以x 2x 2 ... …1 . x--(定义域不写不扣分)2・{x | -2WxW0 或1<x<2}3 .4 .2 5.-2 67. - 16010 —10. 40 1124 1012.卫1813 1415. D 1617 1819.解：(1)< 2,得 a - 2<x <a +2, 所以 A ={x | a - 2<x <a +2},2x 1由 ----- <1, x 2 B ={x | - 2<x <3}.4 - a 2 2 八(2)假设A B,所以,.............................................................................. 10分a 2 3所以0waw 1. .............................................................................................................. 12分20.解：⑴ f (x) sin2x 73cos2x m 2sin(2x —) m .................................................. 3 分由于f(x)max 2 m,所以m 1, ...................................................................................... 4分5令--+2kn W2x+ — W 一+2kn得到：单倜增区间为[k —— k 一] ( k€ Z) (6)2 3 2 12' 12分(无(k e Z)扣1分)(2)由于f(B) 率1,那么2sin(2B -) 1 点1 ,所以B - .............................................. 8 分1 5又V3a b c,那么V^sinA sin B sinC, V3sinA — sin(— A)2 61 一一化同付sin(A —) 一,所以A 一 , ........................................... 12分6 2 3所以C 故△ ABC为直角三角形. ..................................... 14分24 -21.解：⑴当a 4时,f(x) x — 2, ....................................................................... 1 分x4 4 (x1 x2)(x1x2 4)任取0<X I<X2W 2,贝U f (X I) - f (x2)= X I— x2 —......................................................... (3)x1 x2x1x2由于0<X1<X2< 2,所以f (X I) - f(X2)>0 ,即f (X1)>f (X2)所以函数f(x)在(0,2］上是减函数；.......................................... 6分(2) f (x) x a 2 2n 2, ................................................................................. 7 分x当且仅当x ja时等号成立, ............................................... 8分当0 ja 2,即0 a 4时,f(x)的最小值为2,a 2, .................................................................... 10分当4 2,即a 4时,f(x)在(0,2］上单调递减, .................................... 11分所以当x 2时,f(x)取得最小值为a, ............................................................................... 13分24k …K,y1y2里T ,所以1 5k 2|一। 4引黑普,,(1 5k )2 a 20 a 4,综上所述：f (x) min a— a 4.222^ 1(a b 0),右焦点为 F 2(c,0).a b因△ABB 是直角三角形,又| AB |=| AB | ,故/ BAB =90o,得c =2b ......................... 1分 在 Rt^ABB 中,S ABB b 2 4,从而 a 2 b 2 c 2 20. ............................................... 3 分22因此所求椭圆的标准方程为： — 工 1 .................................................................. 4分20 4(2)由(1)知B 1( 2,0), B(2,0),由题意知直线l 的倾斜角不为22x my 2,代入椭圆方程得 m 5 y 4my 16 0 , ................................................................ 6分所以满足条件的直线有两条,其方程分别为：x +2y +2=0和x - 2y +2=0................................ . _____________________ 16、5(3)当斜率不存在时,直线l : x 2 ,此时| MN | 4 , S 1612 ................................................ 11分5当斜率存在时,设直线l :y k(x 2),那么圆心O 到直线的距离d /1k 2 114分22.解：(1)设所求椭圆的标准方程为0,故可设直线l 的方程为:设 Rx 1, y 〔 y 2y .、Qx 2, y 2),那么y 1、y 2是上面方程的两根,因此y 1 y 2-16—,又 R x 1 2,y 1 ,B 2Qm 5x 2 2,y 2 ,所以4m -2 Zm 5B 2 P B 2Q (x 1 2)(x 2 2) yy 2_ 2 _ 16m 64 ~2—丁 m 5 由PB 2QB 1 ,得 B 2P B 2Q =0,即 16m 264 0 ,解得 m2;10分因此 t 二|MN | 2 84k 2 k 21— 21 2^7 ,得 k 2......... ...............................................313分联立方程组:y k(x 2),x 2 y 2 得(1 5k 2)y 22041,4ky 16k 2 0,由韦达定理知,即 22"2P+1=22m -2P +1,假设此式成立,必有： 2m- 2P =0 且 2k -2p +1=1,故有：m=p=k 和题设矛盾②假设存在成等差数列的三项中包含 a 时,不妨设 m=1, k >p>2 且 a k >a p,所以 2a p = a 〔+a k , 一一 1因此S 5 4 1y l y 2l 8 5 4k 4 k 2(1 5k 2)2设 u 1 5k 2, u S 855(1 3)2 25,所以 S [ .35,16-^ u 2 4 5),•,15 分 综上所述：△ RPQ 的面积S16分 23.解：⑴ a 2 由a 2 a 3,计算得 1 7 761 ,令n2 ,得到a3 一7 (2)由题意 a 1 a 2 a n a n 1 0 ,可得:1 a 1 a2 a n 1 a n 0(n 2),所以有又由于 a 2 (1 )a n a n 1 0(n 2),又 0, 1,1—— a n (n 2),故数列｛a n ｝从第二项起是等比数列.1 〜 所以 7n> 2 时, a n (―)n 21,所以数列｛a n ｝的通项a n10分 )n 2.… 1 ⑶由于 一所以a n3 73/ n 2 -4 n 71,2.11假设数列｛a n ｝中存在三项a m a k 、a p 成等差数列,①不防设m>k >p>2,由于当 n>2时,数列｛a n ｝单调递增,所以 2a=a+a p即：2(3) 4』3 4"2 + 7 7 34「化简得：2 4k-p = 4"p+17 14分2(3) 4-= —6+( 3) ,2,所以2 4P.2= — 2+4-；即2叱4= 22k 5 - 17 7 7由于k > p > 2 ,所以当且仅当k=3且p=2时成立................................... 16分因此,数列｛a n｝中存在a i、a2、a3或a3、a2、a i成等差数列....................... 18分。
高等数学试卷与答案 第一学期期末考试 上海海事大学 高等数学A船(A)
上 海 海 事 大 学 试 卷2009 — 2010 学年第一学期期末考试 《 高等数学A （船） 》（A 卷）班级 学号 姓名 总分(本大题分4小题, 每小题3分, 共12分)或不存在 且 处必有在处连续且取得极大值则在点、函数0)()(0)(0)()(0)()(0)()()()()(10000000='<''='<''='==x f D x f x f C •••x f B x f A •••••x x f x x x f y 2、设F (x)=⎰-x adt t f a x x )(2，其中)(x f 为连续函数，则)(lim x F a x →等于（ ）（A ）、2a (B)、 )(2a f a (C)、 0 (D)、 不存在3、 已知函数)(x f 在1=x 处可导，且导数为2，则 =--→xf x f x 2)1()31(lim0 （ ）（A ）3 (B) -3 （C ）-6 （D ）64、xx x ee 1011lim+-→的极限为 （ ）（A ）1 (B) -1 (C) 1或 -1 （D ）不存在 二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分4小题, 每小题3分, 共12分)1、____________2lim 20的值等于-+-→x xx e e x 2、__________________)sin (cos 2 •232⎰=+ππ－•dx x x --------------------------------------------------------------------------------------装订线------------------------------------------------------------------------------------23、=-+∞→xx x x )1212(lim 4、已知当x x x sin 0-→时，与3ax 是等价无穷小，则=a 三 计算题（必须有解题过程）（本大题分11小题，每小题5分，共55分） 1、(本小题5分))2(lim 2x x x x -++∞→ 计算极限2、(本小题5分)设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=10111arctan )1()(2x x x x x f 研究f （x ）的连续性。
第一学期《高等数学》期末试卷A和答案
2010-2011第一学期《高等数学》期末试卷A学号： 姓名： 学院：一、 填空1、已知2)3(='f ,则=--→h f h f h 2)3()3(lim0 2、设⎰--=x dt t t y 02)2()1(,则0=x dx dy=3、设)(x f 的一个原函数为x x -3，则⎰=xdx x f cos )(sin4、)(lim 0x f x x →存在的充分必要条件是)(lim 00x f x x -→和)(lim 00x f x x +→ 5、若两平面0=-++k z y kx 与02=-+z y kx 互相垂直，则k =二、选择1、点M （2，-3，-1）关于yoz 坐标面的对称点M 1的坐标为A 、（-2，3，-1）B 、（-2，-3，-1）C 、（2，3，-1）（D ）、（-2，-3，1）2、下列命题不正确的是A 、非零常数与无穷大之积是无穷大。
B 、0与无穷大之积是无穷小。
C 、无界函数是无穷大。
D 、无穷大的倒数是无穷小。
3、设⎰===dx x f x f f x f )(')(,1)0(,2)('则且A 、c x ++)12(2B 、c x ++)12(21C 、c x ++2)12(2D 、c x ++2)12(214、x x f =)(,则)(x f 在x =0处A 、)0('+f 存在，)0('-f 不存在B 、)0('-f 存在，)0('+f 不存在C 、)0('+f ，)0('-f 均存在但不相等D 、)0('+f ，)0('-f 存在且相等 5、⎰-=-2/2/2cos 1ππdx xA 、0B 、1C 、2D 、4二、 计算题1、求下列极限（1）x e e bx ax x -→0lim （2）)11ln 1(lim 1--→x x x 2、求下列导数或微分（1） 设)(x f =)0('0),1ln(0,f x x x x 求⎩⎨⎧≥+< （2） 求由椭圆方程12222=+b y a x 所确定的函数y 的二阶导数。
高等数学上期末考试试题及参考答案
高等数学上期末考试试题及参考答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 函数 \( f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \) 的反函数\( f^{-1}(x) \) 的定义域为（）A. \( (-\infty, 1) \cup (1, +\infty) \)B. \( [0, +\infty) \)C. \( (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) \)D. \( (-1, 1) \)答案：C2. 设函数 \( f(x) = \ln(2x - 1) \)，则 \( f'(x) \) 的值为（）A. \( \frac{2}{2x - 1} \)B. \( \frac{1}{2x - 1} \)C. \( \frac{2}{x - \frac{1}{2}} \)D. \( \frac{1}{x - \frac{1}{2}} \)答案：A3. 设 \( f(x) = e^x + e^{-x} \)，则 \( f''(x) \) 的值为（）A. \( e^x - e^{-x} \)B. \( e^x + e^{-x} \)C. \( 2e^x + 2e^{-x} \)D. \( 2e^x - 2e^{-x} \)答案：D4. 下列函数中，哪一个函数在 \( x = 0 \) 处可导但不可微？（）A. \( f(x) = |x| \)B. \( f(x) = \sqrt{x} \)C. \( f(x) = \sin x \)D. \( f(x) = \cos x \)答案：A5. 设 \( \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} = 2 \)，则 \( f'(0) \) 的值为（）A. 1B. 2C. 0D. 无法确定答案：B二、填空题（每题5分，共25分）6. 函数 \( f(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) \) 的导数 \( f'(x) \) 为_________。
高等数学(上学期)期末考试试卷及答案
考试试卷答案课程名称： 高等数学 （A ） 课程所在学院： 理学院 一、填空题（每空2分，共20分）1. 设221)1(x x x x f +=+，则)(x f = 2()2f x x =- ．2. 1lim sin x x x→∞= 0 ． 3. 已知函数1(1),0(),0x x x f x a x ⎧⎪-≠=⎨⎪=⎩在0=x 处连续，则=a 1/e ．4. 当0x →时，232x x +-与x 是 同阶 （填同阶或等价）无穷小.5. 函数()x f x xe =的带皮亚诺余项的n 阶麦克劳林公式为342()2!3!(1)!n n x x x x x x n ο++++++-. 6. d 212x e C +2.x e dx =7. 曲线42y ax x =-拐点的横坐标为1x =，则常数a =16． 8. 35425cos 32x xdx x x -=++⎰ 0 . 9. 若22()x f x dx x e C =+⎰，则()f x =222()x e x x +. 10. 方程2dyxy dx= 的通解是 2x yCe =.二、解答题（每题5分，共60分）1.求极限 0x → 00sin cos 1cos sin lim lim 21212x x x x x x x →→-++===解：原式2. 已知21lim ()01x x ax b x →∞⎡⎤+-+=⎢⎥+⎣⎦，求常数,a b ．解: 221(1)()1()11x a x a b x bax b x x +--++--+=++ 由21lim ()01x x ax b x →∞⎡⎤+-+=⎢⎥+⎣⎦可得 10,0a a b -=+=,故1,1a b ==- 3. 设1ln 2arctan 1xy x x +=+-，求xy d d 及22d y dx . 解：241124[ln(1)ln(1)2arctan ]1111dy x x x dx x x x x'=+--+=++=+-+- 22d y dx =()()334224444(4)16111x x x x x'⋅-⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭-- 4. 设063sin 33=+-+y x y x ，求.0=x dxdy解：把方程两边分别对x 求导，得,063cos 33322=+-+dxdy x dx dy y x （*） 故 .23cos 22+-=y x x dx dy 由原方程可得，0=x 时，0=y ，将0,0==y x 代入上式，即得 .210==x dxdy 5. 求极限1ln 0lim(cot )xx x +→解 1ln 011limln(cot )ln(cot )ln ln 0lim(cot )lim xx x x x xx x x e e+→++→→==201(csc )cot lim 11x x xxee +→--==．6. 设220()()x F x tf x t dt =-⎰，其中()f x 在0x =的某邻域内可导，且(0)0,(0)1f f '==，求4()limx F x x →. 解：2220222044300011()(()2)()22lim lim lim 4xu x t x x x x f u du f x x tf x t dt x x x=-→→→---⋅-===⎰⎰原式 2201()11lim (0)444x f x f x →'===7. 求不定积分dx ⎰ 解：332221==2x x C +原式8. 求不定积分解：655332666==6ln(1)1)()1x t dx t t dt dt t C C t t t t ====++=+++⎰⎰原式 9. 求定积分1arctan x xdx ⎰解：22211110000arctan arctan arctan arctan 222x x x x xdx xd x d x ==-⎰⎰⎰ 2110201111(arctan )24218242x dx x x x πππ=-=--=-+⎰ 10. 求反常积分2032dx x x +∞++⎰解：20001132(1)(2)12dx dx dx x x x x x x +∞+∞+∞==-++++++⎰⎰⎰ 01ln(1)ln(2)lnln 22x x x x +∞+∞+=+-+==+11. 求曲线()y f x =，使其切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标.解：切线方程为()()Y y f x X x '-=-；当0X =，()()Y xf x f x '=-+由题意可得：()()x xf x f x '=-+；即11y y x'-=- 通解是 (ln )(ln )y x x C or y x x C =-+=+.12. 求初值问题()(0)1,(0)1x f e f x f f ''⎧=-⎨'==⎩.解：由题意，特征方程为210r +=，特征根为12,r i r i ==-，故对应齐次方程通解为12cos sin y C x C x =+；1λ=不是特征方程的根，故可设原方程有特解()x f x Ae *=，解得()12x f x e *=，故原方程的通解为()121cos sin 2x f x C x C x e =++；由(0)1,(0)1f f '==得本题解为()111cos sin 222x f x x x e =++.三、设)(x f 在区间[,]a b 上连续，且()0f x >，()(),[,]()x xabdtF x f t dt x a b f t =+∈⎰⎰. 证明：（1）()2F x '≥; （2）方程()0F x =在区间(,)a b 内有且仅有一个根.（5分）. 证明：（1）1()()2()F x f x f x '=+≥；（2）()()()()a ab aba dtdt F a f t dt f t f t =+=-⎰⎰⎰；()()()()b b b a b a dt F b f t dt f t dt f t =+=⎰⎰⎰ 又()0f x >，所以()()0F a F b <，从而方程()0F x =在区间(,)a b 内有一个根. 又()20F x '≥>，是单调递增的，从而方程()0F x =在区间(,)a b 内仅有一个根. 四、设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(1)0f =，证明在(0,1)内存在一点ξ，使 ()()f f ξξξ'=-．（5分） 证明：令()()F x xf x =，则()F x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且因(1)0f =，则(0)0(1)F F == 即()F x 在[0,1]上满足罗尔定理的条件，则至少存在(0,1)ξ∈使()0F ξ'= 又()()()F x f x xf x ''=+，即()()0f f ξξξ'+=，即 ()()f f ξξξ'=-．五、设抛物线2y ax bx c =++通过点(0,0)，且当[0,1]x ∈时，0y ≥.试确定,,a b c 的值，使得该抛物线与直线1,0x y ==所围图形的面积为4/9，且使该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积最小. (10分)解：由于设抛物线2y ax bx c =++通过点(0,0)，故0c =.且11222004;()9ax bxdx V ax bx dx π+==+⎰⎰；即有2241;()329523a b a b V ab π+==++；于是221444[2()()]5293393a a a V a π=+-+-且令1()053a V π'=+=.得唯一驻点53a =-，进而2b =. 所以，5,2,03a b c =-==.。
2015-2016高等数学A(上)期末试卷A卷
上海海洋大学试卷（本答卷不准使用计算器）诚信考试承诺书本人郑重承诺：我已阅读且透彻理解了“上海海洋大学学生考场规则”和“上海海洋大学学生违反校纪校规处理规定”，承诺在考试中自觉遵守，如有违反，按有关条款接受处理。
承诺人签名： 日 期：考生姓名： 学号： 专业班名：一、选择题(2143'=⨯')1．当0→x 时，函数()csc cot f x x x =-是x 的（ ）无穷小 A ．高阶 B. 低阶 C. 同阶但非等价 D. 等价2．设()2arcsin(1)x f x x x-=-，则下列说法中错误的是（ ） A ．0=x ，1=x 都是()x f 的间断点. B ．1x =是()x f 的第二类间断点.C ． 0x =是()x f 的第二类间断点.D ．1=x 是()x f 的第一类可去间断点. 3．设函数)(x f 在),(∞+-∞内连续，其导数的图形如图所示，则)(x f 有( )A ．一个极小值点和两个极大值点B ．两个极小值点和一个极大值点C ．两个极小值点和两个极大值点D ．三个极小值点和一个极大值点4.若()xf x e-=，则(ln )f x dx x=⎰（ ） 11..ln ..ln A c B x cC cD x cxx++-+-+二、填空题(3618''⨯=)1.微分方程2x y y x =-'在初始条件(1)0y =下的特解为 2．若)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导,则至少存在一点),(b a ∈ξ,使得 =-)()(a f b f e e成立3．若xe 是)(xf 的原函数，则(ln )xf x dx ⎰=4．2212_______x x dx --=⎰5．函数220(1)x t y t e dt =-⎰的极大值点为6.401xdxx +∞=+⎰三、计算题（必须有解题过程，否则不给分） (本大题共60分)：1. ()4x x 012tan x x cosx lim 3 ln 13x →++ （5分） 2. 220ln(1) lim arcsin x x t dtx x-→+⎰（5分）3. 1lim(1)tan2x xx π→- （5分） 4．22011lim()sin x x x →- （5分）5．设函数()1sin ,0,0x x f x xx αβ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，问,αβ分别取何值，有： （1）函数()f x 在0x =处连续；（3分） （2）函数()f x 在0x =处可导；（3分）（3）函数()f x 在0x =处导函数连续。
大学第一学期高等数学期末考试A(含答案)打印
第一学期期末考试机电一体化专业《 高等数学 》 试卷( A )1．函数()314ln 2-+-=x x y 的定义域是（),2[]2,(∞+--∞Y ）。
2．若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)1(f （ -5 ）。
3．=→xx x 20lim （ 0 ） 4．函数xxx f -=)(的间断点是x =（ 0 ）。
5． 设735223-+-=x x x y 则y '＝（ 31062+-x x ）。
1、设()00=f , 且()00='f 存在, 则()=→xx f x 0lim ( C )；Ａ. ()x f ' Ｂ. ()0f ' Ｃ. ()0f Ｄ. ()021f 2、17下列变量中是无穷小量的有 ( C )； Ａ. )1ln(1lim0+→x x Ｂ. )1)((2()1)(1(lim 1-++-→x x x x x Ｃ. x x x 1cos 1lim ∞→ Ｄ. xx x 1sin cos lim 0→3、下列各组函数为同一函数的原函数的是 ( C )；Ａ. 31)(x x F =与324)(x x F -= Ｂ. 31)(x x F =与32214)(x x F -=Ｃ. C x x F +=21sin 21)(与x C x F 2cos 41)(2-=Ｄ.x x F ln )(1=与22ln )(x x F =4、在函数()x f 连续的条件下, 下列各式中正确的是 ( C )；Ａ. ()()x f dx x f dx d b a =⎰ Ｂ. ()()x f dx x f dx d ab =⎰Ｃ. ()()x f dt t f dx d x a =⎰ Ｄ. ()()x f dt t f dxd ax =⎰ 5、下列说法正确的是 ( D )； Ａ. 导数不存在的点一定不是极值点 Ｂ. 驻点肯定是极值点 Ｃ. 导数不存在的点处切线一定不存在Ｄ. ()00='x f 是可微函数()x f 在0x 点处取得极值的必要条件1、函数的三要素为: 定义域, 对应法则与值域. (√ )2、函数)(x f 在区间[]b a ,上连续是)(x f 在区间[]b a ,上可积的充分条件。
高数a上册期末试题及答案
高数a上册期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20题）1. 设函数 $f(x) = \sqrt{3x-2}$，则其定义域为A. $(-\infty, \frac{2}{3}]$B. $\left[ \frac{2}{3}, \infty \right)$C. $[\frac{2}{3}, \infty)$D. $(-\infty, \frac{2}{3}) \cup [\frac{2}{3}, \infty)$答案：C2. 函数 $y = \sin^2 x + \cos^2 x$ 的值域为A. $(-\infty, 1]$B. $[0, 1]$C. $[1, \infty)$D. $[\frac{1}{2}, 1]$答案：B3. 设函数 $f(x) = e^x \ln x$，则 $f'(x) = $A. $e^x \ln x$B. $e^x \left( \frac{1}{x} + \ln x \right)$C. $e^x \left( \ln x - \frac{1}{x} \right)$D. $e^x \left( \frac{1}{x} - \ln x \right)$答案：B4. 若直线 $y = 3x + b$ 与抛物线 $y = ax^2 + bx + 1$ 相切，则 $a + b = $A. 2B. 3C. 4D. 5答案：D5. 函数 $f(x) = \frac{x-1}{\sqrt{x^2 + 1}}$ 的渐近线为A. $y = x - 1$B. $y = x + 1$C. $y = -x + 1$D. $y = -x - 1$答案：A6. 函数 $f(x) = \ln(1 + e^{2x})$ 的反函数为A. $f^{-1}(x) = \ln(x) - \ln(1 - x^2)$B. $f^{-1}(x) = \ln(x^2 - 1)$C. $f^{-1}(x) = \frac{e^x - 1}{2}$D. $f^{-1}(x) = \frac{1}{2} \ln(x) + \ln(1 - x)$答案：D7. 设函数 $f(x) = \arcsin (\sin x)$，则当 $x = \frac{5\pi}{6}$ 时，$f(x) =$A. $\frac{5\pi}{6}$B. $\frac{\pi}{6}$C. $\frac{\pi}{3}$D. $\frac{2\pi}{3}$答案：C8. 函数 $f(x) = \frac{\sin x}{\cos^2 x}$ 的最大值为A. 1B. $\sqrt{3}$C. 2D. $2\sqrt{3}$答案：D9. 函数 $f(x) = x^2 + 2x + 1$ 在区间 $[-1, 1]$ 上的最大值为A. 0B. 1C. 2答案：D10. 函数 $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$ 的图像关于直线 $x = a$ 对称，则 $a = $A. 1B. 0C. -1D. 2答案：B11. 设 $\sin \alpha = \frac{1}{4}$，$\cos \beta = \frac{4}{5}$，且$\alpha$ 和 $\beta$ 都是第二象限角，则下列四个式子中成立的是A. $\sin (\alpha - \beta) = -\frac{3}{4}$B. $\sin (\alpha + \beta) = \frac{3}{8}$C. $\cos (\alpha - \beta) = \frac{1}{5}$D. $\cos (\alpha + \beta) = \frac{2}{5}$答案：C12. 如果点 $A(1, 2)$ 在抛物线 $y = -x^2 + 3x + k$ 上，那么 $k = $A. -3B. -5D. -9答案：B13. 设函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12$，则 $f'(x)$ 的零点有A. -2, 2B. -1, 3C. -4, 3D. -1, 4答案：A14. 设点 $P(x, y)$ 满足 $y^2 = px$，其中 $p > 0$ 是常数，则焦点所在的直线方程为A. $y = -\frac{p}{2}$B. $x = -\frac{p}{2}$C. $y = \frac{p}{2}$D. $x = \frac{p}{2}$答案：B15. 函数 $f(x) = x^3 - 3x + 1$ 在区间 $[0, 2\pi]$ 上的最小值为A. -1B. 0D. 2答案：A16. 设直线 $y = 2x + 1$ 与曲线 $y = x^2 + bx + c$ 相切，则 $b + c = $A. 0B. $\frac{1}{2}$C. 1D. 2答案：C17. 设函数 $f(x) = (1 - x^2) \cos x$，则 $f''(x)$ 的一个零点在A. $(0, \frac{\pi}{2})$B. $(0, \pi)$C. $(\pi, 2\pi)$D. $(\pi, 3\pi)$答案：B18. 设函数 $f(x) = \sin^2 x - \sqrt{3} \sin x \cos x + \cos^2 x$，则$f(x)$ 的最大值为A. 2B. $2\sqrt{2}$C. 3D. $2 + \sqrt{3}$答案：C19. 设函数 $f(x) = e^x$，$g(x) = x^2$，则 $f(x) \cdot g(x) = $A. $e^{x^2}$B. $x^2 e^x$C. $x^2 e^{x^2}$D. $x^2 + e^x$答案：B20. 设 $a > 0$，则 $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x^a}{e^x}$ 的值为A. 0B. $\frac{1}{e}$C. 1D. $+\infty$答案：A二、计算题（每题10分，共4题）1. 求函数 $f(x) = \frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1}$ 的极限 $\lim\limits_{x\to 1} f(x)$.解：使用“分子分母可约”的性质，可将函数 $f(x)$ 化简为 $f(x) = 2x - 1$，则 $\lim\limits_{x \to 1} f(x) = \lim\limits_{x \to 1} (2x - 1) = 2(1) - 1 = 1$.答案：12. 求曲线 $y = e^x$ 与直线 $y = kx$ 相交的两个点的坐标，其中 $k > 0$ 是常数.解：将曲线 $y = e^x$ 和直线 $y = kx$ 代入方程中，得到 $e^x = kx$，然后可以使用迭代法或图像法求得相交点的坐标.答案：相交点的坐标为 $(x_1, e^{x_1})$ 和 $(x_2, e^{x_2})$，其中$x_1$ 和 $x_2$ 是满足方程 $e^x = kx$ 的两个解.3. 求曲线 $y = \sin x$ 与直线 $y = x$ 相交的点的个数，并说明理由.解：将曲线 $y = \sin x$ 和直线 $y = x$ 代入方程中，得到 $\sin x = x$，然后可以通过分析函数的周期性和图像来确定相交点的个数.答案：方程 $\sin x = x$ 的解存在无穷个，但相交点的个数取决于给定的区间. 在区间 $[0, \pi]$ 上，方程有一个解；在区间 $[2\pi, 3\pi]$ 上，方程又有一个解. 因此，相交点的个数是不确定的.4. 求函数 $y = x^2 + x$ 在区间 $[-2, 2]$ 上的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值的点.解：首先求导数 $y' = 2x + 1$，然后令 $y' = 0$，解得 $x = -\frac{1}{2}$，将 $x = -2, -\frac{1}{2}, 2$ 代入函数 $y = x^2 + x$，得到对应的 $y$ 值. 最大值为 $y = y_{\text{max}}$ 对应的点为 $(-\frac{1}{2},y_{\text{max}})$，最小值为 $y = y_{\text{min}}$ 对应的点为 $(-2,y_{\text{min}})$ 和 $(2, y_{\text{min}})$.答案：最大值为 $y_{\text{max}} = \frac{5}{4}$，取得最大值的点为 $(-\frac{1}{2}, \frac{5}{4})$；最小值为 $y_{\text{min}} = -2$，取得最小值的点为 $(-2, -2)$ 和 $(2, -2)$.三、证明题（每题20分，共2题）1. 证明函数 $f(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + 2x$ 的导数 $f'(x)$ 恒大于零.证明：求导数 $f'(x) = x^2 - 2x + 2$，我们可以通过判别式来判断 $f'(x)$ 的正负性.判别式为 $\Delta = (-2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4$，由于 $\Delta < 0$，所以判别式小于零，即 $f'(x)$ 的二次项系数小于零，说明二次项的系数是正的，从而导数 $f'(x)$ 恒大于零.证毕.2. 证明函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3$ 的图像关于直线 $x = 1$ 对称.证明：要证明函数的图像关于直线 $x = 1$ 对称，需证明对于任意$x$ 值，函数 $f(x)$ 和 $f(2 - x)$ 的函数值相等.将 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3$ 代入 $f(2 - x)$，得到 $f(2 - x) = (2 - x)^3 -3(2 - x)^2 + 3$，对其进行展开和化简得到 $f(2 - x) = (2 - x)^3 - 3(2 -x)^2 + 3 = x^3 - 3x^2 + 3 = f(x)$，即 $f(x) = f(2 - x)$，证明了函数的图像关于直线 $x = 1$ 对称.证毕.四、应用题（每题50分，共1题）1. 求函数 $f(x) = x^3 + x^2 - 3x$ 的驻点及其对应的极值.解：求导函数 $f'(x) = 3x^2 + 2x - 3$，令 $f'(x) = 0$，求得驻点的 $x$ 坐标，然后将其代入原函数求得对应的 $y$ 坐标.求导的一阶导数方程为 $f'(x) = 3x^2 + 2x - 3 = 0$，通过求根公式求得 $x = -1$ 和 $x = \frac{1}{3}$，将其代入原函数 $f(x)$ 得到对应的$y$ 坐标.将 $x = -1$ 代入 $f(x)$，得到 $f(-1) = (-1)^3 + (-1)^2 - 3(-1) = -1 + 1+ 3 = 3$，将 $x = \frac{1}{3}$ 代入 $f(x)$，得到 $f(\frac{1}{3}) =(\frac{1}{3})^3 + (\frac{1}{3})^2 - 3(\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} +\frac{1}{9} - 1 = 0$.因此，函数 $f(x) = x^3 + x^2 - 3x$ 的驻点及其对应的极值为 $(-1, 3)$ 和 $(\frac{1}{3}, 0)$.答案：驻点为 $(-1, 3)$ 和 $(\frac{1}{3}, 0)$，分别对应极大值和极小值.。
上海海洋大学高等数学A(上)期末试卷
上海海洋大学试卷（本答卷不准使用计算器）诚信考试承诺书本人郑重承诺：我已阅读且透彻理解了“上海海洋大学学生考场规则”和“上海海洋大学学生违反校纪校规处理规定”，承诺在考试中自觉遵守，如有违反，按有关条款接受处理。
承诺人签名： 日期：考生姓名： 学号： 专业班名：一、选择题(2143'=⨯')1．当0→x 时，函数()csc cot f x x x =-是x 的（ ）无穷小 A ．高阶 B. 低阶 C. 同阶但非等价 D. 等价 2．设()2arcsin(1)x f x x x-=-，则下列说法中错误的是（ ）A ．0=x ，1=x 都是()x f 的间断点.B ．1x =是()x f 的第二类间断点.C ． 0x =是()x f 的第二类间断点.D ．1=x 是()x f 的第一类可去间断点. 3．设函数)(x f 在),(∞+-∞A ．一个极小值点和两个极大值点 B ．两个极小值点和一个极大值点 C ．两个极小值点和两个极大值点 D ．三个极小值点和一个极大值点4.若()xf x e-=，则(ln )f x dx x=⎰（ ） 11..ln ..ln A c B x c C c D x cxx++-+-+二、填空题(3618''⨯=)1.微分方程2x y y x =-'在初始条件(1)0y =下的特解为 2．若)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导,则至少存在一点),(b a ∈ξ, 使得 =-)()(a f b f e e成立3．若xe 是)(xf 的原函数，则(ln )xf x dx ⎰= 4．2212_______x x dx --=⎰5．函数220(1)x t yt e dt =-⎰的极大值点为6.401xdxx +∞=+⎰三、计算题（必须有解题过程，否则不给分） (本大题共60分)：1. ()4x x 012tan x x cosx lim3 ln 13x →++ （5分） 2. 220ln(1) lim arcsin x x t dtx x-→+⎰（5分）3. 1lim(1)tan2x xx π→- （5分） 4．2211lim()sin x x x →- （5分）5．设函数()1sin ,0,0x x f x xx αβ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，问,αβ分别取何值，有： （1）函数()f x 在0x =处连续；（3分） （2）函数()f x 在0x =处可导；（3分） （3）函数()f x 在0x =处导函数连续。
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1上 海 海 事 大 学 试 卷2009 — 2010学年第一学期期末考试 《 高等数学A （船） 》（A 卷）班级 学号 姓名 总分(本大题分4小题, 每小题3分, 共12分)或不存在 且 处必有在处连续且取得极大值则在点、函数0)()(0)(0)()(0)()(0)()()()()(10000000='<''='<''='==x f D x f x f C •••x f B x f A •••••x x f x x x f y 2、设F (x)=⎰-x adt t f a x x )(2，其中)(x f 为连续函数，则)(lim x F a x →等于（ ）（A ）、2a (B)、)(2a f a (C)、 0 (D)、不存在3、 已知函数)(x f 在1=x 处可导，且导数为2，则=--→xf x f x 2)1()31(lim 0 （ ）（A ）3 (B) -3 （C ）-6 （D ）6 4、xx x ee 11011lim+-→的极限为 （ ）（A ）1 (B) -1 (C) 1或 -1 （D ）不存在 二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分4小题, 每小题3分, 共12分)1、____________2lim 20的值等于-+-→x xx e e x 2、__________________)sin (cos 2 •232⎰=+ππ－•dx x x--------------------------------------------------------------------------------------装订线------------------------------------------------------------------------------------23、=-+∞→xx x x )1212(lim 4、已知当x x x sin 0-→时，与3ax 是等价无穷小，则=a 三 计算题（必须有解题过程）（本大题分11小题，每小题5分，共55分） 1、(本小题5分))2(lim 2x x x x -++∞→ 计算极限2、(本小题5分)设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=10111arctan )1()(2x x x x x f 研究f （x ）的连续性。
3、(本小题5分)设)(b ϖ∧=3π，,8,5==b a ϖϖ求b a ϖϖ---------------------------------------------------------------------------------------装订线------------------------------------------------------------------------------------34、(本小题5分)．计算⎰⎰-→xxx dtt t tdt003)sin (tanlim5、(本小题5分)y x x y ''++=，求设)13ln()13(6、(本小题5分))0(,)cos()(dy y xy e x y y xy 求确定由方程设=+=。
--------------------------------------------------------------------------------------装订线------------------------------------------------------------------------------------47、(本小题5分)的凹凸区间求曲线x xe y -=。
8、(本小题5分)求平面的方程，使得这个平面垂直于平面x y z -+-=250，平行于以1525255,,-为方向余弦的直线，并且过点(,,)501。
9、(本小题5分)若间有什么关系？与问的原函数为xxx f x x x f sin )(,sin )( ⎰'dx x f x )(并求。
--------------------------------------------------------------------------------------装订线------------------------------------------------------------------------------------510、(本小题5分)如果.,612ln 2x e dt •xt求π=-⎰11、(本小题5分)设⎪⎩⎪⎨⎧<≥+=0011)(22x ex x x f x ，求⎰∞-1)(•dx x f四、应用与证明题（必须有解题过程） (本大题分2小题，总计14分) 1、 (本小题7分)求摆线⎩⎨⎧-=-=t y tt x cos 1sin 的一拱及y=0绕X 轴旋转的旋转体体积。
--------------------------------------------------------------------------------------装订线------------------------------------------------------------------------------------62、(本小题7分)体的高求体积最大的内接圆柱的球内在半径为,R五、证明题 (本大题7分)上任一非负连续函数在]1,0[)(x f y =证明：],0[1,0(00x x ）使∈上以)(0x f 为高的矩形面积等于]1,[0x 上以)(x f y =为曲边的梯形的面积；又xx f x f x f )(2)()1,0()(->'可导，在，证明0x 唯一。
--------------------------------------------------------------------------------------装订线------------------------------------------------------------------------------------7高等数学试卷A (答案)一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分4小题, 每小题3分, 共12分)1、()D2、B3、B4、D 二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分4小题, 每小题3分, 共12分)1、________1____2、_______2_______π3、e4、=a 1/6三、解答下列各题(本大题共11小题，总计55分) 1、(本小题5分)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+∞→x x x xx 222lim 解：原式 3分 1= 5分2、(本小题5分)）上为初等函数，），（，），（，在（∞+--∞-1111)(x f ，所以都连续，1分下面讨论处的连续性。
在1)(±=x x f π=-+=++→11arctan)1(lim )01(201x x f x π-=-+=--→11arctan)1(lim )01(21x x f x 所以)(lim 1x f x →不存在，属跳跃型间断点； 3分而)1(011arctan)1(lim )(lim 211-==-+=-→-→f x x x f x x ，所以f （x ）在x =-1处连续。
总之函数f （x ）的连续区间为),,1(),1,(+∞-∞在x =1处为跳跃型间断点。
5分 3、(本小题5分)222b b a a b a ρρρρρρ+⋅-=-解3分8644025+-= 4分7= 5分4、(本小题5分)xx x x x x x x sin lim sin tan lim 3030-=-=→→原式 3分x x x cos 13lim 20-=→220213lim x x x →= 4分 6=。
5分5、(本小题5分)[]1)13ln(3++='x y 3分''=+y x 9315分 6、(本小题5分)3 )sin()()(y xy y x y y x y e xy '='+-'+dxdy y x 2)0(,2.,0===时当，5分7、(本小题5分)解：xe x y y --=''=')2(,x )e -(1-x， 2分;02<''<y x 时 当曲线为凸 4分 ;02≥''≥y x 时 当曲线为凹 5分8、(本小题5分)解：π法向量l n },2,1,1{-=ρ方向向量}552,52,51{-=S ρ 1分 }1,252,452{511---=⨯=S n n ρρρ， 3分()()()254525210--+-+-=x y z 。
5分9、(本小题5分)2sin cos sin )(x x x x x x x f -='⎪⎭⎫⎝⎛= 2分9C xxdx x f +=⎰sin )( 3分 C x xx x dx x f x xf x xdf dx x f x +-=-=='⎰⎰⎰sin 2cos )()()()( 5分 10、(本小题5分)212,1uududt e u t +=-=令 1分 1arctan 23arctan 2121312--=+=⎰-xe e du u u u x左边 3分 =61arctan 232ππ=--x e 2ln ,41arctan =∴=-x e x π5分11、(本小题5分)分211)(10221••••••••••••••dx x dx e dxx f x⎰⎰⎰++=∞-∞-421arctan 211002π+=+=∞-x e x 5分三、应用题(本大题共2小题，总计14分) 1、(本小题7分)解：⎰⎰--==ππππ2022202)]sin ([)cos 1(t t a d t a dx y V a x 4分3220335)cos 1(a dt t aπππ=-=⎰7分2、(本小题7分)Rh h R h V hR r h 20)4()2(,2222<<-=-= 其体积为 则圆柱体的底面半径为解：设内接圆柱体的高π2分R h h R V 332)43(22=-='唯一驻点 ， π， 5分10 ''=-<V h 320π，故时圆柱体体积最大h R =233,。
7分 四、证明题(本大题7分) 证：设⎰=1)()(xdt t f xx F ，⎰='1)()(xdt t f x F )(x xf -0)(,0)1()0(0='==x F rolle F F 定理由即)()(0010x f x dt t f x =⎰4分唯一性：)()(2)(),()()(1x f x x f x x xf dt t f x x'--='-=⎰ϕϕ0)(,0)()(2,)(2)(<'<'--∴->'x x f x x f xx f x f ϕ，)(x ϕ严格单调减，故0x 唯一。