第四章 连续系统的频域分析例题详解
连续系统频域分析
系统函数定义： H ( j ) Y ( j ) F ( j )
系统函数计算：
（1）h(t)旳傅立叶变换； （2）描述系统频率特性。
1) H ( j ) h(t)e j tdt 2) H ( j ) Y ( j ) F ( j )
3) H ( j) H ( p) p j
响应相量
4) H ( j) 激励相量 10
(t)
t
或
H j G2c ()e jto
Sac2(S2aCt[S) aGc((t(2tC)tt) Go )]( S2a(G)G 222c2C()( G)) e( 已 ((令 j知)to (2(对 )时称移C性性) ))
ht
c
Sa c
t
t0
20
讨论：
1、h(t)与(t)比较，严重失真； 2、h(t)为抽样函数，峰值为 kωc
A [ H ( j) e j()e jt H ( j) e e j() jt ] 2
H ( j) H ( j) () ()
y(t ) A H ( j) [e j[t ()] e j[t ()] ] 2
A H ( j) cos[t ()]
激励与响应为同频率的 正弦量。
3
二、正弦信号 ： f (t) Acos t
h(t) 1 H ( j )e jt d
2
19
二. 单位冲激响应h(t)
h(t) 1
2
H ( j )e j t d 1 c 1 e j t0 e j td
2 c
1
t
1 t0
1 2j
e jC t t0
e jC t t0
c
sin c
c t
t
t0
信号与系统第四章连续系统的频域分析V4.
那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过 渡到非周期信号的连续频谱。各频率分量的幅度也趋近 于无穷小。
4.4 非周期信号的频谱—傅里叶变换
一、傅里叶变换
为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度 的概念。令
F ( j) lim Fn
T 1/ T
将An~ω和n~ω的关系分别画在以ω为横轴的平
面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频 谱图。因为n≥0，所以称这种频谱为单边谱。
也可画|Fn|~ω和n~ω的关系，称为双边谱。若Fn
为实数，也可直接画Fn 。
例：周期信号
f(t)
=
1
1 2
cos
4
t
2
3
1 4
sin
3
t
6
试求该周期信号的基波周期T，基波角频率Ω，画 出它的单边频谱图，并求f(t) 的平均功率。
若 f1(t) ←→F1(jω)， f2(t) ←→F2(jω) 则 [a f1(t) + b f2(t) ] ←→ [a F1(jω) + b F2(jω) ] 例：f(t)的波形如图，则 F(jω) = ?
f(t) 1
-1 0 1
t
解: f (t) = f1(t) – g2(t) f1(t) = 1 ←→ 2πδ(ω) g2(t) ←→ 2Sa(ω)
lim
T
FnT
f (t) e j t d t
f (t) 1 F ( j) e j t d
2
傅里叶变换式 傅里叶反变换式
F(jω)称为f(t)的傅里叶变换或频谱密度函数，简称 频谱。f(t)称为F(jω)的傅里叶反变换或原函数。
实验：连续系统的频域分析
实验4：连续系统的频域分析一、实验目的（1）掌握连续时间信号的傅里叶变换和傅里叶逆变换的实现方法。
（2）掌握傅里叶变换的数值计算方法和绘制信号频谱的方法。
二、实验原理 1.周期信号的分解根据傅里叶级数的原理，任何周期信号都可以分解为三角级数的组合——称为()f t 的傅里叶级数。
在误差确定的前提下，可以由一组三角函数的有限项叠加而得到。
例如一个方波信号可以分解为：11114111()sin sin 3sin 5sin 7357E f t t t t t ωωωωπ⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭合成波形所包含的谐波分量越多，除间断点附近外，它越接近于原波形，在间断点附近，即使合成的波形所含谐波次数足够多，也任存在约9%的偏差，这就是吉布斯现象（Gibbs ）。
2.连续时间信号傅里叶变换的数值计算 由傅里叶变换的公式：()()lim()j tj n n F j f t edt f n e ωωττωττ∞∞---∞→=-∞==∑⎰当()f t 为时限信号时，上式中的n 取值可以认为是有限项N，则有：()(),0k Nj n n F k f n e k N ωτττ-==≤≤∑，其中2k k N πωτ=3.系统的频率特性连续LTI 系统的频率特性称为频率响应特性，是指在正弦信号激励作用下稳态响应随激励信号频率的变化而变化的情况，表示为()()()Y H X ωωω=三、实验内容与方法 1.周期信号的分解【例1】用正弦信号的叠加近似合成一个频率为50Hz 的方波。
MA TLAB 程序如下： clear all; fs=10000; t=[0:1/fs:0.1]; f0=50;sum=0; subplot(211) for n=1:2:9plot(t,4/pi*1/n*sin(2*pi*n*f0*t),’k ’); hold on; endtitle(‘信号叠加前’); subplot(212) for n=1:2:9;sum=sum+4/pi*1/n*sin(2*pi*n*f0*t);endplot(t,sum,’k ’); title(‘信号叠加后’); 产生的波形如图所示：00.010.020.030.040.050.060.070.080.090.1-2-1012信号叠加前00.010.020.030.040.050.060.070.080.090.1-2-1012信号叠加后2.傅里叶变换和逆变换的实现求傅里叶变换，可以调用fourier 函数，调用格式为F=fourier(f,u,v)，是关于u 的函数f 的傅里叶变换，返回函数F 是关于v 的函数。
_第四章连续系统的复频域分析习题解答
解：
4-25电路如图所示，试求
(1)系统函数 ；(2)若k2，求冲激响应。
解：(1)由节点法得：
(2)
4-26图示系统由三个子系统组成，其中 h3(t)=(t)。
(1) 求系统的冲激响应；
(2)若输入f(t)=(t)，求零状态响应y(t)。
解：(1)
4-27线性连续系统如图所示，已知子系统函数中 。
解：
4-38图示系统，(1)求H(s)Y(s)F(s)；
(2)K满足什么条件时系统稳定？
(3)在临界稳定条件下，求系统的h(t) .
解：(1)
(2)K4时系统稳定；
(3)当K4时系统为临界稳定， .
4-39图示系统，试分析K值对系统稳定性的影响。
解： 或用
4-40图示系统，(1)求H(s)Y(s)F(s)；
解：
4-33图示电路，(1)求 ；(2)求H(j)，并说明电路属于哪一类滤器；(3)求|H(j)|的最大值和截止频率C.
解：
4-34已知线性连续系统的系统函数H(s)的零极点分布如图所示。
(1)若H()1，求图(a)对应系统的H(s)；
(2)若H(0)0.5，求图(b)对应系统的H(s)；
(3)求系统频率响应，粗略画出系统幅频特性和相频特性曲线。
解：(1)
(2)
(3)
4-13.已知连续系统的微分方程为： ，求在下列输入时的零输入响应、零状态响应和完全响应：
(1)已知f(t)(t)，y(0-)1，y'(0-)2；
(2)已知f(t)e2t(t)，y(0-)0，y'(0-)1；
(3)已知f(t)(t1)，y(0-)1，y'(0-)1。
连续时间系统的频域分析
t ← ← ←第四章 连续时间系统的频域分析第三章中借助于傅里叶级数、傅里叶积分变换对周期及非周期信号的频谱进行了讨论。
利用 上面讨论所得结论，本章将对 LTI 系统进行频域分析。
LTI 系统的频域分析法是一种变换域分析法，即把时域中求解响应问题通过傅里叶级数或傅 里叶变换转换到频域之中，求解后再回到时域，从而得到最终结果。
采用傅里叶变换的方法对系统进行分析的目的，一方面是使一些系统分析问题得以简化，而 更重要的是接受一种变换的方法，真正体会时频变换在分析 L TI 系统中是一种不可替代的有效方 法，有了这种方法使得许多有实际意义的物理过程变得可能。
4.1 系统函数由 LTI 系统的时域分析可知，当输入信号为 x (t ) ，系统单位冲激响应为 h (t ) 时，其系统零状态响应 y zs ( )= x (t ) * h (t ) 。
由傅里叶变换的时域卷积定理，对上式两端同时取傅里叶变换可有F [y zs (t )]= F [x (t )]⋅ F [h (t )]Y zs ( j ω) = X ( j ω) ⋅ H ( j ω)其中 x (t ) −→ X ( j ω) ， y zs (t ) −→Y zs (j ω )， h (t ) −→ H (j ω)。
由(4.1)式可定义系统函数为(4.1)H (j ω )=Y zs (j ω )X (j ω )（4.2）(4.2)式说明 H ( j ω) 是频率 ω 的函数，故又称之为系统的频率响应函数。
一般情况下， H (j ω)是 一个复函数，因此可有H (j ω )= H (j ω )e j φ(ω)（4.3）其中， H (j ω) 为系统的响应幅度与激励幅度之比，称之为幅频特性函数，而φ(ω )则描述了系统响应与激励的相位关系，称之为相频特性函数。
由(4.2)系统函数的定义式可知，系统函数 H (j ω)反映系统自身的特性。
它由系统结构及参数 来决定，而与系统的外加激励及系统的初始状态无关。
连续系统频域分析-4
H ( j )e jt H ( j ) e j[t ( )]
H(j)= |H(j)|ej()是系统单位冲激响应h(t)的傅立叶变换，它是 一个与时间无关的频域函数，称为系统频率特性或系统函数。 基本信号ejt通过线性时不变系统时，其零状态响应就是用基本
信号ejt 乘以系统函数H(j)。
第四章 连续系统频域分析
4.1 引言
对于周期信号f (t)，有
f (t ) A0 An cos( nt n )
1 Fn T
1 f (t ) 2
n 1
T 2
n
Fn e jnt
T 2
f (t )e jnt dt
jt
对于非周期信号f (t)，有
y (t ) (1 e t )U (t ) (1 e 2t )U (t )
11
4.4 频域系统函数
一、系统函数定义
f (t ) F ( j )
y(t ) Y ( j )
Y ( j ) H ( j ) F ( j )
二、H(j)的物理意义
H ( j ) F{h(t )}
A H ( j) cos[t ()]
其中
H ( j) H ( j ) H ( j) e j ()
所以，线性系统对正弦信号激励的响应为与激励同频率 的正弦量，其振幅为激励的振幅与系统函数H(j)模值之乘
积，其相位为激励的初相与系统函数H(j)相位之和。
例：已知描述系统的微分方程为 y(t ) 3 y(t ) 2 y(t ) f (t ) 求系统函数H(j)。 解： 对方程两边进行傅里叶变换, 并根据时域微分性质得
第4章 连续系统的频域分析
(t)
A0 2
n1
An
cosnt
n
An
n
n
幅度谱
相位谱
➢奇、偶函数的傅里叶级数系数
an
2 T
T /2 f tcosntdt
T / 2
bn
2 T
T /2 f tsinntdt
T / 2
1. f(t)是偶函数
an
4 T
T /2 f tcosntdt
0
bn 0
2. f(t)是奇函数
an 0
正交
v x,v y,vz
矢量：
A C1v x C2v y C3v z
将此概念推广到信号空间。在信号空间找到若干 个相互正交的信号作为正交信号集，使得信号空 间中任一信号均可表示成它们的线性组合。
一、信号正交与正交函数集
1. 定义
定义在(t1, t2)区间内的两个函数 1(t)和φ2(t)，若
1.合成波形所包含的分 量越多，就越接近方波 信号
2.频率较低的谐波，振 幅大；频率较高的谐波， 振幅小
3.在间断点处仍有误差。 吉布斯现象
二、傅立叶级数的指数形式
由欧拉公式： cos x e jx e jx 2
f
t
A0 2
n1
An cosnt
n
A0
An
e e jnt n
j nt n
满足：
t2
t1
1t
2
t
dt
0
则称 1(t)和 2(t)在区间(t1, t2)内正交。
如有n个函数 1(t), 2(t)…, n(t)构成一个函数集，
这些函数在区间(t1, t2)内满足：
t2
第四章 连续系统的频域分析例题详解
第四章 连续系统的频域分析例题详解1．一带限信号的频谱图如下图1所示，若次信号通过图2所示系统，请画出A 、B 、C 三点处的信号频谱。
理想低通滤波器的频率函数为)15()15()(--+=ωεωεωj H ，如图3所示。
解：设A 处的信号为：A f ，B 处的信号为：B f ，C 处的信号为：C f)30cos()(t t f f A = )30cos(t f f A B =)]]30([)]30([[21)()]]30([)]30([[21)(++-=++-=w j F w j F jw F w j F w j F jw F A A B A1. 如图2（a ）所示的系统，带通滤波器的频率响应如图2（b ）所示，其相频特性()0ϕω=，若输入 sin(2)(),()cos(1000)2t f t s t t tπ==，求输出信号()y t 。
f ()H j ω()0ϕω=1/(.)rad s ω--1001 -999 0 999 10011-10001000图（b ）图2解 4sin(2)1()[]()22t F j F g t ωωπ== [cos(1000)][(1000)(1000)]F t πδωδω=++-441[()cos(1000)][()][cos(1000)]21[(1000)(1000)]4F f t t F f t F t g g πωω=⋅*=++- 则系统输出信号的傅里叶变换为()[()cos(1000)]()Y j F f t t H j ωω= 由()H j ω的波形图及相频特性可得22()(1000)(1000)H j g g ωωω=++- 所以可得2221()[(1000)(1000)]41()[(1000)(1000)]4Y j g g g ωωωωδωδω=++-=*++-由此可得输出信号为1()()cos(1000)2y t Sa t t π=3．一理想低通滤波器的频率响应如图3示，其相频特性φ(ω)=0。
第四章 连续时间系统的频域分析
• 幅度失真：各频率分量幅度产生不同程度的衰减。
• 相位失真：各频率分量产生的相移不与频率成正比。 响应的各频率分量在时间轴上的相对位置产生变化
线性系统的失真不会产生新的频率分量。 满足系统的不同要求：
• 无失真传输
• 波形变换——利用失真
不失真：信号通过系统以后，在波形的形状上没有 发生变化。 只有幅度的大小和出现时间的先后改变了
r(t) H ( j0 ) cos 0t (0 )
4. 将各个频率点上的响应叠加，得到全响应
例题1：正弦信号 cos0t 作用于系统函数为 H(jw)的系统，求系统的响应。
r(t) H ( j0 ) cos 0t (0 )
H(jw)同时反映了系统对频率为w的实正弦信号 的幅度和相位的影响。
描绘了系统对各个频率的（复）正弦信号的相位 的影响。
系统如图所示，其中R＝1；C＝1；L＝1。
L
u1
R
C u2
1
Fu2 ( j)
1 jC
R
Fu1( j)
1
1
jC
jL
R
L
u1
R
C u2
H ( j)
1
1
1 jL 1 jC
R
1 j L 2LC
０
例：系统的幅频特性和相频特性如图所示，则下列
信号通过该系统时，不产生失真的是：
H( j)
－5
5
－10
10
(A) f (t) cost cos8t (B) f (t) sin 2t cos4t (C) f (t) cos2t sin 4t
《信号与系统》考研试题解答第四章连续系统的频域分析可编辑
第四章 傅里叶变换和系统的频域分析一、单项选择题X4.1（北京航空航天大学2001年考研题）下列叙述正确的是________。
（A ）f (t )为周期偶函数，则其傅里叶级数只有偶次谐波。
（B ）f (t )为周期偶函数，则其傅里叶级数只有余弦偶次谐波分量。
（C ）f (t )为周期奇函数，则其傅里叶级数只有奇次谐波。
（D ）f (t )为周期奇函数，则其傅里叶级数只有正弦分量。
X4.2（浙江大学2004年考研题）离散周期信号的傅氏变换（级数）是__________。
（A ）离散的 （B ）非周期性的 （C ）连续的 （D ）与单周期的相同X4.3（浙江大学2004年考研题）如f (t )是实信号，下列说法不正确的是__________。
（A ）该信号的幅度谱是偶函数（B ）该信号的幅度谱是奇函数（C ）该信号的频谱是实偶函数（D ）该信号的频谱的实部是偶函数，虚部是奇函数X4.4（浙江大学2004年考研题）已知)1(2)(-=t t f δ，它的傅氏变换是__________。
（A ）2π （B ）2e j ω （C ）2e -j ω （D ）-2X4.5（浙江大学2004年考研题）连续周期信号的傅氏变换（级数）是__________。
（A ）连续的 （B ）周期性的 （C ）离散的 （D ）与单周期的相同X4.6（浙江大学2003年考研题）已知f (t )=e j2t δ(t )，它的傅氏变换是____________。
（A ）1 （B ）j(ω-2) （C ）0 （D ）-j(ω-2)X4.7（浙江大学2003年考研题） sin(ω0t )ε(t )的傅氏变换为____________。
（A ）[])()(200ωωδωωδπ+--j（B ）[])()(00ωωδωωδπ+--（C ）[]220000)()(2ωωωωωδωωδπ-++--j （D ）[]220000)()(ωωωωωδωωδ-++--X4.8（浙江大学2002年考研题）离散信号k j e 021ωπ的傅氏变换为_________。
《信号与系统》考研试题解答第四章 连续系统的频域分析
第四章 傅里叶变换和系统的频域分析一、单项选择题X4.1（北京航空航天大学2001年考研题）下列叙述正确的是________。
（A ）f (t )为周期偶函数，则其傅里叶级数只有偶次谐波。
（B ）f (t )为周期偶函数，则其傅里叶级数只有余弦偶次谐波分量。
（C ）f (t )为周期奇函数，则其傅里叶级数只有奇次谐波。
（D ）f (t )为周期奇函数，则其傅里叶级数只有正弦分量。
X4.2（浙江大学2004年考研题）离散周期信号的傅氏变换（级数）是__________。
（A ）离散的 （B ）非周期性的 （C ）连续的 （D ）与单周期的相同X4.3（浙江大学2004年考研题）如f (t )是实信号，下列说法不正确的是__________。
（A ）该信号的幅度谱是偶函数（B ）该信号的幅度谱是奇函数（C ）该信号的频谱是实偶函数（D ）该信号的频谱的实部是偶函数，虚部是奇函数X4.4（浙江大学2004年考研题）已知)1(2)(-=t t f δ，它的傅氏变换是__________。
（A ）2π （B ）2e j ω （C ）2e -j ω （D ）-2X4.5（浙江大学2004年考研题）连续周期信号的傅氏变换（级数）是__________。
（A ）连续的 （B ）周期性的 （C ）离散的 （D ）与单周期的相同X4.6（浙江大学2003年考研题）已知f (t )=e j2t δ(t )，它的傅氏变换是____________。
（A ）1 （B ）j(ω-2) （C ）0 （D ）-j(ω-2)X4.7（浙江大学2003年考研题） sin(ω0t )ε(t )的傅氏变换为____________。
（A ）[])()(200ωωδωωδπ+--j（B ）[])()(00ωωδωωδπ+--（C ）[]220000)()(2ωωωωωδωωδπ-++--j （D ）[]220000)()(ωωωωωδωωδ-++-- X4.8（浙江大学2002年考研题）离散信号k j e 021ωπ的傅氏变换为_________。
第四章连续系统的频域分析(a)
Ay c 2vy
y
A
A c1vx c2vy＋c3vz
x Ax c1vx
二、正交函数集
1、 在[t1,t2]区间上定义的非零实函数f1(t)与f2(t)， 若满足条件： t
2
t1
f1 (t ) f 2 (t )dt 0
则函数f1(t)与f2(t)为区间[t1,t2]上的正交函数 2、 若 f1(t)与f2(t)是复变函数，则 f1(t)与f2(t) 在[t1,t2]区间上正交的条件是：
2 1
t2
t1
g (t ) gi (t )dt ＝0(i 1, 2..., n)
则称此函数集为完备正交函数集
常用的完备正交函数集
1、三角函数集：
函数： 1，cost,cos2t, …,cosnt,...,sint, sin2t,… ,sinnt,…,
当所取函数有无限多个时，在区间[t0，t0+T]内 组成完备正交函数集，其中T=2/
§4.1 信号分解为正交函数
信号分解为正交函数与矢量分解为正交矢量类似 一、正交矢量： 定义：如果两个矢量A1 和A2相互垂直，则称
A1 和 A2为正交矢量。
平面上任意矢量在直角坐标 系中可分解为两个正交矢量 的组合。 A Ax Ay c1vx c2vy 推广到n维空间
2 bn T1
T1
0
f (t ).sin n1t.dt
a0 0
Fn为虚数
an 0
bn Fn F n j 2
例如: 周期锯齿波是奇函数
f(t) E/2
T1/2
-T1/2 0 -E/2 t
E 1 1 f (t ) (sin 1t sin 21t sin 31t ....) 2 3
西工大,西电 孙肖子版 模电 第四章 连续系统频域分析--答案
第四章 习题4-1 求图题4-1所示电路的频域系统函数)()()(12ωωωj U j U j H =。
答案解：频域电路如图题4-1（b)所示。
R L j LC j U j U j H ωωωωω+-==21211)()()(4-1 求图题4-2所示电路的频域系统函数)()()(1ωωωj F j U j H c =,)()()(2ωωωj F j I j H =及相应的单位冲激响应)(1t h 与)(2t h 。
答案解： 频域电路如图题4-2(b)所示。
RC j RCj F j U j H c 111)()()(1+⨯==ωωωω)111(1)()()(2RC j RCRj F j I j H +-⨯==ωωωω)(1)]([)(1111t U e RC j H F t h tRC --==ω)(1)(1)]([)(12212t U e C R t R j H F t h t RC ---==δω4-3 图题4-3所示电路，V t U t U e t f t )](2)(10[)(+=-。
求关于)(t i 的单位冲激响应)(t h 和零状态响应)(t i 。
答案解： 频域电路如图题4-3(b)所示。
2121)()()(+⨯==ωωωωj j F j I j H所以A t U e t h t)(21)(2-=]1)([211525.5)()()(ωωπδωωωωωj j j j F j H j I +++++-==所以 At U t U e e t i t t )(21)()55.5()(2++-=--4-4 已知频域系统函数235)(22++-++-=ωωωωωj j j H ，激励)()(3t U e t f t-=。
求零状态响应)(t y 。
答案解：31)(+=ωωj j F)2)(1(31)(++++=ωωωωj j j j H211131)()()(+-+++==ωωωωωωj j j j F j H j Y所以 )()()(23t U e e e t y t t t----+=4-5 已知频域系统函数65)(2++-=ωωωωj j j H ，系统的初始状态,2)0(=y 1)0(='y ，激励)()(t U e t f t -=。
第4章 连续信号与系统的频域分析
2
2
n1 2
n1 ) 2 , n 0, 1,
周期信号频谱的特点
Sa( x) sin x x
称为取样函数，则
Fn
T
Sa(
n1 ) 2
f (t )
n
Fn e jn1t
T
n
Sa(
n1 jn1t )e 2
Fn 的变化规律应符合Sa( x) 的变化规律，即 x 0 2m F 时， n ；频率 n1 (m 1, 2,) 的谱 T 1 线为零。 时，频谱如图所示 T 4
指数形式的傅里叶级数
复数
1 An e jn Fn e jn Fn ，称为复傅里叶系数，简称 2
傅里叶系数，则傅里叶级数的指数形式为
f (t )
1 Fn An e jn 2 1 ( An cos n jAn sin n ) 2 1 1 T (an jbn ) f (t )e jn1t dt , 2 T 0
4 T bn 0；f (t ) 是奇函数 是 t 的奇函数，有 an 2 f (t ) cos(n1t )dt ， 0 T
时， f (t )sin(n1t ) 是 t 的偶函数， f (t ) cos(n1t )是 t 的奇函数，
T T 4 2 f ( t ) f ( t ) 有an 0， ； 是奇谐函数，即 时， bn f (t )sin(n1t )dt f (t ) 2 T 0
解 取积分区间
T T ( ， ) 2 2
，1
2 T
2 T an 2T f (t ) cos(n1t )dt T 2 2 0 2 T T (1) cos(n1t )dt 2 (1) cos(n1t )dt T 2 T 0 T 2 1 2 1 0 2 [ sin(n1t )] T [sin(n1t )] 0 2 T n1 T n1 0
4第四章 连续系统的频域分析
连续信号 频谱分析
4.2 傅里叶级数&周期信号的频谱 4.3 傅里叶变换&非周期信号的频谱 4.5 傅里叶变换的性质 4.6 周期信号&取样信号的傅里叶变换 4.7 LTI系统的频域分析
4.1 信号分解为正交函数
一、信号正交与正交函数集
1.正交函数：
在(t1，t2)内，有
t2 t1
1 (t ) 2 (t ) d t 0 则 1(t)和 2(t) 在 (t1，t2)内正交。
f (t ) C j j (t )
j 1
t t1 , t2
设｛ i(t) ｝︳i = 1, 2,…...∞在 (t1，t2) 构成完备正交函数集
f ( t ) C j j ( t )
j 1
t t1 , t 2
1 Ki
Ci
t2 t1
t2 t1
t2 t1
[ f ( t ) C j j ( t )]2 d t
j 1
n
Ci
t2 t1
f ( t ) i ( t )d t
t2 t1
t2 t1
i2 ( t )d t
= =
t2 t1 t2 t1 t2 t1 t2 t1
[ f ( t ) C j j ( t )] d t
f (t )
T
t
E 4E 1 1 f t 2 (cos t cos 3t cos 5t.......) 2 9 25 E 4E 1 1 2 [cos t cos 3t cos 5t .......] 2 9 25 E 4 E 1 j ( t ) 1 j ( t ) 1 j (3 t ) 1 j (3 t ) 2[ e e e e .......) 2 2 2 18 18
信号与线性系统分析第四章连续系统的频域分析4-6课件
T 2
t
T
o
T
t
jn t
f 0 t e
j t
dt
fT ( t ) Fn e n 1 T/2 jn t F f ( t ) e dt T n T T / 2
n
1 T T 在 , 内 f0t 与 fTt 相同 所以Fn F0( j ) T 2 2
比较:
可由 F0( j ) 求周期函数 fT( t )的谱系数 Fn
方法1 F0 ( j ) Fn F ( j )
f 0 t fT t
② ①
第 10 页
F0 ( j)
③ ④
1 Fn F0 ( j) T
n
F ( j) F0 ( j)( n)
2 谱线的幅度不是有限值, 因为F j 表示的是频谱密度。
频率范围无限小 , 幅度为。
第
例1 求周期性矩形脉冲信号的频谱函数。
6 页
解
n Fn Sa ( ) T 2
n FT [ pT (t )] 2 Sa( ) ( n) T n 2
Fn与F ( j ) 比较
T (t ) ()
三．如何由 F0 j 求Fn
即单个脉冲的 F0 ( j )与周期信号fT ( t )的谱系数Fn的关系 f 0 t f T t
T 2
第 9 页
o
设 f 0 t F0 j
F0 j
T/2 T / 2
0
π
0 o
π
0
2
0
连续系统的复频域分析
2007-12-7
电子与通信工程系 Feng
第4章 连续系统的复频域分析
4.4 连续系统的复频域分析
线性连续系统复频域分析的基本方法把系统的输入信号分 解为基本信号est之和。其数学描述就是输入和响应的拉普拉斯 变换和逆变换。
2007-12-7
电子与通信工程系 Feng
第4章 连续系统的复频域分析
例 4.4-1 已知线性连续系统的输入为 f1(t)=e-tε(t)时，零状态响
应 yf1(t)=(e-t-e-2t)ε(t)。若输入为 f2(t)= tε(t)，求系统的零状态
响应yf2(t)。
解：F1 ( s )
=
L[
f1 (t )]
M (s) = (s + a1) y(0− ) + y'(0− ) Y (s) = M (s) + B(s) F(s) A(s) A(s)
由式(4.4-6)和式(4.4-7)，系统的零状态响应可按 以下步骤求解：
(1) 求系统输入f(t)的单边拉普拉斯变换F(s); (2) 求系统函数H(s); (3) 求 零 状 态 响 应 的 单 边 拉 普 拉 斯 变 换 Yf(s) ， Yf(s)=H(s)F(s); (4) 求Yf(s)的单边拉普拉斯逆变换yf(t)；
est → H (s)est
齐次性
1 F (s)ds ⋅ est → 1 F (s)dsH (s)est
2πj
2πj
叠加性
∫ ∫ f (t) = 1
σ
+
j∞
F
(s)e st ds
→
1
第四章 连续系统频域分析
第四章 连续系统频域分析徐春梅2010-10-20 2010- 10-主要内容• 4.1 引言 • 4.2 频域系统函数 • 4.3 系统对非正弦周期信号的响应 • 4.4 系统对非周期信号的响应 • 4.5 无失真传输及其条件 • 4.6 理想低通滤波器及其响应 • 4.7 抽样信号与抽样定理 • 4.8 调制与解调2010-10-20主要内容• 4.1 引言 • 4.2 频域系统函数 • 4.3 系统对非正弦周期信号的响应 • 4.4 系统对非周期信号的响应 • 4.5 无失真传输及其条件 • 4.6 理想低通滤波器及其响应 • 4.7 抽样信号与抽样定理 • 4.8 调制与解调2010-10-20• 4.1 引言• Click 零状态 Master text styles to edit y f (t ) f (t ) y f (t ) = f (t ) ∗ h(t ) • Second level LTI • Third level • Fourth level Y f ( jω ) F ( jω ) Y f ( jω ) = F ( jω ) ⋅ H ( jω ) • Fifth levelLTIy f (t ) = F −1 Y f ( jω )2010-10-20[]主要内容• 4.1 引言 • 4.2 频域系统函数 • 4.3 系统对非正弦周期信号的响应 • 4.4 系统对非周期信号的响应 • 4.5 无失真传输及其条件 • 4.6 理想低通滤波器及其响应 • 4.7 抽样信号与抽样定理 • 4.8 调制与解调2010-10-20• 4.2 频域系统函数------系统函数• Click to edit Master text styles 系统函数定义：在零状态情况下 • Second level Y f ( jω ) • Third level( j ω ) = H F ( jω ) • Fourth level • Fifth （1）h(t)的傅立叶变换； level （2）描述系统频率特性。
信号与线性系统第四章
j
1
h t F
H
j
频域分析法需进行正反两次变换，且付氏变换的运 用要受绝对可积条件的限制，所以求连续系统的响应时 更多地采用复频域分析法（拉氏变换法）。但频域分析 法仍十分重要，因为
复频域分析法是频域分析法的推广；
信号的频谱具有明确的物理意义； 当系统内部结构无法确知时，在复频域中无法得到反 映系统功能的系统函数，但在频域中可通过实验测得。
t RC
] ( t )
例题说明
H
j
1 1 R C
1
e t
R C
2
uo t
1
2
2 2
1
2
e t
2
急速变化处意味着 有很高的频率分量
O E
E
1 RC
2 S a 2
j
O
uo t
m
m 1
b1 j b 0
( j ) a n 1 ( j )
n
n 1
a1 j a 0
H(j)=H(p)|p=j
2、H(j)可以引出系统的频域特性 1）系统的频率特性是指系统对各个频率的复正弦信号的影响： 包括对复正弦信号幅度和相位的影响。
H ( j )
3） 由输出信号的频谱不难求得输出信号。
信号分析
傅里叶变换应用于通信系统历史悠久、范围
宽广。现代通信系统的发展处处伴随着傅里叶变换
方法的精心运用。从本章开始介绍这些应用中最主
要的几个方面——滤波、调制、失真。
4.2 理想低通滤波器的冲激响应与阶跃响应
改变图像变换
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第四章 连续系统的频域分析例题详解1．一带限信号的频谱图如下图1所示，若次信号通过图2所示系统，请画出A 、B 、C 三点处的信号频谱。
理想低通滤波器的频率函数为)15()15()(--+=ωεωεωj H ，如图3所示。
解：设A 处的信号为：A f ，B 处的信号为：B f ，C 处的信号为：C f)30cos()(t t f f A = )30cos(t f f A B =)]]30([)]30([[21)()]]30([)]30([[21)(++-=++-=w j F w j F jw F w j F w j F jw F A A B A1. 如图2（a ）所示的系统，带通滤波器的频率响应如图2（b ）所示，其相频特性()0ϕω=，若输入 sin(2)(),()cos(1000)2t f t s t t tπ==，求输出信号()y t 。
f ()H j ω()0ϕω=1/(.)rad s ω--1001 -999 0 999 10011-10001000图（b ）图2解 4sin(2)1()[]()22t F j F g t ωωπ== [cos(1000)][(1000)(1000)]F t πδωδω=++-441[()cos(1000)][()][cos(1000)]21[(1000)(1000)]4F f t t F f t F t g g πωω=⋅*=++- 则系统输出信号的傅里叶变换为()[()cos(1000)]()Y j F f t t H j ωω= 由()H j ω的波形图及相频特性可得22()(1000)(1000)H j g g ωωω=++- 所以可得2221()[(1000)(1000)]41()[(1000)(1000)]4Y j g g g ωωωωδωδω=++-=*++-由此可得输出信号为1()()cos(1000)2y t Sa t t π=3．一理想低通滤波器的频率响应如图3示，其相频特性φ(ω)=0。
若输入信号tt t f ππ)sin()(=，求输出信号的频谱函数，并画出其频谱图。
图 3 解：信号tt t f ππ)sin()(=的频域表达式为 )(2)(2ωπωg j F =)(2)()()(2ωπωωωg j F j H j Y ==所以输出频谱为π-4．如图4所示系统，已知,.....2,1,0, )(±±==∑∞-∞=Ωn et f n tjn ，)cos()(t t s =)/1(s rad =Ω；频率响应 /5.1 , 0/5.1 ,)(3⎪⎩⎪⎨⎧><=-srad srad e j H j ωωωωπ。
试求系统的频率响应。
(f )图 4解 ：对)(t f 和)(t s 进行傅立叶变换)1()1()()(2)(++-=Ω-=∑+∞-∞=w w jw S n w jw F n πδπδδπ∑∑+∞-∞=+∞-∞=+Ω-+-Ω-=←→⋅n n n w n w jw S jw F t s t f )1()1()](*)([21)()(δπδππ333)1(2)1(2)(2)()]()([)(ππππδπδπδjjj ew ew e w jw H t s t f F jw Y ++-+=⋅⋅=--对)(jw Y 取傅立叶逆变换得 ：)3cos(211)(33πππ-+=++=--t ee ee t y jjt jjt5．已知某LTI 时不变系统的频率响应⎩⎨⎧><=-sr a d w s r a d w e jw H jw/60/6)(3 ， 若输入t ttt f 6cos 4sin )(=，求系统的输出y(t)。
解： )4(88ωSa g ↔)3(4cos 3)3(2sin )(:)]4()4([2)()()()]6()6([2)(6cos 4sin )()(24sin 2)4(8344888---=++-==++-=↔=↔=-t t t t y e g g j F j H j Y g g j F t t t t f g ttt Sa j 故ωωωπωωωωωπωωπ6．周期信号)63sin()34cos(24)(ππππ-+++=t t t f（１） 求该周期信号的基波周期T 和基波角频率Ω； （２） 画出该周期信号的单边振幅频谱图与相位频谱图。
解：(1)6322,84222211==Ω===Ω=ππππππT T 信号f(t)的周期T 是T 1、T 2的最小公倍数为24(s)基波角频率)/(122s rad T ππ==Ω（2） 将f(t)的表达式改写为)324cos()33cos(24)264cos()33cos(24)(πππππ-Ω++Ω+=--Ω++Ω+=t t t t t f7 求题图7所示锯齿信号()f t 的傅里叶级数。
解 由图可知，锯齿波是奇函数，故0n a =。
/24//sin T n b T E Tt n tdt =Ω⎰上式积分需利用分布积分法，令,,sin ,1/cos ,u t du dt du n tdt v n n t ===Ω=-ΩΩ 故由式（1）得/2/2214//cos 1/cos /(1)T T n n b E T t n n tn n tdt E n π+⎡⎤=-ΩΩ=ΩΩ⎢⎥⎣⎦=-⎰故()()[]11/1sin /sin 1/2sin 21/3sin 31/4sin 4...n n f t E n n tE t t t t ππ∞+==-Ω=Ω-Ω+Ω-Ω+∑8 已知周期信号()f t 的傅里叶级数表示为 ()23c o s 24s i n 22s i n (330)c o s (7150)f t t t t t =++++-+ （1） 求周期信号()f t 的基波角频率； （2） 画出周期信号()f t 的幅度谱和相位谱。
解 由于傅立叶级数用统一的余弦（或正弦）表示，故需要将相同频率的正与余弦项和并成余弦项，也需要将正弦项化成与余弦项，即其中)3c o s 24s i n 25c o s (253.1)s i n (330)c o s (33090)c o s (360)c o s (7150)c o s (7150180)c o s (7325c o s (253.1)2c o s (360)c o s (730)t t t t t t t t t f t t t t +=-+=+-=--+=+-=-=+-+-+-故周期信号()f t 可表示为()25cos(253.1)2cos(360)cos(730)f t t t t =+-+-+- （1）（1） 求基波角频率。
()f t 可表示为()25cos(21/53.1)2cos(23/260)cos(27/230)f t t t t ππππππ=+-+-+- 周期T 应该是π、2π的最小公倍数，故2T π=，基角波频率2/1/T rad s πΩ==。
()f t 可表示为()25cos(253.1)2cos(360)cos(730)f t t t t =+Ω-+Ω-+Ω- （2）（2） 根据式（2），画出周期信号()f t 的单边幅度谱和相位谱如图3-4（a ）和（b ）所示。
利用欧拉公式 ，将式（2）的()f t 表示成()53.1253.12603603730725/25/21/2301/2j j t j j t j j t j j tj tj j tf t e e e e e e eeej eee-Ω-Ω-Ω-Ω-Ω-Ω=++++++其双边幅度谱和相位谱如图（c ）和图（d ）所示。
9 求信号sin 2(2)()(2)t f t t ππ-=-，t -∞<<+∞立叶变换。
题图9解 信号()f t 可以表示为s i n 2(2)()22[2(2)]2(2)at f t S t t πππ-==-- 令1()2(2)af t S t π= 利用对称性，1()f t 的傅立叶变换1()F j ω如题图3-6所示的门函数，门函数宽度的一半等于2π，途中的h 应满足门函数的面积等于1()f t 中的系数2，即2h τ⨯= 故1112242h τππ=⨯=⨯=由于对称性：()f t ↔()F j ω ()F jt ↔2()f πω- 因此，已知时域()F jt 时，其频率()f ω-还要乘以2π，故门函数1()F j ω的幅度还需要乘以2π，如图中所示。
这样，1()F j ω的幅度为1，宽度为4π的门函数，表示为1()F j ω=4()G πω()f t =1(2)f t -根据时延特性，有2214()()()j j F j F j e G e ωωπωωω--==10 已知频谱F(j )=[()-(-2)]j e ωωεωεω-，求原函数()f t 。
题图10 解 令1()()(2)F j ωεωεω=--1()F j ω的图形如图3-7（a ）所示。
令2()(1)(1)F j ωεωεω=+--，如图（b ）所示。
(1)11()(1)(1)j t a f t f t S t e π-=-=-2()F j ω是宽度2τ=的频域门函数，可表示为2()F j ω=2()G ω利用对称性，2()F j ω的原函数2()f t ，2()f t 应为()a S x 函数。
由于2()F j ω是宽度2τ=，面积等于2的门函数，且利用对称性，由频谱函数求时域原函数时，要(a) (b)乘以12π，故 211()2()()2a a f t S t S t ππ=⨯= 由于12()[(1)]F j F j ωω=- 故121()()()jt jt a f t f t e S t e π==由于1()()j F j F j e ωωω=故(1)11()(1)(1)j t a f t f t S t e π-=-=-11 已知 ()()F jw F f t =⎡⎤⎣⎦ ，试求下列各式的傅利叶变换。
（1）()1/df t t dtπ* （2）()()11t f t -- 解 （1） ()()df t jwF jw dt←−→ 由于()2sgn t jw←−→利用对称性，得 22()2sgn()w w jtππ←−→-=- 故1sgn()j w tπ←−→- 根据卷积定理，得()1()sgn()()df t wF jw w w F jw dt tπ*←−→= （3） 由于()[]1(1)(1)(1)t f t t f t --=----利用尺度变换，()()()f t F jw F jw *-←−→-=根据频域微分性质，得()()()()dF jw jtf t dw dF jw tf t jdw*--←−→*--←−→- 根据时移特性，得[]()(1)(1)jwdF jw t f t jedw*-----←−→- 12 信号()t f 通过某滤波器，其输出响应表示式为12()()x taf xg dx a∞--∞-⎰且已知()G jw =()F g t ⎡⎤⎣⎦，求该滤波器的频率响应函数()H jw 。