分步乘法计数原理
分步乘法计数原理解释全概率公式
分步乘法计数原理解释全概率公式
分步乘法是概率论中的一个概念，它用于计算多个事件同时发
生的概率。
假设有两个事件A和B，分步乘法告诉我们，同时发生
的概率等于事件A发生的概率乘以在事件A发生的条件下事件B发
生的概率。
这可以表示为P(A 且 B) = P(A) P(B|A)，其中P(A 且B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率，P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率。
计数原理是概率论中另一个重要的概念，它用于计算一系列事
件的总数。
如果有n种方式做第一件事情，m种方式做第二件事情，那么这两件事情一共有n m种方式。
这可以扩展到更多的事件，总
的方式数就是各个事件方式数的乘积。
这个原理可以表示为如果一
个事件可分解为k个步骤，第一步有n1种可能，第二步有n2种可能，依次类推，第k步有nk种可能，那么这个事件一共有n1
n2 ... nk种可能。
全概率公式是概率论中一个重要的公式，它用于计算一个事件
的概率。
假设有一系列互斥且完备的事件B1, B2, ..., Bn，它们
构成了样本空间Ω，那么对于任意事件A，A的概率可以表示为P(A) = ΣP(A|Bi) P(Bi)，其中P(A|Bi)表示在事件Bi发生的条件下事
件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi发生的概率，Σ表示对所有的i求和。
综上所述，分步乘法可以用于计算多个事件同时发生的概率，计数原理可以用于计算一系列事件的总数，全概率公式可以用于计算一个事件的概率，并且这些概念和公式在概率论中有着重要的应用和意义。
1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件人教新课标
√A.9 B.2
C.20
D.6
（2）从A村去B村的道路有3条，从B村去C 村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同的 路线有 ( )条.
A.3 B.4
C.5
√D.6
3.解答题
(1)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个允 许重复数字的三位数.
解：
由于此三位数的数字允许重复，分三步： 百、十、个位数各有5种取法， 所以可以组成
如果完成一件事有n种不同方案，在每一 类中都有若干种不同方法，那么如何计数呢？
2、分步乘法计数原理
用前6个大写英文字母和1~9九个阿拉伯 数字，以A1，A2，…，B1，B2，…的方式 给教室里的座位编号，总共能变出多少个不 同的号码？
解答
由题意画图如下：
字母 A
数字
1 2 3 4 5 6 7 8 9
A.48个
分析：
B.36个
C.24个
D.18个
先分类，再分步，据题意，当个位数是2时， 万位数是3，4，5，其他随便，共有 3×3×2×1=18种；当个位数是4时，万位数是2， 3，5，其他随便，共有3×3×2×1=18种
所以共有36种.
课堂练习
1.填空
（1）从甲地到乙地有2种走法，从乙地到丙地有4 种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则 从甲地到丙地的不同的走法共有 __1_1___种.
高考链接
1（202X年福建卷7）某班级要从4名男生、2名 女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少 有1名女生，那么不同的选派方案种数___A__ .
A. 14 B. 24
C. 28
D. 48
先分类，再分 步！
2. (202X年四川文科第9题）用数字1，2，3， 4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的 五位偶数共有______.B
分步乘法计数原理的应用
分步乘法计数原理的应用引言分步乘法计数原理是一种常见的数学计算方法，主要用于解决多个因数相乘的问题。
在实际生活中，分步乘法计数原理也有许多应用场景。
本文将介绍分步乘法计数原理的基本概念和应用。
分步乘法计数原理的基本概念分步乘法计数原理是指将一个乘积问题分解成若干个单步乘法的过程。
通过将乘法问题分解成多个简单的步骤，可以更轻松地解决较为复杂的乘法计算。
分步乘法计数原理的应用场景以下是一些分步乘法计数原理的应用场景：1.计算总共需要多少个苹果–假设每个盒子中有5个苹果，现在要计算10个盒子中总共有多少个苹果。
–根据分步乘法计数原理，我们可以将问题拆分为10个盒子中每个盒子的苹果个数相加，即5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 50。
因此，10个盒子中总共有50个苹果。
2.估算总共需要多少时间完成任务–假设每个人需要15分钟完成一个任务，现在要估算10个人总共需要多少时间来完成这个任务。
–根据分步乘法计数原理，我们可以将问题拆分为每个人需要的时间相加，即15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 = 150。
因此，10个人总共需要150分钟来完成这个任务。
3.计算总共需要多少钱购买商品–假设一件商品的价格为10元，现在要计算购买5件商品总共需要多少钱。
–根据分步乘法计数原理，我们可以将问题拆分为每件商品的价格相加，即10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 50。
因此，购买5件商品总共需要50元。
分步乘法计数原理的优点分步乘法计数原理具有以下优点：1.解决复杂问题的简化：通过将一个复杂的乘积问题分解成多个简单的步骤，可以更容易地解决复杂问题。
2.提高计算效率：分步乘法计数原理可以帮助我们更快速地进行乘法计算，减少错误的可能性。
3.增加计算的可读性：通过将乘法问题分解成多个步骤，可以使计算过程更加清晰易懂，有助于检查计算的正确性。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理ppt
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变式6：0---9这十个数一共可以组成多少个数字不重复的 5位数字？
9 × 9 × 8 × 7 × 6 =27216 注意：分步乘法计数关键要算好每一步的方法 数
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变式7:如图,要给下面A、B、C、D四个区域分别涂上5种
不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必
2、某商场有6个门，如果某人从其中的任意一个门进入商 场，并且要求从其他的门出去，共有多少种不同的进出商场的 方式？
3、如图,要给下面四个区域分别涂上5种不同颜色中的某一 种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不 同的涂色方案有多少种？
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4、如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路； 从甲地到丙地有4条路可以走，从丙地到丁地有2条路。从甲 地到丁地共有多少种不同地走法？
完成这件事情共有多少种不同的方法
3步 不能 3种 2种 4种 3×2×4=24种 8
二、分步计数原理
完成一件事，需要分成n个步骤。做第1步有m1 种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法， ……， 做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有
N= m1×m2×… ×mn种不同的方法
说明
1）各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事 才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的 方法总数,又称乘法原理
说明 N= m1+m2+… + mn 种不同的方法
1）各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事，要 计算方法种数,只需将各类方法数相加,因此分类计数原 理又称加法原理
2）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分 类标准下进行分类，然后对每类方法计数.
分步乘法计数原理
分步乘法计数原理分步乘法计数原理是指在计算乘法时，将一个较大的乘数分解成若干个较小的因数，分别与另一个乘数相乘，最后将结果相加得到最终的乘积。
这种计算方法在实际运用中非常常见，尤其是在解决复杂的乘法运算时，可以通过分步乘法计数原理来简化计算过程，提高计算效率。
举个简单的例子来说明分步乘法计数原理的运用。
假设我们要计算23乘以14的结果，我们可以将14分解成10和4，然后分别与23相乘，最后将两个结果相加即可得到最终的乘积。
具体的计算过程如下：23 × 10 = 230。
23 × 4 = 92。
230 + 92 = 322。
通过这个例子，我们可以清晰地看到分步乘法计数原理的运用。
接下来，我们将详细介绍分步乘法计数原理的具体步骤和应用技巧。
首先，我们需要将较大的乘数分解成若干个较小的因数。
这个过程需要我们对乘数有一定的认识和理解，可以通过观察乘数的特点和规律来进行分解。
在实际操作中，我们可以根据乘数的位数和大小来确定分解的方法，一般来说，可以将乘数分解成十位数、个位数或者更小的单位。
其次，我们需要分别将分解后的因数与另一个乘数相乘。
这个过程需要我们对乘法运算有一定的熟练度和技巧，可以通过列竖式或者使用计算器来进行乘法运算。
在实际操作中，我们可以根据乘数的位数和大小来确定乘法的方法，一般来说，可以采用竖式乘法或者横式乘法来进行计算。
最后，我们需要将所有的乘积相加得到最终的乘积。
这个过程需要我们对加法运算有一定的熟练度和技巧，可以通过列竖式或者使用计算器来进行加法运算。
在实际操作中，我们可以根据乘积的位数和大小来确定加法的方法，一般来说，可以采用竖式加法或者横式加法来进行计算。
在实际运用中，我们可以根据具体的情况来灵活运用分步乘法计数原理，可以根据乘数的大小和位数来确定分解、乘法和加法的方法，以提高计算的效率和准确度。
同时，我们也可以通过练习和实践来提高对分步乘法计数原理的掌握和运用能力，从而在解决实际问题时能够更加灵活和高效地运用这一计算方法。
分类加法计数原理和分步乘法计数原理
分类加法计数原理和分步乘法计数原理首先，让我们介绍一下分类加法计数原理。
分类加法计数原理也被称为分情况计数原理，是指将问题分为几个不同的情况进行计数，然后将各个情况的计数结果相加，得到最终的可能性总数。
为了更好地理解分类加法计数原理，我们举一个例子。
假设我们有三个不同颜色的球，红色、蓝色和黄色，现在要从这三个球中选择两个球。
根据分类加法计数原理，我们可以将这个问题分为三种情况：选择两个红色球、选择一个红色球和一个蓝色球、选择一个红色球和一个黄色球。
然后分别计算出每种情况下的可能性总数，最后将这三种情况的可能性总数相加，即可得到最终的答案。
在这个例子中，我们可以计算出每种情况下的可能性总数。
选择两个红色球有C(3,2)=3种可能；选择一个红色球和一个蓝色球有C(3,1)*C(3,1)=9种可能；选择一个红色球和一个黄色球也有9种可能。
将这三种情况的可能性总数相加，即得到最终的答案，共21种可能的选择方式。
接下来，让我们来介绍一下分步乘法计数原理。
分步乘法计数原理是指将一个问题分为若干个步骤，然后计算每个步骤的可能性数目，最后将各个步骤的可能性数目相乘，得到最终的可能性总数。
同样以一个例子来说明分步乘法计数原理。
假设我们有一个4位数的密码锁，每一位的取值范围是0-9、根据分步乘法计数原理，我们将这个问题分为四个步骤：第一位数字的可能性数目、第二位数字的可能性数目、第三位数字的可能性数目以及第四位数字的可能性数目。
然后计算每个步骤的可能性数目，最后将它们相乘，得到最终的可能性总数。
综上所述，分类加法计数原理和分步乘法计数原理是解决排列组合问题中常用的两种方法。
分类加法计数原理适用于将问题分为不同情况进行计数，然后将各个情况的计数结果相加；分步乘法计数原理适用于将问题分为若干个步骤，然后计算每个步骤的可能性数目，最后将它们相乘。
通过掌握这两种计数原理，我们可以更好地解决各种排列组合问题。
排列与组合,分步乘法计数原理,分类加法计数原理
排列：1、排列的概念：从n个不同元素中取出m (mWn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
2、全排列：把n个不同元素全部取出的一个排列，叫做这n个元素的一个全排列。
3、排列数的概念：从n个不同元素中取出m (mWn)个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号白；表示。
4、阶乘：自然数1到n的连乘积，用n!=1X2X3X・・・Xn表示。
规定：0!=15、排列数公式：*”n (n-1)(n-2)(n-3)…(n-m+1)='卡—活"。
组合：1、组合的概念：从n个不同元素中取出m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合。
2、组合数的概念：从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数用符号C；表示。
b=屋=题…---掰+。
_ /3、组合数公式：1H史耀！的I一对；4、组合数性质：K - …,5、排列数与组合数的关系：量二5,排列与组合的联系与区别：从排列与组合的定义可以知道，两者都是从n个不同元素中取出m个(mWn, n, m£N) 元素，这是排列与组合的共同点。
它们的不同点是：排列是把取出的元素再按顺序排列成一列，它与元素的顺序有关系，而组合只要把元素取出来就可以，取出的元素与顺序无关.只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的排列，否则就不相同；而对于组合，只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合，如a, b与b, a是两个不同的排列，但却是同一个组合。
排列应用题的最基本的解法有:(1)直接法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素，称为元素分析法，或以位置为考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置，称为位置分析法;(2)间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数，再减去不符合要求的排列数。
排列的定义的理解：①排列的定义中包含两个基本内容，一是取出元素；二是按照一定的顺序排列；②只有元素完全相同，并且元素的排列顺序也完全相同时，两个排列才是同一个排列，元素完全相同，但排列顺序不一样或元素不完全相同，排列顺序相同的排列，都不是同一个排列；③定义中规定了 mWn,如果m<n,称为选排列；如果m=n,称为全排列；④定义中“一定的顺序”，就是说排列与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件进行判断，这一点要特别注意；⑤可以根据排列的定义来判断一个问题是不是排列问题，只有符合排列定义的说法，才是排列问题。
分步乘法计数原理学案
分步乘法计数原理学案一、分步乘法计数原理的基本概念分步乘法计数原理是基于一个简单的原理，即如果一个事件可以分解为几个相互独立的子事件，那么整个事件的可能性就等于各个子事件的可能性的乘积。
具体来说，分步乘法计数原理可以分为两个步骤：分步计数和乘法原理。
1.分步计数：通过将一个复杂的计数问题分解为若干个简单的子问题，并计算每个子问题的可能性。
2.乘法原理：将每个子问题的可能性相乘，得出整个事件的可能性。
二、分步乘法计数原理的应用1.排列问题：假设有5个人，要选取3个人参加一个讨论会。
如果忽略人的特征，只考虑参与者的不同，那么可以使用分步乘法计数原理来计算可能的结果。
首先，考虑选择第一个人的可能性，有5种选择。
然后，考虑选择第二个人的可能性，有4种选择（排除第一个人后还剩下4个人）。
最后，考虑选择第三个人的可能性，有3种选择。
根据乘法原理，总的可能性为5*4*3=60种。
2.组合问题：假设有10个人，要从中选取一支3人的篮球队。
如果忽略人的特征，只考虑队伍的不同，那么可以使用分步乘法计数原理来计算可能的结果。
首先，考虑选择第一个队员的可能性，有10种选择。
然后，再考虑选择第二个队员的可能性，有9种选择（排除第一个队员后还剩下9个人）。
最后，考虑选择第三个队员的可能性，有8种选择。
根据乘法原理，总的可能性为10*9*8=720种。
3.密码破解问题：假设有一个4位数字密码锁，每位数字的可能取值范围是0-9、为了解锁，需要尝试所有可能的数字组合。
根据分步乘法计数原理，每一位数字的可能性是10种（0-9），因此总的可能性是10*10*10*10=10,000种。
通过以上例子，我们可以看到分步乘法计数原理在解决复杂计数问题时的重要性和应用价值。
它可以帮助我们合理地组织思路，将复杂问题拆分成简单的子问题，并最终得出准确的计数结果。
三、分步乘法计数原理的思维方式1.理清问题：明确问题中的各个事件和条件，弄清楚需要计算的目标是什么。
分步乘法计数原理-高中数学知识点讲解
分步乘法计数原理1．分步乘法计数原理【知识点的认识】1．定义：完成一件事需要分成两个步骤：做第 1 步有m 种不同的方法，做第 2 步有n 种不同的方法，那么完成这件事共有：N＝m×n 种不同的方法．2．推广：完成一件事需要分成n 个步骤：做第 1 步有m1 种不同的方法，做第 2 步有m2 种不同的方法，…，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有：N＝m1×m2×…×m n 种不同的方法．3．特点：完成一件事的n 个步骤相互依存，必须依次完成n 个步骤才能完成这件事；4．注意：与分类加法计数原理区别分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点计算“完成一件事”的方法种数不同点分类完成，类类相加分步完成，步步相乘每类方案中的每一种方法都每步依次完成才算完成这件能独立完成这件事事情（每步中的每一种方法不能独立完成这件事）注意点类类独立，不重不漏步步相依，步骤完整【解题步骤】如果完成一件事情有n 个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有的步骤才能完成这件事，则可使用分步乘法计数原理．实现步骤：（1）分步；（2）对每一步的方法进行计数；（3）用分步乘法计数原理求积；【命题方向】1/ 2与实际生活相联系，以选择题、填空题的形式出现，并综合排列组合知识成为能力型题目，主要考查学生分析问题和解决问题的能力及分类讨论思想．例：从 1，2，3，4，5，6，7 这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为（）A.432B.288C.216D.108分析：本题是一个分步计数原理，先从 4 个奇数中取 2 个再从 3 个偶数中取 2 个共C42C32，再把 4 个数排列，其中是奇数的共A21A33 种，根据分步计数原理得到结果．解答：∵由题意知本题是一个分步计数原理，第一步先从 4 个奇数中取 2 个再从 3 个偶数中取 2 个共C42C32＝18 种，第二步再把 4 个数排列，其中是奇数的共A21A33＝12 种，∴所求奇数的个数共有 18×12＝216 种．故选C．点评：本题考查分步计数原理，是一个数字问题，数字问题是排列中的一大类问题，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏．2/ 2。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
自然数2520有多少个约数？ 有多少个约数？ 例3.自然数 自然数 有多少个约数 解：2520＝23×32×5×7 ＝ × 分四步完成： 分四步完成： 第一步： 第一步：取20，21，22，23，24有4种; 种 第二步： 第二步：取30，31，32有3种； 种 第三步：取50，51有2种； 第三步： 种 第四步： 第四步：取70，71有2种。 种 由分步计数原理，共有4× × × ＝ 种 由分步计数原理，共有 ×3×2×2＝48种 练习： 张 元币 元币， 张 角币 角币， 张 分币 分币， 张 分币 分币， 练习：5张1元币，4张1角币，1张5分币，2张2分币，可组成 多少种不同的币值？（ 张不取， ？（1张不取 角不计在内） 多少种不同的币值？（ 张不取，即0元0分0角不计在内） 元 分 角不计在内 元：0，1，2，3，4，5 ， ， ， ， ， 角：0，1，2，3，4 ， ， ， ， 分：0，2，4，5，7，9 ， ， ， ， ， 6×5×6－1＝179 × × － ＝
பைடு நூலகம்
（染色问题） 染色问题）
1.如图 要给地图 、B、C、D四个区域分别涂上 种 如图,要给地图 四个区域分别涂上3种 如图 要给地图A、 、 、 四个区域分别涂上 不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次 允许同一种颜色使用多次,但相 不同颜色中的某一种 允许同一种颜色使用多次 但相 邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种 不同的涂色方案有多少种？ 邻区域必须涂不同的颜色 不同的涂色方案有多少种？
深化理解 4. 何时用分类计数原理、分步计数原理呢 何时用分类计数原理、分步计数原理呢? 完成一件事情有n类方法 答:完成一件事情有 类方法 若每一类方法中的任 完成一件事情有 类方法,若每一类方法中的任 何一种方法均能将这件事情从头至尾完成,则计算完 何一种方法均能将这件事情从头至尾完成 则计算完 成这件事情的方法总数用分类计数原理. 成这件事情的方法总数用分类计数原理 完成一件事情有n个步骤 若每一步的任何一种 完成一件事情有 个步骤,若每一步的任何一种 个步骤 方法只能完成这件事的一部分,并且必须且只需完成 方法只能完成这件事的一部分 并且必须且只需完成 互相独立的这n步后 才能完成这件事,则计算完成这 步后,才能完成这件事 互相独立的这 步后 才能完成这件事 则计算完成这 件事的方法总数用分步计数原理. 件事的方法总数用分步计数原理
公开课分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件
• 分类加法计数原理 • 分步乘法计数原理 • 分类加法计数原理与分步乘法计
数原理的比较 • 公开课总结与展望
目录
01
分类加法计数原理
定义与理解
定义
分类加法计数原理是指将一个问题分成若干个互斥的子问题，每个子问题有一 个明确的解决策略，然后将这些子问题的解合并起来得到原问题的解。
分类加法计数原理的实例
实例1
在组合数学中，将一个复杂组合问题 分解为若干个简单的组合问题，然后 分别计算这些简单问题的解，最后将 这些解相加得到原问题的解。
实例2
在统计学中，将一个复杂统计问题分 解为若干个简单的统计问题，然后分 别计算这些简单问题的解，最后将这 些解相加得到原问题的解。
02
分步乘法计数原理
解析
根据分步乘法计数原理，学生可以选择不同的交通方式有$m_1$种方法，选择不 同的住宿方式有$m_2$种方法，因此总共有$m_1 times m_2$种不同的春游方 案。
03
分类加法计数原理与分步乘
法计数原理的比较
两者之间的联系
分类加法计数原理和分步乘法计数原 理都是基本的计数原理，用于解决组 合数学中的计数问题。
定义与理解
定义
分步乘法计数原理是指完成一件事情，需要分成$n$个步骤，做第$1$步有$m_1$种不同的方法，做第$2$步有 $m_2$种不同的方法，……，做第$n$步有$m_n$种不同的方法，则完成这件事情有$m_1 times m_2 times ldots times m_n$种不同的方法。
理解
理解
分类加法计数原理的核心思想是将复杂问题分解为简单问题，然后分别解决这 些简单问题，最后将结果合并。
分类加法计数原理和分步乘法计数原理 课件
问题 5 若还有 C 大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、 人力资源学，那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？ 答 这名同学可以选择 A、B、C 三所大学中的一所．在 A 大学中有 5 种专业选择方法，在 B 大学中有 4 种专业选择方 法，在 C 大学中有 3 种专业选择方法．又由于三所大学没有 共同的强项专业，因此根据分类加法计数原理，这名同学可 能的专业选择种数为 5＋4＋3＝12. 小结 如果完成一件事有 n 类不同方案，在第 1 类方案中 有 m1 种不同的方法，在第 2 类方案中有 m2 种不同的方 法，……，在第 n 类方案中有 mn 种不同的方法，那么完成 这件事共有 m1＋m2＋m3＋…＋mn 种不同的方法．
小结 解两个计数原理的综合应用题时，最容易出现不知道应 用哪个原理解题的情况，其思维障碍在于没有区分该问题是 “分类”还是“分步”，突破方法在于认真审题，明确“完成 一件事”的含义．具体应用时灵活性很大，要在做题过程中不 断体会和思考，基本原则是“化繁理：完成一件事有两类不同方案，在第 1
类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不 同的方法，那么完成这件事共有 N＝ m＋n 种不同的方法. 2．分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第 1 步 有 m 种不同的方法，做第 2 步有 n 种不同的方法，那么 完成这件事共有 N＝ m×n 种不同的方法.
例 1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到 A、B 两
所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：
A 大学
B 大学
生物学
数学
化学
会计学
医学
信息技术学
物理学
法学
工程学
如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理是指将一个计数问题分成若干个子问题，然后将子问题的计数结果相加得到最终的计数结果。
其基本思想是将问题中的元素分成若干个不重叠的类别，然后分别计数各个类别的元素个数，最后将各类别的计数结果相加。
这个原理常用于解决包含多个步骤的计数问题。
举个例子来说明分类加法计数原理的应用：假设有一个盒子，里面有红球、蓝球和绿球，分别有3个、4个和5个。
现在要从盒子中任选3个球，问有多少种选择方法。
我们可以将这个问题分为三个子问题：选取3个红球的方法数、选取3个蓝球的方法数和选取3个绿球的方法数。
然后分别计数这三个子问题的方法数，最后将它们相加得到总的方法数。
与分类加法计数原理相对应的是分步乘法计数原理。
分步乘法计数原理是指将一个计数问题分成若干个步骤，然后将各个步骤的计数结果相乘得到最终的计数结果。
这个原理常用于解决包含多个独立步骤的计数问题。
举个例子来说明分步乘法计数原理的应用：假设有一个密码锁，需要输入5位密码，每位密码都是从0到9的数字。
问一共有多少种可能的密码组合。
我们可以将这个问题分为5个步骤：第一位密码的选择、第二位密码的选择、第三位密码的选择、第四位密码的选择和第五位密码的选择。
然后计数每个步骤的可能性，最后将它们相乘得到总的可能性。
分步乘法计数原理也可以用于解决其他的计数问题，例如从一个字母表中选择若干个字母组成单词的方法数、从一个数列中选择若干个数的方法数等等。
总的说来，分类加法计数原理和分步乘法计数原理是解决组合数学中计数问题的重要方法。
它们可以帮助我们系统地分析和解决各种计数问题，提高我们的计算能力和思维能力。
无论是在学术研究还是在实际应用中，这两个原理都有着广泛的应用价值。
分类加法与分步乘法计数原理-
35
思考
集合A＝{a1，a2，…，an}共有多少个 子集？
36
课堂练习
1. 一种号码锁有4个拨号盘， 每个拨号盘上有从0到9共10个数字， 这4个拨号盘可以组成多少个四位 数字号码？
N＝10×10×10×10＝10000（种）
37
2. 要从甲、乙、丙3名工人中选 出2名分别上日班和晚班，有多少种 不同的选法？ 第一步: 选1人上日班； 有3种方法 第二步: 选1人上晚班. 有2种方法
33
开始
子模块1 18条执行路径
子模块2 45条执行路径
A
子模块3 28条执行路径
子模块4 38条执行路径ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
子模块5 43条执行路径
7371条
结束
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例5 随着人们生活水平的提高，某 城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌 照号码需要扩容.交通管理部门出台了一 种汽车牌照组成方法，每一个汽车牌照 都必须有3个不重复的英文字母和3个不 重复的阿拉伯数字，并且3个字母必须合 成一组出现，3个数字也必须合成一组出 现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌 照？
4×8＝32
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问题探究
3.从师大声乐系某6名男生和8名女生中 各选一人表演男女二重唱，共有多少种 不同的选派方法？
6×8＝48
上述原理称为分步乘法计数原理.
14
问题探究
4.上述计数问题的算法有何共同特点？ 完成一件事需要两个步骤, 做第1步有m 种不同的方法, 做第2步有n 种不同的 方法, 那么完成这件事共有N＝m×n种 不同的方法.
30×29×20＋20×19×30 ＝17400＋11400＝28800（种）
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.分类计数问题：要计算一些集合中满足其中一种条件的元素的数目。
可以将该集合分为若干个子集，分别计算每个子集中满足条件的元素的数目，然后将这些数目相加即可得到最终的结果。
例如，一些班级有30个学生，其中有10个男生和20个女生，要计算全班学生中身高超过1.7米的男生的人数。
可以将问题分解为两个部分，分别计算身高超过1.7米的男生和身高不超过1.7米的男生的人数，然后将这两个数目相加即可得到最终的结果。
2.多重条件计数问题：要计算满足多个条件的元素的数目。
可以将满足不同条件的元素分为不同的类别，然后计算每个类别中满足条件的元素的数目，最后将这些数目相加得到最终的结果。
例如，一些商店有3种颜色的衬衫（红色、蓝色和绿色），每种颜色的衬衫分别有5件、3件和4件。
要计算购买2件衬衫的方法数目，其中要求至少购买一件红色的衬衫。
可以将购买2件衬衫分为两种情况：一种是购买一件红色的衬衫和一件其他颜色的衬衫，另一种是购买两件红色的衬衫。
然后分别计算这两种情况下的购买方法数目，最后将这两个数目相加即可得到最终的结果。
分步乘法计数原理是指将一个计数问题分解为若干个步骤，每个步骤的计数独立进行，最后将每个步骤的计数结果相乘得到最终的结果。
该方法的基本思想是通过分步骤计数来简化问题，使得每个步骤的计数更加直观和容易。
分步乘法计数原理通常适用于以下两种情况：1.顺序计数问题：要计算一些事件发生的不同顺序的可能性。
可以将该事件分为若干个步骤，分别计算每个步骤的可能性，然后将这些可能性相乘得到最终的结果。
例如，一些球队有10名队员，要计算选择3名队员组成一支首发阵容的方法数目。
可以将选择队员分为三个步骤：先选择首发中锋（有10种选择），然后选择首发后卫（有9种选择），最后选择首发前锋（有8种选择）。
然后将这三个步骤的选择数目相乘即可得到最终的结果。
2.分步限制问题：要计算满足多个条件的元素的数目。
分步乘法计数原理
分步乘法计数原理分步乘法计数原理是组合数学中的一个重要概念，它在解决排列和组合问题时起着重要作用。
通过分步乘法计数原理，我们可以更加灵活地处理各种复杂的排列和组合情况，从而更加高效地解决实际问题。
本文将从基本概念、应用方法和实例分析三个方面来介绍分步乘法计数原理。
基本概念。
分步乘法计数原理是指，如果一个任务可以分解为若干个相互独立的子任务，且每个子任务都有若干种方式完成，那么完成整个任务的方式数就是各个子任务完成方式数的乘积。
这个原理在排列和组合问题中有着广泛的应用，可以帮助我们更好地理解和解决各种复杂的计数问题。
应用方法。
在实际应用中，我们可以通过以下步骤来应用分步乘法计数原理：1. 将整个任务分解为若干个相互独立的子任务；2. 分别计算每个子任务的完成方式数；3. 将各个子任务完成方式数相乘，得到整个任务的完成方式数。
通过这样的方法，我们可以更加系统地分析和计算各种排列和组合问题，从而更加高效地解决实际应用中的计数难题。
实例分析。
下面通过一个实例来进一步说明分步乘法计数原理的具体应用。
假设有一个班级，其中有5名男生和3名女生，现在要从中选出一名班长和一名副班长，要求班长和副班长不能是同一性别。
那么按照分步乘法计数原理，我们可以分解为两个子任务，首先选出班长，然后再选出副班长。
对于选出班长的子任务，由于班长不能是同一性别，所以选出班长的方式数为5（男生）+ 3（女生）= 8。
对于选出副班长的子任务，由于副班长不能是和班长同一性别，所以选出副班长的方式数为4（男生）+ 3（女生）= 7。
因此，根据分步乘法计数原理，选出班长和副班长的方式数为8 7 = 56。
通过这个实例，我们可以看到分步乘法计数原理的应用方法和计算过程。
通过将整个任务分解为若干个子任务，并分别计算每个子任务的完成方式数，最后将各个子任务的完成方式数相乘，我们可以更加高效地解决各种排列和组合问题。
总结。
分步乘法计数原理是组合数学中的重要概念，它在解决排列和组合问题时有着重要的应用价值。
分步乘法计数原理公式
分步乘法计数原理公式
乘法计数原理是一种用于计算多个事件组合总数的数学原理。
它适用于问题中多个步骤或条件的情况下，通过将每个步骤或条件的可能性数相乘，得出最终的组合总数。
使用乘法计数原理时，我们需要明确每个步骤或条件之间的独立性。
这意味着每个步骤或条件的选择或结果不会影响其他步骤或条件的选择或结果。
举个例子，假设我们有以下两个步骤：
步骤1：选择一件衣服（有3个选项：红色、蓝色、绿色）
步骤2：选择一双鞋子（有2个选项：黑色、白色）
根据乘法计数原理，我们可以将步骤1和步骤2的可能性数相乘，得到总的组合总数:
3 * 2 = 6
因此，总共有6种衣服和鞋子的组合。
具体组合如下：
红色衣服 + 黑色鞋子
红色衣服 + 白色鞋子
蓝色衣服 + 黑色鞋子
蓝色衣服 + 白色鞋子
绿色衣服 + 黑色鞋子
绿色衣服 + 白色鞋子
这个例子展示了乘法计数原理的使用。
通过将每个步骤的可能性数相乘，我们可以得到最终的组合总数。
这个原理在解决组合问题和计算概率等方面非常有用。
1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(高中数学人教A选修2-3)
故任选一名学生任学生会主席的选法共有50+60+55=165 种不同的方法.
(2)选一名学生任学生会体育部长有三类不同的选法. 第一类：从高二（1）班男生中选有30种不同的方法； 第二类：从高二（2）班男生中选有30种不同的方法； 第三类：从高二（3）班女生中选有20种不同的方法.
2.分步计数原理针对的是“分步”问题， 各个步骤中的方法相互依存，只有各 个步骤都完成才算做完这件事．
两个计数原理
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
相同点 用来计算“完成一件事”的方法种数
分类完成类类相加 分步完成 步步相乘
每类方案中的每一 每步_依__次__完__成__才
不同点 种完方成法这都 件能 事_独__立___
两类
能
26种 10种
26+10=36种
假如你从南宁到北海，
可以坐直达客车或直达火车，
客车每天有3个班次，火车每天有2个班次，
请问你共有多少种不同的走法客？车1
北海
南宁
客车2
客车3
火车1 火车2 分析：完成从南宁到北海这件事有2类方案， 所以，从从南宁到北海共有3+ 2= 5种方法.
问题1:你能否发现这两个问题有什么共同特征？ 1、都是要完成一件事 2、用任何一类方法都能直接完成这件事 3、都是采用加法运算
物理学
法学
汉语言文学
工程学
பைடு நூலகம்
韩语
如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种 选择呢? N=5+4+5=14(种)
分步乘法计数原理的应用
分步乘法计数原理的应用分步乘法原理（也称为乘法计数原理）是组合数学中的一种计数方法，常用于解决涉及多个步骤的计数问题。
该原理基于乘法规则，即如果一个过程可以分解为几个独立的步骤，每个步骤有若干选择，则通过将每个步骤的选择数相乘得到过程的总选择数。
下面将通过几个具体的例子来概括分步乘法计数原理的应用。
-前17位中的每一位数字有10个选择（0-9）；-第18位的校验码由前17位数字按照特定的规则计算得出。
根据分步乘法计数原理，每一位数字的选择数是10个，因此前17位数字的选择数是10的17次方。
因此，校验码的总选择数是10的17次方。
实际上，根据具体的校验规则，校验码的选择数可能会更少。
例2：班级选课假设一个班级有15个学生，可以选择3门选修课程中的一门。
每门选修课程的选择人数没有限制，而且一个学生只能选择一门选修课程。
根据分步乘法计数原理，每个学生的选课选择数是3个，因此班级选课的总选择数是3的15次方。
例3：排列组合问题假设有5个人需要从10个座位中选择一个座位坐下，每个座位只能有一个人。
根据分步乘法计数原理，第一个人有10个座位可供选择，第二个人有9个座位可供选择，以此类推，最后一个人只有6个座位可供选择。
因此，总选择数是10乘以9乘以8乘以7乘以6，即10的阶乘除以5的阶乘。
例4：组合问题假设有10个人，需要从中选择5个人组成一个小组。
根据分步乘法计数原理，第一个人有10个选择，第二个人有9个选择，以此类推，一直到第五个人有6个选择。
此外，由于选择的顺序不重要，所以需要除以被选择的五个人的排列数，即5的阶乘。
因此，总选择数是10乘以9乘以8乘以7乘以6除以5的阶乘。
以上是一些分步乘法计数原理的应用例子，它们展示了如何通过将独立步骤的选择数相乘来计算总选择数。
在实际问题中，可以根据具体的情况和要求，进行适当的变形和推广，以应用分步乘法计数原理解决更复杂的计数问题。
分步计数原理
分步计数原理
分步计数原理是指将一个复杂的计数问题分解成若干个简单的计数问题，然后将它们的结果相乘得到最终的计数结果。
这个原理在解决一些复杂的计数问题时非常有效，可以大大简化计算过程。
在实际应用中，分步计数原理通常可以分为两种情况，乘法原理和加法原理。
乘法原理适用于独立事件的计数问题，而加法原理适用于互斥事件的计数问题。
乘法原理是指如果一个事件发生的次数与另一个事件发生的次数无关，那么这两个事件同时发生的总次数等于它们分别发生的次数的乘积。
例如，如果有一个餐厅有3种主菜和4种甜点可供选择，那么顾客同时选择主菜和甜点的方式有34=12种。
加法原理是指如果一个事件发生的次数与另一个事件发生的次数有关，那么这两个事件发生的总次数等于它们分别发生的次数之和减去它们同时发生的次数。
例如，一个班级中有15个男生和10个女生，那么班级中至少有一个人生日的概率等于15+10-0=25。
在实际应用中，分步计数原理通常与排列组合、概率统计等概念结合使用，可以帮助我们解决各种复杂的计数问题。
例如，在概率统计中，我们可以利用分步计数原理来计算某种事件发生的概率；在排列组合中，我们可以利用分步计数原理来计算某种排列或组合的总数。
总之，分步计数原理是一种非常重要的计数方法，它在解决各种复杂的计数问题时都有着重要的作用。
通过将复杂的计数问题分解成若干个简单的计数问题，并利用乘法原理和加法原理来计算，我们可以更加简单、高效地解决这些问题。
希望本文能够帮助读者更好地理解分步计数原理，并在实际应用中取得更好的效果。
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(2)法一：根据题意，将十位上的数字按1,2,3,4,5,6,7,8的情况 分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个， 6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知： 符合条件的两位数的个数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝ 36(个)．
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题型三
两个原理的综合应用
若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不 同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y ＝2x2＋1，值域为{5,19}的“孪生函数”共有 ( A．10个 B．9个 )
C．8个
D．7个
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【规范解答】 本题是一个分步计数问题，由题意知程序A 只能出现在第一步或最后一步，∴从第一个位置和最后一个 位置中选一个位置把A排列，有A＝2种结果．∵程序B和C在
实施时必须相邻，∴把B和C看作一个元素，同除A外的3个元
素排列，注意B和C之间还有一个安排，共有AA＝48种结 果．根据分步计数原理知共有2×48＝96种结果，故选C. 【答案】 C
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【解析】 (1)用x，y表示另两边长，且不妨设1≤x≤y≤11，要 构成三角形，必须x＋y≥12. 当y取值11时，x＝1,2,3，…，11，可有11个三角形；
当y取值10时，x＝2,3，…，10，可有9个三角形；…当y取值
6时，x只能取6，只有一个三角形． 由分类加法计数原理知：符合条件的三角形个数是：11＋9 ＋7＋5＋3＋1＝36(个)，故共有36个．
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【归纳提升】
用两个计数原理解决计数问题时，关键是明
确需要分类还是分步．
(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计
数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数． (2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成 任务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘， 得到总数．
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2．分步乘法计数原理
完成一件事情需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1
种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，……， 完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有N ＝ m1×m2×…×mn种不同的方法．
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第1课时
分类加法计数原理与 分步乘法计数原理
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(一)考纲点击
1．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理． 2．会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决 一些简单的实际问题．
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解析：分两步安排这8名运动员． 第一步：安排甲、乙、丙在人，共有1、3、5、7四条跑道可
安排，所以安排方式有4×3×2＝24(种)．
第二步：安排另外5人，可在2、4、6、8及余下的一条奇数 号跑道上安排，所以安排方式有5×4×3×2×1＝120(种)． ∴安排这8人的方式有24×120＝2 880(种)． 答案：2 880
解析：当a＝0时，关于x的方程为2x＋b＝0，此时有序数对(0，
－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)均满足要求；当a≠0时，Δ＝4－
4ab≥0，ab≤1，此时满足要求的有序数对为(－1，－1)，(－ 1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)， (2,0)．综上，满足要求的有序数对共有13个，选B. 答案：B
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分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列、组合问题
的基础并贯穿始终．分类加法计数原理中，完成一件事的方法 属于其中一类并且 只属于其中一类，简单的说分类的标准是
不重不漏，一步完成”．而分步乘法计数原理中，各个步骤 “
相互依存，在各个步骤中任取一种方法，即是完成这件事的一
第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目
只有4种选法，由分步乘法计数原理，得共有报名方法 6×5×4＝120(种)． (3)由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六 人中选出一人参赛，由分步乘法计数原理，得共有不同的报
名方法63＝216(种)．
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种方法，简单的说步与步之间的方法“ 相互独立 ，多步完
成”．
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题型一 分类加法计数原理的应用 (1)三边长均为正整数，且最大边长为11的三角形的个 数是________．
(2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数
的个数为________．
法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不
同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原 理．
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针对训练 x2 y2 1． 方程m＋ n ＝1 表示焦点在 y 轴上的椭圆， 其中 m∈{1,2,3,4,5}，
n∈{1,2,3,4,5,6,7}，那么这样的椭圆有多少个？
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易错易混：题意理解有偏差 【典例】 (2014·湖南张家界二模)在航天员进行的一项太空 实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第 一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺
序的编排方法共有
A．34种 C．96种 B．48种 D．144种
(
)
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解：以m的值为标准分类，分为五类．
第一类：m＝1时，使n>m，n有6种选择； 第二类：m＝2时，使n>m，n有5种选择； 第三类：m＝3时，使n>m，n有4种选择； 第四类：m＝4时，使n>m，n有3种选择；
第五类：m＝5时，使n>m，n有2种选择．
故共有36个．
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法二：分析个位数字，可分以下几类： 个位是9，则十位可以是1,2,3，…，8中的一个，故共有8个； 个位是8，则十位可以是1,2,3，…，7中的一个，故共有7个；
同理个位是7的有6个；…个位是2的有1个．
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对点演练 (1)有不同颜色的四件衬衣与不同颜色的三条领带，如果一条领
带与一件衬衣配成一套．则不同的配法种数是________．
答案：12
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(2)某次活动中，有30人排成6行5列，现要从中选出3人进行
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解析：由分步乘法计数原理知：用0,1，…，9十个数字组成
三位数(可有重复数字)的个数为9×10×10＝900，组成没有
重复数字的三位数的个数为9×9×8＝648，则组成有重复数 字的三位数的个数为900－648＝252，故选B. 答案：B
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(二)命题趋势
1．从考查内容看，对本节的考查主要侧重于两个原理的应
用，主要题型为利用两个原理解决一些计数问题． 2．从考查形式看，多以选择题、填空题的形式出现，常与 排列组合结合在一起命题，属中档题．
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1．分类加法计数原理
(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；
(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限．
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【解】 (1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有 3种不同选法，由分步乘法计数原理， 知共有选法36＝729(种)． (2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，
∴共有6＋5＋4＋3＋2＝20种方法， 即有20个符合题意的椭圆．
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题型二 分步乘法计数原理的应用
有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况 下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都能参 加) (1)每人恰好参加一项，每项人数不限；
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【归纳提升】
利用分步乘法计数原理解决问题：①要按事
件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；②各步中 的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成了才算完
成这件事．
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