(完整)高一数学分段函数练习题
高中数学分段函数解析式及其图像作法练习题含答案
高中数学分段函数解析式及其图像作法练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 若函数f (x )={x +1, x ≥0,f (x +2), x <0则f (−3)的值为 （ ） A.5B.−1C.−7D.22. 已知函数f(x)的图象是两条线段（如图所示，不含端点），则f[f(13)]＝（ ）A.−13B.13C.−23D.233. 已知f(x)={x +2(x ≤−1)x 2(−1<x <2)2x(x ≥2)，若f(x)＝3，则x 的值是（ ）A.1B.1或32C.1，32或±√3D.√34. 已知函数{x 2+1,x ≤0−2x,x >0，f(x)=5，则x 的值为（ ） A.−2B.2或−2C.2或−52D.2或−2或−525. 已知函数f(x)={x 2+4x +3,x ≤03−x,x >0则f （f(5)）＝（ ） A.0B.−2C.−1D.16. 函数f(x)={|3x −4|(x ≤2)2x−1(x >2)，则当f(x)≥1时，自变量x 的取值范围为（ ） A.[1,53]B.[53，3] C.(−∞,1)∪[53，+∞)D.(−∞,1]∪[53，3]7. 函数f(x)=ln1的大致图象是( )(2−x)2A.B.C.D.的部分图象大致为() 8. 函数y=1+x+sin xx2A. B.C.D.9. 若函数f(x)={e x e ,x ≥0，x 2+5x +4，x <0，（其中e 为自然对数的底数），则函数ℎ(x)=f(f(x))−f(x) 的零点个数为( )A.2B.3C.4D.510. 已知f(x)={1,x ≥0,−1,x <0,则不等式x +(x +2)⋅f(x +2)≤5的解集是( ) A.[−2, 1]B.(−∞, −2]C.[−2,32]D.(−∞,32]11. 设函数f(x)={x 2+2x ，x <0，−x 2，x ≥0，f(f(a))≤3，则实数a 的取值范围是________．12. f(x)={(12)x −2,x ≤0，2x −2,x >0，则f(x)−x 的零点个数是________．13. 若函数f(x)={2x(x ≥10)f(x +1)(0<x <10)，则f(5)=________． 14. 已知函数满足，则函数的解析式为________．15. 定义a ⊗b ={a 2+b ，a >b a +b 2，a ≤b ，若a ⊗(−2)=4，则a =________．16. 已知函数f(x)={ax 2+2x +1,(−2<x ≤0)ax −3,(x >0)有3个零点，则实数a 的取值范围是________．17. 若函数f(x)＝，则f(2020)＝________．18. 已知函数f(x)={(12)x ,x ≥4f(x +1),x <4，则f(log 23)＝________．19. 函数f(x)={e x −a ，x ≤1x 2−3ax +2a 2+1，x >1，若函数y =f(x)图象与直线y =1有两个不同的交点，求a 的取值范围________．20. 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时， f (x )=x 2+2x −3 .(1)求f (x )的解析式；(2)若f (m +1)<f (2m −1)，求实数m 的取值范围．21. 已知函数f(x)的解析式为f(x)={3x +5，(x ≤0)，x +5，(0<x ≤1)，−2x +8，(x >1).(1)画出这个函数的图象；(2)求函数f(x)的最大值；22. 已知函数f (x )=|2x −1|+|x +2|．（1）在给定的坐标系中画出函数f(x)的图象；（2）设函数g(x)=ax+a，若对任意x∈R，不等式g(x)≤f(x)恒成立，求实数a的取值范围．23. (1)用定义法证明函数f(x)=x2−1x在(0,+∞)上单调递增；(2)已知g(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，g(x)=x3+3x2+1，求g(x)的解析式．24. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=13x3+12x2.(1)求f(x)的解析式，并补全f(x)的图象；(2)求使不等式f(m)−f(1−2m)>0成立的实数m的取值范围．参考答案与试题解析高中数学分段函数解析式及其图像作法练习题含答案一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）1.【答案】D【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】此题暂无解析【解答】解：因为−3<0，所以f(−3)=f(−3+2)=f(−1).因为−1<0，所以f(−1)=f(−1+2)=f(1).因为1>0，所以f(1)=1+1=2.故选D .2.【答案】B【考点】函数的图象与图象的变换分段函数的解析式求法及其图象的作法函数单调性的性质与判断【解析】先根据函数的图象利用分段函数写出函数的解析式，再根据所求由内向外逐一去掉括号，从而求出函数值．【解答】由图象知f(x)={x +1(−1<x <0)x −1(0<x <1)∴ f(13)=13−1=−23，∴ f(f(13))=f(−23)=−23+1=13．3.【答案】D【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法函数的零点与方程根的关系【解析】利用分段函数的解析式，根据自变量所在的区间进行讨论表示出含字母x 的方程，通过求解相应的方程得出所求的字母x 的值．或者求出该分段函数在每一段的值域，根据所给的函数值可能属于哪一段确定出字母x 的值．【解答】该分段函数的三段各自的值域为(−∞, 1],[O, 4)．[4, +∞)，而3∈[0, 4)，故所求的字母x 只能位于第二段．∴ f(x)=x 2=3,x =±√3，而−1<x <2，∴ x =√3．4.【答案】【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】C【考点】求函数的值函数的求值分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】分段函数是指在定义域的不同阶段上对应法则不同，因此分段函数求函数值时，一定要看清楚自变量所处阶段，例如本题中，5∈{x|x >0}，而f(5)＝−2∈{x|x ≤0}，分别代入不同的对应法则求值即可得结果【解答】因为5>0，代入函数解析式f(x)={x 2+4x +3,x ≤03−x,x >0得f(5)＝3−5＝−2， 所以f （f(5)）＝f(−2)，因为−2<0，代入函数解析式f(x)={x 2+4x +3,x ≤03−x,x >0得f(−2)＝(−2)2+4×(−2)+3＝−16.【答案】D【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】根据题意分两种情况x >2和x ≤2，代入对应的解析式列出不等式求解，最后必须解集和x 的范围求交集．【解答】解：∵ f(x)={|3x −4|(x ≤2)2x−1(x >2)，∴ 分两种情况： ①当x >2时，由f(x)≥1得，{x >22x−1≥1，解得2<x ≤3，②当x≤2时，由f(x)≥1得，|3x−4|≥1，即3x−4≥1或3x−4≤−1，解得，x≤1或x≥53，则x≤1或53≤x≤2．综上，所求的范围是(−∞,1]∪[53，3]．故选D．7.【答案】D【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】此题暂无解析【解答】解：函数f(x)=ln1(2−x)2的定义域为：x≠2，函数图像关于x=2对称，当x=0时，f(0)=ln1(2−0)2=−ln4<0，因为ln4∈(1，2).故选D.8.【答案】B【考点】奇函数分段函数的解析式求法及其图象的作法函数的图象【解析】通过函数的解析式，利用函数的奇偶性的性质，函数的图象经过的特殊点判断函数的图象即可．【解答】解：函数y=1+x+sin xx2，可知：f(x)=x+sin xx2是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，则函数y=1+x+sin xx2的图象关于(0, 1)对称，当x>0时，f(x)>0，当x=π时，y=1+π．故选B．9.【答案】D【考点】函数零点的判定定理分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】此题暂无解析【解答】解：根据分段函数解析式作出函数的图像，如图所示：, 0)和(0, +∞)上为增函数，由图可知，函数f(x)在(−52且f(f(x))=f(x)解的个数等价于f(x)=x解的个数.作出图像可知，函数y=f(x)与y=x有(−2, −2)和(e, e)两个公共点，作出f(x)=e的图像，由图可知，f(x)=e有三个解；作出f(x)=−2的图像，由图可知，f(x)=−2有两个解.综上可知，函数ℎ(x)=f(f(x))−f(x)的零点的个数为5. 故选D.【答案】D【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】由题意可得，①当x+2≥0时，f(x+2)=1，代入所求不等式可求x，②当x+2< 0即x<−2时，f(x+2)=−1，代入所求不等式可求x，从而可得原不等式的解集【解答】解：①当x+2≥0，即x≥−2时，f(x+2)=1，由x+(x+2)⋅f(x+2)≤5可得x+x+2≤5，∴x≤32，即−2≤x≤32；②当x+2<0即x<−2时，f(x+2)=−1，由x+(x+2)⋅f(x+2)≤5可得x−(x+2)≤5，即−2≤5，∴x<−2.综上，不等式的解集为{x|x≤32}.故选D.二、填空题（本题共计 9 小题，每题 3 分，共计27分）11.【答案】(−∞, √3]【考点】分段函数的应用分段函数的解析式求法及其图象的作法函数的求值【解析】先讨论f(a)的正负，代入求出f(a)≥−3，再讨论a的正负，求实数a的取值范围．【解答】解：①若f(a)<0，则f2(a)+2f(a)≤3，解得，−3≤f(a)≤1，即−3≤f(a)<0；②若f(a)≥0，则−f2(a)≤3，显然成立；则f(a)≥0；③若a<0，则a2+2a≥−3，解得，a∈R，即a<0；④若a≥0，则−a2≥−3，解得，0≤a≤√3；综上所述，实数a的取值范围是：(−∞, √3]．故答案为：(−∞, √3]．12.【答案】【考点】函数零点的判定定理分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】本题考查分段函数图象的作图及函数零点区间的判断问题．【解答】解：函数f(x)={(12)x−2,x ≤0,2x −2,x >0的图象如图所示， 由图示可得直线y =x 与该函数的图象有两个交点，由此可得f(x)−x 有2个零点．故答案为：2．13.【答案】20【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】根据自变量的值代入分段函数求值．【解答】解：由f(x)={2x(x ≥10)f(x +1)(0<x <10)得， f(5)=f(6)=f(7)=f(8)=f(9)=f(10)=2×10=20．故答案为：20．14.【答案】千(x )=三．________3′3x【考点】函数解析式的求解及常用方法函数的图象分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】令f (1x )+2f (x )=1x ．联立f (x )+2f (1x )=x 消去f (1x )即可I 加加加因为f (x )+2f (1x )=x ，所以f (1x )+2f (x )=1x由{f (x )+2f (1x )=x f (1x )+2f (x )=1x，消去f (1x )，得f (x )=−x 3+23x 故答案为：f (x )=−x 3+23【解答】此题暂无解答15.【答案】 √6【考点】函数新定义问题分段函数的解析式求法及其图象的作法函数的求值【解析】分类讨论，利用新定义即可得出．【解答】解：①当a >−2时，由已知可得4=a ⊗(−2)=a 2−2，解得a =√6．②当a ≤−2时，由已知可得4=a ⊗(−2)=a +(−2)2，解得a =0，应舍去． 综上可知：a =√6．故答案为：√6．16.【答案】(34, 1) 【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法函数零点的判定定理【解析】由题意可得，a >0 且 y ＝ax 2+2x +1在(−2, 0)上有2个零点，再利用二次函数的性质求得a 的范围．【解答】∵ 函数f(x)={ax 2+2x +1,(−2<x ≤0)ax −3,(x >0)有3个零点， ∴ a >0 且 y ＝ax 2+2x +1在(−2, 0)上有2个零点，∴ { a >0a(−2)2+2(−2)+1>0−2<−1a <0△=4−4a >0， 解得 34<a <1，17.【答案】1【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】先判断当x>0时，f(x+6)＝f(x)，可得x>0时，f(x)是周期为6的周期函数，再由周期性及分段函数解析式求解．【解答】当x>0时，由f(x)＝f(x−1)−f(x−2)，可得f(x+1)＝f(x)−f(x−1)，两式相加得f(x+1)＝−f(x−2)，则f(x+3)＝−f(x)，∴当x>0时，f(x+6)＝−f(x+3)＝−[−f(x)]＝f(x)，即x>0时，f(x)是周期为6的周期函数，又f(x)＝，∴f(2020)＝f(4)＝−f(1)＝f(−1)−f(0)＝2−1＝1，故答案为：1．18.【答案】124【考点】函数的求值求函数的值分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】先判断出log23的范围，代入对应的解析式求解，根据解析式需要代入同一个式子三次，再把所得的值代入另一个式子求值，需要对底数进行转化，利用a log a N=N进行求解．【解答】由已知得，f(x)={(12)x,x≥4f(x+1),x<4，且1<log23<2，∴f(log23)＝f(log23+1)＝f(log23+2)＝f(log23+3)＝f(log224)=(12)log224=2log2(24)−1=124．19.【答案】【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题（本题共计 5 小题，每题 10 分，共计50分）20.【答案】解：(1)当x <0时， f (x )=f (−x )=(−x )2+2⋅(−x )−3=x 2−2x −3，所以f (x )={x 2+2x −3,x ≥0,x 2−2x −3,x <0.(2)当x ≥0时， f (x )=x 2+2x −3=(x +1)2−4，因此当x ≥0时，该函数单调递增，因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，该函数单调递增，所以由f(m +1)<f(2m −1)⇒f(|m +1|)<f(|2m −1|)⇒|m +1|<|2m −1|因此(m +1)2<(2m −1)2⇒m 2−2m >0⇒m >2或m <0，所以实数m 的取值范围是{m|m <0或m >2}.【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法奇偶性与单调性的综合函数单调性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)当x <0时， f (x )=f (−x )=(−x )2+2⋅(−x )−3=x 2−2x −3，所以f (x )={x 2+2x −3,x ≥0,x 2−2x −3,x <0.(2)当x ≥0时， f (x )=x 2+2x −3=(x +1)2−4，因此当x ≥0时，该函数单调递增，因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，该函数单调递增，所以由f(m +1)<f(2m −1)⇒f(|m +1|)<f(|2m −1|)⇒|m +1|<|2m −1|因此(m +1)2<(2m −1)2⇒m 2−2m >0⇒m >2或m <0，所以实数m 的取值范围是{m|m <0或m >2}.21.【答案】解：(1)函数f(x)的图象由三段构成，每段都为一次函数图象的一部分，其图象如图：(2)由函数图象，数形结合可知当x =1时，函数f(x)取得最大值6，∴ 函数f(x)的最大值为6；【考点】函数的最值及其几何意义分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】（1）分段函数的图象要分段画，本题中分三段，每段都为一次函数图象的一部分，利用一次函数图象的画法即可画出f(x)的图象；（2）由图象，数形结合即可求得函数f(x)的最大值【解答】解：(1)函数f(x)的图象由三段构成，每段都为一次函数图象的一部分，其图象如图：(2)由函数图象，数形结合可知当x=1时，函数f(x)取得最大值6，∴函数f(x)的最大值为6；22.【答案】【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法绝对值不等式的解法与证明不等式恒成立问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答23.【答案】(1)证明：任取x1，x2∈(0,+∞)，令x1<x2，则f(x1)−f(x2)=x12−1x1−x22+1x2=(x1+x2)(x1−x2)+x1−x2 x1x2=(x1+x2+1x1x2)(x1−x2)．因为0<x1<x2，所以x1−x2<0，x1+x2+1x1x2>0，即f(x1)<f(x2)，故函数f(x)=x2−1x在(0,+∞)上单调递增．(2)解：当x>0时，−x<0，g(−x)=(−x)3+3×(−x)2+1=−x3+3x2+1，因为g(x)是定义在R上的奇函数，所以g(x)=−g(−x)=x3−3x2−1，且g(0)=0，故g(x)={x3+3x2+1，x<0，0，x=0，x3−3x2−1，x>0．【考点】函数单调性的判断与证明分段函数的解析式求法及其图象的作法函数解析式的求解及常用方法【解析】此题暂无解析【解答】(1)证明：任取x1，x2∈(0,+∞)，令x1<x2，则f(x1)−f(x2)=x12−1x1−x22+1x2=(x1+x2)(x1−x2)+x1−x2 x1x2=(x1+x2+1x1x2)(x1−x2)．因为0<x1<x2，所以x1−x2<0，x1+x2+1x1x2>0，即f(x1)<f(x2)，故函数f(x)=x2−1x在(0,+∞)上单调递增．(2)解：当x>0时，−x<0，g(−x)=(−x)3+3×(−x)2+1=−x3+3x2+1，因为g(x)是定义在R上的奇函数，所以g(x)=−g(−x)=x3−3x2−1，且g(0)=0，故g(x)={x3+3x2+1，x<0，0，x=0，x3−3x2−1，x>0．24.【答案】解：(1)设x<0，则−x>0，于是f(−x)=−13x3+12x2，又因为f(x)是偶函数，所以f(x)=f(−x)=−13x3+12x2，所以 f (x )={−13x 3+12x 2,x <0,13x 3+12x 2,x ≥0, 补充图象如图，(2)因为f (x )是偶函数，所以原不等式等价于f (|m|)>f (|1−2m|)． 又由(1)的图象知，f (x )在[0,+∞)上单调递增， 所以|m|>|1−2m|，两边平方得m 2>1−4m +4m 2，即3m 2−4m +1<0， 解得13<m <1， 所以实数m 的取值范围是{m|13<m <1}．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法 函数奇偶性的性质奇偶性与单调性的综合【解析】【解答】解：(1)设x <0，则−x >0，于是f (−x )=−13x 3+12x 2， 又因为f (x )是偶函数，所以f (x )=f (−x )=−13x 3+12x 2，所以 f (x )={−13x 3+12x 2,x <0,13x 3+12x 2,x ≥0, 补充图象如图，(2)因为f(x)是偶函数，所以原不等式等价于f(|m|)>f(|1−2m|)．又由(1)的图象知，f(x)在[0,+∞)上单调递增，所以|m|>|1−2m|，两边平方得m2>1−4m+4m2，即3m2−4m+1<0，解得13<m<1，所以实数m的取值范围是{m|13<m<1}．。
分段函数练习题
分段函数练习题一、选择题1. 若分段函数f(x)定义如下：f(x) = { x^2, 当x > 1;x, 当x ≤ 1;则f(2)的值为：A) 2B) 4C) 1D) 02. 函数g(x) = { 2x+1, 当x < 0;x^2-1, 当x ≥ 0;若g(-1) = 1，则g(1)的值为：A) 0B) 1C) 2D) 33. 已知分段函数h(x) = { 3x+2, 当x < 2; x^2, 当x ≥ 2;求h(-1)+h(3)的值为：A) 6B) 7C) 8D) 94. 若分段函数p(x)定义为：p(x) = { x+1, 当x < 3;x^2, 当x ≥ 3;则p(4) - p(2)的值为______。
5. 函数q(x) = { √x, 当x ≥ 0;-x, 当x < 0;当q(x) = 4时，x的值为______。
三、解答题6. 已知分段函数r(x) = { x-1, 当x < 0;1-x, 当0 ≤ x < 1;x+1, 当x ≥ 1;求r(-2)、r(0)和r(2)的值，并计算r(-2)+r(0)+r(2)的和。
7. 函数s(x) = { 2x, 当x < 1;x+3, 当1 ≤ x < 2;3x-1, 当x ≥ 2;若s(x) = 5，求x的值，并计算在x的取值范围内s(x)的最大值和最小值。
四、证明题8. 证明：若分段函数t(x)定义为：t(x) = { x^2-1, 当x < 0;x^2+1, 当x ≥ 0;则对于任意实数x，t(x) ≥ 0。
9. 某公司根据员工的工龄x（以年为单位）发放奖金，规则如下：奖金函数f(x) = { 1000, 当x < 1;2000+500x, 当1 ≤ x < 5;3000+300x, 当x ≥ 5;若某员工工龄为3年，求其应得的奖金总额。
10. 某商店根据顾客购买的商品数量n（以件为单位）提供折扣，规则如下：折扣函数d(n) = { 0, 当n < 10;0.1n, 当10 ≤ n < 20;0.2n, 当n ≥ 20;若顾客购买了15件商品，求其应享受的折扣金额。
(完整版)分段函数练习题精选
分段函数练习题精选1、设()1232,2()log 1,2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则((2))f f 的值为（ ） A.0 B.1 C.2 D.32、(2009山东卷)定义在R 上的函数)(x f 满足)(x f =⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),4(log 2x x f x f x x ， 则)3(f 的值为（ ）A ．1- B. 2- C. 1 D. 23、给出函数⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=)4()1()4()21()(x x f x x f x ，则=)3(log 2f （ ） A.823- B. 111 C. 191 D. 241 4、函数21sin(),10,(),0.x x x f x e x π-⎧-<<⎪=⎨≥⎪⎩,若()()21=+a f f ,则a 的所有可能值为（ ） A.1B.2- C.1，2- D.1,2 5、（2009天津卷）设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f ，则不等式)1()(f x f >的解集是（ ）A.),3()1,3(+∞⋃-B.),2()1,3(+∞⋃-C.),3()1,1(+∞⋃-D.)3,1()3,(⋃--∞6、设函数10221,0,()()1,0x x f x f x x x -⎧-≤⎪=>⎨⎪>⎩若，则0x 的取值范围是（ ） A ．)1,1(- B ．),1-(+∞C ．),0()2,(+∞--∞YD ．),1()1,(+∞--∞Y7、已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是 （A ）(0,1)（B ）1(0,)3 （C ）11[,)73 （D ）1[,1)78、（2010天津卷）设函数⎪⎩⎪⎨⎧<->=)0()(log )0(log )(212x x x x x f ，若)()(a f a f ->，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)1,0()0,1(Y -B ．),1()1,(+∞--∞YC ．),1()0,1(+∞-YD ．)1,0()1,(Y --∞9、（2010全国卷）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<=)10(,621)100(,lg )(x x x x x f ，若c b a ,,互不相等，且)()()(c f b f a f ==，则实数abc 的取值范围是（ ）A ．)10,1(B ．)6,5(C ．)12,10(D ．)24,20(10、（2010天津卷）设函数)(2)(2R x x x g ∈-=，⎩⎨⎧≥-<++=)(,)()(,4)()(x g x x x g x g x x x g x f ，则)(x f 的值域是（ ）A ．),1(]0,49[+∞-YB ．),0[+∞C ．),49[+∞-D ．),2(]0,49[+∞-Y 11、设⎩⎨⎧>-≤-=-)0)(1()0(3)(x x f x a x f x ，若x x f =)(有且仅有三个解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．]2,1[ B ．()2,∞- C ．[)+∞,1 D ．(]1,∞-12、函数2x +2x-3,x 0x)=-2+ln x,x>0f ⎧≤⎨⎩（的零点个数为 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．313.函数2441()431x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩， ，，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．114、设函数3,(10)()((5)),(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则(5)f ＝ 。
高一数学分段函数抽象函数与复合函数试题答案及解析
高一数学分段函数抽象函数与复合函数试题答案及解析1.已知函数。
若，则的值（）A．一定是B．一定是C．是中较大的数D．是中较小的数【答案】C【解析】由题意可知，所以，所以的值是中较大的数，故选C.【考点】分段函数的求值问题.2.设，则使成立的值为 .【答案】-1或2【解析】当时，成立；当时，成立，所以值为-1或2【考点】分段函数3.已知函数，则( )A．0B．1C．-2D．-1【答案】B【解析】分段函数求函数时，要注意自变量的取值范围.。
【考点】分段函数.4.若函数，则=()A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】复合函数求值由内向外的求解是关键,代入计算时注意不同的自变量对应的表达式,先计算，再计算,最后计算故选B【考点】分段函数的值．5.已知函数，则 .【答案】【解析】,.【考点】本题考查了分段函数中函数值的计算.6.在上是减函数，则的取值范围是（）A．[B．[ ]C．( D．( ]【答案】A【解析】由于两段函数都是一次的形式，依题意减函数可以得，斜率小于零，即，另外(3-1)x+4在x=1的值不小于-x在x=1的值，即(3-1)+4a≥-,所以，综上.故选A.【考点】 1.分段函数的单调性的问题.2.处理分界点的函数值的大小.7.已知则f(3)=________.【答案】2.【解析】分段函数的函数值计算，一定要注意自变量的取值到底属于哪一段．根据函数的定义，．【考点】分段函数．8.设函数则实数的取值范围是 .【答案】【解析】当时，得，无解；当时，得，得或（舍去），故实数的取值范围是.【考点】分段函数的最值.9.如果对于函数的定义域内任意一个的值，均有，且，对于下列五个函数：①；②；③；④，其中适合题设条件的函数的序号是.【答案】③【解析】根据题意，由于，且，说明是奇函数和，同时关于对称，那么对于①是偶函数，不成立；对于②；也是偶函数不成立，对于③；满足题意，对于④非奇非偶函数，不成立故选③【考点】抽象函数的性质点评：本题考查新定义，考查三角函数的化简，解题的关键是一一验证，属于中档题10.已知，定义，则=" ________" .【答案】【解析】由函数可得，的周期为6【考点】分段函数求值点评：分段函数求值要根据定义域的范围将自变量x的值带入相应的解析式，求解本题的关键在于找到函数的周期，从而化简11.函数，则 .【答案】3【解析】【考点】本题考查了分段函数的求值点评：弄清函数解析式是解决此类问题的关键，正确计算即可12.已知函数是上的增函数，那么实数的范围（）A．B．C．D．【答案】D【解析】本题f（x）为分段函数，分析易得f（x）的两段函数均为增函数,同时在x=1处第一段的函数值大于等于第二段函数的函数值，则可知结论。
高一数学分段函数练习题
高一数学分段函数练习题(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--高一数学函数的定义与分段函数测试题1、给出函数⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=)4()1()4()21()(x x f x x f x ，则=)3(f （ ） A.823- B. 111 C. 191 D. 241 2、若f(x)=⎩⎨⎧≥)0()0(2 x x x x ⎩⎨⎧<-≥=)0()0()(2x x x x x ϕ，则当x<0时，f[ϕ(x)]=( ) A. －x B. －x 23、下列各组函数表示同一函数的是( )①f(x)=|x|，g(x)=⎩⎨⎧<-≥)0()0(x x x x ② f(x)=242--x x ，g(x)=x+2 ③f(x)=2x ，g(x)=x+2 ④f(x)=1122-+-x x g(x)=0 x ∈{－1，1} A.①③ B.① C.②④ D.①④4、设f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>+≤--1||111||,2|1|2x ，xx x ，则f[f(21)]=( ) A. 21 B.134 C. －59 D.41255、设函数3,(10)()((5)),(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则(5)f ＝ 。
设函数f(x)=⎩⎨⎧>≤+)2(,2)2(,22x x x x 则f(－4)=___________,若f(x 0)=8，则x 0=________6.、函数y ＝＋的定义域为( )A ． {x |x ≤1}B ． {x |x ≥0}C ． {x |x ≥1或x ≤0}D ． {x |0≤x ≤1}7、.函数f (x )＝的定义域为( )A ． [1,2)∪(2，＋∞)B ． (1，＋∞)C ． [1,2)D ． [1，＋∞)8、函数的定义域是（ ） A ． B ． C ． D ．9、函数的定义域为（）A． B． C． D．10.函数的定义域为（）A． B． C． D．11、.函数的定义域为（）A． B． C． D．12、.函数f(x)=的定义域为（）A． [0，+∞) B． (1， +∞) C． [0，1)(1， +∞) D． [0，1)13、.函数定义域是( )A． (-，+) B． [-1，+） C． [0，+] D． (-1，+)14、.函数定义域是（）A． B． C． D．15、已知集合A＝{1，3，5，7，9}，B＝{0，3，6，9，12}，则A∩B＝( )A．{3，5} B．{3，6} C．{3，7} D．{3，9}16、设集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∪B等于( )A．{x|x≥3} B．{x|x≥2} C．{x|2≤x＜3} D．{x|x≥4}a}．若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为( )17、集合A＝{0，2，a}，B＝{1，2A．0 B．1 C．2 D．418、.已知全集U=R，集合A={x︱-2≤x≤3},B={x︱x＜-1或x＞4｝，那么集合A∩（CUB）等于（）.A.{x︱-2≤x＜4｝B.{x︱x≤3或x≥4} C．{x︱-2≤x＜-1｝ D.{-1︱-1≤x≤3}19.、函数的定义域是_____________．20、.函数的定义域为_____________．21、函数定义域是_____________．22、.求下列函数的定义域．(1)f(x)＝；(2)f(x)＝；(3)f(x)＝＋.23、.求下列函数的定义域．(1)y＝－x2＋1；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝＋＋2；(5)y＝＋；(6)y＝(a为常数)．24、已知全集U＝R，函数y＝＋的定义域为集合A，函数y＝的定义域为集合B.(1)求集合A和集合B；(2)求集合(∁U A)∩(∁U B)．25、已知函数f(x)＝－.(1)求函数f(x)的定义域(用区间表示)；(2)求f(－1)，f(12)的值．。
高一数学 分段函数
12
y
6
x 0 2 4 6 8 10 12 14 16
思考题：甲、乙两人分别骑自行车与摩托车从 A城出发到B城旅游．甲、乙两人离开A• 城的路 程与时间之间的函数图象如图所示．根据图象 你能得到甲、乙两人旅游的哪些信息？
参考答案： 根据图象能得到甲、乙两人旅游的以下一些信息： 1．甲骑自行车从A城去B城用了8个小时．乙骑 摩托车从A城去B城用了2个小时． 2．甲比乙早4个小时出发，晚2个小时到达． 3．甲骑自行车在出发后第一个2小时内行驶了40 千米，第二个2小时内行驶了20千米，然后停留 了1个小时，又在1个小时内行驶了20千米，最后 用2个小时行驶了20千米完成全程到达B城． 4．乙骑摩托车在2小时内行驶了100千米路程到 达B城． 5．甲、乙在距A城60多千米的地方相遇一次．
4. 研究函数y = f(x)与函数y = |f(x)|图象之间的 关系.
5. 研究函数y = f(x)与函数y = f(|x|) 图象之间的 关系.
分段函数
例1. 已知一个函数y=f(x)的定义域是[0, 2]， 当x∈[0, 1]时，对应法则为y=x，当x∈(1, 2] 时，对应法则为y=2－x，试用解析法和图 象法分别表示这个函数。
解：已知函数用解析法可表示为
x [0,1] x, y 2 x, x (1,2]
函数的图象如下图.
2 y
1ห้องสมุดไป่ตู้
x 0 1 2
例2. 国内投寄信函（外埠），每封信不超过
20g，付邮资80分，质量超过20g，但不超40g
付160分，质量超过40g，但不超60g付240分，
依次类推，每封x g（0<x≤100）的信函应付的
邮资为y（单位：分），试写出以x为自变量的
人教版高一数学练习题-分段函数
課時跟蹤檢測（十八） 分段函數A 級——學考水準達標練1．下列給出的函數是分段函數的是( )①f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，1<x ≤5，2x ，x ≤1，②f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ∈R ，x 2，x ≥2，③f (x )＝⎩⎨⎧ 2x ＋3，1≤x ≤5，x 2，x ≤1，④f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋3，x ＜0，x －1，x ≥5.A ．①②B ．①④C ．②④D ．③④解析：選B 對於②取x ＝2，f (2)＝3或4，對於③取x ＝1，f (1)＝5或1，所以②、③都不合題意．2．一列貨運火車從某站出發，勻加速行駛一段時間後開始勻速行駛，過了一段時間，火車到達下一站停車，裝完貨以後，火車又勻加速行駛，一段時間後再次勻速行駛，下列圖像可以近似地刻畫出這列火車的速度變化情況的是( )解析：選B 根據題意，知這列火車從靜止開始勻加速行駛，所以排除A 、D ，然後勻速行駛一段時間後又停止了一段時間，排除C ，故選B.3．已知f (x )＝⎩⎨⎧10，x <0，10x ，x ≥0，則f (f (－7))的值為( )A ．100B ．10C ．－10D ．－100解析：選A∵f (x )＝⎩⎨⎧10，x <0，10x ，x ≥0，∴f (－7)＝10.f (f (－7))＝f (10)＝10×10＝100.4．已知A ，B 兩地相距150千米，某人開汽車以60千米/時的速度從A 地前往B 地，在B 地停留1小時後再以50千米/時的速度返回A 地，把汽車離開A 地的距離x (千米)表示為時間t (時)的函數運算式是( )A ．x ＝60tB ．x ＝60t ＋50C ．x ＝⎩⎨⎧60t ，0≤t ≤2.5，150－50t ，t ＞3.5D ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤2.5，150，2.5＜t ≤3.5，150－50(t －3.5)，3.5＜t ≤6.5解析：選D 由於在B 地停留1小時期間，距離x 不變，始終為150千米，故選D.5.已知函數f (x )的圖像是兩條線段(如圖所示，不含端點)，則f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13等於()A ．－13B.13 C ．－23D.23解析：選B 由題圖可知，函數f (x )的解析式為f (x )＝⎩⎨⎧x －1，0＜x ＜1，x ＋1，－1＜x ＜0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝13－1＝－23，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－23＋1＝13.6．已知f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x ＞0，f (x ＋1)，x ≤0，則f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝________.解析：∵f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x ＞0，f (x ＋1)，x ≤0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝23×2＝43，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝2×43＝83， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝43＋83＝4. 答案：47．已知f (n )＝⎩⎨⎧n －3，n ≥10，f (f (n ＋5))，n ＜10，則f (8)＝________.解析：因為8＜10，所以代入f (n )＝f (f (n ＋5))，即f (8)＝f (f (13))．因為13＞10，所以代入f (n )＝n －3，得f (13)＝10，故得f (8)＝f (10)＝10－3＝7.答案：78．已知函數f (x )＝⎩⎨⎧3x ＋2，x ＜1，x 2－ax ，x ≥1，若f (f (0))＝a ，則實數a＝________.解析：依題意知f (0)＝3×0＋2＝2， 則f (f (0))＝f (2)＝22－2a ＝a ， 求得a ＝43.答案：439．已知函數f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4，0≤x ≤2，2x ，x >2.(1)求f (2)，f (f (2))的值； (2)若f (x 0)＝8，求x 0的值． 解：(1)∵0≤x ≤2時，f (x )＝x 2－4， ∴f (2)＝22－4＝0，f (f (2))＝f (0)＝02－4＝－4.(2)當0≤x 0≤2時， 由x 20－4＝8， 得x 0＝±23(舍去)；當x 0>2時，由2x 0＝8，得x 0＝4. ∴x 0＝4.10．一輛汽車在某段路程中的行駛速度與時間的關係如圖所示．(1)求圖中陰影部分的面積，並說明所求面積的實際含義； (2)假設這輛汽車的里程表在汽車行駛這段路程前的讀數為2 004 km ，試建立行駛這段路程時汽車里程表讀數s km 與時間t h 的函數解析式，並作出相應的圖像．解：(1)陰影部分的面積為50×1＋80×1＋90×1＋75×1＋65×1＝360. 陰影部分的面積表示汽車在這5 h 內行駛的路程為 360 km.(2)根據圖像，有s ＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧50t ＋2 004， 0≤t <1，80(t －1)＋2 054， 1≤t <2，90(t －2)＋2 134， 2≤t <3，75(t －3)＋2 224， 3≤t <4，65(t －4)＋2 299， 4≤t ≤5.相應的圖像如圖所示：B 級——高考水準高分練1．設函數f (x )＝⎩⎨⎧2，x ＞0，x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，則f (x )的解析式為f (x )＝________.解析：∵f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，∴⎩⎨⎧(－4)2－4b ＋c ＝c ，(－2)2－2b ＋c ＝－2.解得⎩⎨⎧b ＝4，c ＝2.∴f (x )＝⎩⎨⎧2，x ＞0，x 2＋4x ＋2，x ≤0.答案：⎩⎨⎧2，x ＞0，x 2＋4x ＋2，x ≤02．根據統計，一名工人組裝第x 件某產品所用的時間(單位：分)為f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧c x ，x ＜A ，cA，x ≥A(A ，c 為常數)．已知工人組裝第4件產品用時30分鐘，組裝第A 件產品用時15分鐘，那麼c 和A 的值分別是________，________.解析：因為組裝第A 件產品用時15分鐘，所以c A＝15.①由題意知4＜A ，且c4＝c2＝30.② 由①②解得c ＝60，A ＝16. 答案：60 163．如圖，函數f (x )的圖像是由兩條射線y 1＝k 1x ＋b 1(x ≤1)，y 2＝k 2x ＋b 2(x ≥3)及抛物線y 3＝a (x －2)2＋2(1＜x ＜3)的一部分組成，求函數f (x )的解析式．解：由題圖知⎩⎨⎧k 1＋b 1＝1，b 1＝2，解得⎩⎨⎧k 1＝－1，b 1＝2，所以左側射線的解析式為y 1＝－x ＋2(x ≤1)． 同理，右側射線的解析式為y 2＝x －2(x ≥3)．已知抛物線對應的二次函數的解析式為y 3＝a (x －2)2＋2(1＜x ＜3)，由題圖知a ＜0，a ＋2＝1，所以a ＝－1，所以抛物線的解析式為y 3＝－x 2＋4x －2(1＜x ＜3)．綜上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2，x ≤1，－x 2＋4x －2，1＜x ＜3，x －2，x ≥3.4.已知函數f (x )＝错误!(1)畫出函數f (x )的圖像； (2)求f (a 2＋1)(a ∈R)，f (f (3))的值；(3)當f (x )≥2時，求x 的取值範圍．解：(1)圖像如圖所示，作圖時注意曲線端點處是實心點還是空心點．(2)f (a 2＋1)＝3－(a 2＋1)2＝－a 4－2a 2＋2，f (f (3))＝f (－6)＝13.(3)當x ＞0時，3－x 2≥2，解得0＜x ≤1； 當x ＝0時，2≥2，符合題意； 當x ＜0時，1－2x ≥2， 解得x ≤－12.綜上，當f (x )≥2時，x 的取值範圍為⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[0,1]．5.如圖，動點P 從單位正方形ABCD 的頂點A 開始，順次經B ，C ，D 繞邊界一周，當x 表示點P 的行程，y 表示PA 之長時，求y 關於x 的解析式，並求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52的值．解：當點P 在AB 上運動時，y ＝x ； 當點P 在BC 上運動時，y ＝1＋(x －1)2， 當點P 在CD 上運動時，y ＝1＋(3－x )2，當點P 在DA 上運動時，y ＝4－x ，∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，0≤x ≤1，1＋(x －1)2，1＜x ≤2，1＋(3－x )2，2＜x ≤3，4－x ，3＜x ≤4.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－522＝52.。
分段函数练习题
分段函数练习题Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】1、分段函数1、已知函数)(x f ＝ ，则 )1()0(-+f f ＝（ ） A ． 9 B ． C ． 3 D ．提示：本题考查分段函数的求值，注意分段函数分段求。
解析：0代入第二个式子，-1代入第一个式子，解得)1()0(-+f f =3，故正确答案为C.902、函数的图象为下图中的（ ）提示：分段函数分段画图。
解析：此题中x ≠0，当x>0时，y=x+1,当x<0时，y=x-1, 故正确答案为C.1203、下列各组函数表示同一函数的是( )①f(x)=|x|，g(x)=⎩⎨⎧<-≥)0()0(x x x x ②f(x)=242--x x ，g(x)=x+2 ③f(x)=2x ，g(x)=x+2④f(x)=1122-+-x x ，g(x)=0 ，x ∈{－1，1}A.①③B.①C.②④D.①④267,0,100,,x x x x x ++<≥⎧⎪⎨⎪⎩71101110||x y x x=+提示：考察是否是同一函数即考察函数的三要素：定义域、值域、对应关系，此题应注意分段函数分段解决。
解析：此题中①③正确，故正确答案为A.1204、设()1232,2()log 1,2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则((2))f f 的值为（ ） A.0 B.1 C.2D.3提示：此题是分段函数当中经常考查的求分段函数值的小题型，主要考查学生对“分段函数在定义域的不同区间上对应关系不同”这个本质含义的理解．考查对分段函数的理解程度。
解析：因为 f （2）=log 3（22﹣1）=1，所以f （f （2））=f （1）=2e 1﹣1=2．因此f （f （2））=f （log 3（22﹣1））=f （1）=2e 1﹣1=2，故正确答案为C.905、定义在R 上的函数)(x f 满足)(x f =， 则)3(f 的值为（ ）A ．1- B. 2- C. 1D. 2提示：本题主要考查分段函数的求值，同时考查了递推关系，属于基础题．解析：将3代入相应的分段函数进行求值，则f （3）=f （2）﹣f （1），f （2）=f （1）﹣f （0）从而f （3）=f （1）﹣f （0）﹣f （1）=﹣f （0），将0代入f （x ）=log 2（4﹣x ）进行求解．∴f（3）=f （1）﹣f （0）﹣f （1）=﹣f （0）=﹣log 2（4﹣0）=﹣2， 故正确答案为B ．⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),4(log 2x x f x f x x1806、24,02(),(2)2,2x x f x f x x ⎧-≤≤==⎨>⎩已知函数则 若00()8,f x x ==则（ ） A ．232 C. 4D. 1提示：本题主要考查分段函数的求值，但是直接分段函数分段作图就将这道题做麻烦了，不如直接代入求解。
分段函数专题(含答案)
分段函数专题一．选择题（共7小题）1．下列关于分段函数的描述正确的是（）①分段函数在每段定义域内都是一个独立的函数，因此分几段就是几个函数；②f(x)=|x|是一个分段函数；③f(x)=|x﹣2|不是分段函数；④分段函数的定义域都是R；⑤分段函数的值域都为R；⑥f(x)={x,x≥0−x,x<0，则f(1)=−1．A．①②⑥B．①④C．②D．③④⑤2．设f(x)={2e x−1,x<2log3(x2−1),x≥2，则f(f(2))的值为（）A．0B．1C．2D．33．已知函数f(x)={|log x|,0<x≤10−12x+6,x>10，若a,b,c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）4．已知f(x)={x+2,x≤−1x2,−1<x<22x,x≥2，若f(x)=3，则x的值是（）A．1 B．1或32C．1，32或±√3D．√35．函数f(x)={x2+bx+c,x≤02,x>0，若f(−4)=f(0)，f(−2)=−2，则关于x的方程f(x)=x的解的个数为（）A．1B．2C．3D．46．已知函数f(x)={(a−2)x−1,x≤1log a x,x>1，若f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围为（）A．（1，2）B．（2，3）C．（2，3]D．（2，+∞）7．已知函数f(x)={x2+1,x≤0−2x,x>0使函数值为5的x的值是（）A．﹣2B．2或﹣C．2或﹣2D．2或﹣2或﹣二．填空题（共2小题）8．已知函数f (x )={ax 2+2x +1,−2<x ≤0ax −3,x >0有3个零点，则实数a 的取值范围是 ．9．已知函数f (x )={x +4,x <0x −4,x >0，则f [f (−3)]的值为 ． 三．解答题（共6小题）10．已知函数f (x )=−x 2+|x|．（1）用分段函数的形式表示该函数并画出函数的图象；（2）求函数的单调区间；（3）求函数的最大值．11．如图，△OAB 是边长为2的正三角形，记△OAB 位于直线x =t （t >0）左侧的图形的面积为f (t )．试求函数f (t )的解析式，并画出函数y = f (t )的图象．12．已知函数f(x)={x+2,x≤−1x2,−1<x<22x,x≥2（1）在坐标系中作出函数的图象；（2）若f(a)=12，求a的取值集合．13．已知函数f(x)=2x−1，g(x)={x2,x≥0−1,x<0求f[g(x)]和g[f(x)]的解析式．14．设函数f(x)={x2+bx+c,−4≤x<0−x+3,0≤x≤4，且f(−4)=f(0)，f(−2)=−1．（1）求函数f(x)的解析式；（2）画出函数f(x)的图象，并写出函数f(x)的定义域、值域．15．已知函数f(x)=−x2+2ax+3,xϵ[−2,4]（1）求函数f(x)的最大值关于a的解析式y=g(a)（2）画出y=g(a)的草图，并求函数y=g(a)的最小值．分段函数专题答案一．选择题（共7小题）1．下列关于分段函数的描述正确的是（ ）①分段函数在每段定义域内都是一个独立的函数，因此分几段就是几个函数；②f (x )=|x |是一个分段函数；③f (x )=|x ﹣2|不是分段函数；④分段函数的定义域都是R ；⑤分段函数的值域都为R ；⑥f (x )={x,x ≥0−x,x <0，则f (1)=−1． A ．①②⑥ B ．①④ C ．② D ．③④⑤【答案】①分段函数在每段定义域内都是一个独立的函数，但这几段组合在一起是一个函数，故错误；②f (x )=|x |={x,x ≥0−x,x <0是一个分段函数，正确； ③f (x )=|x −2|={x −2,x ≥22−x,x <2是一个分段函数，错误； ④分段函数的定义域不都是R ，错误；⑤分段函数的值域不都为R ，错误；⑥f (x )={x,x ≥0−x,x <0，则f (1)=−1，错误． 故正确的命题为：②，故选：C2．设f (x )={2e x−1,x <2log 3(x 2−1),x ≥2，则f(f (2))的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】f(f (2))=f [log 3(22−1)]=f (1)=2e 1−1=2，故选C ．3．已知函数f (x )={|log x |,0<x ≤10−12x +6,x >10，若a,b,c 互不相等，且f (a )=f (b )=f (c )，则abc 的取值范围是（ ）A ．（1，10）B ．（5，6）C ．（10，12）D ．（20，24）【答案】作出函数f (x )的图象如图，不妨设a <b <c ，则−log a =log b =−12c +6∈(0,1)ab =1，0<−12c +6<1则abc =c ∈(10，12)．故选C ．4．已知f (x )={x +2,x ≤−1x 2,−1<x <22x,x ≥2，若f (x )=3，则x 的值是（ ）A ．1B ．1或 32C ．1， 32或±√3D ．√3【答案】该分段函数的三段各自的值域为(−∞,1],[0,4),[4,+∞)，而3∈[0,4)，故所求的字母x 只能位于第二段．∴f (x )=x 2=3,x =±√3，而﹣1<x <2，∴x =√3故选D ．5．函数f (x )={x 2+bx +c,x ≤02,x >0，若f (−4)=f (0)，f (−2)=−2，则关于x 的方程f (x )=x 的解的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】由题知(−4)2+b (−4)+c =c,(−2)2+b (−2)+c =−2，解得b =4，c =2故f (x )={x 2+bx +c,x ≤02,x >0， 当x ≤0时，由f (x )=x 得x 2+4x +2=x ，解得x =−1，或x =−2，即x ≤0时，方程f (x )=x 有两个解．又当x >0时，有x =2适合，故方程f (x )=x 有三个解．故选C ．6．已知函数f (x )={(a −2)x −1,x ≤1log a x ,x >1，若f (x )在(﹣∞,+∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（1，2）B ．（2，3）C ．（2，3]D ．（2，+∞）【答案】对数函数在x >1时是增函数，所以a >1，又f (x )=(a −2)x −1，x ≤1是增函数，∴a >2，并且x =1时(a −2)x −1≤0，即a −3≤0，所以2<a ≤3故选C7．已知函数f (x )={x 2+1,x ≤0−2x,x >0使函数值为5的x 的值是（ ） A ．﹣2 B ．2或﹣ C ．2或﹣2 D ．2或﹣2或﹣【答案】由题意，当x ≤0时，f (x )=x 2+1=5，得x =±2，又x ≤0，所以x =﹣2； 当x >0时，f (x )=−2x =5，得x =−52，舍去．故选A二．填空题（共2小题）8．已知函数f (x )={ax 2+2x +1,−2<x ≤0ax −3,x >0有3个零点，则实数a 的取值范围是 ．【答案】∵函数f (x )={ax 2+2x +1,−2<x ≤0ax −3,x >0有3个零点， ∴a >0 且y =x 2+2x +1在(﹣2，0)上有2个零点，∴{ a >0a (−2)2+2(−2)+1>02<1a <0∆=4−4a >0， 解得34<a <1，故答案为：(34,1)．9．已知函数f (x )={x +4,x <0x −4,x >0，则f [f (−3)]的值为 ．【答案】因为：f (x )={x +4,x <0x −4,x >0， ∴f (−3)=−3+4=1 f [f (−3)]=f (1)=1−4=−3．故答案为：−3．三．解答题（共6小题）10．已知函数f (x )=−x 2+|x|．（1）用分段函数的形式表示该函数并画出函数的图象；（2）求函数的单调区间；（3）求函数的最大值．【答案】【（1）∵f (x )=−x 2+|x |={−x 2−x,x <0−x 2+x,x ≥0 ∴函数f (x )的图象如下图所示：（2）由（1）中函数图象可得：函数f (x )的单调递增区间为：(−∞,−12]和[0,12]，函数f (x )的单调递减区间为：[−12,0]和[−12,+∞)．（3）（2）由（1）中函数图象可得：函数f (x )的最大值为14．11．如图，△OAB 是边长为2的正三角形，记△OAB 位于直线x =t （t >0）左侧的图形的面积为f (t )．试求函数f (t )的解析式，并画出函数y = f (t )的图象．【答案】（1）当0<t≤1时，如图，设直线x=t与△OAB分别交于C、D两点，则|OC|=t，又CDOC =BCOE=√3，∴|CD|=√3t，∴f(t)=12|0C|∙|CD|=12∙t∙√3t=√32t2（2）当1<t≤2时，如图，设直线x=t与△OAB分别交于M、N两点，则|AN|=2−t，又MNAN =BEAE=√3，∴MN=√3(2−t)∴f(t)=12∙2∙√3−12|AN|∙|MN|=√3−√32(2−t)2=−√32t2+2√3t−√3（3）当t>2时，f(t)=√3综上所述f(t)={√32t2,0<t≤1−√32t2+2√3t−√3,1<t≤2√3,t>212．已知函数f (x )={x +2,x ≤−1x 2,−1<x <22x,x ≥2（1）在坐标系中作出函数的图象；（2）若f (a )=12，求a 的取值集合．【答案】-（1）函数f (x )={x +2,x ≤−1x 2,−1<x <22x,x ≥2的图象如下图所示：（2）当a ≤−1时，f (a )=a +2=12，可得：a =−32；当−1<a <2时，f (a )=a 2=12，可得a =±√22； 当a ≥2时，f (a )=2a =12 ，可得：a =14（舍去）；综上所述，a 的取值构成集合为{−32,−√22} 13．已知函数f (x )=2x −1，g (x )={x 2,x ≥0−1,x <0求f[g (x )]和g[f (x )]的解析式． 【答案】当x ≥0时，g (x )=x 2，f [g (x )]=2x 2−1，当x ＜0时，g (x )=−1，f [g (x )]=−3，∴f [g (x )]={2x 2−1,x ≥0−3,x <0∵当2x−1≥0，即x≥12时，g[f(x)]=(2x−1)2，当2x−1＜0，即x<12时，g[f(x)]=−1，∴g[f(x)]={(2x−1)2,x≥12−1,x<1214．设函数f(x)={x2+bx+c,−4≤x<0−x+3,0≤x≤4，且f(−4)=f(0)，f(−2)=−1．（1）求函数f(x)的解析式；（2）画出函数f(x)的图象，并写出函数f(x)的定义域、值域．【答案】（1）∵f(−4)=f(0)，f(−2)=−1，∴16−4b+c=3，4−2b+c=−1，解得：b=4，c=3，∴f(x)={x2+4x+3,−4≤x<0−x+3,0≤x≤4，（2）函数的定义域为[−4，4]，当x<0时，y=x2+4x+3=（x+2）2﹣1由x<0可得，y≥﹣1当x≥0时，y=−x+3≤3∴﹣1≤y≤3∴函数的值域为[−1,3]．其图象如图所示15．已知函数f(x)=−x2+2ax+3,xϵ[−2,4]（1）求函数f(x)的最大值关于a的解析式y=g(a)（2）画出y=g(a)的草图，并求函数y=g(a)的最小值．【答案】（1）函数f(x)的对称轴为x=a，①当a<−2时，∵函数f(x)在[−2,4]上单调递减，∴y=g(a)=f(−2)=−4a−1，②当﹣2≤a≤4时，y=g(a)=f(a)=a2+3，③当a＞4时，∵函数f(x)在[−2,4]上单调递增，∴y=g(a)=f(4)=8a−13，综上有y=g(a)={−4a−1,a<−2a2+3,−2<a≤4 8a−13,a>4，（2）作出y=g(a)的草图如右，观察知当a=1时y=g(a)有最小值4．。
分段函数(定义域、值域)(原卷版)高中数学函数精讲精练 专题09
专题09分段函数（定义域、值域）主要考查：分段函数定义域、值域问题一、单选题1．函数()311x e x f x lnx x ⎧-=⎨≥⎩，＜，，则关于函数()f x 的说法不正确的是（）A ．定义域为RB ．值域为(3,)-+∞C ．在R 上为增函数D ．只有一个零点2．已知函数()211,0,2,0,x x f x x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩则函数y =[](),220m m m +-≤≤上的最大值的取值范围是（）A ．[)2,+∞B ．[]0,2C ．[)1,+∞D ．⎡⎣3．函数()26,[1,2]7,[-1,1)x x f x x x ∈∈⎧+=⎨+⎩,则()f x 的最大值和最小值分别为()A ．10,6B ．10,8C ．8,6D ．10,74．定义运算,,a a b a b b a b≥⎧*=⎨<⎩，例如122*=，那么()sin cos f x x x =*的值域是（）A ．[]1,1-B ．2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2⎡-⎢⎣⎦D．,22⎡-⎢⎣⎦5．若函数22,1()log ,1x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩.则函数()f x 的值域是（）A ．(,2)-∞B ．[0,)+∞C ．[25,1600]x ∈D ．(,2]-∞6．已知(){}2min 2,6,f x x x x x =--，则()f x 的值域是（）A ．(),3-∞B ．(],3-∞C ．[]0,3D ．[)3,+∞7．若在函数定义域的某个区间上定义运算b a b a b a a b <⎧⊗=⎨≥⎩，，，，则函数()()()22131f x x x x =--⊗--，[]02x ∈，的值域是()A ．[]71--，B ．134⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，-1C ．1304⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，D ．[]3-，-18．函数222(03)()6(20)x x x f x x x x ⎧-≤≤=⎨+-≤<⎩的值域是（）A ．R B ．[9,)-+∞C ．[8,1]-D ．[9,1]-二、多选题9．已知函数2,21()2,1x x f x x x ⎧-≤<=⎨-+≥⎩，关于函数()f x 的结论正确的是（）A ．()f x 的定义域为RB ．()f x 的值域为(,4]-∞C ．若()2f x =，则x的值是D ．()1f x <的解集为(1,1)-10．已知函数22,2(),2x x f x x x +<⎧=⎨≥⎩，关于函数()f x 的结论正确的是（）A ．()f x 的定义域是RB ．()f x 的值域是RC ．()f x 为单调递增函数D ．若()4f x =，则2x =±11．已知函数21,0()cos ,0x x f x x x ⎧+=⎨<⎩，， 则下列结论正确的是（）A ．()f x 是偶函数B ．312f f π⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()f x 是增函数D ．()f x 的值域为[1,)-+∞12．已知函数22,1,()32,11x x xf x x x x ⎧+≥⎪⎪=⎨-⎪<⎪-⎩，关于函数()f x 的结论正确的是（）A ．132f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()f x 的值域为RC ．()1f x <的解集为1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．()f x的单调减区间为(-∞三、填空题13．函数2,01()2,123,2x x f x x x ≤≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩的定义域是________.14．函数22,1()log ,1x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩的值域为____________．15．已知函数11,0,()1,0,2x x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨->⎪⎩则()f x 的最大值是______．16．函数2()2g x x =-，()4,()()(),()g x x x g x f x g x x x g x ++<⎧=⎨-≥⎩，则()f x 的值域是______________.四、解答题17．把下列函数写成分段函数的形式，求出定义域和值域并作出函数图像：（1）|1|y x =-；（2）|23|1y x =+-.18．已知函数1,01,23(),12,44515,2.422x x xf x x x x ⎧<<⎪⎪⎪=-<⎨⎪⎪-<⎪⎩（1）求()f x 的定义域，值域；（2）求()()1ff ；（3）解不等式114()f x +>.19．设函数(]()2,0,1()2,1,a x x f x x x ax x ⎧+∈⎪=⎨⎪-++∈+∞⎩，a R ∈.（1）若()f x 在()0,∞+上是单调函数，求a 的取值范围；（2）求()f x 在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值()g a .20．已知函数()23,123,25x x f x x x ⎧--≤≤=⎨-<≤⎩，（1）在平面直角坐标系中画出函数()f x 的图象；（2）写出函数()f x 的单调区间和值域.21．已知函数()()0,1xf x a b a a =+>≠的图象经过()00O ，和()28A ，两点（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()()()31,012log 1,02f x x g x f x x ⎧+≤⎪=⎨++>⎪⎩，求()g x 的值域.22．已知函数4111,022()121,12x x x f x x -⎧+<<⎪⎪=⎨⎪+≤<⎪⎩.（1）若()18f m =+，求实数m 的值；（2）求函数()f x 的值域.。
高一数学分段函数的单调性(含答案)
分段函数的单调性一、单选题(共10道，每道10分)1.若是上的增函数，则实数的取值范围是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：分段函数的单调性2.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：分段函数的单调性3.已知是上的单调递增函数，则实数a的取值范围是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：分段函数的单调性4.若函数是上的减函数，则实数的取值范围是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：分段函数的单调性5.若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：分段函数的单调性6.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：分段函数的单调性7.已知函数满足：对任意实数，当时，总有，那么实数a的取值范围是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：分段函数的单调性8.已知函数，若，则实数的取值范围是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：分段函数的单调性9.已知函数，若，则实数x的取值范围是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：分段函数的单调性10.已知，若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：分段函数的单调性。
简单的分段函数(1知识点+8题型+强化训练)(教师版)2024-2025学年高一数学上学期必修第一册
3.1.3 简单的分段函数课程标准学习目标（1）通过具体实例, 了解简单的分段函数, 并能简单应用。
（1）了解分段函数的概念;（2） 会求分段函数的解析式或函数值；（3）分段函数的性质与应用.（难点)知识点01 分段函数定义：有些函数在其定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，对应关系不同，这样的函数通常称为分段函数．Eg f(x)=|x|=x, x ≥0―x, x <0，f(x)=(―1)x =―1, x 为奇数1, x 为偶数(x ∈N).【即学即练1】湛江市自来水公司鼓励企业节约用水，按下表规定收取水费，用水量单价（元/吨）不超过40吨的部分 1.8超过40吨的部分2.2求用水量与水费之间的函数关系，并求用水30吨和50吨的水费.解析 设用水量为x 吨，水费为y 元，依题意知当x ≤40时，y =1.8x 元；当x >40时，y =2.2(x ―40)+1.8×40=2.2x ―16元，故用水量与水费之间的函数关系为f (x )= 1.8x , x ≤402.2x ―1.6, x >40，所以f (30)=54，f (50)=109.4，即用水30吨和50吨的水费分别为54元、109.4元.【题型一：求分段函数的函数值】例1．已知函数f (x )=f (x +2),x ≤0x 2―3x +4,x >0，则f (f (―6))=（ ）A ．6B ．4C ．2D ．0【答案】C 【分析】通过函数表达式即可得出f (f (―6))的值.【详解】由题意，在f (x )=f (x +2),x ≤0x 2―3x +4,x >0中，f (f (―6))=f (f (―4))=f (f (―2))=f (f (0))=f (f (2))=f (22―3×2+4)=f (2)=22―3×2+4=2，故选：C.变式1-1．已知函数f (x )=x ―1, x >0x, x =0x+1, x <0那么f(f(3))的值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．5【答案】A【分析】先计算f (3)=3―1=2，从而f [f (3)]=f (2)，由此能求出结果.【详解】解：∵函数f (x )=x ―1,x >0x,x =0x +1,x <0，∴f (3)=3―1=2，f [f (3)]=f (2)=2―1=1.故选：A.变式1-2．已知函数f (x )=f (x ―2),x ≥02x 2―3x,x <0，则f(1)=（ ）A ．14B ．5C ．1D ．-1【答案】B【分析】根据分段函数解析式代入计算可得.【详解】因为f (x )=f (x ―2),x ≥02x 2―3x,x <0，所以f (1)=f (―1)=2×(―1)2―3×(―1)=5.故选：B变式1-3．定义：|a bc d |=ad ―bc ．若f(x)=|ax ―3xx |,x ≥0f(x +3),x <0，f(1)=4，则f(―2020)=（ ）A ．10B ．9C ．8D ．7【答案】A【分析】依题意可得f(x)=ax 2+3x,x ≥0f(x +3),x <0，由f(1)=4求出a 的值，从而得到f (x )的解析式，再根据f(―2020)=f(―2020+673×3)=f(―1)=f(2)代入计算可得.【详解】依题意可得|ax―3xx |=ax 2+3x ，所以f(x)=|ax ―3x x |,x ≥0f(x +3),x <0=ax 2+3x,x ≥0f(x +3),x <0 ，因为f(1)=4，所以f(1)=a +3=4，所以a =1，所以f(x)=x 2+3x,x ≥0f(x +3),x <0，所以f(―2020)=f(―2020+673×3)=f(―1)=f(2)=4+6=10．故选：A ．【方法技巧与总结】根据分段函数求函数值，要注意分段函数中的每段函数中自变量的取值范围.【题型二：根据分段函数求解不等式】例2．设函数f(x)={|x ―1|+1,x ≤11,x >1，则满足f(x +1)<f(2x)的 x 的取值范围是（ ）A ．(―∞ ， ―12]B ．(―∞,12)C ．(―12 ， 0)D ．(―12 ， +∞)【答案】B【分析】化简函数解析式，分区间讨论化简不等式f(x +1)<f(2x)求其解.变式2-1．已知f(x)=1,x⩾0,0,x<0,则不等式xf(x)+x⩽2的解集为（）A．[0,1]B．[0,2]C．(―∞,1]D．(―∞,2]【答案】C【解析】分别讨论x≥0与x<0的情况,进而求解即可【详解】当x≥0时,原不等式可化为x⋅1+x≤2,解得0≤x≤1；当x<0时.原不等式可化为x≤2,所以x<0；综上,原不等式的解集为(―∞,1]故选：C【点睛】本题考查分段函数,考查解不等式,考查分类讨论思想变式2-2．设函数f(x)=x2―4x+6,x≥0x+6,x<0，则不等式f(x)>f(1)的解集是（）A．(―3,1)∪(2,+∞)B．(―3,1)∪(3,+∞)C．(―1,1)∪(3,+∞)D．(―∞,―3)∪(1,3)【答案】B【分析】首先求出f(1)，再结合函数解析式分两段得到不等式组，解得即可.【详解】因为f(x)=x2―4x+6,x≥0x+6,x<0，所以f(1)=12―4+6=3，不等式f(x)>f(1)等价于x≥0x2―4x+6>3或x+6>3x<0，解得0≤x<1或x>3或―3<x<0，所以不等式f (x )>f (1)的解集为(―3,1)∪(3,+∞).故选：B变式2-3．设函数f (x )=x 2+2x,x ≥0―x 2+2x,x <0，若f (f (a ))≥3，则实数a 的取值范围是（ ）A ．―1,+∞)B ．(―∞,――1]C ．[―3,1]D ．[1,+∞)【方法技巧与总结】根据分段函数求解不等式，要注意好分类讨论，找准分类讨论的标准，做到不重不漏.【题型三：根据分段函数所得方程求参数或自变量】例3．已知函数f (x )=(x ―1)2,0<x <22(x ―2),x ≥2，若f (a )=f (a +2)，则f (a +=（ ）A ．0B ．C ．0或D ．4―变式3-1．已知函数f(x)=x,x<02x,x≥0，若f(m)=―f(1)，则m=（）A．―2B．―1C．―4D．2【答案】A【分析】先求出f(1)=2，然后分类讨论代入函数解析式列式求解即可.【详解】由题意可得f(1)=2.当m≥0时，f(m)=2m=―f(1)=―2，解得m=―1，舍去；当m<0时，f(m)=m=―f(1)=―2，解得m=―2，满足题意.所以m=―2.故选：A变式3-2．设f(x)=<x<11),x>1，若f(a)=f(a+1)，则=（）A．2B．4C．6D．8变式3-3．已知函数f(x)=x2+x，0<x<2―2x+8，x≥2，若f(a)=f(a+2)，a∈(0,+∞)，则=（）A．2B．516C．6D．172【答案】A【分析】根据分段函数，分0<a<2，a≥2，由f(a)=f(a+2)求解.【详解】因为函数f(x)=x2+x，0<x<2―2x+8，x≥2，且f(a)=f(a+2)，a∈(0,+∞)，【方法技巧与总结】根据分段函数的函数值所得的方程求其中的参数或自变量，要注意变量的取值范围，作好分类讨论.【题型四：求分段函数的解析式】例4．如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x=t(0≤t≤2)左侧的图形的面积为f (t)．则函数y=f(t)的图象大致为（）A．B．C．D．变式4-1．已知边长为1的正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，动点P 在正方形ABCD 边上沿A→B→C→E 运动．设点P 经过的路程为x ．△APE 的面积为y ．则y 与x 的函数图象大致为图中的（ ）A ．B ．C ．D ．变式4-2．在同一平面直角坐标系中，函数y =f (x )和y =g (x )的图象关于直线y =x 对称．现将y =g (x )的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移1个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示），则函数f (x )的表达式为（ ）A ．f (x )=2x +2,―1≤x ≤0x 2+2,0<x ≤2B ．f (x )=2x ―2,―1≤x ≤0x 2―2,0<x ≤2C ．f (x )=2x ―2,1≤x ≤2x 2+1,2<x ≤4D ．f (x )=2x ―6,1≤x ≤2x 2―3,2<x ≤4故选：A【方法技巧与总结】求分段函数的解析式，要抓好分段自变量的临界点以及对应的区间范围！【题型五：画具体分段函数的图象】例5．将函数y =|―x 2+1|+2向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图像为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据题意，将函数化为分段函数的形式，得到其大致图像，即可判断平移之后的函数图像.【详解】因为y =3―x 2,x ∈[―1,1]x 2+1,x ∈(―∞,―1)∪(1,+∞)，可得函数的大致图像如图所示，将其向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得函数图像为C 选项中的图像.故选：C变式5-1．已知f(x)={x +1,x ∈[―1,0)x 2+1,x ∈[0,1]，则函数y =f(―x)的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先画函数f(x)的图象，再根据函数f(x)的图象与f(―x)的图象关于y 轴对称，即可选出正确选项.【详解】先画函数f(x)={x +1,x ∈[―1,0)x 2+1,x ∈[0,1]的图象，如下图：因为函数f(x)的图象与f(―x)的图象关于y 轴对称，只有A 选项的图象符合.故选：A.【点睛】本题主要考查分段函数的画法，同时考查函数有关对称性的知识，解题的关键是把原函数的图象画出，那么对称函数的图象随之可得.变式5-2．函数f (x )=x|x |―1的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．变式5-3．设函数f (x )=|x ―1|―2|x +1|．(1)作出函数f (x )的图象；(2)若f (x )的最大值为m ，正实数a,b,c 满足ab +2b 2+3ac +6bc =m ，求a +3b +3c 的最小值．（2）由（1）可知：当x =―1时，∴ab +2b 2+3ac +6bc =2，即∴a +3b +3c =(a +2b )+(b +a +b =3c 时等号成立），∴(a +3b +3c )min =22.【方法技巧与总结】画含绝对值的函数图象，可以利用|x |=x,x ≥0―x,x <0，把函数转化为分段函数，再把分段函数画出.【题型六：与分段函数有关的值域问题】例6．已知函数f (x )=―1x,x <c x 2―x,c ≤x ≤2，若f (x )值域为―14,2，则实数c 的取值范围是（ ）A ．[―1,0]B ．―12,0C ．―1,―D ．―∞,变式6-1．已知函数f (x )=(3a ―1)x +4a,x <2x +1,x ≥2的值域为R ，则a 的取值范围是（ ）AB+∞C ．―∞D +∞变式6-2．已知函数f (x )=(1―2a )x +3a,x <1x ―1x,x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是（ ）A ．(―∞,―1]B ．―C ．―D ．(0,1)变式6-3．已知函数f (x )=1―x,―1≤x <0|x ―1|,0≤x ≤a的值域是[0,2]，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(0,1]B ．[1,3]C ．[1,2]D ．[2,3]【答案】B【分析】先求出当―1≤x <0时，f (x )的值域为(1,2].由题意可知，当0≤x ≤a 时，f (x )=|x ―1|=0有解，此时x =1，所以1∈[0,a ]，故a ≥1，然后根据f (x )=|x ―1|的单调性对a 分1≤a ≤2和a >2两种情况进行讨论即可求解.【详解】解：由题意，当―1≤x <0时，f (x )=1―x ∈(1,2]，又函数f (x )=1―x,―1≤x <0|x ―1|,0≤x ≤a的值域是[0,2]，当0≤x ≤a 时，f (x )=|x ―1|=0有解，此时x =1，所以1∈[0,a ]，所以a ≥1，当a ≥1时，f (x )=|x ―1|=1―x,0≤x ≤1x ―1,1<x ≤a在[0,1]上单调递减，在[1,a ]上单调递增，又f (0)=1,f (1)=0,f (a )=|a ―1|，①若1≤a ≤2，则|a ―1|≤1，所以f (x )∈[0,1]，此时[0,1]∪(1,2]=[0,2]，符合题意；②若a >2，则|a ―1|>1，所以f (x )∈[0,|a ―1|]，要使[0,|a ―1|]∪(1,2]=[0,2]，只须|a ―1|≤2，即2<a ≤3；综上，1≤a ≤3.故选：B.【方法技巧与总结】1 处理与分段函数有关的值域问题，往往可以采取数形结合或分离讨论的方法，在其中函数的单调性往往很重要.2 对于分段函数的值域，应该是两段的值域并到一起，定义域也是两段并到一起，单调区间也是两段的区间总和．二次函数找最值一般情况要和对称轴比较，讨论轴和区间的关系．【题型七：与分段函数的最值问题】例7．已知函数f(x)=x 2―2ax ―2,x ≤2,x +36x―6a,x >2,若f(x)的最小值为f(2)，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[2,5]B ．[2,+∞)C ．[2,6]D ．(―∞,5]当x ≤2时，f(x)=x 2―2ax ―2，要使得函数f(x)的最小值为f(2)，则满足a ≥2,f(2)=2―4a ≤12―6a,解得2≤a ≤5．故选：A ．变式7-1．函数f (x )=(1―x )|x ―3|在(―∞,t )上取得最小值―1，则实数t 的取值范围是A ．(―∞,2)B ．[2―C ．[2,2D ．[2,+∞)【点睛】本题考查零点分段法得分段函数，以及图象法解决函数最值问题变式7-2．设f (x )=(x -a )2,x ≤0x +1x+a +4,x >0，若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为（ ）A ．[0,3]B ．(0,3)C ．(0,3]D ．[0,3)【答案】A【分析】利用基本不等式可求得f 得出实数a 的取值范围.因此，实数a 的取值范围是[0,3].故选：A.变式7-3．已知f (x )=1―|x +1|,x <0x 2―2x,x ≥0，若实数m ∈[―2,0]，则|f (x )―f 在区间[m,m +1]上的最大值的取值范围是（ ）A B C D 因为f ―12=1―|―12+1因为m ∈[―2,0]，所以[m,m |f (x )―f―12|表示函数f (由图可知，当x =1时，|f (x 当m ∈[―2,―1]时，―1∈【方法技巧与总结】1 处理与分段函数有关的最值问题，往往可以采取数形结合或分离讨论的方法，在其中函数的单调性往往很重要；2 结合分段函数的图象的话，要把问题进行等价转化，注意如何才能使得图象取到最值或在哪里取到等.【题型八：其他分段函数的性质及应用】例8．定义max a，b=a，a≥bb，a<b，若函数f(x)=max―x2+3x，|x―3|，若f(x)在区间[m,n]上的值域3，则区间[m,n]长度的最大值为（）A．6B．52C．72D．74变式8-1．已知函数f(x)=x2―8x+8,x≥02x+4,x<0．若互不相等的实根x1,x2,x3满足f(x1)=f(x2)=f(x3)，则x1+x2+x3的范围是（）A．(2,8)B．(―8,4)C．(―6,0)D．(―6,8)【答案】A【分析】根据函数图象有三个实数根的函数值在(―8,4)之间，第一段函数关于x =4对称，即可求出x 2+x 3=8，再根据图象得到x 1的取值范围，即可得到答案.【详解】根据函数的解析式可得如下图象若互不相等的实根x 1,x 2,x 3满足f (x 1)=f (x 2)=f (x 3)，根据图象可得x 2与x 3关于x =4，则x 2+x 3=8，当2x 1+4=―8时，则x 1=―6是满足题意的x 1的最小值，且x 1满足―6<x 1<0，则x 1+x 2+x 3的范围是(2,8).故选：A.变式8-2．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名函数y =D (x )=1,x 为有理数0,x 为无理数，该函数被称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数有如下四个命题：①D (D (x ))=0；②对任意x ∈R ，恒有D (x )=D (―x )成立；③任取一个不为零的有理数T ，D (x +T )=D (x )对任意实数x 均成立；④存在三个点A (x 1,D (x 1))，B (x 2,D (x 2))，C (x 3,D (x 3))，使得△ABC 为等边三角形；其中正确的序号为（ ）A ．①②③B ．②③④C ．②④D ．①②③【答案】B【分析】根据狄利克雷函数的定义分别验证x 为无理数和为有理数两种情况，判断①②③；结合狄利克雷函数的定义找特殊点验证④.【详解】对①，当x 为无理数时，D (x )=0，所以D (D (x ))=D (0)=1，当x 为有理数时，D (x )=1，所以D (D (x ))=D (1)=1，所以对任意x ∈R ，恒由D (D (x ))=1，所以①错误；对②，当x 为无理数时，―x 为无理数，所以D (x )=D (―x )=0，当x 为有理数时，―x 为有理数，所以 D (x )=D (―x )=1，所以②正确；对③，任取一个不为零的有理数T ，当x 为无理数时，则x +T 为无理数，变式8-3．已知函数f(x)=ax2―x,x≥―1,―x+a,x<―1.若∃x1，x2∈R，且x1≠x2，使得f(x1)=f(x2)成立，则实数a的取值范围是．所以函数在―∞,12a上单调递减，在所以∃x1，x2∈R，且x1≠x当a<0时：当x≥―1时，函数的开口下，对称轴①当―1<1<0，即a<―由此可知∃x 1，x 2∈R ，且②当12a ≤―1时，即―12≤此时函数的大致图象如图所示：易知函数在R 上单调递减，所以不存在x 1,x 2∈R ，且x 综上，a 的取值范围为：故答案为：―∞,―1∪(0,【方法技巧与总结】处理与分段函数有关的函数性质问题，往往可以采取数形结合或分离讨论的方法，在其中掌握函数的单调性是关键.一、单选题1．已知函数f(x)=2x ,x >0f(x +2),x ≤0，则f (―3)=（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】B【分析】根据分段函数解析式，代入求值即可.【详解】由函数可得，f(―3)=f(―1)=f(1)=21=2.故选：B.2.已知f(x)=―x 2+2x,x≥0x2+2x,x<0，满足f(a)<f(―a)，则a的取值范围是（）A．(―∞,―2)∪(0,2)B．(―∞,―2)∪(2,+∞)C．(―2,0)∪(0,2)D．(―2,0)∪(2,+∞)A．―1B．―2C．―3D．―4所以a≥0⇒f(a)=|a―1|=所以f(―2a)=f(―1)=―2.故选：B4.如图所示，在直角坐标系的第一象限内，个三角形可得位于此直线左方的图象的面积为f(t)，则函数y=f(t)的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．5.已知函数f (x )=x 2―1，x >1，若n >m ，且f (n )=f (m )，设t =n ―m ，则t 的最大值为（ ）A ．1912B ―1C ．1712D ．43【答案】C【分析】借助分段函数f(x)图象得出m,n 的范围，由m,n 的关系，化t =n ―m 为关于n 的二次函数，由此可得最大值．【详解】作出函数f (x )=3x +1，x ≤1x 2―1，x >1的图象如下图，f(1)=4，令f(x)=4，解得若n>m，且f(n)=f(m可得3m+1=n2―1，可得则t=n―m=n―13(n2对称轴为n=32，3（）A．∀x∈[0,+∞),f(x―2)>f(x)B．∀x∈[1,+∞),f(x―2)>f(x)C．∀x∈R,f(f(x))≤f(x)D．∀x∈R,f(f(x))>f(x)【答案】C【分析】分别画出y=|x―2|,y=x2,y=|x+2|的图象，分别判断四个选项，结合图象即可选出正确选项.【详解】解:如图所示:由题意可得A中，f(x)=x2,x∈[0,1]|x―2|,x∈(1,+∞).B中，当1≤x≤2时，﹣1≤x﹣2≤0，f(x―2)＝f(2―x)≤2―x＝f(x).当2＜x≤3时，0＜x―2≤1，f(x―2)≤x―2=f(x).当3＜x≤4时，1<x―2≤2，f(x―2)=2―(x―2)=4―x≤x―2=f(x).当x≤4,x―2≥2，恒有f(x―2)<f(x)，所以B不正确，A也不正确；C中，从图象上看，x∈[0,+∞),f(x)≤x.令t=f(x)，则t≥0所以f(t)≤t，即f(f(x))≤f(x)，故C正确，D不正确.故选:C.【点睛】本题考查了函数图象的应用，考查了分段函数.本题关键是分别画出三个函数的图象.在画y=|f(x)|的函数图象时，一般地，先画出y=f(x)的图象，再将x轴下方的图象向上翻折即可.7.设函数f(x)=(x―a)2，x≤0x2―2x+3+a，x>0，若f(0)是函数f(x)的最小值，则实数a的取值范围是() A．[﹣1，2]B．(―1,2)C．[0,2)D．[0，2]【答案】D【分析】通过分类讨论a的取值范围，并利用一元二次函数的性质即可求解.【详解】由题意，不妨设g(x)=(x―a)2，ℎ(x)=x2―2x+3+a，①当a<0时，由一元二次函数的性质可知，g(x)=(x―a)2在[a,0]上单调递增，故对于∀x∈[a,0]，f(x)=g(x)<g(0)=f(0)，这与f(0)是函数f(x)的最小值矛盾；②当a=0时，g(x)=x2，ℎ(x)=x2―2x+3=(x―1)2+2，由一元二次函数的性质可知，g(x)=x2在(―∞,0]单调递减，故对于∀x∈(―∞,0]，f(x)=g(x)>g(0)=f(0)=0，当x>0时，f(x)=ℎ(x)=x2―2x+3=(x―1)2+2在x=1时取得最小值2，从而当a=0时，满足f(0)是函数f(x)的最小值；③当a>0时，由一元二次函数性质，g(x)=(x―a)2在(―∞,0]上单调递减，故对于∀x∈(―∞,0]，f(x)=g(x)>g(0)=f(0)=a2，当x>0时，f(x)=ℎ(x)=x2―2x+3=(x―1)2+2+a在x=1时取得最小值2+a，若使f(0)是函数f(x)的最小值，只需a2≤2+a且a>0，解得，0<a≤2.综上所述，实数a的取值范围是[0,2].故选：D.8.设函数y=f(x)在R上有定义，对于任一给定的正数p，定义f p(x)=f(x),f(x)>pp,f(x)≤p则称函数y=f p(x)为y=f(x)的“p下界函数”．若给定f(x)=x2―2x―1，p=2，则下列结论不正确的是（）A．f p(f(0))>f f p(0)B．f p(f(1))>f f p(1)C．f(f(2))=f p f p(2)D．f(f(3))>f p f p(3)【答案】D【分析】根据已知条件求出f2(x)的解析式，再分别求函数值即可得正确选项.【详解】因为f(x)=x2―2x―1，p=2，由f(x)>p即x2―2x―1>2，可得x2―2x―3>0，解得：x<―1或x>3，由f(x)<p即x2―2x―1<2，可得x2―2x―3<0，解得：―1<x<3，所以f2(x)=x2―2x―1,x∈(―∞,―1)∪(3,+∞)2,x∈[―1,3]对于A：f(0)=―1，f2(f(0))=f2(―1)=2，f2(0)=2，f f p(0)=f(2)=―1，所以f p(f(0))>f f p(0)成立，对于B：f(1)=―2，f2(f(1))=f2(―2)=(―2)2―2×(―2)―1=7，f2(1)=2，f(f2(1))=f(2)=22―2×2―1=―1，所以f p(f(1))>f f p(1)成立，对于C：f(2)=22―2×2―1=―1，f(f(2))=f(―1)=(―1)2―2×(―1)―1=2，f2(2)=2，f2(f2(2))=f2(2)=2，所以f(f(2))=f p f p(2)成立，对于D：f(3)=32―2×3―1=2，f(f(3))=f(2)=―1，f2(3)=2，f2(f2(3))=f2(2)=2，所以f(f(3))>f p f p(3)不成立，所以选项D不正确，故选：D.二、多选题9．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费办法如下表：每户每月用水量x(m3)水价不超过12m3的部分3元/m3超过12m3但不超过18m3的部分6元/m3超过18m3的部分9元/m3则下列说法正确的是（）A．若某户居民某月用水量为10m3，则该用户应缴纳水费30元B．若某户居民某月用水量为16m3，则该用户应缴纳水费96元C．若某户居民某月缴纳水费54元，则该用户该月用水量为15m3D．若甲、乙两户居民某月共缴纳水费93元，且甲户该月用水量未超过12m3，乙户该月用水量未超过18m3，则该月甲户用水量为9m3（甲，乙两户的月用水量均为整数）【答案】AC【分析】根据表格中的“阶梯水价”，逐一选项进行计算并判断正误即可【详解】对于A选项，居民用水量未超过12m3，则按3元/m3计算，故应缴水费为3×10=30元，故A 选项正确；对于B选项，居民用水量超过12m3，但未超过18m3，因此其中12m3，按3元/m3计算；剩余的4m3，按6元/m3计算；故应缴水费为3×12+4×6=60元，故B选项错误；对于C选项，根据居民所缴水费，可以判断居民用水量超过12m3，但未超过18m3，设居民用水量为x，则有3×12+6×(x―12)=54，解得：x=15，故C选项正确；对于D选项，根据题意，设甲居民用水量为x，乙居民用水量为y，则根据已知条件可得：3x+3×12+6 (y―12)=93，整理可得：x+2y=43.通过方程无法确定甲居民用水量一定为9m3，故D选项错误.故选：AC10.已知函数f(x)=2x 2,x≥1f(x+1),x<1，则下列正确的是（）A．f[f(0)]=8B．f[f(1)]D．f(x)的值域为C．f=81211.已知全集为R，对于给定数集A，定义函数f(x)=1,x0,x∉A为集合A的特征函数，若函数f(x)是数集A 的特征函数，函数g(x)是数集B的特征函数，则（）A．y=f(x)g(x)是数集A∩B的特征函数B．y=f(x)+g(x)―f(x)g(x)是数集A∪B的特征函数C．y=f(x)―f(x)g(x)是数集A∩(∁R B)的特征函数D．y=f(x)+g(x)―2f(x)g(x)是集合∁R(A∩B)的特征函数【答案】ABC【分析】根据特征函数的定义，一一验证选项中的函数是否满足特征函数的定义，即可判断出答案.【详解】对于A，由集合A的特征函数的定义可知A不为空集，则A∩B不为空集，如图示：Ⅰ部分表示A∩B，Ⅱ表示A∩(∁R B)，Ⅲ表示表示B∩(∁R A)，Ⅳ表示(∁R A)∩(∁R B)，，当x∈A∩B时，f(x)=1,g(x)=1，故f(x)g(x)=1，当x∉A∩B时，f(x),g(x)中至少有一个为0,，此时f(x)g(x)=0，符合特征函数的定义，即y=f(x)g(x)是数集A∩B的特征函数，A正确；对于B，当x∈A∪B时，如上图，若x取值在Ⅰ部分，则f(x)=1,g(x)=1，则f(x)+g(x)―f(x)g(x)=1；若x取值在Ⅱ部分，则f(x)=1,g(x)=0，则f(x)+g(x)―f(x)g(x)=1；若x取值在Ⅲ部分，则f(x)=0,g(x)=1，则f(x)+g(x)―f(x)g(x)=1，当x ∉A ∪B 时，f (x )=0,g (x )=0，则f (x )+g (x )―f (x )g (x )=0，符合特征函数的定义，即y =f (x )+g (x )―f (x )g (x )是数集A ∪B 的特征函数，B 正确；对于C ，当x ∈A ∩(∁R B )时，f (x )=1,g (x )=0，则f(x)―f(x)g(x)=1；当x ∉A ∩(∁R B )时，即x 取值在Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ部分，若x 取值在Ⅰ部分，f (x )=1,g (x )=1，则f(x)―f(x)g(x)=0，若x 取值在Ⅲ部分，f (x )=0,g (x )=1，则f(x)―f(x)g(x)=0，若x 取值在Ⅳ部分，f (x )=0,g (x )=0，则f(x)―f(x)g(x)=0，故此时符合特征函数的定义，即y =f(x)―f(x)g(x)是数集A ∩(∁R B )的特征函数，C 正确；对于D ，当x ∈∁R (A ∩B )时，即x 取值在Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ部分，当x 取值在上图中Ⅳ部分时，此时f (x )=0,g (x )=0，则f(x)+g(x)―2f(x)g(x)=0，不符合特征函数定义，故y =f(x)+g(x)―2f(x)g(x)不是集合∁R (A ∩B)的特征函数，D 错误，故选：ABC【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于要理解集合A 的特征函数的定义，明确其含义，从而结合定义去判断一个函数是否为一个数集的特征函数.三、填空题12．已知f (x )=2x 2+3,x ∈[―6,―1)1x,x ∈[―1,1)x,x ∈[1,6]则f = ．min {f (x ),g (x )}，则M (x )的最大值为 .【答案】3【分析】作出函数f (x ),g (x )的图象，根据定义作出M (x )的图象，求出交点B 的坐标即可得解.【详解】作出函数f (x ),g (x )的图象如图：根据定义可得M (x )的图象如图：由y =x +2y =4―x 2解得x =―2y =0 或x =1y =3，得B (1,3)，所以M (x )的最大值为3.故答案为：314.已知关于实数t (―1≤t ≤1)的方程|t ―t 1|+|t ―t 2|=m 和|t ―t 1|―|t ―t 2|=n 对任意t 1,t 2 (―1≤t 2≤t 1≤1)有解，则m +n 的值的集合为 ．【答案】{2}【分析】构造函数g (t )=|t ―t 1|+|t ―t 2|与ℎ(t )=|t ―t 1|―|t ―t 2|，分类讨论t 的取值范围，分别作出g (t ),ℎ(t )的图像，分析它们的值域，从而确定m,n 的值，由此得解.【详解】因为―1≤t 2≤t 1≤1，则0≤t 1―t 2≤2，令g (t )=|t ―t 1|+|t ―t 2|=―2t +t 1+t 2,―1≤t ≤t 2t 1―t 2,t 2<t <t 12t ―t 1―t 2,t 1≤t ≤1，其图象如图所示，其值域为[t 1―t 2,max {―2t +t 1+t 2,2t ―t 1―t 2}]，由t 1―t 2∈[0,2]可知m ≥2；由(―2t +t 1+t 2)max ≥2或(2t ―t 1―t 2)max ≥2可知m ≤2；所以m =2．令ℎ(t )=|t ―t 1|―|t ―t 2|=t 1―t 2,―1≤t ≤t 2t 1+t 2―2t,t 2<t <t 1t 2―t 1,t 1≤t ≤1，其图象如图所示，其值域为[t 2―t 1,t 1―t 2]，由t 2―t 1≤0可知n ≥0；由t 1―t 2≥0可知n ≤0；所以n =0．综上：m =2,n =0,m +n =2，故答案为：{2}．四、解答题15．已知函数f (x )的解析式为f (x )=3x +5,x ≤0x +5,0<x ≤1―2x +8,x >1.(1)求 f (―1)的值；(2)画出这个函数的图象；在函数y =3x +5的图象上截取在函数y =x +5的图象上截取在函数y =―2x +8的图象上截取图中实线组成的图形就是函数16.已知函数f(x)=2|x―2|+|x+1|.(2)请根据f(x)的图像直接写出f(x)>4的解集（无需说明理由）..（2）由题得，当x<―1时，当―1≤x≤2时，―x+5>当x>2时，3x―3>4，解得综上，f(x)>4的解集为x|x17.水培植物需要一种植物专用营养液，已知每投放浓度y(克/升)随着时间x(天)变化的函数关系式近似为y =af(x)，其中f(x)=2+x6―x ，x ∈[0，4]5―12x ，x ∈(4，10] ，若多次投放，则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于4(克/升)时，它才能有效．(1)若只投放一次4个单位的营养液，则有效时间最多可能持续几天？(2)若先投放2个单位的营养液，6天后再投放m 个单位的营养液，要使接下来的4天中，营养液能够持续有效，试求m 的最小值．(x )[0,1](x )(x )0<m <1），存在x 0∈[0,1―m ]，使得f (x 0)=f (x 0+m )，则称f (x )具有性质P (m )．(1)已知函数f (x )=x ，x ∈[0,1]，判断f (x )是否具有性质(2)已知函数f(x)=―4x+1,0≤x≤144x―1,14<x<34―4x+5,34≤x≤1，若f(x)具有性质P(m)，求m的最大值.19．已知集合A为数集，定义f A(x)=1,x∈A0,x∈A.若A,B⊆{x|x≤8,x∈N∗}，定义：d(A,B)=|f A(1)―f B(1)| +|f A(2)―f B(2)|+⋅⋅⋅+|f A(8)―f B(8)|.(1)已知集合A={1,2}，直接写出f A(1)，f A(2)及f A(8)的值；(2)已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，C=∅，求d(A,B)，d(A,C)的值；(3)若A,B,C⊆{x∣x≤8,x∈N*}.求证：d(A,B)+d(A,C)≥d(B,C).【答案】(1)f A(1)=1,f A(2)=1,f A(8)=0;(2)d(A,B)=2，d(A,C)=3;(3)详见解析【分析】（1）利用题给f A(x)=1,x∈A0,x∈A定义即可求得f A(1)，f A(2)及f A(8)的值；（2）利用题给d(A,B)定义即可求得d(A,B)，d(A,C)的值；（3）先转化d(A,B)的含义，再利用文氏图即可证得d(A,B)+d(A,C)≥d(B,C)成立.【详解】（1）集合A={1,2}，f A(x)=1,x∈A 0,x∈A则f A(1)=1，f A(2)=1，f A(8)=0（2）集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，C=∅，d(A,B)=|f A(1)―f B(1)|+|f A(2)―f B(2)|+⋅⋅⋅+|f A(8)―f B(8)|=|1―0|+|1―1|+|1―1|+|0―1|+|0―0|+|0―0|+|0―0|+|0―0|=2 d(A,C)=|f A(1)―f C(1)|+|f A(2)―f C(2)|+⋅⋅⋅+|f A(8)―f C(8)|=|1―0|+|1―0|+|1―0|+|0―0|+|0―0|+|0―0|+|0―0|+|0―0|=3（3）由d(A,B)=|f A(1)―f B(1)|+|f A(2)―f B(2)|+⋅⋅⋅+|f A(8)―f B(8)|，可得d(A,B)的值即为两集合A,B中相异元素个数，定义Card(A)为集合A中元素个数，则d(A,B)=Card({x|x∈A∪B,x∉A∩B})令M,N,P,Q,R,S,T⊆{x|x≤8,x∈N∗}，M∩N∩P∩Q∩R∩S∩T=∅，A=M∪N∪R∪S,B=N∪P∪Q∪R,C=Q∪R∪S∪T,则d(A,B)=Card(M)+Card(P)+Card(Q)+Card(S)d(A,C)=Card(M)+Card(N)+Card(Q)+Card(T)d(B,C)=Card(N)+Card(P)+Card(S)+Card(T)则d(A,B)+d(A,C)=2Card(M)+Card(N)+Card(P)+2Card(Q)+Card(S)+Card(T)d(A,B)+d(A,C)―d(B,C)=2Card(M)+2Card(Q)≥0，故有d(A,B)+d(A,C)≥d(B,C).。
高一数学分段函数练习题.docx
高三 数 学 分 段 函 数 练 习 题知识点： 1、分段函数的定义在函数定义域内， 对于自变量 x 的不同取值范围， 有着不同的对应法则， 这样的函数叫做分段函数；2、分段函数定义域，值域；分段函数定义域各段定义域的并集，其值域是各段值域的 并 集 (填“并”或“交” ) 3、分段函数图象画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象；练习：1、设f ( x)2e x 1,x 2，则 f ( f (2)) 的值为（）log 3 x 2 1 , x 2A. 0B.1C.2D.3| x 1 | 2,| x | 1 12、设 f(x)=1 2 ，|x |1 ，则 f[f( )]=()1 x2A.1 B.4 C. －9 D.252135413、 (2009 山东卷 ) 定义在 R 上的函数log 2 (4 x), x 0f ( x) 满足 f ( x) =1) f (x 2), x，f ( x则 f (3) 的值为（ ）A ． -1B. -2C. 1D. 21 x4)，则 f (log 2 3)4、给出函数f (x)( 2 ) 1)(x（）f ( x ( x 4)A.-23B.1 C.1 D.1 81119245、函数 f ( x)sin( x 2 ), 1 x 0, 1f a 2, 则 a 的所有可能值为（ex 1, x 0., 若 f）A.1B.6、（ 2009 天津卷）设函数2 C. 1，2 D.12,222x 2 4x 6, x 0 f ( x)f (1) 的解集是（f ( x)6, x ，则不等式）x 0A. ( 3,1) (3,)B. ( 3,1) (2, )C. (1,1) (3, )D. (, 3) (1,3)2 x 1,x0,7、设函数f (x)1若f (x 0 ) 1 ，则 x 0 的取值范围是（）x 2 ,xA ． ( 1,1)B ． (-1, )C ．( , 2) (0, )D ．( , 1) (1,)8、设函数 f ( x)x 2 bx c( x 0)，若 f ( 4) f (0), f ( 2) 2 ，则关于 x 的方程 f (x)x2( x 0)的解的个数为（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4f (x)log 2 x( x 0)，若 f (a) f ( a) ，则实数 a 的取值范围是 （9、（2010 天津卷）设函数log 1 ( x) ( x 0) ）2A ． ( 1,0) (0,1)B ．(, 1) (1, )C ． ( 1,0) (1,)D ． (, 1) (0,1)lg x , (0 x 10)10、（ 2010 全国卷）已知函数 f ( x) 1 x 6,( x，若 a,b,c 互不相等，且10)2f (a)f (b)f (c) ，则实数 abc 的取值范围是（）A ． (1,10)B ． (5,6)C ． (10,12)D ． ( 20,24)11、（ 2010 天津卷）设函数 g(x)x22( x g(x) x 4, x g( x) R) ， f ( x)g( x) x ,x，则 f (x) 的g( x)值域是（ ）A ． [9,0] (1, )B ．43 xa( x 0)12、设 f ( x)1)( x，若f ( x 0)[0, )C ．[9,) D ．[ 9,0](2, )44f (x)x 有且仅有三个解，则实数a 的取值范围是（）A ． [1,2]B ．,2 C ． 1,D ． ,1x 2 2, (x 2)则 f( －4)=___________,若 f(x 0 ，则2)2 x, ( xlog 2 x 1 , x 0, 。
分段函数习题
分段函数习题(共12页) --本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--分段函数解析式、求值一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知函数2,0()31,0x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩，则(1)(2)f f -+的值为（ ）A ．6B ．5C ．1D ．02．已知函数2log ,0,()3,0,xx x f x x >⎧=⎨≤⎩则14f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是（ ） A ．27B ．9C ．127D ．193．已知函数21log (2),1()2,1xx x f x x +-<⎧=⎨≥⎩，则2(2)(log 6)f f -+=（ ） A ．3B ．6C ．9D ．124．已知函数()()()log 0 10a x x x f x b x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩，且()92f =，()13f -=，则()3f f -=⎡⎤⎣⎦（ ）A ．12B ．12-C ．2D ．-25．设函数3,10,()((5)),10,x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩则(7)f 的值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．86．函数4,0()(),0x t x f x g x x ⎧+≥=⎨<⎩为定义在R 上的奇函数，则21log 3f ⎛⎫ ⎪⎝⎭等于（ ） A ．23B ．-9C ．-8D ．13-7．设函数()()22,03,0x x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则()9f 的值为（ ）A ．7-B ．1-C ．0D ．128．已知函数()()21log 4,4{12,4x x x f x x --<=+≥则()()20log 32f f +=（ ） A ．19B ．17C ．15D ．139．已知函数()()2,11,1x x f x f x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()2log 7f =（ ）A ．32B ．74C ．2D ．9410．若函数()()f x x R ∈是周期为4的奇函数，且在[]0,2上的解析式为()()()1,01cos ,12x x x f x x x π⎧-≤≤=⎨<≤⎩，则112223f f ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（ ） A ．49-B ．49C ．19-D ．29-11．已知函数()f x 的定义域为(),-∞+∞，如果()2sin ,02016lg(),0x x f x x x ⎧≥⎪+=⎨-<⎪⎩，那么(2016)(7984)4f f π+⋅-=（ ）A ．2016B ．14C ．4D ．1201612．已知函数()f x 满足()()6f x f x =+，当(]0,6x ∈时，()2cos ,0335log ,362x x f x x x π⎧<≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，则32f f ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭等于（ ） A ．12B ．12-C ．32-D ．32二．填空题13．若函数21,0()241,0xx f x x x x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+≥⎩，则((2))f f =_______． 14．若函数lg ,0(),0x x x f x a b x >⎧=⎨+≤⎩且(0)3f =，(1)4f -=，则((3))f f -=______15．如图所示，已知函数在区间(1,2]-上的图象，则此函数的解析式()f x =_____16．定义在R 上的函数()f x 满足()()6.f x f x +=当[)3,3x ∈-时，()()22,31,13x x f x x x ⎧-+-≤<-⎪=⎨-≤<⎪⎩，(1)(2)(3)(2018)(2019)f f f f f +++⋯++=_______三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．设函数22,1(),122,2x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，（1）求3(2),2f f f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值；（2）若()3f x =，求x 的值.18．已知(2)(0),()(2)(0).x x x f x x x x -⎧=⎨+<⎩求(4),[(4)],(1)f f f f m -，并解不等式(1)0f x -<.19．已知函数()21,22,2221,2x x f x x x x x x +≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪-≥⎩，（1）求()(55,,2f f f f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值； （2）若()3f a ＝，求实数a 的值.20．已知cos (1)()(1)1(1)x x f x f x x π<⎧=⎨-->⎩，sin (0)()(1)1(0)x x g x g x x π<⎧=⎨-->⎩，求1411113366⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭f fg g 的值.21．已知()y f x =是定义在(,)-∞+∞上的偶函数，当0x ≥时，2()23f x x x =--. （1）用分段函数形式写出()y f x =的解析式； （2）写出()y f x =的单调区间； （3）求出函数的最值.《分段函数》（一）解析1.【解析】10-<,()()2111f ∴-=-=,20>,()23215f ∴=⨯-=,.(1)(2)=6f f ∴-+.故选:A.2.【解析】由函数2log ,0,()3,0,xx x f x x >⎧=⎨≤⎩则211log 244f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，又()21239f --==，即1149f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：D. 3.【解析】由21log (2),1()2,1x x x f x x +-<⎧=⎨≥⎩，所以()2log 622(2)(log 6)1log 2221269f f -+=+++=++=.故选：C4.【解析】由()92f =，即log 92a =，得3a =， 由()13f -=，得113b -+=， 得12b =，于是()()392f f f -==⎡⎤⎣⎦.故选：C . 5.【解析】由已知(7)((12))(9)((14))(11)8f f f f f f f =====．故选：D ．6.【解析】根据题意，()()4,0,0x m x f x g x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩为定义在R 上的奇函数，则有()0040f t =+=，解可得：1t =-， 则()24log 3log 92log 341418f =-=-=，则()()2221log log 3log 383f f f ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭；故选：C.7.【解析】()()()()()()()209936633330021f f f f f f f =-==-==-==-=-,故选：B.8.【解析】()()()()()51220log 3205log 40+12=211619.f f f f -+=+=-+++=选A.9.【解析】()()2,11,1x x f x f x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，222log 4log 7log 8<<，即()2log 72,3∈()()()22log 7log 72222227log 7log 71log 72224f f f -∴=-=-===，故选：B 10.【解析】因为()f x 的周期为4，且为奇函数，所以11333(4)()cos 02222f f f π⎛⎫=+=== ⎪⎝⎭，2210102222(4)()(4)()()3333339f f f f f f ⎛⎫=+==-+=-=-=- ⎪⎝⎭，所以112223f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭29-.故选：D.11.【解析】(),02016lg(),0x x f x x x ≥+=-<⎪⎩，∴ (2016)(7984)(2016)(100002016)44f f f f ππ+⋅-=+⋅-+4lg10000lg1044π=⋅==.故选：C ．12.【解析】因为函数()f x 满足()()6f x f x =+，所以3362292f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为9(3,6]2∈，所以2295log log 212922f ⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为1(0,3]∈，所以1(1)cos32f π==， 所以31(1)2292f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：A13.【解析】因为(2)4813f =-+=-，所以31((2))(3)82f f f -⎛⎫=-== ⎪⎝⎭．14.【解析】根据条件可知0134a b a b -⎧+=⎨+=⎩，解得：12a =，2b =即()lg ,122xx f x ⎧⎪=⎨⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎩ 00x x >≤ ， ()310f -=，()()()310lg101f f f -===15.【解析】由图象可知，每一段都是一次函数，设(),0f x kx b k =+≠，当(1,0)x ∈-时，直线过点(1,0),(0,1)-，所以11b k =⎧⎨=⎩，所以()1f x x =+，当[]0,2x ∈时，直线过点(0,0),(2,1)-，所以210k b b +=-⎧⎨=⎩，解得120k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 所以()12f x x =-，所以()1((1,0))1([0,2])2x x f x x x +∈-⎧⎪=⎨-∈⎪⎩ 16.【解析】()()6f x f x +=故函数()f x 是6T =的周期函数.(1)(2)(3)(4)(5)(6)1210101f f f f f f +++++=+-+-+=故(1)(2)(3)(2018)(2019)3361(1)(2)(3)338f f f f f f f f +++⋯++=⨯+++=17.【解析】（1）(2)220f -=-+=；2339()()224f ==,399922442f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.（2）由题意123x x ≤-⎧⎨+=⎩，或2123x x -<<⎧⎨=⎩，或223x x ≥⎧⎨=⎩，解得x 18.【解析】()()()()()44248,4882848f f f f ⎡⎤=⨯-=-=-=--=⎣⎦ 当10,1m m -≥≤时2(1)(1)(21)1f m m m m -=--+=- 当10,1m m -<>时2(1)(1)(21)43f m m m m m -=-+-=-+所以221(1),(1)43(1);m m f m m m m ⎧--=⎨-+>⎩ (1)0f x -<∴2110x x ≤⎧⎨-<⎩或21430x x x >⎧⎨-+<⎩ 所以1x <-或13x <<，即不等式(1)0f x -<解集为(,1)(1,3)-∞-⋃19.【解析】（1）由](()](55,2,2,2,,22-∈-∞---∈-∞-，知2()(2((55143f f ⨯－＝－＋＝－，＋＝－5531222f ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－＋＝－，而3222<<－－，253339323222244f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴---⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝＝＋＝－＝－. （2）当2a ≤－时，13a ＋＝，即22a >＝－，不合题意，舍去， 当22a <<－时，223a a ＋＝，即2230a a ＋－＝，整理得：0(13)()a a －＋＝，解得1a ＝或3a ＝－， 2()()1222∈∉－，，-3－，，1a ∴＝符合题意，当2a ≥时，213a －＝，即2a ＝符合题意，综上可得，当()3f a ＝时，1a ＝或2a ＝. 20.【解析】1411111115cos 1sin 133663366f f g g f g ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+=+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111122226g ⎛⎫=+-++-- ⎪⎝⎭1sin 226π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭11222=--2=- 21.【解析】（1）()y f x =是定义在(,)-∞+∞上的偶函数，当0x ≥时，2()23f x x x =--，∴当0x <时，设0x <，则0x ->， ∴22()()()2()323f x f x x x x x =-=----=+- 即0x <时，2()23f x x x =+-.故2223,0()23,0x x x f x x x x ⎧--≥=⎨+-<⎩. （2）如图所示：当0x ≥时，2()23f x x x =--，对称轴为1x =，∴增区间为[1,)+∞，减区间为[0,1]；当0x <时，2()23f x x x =+-，对称轴为1x =-，∴增区间为[1,0)-，减区间为(,1]-∞-.综上，()f x 的增区间为[1,0)-，[1,)+∞，减区间为(,1]-∞-，[0,1]. （3）由（2）知，当0x ≥时，2()23f x x x =--，min ()(1)1234f x f ==--=-，无最大值； 当0x <时，2()23f x x x =+-，min ()(1)1234f x f =-=--=-，无最大值. 综上，函数的最小值为-4，无最大值.。
分段函数高一数学总结练习含答案解析D
1.2.6 分段函数如果自变量在定义域的① 时,函数由② 给出,这种函数叫作分段函数.分段函数及其应用1.(2012江西,3,5分,★☆☆)设函数 f(x)={x 2+1, x ≤1,2x,x >1,则 f ( f (3))=( )A.15 B.3 C.23 D.139思路点拨 确定自变量的取值属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值,从内到外依次求值. 2.(2012福建,9,5分,★☆☆)设 f(x)={1,x >0,0,x =0,-1,x <0,g(x)={1,x 为有理数,0,x 为无理数,则 f(g(π))的值为( )A.1B.0C.-1D.π思路点拨 先求g(π)的值,再求 f(g(π))的值. 3.(2011浙江,理1,5分,★☆☆)设函数f(x)={-x ,x ≤0,x 2,x >0.若f(α)=4,则实数α=( )A.-4或-2B.-4或2C.-2或4D.-2或2思路点拨 分α≤0,α>0两种情况代入函数解析式,得关于α的方程解之即得.4.(2011北京,理6,5分,★★☆)根据统计,一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)={√xx <A ,√Ax ≥A (A,c 为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A 件产品用时15分钟,那么c 和A 的值分别是( ) A.75,25 B.75,16 C.60,25D.60,16思路点拨 组装第A 件产品的时间符合第二段的解析式,组装第4件产品的时间只能适合第一段的解析式,得出关于c,A 的方程,解之.5.(2010陕西,13,5分,★☆☆)已知函数 f(x)={3x +2,x <1,x 2+ax ,x ≥1,若 f[f(0)]=4a,则实数a= .一、选择题1.已知函数f(x)={x +1,x ≤1,-x +3,x >1,则f (f (52))=( )A.-12B.32C.52D.922.函数f(x)={2x ,0≤x ≤1,2,1<x <2,3,x ≥2的值域为( )A.[0,+∞)B.RC.[0,3]D.[0,2]∪{3}3.函数f(x)=|x|+1的图象为( )4.设f(x)={|x -1|-2,|x |≤1,11+x 2,|x |>1,则f (f (12))等于( )A.12 B.413C.-95D.2541二、填空题5.设f(x)={3x +1,x ≥0,x 2,x <0,g(x)={2-x 2,x ≤1,2,x >1,则f(g(2))= ,g(f(2))= .三、解答题 6.已知函数f(x)={x (x +4),x ≥0,x (x -4),x <0,求f(1)、f(-3)、f(a-1)的值.一、选择题1.(2015四川雅安期末,★☆☆)设函数f(x)={1-x 2,x ≤1,x 2+x -2,x >1,则f (32)的值为( )A.74B.2716C.-54D.-122.(2015四川凉山州期末,★☆☆)已知函数f(x)={x 2-2(x >0),2x +1(x ≤0),且f(x)=4,则x 的值为( )A.√2B.√6C.32 D.23.(2014重庆西大附中月考,★★★)设函数f(x)={1a -1(x -1),x ≥a ,1a -2(x -2),x <a ,已知存在t 1、t 2使得f(t 1)=12,f(t 2)=32,则t 1-t 2的取值范围为( ) A.(-12,12)B.(-∞,-12)∪[12,+∞) C.(-∞,-12)D.(-∞,-12)∪(12,+∞)4.(2013山东济南期中,★☆☆)已知函数f(x)={0(x >0),π(x =0),π2+1(x <0),则f(f(f(-1)))的值等于( )A.π2-1B.π2+1C.πD.05.(2013山西晋中名校联考,★★☆)设函数f(x)={x 3,0≤x <5,f (x -5),x ≥5,那么f(8)=( )A.27B.9C.3D.16.(2013重庆南开中学期中,★★☆)设函数f(x)={2x -3,x ≥1,1-3x x ,0<x <1,若f(x 0)=1,则x 0=( )A.14或3 B.2或5 C.14或2 D.14或2或3二、填空题7.(2014重庆南开中学期中,★☆☆)已知f(x)={x 2+1,x <1,-2x +3,x ≥1,则f(f(2))= .8.(2014江苏苏州调研,★★☆)已知函数f(x)={-x ,x ≤0,2x ,x >0,则满足f(x)<1的x 的取值范围是 .9.(2014重庆铜梁中学月考改编,★★★)若关于x 的不等式|2x-1|-|x+2|≥a 的解集为R,则实数a 的取值范围为 .三、解答题10.(2014湖北黄冈期末,★★☆)f(x)={4-x 2(x >0),2(x =0),1-2x (x <0).(1)求f(f(-2))的值; (2)求f(a 2+1)(a∈R)的值; (3)当-4≤x<3时,求f(x)的值域.11.(2014河南安阳模拟,★★☆)通过研究学生的学习行为,专家发现,学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化,讲课开始时,学生的兴趣激增;中间有一段时间,学生的注意力保持在较理想的状态,随后学生的注意力开始分散.设f(t)表示学生的注意力随着时间t(分钟)的变化规律(f(t)越大,表明学生的注意力越集中),经过实验分析得知: f(t)={-t 2+24t +100,0<t ≤10,240,10<t ≤20,-7t +380,20<t ≤40.(1)讲课开始后多少分钟,学生的注意力最集中?能坚持多少分钟?(2)讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较,何时学生的注意力更集中?(3)一道数学难题,需要讲解24分钟,并且要求学生的注意力至少达到180,那么经过适当安排,老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目?知识清单①不同取值范围内 ②不同的解析式链接高考1.D ∵ f(3)=23<1,∴f( f(3))=(23)2+1=139,故选D. 2.B g(π)=0, f(g(π))= f(0)=0,故选B. 3.B 当α≤0时, f(α)=-α=4,α=-4; 当α>0时, f(α)=α2=4,α=2.4.D 由题意可知,x≥A 时所用时间为常数,所以组装第4件产品用时必然满足第一段的函数解析式,即f(4)=4=30⇒c=60,易知f(A)=A =15⇒A=16,故选D.5.答案 2解析 f(0)=2, f[f(0)]= f(2)=4+2a=4a,所以a=2.基础过关一、选择题1.B f (f (52))=f (-52+3)=f (12)=12+1=32.2.D 当0≤x≤1时,0≤f(x)≤2;当1<x<2时,f(x)=2;当x≥2时,f(x)=3,所以该函数的值域为[0,2]∪{3}.3.B f(x)=|x|+1={x +1,x ≥0,-x +1,x <0,所以f(x)的图象为选项B.4.B f (12)=|12-1|-2=-32,则f (f (12))=f (-32)=11+(-32)2=413.二、填空题 5.答案 7;2解析 ∵g(2)=2,∴f(g(2))=f(2)=3×2+1=7,又∵f(2)=3×2+1=7,∴g(f(2))=g(7)=2. 三、解答题6.解析 f(1)=1×(1+4)=5,f(-3)=-3×(-3-4)=21,当a-1≥0,即a≥1时,f(a-1)=(a-1)(a-1+4)=a 2+2a-3,当a-1<0即a<1时,f(a-1)=(a-1)(a-1-4)=a 2-6a+5.三年模拟一、选择题1.A f (32)=(32)2+32-2=74.2.B 由{x >0,x 2-2=4或{x ≤0,2x +1=4,解得x=√6.3.D 当a<1时,f(x)在区间(-∞,+∞)上单调递减,且f(a)=1,此时有{1a -1(t 1-1)=12,1a -2(t 2-2)=32,∴t 1-t 2=32-a>12,当a>2时,f(x)在区间(-∞,+∞)上单调递增,且f(a)=1,此时有{1a -2(t 1-2)=12,1a -1(t 2-1)=32,t 1-t 2=32-a<-12,当1<a<2时,f(x)在(-∞,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,故f(x)≥f(a)=1,不满足题意,综上,t 1-t 2∈(-∞,-12)∪(12,+∞).故选D. 4.C f(-1)=π2+1,f(f(-1))=0, ∴f(f(f(-1)))=f(0)=π,故选C.5.A 根据题意知,当x≥5时, f(x)=f(x-5),∴f(8)=f(3),而当0≤x<5时, f(x)=x 3,∴f(3)=33=27,故选A. 6.C 当x 0≥1时,f(x 0)=2x 0-3=1,∴x 0=2,当0<x 0<1时,f(x 0)=1-3x 0x 0=1,∴x 0=14,∴x 0=14或2.二、填空题 7.答案 2解析 f(2)=-2×2+3=-1,∴f(f(2))=f(-1)=2. 8.答案 -1<x<12解析 由{x ≤0,-x <1或{x >0,2x <1,解得-1<x≤0或0<x<12,∴-1<x<12.9.答案 a≤-52解析 令y=|2x-1|-|x+2|,则y={-x +3,x <-2,-3x -1,-2≤x <12,x -3,x ≥12,作出函数图象,如图所示.∴y min =-52,∴a≤-52.三、解答题10.解析(1)∵f(-2)=1-2×(-2)=5,∴f(f(-2))=f(5)=4-52=-21.(2)当a∈R时,a2+1≥1>0,∴f(a2+1)=4-(a2+1)2=-a4-2a2+3(a∈R).(3)①当-4≤x<0时, f(x)=1-2x,∴1<f(x)≤9;②当x=0时, f(x)=2;③当0<x<3时, f(x)=4-x2,∴-5<f(x)<4.故当-4≤x<3时,函数f(x)的值域是(-5,9].11.解析(1)当0<t≤10时,f(t)=-t2+24t+100=-(t-12)2+244,随着t的增大,函数值也增大,且f(10)=240.当20<t≤40时,f(t)=-7t+380,随着t的增大,函数值减小,∴f(t)<240.所以,讲课开始后10分钟,学生的注意力最集中,能坚持10分钟. (2)f(5)=195, f(25)=205,因为195<250,所以,讲课开始后25分钟时,学生的注意力更集中.(3)当0<t≤10时,令f(t)=-t2+24t+100=180,则t=4.当20<t≤40时,令f(t)=-7t+380=180,则t≈28.57,所以,学生的注意力不低于180所持续的时间为28.57-4=24.57>24,所以,经过适当安排,老师能在学生达到所需的状态下讲授完这道题目.。
分段函数练习题(打印版)
分段函数练习题（打印版）### 分段函数练习题（打印版）#### 一、选择题1. 下列分段函数中，哪一个是奇函数？- A. \( f(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \\ -x^2, & x< 0 \end{cases} \)- B. \( f(x) = \begin{cases} x^3, & x \geq 0 \\ -x^3, & x< 0 \end{cases} \)- C. \( f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x \geq 0 \\ -x^2 + 1, & x < 0 \end{cases} \)- D. \( f(x) = \begin{cases} x + 1, & x \geq 0 \\ -x - 1,& x < 0 \end{cases} \)2. 给定分段函数 \( f(x) = \begin{cases} x + 2, & x < 1 \\ 3x- 1, & x \geq 1 \end{cases} \)，求 \( f(-1) \) 和 \( f(2) \)。
3. 判断下列分段函数的连续性：- A. \( f(x) = \begin{cases} 2x, & x < 2 \\ 4 - x, & x\geq 2 \end{cases} \)- B. \( f(x) = \begin{cases} x^2, & x \neq 1 \\ 2, & x = 1 \end{cases} \)#### 二、填空题1. 若分段函数 \( f(x) = \begin{cases} x + 1, & x \leq 0 \\ x^2, & x > 0 \end{cases} \)，求 \( f(-2) \) 和 \( f(1) \)。
新高中数学必修1分段函数基础题训练题(含详解)
A． B． C．2D．9
二、填空题
7．设函数 ，则 _____
三、解答题
8．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
(1)5公里以内(含5公里),票价2元；
(2)5公里以上,每增加5公里,票价增加1元(不足5公里的按5公里计算).如果某条线路的总里程为20公里,请根据题意,写出票价与里程之间的函数关系式,并画出函数的图像.
新高中数学必修1分段函数基础题训练题（含详解）
一、单选题
1．已知 ，则 的值为（）
A．7B．12C．6D．18
2．设函数 ，则 的值为( )
A． B． C． D．
3．设 ，若 ，则 （ ）
A． B．
C． 或 D．
4．已知函数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．已知函数 则 =（）
A．4B．5C．6D．7
【详解】
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ；
∵－ ，
∴ ＝－ ＋1＝－ ，
＝ 2＋2× ＝－ .
【点睛】
本题主要考查分段函数的函数值的计算，属于基础题.
11．(1)f(f(－3))>f(f(3))(2)见解析(3)x的值为0或1＋
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：（1）根据分段函数的性质，分别代入值求出即可；（2）利用函数图象的画法画图即可；（3）对 分类讨论，解方程即可．
当x∈[1，＋∞)时，得f(x)＝x2－2x＝1，解得x＝1＋ 或x＝1－ (舍去)．
综上可知x的值为0或1＋ .
12．答案见解析.
【解析】
【分析】
将方程 实数根的个数问题转化为函数 与直线 的交点个数问题．根据两个函数的图象可得结果.
新高中数学必修1分段函数基础题训练题(含详解)
10.己知函数flχ)=< x2+ 2x,-2<x<2f试求/(—5), /(-√3),
2x-l,x≥2
-2x+l, x<l,
X2-2xfx≥l.
（丄）试比较《斤一3））与《斤司）的大小;
（2）画出函数的图彖;
（弓）若斤a）=i,求/V的值.
12.对于加不同的取值范围，讨论方程√-4∣x∣+5 = w的实根的个数.
新高中数学必修
一、单选題
βx+2
1.e⅛∕ω=],
X' + X
6.己知函数/(x) = ^2^+1,X<1,若/(/(0)) = 4λ,则实数G=()x~ +ax,x≥l
14
A.—B.—C. 2D. 9
25
二、填空题
三、解答题
&某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
（1）5公里以内（含5公里）,票价2元；
2.A
【解析】 【分析】 【详解】 因为兀>1时，f(x) = x2+ x-2,所以几2) = 22+ 2-2 = 4,-A-= |;
/⑵4
又x<l时，/(x) = l-x2,
所以匚丄= ∕⅛ =1-⅛2=筹•故选A-
/⑵4416
本题考查分段函数的意义,函数值的运算.
3.C
【解析】
【分析】
分OVdVl和α≥l两种情况解方程= 可得出实数α的值.
1. B
【解析】 【分析】 由题意先求/(-1)的值，然后再求/(/(-!))的值即可(注意看清要代入哪一段的解析式, 避免出错).
【详解】
/(/(-!)) = /(3) = 3?+3 = 12
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高一数学函数的定义与分段函数测试题
1、给出函数⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=)4()1()4()21()(x x f x x f x ，则=)3(f （ ）
A.823-
B. 111
C. 19
1 D. 241 2、若f(x)=⎩⎨⎧≥)0()0(2πx x x x ⎩⎨⎧<-≥=)
0()0()(2x x x x x ϕ，则当x<0时，f[ϕ(x)]=( ) A. －x B. －x 2 C.x
D.x 2
3、下列各组函数表示同一函数的是( ) ①f(x)=|x|，g(x)=⎩⎨⎧<-≥)
0()0(x x x x ② f(x)=242--x x ，g(x)=x+2 ③f(x)=2x ，g(x)=x+2 ④f(x)=1122-+
-x x g(x)=0 x ∈{－1，1} A.①③
B.①
C.②④
D.①④ 4、设f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>+≤--1||111||,2|1|2x ，x
x x ，则f[f(21)]=( ) A.
21 B.134 C. －59 D.4125
5、设函数3,(10)()((5)),(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩
，则(5)f ＝ 。
设函数f(x)=⎩
⎨⎧>≤+)2(,2)2(,22x x x x 则f(－4)=___________,若f(x 0)=8，则x 0=________
6.、函数y ＝＋的定义域为( )
A ． {x |x ≤1}
B ． {x |x ≥0}
C ． {x |x ≥1或x ≤0}
D ． {x |0≤x ≤1}
7、.函数f (x )＝的定义域为( )
A ． [1,2)∪(2，＋∞)
B ． (1，＋∞)
C ． [1,2)
D ． [1，＋∞)
8、函数
的定义域是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
9、函数的定义域为（）
A． B． C． D．
10.函数的定义域为（）
A． B． C． D．
11、.函数的定义域为（）
A． B． C． D．
12、.函数f(x)=的定义域为（）
A． [0，+∞) B． (1， +∞) C． [0，1)(1， +∞) D． [0，1)
13、.函数定义域是( )
A． (-，+) B． [-1，+） C． [0，+] D． (-1，+)
14、.函数定义域是（）
A． B． C． D．
15、已知集合A＝{1，3，5，7，9}，B＝{0，3，6，9，12}，则A∩B＝( )
A．{3，5} B．{3，6} C．{3，7} D．{3，9}
16、设集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∪B等于( )
A．{x|x≥3} B．{x|x≥2} C．{x|2≤x＜3} D．{x|x ≥4}
a}．若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为( )
17、集合A＝{0，2，a}，B＝{1，2
A．0 B．1 C．2 D．4
18、.已知全集U=R，集合A={x︱-2≤x≤3},B={x︱x＜-1或x＞4｝，那么集合A∩（CUB）等于（）.
A.{x︱-2≤x＜4｝
B.{x︱x≤3或x≥4} C．{x︱-2≤x＜-1｝ D.{-1︱-1≤x≤3}
19.、函数的定义域是_____________．
20、.函数的定义域为_____________．
21、函数定义域是_____________．
22、.求下列函数的定义域．
(1)f(x)＝；(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝＋.
23、.求下列函数的定义域．
(1)y＝－x2＋1；(2)y＝；
(3)y＝；(4)y＝＋＋2；
(5)y＝＋；(6)y＝(a为常数)．
24、已知全集U＝R，函数y＝＋的定义域为集合A，函数y＝的定义域为集合B.
(1)求集合A和集合B；
(2)求集合(∁U A)∩(∁U B)．
25、已知函数f(x)＝－.
(1)求函数f(x)的定义域(用区间表示)；
(2)求f(－1)，f(12)的值．。