波动的稳定性

AekCit ei Be kCit ei 当t 时，只要Ci 0, 波动都是发展的。
波动是否稳定，只要判断Ci是否等于0。
波动发展，波动不稳定
Ci 0
波动不发展，波动稳定
Ci 0
重力内波、惯性波：受力机制很清楚； 一般直接从振荡看是否稳定，由此，可
以得到：静力稳定度、惯性稳定度。
而Rossby波的产生机制是β－效应，
※流体力学侧重的是基本气流是否稳定， （纯粹是动力学问题）；
而气象上侧重的是波动是否稳定， （动力、热力问题）。
如果波动或扰动能发展， 这个波动就是不稳定的；
如果波动或扰动不发展，即始终很小或衰减， 这个波动就是稳定的。
从能量学来讲，如果波动的动能K’增加了， 波动发展了，则不稳定。
具体的，对于天气尺度波动（Rossby波）
如果Ci Ci
0，则A＝A 常量，扰动始终很小 0，不论 0，还是 0 不稳定
稳定
实际波动是有很多简谐波叠加而成， 振荡解都是共轭出现的
如简谐振荡方程，d 2x dt 2
kx
特征根：r i k
振荡解：x Aei kt Bei kt
对于波动，两个特征解都是成对地、 共轭出现的：
Cr i Cr iCi
g T
(
d
)z
N2
g T
(
d
)
g
ln
z
dw N 2z
dt
N 2 0，力作负功，扰动减弱，层结是稳定的；
N
2
0，力不作功，层结是中性的；
N
2
0，力作正功，扰动得到能量而增强，层结不稳定
§4 惯性稳定度
科氏力作用下，惯性振荡的稳定性问题。
如果仅受科氏力作，运动 轨迹是一个惯性圆；由于 科氏力作不作功，K不会增 加，故是稳定的。
A K 斜压不稳定的 K K 正压不稳定的
如：纬向基流时
{K
,
K
}
M
uv
u y
dM
取决于波和流的结构配置
均匀基流
u 0 {K, K} 0 y
波动是正压稳定的
讨论波动传播问题时，均匀基流 讨论波动发展问题时，非均匀基流
§2 波动稳定性的数学表达
简谐波解
Aeik(xct) Aei(kxt)
~ 104 s 1, f0
0, ug y
101 ~ 106
s 1
~ 105 s 1
一般都有
a >0，为稳定的。
要使
a
f0
ug y
0
，不稳定
g
vg x
ug y
ug y
f
ug y
f
g
a
基本气流的绝对涡度。
一般地，实际大气（北半球）：
ug y
f0
0
在急流轴以北： ug 0
y
以南： ug 0
实际大气，振荡发生在基本气流下： 均匀基流：一边振荡，一边向下游运动； 运动的性质不变 切变基流（实际大气）：
基本状态(背景场）： 地转平衡
u g
1 f
y
ug (y)
0
vg
1 f
x
0
一定存在如图所示的气压场：
du dt dv dt
f0v f0u
y
f0 (u
ug
)
★静力稳定度：层结大气中，垂直面内； 考虑重力和垂直向的压力梯度力（浮力） 的合力的方向，与位移的方向的关系。
从涡旋场（涡度方程）讨论Rossby波， 而没有具体讨论其振荡受力情况； 一般从Ci是否等于0判别其稳定性。
§3 静力稳定度 气块法 讨论浮力振荡（层结）稳定性问题
气块受扰离开平衡位置向上扰动。
环境要素：上升 P (z) ，T (z) ， (z) 气块要素：P(z)，T (z)，(z)
上升过程中，气块作干绝热膨胀 准静力过程P(z)＝P (z)
f0 y
dv dt
dt
f0 (u
ug
)
f0 (u0
dv dt
f0( f
f0 y
u g
y
ug (0)
)y
u g y
y)
0 稳定
f
u g y
0 中性 0 不稳定
正如静力惯性度取决于层结
（背景），
惯性稳定度也取决于环境背
景——基本气流的绝对涡度
一般地，实际大气（北半球）：
f0
高等动力气象学 （动力气象学II）
郭品文 大气科学学院
第一章、大气波动的稳定性问题
天气尺度的波动，控制日常天气； 发生、发展、移动的机制、规律
大气波动学： 波动的性质、机制、求解波速 ——讨论传播问题
大气能量学： 天气尺度系统的发生发展问题。
V
V
V ,
V：纬向平均气流，大气环流，基本气流
惯性稳定度：水平面内（南北向）；考 虑科氏力和南北向的压力梯度力的合力 的方向，与位移的方向的关系。
初始环境场：ug (0)
质点速度：u0 ug (0)
受到扰动到y处，环境：
u
g
(
y)
u
g
(0)
u g y
y
y0
质点 ：
u( y)
u0
du ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱy
y
du
du dy
dt dy
f0v v
f0
u(y) u0
∵A＝Const，k(x-ct)位相：波动传播 ∴不能讨论波的稳定性问题。 实际上，c或ω可以是复数，
这样：C Cr iCi Ae e ik ( xCrt ) kCit Ae e kCit ik ( xCrt )
记： AekCit A (t)
A* (t)eik(xCrt) 振幅为A*(t), 位相为k(x Crt)
y
§5 正压不稳定 ——Rossby波的正压不稳定问题
V V V
1．描写Rossby波的方程：考虑β－效应
t
u
x
v
y
v
0
&
d dt
(
f
)
0
v x
u y
u
x
v y
0
水平无辐散下的涡度方程；非线性方程。
2．线性化
u u ( y) u(x, y,t), v v(x, y,t)
u ( y) Const
T (z) ，(z)
故z处气团所受的净浮力的方向，取决于
T与T，或与 哪个下降得块。
dw g 1 P
dt
z
P g
z
dw g P
dt
z
dw
g
P RT
P RT
g
T
T
g
dt
P
T
RT
T
T (z0 )
dT dz
z
T
(z0 )
dz
T
T
(
z0
)
T z
z
T (z0 ) z
dw dt
V ：扰动，涡旋运动，波动
波动是叠加在基本 气流上； 或说基本气流受扰 动，会产生波动。
波动发展了——波能增加——波振幅增大 天气系统发生发展——波动振幅变化
§1 波动稳定性的基本概念
波动或者流动稳定性问题首先在《流体 力学》中被讨论和定义：
如果气流受到扰动： 1）扰动发展，（基本气流由层流变为
湍流），即基本气流是不稳定，叠加 在其上的扰动是不稳定； 2）扰动减弱，或始终很小，则基本气 流是稳定的，扰动也是稳定的。