信号与线性系统考卷

⎧ y1 (t ) = yzi (t ) + h(t ) * f1 (t ) ⎨ ⎩ y2 (t ) = yzi (t ) + h(t ) * f 2 (t )
5
（本步骤 2 分）
将方程转换到 s 域，可得到：
⎧Y1 ( s) = Yzi ( s) + H ( s ) ⋅ F1 ( s) （1） ⎨ ⎩Y2 ( s ) = yzi ( s) + H ( s) ⋅ F2 ( s)
1
-4
-3
-2
2
0
k
（本步骤 2 分） 三、综合题：[共 60 分]
1、[本题 10 分]已知某 系统对输入 f (t ) 的零状态响应为：
yzs (t ) = ∫ eτ −t f (τ − 1)dτ
−∞
t
求该系统的单位冲激响应 h(t ) 和频率响应 H ( jω ) 。 解：根据单位冲激响应的定义，可得：
解：已知离散系统的差分方程为： y ( k ) + 0.2 y ( k − 1) − 0.24 y ( k − 2) = f ( k ) + f ( k − 1) 系统的单位序列响应满足如下方程：
⎧ h(k ) + 0.2h(k − 1) − 0.24h( k − 2) = δ ( k ) + δ ( k − 1) ⎨ ⎩ h(−1) = h(−2) = 0
2 1 -1 0 1 2 t
解： f (t ) = 2[ε (t + 1) − ε (t − 1)] + [ε (t − 1) − ε (t − 2)] = 2ε (t + 1) − ε (t − 1) − ε (t − 2) ⎧1, ω ≤ 2rad / s ⎪ ，对 f (2t ) 进行均匀 7、[本题 4 分] 已知 f (t ) 的频谱函数 F ( jω ) = ⎨ > ω 0, 2 rad / s ⎪ ⎩ 抽样的奈奎斯特抽样间隔 Ts 为：_______________s；若从抽样后的信号中恢复原 信号 f (t ) ，则所需低通滤波器的截止频率 f c 为 _________________Hz。 解：
5
⎧0, k ≤ 0, 或k ≥ 6 ⎪1, k = 1 ⎪ ⎪ ⎪4, k = 2 解：由列表法可得结果： f (k ) = ⎨ ⎪10, k = 3 ⎪12, k = 4 ⎪ ⎪ ⎩9, k = 5 6、[本题 3 分] 已知一信号 f (t ) 如图所示，请写出 f (t ) 的表达式。
f (t )
将已知的输入输出转换到 s 域：
3 s+2 1 2 f 2 ( t ) = ε ( t ) ⇔ F2 ( s ) = ， y2 ( t ) = 2e − t ε ( t ) ⇔ Y2 ( s ) = s +1 s 将其代入到（1）式，可解得：
f1 (t ) = δ (t ) ⇔ F1 ( s) = 1 ， y1 ( t ) = 3e −2t ε ( t ) ⇔ Y1 ( s ) =
从而 Y3 ( s ) =
1 1 1 ( + ) 2 s s+2 1 从而 y3 (t ) = (1 + e −2t )ε (t ) 2
（本步骤 1 分）
因为 H ( s ) =
Y (s) s = F ( s ) ( s + 1)( s + 2)
所以： ( s + 1)( s + 2)Y ( s ) = sF ( s ) 两边同时取拉氏反变换可得：
（本步骤 1 分） （本步骤 1 分）
H (s) =
2 s −1 = + ( s + 1)( s + 2) s + 1 s + 2
1 1 + s + 2 s +1 1 s2
（本步骤 1 分） （本步骤 1 分）
y zi ( s ) =
当输入为 f 3 (t ) = tε (t ) ↔ F3 ( s ) =
∵ Y3 ( s ) = Yzi ( s ) + H ( s) ⋅ F3 ( s )
（本步骤 1 分）
将以求得的结果代入可得：
Y3 ( s ) = 1 1 s 1 1 1 1 + + = + + 2 s + 2 s + 1 ( s + 1)( s + 2) s s + 2 s + 1 s ( s + 1)( s + 2)
（本步骤 1 分）
（本步骤 1 分）
⎧h1 (0) = c1 + c 2 = 1 ⎨ ⎩h1 (1) = 0.4c1 − 0.6c 2 = −0.2
借此方程组可求得待定系数：
（本步骤 2 分）
c1 = 0.4, c 2 = 0.6
所以： h1 ( k ) = ((0.4) k +1 − ( −0.6) k +1 )ε ( k )
解：
⎧ f (t ) − 3 x(t ) − 2 x ''(t ) = x '''(t ) ⎨ ⎩ y (t ) = x '(t ) − 4 x(t ) ⎧ x '''(t ) + 2 x ''(t ) + 3 x(t ) = f (t ) ⎨ ⎩ y (t ) = x '(t ) − 4 x(t )
ϕ (ω ) = 0 。试求：输入为
5
f (t ) = 2 cos
π
2
t + 3cos 2π t + 4 cos 3π t + 5sin 4π t
时，滤波器的输出信号 y (t ) 。 解：根据题意：滤波器的截止角频率为 π ，所 以输入信号中只有角频率小于 π 的分量才能通过。也就是只有 2 cos
5
f(k) 1
-2
0
2
3
k
f(k) 1
-2 ：
0
2
3
k
f(k+2) 1
左移 2 个单位
-4
-2
0
1
k
⇒
（本步骤 2 分）
ε (k )
1
ε (k − 2)
⋅⋅⋅
1
右移 2 个单位
⇒
⋅⋅⋅
2 3 4 k
0
1
2
3
k
0
ε (−k − 2)
⋅⋅⋅
1
（本步骤 6 分）
翻转
⇒
-4
-3
-2
0
k
5
再根据信号乘积，可以得到 f ( k + 2) ⋅ ε ( − k − 2) 的波形：
2 −1 + s +1 s + 2
s 2 + 4s + 5 ，求 s 2 + 3s + 2
y (0− ) = 1
⎛ kπ 2、[本题 4 分] 已知信号 f (k ) = 2 cos⎜ ⎝ 4 ⎛ kπ ⎞ ⎟ + sin ⎜ ⎝ 8 ⎠ ⎞ ⎟ ，判断该信号是否为周期信 ⎠
号，如果是，请求其周期，并说明理由。 解：为周期信号，周期为 16 +∞ π π 3、[本题 2 分] 计算 ∫ 4 sin(t − ) ⋅ δ (t − )dt 的值。 −∞ 6 3 解：2 4、[本题 4 分] 已知描述 LTI 连续系统的框图如图所示，请写出描述系统的微分 方程。
2、[本题 12] 某 LTI 系统在下述 f1 (t ), f 2 (t ) 两种输入情况下，初始状态都相同，
已知当激励 f1 (t ) = δ (t ) 时， 系统的全响应 y1 ( t ) = 3e−2t ε ( t ) ； 当激励 f 2 ( t ) = ε ( t ) 时， 系统的全响应 y2 ( t ) = 2e−t ε ( t ) ；请解答： （1）当输入为 f 3 (t ) = tε (t ) 时，系统的全响应 y3 (t ) ； （2）描述该系统的微分方程。 解：根据题目已知，两个输入作用下，系统初始状态相同，所以由初始状态引起 的零输入响应也相同，设为 y zi (t ) ；又由于系统为线性时不变的，所以冲激响应 不变，记为 h(t ) ，则可列出如下方程：
π
2
t 分量才能
而滤波器的幅频特性为 1， 通过滤波器输出， 相频特性为零， 从而， y (t ) = 2 cos （若利用频域分析方法求解，按实际步骤酌情得分）
π
2
t。
6、[本题 14 分]已知某 LTI 系统的系统函数 H (s ) =
（1）系统的冲激响应 h(t ) ； （2） 求当激励 f ( t ) = e−3t ε ( t ) 和零状态响应 yzs ( t ) 。 解： （1）根据题意 H ( s ) = 所以 H ( s ) = 1 +
t ∞
h(t ) = ∫ eτ −tδ (τ − 1)dτ = ∫ eτ −tδ (τ − 1)ε (t − τ )dτ
−∞ −∞
再利用冲激函数的取样性质可得： h(t ) = e1−t ε (t − 1) 取傅里叶变换可得频率响应 H ( jω ) =
（本步骤 6 分） （本步骤 4 分）
e − jω jω + 1
B卷
2009—2010 学年第二学期 《信号与系统》试卷
(适用专业：自动化 07)
答案及评分标准
一、简答题：[共 30 分] 1、[本题 4 分] 已知系统的零状态响应和输入之间的关系为： yzs (k ) = f (1 − k ) ， 其中， f ( k ) 为激励， y zs (k ) 为零状态响应，判断该系统是否是线性的，是否是时 不变的，并说明理由。 解：系统为线性的时变的。