第二节+++中心极限定理

（2）设赔偿金为a元，则令
P{Y 60000 0.9 }
P{Y>60000}=P{1000012-aX>60000} =P{X60000/a}0.9; 由中心极限定理,上式等价于
60000 10000 0.006 ( a ) 0.9 a 3017 10000 0.006 0.994
解: 设X---正在工作的车床数. X B 200,0.6
问题归结为:求x,使得:P0 X x 99.9 0 0 成立.
由极限定理:
0 200 p X 200 p x 200 p P 0 X x P 200 pq 200 pq 200 pq
x 10.4 0.95 0.0005 0.9505 3.16
x 10.4 查表 : 1.65 x 15.61 16. 3.16
总机至少应配备有16条外线,才能有95 0 0以上的把
握保证各个分机在使用外线时不必等候.
例 已知某批计算机键盘的优质品率为40 0 0 ,随机
n
即 : lim Fn Yn* x . 则称{X n }满足中心极限定理.
n
k 1
* n
w

n n Xk E Xk k 1 lim P k 1 x x . n n D Xk k 1 n x E Xk n k 1 lim P X k x . n n k 1 D Xk k 1
解: 设X表示一年内死亡的人数，则X~B(n, p),
其中
n= 10000，p=0.6%，
设Y表示保险公司一年的利润，
Y=1000012-1000X
于是,由中心极限定理 (1) P{Y<0} = P{1000012-1000X<0}
120 10000 0.006 = 1P{X120} 1 10000 0.006 0.994 1 (7.75)= 0;
例 某单位内部有260架电话分机,每个分机有4 0 0
的时间要用外线通话.可以认为各个电话机用不用
外线是相互独立的.
问: 总机要有多少条外线才能以95 0 0 的把握保证各
个分机在用外线时不必等候.
1 解: 设X k 0 第k个分机要用外线 k 1,2,260 第k个分机不用外线
第二节 中心极限定理
一.依分布收敛
设{Xn}为随机变量序列，X为随机变量，其
对应的分布函数分别为Fn(x), F(x). 若在F(x)的
连续点，有
lim Fn ( x ) F( x ),
n
则称{Xn}依分布收敛于X. 可记为
Xn X.
w
现令Yn X k , 若Yn的标准化r.v.Y ~ N (0,1),
0 120 X 120 x 120 P 0 X x P 48 48 48
x 120 120 x 120 17.36 48 48 48
根据上述定理，当n充分大时
x n p{ X i x} ( ) n i 1
n
1 n n Xk x k 1 P x x n
1 e 2
t2 2
dt
例
将一颗骰子连掷100次，则点数之和不少于 500的概率是多少？
P X k 0 0.96 1 p
P X k 1 0.04 p
X : 260部电话分机中同时要求使用外线的分机数.
X= X k ,
k=1 260
X B 260, 0.04 .
问题归结为:求x,使得:P0 X x 95 0 0 成立.
选取200个,
问: 有90个到120个优质键盘的概率是多少?
解: 设X--优质品键盘数. X B 200,0.4
E X np 200 0.4 80.
DX npq 200 0.4 0.6 6.9
由极限定理:
90 np X np 120 np P 90 X 120 P npq npq npq
由极限定理:
0 260 p X 260 p x 260 p P 0 X x P 260 pq 260 pq 260 pq x 10.4 10.4 x 10.4 1 (3.19) 3.16 3.16 3.16 x 10.4 0.0005 3.16
2.德莫佛-拉普拉斯定理 (De Moivre-Laplace)
设随机变量n(n=1, 2, ...)服从参数为n, p(0<p<1)
的二项分布，则
n np w ~ N (0, 1). npq
第i次试验事件A发生
证明:设 则
1 Xi 0
第i次试验事件A不发生
n i 1
二.几个常用的中心极限定理
1.独立同分布中心极限定理(Levy-Lindeberg)
设{Xn}为独立同分布随机变量序列，若
EXk=<，DXk= 2 <， 0 k=1, 2, …, 则{Xn}
满足中心极限定理。
1 n n Xk k 1 lim Fn x lim P x x. n n n
2 n npq 1
例
在一家保险公司里有10000个人参加寿命保险，
每人每年付12元保险费。在一年内一个人死亡的概率 为0.6%，死亡时其家属可向保险公司领得1000元，
问： (1)保险公司亏本的概率有多大？
(2)其他条件不变，为使保险公司一年的利润 不少于60000元，赔偿金至多可设为多少？
X 80 P 1.45 5.8 5.8 1.45 0.07 6.9
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200个键盘中有90个到120个优质键盘的概率
约为0.7.
例 某车间有200台车床,它们独立地工作着, 开工率各为0.6,开工时耗电各1千瓦, 问; 供电所至少要供给这个车间多少电力,才能 以99.9 0 0 的概率保证这个车间不会因为供电 不足而影响生产? 耗电数
E ( X i ) p, D( X i ) p(1 p),n X i
由中心极限定理,结论得证
1.)
2.)
3.)
n np P x x N 0.1 npq x np P n x F x N np, npq npq np np P n F F npq npq n P p P np n n np n n n n F np n F np n npq npq
解: 设Xk为第k 次掷出的点数,k=1,2,…,100,则 X1,…,X100独立同分布.
7 1 6 2 49 35 E ( X1 ) , D( X 1 ) k 2 6 i 1 4 12 由中心极限定理
7 500 100 100 2 P{ X i 500} 1 1 (8.78) 0 35 i 1 10 12
x 120 48
x 120 x 120 0.999 查表 : 48 3.1 x 141 48
∴ 只要供给这个车间141千瓦电, 就可保证因供电
不足而影响生产的可能性小于0.01.