第二节+++中心极限定理
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4-2中心极限定理
n
的分布函数 Fn ( x ) 对于任意 x 满足
n
lim Fn ( x ) lim P {Yn x } lim P{ k 1
n x n
Xk n
n
n
x}
1 2π
t2 e 2 dt
( x ).
定理4.6表明:
当 n , 随机变量序列 Yn 的分布函数收敛于 标准正态分布的分布函 数.
x
x
1 e 2π
t2 2
dt ( x ).
注 1º 定理4.7表明: 正态分布是二项分布的极限分布, 当n充分大 时, 可以利用该定理来计算二项分布的概率.
即 若n ~ B( n, p ) ( n 1,2,; 0 p 1)，则
n的标准化随机变量： n E (n ) n np Yn D(n ) np(1 p )
例4 对于一个学生而言, 来参加家长会的家长 人数是一个随机变量. 设一个学生无家长、1名 家长、 2名家长来参加会议的概率分别为0.05、 0.8、0.15. 若学校共有400名学生, 设各学生参加 会议的家长数相互独立, 且服从同一分布. (1) 求 参加会议的家长数X超过450的概率; (2) 求有1名 家长来参加会议的学生数不多于340的概率. 解 (1) 以 X k ( k 1, 2,, 400) 记
且都在区间 ( 0,10) 上服从均匀分布 , 记 V Vk ,
k 1 20
求 P {V 105} 的近似值 .
解
100 E (Vk ) 5, D(Vk ) ( k 1,2,,20). 12 V E (V ) V 20 5 Z 100 D(V ) 20 12
的分布函数 Fn ( x ) 对于任意 x 满足
n
lim Fn ( x ) lim P {Yn x } lim P{ k 1
n x n
Xk n
n
n
x}
1 2π
t2 e 2 dt
( x ).
定理4.6表明:
当 n , 随机变量序列 Yn 的分布函数收敛于 标准正态分布的分布函 数.
x
x
1 e 2π
t2 2
dt ( x ).
注 1º 定理4.7表明: 正态分布是二项分布的极限分布, 当n充分大 时, 可以利用该定理来计算二项分布的概率.
即 若n ~ B( n, p ) ( n 1,2,; 0 p 1)，则
n的标准化随机变量： n E (n ) n np Yn D(n ) np(1 p )
例4 对于一个学生而言, 来参加家长会的家长 人数是一个随机变量. 设一个学生无家长、1名 家长、 2名家长来参加会议的概率分别为0.05、 0.8、0.15. 若学校共有400名学生, 设各学生参加 会议的家长数相互独立, 且服从同一分布. (1) 求 参加会议的家长数X超过450的概率; (2) 求有1名 家长来参加会议的学生数不多于340的概率. 解 (1) 以 X k ( k 1, 2,, 400) 记
且都在区间 ( 0,10) 上服从均匀分布 , 记 V Vk ,
k 1 20
求 P {V 105} 的近似值 .
解
100 E (Vk ) 5, D(Vk ) ( k 1,2,,20). 12 V E (V ) V 20 5 Z 100 D(V ) 20 12
中心极限定理
已知均值为 ，方差为 2 0 .但分布函数未知，当 n 充分大时,
X
1 n
n k 1
Xk
近似服从正态分布 N (, (
)2) .
n
例1. 炮火轰击敌方防御工事 100 次, 每次 轰击命中的炮弹数服从同一分布, 其数学 期望为 2 , 均方差为1.5. 若各次轰击命中 的炮弹数是相互独立的, 求100 次轰击
定理2(德莫佛－拉普拉斯积分极限定理)
设 nA 为 n 重伯努利试验中事件A出现的次数, 又 A 在每次试验中发生的概率为p (0 p 1), 则对
于任意x, 恒有
lim P nA np x x
1
t2
e 2 dt (x).
n np(1 p) 2π
定理2表明: 正态分布是二项分布的极限分布, 当n充分大
时, 可以利用该定理来计算二项分布的概率.
注：
1） P(nA b) P(
nA np np(1 p)
b np ) (
np(1 p)
b np ) np(1 p)
2） P(a nA b) (
b np ) (
np(1 p)
a np ) . np(1 p)
例2 某保险公司的老年人寿保险有1万人参加,每 人每年交200元. 若老人在该年内死亡,公司付给家 属1万元. 设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在 一年内的这项保险中亏本的概率.
.
解 (1) 以 Xk (k 1, 2,, 400) 记 第 k 个学生来参加会议的家 长数,
则 Xk 的分布律为
Xk pk
0 0.05
1 0.8
2 0.15
易知 E( Xk ) 1.1, D( Xk ) 0.19, (k 1,2,,400)
X
1 n
n k 1
Xk
近似服从正态分布 N (, (
)2) .
n
例1. 炮火轰击敌方防御工事 100 次, 每次 轰击命中的炮弹数服从同一分布, 其数学 期望为 2 , 均方差为1.5. 若各次轰击命中 的炮弹数是相互独立的, 求100 次轰击
定理2(德莫佛－拉普拉斯积分极限定理)
设 nA 为 n 重伯努利试验中事件A出现的次数, 又 A 在每次试验中发生的概率为p (0 p 1), 则对
于任意x, 恒有
lim P nA np x x
1
t2
e 2 dt (x).
n np(1 p) 2π
定理2表明: 正态分布是二项分布的极限分布, 当n充分大
时, 可以利用该定理来计算二项分布的概率.
注：
1） P(nA b) P(
nA np np(1 p)
b np ) (
np(1 p)
b np ) np(1 p)
2） P(a nA b) (
b np ) (
np(1 p)
a np ) . np(1 p)
例2 某保险公司的老年人寿保险有1万人参加,每 人每年交200元. 若老人在该年内死亡,公司付给家 属1万元. 设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在 一年内的这项保险中亏本的概率.
.
解 (1) 以 Xk (k 1, 2,, 400) 记 第 k 个学生来参加会议的家 长数,
则 Xk 的分布律为
Xk pk
0 0.05
1 0.8
2 0.15
易知 E( Xk ) 1.1, D( Xk ) 0.19, (k 1,2,,400)
第二节 中心极限定理
1 2
e
x
t2 2
dt
q=1-p
定理表明，当n很大，0<p<1是一个定值 时（或者说，np(1-p)也不太小时），二项变 量的分布近似正态分布 N(np,np(1-p)).
例2某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被 盗索赔户占20%，以X表示在随机抽查的100个索赔户 中因被盗向保险公司索赔的户数 （1） 写出X的概率分布
第五章
Hale Waihona Puke 大数定律和中心极限定理§5.2 中心极限定理
大数定律揭示了大量随机变量的算术平均值
在一定条件下具有某种稳定性这一重要规律。
而在概率论中还有一类重要的极限定理，它是 解决在什么条件下，大量独立的随机变量的和 的分布是以正态分布为极限分布。
列维一林德伯格（Levy－Lindberg）定理. 定理1（独立同分布下的中心极限定理） 设X1, X2, …是独立同分布的随机变量序 列，且E(Xi)= ，D(Xi)= 2 ，i=1,2,…， 则 n X i n x 1 -t 2 2 i 1 e dt lim P{ x } n - 2 n
解: 设Xi (i=1,2…n)为第i箱重量,n为所求箱 数由条件知X1 , X2 … Xn是独立同分布的， 而n箱总重量X = X1 +X2 + … + Xn E(Xi )=50 DX 5
i
E(X ) = 50n
D(X) = 25n
由中心极限定理, X近似N(50n,25n)
P(X ≤5000)= P ( X 50n 5000 50n ) 5 n 5 n 1000 10n ( ) 0.977 ( 2) n 1000 10n 由此可见 2 n
第5章中心极限定理
第一节
一,随机变量的收敛性 1. 依概率收敛
大数定律
定义1 若对任意给定的ε 定义1 若对任意给定的ε>0, 有:
lim P{| X n X |< ε } = 1,
n→∞
( lim P{| X n X |≥ ε } = 0 )
n→∞
则称{X 依概率收敛于X, 记作: 则称{Xn}依概率收敛于X, 记作:
σ2 P{| X |< ε } ≥ 1 2 ε
σ2 8 P{| X |< 3σ } ≥ 1 2 = 9σ 9
8 ∴ P { 3σ < X < + 3σ } ≥ 9
将一枚硬币抛掷1000 1000次 [例2] 将一枚硬币抛掷1000次,试利用车贝晓夫不等 式估计: 1000次中,出现正面H的次数在400至600次 式估计:在1000次中,出现正面H的次数在400至600次 次中 400 之间的概率. 之间的概率. 解: 设1000次抛掷中出现正面的次数为 则 次抛掷中出现正面的次数为X, 次抛掷中出现正面的次数为
n
D (∑ X i )
i =1
D(∑ X i )
i =1
n
n a n 1 b n = P{ < ( ∑ X i n ) ≤ } n σ n σ i =1 n σ
b n a n ≈ Φ( ) Φ( ) n σ n σ
2. 德莫佛---拉普拉斯定理
定理2 设随机变量X n ~ B( n, p ), (n = 1, 2), 则对 任意x ∈ R, 有
第一节 大数定律 第二节 中心极限定理
基本要求: 基本要求 理解实际推断原理; 1. 理解实际推断原理; 掌握车贝晓夫不等式; 2. 掌握车贝晓夫不等式; 熟悉几个常用的大数定律; 3. 熟悉几个常用的大数定律; 4. 熟练掌握并能运用几个常见的中心极限定理. 熟练掌握并能运用几个常见的中心极限定理. 重点: 重点 1.车贝晓夫不等式的运用; 1.车贝晓夫不等式的运用; 车贝晓夫不等式的运用 2.中心极限定理的应用. 2.中心极限定理的应用. 中心极限定理的应用 学时数 3-4
第2节中心极限定理
0 P A p 1,x R,有
lim P
nA np
x x
1
x t2
e 2 dt .
n np1 p
2
证:令 Xi ={第 i 次试验中 A 出现的次数},则 Xi ~ 0,1,
n
nA Xi ,且Xi 独立同分布, EXi p, D Xi p1 p ,由列维中心极 i 1
我们还可得 很大时, X ~ P X ~ N , . .
例:重复投掷硬币 100 次,设每次出现正面的概率均为 0.5,问 A={正面出
现次数小于 61,大于 50}的概率是多少?
解:设正面出现次数为 nH 则 nH ~ B 100,0.5
所以 nH ~ N 50, 25
们具有数学期望和方差:
E
Xk
k
,
D
Xk
2 k
0, k
1, 2,
n
记 Sn2
2 k
,
若存在正数
,使得当 n
时,
k 1
1 n
Sn2
E
k 1
Xk k 2
n
0 ,(即每个 Xi 对总和 X i 影响不大)则
i 1
n
n
n
n
Zn
n
n n
i 1
Xi
E i1
Xi
i 1
Xi
n
n
D Xi
n
i1
的分布函数 Fn x 对任意 x 满足
lim P
nA np
x x
1
x t2
e 2 dt .
n np1 p
2
证:令 Xi ={第 i 次试验中 A 出现的次数},则 Xi ~ 0,1,
n
nA Xi ,且Xi 独立同分布, EXi p, D Xi p1 p ,由列维中心极 i 1
我们还可得 很大时, X ~ P X ~ N , . .
例:重复投掷硬币 100 次,设每次出现正面的概率均为 0.5,问 A={正面出
现次数小于 61,大于 50}的概率是多少?
解:设正面出现次数为 nH 则 nH ~ B 100,0.5
所以 nH ~ N 50, 25
们具有数学期望和方差:
E
Xk
k
,
D
Xk
2 k
0, k
1, 2,
n
记 Sn2
2 k
,
若存在正数
,使得当 n
时,
k 1
1 n
Sn2
E
k 1
Xk k 2
n
0 ,(即每个 Xi 对总和 X i 影响不大)则
i 1
n
n
n
n
Zn
n
n n
i 1
Xi
E i1
Xi
i 1
Xi
n
n
D Xi
n
i1
的分布函数 Fn x 对任意 x 满足
中心极限定理【概率论与数理统计+浙江大学】
k 1
k 1
近似地
Zn ~ N (0,1)
2、随机变量X k 无论服从什么分布，只要满足
定理条件，随即变量之和
n
X
k，当n很大时，就近
k 1
似服从正态分布，这就是为什么正态分布在概率论
中所占的重要地位的一个基本原因.
定理3(棣莫佛－拉普拉斯（De Laplace定理）
设随机变量n(n=1,2,‥‥)服从参数n,p(0<p<1)
自从高斯指出测量误差服从正态 分布之后，人们发现，正态分布在 自然界中极为常见.
高斯
如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因 素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合 影响中所起的作用不大. 则这种随机变量一般都服 从或近似服从正态分布.
现在我们就来研究独立随机变量之和所特有 的规律性问题. 当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？
P(Y>1920)=1-P(Y1920) 1- (1920 1600) 400
=1-(0.8) =1-0.7881=0.2119
例2解答：
（1)解：设应取球n次，0出现频率为
1 n
n k 1
Xk
E(
1 n
n k 1
Xk
)
0.1,
D(
1 n
n k 1
Xk
)
0.09 n
n
Xk
近似地
~
N
(n , n
2
)
;
k 1
n
X k n 近似地
k 1
n
~ N (0,1).
2、独立同分布中心极限定理的另一种形式可写为
近似地
大数定律和中心极限定理.ppt
n
X i n
i 1
n
3
近似服从标准正态分布
于是所求概率为
P
1 n
n i 1
Xi
P
n i1
Xi
n
n
n
P i1 X i n
3n
2
3n 1
n
3
(2)当n 36, 1/ 6时,所求概率为
（1）保险公司一年的利润不少于6万元的概率；
（2）保险公司亏本的概率。
解 设参加保险的一万人中一年内的死亡的人数为X ,
则X ~ b10000,0.006,其分布律为
PX
k
1k0000
0.006k
0.994 10000k
k 0,1,2,,10000
lim n
P
n np
np1 p
x
x
1
t2
e2
dt
Φ
x
2π
当n充分大时,对任意a b,有
Pa n b P
a np
np1 p
n np
np1 p
b np
np1 p
Φ
第五章 大数定律和中心极限定理
第一节 第二节
大数定律 中心极限定理
第一节 大数定律
定义1设Y1,Y2 ,,Yn ,是一个随机变量序列, a是一个常
数, 若对任何正数 , 有
limP Yn a 1
n
则称序列Y1,Y2 ,,Yn ,依概率收敛于a,记为Yn Pa 依概率收敛的序列有如下性质： 设X n Pa,Yn Pb,又设g(x, y)在点(a,b)连续,则
西北工业大学《概率论与数理统计》4-2 中心极限定理
n
(
)
2⎞ ⎛ 1 σ ⎟ ⎜ X = ∑ X i ~ AN ⎜ µ , ⎟ n i =1 n ⎠ ⎝ 3° 定理4.6表明n个相互独立同分布的随机变量
的和近似服从正态分布.
例1 一加法器同时收到20个噪声电压Vk (k=1, 2,…, 20). 设它们是相互独立的随机变量,
且都在区间 (0， 10 )上服从均匀分布 , 记V =
下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近.
例3 某车间有200台机床,它们独立地工作着, 开工 开工率均为0.6, 开工时耗电均为1000W, 问供电所 至少要供给这个车间多少电力才能以99.9%的概率 保证这个车间不会因供电不足而影响生产. 解 设
⎧1, 第i台机床工作 Xi = ⎨ ⎩0, 第i台机床不工作
内容小结
独立同分布情形 独立同分布情形
⎧林德贝格 − 列维中心极限定理 ⎪ 独立不同分布情形 独立不同分布情形 ⎪ ⎪ ⎨李雅普诺夫定理 ⎪ 二项分布的正态近似 二项分布的正态近似 ⎪ ⎪ ⎩棣莫佛 − 拉普拉斯定理
中心极限定理
备用题
例1-1 设随机变量X1, X2,…, Xn相互独立, 且 Xi 在区间(−1, 1) 上服从均匀分布(i=1, 2,…, n), 试证 n 1 当 n充分大时, 随机变量 Z n = ∑ X 2 近似服从 i n i =1 正态分布并指出其分布参数. 证 记 Yi = X i2 , ( i = 1,2, , n) E ( Yi ) = E ( X i2 ) = D( X i )
注 1° 定理4.7是独立不同分布情形的中心极限 定理, 该定理表明: 当n充分大时, 有
∗ Yn ~ AN (0, 1)
而
n ⎛ n ⎞ 2 ⎟ µ , σ ∑ X i ~ AN ⎜ ∑ ∑ i i ⎟ ⎜ ⎝ i =1 i =1 ⎠ i =1 n
(
)
2⎞ ⎛ 1 σ ⎟ ⎜ X = ∑ X i ~ AN ⎜ µ , ⎟ n i =1 n ⎠ ⎝ 3° 定理4.6表明n个相互独立同分布的随机变量
的和近似服从正态分布.
例1 一加法器同时收到20个噪声电压Vk (k=1, 2,…, 20). 设它们是相互独立的随机变量,
且都在区间 (0， 10 )上服从均匀分布 , 记V =
下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近.
例3 某车间有200台机床,它们独立地工作着, 开工 开工率均为0.6, 开工时耗电均为1000W, 问供电所 至少要供给这个车间多少电力才能以99.9%的概率 保证这个车间不会因供电不足而影响生产. 解 设
⎧1, 第i台机床工作 Xi = ⎨ ⎩0, 第i台机床不工作
内容小结
独立同分布情形 独立同分布情形
⎧林德贝格 − 列维中心极限定理 ⎪ 独立不同分布情形 独立不同分布情形 ⎪ ⎪ ⎨李雅普诺夫定理 ⎪ 二项分布的正态近似 二项分布的正态近似 ⎪ ⎪ ⎩棣莫佛 − 拉普拉斯定理
中心极限定理
备用题
例1-1 设随机变量X1, X2,…, Xn相互独立, 且 Xi 在区间(−1, 1) 上服从均匀分布(i=1, 2,…, n), 试证 n 1 当 n充分大时, 随机变量 Z n = ∑ X 2 近似服从 i n i =1 正态分布并指出其分布参数. 证 记 Yi = X i2 , ( i = 1,2, , n) E ( Yi ) = E ( X i2 ) = D( X i )
注 1° 定理4.7是独立不同分布情形的中心极限 定理, 该定理表明: 当n充分大时, 有
∗ Yn ~ AN (0, 1)
而
n ⎛ n ⎞ 2 ⎟ µ , σ ∑ X i ~ AN ⎜ ∑ ∑ i i ⎟ ⎜ ⎝ i =1 i =1 ⎠ i =1 n
第二节 中心极限定理
x)
1
t2
e 2 dt Φ( x) .
n np(1 p)
2
该定理表明,当 n 时,二项分布以正态分布
为极限分布.
实际应用中,若随机变量X ~ B(n, p) ,只要 n 充
分大,即有
~ X 近似地 N(np, npq)，或
即有近似计算公式
~ X np 近似地 N(0,1)， npq
观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随 机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中 所起的作用不大. 则这种量一般都服从或近似服从 正态分布.
4
中心极限定理，正是从理论上证明，对于大 量的独立随机变量来说，只要每个随机变量在总 和中所占比重很小，那么不论其中各个随机变量 的分布函数是什么形状，也不论它们是已知还是 未知，而它们的和的分布函数必然和正态分布函 数很近似。这就是为什么实际中遇到的随机变量 很多都服从正态分布的原因，也正因如此，正态 分布在概率论和数理统计中占有极其重要的地位。
[1 Φ(1.34)] 2 0.1802．
12
~ Sn
12 /
n
近
似
地
N
(0,
1)
,
(2) 数据个数n应满足条件：
P{| Sn | 10 } P
| Sn | n / 12
10
0.90
,
n / 12
即 2Φ( 10 ) 1 0.90 , Φ( 10 ) 0.95 ,
P{40 X 60} Φ( 60 50) Φ( 40 50)
47.5
47.5
2Φ(1.45) 1 0.853 .
注 由切比雪夫不等式,
1
t2
e 2 dt Φ( x) .
n np(1 p)
2
该定理表明,当 n 时,二项分布以正态分布
为极限分布.
实际应用中,若随机变量X ~ B(n, p) ,只要 n 充
分大,即有
~ X 近似地 N(np, npq)，或
即有近似计算公式
~ X np 近似地 N(0,1)， npq
观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随 机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中 所起的作用不大. 则这种量一般都服从或近似服从 正态分布.
4
中心极限定理，正是从理论上证明，对于大 量的独立随机变量来说，只要每个随机变量在总 和中所占比重很小，那么不论其中各个随机变量 的分布函数是什么形状，也不论它们是已知还是 未知，而它们的和的分布函数必然和正态分布函 数很近似。这就是为什么实际中遇到的随机变量 很多都服从正态分布的原因，也正因如此，正态 分布在概率论和数理统计中占有极其重要的地位。
[1 Φ(1.34)] 2 0.1802．
12
~ Sn
12 /
n
近
似
地
N
(0,
1)
,
(2) 数据个数n应满足条件：
P{| Sn | 10 } P
| Sn | n / 12
10
0.90
,
n / 12
即 2Φ( 10 ) 1 0.90 , Φ( 10 ) 0.95 ,
P{40 X 60} Φ( 60 50) Φ( 40 50)
47.5
47.5
2Φ(1.45) 1 0.853 .
注 由切比雪夫不等式,
chapt5-2-中心极限定理
此200题中旳80题，而答对25题至30题旳概率是多少
？解: 设答对旳题数为X，则
X~B(80,0.25),
E( X ) 80 0.25 20， D( X ) 80 0.25 0.75 15，
X 20近~似 N (0， 1)
15
P{25 X 30}
P{25 20 X 20 30 20}
100
100
即
X i 200近似
i 1
~ N (0，1）
15
(1)
100
P{
i 1
Xi
180}
P{ i1
X i 200 15
180 200} 15
100
X i 200
P{ i1
1.33} 1 Φ(1.33)
15
(1.33) 0.9082
100
(2) P{0 X i 200}
lim P{ X n np x} x
1
t2
e 2 dt
n np(1 p)
2π
即
X n np 近~似N (0,1) np(1 p)
近似
X n ~ N (np, np(1 p))
对于二项分布，当n很大时计算较烦，若p很小，则可用 泊松分布近似; 若p不很小，则可用正态分布近似
定理表白：若 X服n 从二项分布，当n很大时， X n
15
15
15
P{1.29 X 20 2.58} Φ(2.58) Φ(1.29) 15
0.9951 0.9015 0.0936
练习：在次品率为
1 8
旳一大批产品中，任意抽取400件
产品，利用中心极限定理计算抽取旳产品中次品数
在40与60之间旳概率．
第二节--中心极限定理
四、拉普拉斯中心极限定理
例3 100台车床独立工作，每台实际工作时间占全部 工作时间的80%. 求任一时刻有70至86台车床工作的 概率.
解：设
Xi
0, 1,
第i台床不工作 第i台床工作
i 1, 2,
,100
则 Xi B(1, 0.8)
100
100
依题意， E( X ) E( Xi ) E( Xi ) 80
设随机变量序列{ Xi }(i 1, 2, )独立同分布，
EXi , DXi 2 , i 1, 2, ，则
lim
n
P
n i 1
n
Xi E( Xi )
i 1
n
D( Xi )
i 1
x
lim P n
n i 1
Xi n n 2
x
1
x t2
e 2 dt ( x)
2
设随机变量序列{ Xi }(i 1, 2, )独立同0-1分布，即
n
Xi B(1, p), EXi p, DX i pq, i 1, 2, ， X i nA，
i 1
n
n
lim n
P
i 1
Xi E( Xi )
i 1
n
D( Xi )
i 1
x
lim
n
P
nA np npq
x
近似
Xi N (n，n 2 ),
i 1
X
1 n
n
近似
X i N (， 2
i 1
n)
n
近似
~ Xi独立同0 - 1分布 Xi nA N (np，npq)
i 1
大数定律与中心极限定理
概率统计(5)大数定律与中心极限定理
i=1
i =1 上一页 下一页
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定理2: 定理
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贝努利大数定律) (贝努利大数定律)设nA是n次独立重复试 次独立重复试 定理3: 定理 验中事件A出现的次数 是事件 出现的次数. 是事件A在每次试验中发生的 验中事件 出现的次数 p是事件 在每次试验中发生的 概率 (0<p<1),则对任意的ε >0有: 则对任意的 有 或 证明:设Xi表示第 i 次试验中事件 出现的次数, 次试验中事件A出现的次数 出现的次数, 证明: i=1,2,…,n,则X1,X2,…,Xn相互独立且均服从参数为 的 相互独立且均服从参数为p的 则 (0-1)分布,故有 E(Xi)=p, D(Xi)=p(1-p) i=1,2,…,n 分布, 分布 由契比雪夫大数定律知, 且 ,由契比雪夫大数定律知,对于任意 的 ,有
定理1: 定理
相互独立, 证 因X1,X2,…相互独立,所以 相互独立
1 n 1 n 1 l D ∑ X i = 2 ∑ D( X i ) < 2 nl = n n n i =1 n i =1
又因
1 n 1 n E ∑ X i = ∑ E ( X i ), n i =1 n i =1
ε
ε2
可见契比雪夫不等式成立. 可见契比雪夫不等式成立
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设电站供电网有10000盏电灯 夜晚每一盏灯开灯的 盏电灯,夜晚每一盏灯开灯的 例2 设电站供电网有 盏电灯 概率都是0.7,而假定开,关时间彼此独立 估计夜晚同时 而假定开, 概率都是 而假定开 关时间彼此独立,估计夜晚同时 开着的灯数在6800与7200之间的概率 之间的概率. 开着的灯数在 与 之间的概率 表示在夜晚同时开着的灯的数目,它服从参数为 解 设X表示在夜晚同时开着的灯的数目 它服从参数为 表示在夜晚同时开着的灯的数目 n=10000,p=0.7的二项分布 的二项分布. 的二项分布 若要准确计算,应该用贝努利公式 应该用贝努利公式: 若要准确计算 应该用贝努利公式:
i =1 上一页 下一页
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定理2: 定理
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贝努利大数定律) (贝努利大数定律)设nA是n次独立重复试 次独立重复试 定理3: 定理 验中事件A出现的次数 是事件 出现的次数. 是事件A在每次试验中发生的 验中事件 出现的次数 p是事件 在每次试验中发生的 概率 (0<p<1),则对任意的ε >0有: 则对任意的 有 或 证明:设Xi表示第 i 次试验中事件 出现的次数, 次试验中事件A出现的次数 出现的次数, 证明: i=1,2,…,n,则X1,X2,…,Xn相互独立且均服从参数为 的 相互独立且均服从参数为p的 则 (0-1)分布,故有 E(Xi)=p, D(Xi)=p(1-p) i=1,2,…,n 分布, 分布 由契比雪夫大数定律知, 且 ,由契比雪夫大数定律知,对于任意 的 ,有
定理1: 定理
相互独立, 证 因X1,X2,…相互独立,所以 相互独立
1 n 1 n 1 l D ∑ X i = 2 ∑ D( X i ) < 2 nl = n n n i =1 n i =1
又因
1 n 1 n E ∑ X i = ∑ E ( X i ), n i =1 n i =1
ε
ε2
可见契比雪夫不等式成立. 可见契比雪夫不等式成立
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设电站供电网有10000盏电灯 夜晚每一盏灯开灯的 盏电灯,夜晚每一盏灯开灯的 例2 设电站供电网有 盏电灯 概率都是0.7,而假定开,关时间彼此独立 估计夜晚同时 而假定开, 概率都是 而假定开 关时间彼此独立,估计夜晚同时 开着的灯数在6800与7200之间的概率 之间的概率. 开着的灯数在 与 之间的概率 表示在夜晚同时开着的灯的数目,它服从参数为 解 设X表示在夜晚同时开着的灯的数目 它服从参数为 表示在夜晚同时开着的灯的数目 n=10000,p=0.7的二项分布 的二项分布. 的二项分布 若要准确计算,应该用贝努利公式 应该用贝努利公式: 若要准确计算 应该用贝努利公式:
中心极限定理(27页PPT)
中心极限定理
§5.2 中心极限定理
一. 中心极限定理的定义与意义
定义5.2.1 设随机变量X, X1, X2, …的分布函 数分别为F( x ),F1( x ), F2( x ), …, 若极限式
lim
n
Fn
(
x)
F
(
x
)
在F( x )的每一个连续点上都成立，称随机变 量序列{Xk}, k = 1,2,…依分布收敛于X .
中心极限定理
二. 中心极限定理
定理5.2.1（林德伯格—列维定理、独立
同分布中心极限定理）
设{ Xk }, k =1,2…为相互独立, 具有相同分
布的随机变量序列, 且E( Xk ) = m, D( Xk ) = s2,
则{ Xk }满足中心极限定理，即 有
n
lim
P
k
1
X
k
nm
x
Φ( x)
100
X Xi
i 1
电子科技大学
中心极限定理
并且随机变量 X1, X2, ···, X100 独立同分布,
具有分布律:
P{ X i
k}
1 (2)k1, 33
k 1,2,
因 1
E( X i ) 1 3, 3
2
D( X i )
3
(
1 3
)2
6
i = 1, 2, ···, 100;
根据林德伯格—列维定理, 所求概率
电子科技大学
中心极限定理
100
P{280 Xi 300}
i 1
(0) (0.8165)
0.5 1 (0.8165) 0.293
电子科技大学
中心极限定理
§5.2 中心极限定理
一. 中心极限定理的定义与意义
定义5.2.1 设随机变量X, X1, X2, …的分布函 数分别为F( x ),F1( x ), F2( x ), …, 若极限式
lim
n
Fn
(
x)
F
(
x
)
在F( x )的每一个连续点上都成立，称随机变 量序列{Xk}, k = 1,2,…依分布收敛于X .
中心极限定理
二. 中心极限定理
定理5.2.1（林德伯格—列维定理、独立
同分布中心极限定理）
设{ Xk }, k =1,2…为相互独立, 具有相同分
布的随机变量序列, 且E( Xk ) = m, D( Xk ) = s2,
则{ Xk }满足中心极限定理，即 有
n
lim
P
k
1
X
k
nm
x
Φ( x)
100
X Xi
i 1
电子科技大学
中心极限定理
并且随机变量 X1, X2, ···, X100 独立同分布,
具有分布律:
P{ X i
k}
1 (2)k1, 33
k 1,2,
因 1
E( X i ) 1 3, 3
2
D( X i )
3
(
1 3
)2
6
i = 1, 2, ···, 100;
根据林德伯格—列维定理, 所求概率
电子科技大学
中心极限定理
100
P{280 Xi 300}
i 1
(0) (0.8165)
0.5 1 (0.8165) 0.293
电子科技大学
中心极限定理
中心极限定理
随机变量
Zn
1 n
n i 1
X
2
i
近似服从
正态分布并指出其分布参数.
证记
Yi
X
2 i
,
(i 1,2, ,n)
E(Yi
)
E(
X
2 i
)
D(
X
i
)
D(Yi
)
E(Yi2 )
[E(Yi
)]2
E
(
X
4 i
)
[E(Yi
)]2
因为
E
(
X
4 i
)
1 1
xi4
1 2
dxi
1 5
,
所以
D(Yi
)
1 5
1 2 3
30500 np(1
np
p)
30500 np
np(1 p) 29500 np
1
t2
e 2 dt
2π
np(1 p)
30500 np 29500 np np(1 p) np(1 p)
n 90000, p 1 , 3
P{29500 X 30500} 5 2 5 2 2 2
(1) 求参加会议的家长数 X 超过 450 的概率; (2) 求有1名家长来参加会议的学生数不多于
340的概率.
解 (1) 以 Xk k=1, 2,…, 400 记 第k个学生来参加会议的家长数.
则Xk的分布律为 Xk 0 1 2
pk 0.05 0.8 0.15
易知 E( Xk ) 1.1, D( Xk ) 0.19, k 1,2, ,400
4, 45
因为X1, X2,…, Xn相互独立, 所以Y1, Y2,…,Yn
中心极限定理
f
g
h
20个0-1分布的和的分布
x
01 2 3 几个(0,1)上均匀分布的和的分布
X1 ~f(x) X1 +X2~g(x) X1 +X2+X3~ h(x)
例1: 一 加 法 器 同 时 收 到 20个 噪 声 电 压 V k(k1,2,Ln),
概率论
设 它 们 是 相 互 独 立 的 随 机 变 量 ,且 都 在 区 间 (0,10)上 服 从 均 匀 分 布 .
其 中 Xk(k1,2,L,n)的 分 布 律 为 :
PXk ipi(1p)1i,i0,1,
由 于 : E ( X k ) p ,D ( X k ) p ( 1 p ) ( k 1 , 2 , L , n ) , 得 :
limP n
fn np np(1 p)
x
lim
n
P
n
k
1
Xk
n
记 :V V k， 求 PV105的 近 似 值 . k1
解: 易 知 :E(V k)5,D (V k)10012(k1,2,L20).
~ 由 定 理 知 :Vk2 01V k近 似 地 N205,1 1 0 2 020,于 是 ：
P V 1 0 p 5 V 1 2 1 0 5 0 2 0 2 0 1 1 0 1 0 2 5 2 0 2 5 0 0
p V 102100 25200.38 7
1p V 102 10 0 2520 0.38 71 (0 .3)8 0 7 .34
即 有 ： P V 1 0 5 0 .3 4 8 .
例2:某车间有200台车床, 在生产期间由于需要检修, 调换刀具, 变换位置及调换工件等常需停车. 设开工率为0.6, 并设每台车床的工作是独立的， 且在开工时需电力1千瓦.
第二节 中心极限定理
第二节中心极限定理独立同分布序列的中心极限定理定理1设X1,X2,…Xn,…是独立同分布的随机变量序列，且具有相同数学期望和方差E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2（i=1,2,…）。
记随机变量的分布函数为F n（x），则对于任意实数x，有（不证）其中φ（x）为标准正态分布函数。
由这一定理知道下列结论：（1）当n充分大时，独立同分布的随机变量之和的分布近似于正态分布N（nμ，nσ2）。
我们知道，n个独立同分布的正态随机变量之和服从正态分布。
中心极限定理进一步告诉我们。
不论X1,X2,…X n,…独立同服从什么分布，当n充分大时，其和Z n近似服从正态分布。
（2）考虑X1,X2,…X n,…的平均值，有它的标准化随机变量为，即为上述Y n。
因此的分布函数即是上述的F n（x），因而有由此可见，当n充分大时，独立同分布随机变量的平均值的分布近似于正态分布[例5-3]对敌人的防御地段进行100次射击，每次射击时命中目标的炮弹数是一个随机变量，其数学期望为2，均方差为1.5，求在100次射击中有180颗到220颗炮弹命中目标的概率。
解设X i为第i次射击时命中目标的炮弹数（i=1,2,…,100），则为100次射击中命中目标的炮弹总数，而且X1，X2，…X100同分布且相互独立。
由定理1可知，随机变量近似服从标准正态分布，故有[例]某种电器元件的寿命服从均值为100（单位：小时）的指数分布。
现随机抽出16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总和大于1 920小时的概率。
解设第i只电器元件的寿命为X i=（i=1,2,…16）,E（X i）=100，D（X i）=1002=10 000，则是这16只元件的寿命的总和。
E（Y）=100×16=1 600，D（Y）= 160 000，则所求概率为：棣莫弗（De Moivre）-拉普拉斯（Laplace）中心极限定理下面介绍另一个中心极限定理，它是定理1的特殊情况。
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X 80 P 1.45 5.8 5.8 1.45 0.07 6.9
200个键盘中有90个到120个优质键盘的概率
约为0.7.
例 某车间有200台车床,它们独立地工作着, 开工率各为0.6,开工时耗电各1千瓦, 问; 供电所至少要供给这个车间多少电力,才能 以99.9 0 0 的概率保证这个车间不会因为供电 不足而影响生产? 耗电数
根据上述定理，当n充分大时
x n p{ X i x} ( ) n i 1
n
1 n n Xk x k 1 P x x n
1 e 2
t2 2
dt
例
将一颗骰子连掷100次，则点数之和不少于 500的概率是多少？
选取200个,
问: 有90个到120个优质键盘的概率是多少?
解: 设X--优质品键盘数. X B 200,0.4
E X np 200 0.4 80.
DX npq 200 0.4 0.6 6.9
由极限定理:
90 np X np 120 np P 90 X 120 P npq npq npq
例 某单位内部有260架电话分机,每个分机有4 0 0
的时间要用外线通话.可以认为各个电话机用不用
外线是相互独立的.
问: 总机要有多少条外线才能以95 0 0 的把握保证各
个分机在用外线时不必等候.
1 解: 设X k 0 第k个分机要用外线 k 1,2,260 第k个分机不用外线
x 120 48
x 120 x 120 0.999 查表 : 48 3.1 x 141 48
∴ 只要供给这个车间141千瓦电, 就可保证因供电
不足而影响生产的可能性小于0.01.
0 120 X 120 x 120 P 0 X x P 48 48 48
x 120 120 x 120 17.36 48 48 48
P X k 0 0.96 1 p
P X k 1 0.04 p
X : 260部电话分机中同时要求使用外线的分机数.
X= X k ,
k=1 260
X B 260, 0.04 .
问题归结为:求x,使得:P0 X x 95 0 0 成立.
2.德莫佛-拉普拉斯定理 (De Moivre-Laplace)
设随机变量n(n=1, 2, ...)服从参数为n, p(0<p<1)
的二项分布，则
n np w ~ N (0, 1). npq
第i次试验事件A发生
证明:设 则
1 Xi 0
第i次试验事件A不发生
n i 1
解: 设Xk为第k 次掷出的点数,k=1,2,…,100,则 X1,…,X100独立同分布.
7 1 6 2 49 35 E ( X1 ) , D( X 1 ) k 2 6 i 1 4 12 由中心极限定理
7 500 100 100 2 P{ X i 500} 1 1 (8.78) 0 35 i 1 10 12
x 10.4 0.95 0.0005 0.9505 3.16
x 10.4 查表 : 1.65 x 15.61 16. 3.16
总机至少应配备有16条外线,才能有95 0 0以上的把
握保证各个分机在使用外线时不必等候.
例 已知某批计算机键盘的优质品率为40 0 0 ,随机
E ( X i ) p, D( X i ) p(1 p),n X i
由3.)
n np P x x N 0.1 npq x np P n x F x N np, npq npq np np P n F F npq npq n P p P np n n np n n n n F np n F np n npq npq
第二节 中心极限定理
一.依分布收敛
设{Xn}为随机变量序列，X为随机变量，其
对应的分布函数分别为Fn(x), F(x). 若在F(x)的
连续点，有
lim Fn ( x ) F( x ),
n
则称{Xn}依分布收敛于X. 可记为
Xn X.
w
现令Yn X k , 若Yn的标准化r.v.Y ~ N (0,1),
二.几个常用的中心极限定理
1.独立同分布中心极限定理(Levy-Lindeberg)
设{Xn}为独立同分布随机变量序列，若
EXk=<，DXk= 2 <， 0 k=1, 2, …, 则{Xn}
满足中心极限定理。
1 n n Xk k 1 lim Fn x lim P x x. n n n
2 n npq 1
例
在一家保险公司里有10000个人参加寿命保险，
每人每年付12元保险费。在一年内一个人死亡的概率 为0.6%，死亡时其家属可向保险公司领得1000元，
问： (1)保险公司亏本的概率有多大？
(2)其他条件不变，为使保险公司一年的利润 不少于60000元，赔偿金至多可设为多少？
n
即 : lim Fn Yn* x . 则称{X n }满足中心极限定理.
n
k 1
* n
w
n n Xk E Xk k 1 lim P k 1 x x . n n D Xk k 1 n x E Xk n k 1 lim P X k x . n n k 1 D Xk k 1
解: 设X---正在工作的车床数. X B 200,0.6
问题归结为:求x,使得:P0 X x 99.9 0 0 成立.
由极限定理:
0 200 p X 200 p x 200 p P 0 X x P 200 pq 200 pq 200 pq
解: 设X表示一年内死亡的人数，则X~B(n, p),
其中
n= 10000，p=0.6%，
设Y表示保险公司一年的利润，
Y=1000012-1000X
于是,由中心极限定理 (1) P{Y<0} = P{1000012-1000X<0}
120 10000 0.006 = 1P{X120} 1 10000 0.006 0.994 1 (7.75)= 0;
（2）设赔偿金为a元，则令
P{Y 60000 0.9 }
P{Y>60000}=P{1000012-aX>60000} =P{X60000/a}0.9; 由中心极限定理,上式等价于
60000 10000 0.006 ( a ) 0.9 a 3017 10000 0.006 0.994
由极限定理:
0 260 p X 260 p x 260 p P 0 X x P 260 pq 260 pq 260 pq x 10.4 10.4 x 10.4 1 (3.19) 3.16 3.16 3.16 x 10.4 0.0005 3.16