4.稳定性(第六讲)

第六讲：第四章：稳定性分析系统稳定性是衡量系统能否正常工作的首要条件。

经典理论中介绍了关于“稳定性概念”及判据。

从讨论的观点和应用范围上与现代控制理论中有关稳定性的概念及判据有本质不同。

* 经典理论中，介绍的有关稳定性针对系统的输入——输出。

对在有限输入作用下，以系统的输出是否有限确定系统的稳定性。

（输出稳定性）判据有：1、劳斯判据；2、根轨迹法；3、奈氏判据。

应用范围：除奈式判据可用于某些非线性系统外，均用于线性定常系统。

稳定性的充要条件：闭环极点均具负实部。

* 现代控制理论中：稳定性是指状态稳定性，称为李亚谱诺夫稳定性。

应用范围：不仅可用于线性系统，而且可用于非线性系统，为一般性方法。

李亚谱诺夫稳定性理论是一个古老的数学问题。

现代控制理论中介绍李氏稳定性理论的原因是人们力图找到一个好的方法用以完满解决系统稳定性问题。

理论上讲李氏理论也却为一个好的方法。

作为老理论新应用，介绍李氏稳定性理论。

李氏稳定性问题分析分为二类。

其一为间接法：要求解微分方程，进而分析系统的稳定与否。

称为第一法；其二为直接法：不求微分方程，直接判定系统稳定性，称为第二法。

一、李亚谱诺夫稳定性概念设系统用状态方程()u x f x,=&表示，且参数输入设为u=0,即()x f x=&()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡n n n n x x f x x f x x ΛM Λ&M &1111 i f 连续且具连续一阶导数。

1、 平衡状态设x x e ∈（x 表示由状态形成的n 维空间），若满足()0=e x f 则称e x 为系统平衡状态。

（也称平衡点，平衡位置）2、 稳定性设e x x =为一平衡状态，若对任意一个0>ε可找到一个()0>εδ（与ε有关的数δ）使满足()δ<-e x t x 0的所有()()0,t t t x >有：()ε<-e x t x 0称在e x 系统稳定。

∆称为范数，是“广义距离”。

()()()距离21221222122211121,x x x x x x x x x x n n →-++-+-=-Λ，稳定性定义可解释为：对给定的一个域()εs 不论多么小，总存在另一个域()δs 在初始偏差不超出()δs 条件下，0t t >后()t x 的运动轨迹均落在()εs 范围内，称平衡点e x 稳定。

可见：稳定性式针对平衡点而言。

3、 渐进稳定性设e x x =为一平衡状态，若系统e x x =处稳定，且()e t x t x =→ϖlim 称系统在e x x =处渐进稳定。

4、 大范围稳定设e x x =是平衡状态，若系统对任意的初始状态()x t x ∈0其对应轨线()t x 在e x x =处稳定，则称大范围稳定。

二、李亚谱诺夫稳定性方法（第二法）设系统状态方程()()⎩⎨⎧==0e x f x f x&（平衡点为e x ）思路：在第二法中要求找到一个具有特殊性质的函数，而这个函数可对时间求导，如果该导数沿系统的轨迹是恒负值，则李氏第二法说明系统为渐进稳定。

为了讨论的方便，设0=e x （平衡点为原点）。

否则，可进行出标变换将非零状态化为零状态。

()⎩⎨⎧==为平衡点0ex x f x & 讨论系统的稳定性。

1、李亚谱诺夫函数1）标量函数的正定性正定性：设标量函数()x v ，它对域s 中所有非零状态0≠x 总有()0>x v 且当x=0时，()0=x v 称()x v 在s 域正定。

负定性：V(x)在s 域中所有非零状态有()0<x v 且()0=x v 称()x v 是负定性。

()x v -为正定的。

半正定、半负定：在域s 中，对x=0及某些s x ∈，()0=x v 对s 中其它状态均有()0>x v 时，称为半正定。

()x v -为负正定。

不定性：V(x)时正时负为不定性。

2）李亚谱诺夫函数满足下列条件的函数称为李式函数。

⑴V(x)为正定，亦V(0)=0且存在0≠x 的一个临域k x <使k x <<0时()0>x v ⑵V(x)在临域k x <内对i x 的偏导存在且渐进⑶()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=n n TT T f f x v x v x f x v x x v t x x v x v M Λ&&11半负定，亦()0=x v &且在k x <内()0≤x v& 2、李氏稳定判据结论：1）对系统()()⎩⎨⎧==00x x f x&若存在李亚谱诺夫函数V(x)，测系统在平衡点0=e x 处稳定。

2）若存在李氏函数，且()x v&负定的，则系统在平衡点0=e x 处渐进稳定。

结论说明：系统存在李氏函数是确定系统稳定与否的充分条件，但并非必要条件。

即，如果找到李氏函数系统就稳定。

但找不到并不能说明系统不稳定。

问题关键是李氏函数的构造。

一般讲，李氏函数的获得并没有一明确的、成熟的方法，往往存在一定偶然因素。

尽管如此，还是存在一些常用的求李氏函数的方法。

例1、⎩⎨⎧-==1221x x x x &&，0=x 处为平衡点，取()2221x x x v +=正定形容亦验证。

()()0022)(2121122≤=-+=-∂∂+∂∂=x x x x x x vx x v x v&为半负定。

可由结论1得系统是在X=0处稳定。

例2、()()⎩⎨⎧-++--==12222121221x x x x x x x x &&（0=e x ，平衡点），取()()22212212221214225x x x x x x x x x v ++-=+-=正定()()()()()()()()124210)12(2221211222122212122≤=-++---+-=-++--∂∂+∂∂=Λ&x x x x x x x x x x x x x x x x v x x v x v系统在平衡位置渐进稳定。

3、线性系统李氏函数的构造：二次型函数： ()px x x v T=设P 为对称阵j i p p ji ij ≠=,二次型函数的正定型：0≠x 时()0>x v 称矩阵P 为正定的。

检验P 为正定的标准： ⑴赛而维斯特准则：若P 的所有主子式均大于0，则P 为正定阵，即称V(x)为正定； ⑵P 的特征值均为正值，对称阵P 为正定的。

设线性定常系统：Ax x=&若A 为非奇异阵，则唯一平衡点x=0取V(x)px x T=（二次型函数）为李是函数，且P 为实对称阵。

()()()xpA p A x pAx x px A x pAx x px Ax x p x px x x vT T T T T T T T T +=+=+=+=&&由李氏判据：要是在X=0处渐进稳定，则要求)(x v &负定，Qx x x v7)(-=&负定，亦)(PA P A Q T+-=为正定阵。

Q （对称）存在一个正定阵P （对象）使PAP A Q T +=-满足标量函数px x x V T =)(为李氏函数。

通常取Q=I （单位阵），称I PA P A T -=+为李亚谱诺夫方程，求解P 且判断正定性问题，称为解李亚谱诺夫问题。

三、 用稳定性理论确定校正方案一般线性定常系统：bu Ax x+=&（单输入） 取(),px x x v T=P 为正定阵()()()upb x px b x pA p A x bu Ax p x px bu Ax x p x px x x vTTTTT T T +++=+++=+=)()(&&且()pb x pxb T TT =且其为标量。

()pbu x x pA p A x x vT T T 2)(++=& 如果构造：Q pA p A T -=+负定（Q 正定）且取u ，使pbu zx T为非正标量，则可保证)(x V &负定性（稳定）。

取()px kb pbx k u T TT =-=（K 为正常数，使u 用状态x 表示）其实质：利用px kb u T-=状态反馈构成控制u 作为校正方案，可使系统满足稳定性要求。

Ex: U y状态方程：⎩⎨⎧+-==ux x x x 1221&& 取()2221x x Ix x x v T +==则()u x u x x x x xI x Ix x x v T T112212)(22=+-+=+=&&& 为使)(x V&负定，取2kx u -=(0>k )即可。

当2kx u -=时，可使⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+=cx y x k bu Ax x 110&稳定。

设u=ky 则系统化为⎩⎨⎧=+=cxy buy Ax x&，()[]()111011000det 2+-+=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-k kk bkc A I λλλλλλ，pk ±=λ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+=+=0110kx bkc A bkcx Ax x&， 输出反馈不能使系统稳定。

归纳线性系统：稳定性与渐进稳定性一致；局部渐进稳定性和大范围渐进稳定性一致；局部稳定性、大范围稳定性一致。

而非线性系统不同。

四、 非线性系统李氏函数的求法对系统稳定性而言，局部渐进稳定与大范围渐进稳定概念相同，但非线性系统的稳定性则不然。

在大范围内不是渐进稳定则在局部完全可能渐进稳定。

可见非线性系统的稳定性具有局部性质。

因此在寻找李是函数时，需要确定平衡点附近邻域的最大稳定范围。

具体介绍n 个研究非线性系统李亚谱诺夫稳定性方法。

常见的方法：1、雅可比法；2、矩阵法；3、线性近似法；4、变量梯度法。

具体介绍1、3法。

1）雅可比法（克拉索夫斯基法）设非线性系统可描述为)(x f x =&，亦--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)()(1111n n n n x x f x x f x x ΛM Λ&M &，且设F(0)=0。

设系统的雅可比阵T 为：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=n n nnn x f x f x f x f xF x f ΛM MΛ111)( 且作如下形式二次型)()()(x PF x F x v T=其正定性指P 的正定性（设P 对称阵），且)()(x F x J xx Ft v v F t F ⋅=⋅∂∂=∂∂⋅∂∂=∂∂& )()()()]()([)()()()()()()()]()([)()()]()([)()()()()(x QF x F x F x PJ P x J x F x F x PJ x F x PF x J x F x F x J P x F x PF x F x J x F P x F x PF x F tx v T T T T T T T T T T =+=+=+=+=∂∂&&Q=)()(x PJ P x J T+可见：⑴Q 半负定，则系统稳定； ⑵Q 负定，则系统渐进稳定；⑶（x ） ∞时，V(x) ∞则系统大范围渐进稳定。