2-3 随机变量的函数及其分布 (2)

X
0
1
P 0.5 0.5 试求：Z max( X ,Y )的分布律.
解 因为X与Y相互独立,
所以p{X xi ,Y y j } p{X xi } p{Y y j },
于是
XY 0
1
0
1 22 1 22
1
1 22 1 22
p{max(X ,Y ) i} P{X i,Y i}
Y X
z
0
pZ
(
z
)
dFZ ( dz
z)
0
p( yz, y) ydy p( yz, y) ydy
0
| y | p( yz, y)dy
② 当z 0时，
D {(x, y) x z} y
FZ (z) p( x, y)dxdy
y
D
0
0
dy p( x, y)dx zy
zy
dy p( x, y)dx
p(
x)
10 x 50
,
0,
0 x 10, 其他.
求电阻R R1 R2的概率密度.
解 由题意知 R 的概率密度为
pR(z)
p( x) p(z x)d x.
x x 10
x z x z 10
O
10
20
z
当
0 0
x 10, z x
10,
即
0 x z 10
10, x
z,
时,
1
2
1
0
2
12 12
3
2
0
2
12
12
等价于
1 1 3 21
2
2
P
12 12 12 12 12 0 12 0 12
(
X
,Y
)
(1,2)(1,1)
(1,0)
1 2
,2
1 2
,1
1 2
,0
(3,2)(3,1)(3,0)
X Y 3 2 1 3 1 1 1 2 22
23
X Y 1
5 31 0 1 2 225 43
4
4
例4-1 设随机变量X与Y独立，且
P{X 1} P{Y 1} p 0,
P{X 0} P{Y 0} 1 p 0,
令Z
1, 0,
X Y为偶数,
X Y为奇数. 1
要使X与Z独立，则p ——2—.
解 P
2 p(1 p) p2 (1 p)2
(X ,Y )
z
(0,1), (1,0)
0
1
0
1 22 1 22
P{X i,Y i}
1
1 22 1 22
1 P{max(X ,Y ) 0} P{0,0} 22 ,
P{max(X ,Y ) 1} P{1,0} P{0,1} P{1,1}
1 22
1 22
212
3 22
.
故Z max( X ,Y ) Z 0
1
的分布律为
1
3
P
第三节 随机变量的函数
及其分布(2)
（两个随机变量的函数的分布）
一、问题的引出
二、离散型随机变量
的函数的分布
回
三、连续型随机变量 的函数的分布
停 下
一、问题的引出
有一大群人，令X和Y分别表示一个人的年龄 和体重，Z表示该人的血压并且已知Z与X ,Y的函数 关系Z f ( X ,Y ),如何通过X ,Y的分布确定Z的分布
pij
k 1,2, .
zk f ( xi , y j )
2. 连续型随机变量函数的分布 (1)Z X Y的分布
(2)Z X 的分布 Y
(3)M max( X ,Y )及N min( X ,Y )的分布
备用题
例3-1 设相互独立的两个随机变量 X, Y 具有同一 分布律,且 X 的分布律为
p( x, x z)dx
当X与Y独立时，
pZ (z) pX (z y) pY ( y)dy
pX ( x) pY ( x z)dx
(3)Z
X Y
的分布
pZ (z)
| y | p( yz, y)dy
当 X与Y 独立时，
pZ (z) | y | pX ( yz) pY ( y)dy
从而 (1 p) p (1 p) 2 p(1 p)
1 p 0
2(1 p) 1
p1 2
例6-1 设随机变量 X 与 Y 相互独立,且其分布密 度分别为
pX
(
x
)
1, 0,
0 x 1, 其它.
PX 0.3 0.7
PY 0.6 0.4
求随机变量 Z=X+Y 的分布律.
解 因为 X 与 Y 相互独立, 所以
P{X xi ,Y y j } P{X xi }P{Y y j },
Y
得 X2
4
1 0.18 0.12
3 0.42 0.28
Y X
24
1 0.18 0.12
3 0.42 0.28
② 当X，Y相互独立且同分布时，有 FM (z) F 2(z) FN (z) 1 [1 F (z)]2
证 FM (z) P{M z}
P{X z,Y z} P{ X z} P{Y z} FX (z)FY (z)
( X与Y独立)
FN (z) P{N z} 1 P{N z} 1 P{X z,Y z} 1 P{X z} P{Y z} 1 [1 FX (z)][1 FY (z)]
推广: 一般地，设 M max{ X1, X2, Xn }, N min{ X1, X2, Xn },
则当 X1, X2, , Xn相互独立且同分布时， 有 FM (z) F n(z) FN (z) 1 [1 F (z)]n 其中F (z) P{ X1 z}.
例8 对某种电子装置的输出测量了５次，得到的观
P ( X ,Y ) Z X Y
可得
0.18 0.12
(1,2) (1,4)
3 5
0.42 (3,2)
5
0.28 (3,4)
7
Z X Y 3 所以
P
0.18
5
7
0.54 0.28
三、连续型随机变量函数的分布
几种特殊形式的随机变量函数的分布 (1)Z X Y的分布
pZ (z) p(z y, y)dy p( x, z x)dx
观察值为X1, X2, X3, X4, X5设它们是相互独立的
随机变量，且都服从同一分布
F
(z)
1
e
2
ze2 8
,
z 0,
0,
其他.
试求max{ X1, X2 , X3 , X4 , X5 } 4的概率.
解 设 D max( X1, X2, X3, X4, X5 )
因为 Fmax (z) [F (z)]5, 所以 P{D 4} 1 P{D 4}
0,
其它.
p( z
x)
10
(z 50
x),
0 z x 10,
0,
代入 (1) 式得
其它.
(600z 60z2 z3 ) 15000, 0 z 10,
pR(z) (20 z)3 15000,
10 z 20,
0,
其它.
(2)Z X Y的分布
pZ (z) p(z y, y)dy
2 z)2
,
(当z 0时)
pZ (z) 0, 得
pZ
(
z
)
(2
2 z)2
,
z
0,
0,
z 0.
(4) 极值分布，即 M max{ X ,Y }, N min{ X ,Y }的分布.
① 当X，Y相互独立时，有 FM (z) FX (z)FY (z) FN (z) 1 [1 FX (z)][1 FY (z)]
P{Z zk } P{ f ( X ,Y ) zk }
pij
zk f ( xi , y j )
k 1,2
其中“
pij ”是关于f ( xi , y j ) zk
zk f ( xi , y j )
的( xi , y j )求和.
例2 设两个独立的随机变量X 与Y 的分布律为
X1
3
Y2 4
1 Fmax (4) 1 [F (4)]5 1 (1 ee2 )5 .
内容小结
1. 离散型随机变量函数的分布律 若二维离散型随机变量的联合分布律为
P{X xi ,Y y j } pij ,i, j 1,2, 则随机变量函数 Z f ( X ,Y )的分布律为
P{Z zk } P{ f ( X ,Y ) zk }
pR(z)
p( x) p(z x)d x 中被积函数不为零.
此时
z
p( x) p(z x)d x,
0 z 10,
pR
(
z
)
0 10
p( x) p(z x)d x,
z 10
10 z 20,
(1)
0，
其它.
x x 10
x z x z 10
O
10 20
z
将 p( x) 1050 x , 0 x 10,
试求Z
X Y
的概率密度函数
解 由公式
0
pZ (z) 0
yp( yz, y)d y yp( yz, y)d y,
p(
x,
y)
2e 0,
xe2
y , x 0, 其他.
y
0,
得所求密度函数 (当z 0时)
pZ (z)
2 ye yze2 y d y
0
2 ye y(2 z) d
0
y
(2
由公式pZ (z)
pX ( x)pY (z x)dx
得
pZ (z)
1 2π
e
x2 2
e
(
z
x 2
)2
dx
t xz 2
1 2π
e
z2 4
(
e
x
z 2
)2
dx
1
2π
e
z2 4
et2dt
1
e
z2 4
2π
即 Z 服从 N (0,2)分布.
说明
一般,设X ,Y相互独立且X ~ N ( μ1,σ12 ),Y ~
所以X Y ,| X Y |的分布律分别为
X Y 3
2
1
3 2
1 2
1
3
1
P 12
1
3
2
12 12 12
12 2 12 12 12
5
X Y 0
1
2
P
1
4
2
12 12 12
3 53
2
12 2 12 12 12
结论 若二维离散型随机变量的联合分布律为
p{ X xi ,Y y j } pij ,i, j 1,2, 则随机变量函数Z f ( X ,Y )的分布律为
y
x zy ( y 0)
xzy
o x zy x ( y 0)
令u x y
0
dy
z
p( yu, y) ydu
z
dy p( yu, y) ydu
0
0
z
dy p( yu, y) ydu dy p( yu, y) ydu
z
0
0
z
dy p( yu, y) ydy du p( yu, y) ydy
若X与Y独立时，
pZ (z) pX (z y)pY ( y)dy
pX ( x)pY (z x)dx
例5 设两个独立的随机变量 X 与Y 都服从标准正 态分布,求 Z=X+Y 的概率密度.
解
由于pX ( x)
1 2π
e
x2 2
,
x
pY ( y)
1
e
y2 2
,
2π
y
0
y0 x y z
oቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
y 0y 0x y
z
y 1x
令u x
z
y 0 dy p( yu, y) ydu
dy
z
p( yu, y) ydu
z
0
0
z
dy p( yu, y) ydu dy p( yu, y) ydu
z
0
0
z
dy p( yu, y) ydy du p( yu, y) ydy
证 z R, D {(x, y) x z} y
FZ (z) P{Z z} P{ X z} p( x, y)dxdy
Y
D
① 当z 0时，
FZ (z) p( x, y)dxdy D
0
dy p( x, y)dx
zy
zy
dy p( x, y)dx
0
D {(x, y) x z} y
0
(0,0), (1,1)
1
若X与Z独立,则
Z
0
( X ,Y ) ( X ,Y )
(0,1) (1,0)
P{X 0, Z 0} P{X 0} P{Z 0}
事件 { X 0，Z 0} { X 0，Y 1}
P{X 0, Z 0} P{X 0,Y 1}
P{X 0} P{Y 1} (1 p) p
为了解决类似的问题,下面我们讨论二维随机 变量函数的分布.
二、离散型随机变量函数的分布
例1 设随机变量( X ,Y )的分布律
X Y 2 1 0
1
1
3
1
12 12 12
1
2
1
0
2
12
12
3
2
0
2
12
12
求 (1)X Y , (2) X Y 的分布律.
解 X Y 2 1 0
1
1
3
1
12 12 12
z
0
pZ
(
z
)
dFZ ( dz
z)
0
p( yz, y) ydy p( yz, y) ydy
0
| y | p( yz, y)dy
例7 设X,Y分别表示两只不同型号的灯泡的寿命
X,Y相互独立,它们的 概率密度分别为
p(
x
)
e 0,
x
,
x 0, 其他.
p(
y
)
2e2 0,
y , x 0, 其他.
N ( μ2,σ22 ).则 Z X Y 仍然服从正态分布,且有
Z
~
N ( μ1
μ2 ,σ12
σ
2 2
).
有限个相互独立的正态随机变量的线性组合 仍然服从正态分布. 例如，设X、Y独立，都具有正态分布，则 3X+4Y+1也具有正态分布.
例6 在一简单电路中，两电阻R1和R2串联联接 设R1 , R 2 相互独立, 它们的概率密度均为