希尔伯特空间上一算子方程的解

解 的表 达 式 ． 此 基 础 上 ， 究 了 在 研
ＡＸＢ 一 ＢＸ Ａ 一 Ｃ （） ２
在希尔 伯特 空间上 的解 的表达 式．
１ 主要 结 论
引理 １ 设 Ａ ∈ Ｌ（ Ｈ： Ｈ ， ）是可逆 的 ， ∈ Ｌ Ｈ ） 则算 子等式 Ｂ （ ．
ＸＡ 一 ＡＸ 一 Ｂ （ ３）
第 ２ ６卷第 ３期
Ｖｏ１ ２ Ｎｏ． ． ６， ３
２１ ０ ０年 ６月
Ｊ ｎ ２ １ ｕ ．，０ ０
希 尔伯 特 空 间上 一算 子 方 程 的解
李 宁 王 文锋 ，
（． １ 山东财政 学 院 统 计与数 理学 院 ， 山东 济 南 ２ ０ １ ； ５ ０ ４ ２ 滨州 学院 自动 化系 ， ． 山东 滨州 ２ ６ ０ ） ５ ６ ３
有解 ｘ ∈ Ｌ（ ， ）当且仅 当 Ｂ 一一Ｂ ． Ｈ Ｈ 这时解 的表 达式 为
ｘ ＝ Ｂ（ ） ＋ Ａｚ， ＝ ＝ Ａ （） ４
收 稿 日期 ：０ ９ ２ ３ ２ ０ —１ 一Ｏ
修 回 日期 ： ０ ０ ３ ５ ２ １ —０ —０
基 金 项 目 ： 州 学 院 青 年 人 才 科 研 项 目基金 （ ｚ Ｋ Ｏ Ｏ ） 滨 Ｂ ｘＹ Ｊ ８ ２ 第一作者简介 ： 李 宁（９１ ）男 ， １８ 一 ， 山东 汶 上 人 ， 师 ， 要 从 事 计算 数学 的研 究 ， — ｉ ｊ ｇ ０９ １３ ｃｒ． 讲 主 Ｅ ｍａｌ ｉ ５ ９ ＠ ６ ．ｏ ．ｎ ｎ
中图分 类号 ： ７ ． Ｏ １７ １ 学 院 学 ｕ
０ 引 言
记 Ｈ Ｈ。 ， 为希尔 伯特 空间 ， Ｈ Ｈ 的所 有有界 线性 算子 的集合 为 Ｌ（ ， ） 当 Ｈ 一 Ｈｚ 从 到 Ｈ。 Ｈｚ ， 时记
报
为 Ｌ（ ） 对任 意给定 的算子 Ａ∈Ｌ（ ， ）记 Ｒ（ 和 Ｎ（ 分别 为 Ａ的值 域空 间和零 空间 ， Ｈ ． Ｈ。 Ｈ。 ， Ａ） Ａ） 若存 在一
Ｔ ● Ｊ
ｏ
Ｈ
ａ Βιβλιοθήκη Baidu
摘 要 ： 据算 子 Ａ 的 Ｍｏ ｒ— ｅ ｒ ｓ 逆 ， 希 尔伯 特 空间上给 出了一个对称 性有界 线性 算 根 ｏ ｅＰ ｎｏ ｅ 在
子 方程在 限 制条件 下有 解的充要 条件 ， 并得 到 了该 方程在 此条件 下通 解的 具体表 达式．
滨
州 Ｂ
关键 词 ： ｏ ｅ ｅ ｒ ｓ 逆 ； Ｍｏ ｒ— ｎｏ ｅ Ｐ 算子 等式 ； 尔伯 特 空间 希 文献标 识码 ： Ａ 文章 编号 ：６ ３— ６ ８ ２ １ ） ３ ０ ８ —０ １ ７ ２ １ （０ ０ ０ — ０ ２ ４
进 一步研 究 了更 广泛 的方 程 Ａ —Ｘ — Ｂ ． ０ ８ ， 庆祥嘲 讨论 了算子 方程组 Ａ — Ｃ， ＝ Ｄ有 正 Ｘ Ｆ Ｙ ２０ 年 许 ｘ Ⅻ 定 解 的条 件及解 的表 达式 ． 最近 ， ． ． ｊｒｊｖｃ 给 出了算子方 程 Ｄ Ｓ Ｄ ｏｄｅ ｉ
Ａ Ｘ ＋ Ｘ Ａ — Ｂ （） １
ｘ一寺ＢＡ ） 十Ａ 寺Ａ （ ＋ｘ （ ］ 告 （ ＿＋Ａ 告（ （ ［ ＢＡ ） Ａ ） 一 ＢＡ ） １ ［ Ａ Ｘ＋ｘ （ ）． Ａ ） ］
令 Ｚ—Ａ ｘ ＋ Ｘ （ ） ， 到 Ｚ — Ｚ Ａ ～ 得 ．
１
１
１
１
下 面给 出当 Ｒ（ Ａ）是 闭的时 ， 算子方 程 （ ）的解 的表达 式． ３
ｘ — Ｂ（ ） Ａ Ａ 一 （ Ａ Ｊ— Ａ Ａ） Ａ ） Ｂ（ ＋ ＡＺ Ａ ￣ Ｙ（ Ａ － Ｉ— Ａ Ａ） ， （） ６
这 里 ｌ Ｅ Ｌ（ ， ）Ｚ Ｅ Ｌ（ ） 足 Ａ（ ， Ｈ１ Ｈ２ ， Ｈ１ 满 Ｚ— Ｚ Ａ 一 ０ ） ．
引理 ２ 设 Ａ∈ Ｌ（ ， ） 闭 的值域 ， Ｅ Ｌ Ｈ ． Ｈ Ｈ。 有 （ ） 则算 子 方程 （ ） ３ 有解 Ｅ Ｌ（ ， ） Ｈ Ｈ 当且仅 当
Ｂ 一 ～ Ｂ ， Ｉ— Ａ４ Ｂ（ （ ） Ｊ～ Ａ４ ）一 ０ ． （ ５）
此 时 方 程 （ ）的 一 般 解 的 表 达 式 为 ３
１９ ９ ８年 ， Ｂ ａ ｅ ［ 考虑 了方程 Ａ ｘ＋ＸＴ — Ｂ的解 ． ０ １ ， ． ｒｉｎｓ 给出 了 Ｓ ｌｅｔｒ Ｈ． ｒｄ ｎ Ａ ２ ０ 年 Ｐ Ｋｉ ｎ ｉ ３ ｒ Ｉ ｙｖ ｓｅ 方程 Ａ ｘ
—
ＸＢ— Ｃ的解 ． ０ ４ ， ２ ０ 年 段广 仁 得到 了此方 程在线 性 系统领域 的许 多应用 ， ２ ０ 年 ， 在 ０ ５ 周斌 和段广 仁 ］
个算 子 Ａ ∈ Ｌ（ ， ） 满 足 Ａ Ａ— Ａ， 一 Ｈ Ｈ ， Ａ 则称 Ａ是广 义可逆 的 ， 且 Ａ广义 可逆 当且 仅 当Ｒ（ 是闭 的． 并 Ａ）
若存 在唯 一的算 子 ｘ ∈ Ｌ（ ， ） 足以下 ４个等 式 Ｈ。 Ｈ 满
ＡＸＡ — Ａ ， ＡＸ — Ｘ ， ＡＸ ） 一 Ａ ， Ｘ ） ＝ Ｘ ， Ｘ （ Ｘ （Ａ Ａ
则称 为 Ａ 的 Ｍｏ ｒ — ｅ ｒｓ 逆 ， 为 Ａ ． 他符号 采用 与文献 ［ ３相 同的记法 ． ｏｅ Ｐ ｎ ｏ ｅ 记 其 １ 近３ Ｏ年来 ， 许 多文 章 研 究过 算 子 方程 的解 ， 有 它们 在 力 学 、 制 论 和其 他 领 域 都有 着 重 要 的应 用 ． 控
第 ３ 期
李
宁， 王文 锋
希 尔伯 特空 间上 一算 子方程 的解
８ ３
这 里 Ｚ ∈ Ｌ（ ）满 足 Ｚ — Ｚ Ｈ１ ．
证 明 若 （ ） 解 ， 然 Ｂ 一一 Ｂ 反 之 ， 设 Ｂ 一一 Ｂ ， 证 具 有 （ ） 式 的 ｘ 是 （ ）的 解 ． ｘ是 ３有 显 ． 假 易 ４形 ３ 设 （ ）的 任 意 解 ， 有 ｘ — Ｂ（ ） ＋ Ａ ３ 则 Ａ Ｘ （ ） 和 Ｘ（ ） ： Ａ Ａ Ａ ｘ — Ａ Ｂ（ ） 。进 而 可 得 Ａ －．