最新《空间向量的数量积》

(OAOB)OC 0
BAOC 0
所以 OC AB
巩固练习：利用向量知识证明三垂线定理
已知P： O ,PA 分别是平 的面 垂线，O斜是 A线 PA，
在内的射a影 ,， 且aOA
求证 a： PA
证明：在 a上取非零向量 a
P
而 PO , PO a PO a 0
OA a
又 OA a, OA a 0 又 PO , OA 相交，得 PO , OA不平行，由共面向量
4)空间向量的数量积性质
对于非零向量 a , b ，有：
1) a e a cos a , e
2) a b a b 0
2
3) a a a
注意： ①性质2）是证明两向量垂直的依据； ②性质3）是求向量的长度（模）的依据；
5)空间向量的数量积满足的运算律
1) (a)b (ab)
2) ab ba (交换律） 3）a(bc) abac (分配律）
∴ l⊥g
∴ l⊥g
这就证明了直线l垂直于平面内的 任一条直线，所以l⊥
例2：已知：在空间四边形OABC中，OA⊥BC， OB⊥AC，求证：OC⊥AB
O
证明：由 O已 A BC 知 ， OB AC
所以OABC0, OB AC0
OA(OCOB) 0
A
C
OB(OCOA) 0
B
所以OAOCOAOB
OBOCOBOA 所以OAOCOBOC 0
《空间向量的数量积》
2）两个向量的数量积
设OAa,则有向线O段 A的长度叫做a向 的量 长度或,记模作a： 已知空间两个a,向 b，量 则a b cosa,b叫做向a量 ,b的数量积， 记作a： b,即
ab abcosa,b
注意： ①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②零向量与任意向量的数量积等于零。
()
4) p q p q p2 q2 ( )
3.如图：已知A 空B间 C 的D 四 每边 条形 边和等 对1于 角 ，线 E 点 、 F长 分别 A是 B 、 AD 的中点。 计算 （ 1） E： F BA(2)EF BD(3)EF DC(4)EF AC
A
E
F
B
D
C
三、典型例题
例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l与的交点为B，且 l⊥m，l⊥n，求证：l⊥
CD a2 b2
例4 已知在平行六面体 A B C D A B C D 中，AB4,
A D 3 , A A 5 , B A D 9 0 , B A A D A A 6 0 ,
求对角线 A C 的长。
D'
A'
B'
C' 解： A C A B A D A A
| AC |2 (AB AD AA)2 | AB |2 | AD|2 | AA |2
解：由 AC，可知 ACAB.
C
由DBD30知 C A,B D 120.
D
| CD |2 CD CD (CA AB BD)2
b a
b D'
| CA|2 | AB |2 | BD |2 2CA AB 2CA BD 2AB BD
A
B
b2 a2 b2 2b2 cos120
a2 b2
| CD|2(CA ABBD)2 |CA|2 | AB|2 | BD|2 a2 b2 c2
CD a2b2c2
2.已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于
a ，点 M、N 分别是边 AB、CD 的中点。
求证：M N A B,M N C D 。
M B
A
证明：因为 M N M A A D D N
例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l与的交点为B，且
l⊥m，l⊥n，求证：l⊥
证明：在内作不与m、n重合的任一条
直线g,在l、m、n、g上取非零向
量l、m、n、g，因m与n相交，得向量
m、n不平行，由共面向量定理
l
可知，存在唯一的有序实数对（x，y），
g m
lm gn n
使
g=xm+yn, l·g=xl·m+yl·n ∵ l·m=0,l·n=0 ∴ l·g=0
定理可知，存在唯一的 有序实数对 x, y , 使
PA x PO yOA
PA a PO a OA a 0
a PA,即a PA.
例3 如图，已知线段 A B 在平面 内，线段 AC
，线段BDAB，线段 DD ，DBD30，如 果 A B a,A C B D b，求 C 、D 之间的距离。
注意： 数量积不满足结合律
（ab)ca(bc)
二、 课堂练习
1.已知 a2 2, b 2,ab 2 2
则a,b所夹的_角__为__.___
2 .判断真假： 1）若 a b 0, 则 a 0, b 0 ( )
2) (a b) c a (b c)
()
3) p 2 q 2 ( p q)2
所以 ABMNAB(MAADDN)
AB MAAB ADAB DN
D
1a2 1a2 1a2 0
244
N C
MNAB
同理，MNCD
3.已知空间四边形O A B C ,O B O C , A O B A O C
，求证：OABC。
O
证明：∵
分析：由定义可知，只需证l与平面内
任意直线g垂直。
源自文库
l
g m
lm gn n
要证l与g垂直，只需证l·g＝0 而m，n不平行，由共面向量定理知， 存在唯一的有序实数对(x,y)使得 g=xm+yn
要证l·g＝0,只需l· g= x而l·l·m+my＝l·0 n，=0l·n＝0
故 l·g＝0
三、典型例题
D A
C B
2(AB AD AB AA AD AA) 42 32 52 2(0 10 7.5) 85
|AC| 85
1.已知线段 A B 、B D 在平面 内，BDAB，线段 AC ，如果 A B a ,B D b ,A C c，求 C 、D 之间的距离.
C
c
D
a
b
A
B
解：∵
3）射影
已知向A量 B＝a和轴 l， e是l上与 l同方向的单位向 点A量 在。作 l上的射A1影 ,作点 B在l上的射B1， 影则 A1B1叫做向A量 B在轴 l上的 或在 e方向上的正射影 射， 影简 。称
A1B1 ABcosa,eae
B
e
A1
A
B1
l
注意：A B 是轴l上的正射影A1B1是一个可正可负的实数， 它的符号代表向量 A B 与l的方向的相对关系，大小代表 在l上射影的长度。