最新《空间向量的数量积》
3.1.3空间向量的数量积运算课件人教新课标3
略解:⑴ MN MO ON
1 OA 1 (OB OC )= 1 (a b c)
22
2
MP OP OM = 1 (c a) 2
⑵易知 a b b c
ca
1,
a
2
2
b
2
c
1 ,∴ MN
MP
1
2
418
练习 2.在长方体 ABCD─A1B1C1D1 中, AB 2 , BC 2 ,
2
2
b
① a | a |2 即 | a | a (求线段的长度);
② a b a b 0 (垂直的判断);
a
b
a,b
③ cos a, b a b (求角度). ab
以上结论说明,可以从向量角度有效地分析有关 垂直、长度、角度等问题.
20
AA1 6 ,且记 AB a , AD b , AA1 c ,
D1
C1
⑴用 a 、b 、c 表示 BD1, B1C ;
A1
B1
⑵求异面直线 BD1 和 B1C 所成角的余弦值.
解:⑴ BD1 BA AD DD1 = a b c
D
C
B1C B1B BC c b
A
B
⑵∵ a b b c c a 0 , a 2 4, b 2 4, c 2 36 ,
⑷如果 a, b ,则称 a 与 b 垂直,记为 a b
2 异面直线及所成的角？
(0, ]
2
3
2)两个向量的数量积 已 知 空 间 两 个 非 零 向 量 a 、b , 则
a b cosa, b 叫做 a 、b 的数量积,记作 a b . 即 a b a b cosa, b .
注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②规定:零向量与任意向量的数量积等于零. 类比平面向量,你能说 出 a b 的几何意义吗?
新版高中数学《1.1.2 空间向量的数量积运算》教学设计
1.1.2空间向量的数量积运算 教学设计(人教A 版普通高中教科书数学选择性必修第一册第一章)一、教学目标1.了解空间向量夹角的概念及表示方法，掌握空间向量数量积的计算方法、几何意义、性质及运算律2.通过学习空间向量的数量积运算，培养学生数学运算的核心素养；通过投影向量概念的学习培养学生直观想象和逻辑推理的核心素养二、教学重难点1.重点：空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法2.难点：空间向量的数量积的几何意义，运算律的证明三、教学过程1.类比平面向量，探究空间向量数量积的相关概念和性质1.1两个非零空间向量的夹角问题1：类比平面向量中所学，如何定义空间向量的夹角？【预设的答案】空间向量是自由向量，可以将两个向量平移到共起点的位置（动态演示空间向量平移过程）【定义】已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA→ = a ，OB → = b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉. 规定：〈a ，b 〉∈[0，π].特别地：当〈a ，b 〉= π2时，a ⊥b .【互动练习】（1）〈a ，b 〉=〈b ，a 〉成立吗？（2）〈a ，b 〉= ，则称a 与b 互相垂直，记作 .（3）〈a ，b 〉= 0时,a 与b 方向 ; 〈a ，b 〉= π时,a 与b 方向 .1.2 两个非零空间向量的数量积【定义】已知两个非零向量a ，b ，则|a| |b| cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积，记作a ·b . 即 a ·b = |a| |b| cos 〈a ，b 〉.规定：零向量与任意向量的数量积都等于零.问题2：根据上述定义我们不难发现，空间向量数量积的定义和平面向量数量积定义一致，那么空间向量数量积的性质是否与平面向量中的一致呢？【预设的答案】一致【互动练习】（1）两个向量的数量积是数量还是向量？（数量，它的大小与两个向量的长度及其夹角有关.）（2）0 ·a = （选择0还是0）. 零向量与任意向量的数量积为0.（3）对于两个非零向量a ，b ，a ⊥b ⟺ a ·b = （判断垂直关系）（4）a ·a ＝_____或|a |＝a ·a （求模长）（5）若a ，b 同向，则 a ·b ＝_______；若反向，则a ·b ＝_______.（6）|a ·b | ____ |a |·|b |（7）若θ为a ，b 的夹角，则cos θ＝_______.【设计意图】平面向量中关于数量积的性质可以直接类比到空间向量中来，从学生的口中叙述出来，一是为了巩固，也能让学生体会空间向量数量积定义与平面向量数量积定义的相通之处.【例1】如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，求值： (1)EF →·BA →；(2)EF →·BD →；(3)EF →·DC →.【解】(1)EF →·BA →＝12BD →·BA →＝12|BD →||BA →|cos 〈BD →，BA →〉＝12cos 60°＝14.(2)EF →·BD →＝12BD →·BD →＝12|BD →|2＝12.(3)EF ·DC →＝12BD →·DC →＝－12DB →·DC →＝－12×cos 60°＝－14.1.3 空间向量的数量积的几何意义问题3:在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影.类似地，在空间，向量a 向向量b 的投影有什么意义？【预设的答案】将两空间向量平移至同一平面，转化为平面向量问题，找出投影向量.在空间中，由于向量a 与向量b 是自由向量，将向量a 与向量b 平移到同一平面内α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b 共线的向量：||cos ,b c a a b b=<>追问: 空间中，向量a 能否向一条直线l 作投影？向量a 能否向一个平面β作投影？图1动态演示向量a 向向量b 投影注：图3中向量a 与投影向量的夹角就是向量a 所在直线与平面β所成的角【设计意图】投影向量概念的提出是为了让学生体会空间向量数量积的几何意义；另外，空间向量向直线投影、向平面投影也为后续学生对空间向量与空间角间的关系形成初步认识.1.4 空间向量的数量积的运算律问题4: 类比平面向量数量积的运算律，空间向量数量积满足哪些运算律？【预设的答案】结合律；交换律；分配律数乘向量与向量数量积的结合律(λa )·b ＝λ(a ·b ), λ∈R 交换律a ·b ＝b ·a 分配律a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c追问：你能否证明上述运算律？【教师分析】证明前两条运算律，可以将向量a 与向量b 平移至同一个平面当中，则证明过程与平面向量中的证明方法无异；证明分配律时则涉及到三个不共面的向量.分配律的证明：,,OA a OB b BC c ===令, 'OC OA OC 向投影，投影向量为,OC OA θ记与的夹角为()OA OB BC OA OC ∴=⋅+=⋅左边||||cos OA OC θ=|||'|OA OC ='OB OA OB 向投影，投影向量为,1OB OAθ记与的夹角为 ''BC OA B C 同理，向投影，投影向量为,2BC OAθ记与的夹角为 OA OB OA BC ∴=⋅+⋅右边12||||cos ||||cos OA OB OA BC θθ=+|||'||||''|OA OB OA B C =+ ||(|'||''|)OA OB B C =+|||'|OA OC ==左边图2动态演示向量a 向直线l 投影 图3 动态演示向量a 向平面β投影2. 对比思考，深入了解思考问题1: 对于三个均不为0的数a ，b ，c ，若ab=ac ，则b=c.对于非零向量a ，b ，c ，由a ·b ＝a ·c ，能得到b ＝c 吗？分析：由a ·b ＝a ·c ，有a·(b －c )＝0. 从而有b ＝c 或a ⊥(b －c ).追问：能否从几何意义的角度举出反例？思考问题2: 向量有除法吗？分析：向量没有除法. 追问：ak 的结果唯一吗？ 思考问题3: 向量数量积满足结合律吗？分析：两个向量的数量积为一个实数，(a ·b )c 和a (b ·c )分别表示与向量c 和向量a 共线的向量，它们不一定相等.向量的数量积运算没有结合律！【设计意图】通过三个问题的思考 ，与数字运算进行对比，深刻体会向量运算与数字运算的区别所在；学会用数形结合的思想解决问题，了解向量是与几何密切相关的工具.四、课堂小结（1）空间向量夹角的定义及范围；（2）空间向量数量积运算的定义、性质及几何意义；（3）空间向量数量积运算的运算律及简单计算.五、课后思考【变式训练1】例1条件不变,如何求AB →·CD →的值?【解】AB →·CD →＝AB →·(AD →－AC →)＝AB →·AD →－AB →·AC →＝|AB →||AD →|cos 〈AB →，AD →〉－|AB →||AC →|cos 〈AB →，AC →〉＝cos 60°－cos 60°＝0.【设计意图】感受向量数量积的逆用，数量积运算的结果可以推导出夹角及位置关系. 思考：（1）能否利用空间向量的数量积证明空间中两条直线垂直？（2）能否利用空间向量的数量积求出空间中异面直线所成角？（3）能否利用空间向量的数量积解决更多的立体几何中的问题？。
第02讲 空间向量的数量积运算(4种类型)
2023暑假新高二第02讲空间向量的数量积运算（4种类型）2023.08【知识梳理】一、空间向量的数量积1．两个向量的数量积．已知两个非零向量a、b，则|a|·|b|cos 〈a，b〉叫做向量a 与b 的数量积，记作a·b，即a·b=|a|·|b|cos 〈a，b〉．要点诠释：（1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同．（2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．（3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆．2.空间向量数量积的性质设,a b是非零向量，e 是单位向量，则①||cos ,a e e a a a e ⋅=⋅=<>；②0a b a b ⊥⇔⋅=；③2||a a a =⋅ 或||a = ④cos ,||||a b a b a b ⋅<>=⋅；⑤||||||a b a b ⋅≤⋅ 3．空间向量的数量积满足如下运算律：（1）（λa）·b=λ（a·b）；（2）a·b=b·a（交换律）；二、空间两个向量的夹角．1.定义：已知两个非零向量a、b，在空间任取一点D，作OA a = ，OB b = ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a，b〉，如下图。
根据空间两个向量数量积的定义：a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉，那么空间两个向量a、b 的夹角的余弦cos ,||||a ba b a b ⋅〈〉=⋅。
要点诠释：1.规定：π>≤≤<b a ,02.特别地，如果0,>=<b a ，那么a 与b 同向；如果π>=<b a ,，那么a 与b 反向；如果090,>=<b a ，那么a 与b 垂直，记作b a ⊥。
空间向量的数量积课件
向量点乘的坐标表示
设向量$vec{A} = (x_1, y_1, z_1)$，向量$vec{B} = (x_2, y_2, z_2)$，则$vec{A} cdot vec{B} = x_1 times x_2 + y_1 times y_2 + z_1 times z_2$。
向量的坐标表示方法是将向量的起点设在坐标原点，然后根据向量的终点坐标确 定向量的坐标。
向量点乘的几何意义
向量点乘的几何意义是表示两个向量在三维空间中投影面积 的乘积。具体来说，当两个非零向量垂直时，它们的点乘为0 ；当两个非零向量平行或同向时，它们的点乘为它们的模长 的乘积。
向量点乘在解析几何中有着广泛的应用，如计算向量的模长 、向量的投影、向量的夹角等。
03
空间向量的数量积应用
向量点乘在向量减法中的应用
向量减法的定义
两个向量的差定义为第一个向量与第二个向量的相反 向量的和。
向量点乘在向量减法中的应用
通过点乘的性质，可以推导出向量减法的几何意义。 设两个向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的夹角为 $theta$，则它们的差向量$mathbf{a} - mathbf{b}$ 的模长为$|mathbf{a} - mathbf{b}| = sqrt{mathbf{a}^2 + mathbf{b}^2 - 2mathbf{a} cdot mathbf{b}}$。
02
空间向量的数量积公式
向量点乘公式
向量点乘公式
$vec{A} cdot vec{B} = |vec{A}| times |vec{B}| times cos theta$， 其中$theta$是向量$vec{A}$和 $vec{B}$之间的夹角。
高中数学新人教A版选修空间向量的数量积运算课件
且 l OA ，求证： l PA
P
P O A P O B 6 0
B
引申：
αO
AD// l,OA=1,AD=2,PO=3,
(1)求O D 和 A P 夹角的余弦值.
(2)求P, D间的距离；
D l A
空间向量数量积可以解决的立体几何问题：
1）线段的长（两点间的距离）；
2
a a a ，也就是说 a
2
a
2）证明垂直问题； (a,b是 非 零 向 量 )
ab ab0;
3）向量的夹角（两异面直线所成的角）；
cos a,b ab ab
练习：
已知点O是正△ABC平面外一点，若
OA=OB=OC=AB=1，E、F分别是AB、
OC的中点，用向量法解决下列问题：
(1)计算 A O O B , O E B F ； (2)求OE与BF所成角的余弦值；
3.1.3 空间向量的数量积运算
回顾平面向量数量积的定义
已知两个非零向量 a , b , 则 a b cos
叫做 a , b 的数量积，记作 a b , 即
ababcos
向量的夹角： 0
3.1.3 空间向量的数量积运算
一、空间向量数量积的定义
已知空间两个非零向量 a , b , 则 abcosa,b 叫做 a , b 的数量积，记作a b , 即
ababcosa,b 0a,b
注意: ①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
二平、面空向间量向数量量数积量的积运的算运律算：律：
(1 )(a)b(ab )(数乘结合律)
(2)abba (交换律) (3 )a (b c ) a b a c(分配律)
《空间向量的数量积》课件
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分配律
$vec{a} cdot (vec{b} + vec{c}) = vec{a} cdot vec{b} + vec{a} cdot
vec{c}$
空间向量的数量积的运算性质
01
非零向量的数量积为0当且仅当该向量垂直于另一个向量。
02
向量$vec{a}$与自身的数量积为$vec{a} cdot vec{a} =
空间向量的数量积在工程中的应用实例
总结词
工程中涉及到空间运动、机械系统等领域都 离不开空间向量的数量积的应用。
详细描述
在工程中，空间向量的数量积可以用于分析 物体的运动轨迹、速度和加速度等运动学量 。在机械系统中，空间向量的数量积可以用 于分析机构的动力学特性，以及优化设计机 械系统。例如，在机器人学中，可以使用空 间向量的数量积来计算机器人的姿态角和关
CHAPTER
04
空间向量的数量积的应用实例
空间向量的数量积在物理中的应用实例
总结词
物理中的力、速度和加速度都可以用向 量表示，而空间向量的数量积在这些物 理量之间起着重要的作用。
VS
详细描述
在物理中，力、速度和加速度等物理量都 可以用向量表示。空间向量的数量积可以 用于计算这些物理量的合成与分解，以及 解决与这些物理量相关的实际问题。例如 ，在计算力的合成时，可以使用空间向量 的数量积来计算合力的大小和方向。
详细描述
空间向量的数量积定义为两个向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$的数量积为$mathbf{A} cdot mathbf{B} = |mathbf{A}| times |mathbf{B}| times cos theta$，其中$theta$是向量$mathbf{A}$ 和$mathbf{B}$之间的夹角。
高中数学数学：315《空间向量的数量积》课件新人教A版选修
向量垂直定理
01
02
03
总结词
向量垂直定理描述了两个 向量垂直的条件。
详细描述
如果向量a与向量b的内积 为0，则向量a与向量b垂 直。
应用举例
在解析几何中，向量垂直 定理常用于判断两条直线 的垂直关系，或者判断一 个点是否在平面上。
向量模长定理
总结词
向量模长定理描述了向量 的模长的计算方法。
计算方法
01
坐标计算
当已知两个向量的坐标时，可以通过坐标计算它们的数量积。具体方法
是将向量a和b的对应坐标相乘，然后将得到的乘积相加。
02
向量模长计算
在计算数量积之前，需要先计算出两个向量的模长。模长的计算公式为
∣a∣=√(x^2+y^2+z^2)，其中x、y、z分别为向量a的坐标。
03
夹角计算
在已知两个向量的坐标时，可以通过计算它们的夹角来得到它们的数量
工程应用
在工程中，向量也被广泛应用于各种领域，如机械、航空和电力等。例如，在机械中，力 矩可以用向量表示，而在航空中，气流方向和速度可以用向量描述。
数学应用
在数学中，向量被广泛应用于解决各种问题，如线性代数、解析几何和微积分等。例如， 在解析几何中，点可以用向量表示，而在微积分中，梯度可以用向量表示。
数量积与向量和的定义
数量积是两个向量的点乘，结果是一个标量；向量和是将两个向量连接起来形成一个新向量。
转换关系
在特定情况下，两个向量的数量积可以通过向量和来表示。例如，当两个向量共线且同向时，它们的 数量积等于它们的模长的乘积。
向量和的应用
பைடு நூலகம்
物理应用
在物理中，向量被广泛应用于描述力和运动等物理现象。例如，速度、加速度和力都可以 用向量表示。
空间向量的数量积最完美版课件
02 空间向量向量的数量积定义为它们的 模长之积与它们夹角的余弦值的乘积 ，记作a·b。
当两个向量垂直时，它们的数量积为 0；当两个向量同向时，它们的数量 积为它们的模长之积。
空间向量的数量积最 完美版课件
目录
CONTENTS
• 空间向量的数量积定义 • 空间向量的数量积运算 • 空间向量的数量积的应用 • 空间向量的数量积的习题解析 • 空间向量的数量积的扩展知识
01 空间向量的数量积定义
定义
空间向量的数量积定义为两个向量的模长之积与它们夹角的 余弦值的乘积，记作：$mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$。
题目8： 已知空间向量 $overset{longrightarrow}{a} = (x,y,z)$， $overset{longrightarrow}{b} = (x + y - z,y - x - z,z - x - y)$，且 $overset{longrightarrow}{a}$与 $overset{longrightarrow}{b}$的数 量积为$0$，求$x^{2} + y^{2} + z^{2}$的值。
高级习题解析
题目7： 已知空间向量 $overset{longrightarrow}{a} = (x,y,z)$， $overset{longrightarrow}{b} = ( 2y + z,x + y, - x + z)$，且 $overset{longrightarrow}{a}$与 $overset{longrightarrow}{b}$的数 量积为$5$，求$x^{2} + y^{2} + z^{2}$的值。
空间向量的数量积运算 课件
[精解详析] ∵ AC1 ＝ AB＋ AD＋ AA1 ， ∴| AC1 |2＝ AC1 2＝( AB＋ AD＋ AA1 )2 ＝ AB2＋ AD2＋ AA1 2＋2( AB ·AD＋ AB ·AA1 ＋ AD·AA1 ) ＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6.
∴| AC1 |＝ 6，即对角线 AC1 的长为 6.
[精解详析] ∵ BA1 ＝ BA ＋ AA1 ＝ BA ＋ BB1 ， AC ＝
BC － BA，且 BA·BC ＝ BB1 ·BA＝ BB1 ·BC ＝0,
∴ BA1 ·AC ＝－ 2 ＝－1.
又| AC |＝ 2，|BA1 |＝ 1＋2＝ 3,
∴cos〈
BA1
，
AC
〉＝ |
BA1 ·AC ＝－1＝－ BA1 || AC | 6
＝12×1×1×cos〈 CA， CB 〉 ＝12×1×1×cos 60°＝14. (3)( OA＋OB)·(CA＋CB)＝(OA＋OB)·(OA－OC ＋OB－ OC ) ＝(OA＋OB)·(OA＋OB－2OC ) ＝OA2＋OA·OB－2OA·OC ＋OB·OA＋OB2－2OB·OC ＝1＋12－2×12＋12＋1－2×12＝1.
空间向量的数量积运算
1.空间向量的夹角
2．空间向量的数量积
定 已知两个非零向量a，b，则|a|·|b|·cos〈a，b〉叫
义 做a，b的数量积，记作 a·b
数乘向量与向量 运
数量积的结合律 算
交换律 律
分配律
(λa)·b＝λ(a·b)
a·b＝ b·a a·(b＋c)＝ a·b＋a·c
已知两个非零向量a，b，则|a|·|b|·cos〈a，b〉叫做a， 定义
空间向量的数量积运算ppt课件
而向量的夹角必须是同起点，其取值范围[0°,180°]
3.空间两个向量的数量积：
已知两个非零向量,，则|
Ԧ
|
Ԧ ||cos<,>叫做
Ԧ
,的
Ԧ
数量积，记作Ԧ ∙ ，即Ԧ ∙ = ||
Ԧ ||cos<,>
Ԧ
特别地: （1）零向量与任意向量的数量积为0.
（2）Ԧ ⊥ ⟺ Ԧ ∙ =0
k
a
b
②若 a b k
,则
(结合律)
③ ( a b) c a ( b c )
D1
A1
a
A
C1
B1
D
C
B
6.空间两个向量数量积的性质:
(1) ∙ =||cos<, >
(2) ⊥ ⟺ ∙ =0
(3)||2 = ∙
(4)| ∙ |≤ ||||
（3）Ԧ ∙ Ԧ = |||
Ԧ |
Ԧ
< Ԧ ∙ Ԧ >=||
Ԧ2
注:两个向量的数量积是数量，而不是向量.
4.投影向量
向量在向量上的投影向量
量 = ,
称为向量在向上的投影向量.
5.空间向量数量积的运算律:
（1）（ ） ∙ =（） ∙
（2） ∙ = ∙
（3）（ + ） ∙ = ∙ + ∙
注意： (1)数量积不满足结合律即( ∙ ) ∙ ≠ ∙ ( ∙ )
(2) ∙ =�� ∙ ⇏ =
(3) ∙ =0⇏ = 或 =
对于空间向量下列命题成立吗?
①若 a b a c ,则 b c
高二数学(人教A版)《空间向量的数量积运算》【教案匹配版】最新国家中小学课程
高中数学
高中数学高二上册
追问(3) 平面向量的数量积是什么？你能类比平面向量，给出空间向量数
量积的运算吗？
平面向量的数量积
空间向量的数量积
由向量数量积定义，可以得到： 证明空间中的垂直关系 ① 若a，b是非零向量，a⊥b ⇔ a ·b＝0；
求空间中线段的长度
② a ·a＝a 2＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2 .
高中数学高二上册
追问(5) 空间向量的数量积运算有哪些运算律？如何证明？
高中数学
平面向量的数量积运算律 空间向量的数量积运算律
① (λa) ·b＝λ(a·b)， λ∈R； ② a·b＝b·a（交换律）; ③ a·(b＋c)＝a·b＋a·c（分配律）.
高中数学高二上册
问题2 空间向量的数量积运算由平面向量的数量积运算推广而来，与
高中数学
高中数学高二上册
追问(4) 在平面向量中我们学习过投影向量的概念，什么是投影向量？你
能把它推广到空间向量中吗？
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高中数学高二上册
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平面向量的投影
两个非零向量a，b，AB ＝a，CD＝b，过A和B分别做 CD所在直线的垂线，垂足分 别为A1和B1，得到A1B1 ，称 上述变换为向量a向向量b的 投影，A1B1 叫向量a在向量b 上的投影向量.
高中数学
平面向量的数量积运算律
① (λa)·b＝λ(a·b)， λ∈R； ② a·b＝b·a（交换律）; ③ a·(b＋c)＝a·b＋a·c（分配律）.
高中数学高二上册
追问(5) 空间向量的数量积运算有哪些运算律？如何证明？
高中数学
平面向量的数量积运算律 空间向量的数量积运算律
① (λa) ·b＝λ(a·b)， λ∈R； ② a·b＝b·a（交换律）; ③ a·(b＋c)＝a·b＋a·c（分配律）.
《空间向量的数量积运算》课件与同步练习
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135
巩固练习 如图，已知空间四边形ABCD
的每条边和对角线长都等于1，点E、
F、G分别是AB、AD、DC的中点。
求下列向量的数量积：
A
(1) AB AC;(2) AD DB; E
F
(3)GF AC;(4)EF BC. B
（5）EF BA (6) EF BD
D
G C
(7) EF DC (8) EF AC (9) GE GF .
学习新知 (2)两个向量的数量积
设OA a,则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模,记作：a
已知空间两个向量a,b，则 a b cosa,b叫做向量a,b的数量积，
记作：a b,即
a b a b cosa,b
A
a B1
A1
b
B
类比平面向量,你能说 出 a b 的几何意义吗?
如 图 A1B1 是 b 在 a 方 向上的投影向量.
第一章 空间向量与立体几何 1.1.2空间向量的数量积运算
学习新知
两个向量的夹角的定义
a
A
a
B
O
b
b
范围：0 a,b 在这个规定下，两个向量
的夹角就被唯一确定了，并且a,b＝b, a
a,b＝a, b a,b
两条相交直线的夹角是指这两条直线所成的锐角或直角，即取值范 围是(0°,90°],而向量的夹角可以是钝角,其取值范围是[0°,180°]
＝0时，两向量同向共线；当θ＝____π____时，两向量反向共线，
所以若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；当〈a，b〉＝
π 2
时，两向量
__垂__直____，记作__a_⊥__b___．
[方法技巧] 对空间两个向量夹角的理解，应注意以下几点： (1)两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为 0； 反向时，夹角为π.故〈→a ，→b 〉＝0 或π⇔→a ∥→b (→a ，→b 为非零向量)．
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例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l与的交点为B，且
l⊥m，l⊥n，求证：l⊥
证明：在内作不与m、n重合的任一条
直线g,在l、m、n、g上取非零向
量l、m、n、g，因m与n相交，得向量
m、n不平行，由共面向量定理
l
可知，存在唯一的有序实数对（x，y），
g m
lm gn n
使
g=xm+yn, l·g=xl·m+yl·n ∵ l·m=0,l·n=0 ∴ l·g=0
4)空间向量的数量积性质
对于非零向量 a , b ，有：
1) a e a cos a , e
2) a b a b 0
2
3) a a a
注意： ①性质2）是证明两向量垂直的依据； ②性质3）是求向量的长度（模）的依据；
5)空间向量的数量积满足的运算律
1) (a)b (ab)
2) ab ba (交换律） 3）a(bc) abac (分配律）
所以 ABMNAB(MAADDN)
AB MAAB ADAB DN
D
1a2 1a2 1a2 0
244
N C
MNAB
同理，MNCD
3.已知空间四边形O A B C ,O B O C , A O B A O C
，求证：OABC。
O
证明：∵
定理可知，存在唯一的 有序实数对 x, y , 使
PA x PO yOA
PA a PO a OA a 0
a PA,即a PA.
例3 如图，已知线段 A B 在平面 内，线段 AC
，线段BDAB，线段 DD ，DBD30，如 果 A B a,A C B D b，求 C 、D 之间的距离。
(OAOB)OC 0
BAOC 0
所以 OC AB
巩固练习：利用向量知识证明三垂线定理
已知P： O ,PA 分别是平 的面 垂线，O斜是 A线 PA，
在内的射a影 ,， 且aOA
求证 a： PA
证明：在 a上取非零向量 a
P
而 PO , PO a PO a 0
OA a
又 OA a, OA a 0 又 PO , OA 相交，得 PO , OA不平行，由共面向量
∴ l⊥g
∴ l⊥g
这就证明了直线l垂直于平面内的 任一条直线，所以l⊥
例2：已知：在空间四边形OABC中，OA⊥BC， OB⊥AC，求证：OC⊥AB
O
证明：由 O已 A BC 知 ， OB AC
所以OABC0, OB AC0
OA(OCOB) 0
A
C
OB(OCOA) 0
B
所以OAOCOAOB
OBOCOBOA 所以OAOCOBOC 0
3）射影
已知向A量 B＝a和轴 l， e是l上与 l同方向的单位向 点A量 在。作 l上的射A1影 ,作点 B在l上的射B1， 影则 A1B1叫做向A量 B在轴 l上的 或在 e方向上的正射影 射， 影简 。称
A1B1 ABcosa,eae
B
e
A1
A
B1
l
注意：A B 是轴l上的正射影A1B1是一个可正可负的实数， 它的符号代表向量 A B 与l的方向的相对关系，大小代表 在l上射影的长度。
| CD|2(CA ABBD)2 |CA|2 | AB|2 | BD|2 a2 b2 c2
CD a2b2c2
2.已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于
a ，点 M、N 分别是边 AB、CD 的中点。
求证：M N A B,M N C D 。
M B
A
证明：因为 M N M A A D D N
CD a2 b2
例4 已知在平行六面体 A B C D A B C D 中，AB4,
A D 3 , A A 5 , B A D 9 0 , B A A D A A 6 0 ,
求对角线 A C 的长。
D'
A'
B'
C' 解： A C A B A D A A
| AC |2 (AB AD AA)2 | AB |2 | AD|2 | AA |2
ห้องสมุดไป่ตู้D A
C B
2(AB AD AB AA AD AA) 42 32 52 2(0 10 7.5) 85
|AC| 85
1.已知线段 A B 、B D 在平面 内，BDAB，线段 AC ，如果 A B a ,B D b ,A C c，求 C 、D 之间的距离.
C
c
D
a
b
A
B
解：∵
解：由 AC，可知 ACAB.
C
由DBD30知 C A,B D 120.
D
| CD |2 CD CD (CA AB BD)2
b a
b D'
| CA|2 | AB |2 | BD |2 2CA AB 2CA BD 2AB BD
A
B
b2 a2 b2 2b2 cos120
a2 b2
分析：由定义可知，只需证l与平面内
任意直线g垂直。
l
g m
lm gn n
要证l与g垂直，只需证l·g＝0 而m，n不平行，由共面向量定理知， 存在唯一的有序实数对(x,y)使得 g=xm+yn
要证l·g＝0,只需l· g= x而l·l·m+my＝l·0 n，=0l·n＝0
故 l·g＝0
三、典型例题
注意： 数量积不满足结合律
（ab)ca(bc)
二、 课堂练习
1.已知 a2 2, b 2,ab 2 2
则a,b所夹的_角__为__.___
2 .判断真假： 1）若 a b 0, 则 a 0, b 0 ( )
2) (a b) c a (b c)
()
3) p 2 q 2 ( p q)2
《空间向量的数量积》
2）两个向量的数量积
设OAa,则有向线O段 A的长度叫做a向 的量 长度或,记模作a： 已知空间两个a,向 b，量 则a b cosa,b叫做向a量 ,b的数量积， 记作a： b,即
ab abcosa,b
注意： ①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②零向量与任意向量的数量积等于零。
()
4) p q p q p2 q2 ( )
3.如图：已知A 空B间 C 的D 四 每边 条形 边和等 对1于 角 ，线 E 点 、 F长 分别 A是 B 、 AD 的中点。 计算 （ 1） E： F BA(2)EF BD(3)EF DC(4)EF AC
A
E
F
B
D
C
三、典型例题
例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l与的交点为B，且 l⊥m，l⊥n，求证：l⊥