02三角函数平面向量

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三角函数与平面向量的知识总结

三角函数与平面向量的知识总结
复习回顾
一.任意角三角函数 1.角:角可以看成由一条射线绕着端点从一个位置旋转 到另一个位置所形成的几何图形. 角可以任意大小,按 旋转的方向分类有正角、负角、零角.
2、象限角的概念:在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重 合,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角 不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示: 终边与 终边相同( 的终边在 终边所在射线上) 2k (k Z) , 注意:相等的角的终边一定相同,终边相同的角不一定相等.
5.平行向量(也叫共线向量) :方向相同或相反的非零向量 a 、 b 叫做平行向量, 记作: a ∥ b ,规定零向量和任何向量平行。 提醒: ①相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等; ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线, 但两 条直线平行不包含两条直线重合;
6.三角函数线的特征是:正弦线 MP“站在 x 轴上(起点在 x 轴上)” 、余弦线 OM“躺在 x 轴上(起 点是原点)” 、正切线 AT“站在点 A(1,0) 处(起点是 A )”.三角函数线的重要应用是比较三角函数值 的大小和解三角不等式。
y B P α O M A x S T
7. 同角三角函数的基本关系式: (1)平方关系: sin2 cos2 1,1 tan2 sec2 ,1 cot 2 csc2 (2)倒数关系:sin csc =1,cos sec =1,tan cot =1, sin cos ,cot (3)商数关系: tan cos sin
102 sin x (其中 角所在的象限由 a, b 的符号确定,

三角函数与平面向量-精选教学文档

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三角函数与平面向量简介:三角函数与平面向量三角函数的图象与性质1. 掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质;会用“五点法”作出正弦函数及余弦函数的图象;掌握函数y=Asin(ωx+φ)的图象及性质.2. 高考试题中,三角函数题相对比较传统,位置靠前,通常是以简单题形式出现.因此在本讲复习中要注重三角知识的基础性,特别是要熟练掌握三角函数的定义、三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调、奇偶、最值、对称、图象平移及变换等).3. 三角函数是每年高考的必考内容,多数为基础题,难度属中档偏易.这几年的高考中加强了对三角函数定义、图象和性质的考查.在这一讲复习中要重视解三角函数题的一些特殊方法,如函数法、待定系数法、数形结合法等的训练.1. 函数y=2sin2-1是最小正周期为________的________(填“奇”或“偶”)函数.2.函数f(x)=-cosx在[0,+∞)内的零点个数为________.3.函数f(x)=2cos2x+sin2x的最小值是________.4.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x∈时,f(x)=sinx,则f的值为________.【例1】设函数f(θ)=sinθ+cosθ,其中角θ的顶点与坐标原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边经过点P(x,y),且0≤θ≤π.(1) 若点P的坐标是,求f(θ)的值;(2) 若点P(x,y)为平面区域上的一个动点,试确定角θ的取值范围,并求函数f(θ)的最小值和最大值.【例2】函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0)的部分图象如图所示.(1) 求f(0)的值;(2) 若0<φ<π,求函数f(x)在区间上的取值范围.【例3】已知函数f(x)=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(0<& phi;<π,ω>0)为偶函数,且函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.(1) 求f的值;(2) 将函数y=f(x)的图象向右平移个单位后,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)的单调递减区间.【例4】已知函数f(x)=2sin2-cos2x-1,x∈R.(1) 求f(x)的最小正周期;(2) 若h(x)=f(x+t)的图象关于点对称,且t∈(0,π),求t的值;(3) 当x∈时,不等式|f(x)-m|<3恒成立,求实数m的取值范围.1. (2019·江西)已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴.若P(4,y)是角θ终边上一点,且sinθ=-,则y=________.2.(2019·全国)函数f(x)=sin-2sin2x的最小正周期是________.3.(2009·全国)函数y=sincos的最大值为________.4.(2019·广东)已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0),y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π,则f(x)的单调递增区间是________.(2019·四川)已知函数f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1(x∈R).(1) 求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值;(2) 若f(x0)=,x0∈,求cos2x0的值.5.(2009·福建)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),其中ω>0,|φ|<.(1) 若coscosφ-sinπsinφ=0,求φ的值;(2) 在(1)的条件下,若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于,求函数f(x)的解析式;并求最小正实数m,使得函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数.(2009·重庆)(本小题满分13分)设函数f(x)=sin-2cos2+1.(1) 求f(x)的最小正周期;(2) 若函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=1对称,求当x∈时,y=g(x)的最大值.解:(1) f(x)=sinxcos-cosxsin-cosx=sinx-cosx(3分)=sin,(5分)故f(x)的最小正周期为T ==8.(7分)(2) (解法1)在y=g(x)的图象上任取一点(x,g(x)),它关于x=1的对称点为(2-x,g(x)).由题设条件,点(2-x,g(x))在y=f(x)的图象上,从而g(x)=f(2-x)=sin=sin=cos.(10分)当0≤x≤时,≤x+≤,因此y=g(x)在区间上的最大值为g(x)max=cos=.(13分)(解法2)因区间关于x=1的对称区间为,且y=g(x)与y=f(x)的图象关于x=1对称,故y=g(x)在上的最大值为y=f(x)在上的最大值,由(1)知f(x)=sin,当≤x≤2时,-≤x-≤,因此y=g(x)在上的最大值为g(x)max=sin=.(13分)第7讲三角函数的图象与性质1. 若【答案】-8 解析:令tanx=t∈(1,+∞),y=,y′(t)=得t=时y取最大值-8.2. 已知函数f(x)=2cos2x+sin2x.(1) 求f的值;(2) 求f(x)的最大值和最小值.解:(1) f=2cos+sin2=-1+=-.(2) f(x)=2(2cos2x-1)+(1-cos2x)=3cos2x-1,x∈R.因为cosx∈[-1,1],所以当cosx=±1时,f(x)取最大值2;当cosx=0时,f(x)取最小值-1.基础训练1. π 奇解析:y=-cos=-sin2x.2. 1 解析:在[0,+∞)内作出函数y=,y=cosx的图象,可得到答案.3. -+1 解析:f(x)=2cos2x+sin2x=sin+1.4. - 解析:f=f=f=sin=-.例题选讲例1 解:(1) 根据三角函数定义得sinθ=,cosθ=,∴ f(θ)=2.(本题也可以根据定义及角的范围得角θ=,从而求出 f(θ)=2).(2) 在直角坐标系中画出可行域知0≤θ≤,f(θ)=sinθ+cosθ=2sin,∴θ=0,f(θ)min=1;θ=,f(θ)max=2.(注:注意条件,使用三角函数的定义; 一般情况下,研究三角函数的周期、最值、单调性及有关计算等问题时,常可以先将函数化简变形为y=Asin(ωx+φ)的形式) 例2 解:(1)由题图可知:A=,=π-=,ω=2,2×+φ=2kπ+,φ=2kπ+,k∈Z,f(0)=sin=.(2) φ=,f(x)=sin.因为0≤x≤,所以≤2x+≤π,所以0≤sin≤1.即f(x)的取值范围为[0,].(注:本题主要考查正弦、余弦、正切函数及y=Asin(ωx+φ)的图像与性质以及诱导公式,运用数形结合思想,属于中档题)变式训练已知A为△ABC的内角,求y=cos2A+cos2的取值范围.解: y=cos2A+cos2=+=1++=1+=1+cos.∵ A为三角形内角,∴ 0∴ y=cos2A+cos2的取值范围是.例3 解:(1)f(x)=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ) =2=2sin.因为f(x)为偶函数,所以对x∈R,f(-x)=f(x)恒成立,因此sin=sin.即-sinωxcos+cosωxsin=sinωxcos+cosωxsin,整理得sinωxcos=0.因为ω>0,且x∈R,所以cos=0.又因为0<φ<π,故φ-=.所以f(x)=2sin=2cosωx.由题意得=2×,所以ω=2.故f(x)=2cos2x.因此f=2cos=.(2) 将f(x)的图象向右平移个单位后,得到f的图象,所以g(x)=f=2cos=2cos.当2kπ≤2x-≤2kπ+π(k∈Z),即kπ+≤x≤kπ+(k∈Z)时,g(x)单调递减,因此g(x)的单调递减区间为(k∈Z).例4 解:(1)函数可化为f(x)=-cos-cos2x=2sin,故f(x)的最小正周期为π.(2) h(x)=2sin.令2×+2t-=kπ,k∈Z.又t∈(0,π),故t=或.(3) 当x∈时,2x-∈, ∴f(x)∈[1,2].|f(x)-m|<3,即f(x)-3变式训练设函数f(x)=-cos2x-4tsincos+4t3+t2-3t+4,x∈R,其中|t|≤1,将f(x)的最小值记为g(t).(1) 求g(t)的表达式;(2) 讨论g(t)在区间(-1,1)内的单调性并求极值.解:(1) f(x)=-cos2x-4tsincos+4t3+t2-3t+4=sin2x-2tsinx+4t3+t2-3t+3=(sinx-t)2+4t3-3t+3.由于(sinx-t)2≥0,|t|≤1,故当sinx=t时,f(x)达到其最小值g(t),即g(t)=4t3-3t+3.(2) g′(t)=12t2-3=3(2t+1)(2t-1),-1列表如下:tg′(t)g(t)极大值极小值由此可见,g(t)在区间和上单调增,在区间上单调减,极小值为g=2,极大值为g=4.高考回顾1. —8 解析:sinθ==-,解得y=-8或8(舍).2. π 解析:f(x)=sin-2sin2x=sin-.3. 解析: y=cosx=sin+.4. ,k∈Z 解析:f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)=2sin.∵ 周期为π,∴ ω=2,∴f(x)=2sin.2kπ-≤2x+≤2kπ+,即kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.5. 解: (1) 由f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1,得f(x)=(2sinxcosx)+(2cos2x-1)=sin2x+cos2x=2sin.所以函数的最小正周期为T==π.因为x∈,所以2x+∈.所以2x+∈,即x∈时,函数f(x)为增函数,而在x∈时,函数f(x)为减函数,所以f=2sin=2为最大值,f=2sin=-1为最小值.(2) 由(1)知,f(x0)=2sin.又由已知f(x0)=,则sin=.因为x0∈,则2x0+∈.因此cos<0,所以cos=-,于是cos2x0=cos,=coscos+sinsin=-×+×=.6. 解:(1) 由coscosφ-sinπsinφ=0得coscosφ-sinsinφ=0即cos=0,又|φ|<,∴ φ=.(2) 由(1)得f(x)=sin,依题意,=,又T=,故ω=3,∴ f(x)=sin,函数的图像向左平移m个单位后对应的函数为g(x)=sin,g(x)是偶函数,当且仅当3m+=kπ+(k∈Z),即m=+(k∈Z),从而最小正实数m=.。

高考数学大一轮专题复习 专题二 三角函数与平面向量配套课件 文

高考数学大一轮专题复习 专题二 三角函数与平面向量配套课件 文

则cos∠MNP=|NN→→MM|··N|→N→PP|=
Hale Waihona Puke -6 5×25=-35.
由∠MNP∈[0,π],得sin∠MNP= 1-cos2∠MNP=45.
2 值;最后由点M在图象上求得φ的值,进而得到函数的解析 式;先由x的范围,求得2x+ π 的范围,把ωx+φ看作一个整
6 体,再求得fx的值域.
第十一页,共36页。
【互动(hù dònɡ)探究】
2.(2012年湖北八校联考)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ) A>0,ω>0,|φ|<π2,x∈R图象的一部分如图2-1.
第七页,共36页。
题型 2 三角变换与三角函数(sānjiǎhánshù)性质的整合 例2:(2012年陕西西安模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ), x∈R 其中A>0,ω>0,0<φ<π2 的图象与x轴的交点中,相邻两 个交点之间的距离为π2,且图象上的一个最低点为M23π,-2. (1)求f(x)的解析式; (2)当x∈1π2,π2时,求f(x)的值域.
对广东的试题而言,2008 年、2009 年、2010 年、2011 年、 2012 年、2013 年连续六年都是考查三角变换及三角函数求值. 这个数据足以说明广东对该题型的情有独钟,但绝对不能因此
还有两个现象也应该引起(yǐnqǐ)我们备考时注意:①三角函数与 而放松对整章知识系统而全面地复习. 平面向量的综合,是近几年全国各地高考试题中的一种重要题 型,已成为热点.而广东高考仅在 2007 年、2009 年在三角函
第三页,共36页。
题型 1 三角变换(biànhuàn)与求值的整合
例1:(2012年广东)已知函数f(x)=Acos4x+π6

2022年全国新高考1卷数学真题及答案解析

2022年全国新高考1卷数学真题及答案解析

2022年全国新高考1卷数学真题及答案解析今年的高考数学试卷坚持思想性与科学性的统一,从中华优秀传统文化、社会经济发展、科技发展与进步等方面设置了真实情境。

下面是小编为大家收集的关于2022年全国新高考1卷数学真题及答案解析。

希望可以帮助大家。

2022年全国新高考1卷数学真题2022年全国新高考1卷数学答案解析高考数学备考六大复习建议01 函数与导数近几年高考中,函数类试题一般会出现2道选择题、2道填空题、1道解答题。

其中,选择题和填空题经常考的知识点更偏向反函数,函数的定义域和值域,函数的单调性、奇偶性、周期性,函数的图象、导数的概念和应用等,这些知识点要着重复习。

而在分值颇高的解答题中,通常会考查考生对于函数与导数、不等式运用等考点的掌握运用情况。

掌握题目背后的知识点,建立自己的答题思路是非常重要的。

值得考生们注意的是,函数和导数的考查,经常会与其他类型的题目交叉出现,所以需要重视交叉考点问题的训练。

02 三角函数、平面向量和解三角形三角函数是每年必考题,虽是重点但难度较小。

哪怕是基础一般的同学,经过二轮复习的千锤百炼,都可以掌握这部分内容。

所以,三角函数类题目争取一分都不要丢!从题型来看,会覆盖选择题、填空题、解答题三大类型。

大题会出现在二卷解答题的第一个,也证明此类型题目的难度比较小。

在三角函数的部分,高三考生需要熟练的知识点有不少。

(1)掌握三角变换的所有公式,理解公式的意义、应用场景、考查形式、使用方法等。

(2)熟悉三角变换常用的方法——化弦法、降幂法、角的变换法等。

应用以上方法进行三角函数式的求值、化简、证明。

(3)掌握三角变换公式在三角形中应用的特点,并能结合三角形的公式解决一些实际问题。

(4)熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质,并能用它研究复合函数的性质。

同时,也要掌握这些函数图象的形状、特点。

(5)掌握三角函数不等式口诀:sinα上正下负;cosα右正左负;tanα奇正偶负。

专题3三角函数与平面向量ppt课件

专题3三角函数与平面向量ppt课件
要依据,注意其变形:1+cos 2α=2cos2α,1-cos 2α=2sin2α,cos2α= 1 ,cos 2α
2
sin2α= 1 c.os 2α
2
3.正弦定理
名师诊断
专案突破
对点集训
决胜高考
已知在△ABC中,a、b、c分别为内角A、B、C的对边,则 =a =b
sin A sin B
2si=n θ co=sθ = 2 ta n. θ 2 t a n θ 1
sin2θ cos2θ 1 ta n 2 θ 4 t a n θ 2
【答案】D
名师诊断
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决胜高考
2.若α,β∈(0,π),cos α=- 7 ,tan β=- 1 ,则α+2β=
.
50
3
【解析】∵α,β∈(0,π),cos α=- 7 , 50
【答案】B
名师诊断
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决胜高考
5.(2019年·江西)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A= ,
4
bsin( +C)-csin( +B)=a.
4
4
(1)求证:B-C= ;
2
(2)若a= 2,求△ABC的面积.
【解析】(1)由bsin( +C)-csin( +B)=a,应用正弦定理,得
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正确的,如果选用正弦定理求角就不合理,一是出现两个角,二是要讨 论舍弃一个角,更容易出错.
4.第4题考查向量的线性运算及三点共线的充要条件及探究能力,此 题学生最大的思维障碍是向量的三点共线的条件的转化,即由A,B,C 三点共线,O为直线AB外一点,若 O C=λ O +A μ O,则B λ+μ=1,从而可解决 本题.

高考数学(文)二轮复习专题一 三角函数和平面向量 第2讲 平面向量、解三角形 Word版含答案

高考数学(文)二轮复习专题一 三角函数和平面向量 第2讲 平面向量、解三角形 Word版含答案

第2讲 平面向量、解三角形【课前热身】第2讲 平面向量、解三角形(本讲对应学生用书第4~6页)1.(必修4 P76习题7改编)在矩形ABCD 中,O 是对角线的交点,若BC u u u r =e 1,DC u u u r =e 2,则OC u u u r= .【答案】12(e 1+e 2)【解析】因为O 是矩形ABCD 对角线的交点,BCu u u r =e 1,DCu u u r =e 2,所以OCu u u r =12(BC u u u r +DC u u u r)=12(e 1+e 2).2.(必修4 P90习题19改编)已知向量a =(6,-3),b =(2,x+1),若a ⊥b ,则实数x= . 【答案】3【解析】因为a ⊥b ,所以a ·b =0,所以12-3x-3=0,解得x=3.3.(必修5 P10练习2改编)在锐角三角形ABC 中,设角A ,B 所对的边分别为a ,b.若2a sin B=3b ,则角A= .【答案】π3【解析】在△ABC 中,由正弦定理及已知得2sin A·sin B=3sin B ,因为B 为△ABC的内角,所以sin B ≠0,所以sinA=32.又因为△ABC 为锐角三角形,所以A ∈π02⎛⎫ ⎪⎝⎭,,所以A=π3.4.(必修4 P80例5改编)已知向量a =(1,0),b =(2,1),则当k= 时,向量k a -b 与a +3b 平行.【答案】-13【解析】由题设知向量a 与b 不平行,因为向量k a -b 与a +3b 平行,所以1k =-13,即k=-13.5.(必修5 P16习题1(3)改编)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知a=7,b=43,c=13,则△ABC 最小的内角为 .【答案】π6【解析】因为13<43<7,所以C<B<A ,又因为cosC=222-2a b c ab +=2743⨯⨯=32,所以C=π6.【课堂导学】平面向量与三角函数综合例1 (2016·淮安5月信息卷)已知向量m =(cos α,sin α),n =(3,-1),α∈(0,π).(1)若m ⊥n ,求角α的大小; (2)求|m +n |的最小值.【解答】(1)因为m =(cos α,sin α),n =(3,-1),且m ⊥n ,所以3cos α-sin α=0,即tan α=3.又因为α∈(0,π),所以α=π3.(2)因为m +n =(cos α+3,sin α-1),所以|m +n |=22(cos 3)(sin -1)αα++=523cos -2sin αα+=π54cos 6α⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 因为α∈(0,π),所以α+ππ7π666⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,,故当α+π6=π,即α=5π6时,|m +n |取得最小值1.正弦定理、余弦定理的应用例2 (2016·苏州暑假测试)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.已知sin2-2A B+sin A sin B=22+.(1)求角C 的大小;(2)若b=4,△ABC 的面积为6,求c 的值.【解答】(1)sin2-2A B+sin A sin B=1-cos(-)2A B+2sin sin2A B=1-cos cos-sin sin2A B A B+2sin sin2A B=1-cos cos sin sin2A B A B+=1-(cos cos-sin sin)2A B A B=1-cos()2A B+=1-cos(π-)2C=1cos2C+=22+,所以cos C=22.又0<C<π,所以C=π4.(2)因为S=12ab sin C=12a×4×sinπ4=2a=6,所以a=32.因为c2=a2+b2-2ab cos C=(32)2+42-2×32×4×22=10,所以c=10.变式1(2016·南通一调)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知(a+b-c)(a+b+c)=ab.(1)求角C的大小;(2)若c=2a cos B,b=2,求△ABC的面积.【解答】(1)在△ABC中,由(a+b-c)(a+b+c)=ab,得222-2a b cab+=-12,即cosC=-12.因为0<C<π,所以C=2π3.(2)方法一:因为c=2a cos B,由正弦定理,得sin C=2sin A cos B.因为A+B+C=π,所以sin C=sin(A+B ),所以sin(A+B )=2sin A cos B ,即sin A cos B-cos A sin B=0, 所以sin(A-B )=0.又-π3<A-B<π3,所以A-B=0,即A=B ,所以a=b=2. 所以△ABC 的面积为S △ABC =12ab sin C=12×2×2×sin 2π3=3.方法二:由c=2a cos B 及余弦定理,得c=2a×222-2a c b ac +,化简得a=b ,所以△ABC 的面积为S △ABC =12ab sin C=12×2×2×sin 2π3=3.变式2 (2016·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)在斜三角形ABC 中,tan A+tan B+tan A tan B=1.(1)求角C 的大小; (2)若A=15°,2,求△ABC 的周长.【解答】(1)因为tan A+tan B+tan A tan B=1, 即tan A+tan B=1-tan A tan B.因为在斜三角形ABC 中,1-tan A tan B ≠0,所以tan(A+B )=tan tan 1-tan tan A BA B +=1,即tan(180°-C )=1,tan C=-1. 因为0°<C<180°,所以C=135°.(2)在△ABC 中,A=15°,C=135°,则B=180°-A-C=30°.由正弦定理sin BC A =sin CAB =sin ABC ,得sin15BC o =°sin30CA=2=2,故BC=2sin 15°=2sin(45°-30°)=2(sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°)=6-2 2,CA=2sin 30°=1.所以△ABC的周长为AB+BC+CA=2+1+6-22=2622++.平面向量与解三角形综合例3(2016·无锡期末)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知向量a=(sin B-sin C,sin C-sin A),b=(sin B+sin C,sin A),且a⊥b.(1)求角B的大小;(2)若b=c·cos A,△ABC的外接圆的半径为1,求△ABC的面积.【解答】(1)因为a⊥b,所以a·b=0,即sin2B-sin2C+sin A(sin C-sin A)=0,即sin A sin C=sin2A+sin2C-sin2B,由正弦定理得ac=a2+c2-b2,所以cos B=222-2a c bac+=12.因为B∈(0,π),所以B=π3.(2)因为c·cos A=b,所以bc=222-2b c abc+,即b2=c2-a2,又ac=a2+c2-b2,b=2R sin3,解得a=1,c=2.所以S△ABC =12ac sin B=3.变式(2016·苏锡常镇二调)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知向量m=(cos B,cos C),n=(4a-b,c),且m∥n.(1)求cos C的值;(2)若c=3,△ABC的面积S=15,求a,b的值.【解答】(1)因为m∥n,所以c cos B=(4a-b)cos C,由正弦定理,得sin C cos B=(4sin A-sin B)cos C,化简得sin(B+C)=4sin A cos C.因为A+B+C=π,所以sin(B+C)=sin A.又因为A∈(0,π),所以sin A≠0,所以cos C=14.(2)因为C∈(0,π),cos C=14,所以sin C=21-cos C=11-16=15.因为S=12ab sin C=15,所以ab=2.①因为c=3,由余弦定理得3=a2+b2-12ab,所以a2+b2=4,②由①②,得a4-4a2+4=0,从而a2=2,a=2(a=-2舍去),所以a=b=2.【课堂评价】1.(2016·镇江期末)已知向量a=(-2,1),b=(1,0),则|2a+b|=. 【答案】13【解析】因为2a+b=(-3,2),所以|2a+b|=22(-3)2+=13.2.(2016·南京学情调研)已知向量a=(1,2),b=(m,4),且a∥(2a+b),则实数m=.【答案】2【解析】方法一:由题意得a=(1,2),2a+b=(2+m,8),因为a∥(2a+b),所以1×8-(2+m)×2=0,故m=2.方法二:因为a∥(2a+b),所以存在实数λ,使得λa=2a+b,即(λ-2)a=b,所以(λ-2,2λ-4)=(m,4),所以λ-2=m且2λ-4=4,解得λ=4,m=2.3.(2016·南京、盐城一模)在△ABC中,设a,b,c分别为内角A,B,C的对边,若a=5,A=π4,cos B=35,则c=.【答案】7【解析】因为cos B=35,所以B∈π2⎛⎫⎪⎝⎭,,从而sin B=45,所以sin C=sin(A+B)=sinA cos B+cos A sin B=2×35+2×45=72,又由正弦定理得sinaA=sincC,即52 =72c,解得c=7.4.(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC中,B=π4,BC边上的高等于13BC,则cos A=.(第4题)【答案】-10【解析】如图,作AD ⊥BC交BC 于点D ,设BC=3,则AD=BD=1,AB=2,AC=5.由余弦定理得32=(2)2+(5)2-2×2×5×cos A ,解得cos A=-10.5.(2016·南通一调)已知在边长为6的正三角形ABC 中,BD u u u r =12BC u u u r ,AE u u u r=13AC u u u r ,AD 与BE 交于点P ,则PB u u u r ·PD u u ur 的值为 .(第5题)【答案】274【解析】如图,以BC 为x 轴,AD 为y 轴,建立平面直角坐标系,不妨设B (-3,0),C (3,0),则D (0,0),A (0,33),E (1,23),P 330⎛ ⎝⎭,,所以PB u u u r ·PD u u ur =|PD u u u r |2=233⎝⎭=274.温馨提示:趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第3~4页.【检测与评估】第2讲 平面向量、解三角形一、 填空题1.(2016·苏州暑假测试)设x ,y ∈R ,向量a =(x ,1),b =(2,y ),且a +2b =(5,-3),则x+y= .2.(2016·盐城三模)已知向量a ,b 满足a =(4,-3),|b |=1,|a -b |=21,则向量a ,b 的夹角为 .3.(2016·全国卷Ⅱ)设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若cos A=45,cos C=513,a=1,则b= .4.(2016·天津卷)在△ABC 中,若AB=13,BC=3,∠C=120°,则AC= .5.(2016·南京三模)如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB=4,AD=3,CD=2,AM u u u u r =2MD u u u u r .若AC u u u r ·BM u u u u r =-3,则AB u u u r ·AD u u u r = .(第5题)6.(2016·无锡期末)已知平面向量α,β满足|β|=1,且α与β-α的夹角为120°,则α的模的取值范围为 .7.在锐角三角形ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.若b a +ab =6cos C ,则tan tan C A +tan tan CB = .8.(2016·苏北四市摸底)在△ABC 中,AB=2,AC=3,角A 的平分线与AB 边上的中线交于点O ,若AO u u u r =x AB u u u r+y AC u u u r (x ,y ∈R ),则x+y 的值为 .二、 解答题9.(2016·苏北四市期末)已知在锐角三角形ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,sin A=35,tan(A-B )=-12.(1)求tan B 的值; (2)若b=5,求c 的值.10.(2016·徐州、连云港、宿迁三检)如图,在梯形ABCD 中,已知AD ∥BC ,AD=1,BD=210,∠CAD=π4,tan ∠ADC=-2.(1)求CD 的长; (2)求△BCD 的面积.(第10题)11.(2016·南京三模)在△ABC 中,已知a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边.若向量m =(a ,cos A ),向量n =(cos C ,c ),且m ·n =3b cos B.(1)求cos B 的值;(2)若a ,b ,c 成等比数列,求1tan A +1tan C 的值.【检测与评估答案】第2讲 平面向量、解三角形一、 填空题1. -1 【解析】由题意得a +2b =(x+4,1+2y )=(5,-3),所以4512-3x y +=⎧⎨+=⎩,,解得1-2x y =⎧⎨=⎩,,所以x+y=-1.2. π3【解析】设向量a ,b 的夹角为θ,由|a -b|=,得21=(a -b )2=a 2+b 2-2a ·b =25+1-2·5·cos θ,即cos θ=12,所以向量a ,b 的夹角为π3.3. 2113 【解析】因为cos A=45,cos C=513,且A ,C 为三角形的内角,所以sin A=35,sin C=1213,所以sin B=sin(A+C )=sin A cos C+cos A sin C=6365.由正弦定理得sin b B =sin aA ,解得b=2113.4. 1【解析】设AC=x,由余弦定理得cos 120°=29-13 23xx+⋅⋅=-12,即x2+3x-4=0,解得x=1或x=-4(舍去),所以AC=1.5.32【解析】方法一:设ABu u u r=4a,ADu u u r=3b,其中|a|=|b|=1,则DCu u u r=2a,AMu u u u r=2b.由ACu u u r·BMu u u u r=(ADu u u r+DCu u u r)·(BAu u u r+AMu u u u r)=-3,得(3b+2a)·(2b-4a)=-3,化简得a·b=18,所以ABu u u r·ADu u u r=12a·b=32.方法二:建立平面直角坐标系,使得A(0,0),B(4,0),设D(3cos α,3sin α),则C(3cos α+2,3sin α),M(2cos α,2sin α).由ACu u u r·BMu u u u r=-3,得(3cos α+2,3sin α)·(2cos α-4,2sin α)=-3,化简得cos α=18,所以ABu u u r·ADu u u r=12cos α=32.6.23⎛⎤⎥⎝⎦,【解析】如图,设α=ABu u u r,β=ACu u u r,则β-α=BCu u u r,∠ABC=60°,设α与β的夹角为θ,则0°<θ<120°,由正弦定理可得°||sin(120-)θα=°||sin60β,所以|α|=233sin(120°-θ).因为0°<θ<120°,所以0°<120°-θ<120°,所以0<sin(120°-θ)≤1,所以0<|α|≤23.(第6题)7. 4 【解析】b a +ab =6cos C ⇒6ab cos C=a 2+b 2⇒3(a 2+b 2-c 2)=a 2+b 2⇒a 2+b 2=232c ,所以tan tan C A +tan tan CB =sin cosC C ·cos sin sin cos sin sin B A B A A B +=sin cos C C ·sin()sin sin A B A B +=1cos C ·2sin sin sin C A B =2222-aba b c +·2c ab =22223-2c c c=2222c c =4.8. 58 【解析】如图,在△ABC 中,AD 为∠BAC 的平分线,CE 为AB 边上的中线,且AD ∩CE=O.在△AEO 中,由正弦定理得sin AE AOE ∠=sin EOEAO ∠.在△ACO 中,由正弦定理得sin AC AOC ∠=sin COCAO ∠,两式相除得AE AC =EO OC .因为AE=12AB=1,AC=3,所以EO OC =13,所以CO u u u r =3OE u u u r ,即AO u u u r -AC u u u r =3(AE u u u r -AO u u ur ),即4AO u u u r =3AE u u u r+AC u u u r ,所以4AO u u u r =32AB u u ur +AC u u u r ,从而AO u u u r =38AB u u u r +14AC u u u r .因为AO u u u r =x AB u u u r+y ACu u u r ,所以x=38,y=14,所以x+y=58.(第8题)二、 解答题9. (1) 方法一:在锐角三角形ABC 中,由sin A=35,得cos A=21-sin A =45,所以tan A=sin cos A A =34.由tan(A-B )=tan -tan 1tan ?tan A B A B +=-12,得tan B=2.方法二:在锐角三角形ABC 中,由sin A=35,得cos A=21-sin A =45,所以tanA=sin cos A A =34.又因为tan(A-B )=-12,所以tan B=tan[A-(A-B )]=tan -tan(-)1tan tan(-)A A B A A B +=31--42311-42⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭=2. (2) 由(1)知tan B=2,得sin B=255,cos B=55, 所以sin C=sin(A+B )=sin A cos B+cos A sin B=11525,由正弦定理sin bB =sin cC ,得c=sin sin b C B =112.10. (1) 因为tan ∠ADC=-2,且∠ADC ∈(0,π),所以sin ∠ADC=255,cos ∠ADC=-55. 所以sin ∠ACD=sinππ--4ADC ∠⎛⎫ ⎪⎝⎭ =sin ∠ADC+π4=sin ∠ADC ·cos π4+cos ∠ADC ·sin π4=,在△ADC 中,由正弦定理得CD=·sin sin AD DACACD ∠∠=.(2) 因为AD ∥BC ,所以cos ∠BCD=-cos ∠ADC=,sin ∠BCD=sin ∠ADC=.在△BDC 中,由余弦定理得BD 2=BC 2+CD 2-2BC ·CD ·cos ∠BCD , 即BC 2-2BC-35=0,解得BC=7,所以S △BCD =12BC ·CD ·sin ∠BCD=12×7=7.11. (1) 因为m ·n =3b cos B ,所以a cos C+c cos A=3b cos B. 由正弦定理得sin A cos C+sin C cos A=3sin B cos B , 所以sin(A+C )=3sin B cos B , 所以sin B=3sin B cos B.因为B 是△ABC 的内角,所以sin B ≠0,所以cos B=13.(2) 因为a ,b ,c 成等比数列,所以b 2=ac. 由正弦定理得sin 2B=sin A ·sin C.因为cos B=13,B 是△ABC 的内角,所以sinB=,又1tan A +1tan C =cos sin A A +cos sin C C =cos ?sin sin ?cos sin sin A C A CA C +⋅ =sin()sin sin A C A C +⋅=sin sin sin B A C=2sin sin B B =1sin B=.。

专题02 三角函数、解三角形、平面向量(学生版)

专题02 三角函数、解三角形、平面向量(学生版)

专题二 三角函数、解三角形、平面向量第1讲 三角函数高考考试说明:三角函数的概念(B 级);同角三角函数的基本关系式(B 级);正弦函数、余弦函数的诱导公式(B 级);函数y =A sin (ωx +φ)的图像与性质(A 级);正弦、余弦、正切的图像与性质(B 级),两角和(差)的正弦、余弦及正切(C 级);二倍角的正弦、余弦及正切(B 级) 一、填空题:1.(2008.江苏.1)若函数y =cos (ωx -π6)(ω>0)最小正周期为π5,则ω= .2.(2009.江苏.4)函数y = y =A sin (ωx +φ)(A ,ω,φ为常数,A >0,ω>0)在闭区间[-π,0]上的图象如图所示,则ω= .第2题 第5题3.(2010.江苏.10)定义在区间(0,π2)上的函数y =6cos x 的图像与y =5tan x 的图像的交点为P ,过点P作PP 1⊥x 轴于点P 1,直线PP 1与y =sin x 的图像交于点P 2,则线段P 1P 2的长为 .4.(2011.江苏.7)已知tan (x +π4)=2,则tan xtan 2x 的值为 .5.(2011.江苏.9)函数f (x )=A sin (ωx +φ)(A ,ω,φ为常数,A >0,ω>0)的部分图象如图所示,则f (0)的值为 .6.(2012.江苏.11)设α为锐角,若cos (α+π6)=45,则sin (2α+π12)的值为 .7.(2013.江苏.1)函数y =3sin (2x +π4)的最小正周期为 .8.(2014江苏5)已知函数y =cos x 与y =sin (2x +φ)(0≤φ<π),它们的图象有一个横坐标为π3的交点,则φ的值是 .9.(2015.江苏.8)已知tan α=-2,tan (α+β)=17,则tan β的值为_______.10.(2015.江苏.14)设向量a k =(cos k π6,sin k π6+cos k π6)(k =0,1,2,...,12),则11k =∑(a k →˙a k +1→)的值为 .11.(2016.江苏.9)定义在区间 [0,3π] 上的函数y =sin 2x 的图象与y =cos x 的图象的交点个数是________.12.(2017.江苏.5)若tan (α-π4)=16,则 tan α= .13.(2018.江苏.7)已知函数f (x )=sin (2x +φ)(-π2<φ<π2)的图象关于直线x =π3对称,则φ的值是 .14.(2019.江苏.13)已知tan 2π3tan()4αα=-+,则sin (π24α+)值是_____. 二、解答题:1.(2008.江苏.15)如图,在平面直角坐标系xOy 中,以Ox 轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别交单位圆于A ,B 两点.已知A ,B 两点的横坐标分别是210,255. (1)求tan (α+β)的值; (2)求α+2β的值.2.(2014.江苏.15)已知α∈(π2,π),sin α=55.(1)求sin (π4+α)的值;(2)求cos (5π6-2α)的值.3.(2017.江苏.16)已知向量a =(cos x ,sin x ),b =(3,-3),x ∈[0,π]. (1)若a ∥b ,求x 的值;(2)记f (x )=a ∙b ,求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值.4.(2018.江苏.16)已知α,β为锐角,tan α=43,cos (α+β)=-55.(1)求cos2α的值; (2)求tan (α-β)的值.5.(2018.江苏.17)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆O 的一段圆弧MPN (P 为此圆弧的中点)和线段MN 构成.已知圆O 的半径为40米,点P 到MN 的距离为50米.先规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ,大棚 Ⅱ 内的地块形状为△CDP ,要求A ,B 均在线段MN 上,C ,D 均在圆弧上.设OC 与MN 所成的角为θ.(1)用θ分别表示矩形ABCD 和△CDP 的面积,并确定sin θ的取值范围;(2)若大棚 Ⅰ 内种植甲种蔬菜,大棚 Ⅱ 内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3.求当θ为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.第2讲 解三角形高考考试说明:三角函数的概念(B 级);同角三角函数的基本关系式(B 级);正弦函数、余弦函数的诱导公式(B 级);函数()ϕω+=x A y sin 的图像与性质(A 级).正弦、余弦、正切的图像与性质(B 级),两角和(差)的正弦、余弦及正切(C 级);二倍角的正弦、余弦及正切(B 级),正弦定理、余弦定理及其应用(B 级) 一、填空题:1.(2008.江苏.13)满足条件AB =2,AC =2BC 的三角形ABC 的面积的最大值是 .2.(2010.江苏.13)在锐角三角形ABC 中,A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,b a +a b =6cos C ,则 tan C tan A +tan C tan B = .3.(2014.江苏.14)若△ABC 的内角满足sin A +2sin B =2sin C ,则cos C 的最小值是 .4.(2016.江苏.14)在锐角三角形ABC 中,若sin A =2sin B sin C ,则tan A tan B tan C 的最小值是________.5.(江苏.2018.13)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,∠ABC =120°,∠ABC 的平分线交AC 与点D ,且BD =1,则4a +c 的最小值为 . 二、解答题:1.(2011.江苏.15)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c . (1)若sin (A +π6)=2cos A ,求A 的值;(2)若cos A =13,b =3c ,求sin C 的值.2.(2012.江苏.15)在△ABC 中,已知AB →·AC →=3BA →·BC →. (1)求证:tan B =3tan A ; (2)若cos C =55,求A 的值.3.(2013.江苏.18)如图,游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ,另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ,然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山,甲沿AC 匀速步行,速度为50m /min .在甲出发2min 后,乙从A 乘缆车到B ,在B 处停留1min 后,再以匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130m /min ,山路AC 长为1260m ,经测量,cos A =1213,cos C =35. (1)求索道AB 的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?4.(2015.江苏.15)在△ABC 中,已知AB =2,AC =3,A =60°. (1)求BC 的长; (2)求sin2C 的值.5.(2016.江苏.15)在△ABC 中,AC =6,cos B =45,C =π4.(1)求AB 的长; (2)cos (A -π6)的值.6.(2019.江苏.15)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .(1)若a =3c ,b ,cos B =23,求c 的值; (2)若sin cos 2A B a b =,求sin()2B π+的值.第3讲 平面向量高考考试说明:平面向量的概念(B 级),平面向量的加法、减法及数乘运算(B 级),平面向量的坐标表示(B 级),平面向量的概平行与垂直(B 级),平面向量的数量积(C 级),平面向量的应用(A 级) 一、填空题:1.(2008.江苏.5)已知向量a 和b 的夹角为120°,|a |=1,|b |=3,则 |5a -b |= .2.(2009.江苏.2)已知向量a 和向量b 的夹角为30°,|a |=2,|b |=3,则向量a 和b 的数量积a·b = .3.(2011.江苏.10)已知e 1,e 2是夹角为2π3的两个单位向量,a =e 1-2e 2,b =k e 1+e 2,若a·b =0,则实数k 的值为 .4.(2012.江苏.9)如图,在矩形ABCD 中,AB =2,BC =2,点E 为BC 的中点,点F 在边CD 上,若AB →·AF →=2,则 AE →·BF → 的值是 .第4题5.(2013.江苏.10)设D ,E 分别是△ABC 的边AB ,BC 上的点,AD =12AB ,BE =23BC ,若DE →=λ1AB →+λ2AC→(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为 .6.(2014.江苏.12)如图,在平行四边形ABCD 中,已知AB =8,AD =5,CP →=3PD →,AP →·BP →=2,则AB →·AD →的值是 .7.(2015.江苏.6)已知向量a =(2,1),b =(1,-2),若m a +n b =(9,-8)(m ,n R ),m -n 的的值为______.P(第6题)8.(2015.江苏.14.)(见第1讲第10题)设向量a k =(cos k π6,sin k π6+cos k π6)(k =0,1,2,...,12),则11k =∑(a k →˙a k +1→)的值为 .9.(2016.江苏.13)如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点,E ,F 是AD 上的两个三等分点,BA →·CA →=4,BF →·CF →=-1,则BE →·CE →的值是________.第9题 第10题10.(2017.江苏. 12)如图,在同一个平面内,向量OA →,OB →,OC →的模分别为1,1,2,OA →与OC →的夹角为α,且tan α=7,OB →与OC →的夹角为45°.若OC →=mOA →+nOB →(m ,n ∈R ),则m +n = .11.(江苏.2017.13)在平面直角坐标系xOy 中,A (-12,0),B (0,6),点P 在圆O :x 2+y 2=50上,若P A →·PB →≤20则点P 的横坐标的取值范围是 .12.(江苏.2018.12)在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线l :y =2x 上在第一象限内的点,B (5,0),以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB →·CD →=0,则点A 的横坐标为 .13.(江苏.2019.12)如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点,E 在边AB 上,BE =2EA ,AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅,则ABAC的值是_____.二、解答题:1.(2009.江苏.15)设向量a =(4cos α,sin α),b =(sin β,4cos β),c =(cos β,4sin β-). (1)若a 与b -2c 垂直,求tan()αβ+的值; (2)求 |b +c | 的最大值;(3)若tan tan 16αβ=,求证:a ∥b .2.(2010.江苏.15)在平面直角坐标系xOy 中,点A (-1,-2),B (2,3),C (-2,-1). (1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长; (2)设实数t 满足(AB →-t OC →)·OC →=0,求t 的值.3.(2012.江苏.15)在△ABC 中,已知AB →·AC →=3BA →·BC →. (1)求证:tan B =3tan A ; (2)若cos C =55,求A 的值.A黎曼教育4.(2013.江苏.15)已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),0<β<α<π. (1)若| a-b | =2,求证:a⊥b;(2)设c=(0,1),若a+b=c,求α,β的值.5.(2017.江苏.16)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-3),x∈[0,π].(1)若a∥b,求x的值;(2)记f(x)=a∙b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.练江苏卷,考名校分第11页。

专题二 三角函数与平面向量的综合应用

专题二 三角函数与平面向量的综合应用

cos 2x+1 1 1 解 (1)f(x)= sin 2xsin φ+ cos φ- cos φ 2 2 2 1 1 = (sin 2xsin φ+cos 2xcos φ)= cos(2x-φ). 2 2 π 1 1 1 π π 又∵f(x)过点 , ,∴ = cos -φ,cos( -φ)=1. 2 2 3 3 6 2 π 由 0<φ<π 知 φ= . 3 1 π (2)由(1)知 f(x)= cos2x- .将 f(x)图象上所有点的横坐标缩 2 3 1 1 π 短到原来的 ,纵坐标不变,得到 g(x)= cos(4x- ). 2 2 3 π π π 2π ∵0≤x≤ ,∴- ≤4x- ≤ . 4 3 3 3 π π 1 当 4x- =0,即 x= 时,g(x)有最大值 ; 3 12 2 π 2π π 1 当 4x- = ,即 x= 时,g(x)有最小值- . 3 3 4 4
审题视角 (1)利用向量的垂直关系,将向量间的 关系转化成三角函数式,化简求值.(2)根据向量 模的定义,将求模问题转化为求三角函数最值的 问题.(3)转化成证明与向量平行等价的三角函 数式.
题型三
平面向量与三角函数 x x 2x 例 3 已知向量 m = 3sin ,1,n=cos ,cos . 4 4 4 2π (1)若 m · n=1,求 cos -x的值; 3 (2)记 f(x)=m · n,在△ABC 中,角 A,B,C 的对边 分别是 a,b,c,且满足(2a-c)cos B=bcos C,求 函数 f(A)的取值范围.
答题模板 8.平面向量与三角函数综合问题 试题:(12 分)设向量 a=(4cos α,sin α),b=(sin β, 4cos β),c=(cos β,-4sin β). (1)若 a 与 b-2c 垂直,求 tan(α+β)的值; (2)求|b+c|的最大值; (3)若 tan αtan β=16,求证:a∥b.

三角函数与平面向量

三角函数与平面向量

第二部分三角函数与平面向量一、知识框图:二、基础知识要点剖析:1、与角α终边相同的角的集合{}Z k k ∈+=,2|απββ; 十六条终边所对应的角能记住吗?集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈±=Z k k ,3|ππγγ表示怎样的终边的角?区分锐角、小于090的角、090~0的角、钝角、对顶角、区域角、区间角、象限角等。

2、弧长公式:||l R α=,扇形面积公式:211||22S lR R α==,1弧度(1rad)57.3≈3、三角函数的定义(r y x ,,三个量的比值):r y =αsin ,r x =αcos ,)0(tan ≠=x xyα。

㈠任意角的三角函数值在各个象限的符号知道吗?特别是特殊角的三角函数值记准了吗? ㈡正弦线、余弦线、正切线会画吗?利用它们求三角不等式很简便哦!有印象吗? ㈢常见三角不等式:(1)若(0,)2x π∈,则sin tan x x x <<,(2) 若(0,)2x π∈,则1sin cos 2x x <+≤(3) 2cos sin 1,≤+≤∈x x R x 则若.4、同角三角函数的基本关系式 :①22sin cos 1θθ+=,②ta n θ=θθcos sin ,注意公式变形:2)cos (sin cos sin 21)1(θθθθ±=±.)42sin(22cos2sinsin 1πθθθθ±=±=±2s i n 2c o s 1θθ=-, 2co s 2co s 1θθ=+(2)如t =±ααcos sin ,d =ααcos sin ,αtan 之间互相转换懂吗?知一求二:(3)若t =+ααcos sin ,则21c o s s i n 2-=t αα;12sin 2-=t α;22cos sin t -±=-αα(4)若t =ααcos sin ,则t 21cos sin +±=+αα;t 21cos sin -±=-αα.5、诱导公式分两大类:为偶数与奇数)k k(2απ±。

2023年新高考数学大一轮复习专题二平面向量与三角函数第1讲平面向量(含答案)

2023年新高考数学大一轮复习专题二平面向量与三角函数第1讲平面向量(含答案)

新高考数学大一轮复习专题:第1讲 平面向量[考情分析] 1.平面向量是高考的热点和重点,命题突出向量的基本运算与工具性,在解答题中常与三角函数、直线和圆锥曲线的位置关系问题相结合,主要以条件的形式出现,涉及向量共线、数量积等.2.常以选择题、填空题形式考查平面向量的基本运算,中低等难度;平面向量在解答题中一般为中等难度. 考点一 平面向量的线性运算 核心提炼1.平面向量加减法求解的关键是:对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”.对平面向量减法应抓住“共起点,连两终点,指向被减向量的终点”,再观察图形对向量进行等价转化,即可快速得到结果.2.在一般向量的线性运算中,只要把其中的向量当作一个字母看待即可,其运算方法类似于代数中合并同类项的运算,在计算时可以进行类比.例1 (1)如图所示,AD 是△ABC 的中线,O 是AD 的中点,若CO →=λAB →+μAC →,其中λ,μ∈R ,则λ+μ的值为( )A .-12B.12 C .-14D.14答案 A解析 由题意知,CO →=12(CD →+CA →)=12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12CB →+CA →=14(AB →-AC →)+12CA →=14AB →-34AC →, 则λ=14,μ=-34,故λ+μ=-12.(2)已知e 1,e 2是不共线向量,a =m e 1+2e 2,b =n e 1-e 2,且mn ≠0.若a ∥b ,则m n=________. 答案 -2解析 ∵a ∥b ,∴m ×(-1)=2×n ,∴m n=-2.(3)A ,B ,C 是圆O 上不同的三点,线段CO 与线段AB 交于点D ,若OC →=λOA →+μOB →(λ∈R ,μ∈R ),则λ+μ的取值范围是________.答案 (1,+∞)解析 由题意可得,OD →=kOC →=kλOA →+kμOB →(0<k <1),又A ,D ,B 三点共线,所以kλ+kμ=1,则λ+μ=1k>1,即λ+μ的取值范围是(1,+∞).易错提醒 在平面向量的化简或运算中,要根据平面向量基本定理恰当地选取基底,变形要有方向,不能盲目转化.跟踪演练1 (1)如图,在平行四边形ABCD 中,E ,F 分别为边AB ,BC 的中点,连接CE ,DF ,交于点G .若CG →=λCD →+μCB →(λ,μ∈R ),则λμ=________.答案 12解析 由题意可设CG →=xCE →(0<x <1), 则CG →=x (CB →+BE →)=x ⎝ ⎛⎭⎪⎫CB →+12CD →=x 2CD →+xCB →.因为CG →=λCD →+μCB →,CD →与CB →不共线,所以λ=x 2,μ=x ,所以λμ=12.(2)如图,在扇形OAB 中,∠AOB =π3,C 为弧AB 上的一个动点,若OC →=xOA →+yOB →,则x +3y的取值范围是________.答案 [1,3]解析 设扇形的半径为1,以OB 所在直线为x 轴,O 为坐标原点建立平面直角坐标系(图略), 则B (1,0),A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,32,C (cos θ,sin θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中∠BOC =θ,0≤θ≤π3.则OC →=(cos θ,sin θ)=x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,32+y (1,0),即⎩⎪⎨⎪⎧x 2+y =cos θ,32x =sin θ,解得x =23sin θ3,y =cos θ-3sin θ3,故x +3y =23sin θ3+3cos θ-3sin θ=3cos θ-33sin θ,0≤θ≤π3. 令g (θ)=3cos θ-33sin θ, 易知g (θ)=3cos θ-33sin θ在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π3上单调递减,故当θ=0时,g (θ)取得最大值为3, 当θ=π3时,g (θ)取得最小值为1,故x +3y 的取值范围为[1,3].考点二 平面向量的数量积 核心提炼1.若a =(x ,y ),则|a |=a ·a =x 2+y 2. 2.若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则|AB →|=x 2-x 12+y 2-y 12.3.若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),θ为a 与b 的夹角, 则cos θ=a ·b |a ||b |=x 1x 2+y 1y 2x 21+y 21x 22+y 22. 例2 (1)(2020·全国Ⅲ)已知向量a ,b 满足|a |=5,|b |=6,a ·b =-6,则cos 〈a ,a +b 〉等于( )A .-3135B .-1935C.1735D.1935答案 D解析 ∵|a +b |2=(a +b )2=a 2+2a ·b +b 2=25-12+36=49, ∴|a +b |=7,∴cos〈a ,a +b 〉=a ·a +b |a ||a +b |=a 2+a ·b|a ||a +b |=25-65×7=1935. (2)已知扇形OAB 的半径为2,圆心角为2π3,点C 是弧AB 的中点,OD →=-12OB →,则CD →·AB →的值为( )A .3B .4C .-3D .-4 答案 C解析 如图,连接CO ,∵点C 是弧AB 的中点, ∴CO ⊥AB ,又∵OA =OB =2,OD →=-12OB →,∠AOB =2π3,∴CD →·AB →=(OD →-OC →)·AB →=-12OB →·AB →=-12OB →·(OB →-OA →)=12OA →·OB →-12OB →2=12×2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫-12-12×4=-3. (3)已知在直角梯形ABCD 中,AB =AD =2CD =2,∠ADC =90°,若点M 在线段AC 上,则|MB →+MD →|的取值范围为________________.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤255,22 解析 以A 为坐标原点,AB ,AD 所在直线分别为x 轴,y 轴, 建立如图所示的平面直角坐标系,则A (0,0),B (2,0),C (1,2),D (0,2),设AM →=λAC →(0≤λ≤1),则M (λ,2λ), 故MD →=(-λ,2-2λ),MB →=(2-λ,-2λ), 则MB →+MD →=(2-2λ,2-4λ), ∴|MB →+MD →|=2-2λ2+2-4λ2=20⎝⎛⎭⎪⎫λ-352+45,0≤λ≤1, 当λ=0时,|MB →+MD →|取得最大值为22, 当λ=35时,|MB →+MD →|取得最小值为255,∴|MB →+MD →|∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤255,22.易错提醒 两个向量的夹角的范围是[0,π],在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量的夹角可能是0或π的情况,如已知两个向量的夹角为钝角时,不仅要求其数量积小于零,还要求不能反向共线.跟踪演练2 (1)(2019·全国Ⅰ)已知非零向量a ,b 满足|a |=2|b |,且(a -b )⊥b ,则a 与b 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6 答案 B解析 方法一 设a 与b 的夹角为θ,因为(a -b )⊥b ,所以(a -b )·b =a ·b -|b |2=0, 又因为|a |=2|b |,所以2|b |2cos θ-|b |2=0, 即cos θ=12,又θ∈[0,π],所以θ=π3,故选B. 方法二 如图,令OA →=a ,OB →=b ,则BA →=OA →-OB →=a -b .因为(a -b )⊥b ,所以∠OBA =π2,又|a |=2|b |,所以∠AOB =π3,即a 与b 的夹角为π3,故选B.(2)(2020·新高考全国Ⅰ)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点,则AP →·AB →的取值范围是( ) A .(-2,6) B .(-6,2) C .(-2,4) D .(-4,6)答案 A解析 如图,取A 为坐标原点,AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系,则A (0,0),B (2,0),C (3,3),F (-1,3). 设P (x ,y ),则AP →=(x ,y ),AB →=(2,0),且-1<x <3. 所以AP →·AB →=(x ,y )·(2,0)=2x ∈(-2,6).(3)设A ,B ,C 是半径为1的圆O 上的三点,且OA →⊥OB →,则(OC →-OA →)·(OC →-OB →)的最大值是( ) A .1+ 2 B .1- 2 C.2-1 D .1答案 A解析 如图,作出OD →,使得OA →+OB →=OD →.则(OC →-OA →)·(OC →-OB →)=OC →2-OA →·OC →-OB →·OC →+OA →·OB →=1-(OA →+OB →)·OC →=1-OD →·OC →,由图可知,当点C 在OD 的反向延长线与圆O 的交点处时,OD →·OC →取得最小值,最小值为-2,此时(OC →-OA →)·(OC →-OB →)取得最大值,最大值为1+ 2.故选A.专题强化练一、单项选择题1.已知四边形ABCD 是平行四边形,点E 为边CD 的中点,则BE →等于( )A .-12AB →+AD →B.12AB →-AD →C.AB →+12AD →D.AB →-12AD →答案 A解析 由题意可知,BE →=BC →+CE →=-12AB →+AD →.2.(2020·广州模拟)加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分,某学生做引体向上运动,处于如图所示的平衡状态时,若两只胳膊的夹角为π3,每只胳膊的拉力大小均为400 N ,则该学生的体重(单位:kg)约为(参考数据:取重力加速度大小为g =10 m/s 2,3≈1.732)( )A .63B .69C .75D .81 答案 B解析 设该学生的体重为m ,重力为G ,两臂的合力为F ′,则|G |=|F ′|,由余弦定理得|F ′|2=4002+4002-2×400×400×cos 2π3=3×4002,∴|F ′|=4003,∴|G |=mg =4003,m =403≈69kg.3.已知向量a =(1,2),b =(2,-2),c =(λ,-1),若c ∥(2a +b ),则λ等于( ) A .-2B .-1C .-12D.12答案 A解析 ∵a =(1,2),b =(2,-2),∴2a +b =(4,2),又c =(λ,-1),c ∥(2a +b ),∴2λ+4=0,解得λ=-2,故选A.4.(2020·潍坊模拟)在平面直角坐标系xOy 中,点P (3,1),将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ →,则点Q 的坐标是( )A .(-2,1)B .(-1,2)C .(-3,1)D .(-1,3) 答案 D解析 由P (3,1),得P ⎝⎛⎭⎪⎫2cos π6,2sin π6,∵将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ →,∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6+π2,2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6+π2, 又cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6+π2=-sin π6=-12,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6+π2=cos π6=32,∴Q (-1,3).5.(2020·泰安模拟)如图,在△ABC 中,点O 是BC 的中点,过点O 的直线分别交直线AB ,AC 于不同的两点M ,N ,若AB →=mAM →,AC →=nAN →,则m +n 等于( )A .0B .1C .2D .3 答案 C解析 如图,连接AO ,由O 为BC 的中点可得,AO →=12(AB →+AC →)=m 2AM →+n 2AN →, ∵M ,O ,N 三点共线, ∴m 2+n2=1. ∴m +n =2.6.在同一平面中,AD →=DC →,BE →=2ED →.若AE →=mAB →+nAC →(m ,n ∈R ),则m +n 等于( ) A.23B.34C.56D .1 答案 A解析 由题意得,AD →=12AC →,DE →=13DB →,故AE →=AD →+DE →=12AC →+13DB →=12AC →+13(AB →-AD →)=12AC →+13⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →-12AC →=13AB →+13AC →,所以m =13,n =13,故m +n =23.7.若P 为△ABC 所在平面内一点,且|PA →-PB →|=|PA →+PB →-2PC →|,则△ABC 的形状为( ) A .等边三角形 B .等腰三角形 C .直角三角形 D .等腰直角三角形答案 C解析 ∵|PA →-PB →|=|PA →+PB →-2PC →|,∴|BA →|=|(PA →-PC →)+(PB →-PC →)|=|CA →+CB →|,即|CA →-CB →|=|CA →+CB →|,两边平方整理得,CA →·CB →=0,∴CA →⊥CB →,∴△ABC 为直角三角形.故选C. 8.已知P 是边长为3的等边三角形ABC 外接圆上的动点,则||PA →+PB →+2PC →的最大值为( )A .23B .33C .43D .5 3 答案 D解析 设△ABC 的外接圆的圆心为O , 则圆的半径为332×12=3,OA →+OB →+OC →=0, 故PA →+PB →+2PC →=4PO →+OC →.又||4PO →+OC→2=51+8PO →·OC →≤51+24=75, 故||PA →+PB →+2PC →≤53, 当PO →,OC →同向共线时取最大值.9.如图,圆O 是边长为23的等边三角形ABC 的内切圆,其与BC 边相切于点D ,点M 为圆上任意一点,BM →=xBA →+yBD →(x ,y ∈R ),则2x +y 的最大值为( )A.2B.3C .2D .2 2 答案 C解析 方法一 如图,连接DA ,以D 点为原点,BC 所在直线为x 轴,DA 所在直线为y 轴,建立如图所示的平面直角坐标系.设内切圆的半径为r ,则圆心为坐标(0,r ),根据三角形面积公式,得12×l △ABC ×r =12×AB ×AC ×sin60°(l △ABC 为△ABC 的周长),解得r =1.易得B (-3,0),C (3,0),A (0,3),D (0,0), 设M (cos θ,1+sin θ),θ∈[0,2π),则BM →=(cos θ+3,1+sin θ),BA →=(3,3),BD →=(3,0), 故BM →=(cos θ+3,1+sin θ)=(3x +3y ,3x ),故⎩⎨⎧cos θ=3x +3y -3,sin θ=3x -1,则⎩⎪⎨⎪⎧x =1+sin θ3,y =3cos θ3-sin θ3+23,所以2x +y =3cos θ3+sin θ3+43=23sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ+π3+43≤2.当θ=π6时等号成立.故2x +y 的最大值为2.方法二 因为BM →=xBA →+yBD →,所以|BM →|2=3(4x 2+2xy +y 2)=3[(2x +y )2-2xy ]. 由题意知,x ≥0,y ≥0, |BM →|的最大值为232-32=3,又2x +y 24≥2xy ,即-2x +y 24≤-2xy ,所以3×34(2x +y )2≤9,得2x +y ≤2,当且仅当2x =y =1时取等号. 二、多项选择题10.(2020·长沙模拟)已知a ,b 是单位向量,且a +b =(1,-1),则( ) A .|a +b |=2 B .a 与b 垂直C .a 与a -b 的夹角为π4D .|a -b |=1 答案 BC解析 |a +b |=12+-12=2,故A 错误;因为a ,b 是单位向量,所以|a |2+|b |2+2a ·b =1+1+2a ·b =2,得a ·b =0,a 与b 垂直,故B 正确;|a -b |2=a 2+b 2-2a ·b =2,|a -b |=2,故D 错误;cos 〈a ,a -b 〉=a ·a -b |a ||a -b |=a 2-a ·b 1×2=22,所以a 与a -b 的夹角为π4,故C 正确. 11.设向量a =(k,2),b =(1,-1),则下列叙述错误的是( )A .若k <-2,则a 与b 的夹角为钝角B .|a |的最小值为2C .与b 共线的单位向量只有一个为⎝ ⎛⎭⎪⎫22,-22 D .若|a |=2|b |,则k =22或-2 2 答案 CD解析 对于A 选项,若a 与b 的夹角为钝角,则a ·b <0且a 与b 不共线,则k -2<0且k ≠-2,解得k <2且k ≠-2,A 选项正确;对于B 选项,|a |=k 2+4≥4=2,当且仅当k =0时等号成立,B 选项正确;对于C 选项,|b |=2,与b 共线的单位向量为±b |b |,即与b 共线的单位向量为⎝⎛⎭⎪⎫22,-22或⎝ ⎛⎭⎪⎫-22,22,C 选项错误;对于D 选项,∵|a |=2|b |=22,∴k 2+4=22,解得k =±2,D 选项错误.12.已知△ABC 是边长为2的等边三角形,D ,E 分别是AC ,AB 上的两点,且AE →=EB →,AD →=2DC →,BD 与CE 交于点O ,则下列说法正确的是( )A.AB →·CE →=-1B.OE →+OC →=0C .|OA →+OB →+OC →|=32D.ED →在BC →方向上的投影为76答案 BCD解析 因为AE →=EB →,△ABC 是等边三角形,所以CE ⊥AB ,所以AB →·CE →=0,选项A 错误;以E 为坐标原点,EA →,EC →的方向分别为x 轴,y 轴正方向建立平面直角坐标系,如图所示,所以E (0,0),A (1,0),B (-1,0),C (0,3),D ⎝ ⎛⎭⎪⎫13,233, 设O (0,y ),y ∈(0,3),则BO →=(1,y ),DO →=⎝ ⎛⎭⎪⎫-13,y -233, 又BO →∥DO →,所以y -233=-13y ,解得y =32, 即O 是CE 的中点,OE →+OC →=0,所以选项B 正确;|OA →+OB →+OC →|=|2OE →+OC →|=|OE →|=32, 所以选项C 正确;ED →=⎝ ⎛⎭⎪⎫13,233,BC →=(1,3),ED →在BC →方向上的投影为ED →·BC →|BC →|=13+22=76,所以选项D 正确. 三、填空题13.(2020·全国Ⅱ)已知单位向量a ,b 的夹角为45°,k a -b 与a 垂直,则k =________. 答案 22解析 由题意知(k a -b )·a =0,即k a 2-b ·a =0.因为a ,b 为单位向量,且夹角为45°,所以k ×12-1×1×22=0,解得k =22. 14.在△ABC 中,AB =1,∠ABC =60°,AC →·AB →=-1,若O 是△ABC 的重心,则BO →·AC →=________.答案 5解析 如图所示,以B 为坐标原点,BC 所在直线为x 轴,建立平面直角坐标系.∵AB =1,∠ABC =60°,∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,32.设C (a,0). ∵AC →·AB →=-1,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a -12,-32·⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,-32 =-12⎝ ⎛⎭⎪⎫a -12+34=-1,解得a =4. ∵O 是△ABC 的重心,延长BO 交AC 于点D ,∴BO →=23BD →=23×12()BA →+BC → =13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12,32+4,0=⎝ ⎛⎭⎪⎫32,36. ∴BO →·AC →=⎝ ⎛⎭⎪⎫32,36·⎝ ⎛⎭⎪⎫72,-32=5. 15.(2020·石家庄模拟)在锐角三角形ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,点O为△ABC 的外接圆的圆心,A =π3,且AO →=λAB →+μAC →,则λμ的最大值为________. 答案 19解析 ∵△ABC 是锐角三角形,∴O 在△ABC 的内部,∴0<λ<1,0<μ<1.由AO →=λ(OB →-OA →)+μ(OC →-OA →), 得(1-λ-μ)AO →=λOB →+μOC →,两边平方后得,(1-λ-μ)2AO →2=(λOB →+μOC →)2=λ2OB →2+μ2OC →2+2λμOB →·OC →,∵A =π3,∴∠BOC =2π3,又|AO →|=|BO →|=|CO →|. ∴(1-λ-μ)2=λ2+μ2-λμ,∴1+3λμ=2(λ+μ),∵0<λ<1,0<μ<1,∴1+3λμ≥4λμ,设λμ=t ,∴3t 2-4t +1≥0,解得t ≥1(舍)或t ≤13, 即λμ≤13⇒λμ≤19,∴λμ的最大值是19.16.(2020·浙江)已知平面单位向量e 1,e 2满足|2e 1-e 2|≤2,设a =e 1+e 2,b =3e 1+e 2,向量a ,b 的夹角为θ,则cos 2θ的最小值是________. 答案 2829解析 设e 1=(1,0),e 2=(x ,y ),则a =(x +1,y ),b =(x +3,y ).由2e 1-e 2=(2-x ,-y ),故|2e 1-e 2|=2-x 2+y 2≤2,得(x -2)2+y 2≤2.又有x 2+y 2=1,得(x -2)2+1-x 2≤2,化简,得4x ≥3,即x ≥34,因此34≤x ≤1.cos 2θ=⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·b|a |·|b |2=⎣⎢⎡⎦⎥⎤x +1x +3+y 2x +12+y 2x +32+y 22=⎝ ⎛⎭⎪⎫4x +42x +26x +102=4x +12x +13x +5=4x +13x +5=433x +5-833x +5=43-833x +5,。

三角函数与平面向量

三角函数与平面向量
向量旋转与三角函数: 通过三角函数可以实
现向量的旋转。
向量角度与三角函数: 向量的夹角可以通过 三角函数进行计算。
向量投影与三角函数: 向量的投影长度和方 向可以通过三角函数
进行计算。
三角函数在向量 运算中的应用, 如向量的点乘和
叉乘
向量在三角函数 中的应用,如利 用向量表示三角 函数图像的平移
和旋转
三角函数与平面向量的运算性质 及其相互转化
三角函数与平面向量在解题中的 综合运用
总结三角函数与平面向量之间的 关系及其对数学发展的影响
发展趋势:随着数学理论和 应用的不断发展,三角函数 和平面向量理论将进一步完 善,其在物理、工程等领域 的应用将更加广泛。
未来研究方向:深入研究三角函 数和平面向量的性质和关系,探 索其在解决实际问题中的应用, 同时寻求与其他数学领域的交叉 融合,以推动数学理论的发展。
增大而增大或减小。
三角函数定义:以角 为变量,单位圆上点
的坐标为值的函数
三角函数周期性:单位 圆上三角函数值的周期
性变化
单位圆上三角函数表 示:通过单位圆上点 的坐标计算三角函数

三角函数性质:在单 位圆上表示的三角函 数的性质,如正弦、
余弦、正切等
向量的模:表示 向量的大小,计 算公式为 $\sqrt{x^2 + y^2}$
复合函数:通过 将一个三角函数 作为另一个函数 的自变量,可以 形成复合函数。
向量加法:满足平行四边形法则和三角形法则 向量数乘:标量与向量的乘积,结果仍为向量 向量点乘:两个向量的点乘结果为标量,满足分配律和交换律 向量叉乘:两个向量的叉乘结果仍为向量,垂直于原向量构成的平面
三角函数与向量 点乘的性质
向量垂直:当两个 向量的夹角为90 度时,它们被称为 垂直向量。

三角函数与平面向量

三角函数与平面向量
三角函数与平面向量
汇报人:张老师 2023-11-25
目 录
• 三角函数概述 • 三角函数运算 • 平面向量基础 • 平面向量与三角函数的关系 • 三角函数与平面向量的应用 • 总结与展望
01
三角函数概述
三角函数的定义与基本性质
1. 正弦函数(sine) • 定义:对于任意角x,正弦函数定义为对边长度与斜边长度的比值,即sin(x) = 对边 / 斜边。 • 性质:正弦函数的值域为[-1,1],周期为2π。
辑思维,提升问题解决能力。
未来学习中可能遇到的相关主题与展望
相关主题
在未来学习中,学生可能会遇到与三角函数和平面向量 紧密相关的主题,如复数、微分学、积分学、线性代数 等。
展望
对于更深入的学习和理解,学生可以进一步探索这些相 关主题,以构建更为完整和深入的数学知识体系。
如何在日常生活中应用这些知识
在工程中的应用(如位移、速度、加速度的计算)
要点一
位移、速度、加速度计算
要点二
工程测量
在工程领域,经常需要计算物体的位移、速度和加速度。 通过三角函数和平面向量的结合,可以有效地描述和计算 这些物理量,为工程设计提供准确的数据支持。
在土地测量、建筑设计等工程中,三角函数和平面向量可 用于计算角度、距离等参数,确保工程的准确性和稳定性 。
解决问题
01
三角函数与平面向量可以用于解决日常生活中的许多问题,比
如计算距离、角度,确定物体的运动轨迹等。
导航
02
在地理位置定位和导航中,经常会使用到三角函数与平面向量
的知识。
设计与制作
03
在建筑、艺术、设计等领域,利用三角函数与平面向量可以进
行精确的测量和计算,以实现设计和制作的准确性。

三角函数与平面向量的关系及应用

三角函数与平面向量的关系及应用

三角函数与平面向量的关系及应用一、引言三角函数和平面向量是高中数学中重要的概念,它们相互关联,不仅可以帮助我们解决有关角度和距离的问题,还有广泛的实际应用。

本文将探讨三角函数与平面向量的关系,以及它们在实际问题中的应用。

二、三角函数与平面向量的关系1. 向量的模与方向角平面向量可以表示为以原点为起点的有向线段,它具有模和方向两个重要的性质。

向量的模即向量的长度,可以通过勾股定理计算。

而方向角表示了向量相对于正 x 轴的角度,可以用三角函数来表示。

2. 向量的坐标表示与三角函数之间的关系在平面直角坐标系中,向量可以用其在 x 轴和 y 轴上的投影表示。

设向量的坐标为 (x, y),则它的模可以表示为√(x² + y²)。

通过简单的几何推导,我们可以发现,向量和 x 轴的夹角的余弦值等于它的 x 分量与模的比值,即cosθ = x/√(x² + y²);而正弦和向量和 y 轴的夹角的余弦值相等,即sinθ = y/√(x² + y²)。

3. 向量之间的夹角与三角函数的关系对于两个向量 u 和 v,它们之间的夹角可以通过它们的数量积和模的关系来计算。

设夹角为θ,则有cosθ = (u·v)/(|u||v|),其中 ·表示向量的数量积,|u| 和 |v| 分别表示向量 u 和 v 的模。

三、三角函数与平面向量的应用1. 导航系统导航系统通过使用平面向量和三角函数来确定用户的位置和方向。

通过已知的坐标系和三角函数,导航系统可以计算出用户到目的地的方位角和距离,并提供相关的导航指引。

2. 物体运动的分解与合成物体的运动可以看作是在平面坐标系中的向量运动。

通过分解和合成运动向量,我们可以对物体的运动进行分析和计算,提供准确的速度、加速度等信息。

3. 力的分解在物理学中,力也可以看作是一个向量,具有大小和方向。

通过向量的分解,我们可以将一个力分解为两个分力的合力,从而更好地理解和计算复杂的力系统。

三角函数和平面向量

三角函数和平面向量

三角函数和平面向量三 角 函 数一、本章知识结构二、高考要求1.理解角的有关概念,并能进行弧度与角度的互换。

2.掌握三角函数的定义,掌握正弦、余弦、正切函数的图象和性质,会用五点法作函数y=Asin(ωx+φ)图象。

3.掌握两角和与差的正弦、正弦、正切公式,掌握二倍角的正弦、正弦、正切公式,并会用公式进行三角函数式的化简和求值、证明。

4.掌握正弦、余弦定理,并能应用解三角形。

5.掌握平面向量有关知识,如向量的坐标运算、平面向量的数量积、向量垂直的条件、夹角公式等,会用向量方法解决简单问题。

常考点:1)三角函数的定义;2)同角三角函数的基本函数关系式;3)三角函数的图象和性质;4)三角恒等变换;5)正弦、余弦定理的应用;6)解三角形;7)平面向量的概念及运算;8)平面向量的基本定理及坐标表示;9)平面向量的数量积。

易考点:1)三角函数的图象和性质;2)三角恒等变换;3)正弦、余弦定理的应用;4)解三角形;5)平面向量的基本定理及坐标表示;6)平面向量的数量积。

必考点:三角函数的图象和性质,三角恒等变换,解三角形,平面向量的数量积。

三、热点分析1.三角函数作为一种重要的基本初等函数,是中学数学的重要内容,也是高考命题的热点之一。

近几年对三角函数的要求基本未作调整,主要考查三角函数的定义、图象与性质以及同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角与倍角公式等。

高考对三角函数与三角恒等变换内容的考查,一是设置一道或两道客观题,考查三角函数求值、三角函数图象与性质或三角恒等变换等内容;二是设置一道解答题,考查三角函数的性质、三角函数的恒等变换或三角函数的实际应用,仍是探索拓展、综合应用的热点考查题型,以三角函数为载体的立意新颖的应用性试题将备受命题者的青睐,一般出现在前两个解答题的位置。

无论是客观题还是解答题,从难度来说均属于中低档题目,所占分值在20分左右,约占总分值的13.3%。

2.平面向量是连接代数与几何的桥梁,是高考的重要内容之一。

文科高考数学重难点02 三角函数与解三角形(解析版)

文科高考数学重难点02  三角函数与解三角形(解析版)

重难点02 三角函数与解三角形【高考考试趋势】新高考环境下,三角函数与解三角形依然会作为一个重点参与到高考试题中,其中对应的题目的分布特点与命题规律分析可以看出,三角试题每年都考,而且文理有别,或"一大一小",或"三小",或"二小"("小"指选择题或填空题,"大"指解答题),解答题以简单题或中档题为主,选择题或填空题比较灵活,有简单题,有中档题,也有对学生能力和素养要求较高的题.三角函数的图象与性质是高考考查的重点及热点内.备考时要熟练掌握三角函数的图象与性质、三角恒等变换公式及正、余弦定理,在此基础上掌握一些三角恒变换的技巧,如角的变换,函数名称的变换等,此外,还要注意题目中隐含的各种限制条件,选择合理的解决方法,灵活实现问题的转化鉴于新课标核心素养的要求,三角函数与解三角形在实际背景下的应用也将是一个考试试点.考点主要集中在三角函数图像及其性质的应用,三角函数恒等变换,以及正弦余弦定理的应用.本专题在以往高考常见的题型上,根据新课标的要求,精选了部分预测题型,并对相应的题型的解法做了相应的题目分析以及解题指导,希望你在学习完本专题以后能够对三角函数以及解三角形的题型以及解答技巧有一定的提升.【知识点分析以及满分技巧】三角函数与解三角形:从返几年高考情况来看,高考对本部分内容的考查主要有,1.三解恒等变换与三角函数的图象、性质相结合;2.三角恒等变换与解三角形相结合;3.平面向量、不等式、数列与三角函数和解三角形相结合,难度一般不大,属中档题型.三角函数图形的性质以及应用:对于选择题类型特别是对称中心,对称轴等问题选项中特殊点的带入简单方便,正确率比较高.总额和性的问题一般采用换元法转化成最基本的函数问题去解答.对于三角函数有关恒等变换的题目应注重公式的变形.解三角形类型的大题中,重点是角边转化,但是要注意两边必须同时转化,对于对应的面积的最大值问题以及周长的最值问题一般转化成基本不等式去求,但是在用基本不等式的时候应注意不等式等号成立的条件.【常见题型限时检测】(建议用时:35分钟)一、单选题1.(2020·贵溪市实验中学高三月考(文))在中,角,,所对的边分别ABC :A B C 为,,,且,则的最大值是( )a b c BC c bb c +A .8B .6C .D .4【答案】D【分析】由已知可得:,11sin 22bc A a =所以,2sin a A =因为,所以222cos 2b c a A bc +-=2222cos sin 2cos b c a bc AA bc A +=+=+所以,222cos 4sin 46c b b c A A A b c bc π+⎛⎫+==+=+≤ ⎪⎝⎭所以的最大值是4c bb c +故选:D2.(2020·南昌市新建一中(文))在中,内角,,所对应的边分别为ABC :A B C a ,,,且,若,则边的最小值为()b c sin 2sin 0a B b A +=2a c +=b AB .C .2D【答案】D【分析】根据由正弦定理可得,sin2sin 0a B b A +=sin sin2sin sin 0A B B A +=即,,2sin sin cos sin sin 0A B B B A +=sin 0,sin 0A B ≠≠ ,,∴1cos 2B =-23B π∴=由余弦定理可得.()2222222cos 4b a c ac B a c ac a c ac ac=+-=++=+-=- .2a c +=≥ 1ac ∴≤ 即.,243bac ∴=-≥,b ≥故边.b 故选:D .3.(2020·吉林高三其他模拟(文))在中,内角,,所对的边分别为,ABC :A B C a ,,且,,在边上,且,则b c 3a =b =c =M AB BM CM =AMAB=( )A .B .C .D .14133423【答案】C【分析】因为,BM CM =所以为等腰三角形,MBC △因为,,.3a =b =c =由条件可得,222cos2a c b B ac +-==所以,解得3·cos 22BC BM B ==BM =所以AM AB BM =-=可得.34AM AB =故选:.C 4.(2020·河南郑州市·高三月考(文))已知的三个内角,,对应的边分ABC :A B C 别为,,,且,,成等差数列,则a b c sin 2a C π⎛⎫- ⎪⎝⎭()cos 4b B π-()cos 3c A π-的形状是( )ABC :A .直角三角形B .锐角三角形C .钝角三角形D .正三角形【答案】C【分析】,,sin cos 2a C a Cπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭()cos 4cos b B b B π-=,()cos 3cos c A c Aπ-=-依题意得,2cos cos cos b B a C c A =--根据正弦定理可得,()2sin cos sin cos cos sin B B A C A C =-+即,()2sin cos sin sin B B A C B=-+=-又,则,sin 0B ≠1cos 2B =-又,所以,()0,B π∈23B π=故的形状是钝角三角形.ABC :故选:C .5.(2020·安徽六安市·六安一中高三月考(文))已知的三个内角,,所ABC :A B C 对的边分别为,,,满足,且a b c 222cos cos cos 1sin sin A B C A C -+=+,则的形状为( )sin sin 1A C +=ABC :A .等边三角形B .等腰直角三角形C .顶角为的非等腰三角形D .顶角为的等腰三角形120120【答案】D【分析】因为,222cos cos cos 1sin sin A B C A C -+=+所以,2221sin (1sin )1sin 1sin sin A B C A C ---+-=+所以,222sin sin sin sin sin A C B A C +-=-根据正弦定理可得,即,222a cb ac +-=-222122a c b ac +-=-所以,因为,所以,所以,1cos 2B =-0B π<<120B = 60A C += 由得,sin sin 1A C +=sin sin(60)1A A +-=得,sin sin 60cos cos 60sin 1AA A +-=得,1sin sin 12A A A +-=得,1sin 12A A +=得,因为为三角形的内角,所以,,sin(60)1A +=A 30A = 30C =所以为顶角为的等腰三角形.ABC :120故选:D6.(2020·贵州黔东南苗族侗族自治州·高三月考(文))将函数的图象向右平2sin 2y x =移个单位得到函数的图象.若,则的值为(02πϕϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭()f x 50412f f ππ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ϕ)A .B .C .D .12π8π6π3π【答案】A依题意,函数,由得()()2sin 22)i (2s n 2f x x x ϕϕ-=-=50412f f ππ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即,故5124f f ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭52sin 222sin 22124ππϕϕ⎛⎫⎛⎫⨯-=--⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即,5sin 262sin 2ππϕϕ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 22cos 22ϕϕϕ+=2cos 2ϕϕ=故,又,则,故,即.tan 2ϕ=02πϕ<<02ϕπ<<26πϕ=12πϕ=故选:A.7.(2020·梅河口市第五中学高三月考(文))已知角的顶点为坐标原点,始边与αβ,轴的非负半轴重合,若角的终边过点,,且,则x α()21,()4cos 5αβ+=0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭( )sin β=ABCD【答案】C【分析】因为角的终边过点,所以是第一象限角,α()21,α所以sin α==cos α==因为,,所以为第一象限角,,0,2πβ⎛⎫∈⎪⎝⎭()4cos 5αβ+=αβ+所以,()sin 35αβ+==所以()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+⎡⎤⎣⎦3455==故选:C.8.(2020·罗山县楠杆高级中学高三月考(文))函数的()()cosln 2xx f x x e e π-⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭图象大致为()A .B .C .D .【答案】C【分析】因为,()()()πcos ln sin ln 2x x x x f x x e e x e e --⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭所以,()()()()()sin ln sin ln x x x x f x x x e e x e e f x ---=-+=-+=-即函数为奇函数,其图象关于原点对称,故排除D ,()f x又因为,当且仅当时取等号,2xxy e e-=+≥=0x =所以,()ln ln 2ln10x x e e -+≥>=当时,,当时,,[)0,πx ∈sin 0x ≥[)π,2πx ∈sin 0x ≤所以,当时,,当时,,故排除A 、B ,[)0,πx ∈()0f x >[)π,2πx ∈()0f x ≤故选:C .二、填空题9.(2020·新疆实验高三月考(文))在中,ABC :BC =,则外接圆的面积为______.222cos cos sin sin C A B B C --=ABC :【答案】π【分析】,222cos cos sin sin C A B B C --=,()()2221sin 1sin sin sin C A B B C∴----=即.222sin sin sin sin A C B B C --=由正弦定理得,222222a cb ac b --=⇒-=+由余弦定理得,所以,2222cos a c b bc A =+-cos A =,则,0A π<< 4A π=设的外接圆半径为,则,则,ABC :R 2sin BCRA =1R =则外接圆的面积为:,ABC :2R ππ=故答案为:.π10.(2020·山西高三期中(文))中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若ABC :函数有极值点,则的取值范围是()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+cos 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭______.【答案】11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【分析】由题意,函数,()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+可得,()2222()f x x bx a c ac '=+++-因为函数有极值点,所以有两个不同的实数根,()f x 2222()0x bx a c ac +++-=可得,整理得,222(2)4()0b a c ac ∆=-+->222ac a c b >+-又由,2221cos 222a c b ac B ac ac +-=<=因为,所以,可得,(0,)B π∈3B ππ<<52333B πππ<-<当时,即时,取得最小值,最小值为;23B ππ-=23B π=cos 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭cos 1π=-当时,即时,此时,233B ππ-=3B π=1cos 2cos 332B ππ⎛⎫-<= ⎪⎝⎭所以的取值范围是.cos 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭三、解答题11.(2020·山东济南市·高三开学考试)在四边形中,,是上的ABCD A C ∠=∠E AD 点且满足与相似,,,.BED ∆ABD ∆34AEB π∠=6DBE π∠=6DE =(1)求的长度;BD (2)求三角形面积的最大值.BCD【答案】(1)2)36+【分析】(1),4BED AEB ππ∠=-∠=在三角形中,,BDE sin sin DE BD DBE BED =∠∠即,6sinsin 64BD ππ=所以612=BD =(2)因为,所以,BED ABD ∆∆:C A ∠=∠=6DBE π∠=在三角形中,,BDC 2222cos 6BD DC BC DC BCπ=+-::所以,2272DCBC BC =+:所以,722DCBC BC ≥::所以,(72DCBC ≤:所以,((11sin 7218264BCD S DC BC π∆=≤⨯=::所以三角形面积的最大值为BCD 36+12.(2020·北京海淀区·人大附中高三月考)已知,(2sin ,sin cos )mx x x =-,记函数.,sin cos )n x x x =+ ()f x m n =⋅ (1)求函数取最大值时的取值集合;()f x x (2)设函数在区间是减函数,求实数的最大值.()f x ,2m π⎡⎤⎢⎥⎣⎦m【答案】(1) ;(2).,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭56π【分析】(1)由题意,得,()2cos 22sin(26f x m n x x x π=⋅=-=- 当取最大值时,即,此时()f x sin(2)16x π-=22()62x k k Z πππ-=+∈所以的取值集合为.x ,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭(2)由得3222262k x k πππππ+≤-≤+,41022266k x k ππππ+≤≤+536k x k ππππ+≤≤+所以的减区间,()f x 5,,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦当,得是一个减区间,且1k =5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦52,36πππ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以,5,,236m πππ⎡⎤⎡⎤⊂⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以, 5(,]26m ππ∈所以的最大值为.m 56π13.(2020·宁夏固原市·固原一中高三月考(文))已知函数.()2cos sin 3f x x x x π⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭x ∈R(1)求的最小正周期;()f x (2)求在闭区间上的值域.()f x ,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】(1);(2).π11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】(1)由已知,有21()cos sin 2f x x x x x ⎛⎫=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭21sin cos 2x x x =⋅-1sin 2cos 2)4x x =-+,11sin 22sin 2423x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭的最小正周期;∴()f x 22T ππ==(2)∵,,,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦52,366x πππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦当,即时,取得最大值为,236x ππ-=4x π=()f x 14当,即时,取得最小值为,232x ππ-=-12x π=-()f x 12-的值域为.()f x ∴11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦14.(2020·梅河口市第五中学高三月考(文))在的中,角,,的对边分ABC :A B C别为,且a b c ,,sin (sin sin )sin 0a A b A B c C ++-=(1)求角;C (2)若,求的取值范围.2c =+a b 【答案】(1);(2).23C π=2⎛ ⎝【分析】:(1)由,及正弦定理得sin (sin sinB)sin 0a A b A c C ++-=,2220a ab b c ++-=由余弦定理得,又,所以;2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-0C π<<23C π=(2)由及,得,即,2220a ab b c ++-=2c =224a ab b ++=2()4a b ab +-=所以,所以,当且仅当221()4()4ab a b a b =+-≤+a b +≤a b ==成立,又,所以,2a b c +>=2a b <+≤所以的取值范围为.+a b 2⎛ ⎝15.(2020·黑龙江高三月考(文))在中,角,,所对的边分别为,ABC :A B C a b,,,.c sin 3sin b A B =222b c a bc +-=(1)求外接圆的面积;ABC :(2)若的周长.BC ABC :【答案】(1);(2)9.3π【分析】解:(1)因为,又,即,所以,sin 3sin b A B =sin sin a b A B =sin sin b A a B =3a =由,得,设外接圆的半径为2221cos 22b c a A bc --==3A π=ABC :R 则,所以外接圆的面积为.12sin a R A=⋅==ABC :3π(2)设的中点为,则.因为,BC D AD =()12AD AB AC =+ 所以,()()222221127||2444AD AB AC AB AC c b bc =++⋅=++= 即,又,,则 ,2227c b bc ++=222b c a bc +-=3a =22918bc b c =⎧⎨+=⎩整理得,解得或(舍去),则.所以的周长为9.()2290b -=3b =3-3c =ABC :。

高考必备公式、结论、方法、细节二:三角函数与平面向量

高考必备公式、结论、方法、细节二:三角函数与平面向量

□高考必备公式、结论、方法、细节二:三角函数与平面向量一、必备公式1.三角函数 (1)同角三角函数①平方关系: sin 2 α+cos 2 α=1 (又叫 1字替换式); ②商数关系:sin αcos α=tan α (又叫切弦互化式); (2)和差倍角关系 ①cos(α±β)=_____ cos αcos βsin αsin β___; ②sin(α±β)=_____ sin αcos β±cos αsin β____;③tan(α±β)= tan α±tan β1tan αtan β; ④sin 2α=____2sin αcos α__;⑤cos 2α= cos 2α-sin 2α = 1-2sin 2α = 2cos 2α-1 ;⑥tan 2α=________2tan α1-tan 2 α__________;(3)辅助角公式: a sin x +b cos x =a 2+b 2sin(x +φ) ,其中, tan φ=b a , |φ|<π2, a >0 .2.正余弦定理(1)正弦定理:a sin A =b sin B =csin C=2R ,其中R 为 外接圆半径 ;注意:正弦定理变式与性质:①边化正弦:a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C ; ②正弦化边:sin A =a2R ,sin B =b2R ,sin C =c2R ; ③a ∶b ∶c =sin_A ∶sin_B ∶sin_C ;④a +b +csin A +sin B +sin C= 2R ; (2)余弦定理:①a 2=b 2+c 2-2bc cos_A ; ②b 2=c 2+a 2-2ca cos_B ; ③c 2=a 2+b 2-2ab cos_C注意:变式:①cos A =b 2+c 2-a 22bc ; ②cos B =c 2+a 2-b 22ac ; ③cos C =a 2+b 2-c 22ab(3)三角形面积 :①S △ABC =12ab sin C =12bc sin A =12ac sin B =abc 4R ②S △ABC =12(a +b +c )·r (r 是切圆的半径)3.平面向量:(1)两点间向量表示:若A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),则AB →= (x 2-x 1,y 2-y 1) ; (2)向量运算公式:若a =(x 1,y 1)、b =(x 2,y 2) ,则: ①a ±b = (x 1±x 2,y 1±y 2) ; ②λa = (λx 1,λy 1) ;③a·b = |a ||b |cos θ = x 1x 2+y 1y 2 ; ④|a |= a 2 = x 21+y 21 ;⑤cos 〈a ,b 〉= a ·b |a ||b | = x 1x 2+y 1y 2x 21+y 21x 22+y 22 ; ⑥a 在b 方向上的投影为: |a |cos θ = a·b|b| ; (3)平行与垂直定理:①共线定理:a ∥b ⇔___ a =λb ___⇔___ x 1y 2=x 2y 1 _; ②垂直定理:a ⊥b ⇔___a ·b =0___⇔__ x 1x 2+y 1y 2=0_.二、必备结论1.三角函数符号判断口诀:一正二正弦,三切四余弦2.诱导公式:①口诀:奇变偶不变,符号看象限; ②原则:负化正、大化小、小化锐;3.函数y =tan x 的定义域是:{x |x ∈R 且x ≠π2+k π,k ∈Z }4.形如函数y =A sin(ωx +φ)的图像及性质 (1)图像变换:①相位变换:y =sin x →y =sin(x +φ)的规则是:左加(φ>0)或右减(φ<0)| φ|个单位;②周期变换:y =sin (x +φ)→y =sin(ωx +φ)的规则是:纵坐标不变,将横坐标缩小(伸长)为原来的|1ω|倍;③振幅变换: y =sin (ωx +φ) →y =A sin(ωx +φ) 的规则是:横坐标不变,将纵坐标缩小(伸长)为原来的|A |倍;注意:y =sin ωx→y =sin(ωx +φ)变换规则是:先提取后者x 的系数ω,然后在左(右)平移|φω|个单位;(2)基本性质:①定义域:解三角函数不等式用“数形结合” ②值域:由内向外 ③单调性:同增异减(3)周期公式:①y =A sin(ωx +φ)(或y =A cos(ωx +φ))的最小正周期T =2π|ω| ②y =|A sin(ωx +φ)|的周期T =π|ω|.(3)对称性: 换元思想,将y =A sin(ωx +φ)中的“ωx +φ”看成y =sin x 中的“x ”,采用整体代入求解.①对称轴:最值处,令sin(ωx +φ) =1,则ωx +φ=k π+π2(k ∈Z ),可求得对称轴方程;②对称中心:零点处,令sin(ωx +φ) =0,ωx +φ=k π(k ∈Z ),可求得对称中心的横坐标; (4)奇偶性:利用“反向诱导法”理解掌握①函数y =A sin(ωx +φ),x ∈R 是奇函数⇔φ=k π(k ∈Z );函数y =A sin(ωx +φ),x ∈R 是偶函数⇔φ=k π+π2(k ∈Z );②函数y =A cos(ωx +φ),x ∈R 是奇函数⇔φ=k π+π2(k ∈Z );函数y =A cos(ωx +φ),x ∈R 是偶函数⇔φ=k π(k ∈Z );③函数y =A tan(ωx +φ),x ∈R 是奇函数⇔φ=k π(k ∈Z ).5.平面向量: ①a|a |是与a 同方向的单位向量. ②共线第二定理:若A 、B 、C 三点共线⇔OC →=xOA →+yOB →且x +y =1.6.平面向量与三角形的心:①OA →+OB →+OC →=0⇔点O 为△ABC 的重心(中线交点); ②OA →·OB →=OB →·OC →=OC →·OA →⇔点O 是△ABC 的垂心(高线交点)③若动点P 满足OP →=OA →+λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|+AC →|AC →|,则点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心(角平分线交点).7.三角形中:①sin(A +B )=sin C ,cos(A +B )=-cos C ; ②sin A +B 2=cos C 2, cos A +B 2=sin C2;③三角形中,任何一个角的正弦值恒大于0; ④a >b ⇔A >B ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos B .三、必备方法1.三角函数求值、化简时,常用方法有:(1)化简的基本原则是:①切化弦:公式tan x =sin xcos x ;②降次数:公式cos 2α=1+cos 2α2,sin 2α=1-cos 2α2;(2)和积转换法:运用公式(sin θ±cos θ)2=1±2sin θcos θ解决sin θ±cos θ与sin θcos θ关系的变形、转化;(3)巧用“1”的变换:1=sin 2θ+cos 2θ=cos 2θ(1+tan 2θ)=sin 2θ⎝⎛⎭⎫1+1tan 2θ=tan π4; (4)整角转化:运用相关角的互补、互余等特殊关系,如2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β,β=α+β2-α-β2等2.换元法:即整体思想,对于函数y =A sin(ωx +φ)的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t =ωx +φ,将其转化为研究y =sin t 的性质.3.确定y =A sin(ωx +φ)+b (A >0,ω>0)的步骤和方法:(1)观察确定A ,b :确定函数的最大值M 和最小值m ,则A =M -m 2,b =M +m2.(2)通过周期公式求ω:即ω=2πT. (3)特殊点代入求φ:通常代入“最值点”或“零点”;四、必备细节1.角度制与弧度制不可混合使用;2.利用平方关系求值时,开方时要根据角的象限或范围,判断符号后,正确取舍.3.函数y =A sin(ωx +φ)的值域求解时,由内向外,先求t =ωx +φ的范围,再结合y =sin t 的图像;4.由函数y =sin x 的图象变换得到y =A sin(ωx +φ)的图象,如先伸缩,再平移时,要把x 前面的系数提取出来. 5.平面向量:(1)相等向量具有传递性,但平行向量不一定具有传递性.(2)平行向量所在直线不一定平行. (3)向量平移后,起终点坐标改变,但向量坐标不变. 2.两个向量的夹角为锐角,则有a ·b >0,反之不成立;两个向量夹角为钝角,则有a ·b <0,反之不成立.。

平面向量与三角函数

平面向量与三角函数

平面向量与三角函数平面向量与三角函数是高中数学中的重要概念,它们在解决几何问题、力学问题以及其他实际应用中具有广泛的作用。

本文将介绍平面向量和三角函数的基本概念、性质以及它们之间的关系。

一、平面向量的基本概念平面向量可以用空间中的箭头表示,箭头的长度表示向量的模,箭头的方向表示向量的方向。

平面向量的运算主要包括加法、减法、数乘和数量积。

向量加法满足交换律和结合律,向量的数乘满足分配律。

二、平面向量的坐标表示平面向量可以使用坐标进行表示。

二维平面上的向量可以使用坐标对(x, y)表示,其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的分量。

通过坐标表示,我们可以进行向量的运算,并用向量表示点、线段以及其他几何对象。

三、平面向量的模与方向角平面向量的模表示向量的长度,可以通过勾股定理计算。

平面向量的方向角表示向量与坐标轴的夹角,可以使用三角函数来计算。

四、三角函数的基本概念三角函数是用来描述角度与边长之间的关系的函数。

常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

它们分别表示一个角的正弦值、余弦值和正切值。

五、平面向量与三角函数的关系平面向量与三角函数之间存在着紧密的联系。

对于任意一个角,可以使用三角函数来表示角的正弦值、余弦值和正切值。

而在平面向量中,向量的方向角正是角的一种度量。

六、平面向量的投影与单位向量平面向量的投影是指一个向量在某个方向上的投影长度,可以通过向量的模与投影夹角的三角函数计算得到。

单位向量是模为1的向量,通过标准化平面向量,可以得到单位向量。

七、平面向量的数量积平面向量的数量积也称为内积或点积,它表示两个向量之间的乘积与夹角的余弦值之间的关系。

数量积可以用来计算向量的模、判断向量的方向以及计算向量之间的夹角等。

八、平面向量与三角函数的应用平面向量与三角函数在解决几何问题、力学问题以及其他实际应用中广泛使用。

例如,通过平面向量可以求解三角形的面积、判断四边形是否为矩形或平行四边形。

同时,三角函数也可以用来描述力学问题中的分力、合力、角动量等。

回归课本专题四三角函数与平面向量

回归课本专题四三角函数与平面向量

回归课本专题四 三角函数与平面向量 第1 页回归课本专题四: 三角函数、平面向量一.三角函数:1.终边相同(2,k k Z βπα=+∈);弧长公式:||l R α=,扇形面积公式:211||22S lR R α==, 1弧度(1rad)57.3≈.例1:(1)θ是第一象限角,试探究:(1)2θ一定不是第几象限角?(2)3θ是第几象限角?(2)当角,αβ满足什么条件时,有sin sin αβ=?cos cos ?αβ= (3)若α为锐角(单位为弧度),试利用单位圆及三角函数线比较:,sin ,tan ααα之间的大小. (4)设O 为坐标原点,111(,)P x y 和222(,)P x y 为单位圆上两点,且12POP θ∠=,求证:1212cos x x y y θ+=. (5).已知扇形AOB 的周长是6cm ,该扇形的中心角是1弧度,求该扇形的面积.2、函数sin(),(0,0)y A x A ωϕω=+>>①五点法作图;②振幅?相位?初相?周期T=ωπ2,频率?③,k k Z ϕπ=∈时奇函数;,2k k Z πϕπ=+∈时偶函数.例2(1)函数522y sin x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的奇偶性是______; (2)已知函数31f (x )ax bsin x (a,b =++为常数),且57f ()=,则5f ()-=______;(3)函数)c o s (s i n c o s2x x x y +=的图象的对称中心和对称轴分别是__________、____________;(4)已知f (x )sin(x )x )θθ=++为偶函数,求θ的值.④变换:1||sin sin()sin()y x y x y x ϕωϕωϕ=−−−−−→=+−−−−−−−→=+横坐标伸缩到原来的倍左或右平移1||sin sin sin()y x y x y x ϕωωωωϕ=−−−−−−−→=−−−−−→=+横坐标伸缩到原来的倍左或右平移||sin()sin()A b y A x y A x b ωϕωϕ−−−−−−−→=+−−−−−→=++纵坐标伸缩到原来的倍上或下平移.例3.把函数sin(2)3y x π=+的图像向右平移6π个单位,所得到的图像的函数的解析表达式为 ,在将图像上的所有点的横坐标变为原来的一半(纵坐标不变),则所得到的图像的函数表达式为 .3、正弦定理:2sin a R A ==B b sin =C c sin ;内切圆半径2ABCS r a b c∆=++;余弦定理:2222cos a b c bc A =+-,bca cb A 2cos 222-+=;111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===例4. 在ABC ∆中,已知cos cos ,a b c B c A -=⋅-⋅则ABC ∆的形状是 . 4、同角基本关系: 例5:已知11tan tan -=-αα,则ααααcos sin cos 3sin +-=____;2cos sin sin 2++ααα=_________;5、诱导公式简记:奇变偶不变.....,.符号看象限......(注意:公式中始终视...α.为锐角...).6、重要公式:两角和与差的三角函数:sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=⋅±⋅;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=⋅⋅ ; tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=⋅ ;二倍角公式:sin 22sin cos ααα=⋅;2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-;22tan tan 21tan ααα=-; 升、降幂公式:21cos 22cos αα+=;21cos 22sin αα-=;例6.(1)函数25f (x )sin xcos x x =-x R )∈的单调递增区间为___________ ⑵已知ABC ∆中,三内角为,,A B C,满足112,cos cos A C B A C +=+=,求cos 2A C -的值.巧变角:如()()ααββαββ=+-=-+,2()()ααβαβ=++-,2()()αβαβα=+--,22αβαβ++=⋅,()()222αββααβ+=---等, 例6(3)已知2tan()5αβ+=,1tan()44πβ-=,那么tan()4πα+的值是_____;(4)已知,αβ为锐角,sin ,cos x y αβ==,3cos()5αβ+=-,则y 与x 的函数关系为______(5)求证:①1sin 2cos 2tan 1sin 2cos 2θθθθθ+-=++;②sin50(1)1︒⋅+︒=; (6)已知sin sin(2)m βαβ=+,且(),(),122k k k Z k Z m ππαβπα+≠+∈≠∈≠. 求证:1tan()tan 1mmαβα++=-. 7、辅助角公式中辅助角的确定:()sin cos a x b x x θ+=+(其中tan b aθ=)如:(1)当函数23y cos x sin x =-取得最大值时,tan x 的值是______;(2)如果()()sin 2cos()f x x x ϕϕ=+++是奇函数,则tan ϕ= ;二、平面向量:8、向量定义、向量模、零向量、单位向量、相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量.回归课本专题四 三角函数与平面向量 第2 页的相反向量是-a .)、共线向量、相等向量注意:不能说向量就是有向线段,为什么?(向量可以平移)9、加、减法的平行四边形与三角形法则:AC BC AB =+;CB AC AB =-,+≤±≤-,10、向量数量积的性质:设两个非零向量,,其夹角为θ,则:①0a b a b ⊥⇔⋅=;②当a ,b 同向时,a ⋅b =a b,特别地,22,a a a a a =⋅==当a 与b 反向时,a ⋅b =-a b;当θ为锐角时,a ⋅b >0,且 a b 、不同向,0a b ⋅>是θ为锐角的必要非充分条件;当θ为钝角时,a ⋅b <0,且 a b 、不反向,0a b ⋅<是θ为钝角的必要非充分条件;③||||||a b a b ⋅≤.如(1)已知)2,(λλ=→a ,)2,3(λ=→b ,如果→a 与→b 的夹角为锐角,则λ的取值范围是______;11、向量b 在方向上的投影︱b ︱cos θ12、 →1e 和→2e 是平面一组基底,则该平面任一向量→→→+=2211e e a λλ(21,λλ唯一)特别:=12OA OB λλ+,则121λλ+=是三点P 、A 、B 共线的充要条件如:平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点)1,3(A ,)3,1(-B ,若点C 满足=−→−OC −→−−→−+OB OA 21λλ,其中R ∈21,λλ且121=+λλ,则点C 的轨迹方程是_______13、在ABC ∆中,①1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心,特别地0PA PB PC P ++=⇔ 为ABC ∆的重心;②PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔为ABC ∆的垂心;③向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线);如:(1)若O 是ABC 所在平面内一点,且满足2OB OC OB OC OA -=+-,则ABC的形状为____;(2)若D 为ABC ∆的边BC 的中点,ABC ∆所在平面内有一点P ,满足0P A B P C P ++= ,设||||AP PD λ=,则λ的值为___; (3)若点O 是ABC △的外心,且0OA OB CO ++=,则ABC △的内角C 为____;14、重心⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=.3y y y y ,3x x x x 32132115、点),(y x P 按),(k h a = 平移得),(y x P ''',则PP ' =a 或⎩⎨⎧+='+='ky y h x x 函数)(x f y =按),(k h a =平移得函数方程为:)(h x f k y -=-如(1)按向量a 把(2,3)-平移到(1,2)-,则按向量a把点(7,2)-平移到点______;(2)函数x y 2sin =的图象按向量→a 平移后,所得函数的解析式是12cos +=x y ,则→a =________(3)设,a b 是两个非零向量,如果()()375a b a b +⊥- ,且()()472a b a b -⊥-,求a b与的夹角.(4)设ABC ∆中,,,AB c BC a CA b ===,且a b b c c a ⋅=⋅=⋅ ,判断ABC ∆的形状.(5)已知向量,,OA OB OC 满足条件0OA OB OC ++= ,且1OA OB OC ===,求证:ABC ∆为正三角形.三、练习:1.(必修4P24.9(2)改编)设1tan 2α=-,则23cos 2sin 21αα=++ . 2.(必修4P24.10)若α可化简为 . 3.(必修4P24.15)已知1sin()64x π+=,则25sin()sin ()63x x -+-= . 4.(必修4P24.3改编)若函数()sin()5f x kx π=+的最小正周期为23π,则k= .5.(必修4P42.2)把函数sin(2)3y x π=+的图像向右平移6π个单位,所得到的图像的解析式为 ,再将图像上的所有点的横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变),则所得到的图像的解析式为 .6.(必修4P49.7= .7.(必修4P11.5(2))已知sin cos cos A B Ca b c==,则ABC ∆的形状为 . (必修4P17.10)在ABC ∆中,已知22,sin sin sin a b c A B C =+=,则ABC ∆的形状为 . (必修4P24.2(2))已知sin sin sin cos cos A BC A B+=+,则ABC ∆的形状为 .回归课本专题四 三角函数与平面向量 第3 页8.(必修4P16.例6)AM 是ABC ∆中BC 边上的中线,则AM 可用三边AB,AC,BC 表示为 .9.(必修4P84.例1改编)已知向量,,a b c ,满足0a b c ++= ,且a b 与的夹角为135,c b与的夹角为1202c =,,则a b ⋅= . 10.(必修4P77.11)已知O 为坐标原点,A (3,1),B (-1,3).若点C 满足OC OA OB αβ=+其中1R αβαβ∈+=,,且,则点C 的轨迹方程为 .11.(必修4P83.10改编)设(,3),(2,1)a x b ==-.①若a b 与的夹角为锐角,则x 的取值范围为 ;②若a b与的夹角为钝角,则x 的取值范围为 ;③当x=4时,a 在b方向上的投影为 .12.(必修4P99.例4)︒︒︒-20cos 20sin 10cos 2= .(必修4P105.4)︒++︒︒︒︒81tan 39tan 240tan 81tan 39tan = ; (必修4P109例4)()︒︒+10tan 3150sin = . (必修4P118.15(2))()()()︒︒︒+++45tan 12tan 11tan 1 = .13. (必修4P117.12改编)24cos 3sin 2++=-m m αα,则m 的取值范围是 . 14. (必修4P115.2改编) ︒︒-15sin 75sin = ;︒︒-15cos 75cos = ;︒︒+15sin 75sin = ;=+︒︒15cos 75cos .(必修4P114.1改编)︒︒15cos 75sin = ;︒︒15cos 75cos = .︒︒15sin 75cos = ;sin ︒75︒15sin = .15.如图,设P,Q 为ABC ∆内的两点,且2155AP AB AC =+ ,2134AQ AB AC =+,则ABP ∆的面积与ABQ ∆的面积之比为.16. (必修4P83.13)已知1,a b a b ==+=则a b a b +- 与 的夹角为 .17. 设P 是椭圆1162522=+y x 上任意一点,A 和F 分别是椭圆的左顶点和右焦点, 则14PA PF PA AF ⋅+⋅的最小值为 .18.在ABC ∆中,︒===60,8,5C b a ,则⋅的值为 .19. O 为平面上的定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三点,若( -)·(+-2)=0,则∆ABC 是 三角形.20. O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足),0[+∞∈++=λλOA OP ,则P 的轨迹一定通过△ABC 的 心.21.已知向量M={ | =(1,2)+λ(3,4) λ∈R}, N={|=(-2,2)+ λ(4,5) λ∈R },则M ⋂N= . 22. 过△ABC 的重心作一直线分别交AB,AC 于D,E,若x = y =,(0≠xy ),则yx 11+的值为 . 23.要得到函数的图像,x y sin =只需将函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3cos πx y 的图像 . 24. 已知()()()⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛+=36,36,03sin ππππϖπϖ,在区间且x f f f x x f 有最小值,无最大值,则=ϖ .四、品味经典1. (必修4P117.14)如图,在半径为R ,圆心角为60︒的扇形AB 弧上任取一点P ,作扇形的内接矩形PMNQ,使点Q 在OA 上,点M,N 在OB 上,求这个矩形面积的最大值及相应的AOP ∠的值.MNB回归课本专题四 三角函数与平面向量 第4 页2.已知函数2()4sin sin ()cos242xf x x x π=++ (1)设0ω>为常数,若()y f x ω=在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数,求w 的取值范围 (2)设集合{}2;()263A xx B x f x m ππ⎧⎫=≤≤=-<⎨⎬⎩⎭,若A B ⊆,求实数m 的取值范围.3.在ABC ∆中,角A,B,C 分别对应边为,,,cos a b c b a C =,判断ABC ∆的形状.4. 在ABC ∆中,已知角A 、B 、C 所对的三边分别是,,a b c ,且ac b =2(1)求证:30π≤<B ;(2)求函数BB By cos sin 2sin 1++=的值域.。

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05三角函数和解三角形1.(2020•北京卷)2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(π Day ).历史上,求圆周率π的方法有多种,与中国传统数学中的“割圆术”相似.数学家阿尔·卡西的方法是:当正整数n 充分大时,计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形(各边均与圆相切的正6n 边形)的周长,将它们的算术平均数作为2π的近似值.按照阿尔·卡西的方法,π的近似值的表达式是( ).A. 30303sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B. 30306sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭ C. 60603sin tan n n n ︒︒⎛⎫+⎪⎝⎭D. 60606sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 【答案】A【解析】计算出单位圆内接正6n 边形和外切正6n 边形的周长,利用它们的算术平均数作为2π的近似值可得出结果.【详解】单位圆内接正6n 边形的每条边所对应的圆周角为360606n n ︒︒=⨯,每条边长为302sin n ︒, 所以,单位圆的内接正6n 边形的周长为3012sin n n︒,单位圆的外切正6n 边形的每条边长为302tan n ︒,其周长为3012tan n n︒,303012sin 12tan 303026sin tan 2n n n n n n n π︒︒+⎛⎫︒︒∴==+ ⎪⎝⎭,则30303sin tan n n n π⎛⎫︒︒=+ ⎪⎝⎭. 故选:A.【点睛】本题考查圆周率π的近似值的计算,根据题意计算出单位圆内接正6n 边形和外切正6n 边形的周长是解答的关键,考查计算能力,属于中等题.2.(2020•北京卷)若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2,则常数ϕ的一个取值为________. 【答案】2π(2,2k k Z ππ+∈均可)【解析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得()()f x x θ=+,可得2=,即可解出.【详解】因为()()()cos sin sin 1cos f x x x x ϕϕθ=++=+,2=,解得sin 1ϕ=,故可取2ϕπ=.故答案为:2π(2,2k k Z ππ+∈均可).【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式,辅助角公式的应用,以及平方关系的应用,考查学生的数学运算能力,属于基础题.3.(2020•北京卷)在ABC 中,11a b +=,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知,求: (Ⅰ)a 的值:(Ⅱ)sin C 和ABC 的面积. 条件①:17,cos 7c A ==-;条件②:19cos ,cos 816A B ==.注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分. 【答案】选择条件①(Ⅰ)8(Ⅱ)sinC =S =选择条件②(Ⅰ)6(Ⅱ)sin C=S =. 【解析】选择条件①(Ⅰ)根据余弦定理直接求解,(Ⅱ)先根据三角函数同角关系求得sin A ,再根据正弦定理求sin C ,最后根据三角形面积公式求结果;选择条件②(Ⅰ)先根据三角函数同角关系求得sin ,sin A B ,再根据正弦定理求结果,(Ⅱ)根据两角和正弦公式求sin C ,再根据三角形面积公式求结果. 【详解】选择条件①(Ⅰ)17,cos 7c A ==-,11a b +=22222212cos (11)72(11)7()7a b c bc A a a a =+-∴=-+--⋅⋅-8a ∴=(Ⅱ)1cos (0,)sin 7A A A π=-∈∴==,由正弦定理得:7sin sin sin sin a c C A C C ==∴=11sin (118)822S ba C ==-⨯=选择条件②(Ⅰ)19cos ,cos ,(0,)816A B A B π==∈,sin A B ∴====由正弦定理得:6sin sin a b a A B ===(Ⅱ)91sin sin()sin cos sin cos 168C A B A B B A =+=+==11sin (116)622S ba C ==-⨯=【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理,三角形面积公式,考查基本分析求解能力,属中档题.4.(2020•全国1卷)设函数π)()cos(6f x x ω=+在ππ[,]-的图像大致如下图,则f (x )的最小正周期为( )A. π109B. π76C. π43D. π32【答案】C【解析】由图可得:函数图象过点4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭,即可得到4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭,结合4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点即可得到4962πππω-⋅+=-,即可求得32ω=,再利用三角函数周期公式即可得解.【详解】由图可得:函数图象过点4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭,将它代入函数()f x 可得:4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭ 又4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点,所以4962πππω-⋅+=-,解得:32ω= 所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω===故选:C【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力,还考查了三角函数周期公式,属于中档题. 5.(2020•全国1卷)已知π ()0,α∈,且3cos28cos 5αα-=,则sin α=( )B. 23C. 13【答案】A 【解析】用二倍角余弦公式,将已知方程转化为关于cos α的一元二次方程,求解得出cos α,再用同角间的三角函数关系,即可得出结论.【详解】3cos28cos 5αα-=,得26cos 8cos 80αα--=, 即23cos 4cos 40αα--=,解得2cos 3α=-或cos 2α=(舍去),又(0,),sin απα∈∴==.故选:A. 【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值,熟记公式是解题的关键,考查计算求解能力,属于基础题.6.(2020•全国2卷)若α为第四象限角,则( ) A. cos2α>0 B. cos2α<0C. sin2α>0D. sin2α<0【答案】D【解析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可.【详解】方法一:由α为第四象限角,可得3222,2k k k Z ππαππ+<<+∈,所以34244,k k k Z ππαππ+<<+∈此时2α的终边落在第三、四象限及y 轴的非正半轴上,所以sin20α< 故选:D.方法二:当6πα=-时,cos2cos 03πα⎛⎫=-> ⎪⎝⎭,选项B 错误; 当3πα=-时,2cos2cos 03πα⎛⎫=-< ⎪⎝⎭,选项A 错误; 由α在第四象限可得:sin 0,cos 0αα<>,则sin22sin cos 0ααα=<,选项C 错误,选项D 正确; 故选:D.【点睛】本题主要考查三角函数的符号,二倍角公式,特殊角的三角函数值等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.(2020•全国2卷)ABC 中,sin 2A -sin 2B -sin 2C =sin B sin C. (1)求A ;(2)若BC =3,求ABC 周长的最大值. 【答案】(1)23π;(2)3+【解析】(1)利用正弦定理角化边,配凑出cos A 的形式,进而求得A ; (2)利用余弦定理可得到()29AC AB AC AB +-⋅=,利用基本不等式可求得AC AB +的最大值,进而得到结果.【详解】(1)由正弦定理可得:222BC AC AB AC AB --=⋅,2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅,()0,A π∈,23A π∴=(2)由余弦定理得:222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-⋅=++⋅=, 即()29AC ABAC AB +-⋅=.22AC AB AC AB ⎛⎫+⋅≤ ⎪⎝⎭(当且仅当AC AB =时取等号), ()()()22223924AC AB AC ABAC AB AC ABAC AB ⎛⎫+∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭,解得:AC AB +≤AC AB =时取等号),ABC ∴周长3L AC AB BC =++≤+ABC ∴周长的最大值为3+【点睛】本题考查解三角形的相关知识,涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题;求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中,结合基本不等式构造不等关系求得最值.8.(2020•全国3卷)在△ABC 中,cos C =23,AC =4,BC =3,则cos B =( )A. 19B. 13C. 12D. 23【答案】A【解析】根据已知条件结合余弦定理求得AB ,再根据222cos 2AB BC AC B AB BC+-=⋅,即可求得答案.【详解】在ABC 中,2cos 3C =,4AC =,3BC =根据余弦定理:2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅,2224324323AB =+-⨯⨯⨯,可得29AB = ,即3AB =,由22299161cos 22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯,故1cos 9B =.故选:A.【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形,考查了分析能力和计算能力,属于基础题. 9.(2020•全国3卷)已知2tan θ–tan(θ+π4)=7,则tan θ=( )A. –2B. –1C. 1D. 2【答案】D.【解析】利用两角和的正切公式,结合换元法,解一元二次方程,即可得出答案. 【详解】2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-,令tan ,1t t θ=≠,则1271t t t +-=-,整理得2440t t -+=,解得2t =,即tan 2θ=.故选:D. 【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值,属于中档题. 10.(2020•全国3卷)关于函数f (x )=1sin sin x x+有如下四个命题: ①f (x )的图像关于y 轴对称. ②f (x )的图像关于原点对称. ③f (x )的图像关于直线x =2π对称.④f (x )的最小值为2.其中所有真命题的序号是__________. 【答案】②③【解析】利用特殊值法可判断命题①的正误;利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误;利用对称性的定义可判断命题③的正误;取0x π-<<可判断命题④的正误.综合可得出结论.【详解】对于命题①,152622f π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭,则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以,函数()f x 的图象不关于y 轴对称,命题①错误;对于命题②,函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈,定义域关于原点对称, ()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭, 所以,函数()f x 的图象关于原点对称,命题②正确;对于命题③,11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭, 11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭,则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以,函数()f x 的图象关于直线2x π=对称,命题③正确;对于命题④,当0x π-<<时,sin 0x <,则()1sin 02sin f x x x=+<<, 命题④错误.故答案为:②③.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解,考查推理能力与计算能力,属于中等题. 11.(2020•江苏卷)已知2sin ()4πα+ =23,则sin2α的值是____.【答案】13【解析】直接按照两角和正弦公式展开,再平方即得结果.【详解】221sin ())(1sin2)42παααα+=+=+121(1sin2)sin2233αα∴+=∴=,故答案为:13【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式,考查基本分析求解能力,属基础题.12.(2020•江苏卷)将函数y =πsin(2)34x ﹢的图象向右平移π6个单位长度,则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____. 【答案】524x π=-【解析】先根据图象变换得解析式,再求对称轴方程,最后确定结果. 【详解】3sin[2()]3sin(2)6412y x x πππ=-+=-72()()122242k x k k Z x k Z πππππ-=+∈∴=+∈,当1k =-时524x π=-,故答案为:524x π=-【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴,考查基本分析求解能力,属基础题. 13.(2020•江苏卷)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知3,45a c B ===︒.(1)求sin C 的值;(2)在边BC 上取一点D ,使得4cos 5ADC ∠=-,求tan DAC ∠的值.【答案】(1)sin C =(2)2tan 11DAC ∠=.【解析】(1)利用余弦定理求得b ,利用正弦定理求得sin C .(2)根据cos ADC ∠的值,求得sin ADC ∠的值,由(1)求得cos C 的值,从而求得sin ,cos DAC DAC ∠∠的值,进而求得tan DAC ∠的值.【详解】(1)由余弦定理得2222cos 92235b a c ac B =+-=+-⨯=,所以b =由正弦定理得sin sin sin sin c b c B C C B b =⇒==(2)由于4cos 5ADC ∠=-,,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭,所以3sin 5ADC ∠==.由于,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭,所以0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以cos C == 所以()sin sin DAC DAC π∠=-∠()sin ADC C =∠+∠ sin cos cos sin ADC C ADC C =∠⋅+∠⋅3455⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭由于0,2DAC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭,所以cos DAC ∠==. 所以sin 2tan cos 11DAC DAC DAC ∠∠==∠.【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形,考查三角恒等变换,属于中档题. 14.(2020•新全国1山东)下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像,则sin(ωx +φ)= ( )A. πsin(3x +)B. πsin(2)3x -C. πcos(26x +)D. π5cos(2)6x -【答案】BC【解析】首先利用周期确定ω的值,然后确定ϕ的值即可确定函数的解析式,最后利用诱导公式可得正确结果.【详解】由函数图像可知:22362T πππ=-=,则222T ππωπ===,所以不选A,当2536212x πππ+==时,1y =-∴()5322122k k Z ππϕπ⨯+=+∈,解得:()223k k ϕππ=+∈Z ,即函数的解析式为:2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.而5cos 2cos(2)66x x ππ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭,故选:BC. 【点睛】已知f (x )=Asin (ωx +φ)(A >0,ω>0)的部分图象求其解析式时,A 比较容易看图得出,困难的是求待定系数ω和φ,常用如下两种方法:(1)由ω=2T π即可求出ω;确定φ时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0,则令ωx 0+φ=0(或ωx 0+φ=π),即可求出φ.(2)代入点的坐标,利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式,再结合图形解出ω和φ,若对A ,ω的符号或对φ的范围有要求,则可用诱导公式变换使其符合要求.15.(2020•新全国1山东)在①ac =sin 3c A =,③c =这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c 的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.问题:是否存在ABC ,它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且sin A B =,6C π=,________?注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 【答案】详见解析【解析】解法一:由题意结合所给的条件,利用正弦定理角化边,得到a ,b 的比例关系,根据比例关系,设出长度长度,由余弦定理得到c 的长度,根据选择的条件进行分析判断和求解.解法二:利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得tanA 的值,得到角,,A B C 的值,然后根据选择的条件进行分析判断和求解.【详解】解法一:由sin A B =可得:a b=(),0a b m m ==>,则:2222222cos 32c a b ab C m m m m =+-=+-⨯=,即c m =.选择条件①的解析:据此可得:2ac m =⨯==1m ∴=,此时1c m ==.选择条件②的解析:据此可得:222222231cos 222b c a m m m A bc m +-+-===-,则:sin A ==,此时:sin 3c A m ==,则:c m ==选择条件③的解析:可得1c mb m==,c b =,与条件c =矛盾,则问题中的三角形不存在.解法二:∵(),,6sinA C B A C ππ===-+,∴()6sinA A C A π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,()1?2sinA A C =+= ,∴sinA =,∴tanA =23A π=,∴6B C π==,若选①,ac =,∵a ==2=若选②,3csinA =,3=,c =若选③,与条件c =矛盾.【点睛】在处理三角形中的边角关系时,一般全部化为角的关系,或全部化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理,出现边的二次式一般采用到余弦定理.应用正、余弦定理时,注意公式变式的应用.解决三角形问题时,注意角的限制范围.16.(2020•天津卷)已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.给出下列结论: ①()f x 的最小正周期为2π;②2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 的最大值; ③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度,可得到函数()y f x =的图象.其中所有正确结论的序号是 A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③【答案】B【解析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.【详解】因为()sin()3f x x π=+,所以周期22T ππω==,故①正确;51()sin()sin 122362f ππππ=+==≠,故②不正确;将函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度,得到sin()3y x π=+的图象,故③正确.故选:B.【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移,考查学生的数学运算能力,逻辑分析那能力,是一道容易题.17.(2020•天津卷)在ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知5,a c ===. (Ⅰ)求角C 的大小; (Ⅱ)求sin A 的值;(Ⅲ)求sin 24A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 【答案】(Ⅰ)4C π=;(Ⅱ)sin A =(Ⅲ)sin 24A π⎛⎫+=⎪⎝⎭【解析】(Ⅰ)直接利用余弦定理运算即可; (Ⅱ)由(Ⅰ)及正弦定理即可得到答案;(Ⅲ)先计算出sin ,cos ,A A 进一步求出sin2,cos2A A ,再利用两角和的正弦公式计算即可. 【详解】(Ⅰ)在ABC中,由5,a c ===及余弦定理得222cos 2a b c C ab +-===,又因为(0,)C π∈,所以4C π=;(Ⅱ)在ABC 中,由4C π=,a c ==可得sin sin a C A c === (Ⅲ)由a c <知角A为锐角,由sin A =cos A ==,进而2125sin22sin cos ,cos22cos 11313A A A A A ===-=,所以125sin(2)sin2cos cos2sin 4441313A A A πππ+=+=+=.【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形,以及三角恒等变换在解三角形中的应用,考查学生的数学运算能力,是一道容易题.17.(2020•浙江卷).已知tan 2θ=,则cos2θ=________;πtan()4θ-=______.【答案】 (1). 35- (2). 13【解析】利用二倍角余弦公式以及弦化切得cos2θ,根据两角差正切公式得tan()4πθ-【详解】2222222222cos sin 1tan 123cos2cos sin 5cos sin 1tan 12θθθθθθθθθ---=-====-+++,tan 1211tan()41tan 123πθθθ---===++,故答案为:31,53-【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式,考查基本分析求解能力,属基础题. 18.(2020•浙江卷)在锐角△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c,且2sin b A =. (I )求角B ;(II )求cos A +cos B +cos C 的取值范围.【答案】(I )3B π=;(II)32⎤⎥⎝⎦【解析】(I )首先利用正弦定理边化角,然后结合特殊角的三角函数值即可确定∠B 的大小;(II )结合(1)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有∠A 的三角函数式,然后由三角形为锐角三角形确定∠A 的取值范围,最后结合三角函数的性质即可求得cos cos cos A B C ++的取值范围. 【详解】(I)由2sin b A =结合正弦定理可得:2sin sin ,sin B A A B =∴=△ABC 为锐角三角形,故3B π=.(II )结合(1)的结论有:12cos cos cos cos cos 23A B C A A π⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭11cos cos 22A A A =-++11cos 22A A =++sin 261A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.由203202A A πππ⎧<-<⎪⎨⎪<<⎩可得:62A ππ<<,2363A πππ<+<,则sin 3A π⎤⎛⎫+∈ ⎪⎥⎝⎭⎝⎦,13sin 223A π⎤⎛⎫++∈ ⎪⎥⎝⎭⎝⎦. 即cos cos cos A B C ++的取值范围是32⎤⎥⎝⎦.【点睛】解三角形的基本策略:一是利用正弦定理实现“边化角”,二是利用余弦定理实现“角化边”;求最值也是一种常见类型,主要方法有两类,一是找到边之间的关系,利用基本不等式求最值,二是转化为关于某个角的函数,利用函数思想求最值.10.(2020•上海卷)已知f(x)=sin (0)x ωω>.(1)若f(x)的周期是4π,求ω,并求此时1f()2x =的解集; (2)已知=1ω,2g()()()()2x f x x f x π=--,x 0,4π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,求g(x)的值域.【答案】(1)1=2ω,5x x|x=4x 4,33k k k Z ππππ⎧⎫∈+=+∈⎨⎬⎩⎭或;(2)1-,02⎡⎤⎢⎥⎣⎦06平面向量1.(2020•北京卷)已知正方形ABCD 的边长为2,点P 满足1()2AP AB AC =+,则||PD =_________;PB PD ⋅=_________. 【答案】(1).(2). 1-【解析】以点A 为坐标原点,AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系,求得点P 的坐标,利用平面向量数量积的坐标运算可求得PD 以及PB PD ⋅的值.【详解】以点A 为坐标原点,AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系,则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ,()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+=,则点()2,1P ,()2,1PD ∴=-,()0,1PB =-, 因此,(PD =-=()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=-.;1-.【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算,建立平面直角坐标系,求出点P 的坐标是解答的关键,考查计算能力,属于基础题.2.(2020•全国1卷)设,a b 为单位向量,且||1a b +=,则||a b -=______________.【解析】整理已知可得:()2a b a b +=+,再利用,a b 为单位向量即可求得21a b ⋅=-,对a b -变形可得:222a b a a b b -=-⋅+,问题得解.【详解】因为,a b 为单位向量,所以1a b == 所以()2222221a b a b a a b ba b +=+=+⋅+=+⋅=解得:21a b ⋅=-,所以()22223a b a b a a b b-=-=-⋅+=,【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力,属于中档题.3.(2020•全国2卷)已知单位向量a →,b →的夹角为45°,k a b →→-与a →垂直,则k =__________.【解析】首先求得向量的数量积,然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k 的值.【详解】由题意可得:211cos 45a b →→⋅=⨯⨯=,由向量垂直的充分必要条件可得:0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭, 即:20k a a b k→→→⨯-⋅=-=,解得:k =.. 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则,向量垂直的充分必要条件等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.(2020•全国3卷)已知向量a ,b 满足||5a =,||6b =,6a b ⋅=-,则cos ,=+a a b ( ) A. 3135-B. 1935-C. 1735D. 1935【答案】D【解析】计算出()a ab ⋅+、a b +的值,利用平面向量数量积可计算出cos ,a a b <+>的值. 【详解】5a =,6b =,6a b ⋅=-,()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=.()2222257a b a b a a b b +=+=+⋅+=-=,因此,()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+.故选:D. 【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算,同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算,考查计算能力,属于中等题.5.(2020•江苏卷)在△ABC 中,43=90AB AC BAC ==︒,,∠,D 在边BC 上,延长AD 到P ,使得AP =9,若3()2PA mPB m PC =+-(m 为常数),则CD 的长度是________.【答案】185【解析】根据题设条件可设()0PA PD λλ=>,结合32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭与,,B D C 三点共线,可求得λ,再根据勾股定理求出BC ,然后根据余弦定理即可求解.【详解】∵,,A D P 三点共线,∴可设()0PA PD λλ=>,∵32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,∴32PD mPB m PC λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,即32m m PD PB PC λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+, 若0m ≠且32m ≠,则,,B D C 三点共线,∴321m m λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=,即32λ=, ∵9AP =,∴3AD =,∵4AB =,3AC =,90BAC ∠=︒,∴5BC =, 设CD x =,CDA θ∠=,则5BD x =-,BDA πθ∠=-.∴根据余弦定理可得222cos 26AD CD AC x AD CD θ+-==⋅,()()()222257cos 265x AD BD ABAD BD x πθ--+--==⋅-,∵()cos cos 0θπθ+-=,∴()()2570665xx x--+=-,解得185x =,∴CD 的长度为185.当0m =时, 32PA PC =,,C D 重合,此时CD 的长度为0,当32m =时,32PA PB =,,B D 重合,此时12PA =,不合题意,舍去.故答案为:0或185.【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力,解答本题的关键是设出()0PA PD λλ=>.6.(2020•新全国1山东)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点,则AP AB ⋅ 的取值范用是( ) A. ()2,6- B. (6,2)- C. (2,4)- D. (4,6)-【答案】A【解析】首先根据题中所给的条件,结合正六边形的特征,得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-,利用向量数量积的定义式,求得结果.【详解】AB 的模为2,根据正六边形的特征,可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-,结合向量数量积的定义式,可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积, 所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-, 故选:A.【点睛】该题以正六边形为载体,考查有关平面向量数量积的取值范围,涉及到的知识点有向量数量积的定义式,属于简单题目.7.(2020•天津卷)如图,在四边形ABCD 中,60,3B AB ︒∠==,6BC =,且3,2AD BC AD AB λ=⋅=-,则实数λ的值为_________,若,M N 是线段BC 上的动点,且||1MN =,则DM DN ⋅的最小值为_________.【答案】 (1). 16 (2). 132【解析】可得120BAD ∠=,利用平面向量数量积的定义求得λ的值,然后以点B 为坐标原点,BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系,设点(),0M x ,则点()1,0N x +(其中05x ≤≤),得出DM DN ⋅关于x 的函数表达式,利用二次函数的基本性质求得DM DN ⋅的最小值. 【详解】AD BC λ=,//AD BC ∴,180120BAD B ∴∠=-∠=,cos120AB AD BC AB BC AB λλ⋅=⋅=⋅1363922λλ⎛⎫=⨯⨯⨯-=-=- ⎪⎝⎭,解得16λ=,以点B 为坐标原点,BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy ,()66,0BC C =∴,,∵3,60AB ABC =∠=︒,∴A 的坐标为32A ⎛ ⎝⎭,∵又∵16AD BC =,则52D ⎛ ⎝⎭,设(),0M x ,则()1,0N x +(其中05x ≤≤),5,2DM x ⎛=- ⎝⎭,3,2DN x ⎛=- ⎝⎭,()222532113422222DM DN x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以,当2x =时,DM DN ⋅取得最小值132.故答案为:16;132.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算,考查平面向量数量积的定义与坐标运算,考查计算能力,属于中等题.8.(2020•浙江卷)设1e ,2e 为单位向量,满足122|2|e e -≤,12a e e =+,123b e e =+,设a ,b 的夹角为θ,则2cos θ的最小值为_______.【答案】2829【解析】利用复数模的平方等于复数的平方化简条件得1234e e ⋅≥,再根据向量夹角公式求2cos θ函数关系式,根据函数单调性求最值.【详解】12|2|2e e -≤,124412e e ∴-⋅+≤,1234e e ∴⋅≥,222121222121212(44)4(1)()cos (22)(106)53e e e e a b e e e e e e a bθ+⋅+⋅⋅∴===+⋅+⋅+⋅⋅12424228(1)(1)3332953534e e =-≥-=+⋅+⨯.故答案为:2829. 【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值,考查综合分析求解能力,属中档题.。

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