一轮复习空间向量证明平行垂直

换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面
的法向量
平面 α的向量式方程
l
aAP 0
a

A
P
总结:如何求平面的法向量
⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z )
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的 坐标 a (a1 , b1 , c1 ), b (a2 , b2 , c2 )
β
u
v
α
利用空间向量证明平行问题
例 1 如图所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中， M、N 分别是 C1C、B1C1 的中点．求证：MN ∥平面 A1BD.
证明 方法一 如图所示，以 D 为原点，DA、 DC、DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为 1，
取 x＝1，得 y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)． 1 1 → 又MN· n＝2，0，2· (1，－1，－1)＝0， → ∴MN⊥n，又 MN⊄平面 A1BD， ∴MN∥平面 A1BD. → → → 1 → 1→ 方法二 MN＝C1N－C1M＝ C1B1－ C1C 2 2 1 → 1→ → ＝ (D1A1－D1D)＝ DA1， 2 2 → → ∴MN∥DA1，又∵MN 与 DA1 不共线，∴MN∥DA1，
⑶根据法向量的定义建立关于 x , y , z 的方程 n a 0 组 n b 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
练习.在空间直角坐标系中,已知 A(3, 0, 0), B(0, 4, 0) , C (0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量. n (4, 3, 6)
又∵MN⊄平面 A1BD，A1D⊂平面 A1BD， ∴MN∥平面 A1BD.
探究提高
用向量证明线面平行的方法： (1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直； (2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行； (3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线 性表示； (4)本题易错点为：只证明 MN∥A1D，而忽视 MN⊄平面 A1BD.
l
a b
m
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ， 平面 , 的法向量分别为 u, v ，则 (2) l a // u a u
l
a
u
C A

B
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ， 平面 , 的法向量分别为 u, v ，则 （3） u v u v 0
二、 立体几何中的向量方法
——证明平行与垂直
设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b ， 平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
（一）. 平行关系： (1) l / / m a / / b a b ；
a b
l
m
Байду номын сангаас
(2) l / / ① a u a u 0 ；
建立如图所示的空间直角坐标系 A—xyz， 则 A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)、 P(0,0,2)、E(0,0,1)、F(0,1,1)、G(1,2,0)． → → ∴PB＝(2,0，－2)，FE＝(0，－1,0)， → FG＝(1,1，－1)，
则
1 1 M0，1，2，N2，1，1，D(0,0,0)，
A1(1,0,1)，B(1,1,0)， 1 1 → 于是MN＝2，0，2，
设平面 A1BD 的法向量是 n＝(x，y，z)． x＋z＝0， → → 则 n· DA1＝0，且 n· DB＝0，得 x＋y＝0.
2017年1月2日星期一
一、方向向量与法向量
如图, l 为经过已知点 A 且平行于非零向量 a 的直线,那么非零向量 a 叫做直线 l 的方向向量。
１．直线的方向向量
换句话说,直线上的非零向量叫做直线的 方向向量
A

l
a
P
直线ｌ的向量式方程
AP ta
2、平面的法向量
(3) / / ① u / / v u v.
u
α
u
v
β
设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b ， 平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
（二）、垂直关系：
(1) l m a b a b 0
u
α
设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b ， 平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
a
② a∥AC
③ a xAB y AD
设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b ， 平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
变式训练 1
如图所示，平面 PAD⊥平面 ABCD，ABCD 为正方形，△PAD 是直角三角形，且 PA＝ AD＝2，E、F、G 分别是线段 PA、PD、CD 的中点． 求证：PB∥平面 EFG. 证明 ∵平面 PAD⊥平面 ABCD 且 ABCD 为正方形，
∴AB、AP、AD 两两垂直，以 A 为坐标原点，
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z ) 则 n AB ， n AC .∵ AB (3,4,0) , AC (3,0, 2)
3 y x ( x, y, z ) ( 3,4,0) 0 3 x 4 y 0 4 ∴ 即 ∴ ( x , y , z ) ( 3,0, 2) 0 3 x 2 z 0 3 z x 2 取 x 4 ,则 n (4, 3,6) ∴ n (4, 3,6) 是平面 ABC 的一个法向量.