概率论完整第30讲PPT课件
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概率论
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问题：是否能用频率来描述随机事件可能性大小？ 问题：是否能用频率来描述随机事件可能性大小？ 3. 频率的特性 频率的特性: 1）随机波动性： ）随机波动性： 2）稳定性： ）稳定性： 较小时， 当n较小时，波动大； 较小时 波动大； 较大时， 当n较大时，波动小。 较大时 波动小。 设想 当n－>∞时, fn(A)没有波动 没有波动. 没有波动
第 6 页
（三）事件间的关系与事件的运算 1.包含关系和相等关系 包含关系和相等关系: 包含关系和相等关系 若事件A发生必然导致事件 发生,则称事件 发生必然导致事件B发生 则称事件B包含 若事件 发生必然导致事件 发生 则称事件 包含 事件A,记作 记作A⊂ 事件 记作 ⊂B. 则称A与 相等 相等. 若A ⊂ B且A ⊃B, 即A=B, 则称 与B相等 且 (2)设A,B,C为任意三个事件 事件间的包含 为任意三个事件, 设 为任意三个事件 (1)以后考虑事件间关系和运算时 参加比较 以后考虑事件间关系和运算时, 以后考虑事件间关系和运算时 B 关系有下列性质: 关系有下列性质 或运算的事件都是同一样本空间的子集. 或运算的事件都是同一样本空间的子集 (a) φ⊂ ⊂S; φ⊂A⊂A S (b) A⊂A(自反性 自反性); ⊂ 自反性 (c) 若A⊂1) 且B⊂C,则A⊂C(传递性 传递性); ⊂B且 B 则 ⊂ 传递性 ⊂ ( A⊂ ⊂ (d) 若A⊂B且B⊂A, 则A=B(反对称性 反对称性). ⊂ 且 ⊂ 反对称性
第 10 页
5. 对立事件 逆事件 ： 对立事件(逆事件 逆事件)：
A 若 UB= S AIB=φ 则 A B 为 事 ， 称 且 ， 称与 互 逆 件 也 对 事 . : 一 实 中 件与中 然 一 为 立 件即 在 次 验 , 事 A B 必 有 发 , 仅 一 发 . 个 生且 有 个 生
问题：是否能用频率来描述随机事件可能性大小？ 问题：是否能用频率来描述随机事件可能性大小？ 3. 频率的特性 频率的特性: 1）随机波动性： ）随机波动性： 2）稳定性： ）稳定性： 较小时， 当n较小时，波动大； 较小时 波动大； 较大时， 当n较大时，波动小。 较大时 波动小。 设想 当n－>∞时, fn(A)没有波动 没有波动. 没有波动
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（三）事件间的关系与事件的运算 1.包含关系和相等关系 包含关系和相等关系: 包含关系和相等关系 若事件A发生必然导致事件 发生,则称事件 发生必然导致事件B发生 则称事件B包含 若事件 发生必然导致事件 发生 则称事件 包含 事件A,记作 记作A⊂ 事件 记作 ⊂B. 则称A与 相等 相等. 若A ⊂ B且A ⊃B, 即A=B, 则称 与B相等 且 (2)设A,B,C为任意三个事件 事件间的包含 为任意三个事件, 设 为任意三个事件 (1)以后考虑事件间关系和运算时 参加比较 以后考虑事件间关系和运算时, 以后考虑事件间关系和运算时 B 关系有下列性质: 关系有下列性质 或运算的事件都是同一样本空间的子集. 或运算的事件都是同一样本空间的子集 (a) φ⊂ ⊂S; φ⊂A⊂A S (b) A⊂A(自反性 自反性); ⊂ 自反性 (c) 若A⊂1) 且B⊂C,则A⊂C(传递性 传递性); ⊂B且 B 则 ⊂ 传递性 ⊂ ( A⊂ ⊂ (d) 若A⊂B且B⊂A, 则A=B(反对称性 反对称性). ⊂ 且 ⊂ 反对称性
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5. 对立事件 逆事件 ： 对立事件(逆事件 逆事件)：
A 若 UB= S AIB=φ 则 A B 为 事 ， 称 且 ， 称与 互 逆 件 也 对 事 . : 一 实 中 件与中 然 一 为 立 件即 在 次 验 , 事 A B 必 有 发 , 仅 一 发 . 个 生且 有 个 生
概率论与数理统计课件(最新完整版)
“骰子出现2点”
图示 A与B互斥
A B
说明 当AB= 时,可将AB记为“直和”形式 A+B. 任意事件A与不可能事件为互斥.
5. 事件的差 事件 “A 出现而 B 不出现”，称为事件 A 与
B 的差. 记作 A- B(或 AB
)
实例 “长度合格但直径不合格”是“长度合格”
与“直径合格”的差.
实例4 “从一批含有正
其结果可能为:
品和次品的产品中任意抽
取一个产品”.
正品 、次品.
实例5 “过马路交叉口时,
可能遇上各种颜色的交通
指挥灯”.
实例6 “一只灯泡的寿命” 可长可 短. 随机现象的特征: 条件不能完全决定结果
说明 1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联
系 , 其数量关系无法用函数加以描述.
1. 包含关系 若事件 A 出现, 必然导致 B 出现 , 则称事件 B 包含事件 A,记作 B A 或 A B. 实例 “长度不合格” 必然导致 “产品不合 格” 所以“产品不合格” 包含“长度不合格”. 图示 B 包含 A.
A
B
若事件A包含事件B,而且事件B包含事件A, 则称事 件A与事件B相等,记作 A=B. 2. 事件的和(并) “ 二 事 件A, B至 少 发 生 一 个 ” 也 是 个 一事件 , 称 为 事 件A 与 事 件 B的和事件.记 作A B， 显 然 A B {e | e A或e B}. 实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与 直径是否合格所决定,因此 “产品不合格”是“长度 不合格”与“直径不合格”的并. 图示事件 A 与 B 的并.
(2) ABC or AB C;
( 3) ABC ;
概率论与数理统计完整ppt课件
化学
在化学领域，概率论与数理统计被用于研究化学反应的速率和化 学物质的分布，如化学反应动力学、量子化学计算等。
生物
在生物学中，概率论与数理统计用于研究生物现象的变异和分布， 如遗传学、生态学、流行病学等。
在工程中的应用
通信工程
01
概率论与数理统计在通信工程中用于信道容量、误码率、调制
解调等方面的研究。
边缘分布
对于n维随机变量(X_1,...,X_n)，在概 率论中，分别定义了X_1的边缘分布 、...、X_n的边缘分布。
04
数理统计基础
样本与抽样分布
01
02
03
总体与样本
总体是包含所有可能数据 的数据集合，样本是总体 的一个随机子集。
抽样方法
包括简单随机抽样、分层 抽样、系统抽样等。
样本分布
描述样本数据的分布情况 ，如均值、中位数、标准 差等。
参数估计与置信区间
参数估计
利用样本数据估计总体的 未知参数，如均值、方差 等。
点估计
用样本统计量作为总体参 数的估计值。
置信区间
给出总体参数的一个估计 区间，表示对总体的参数 有一个可信的估计范围。
假设检验与方差分析
假设检验
通过样本数据对总体参数提出 假设，然后根据假设进行检验
01
定义
设E是一个随机试验，X，Y是定义在E上，取值分别为实数的随机变量
。称有序实数对(X，Y)为一个二维随机变量。
02
分布函数
设(X，Y)是一个二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数
F(x,y)=P({X<=x,Y<=y})称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。
03
边缘分布
对于二维随机变量(X,Y)，在概率论中，分别定义了X的边缘分布和Y的
在化学领域，概率论与数理统计被用于研究化学反应的速率和化 学物质的分布，如化学反应动力学、量子化学计算等。
生物
在生物学中，概率论与数理统计用于研究生物现象的变异和分布， 如遗传学、生态学、流行病学等。
在工程中的应用
通信工程
01
概率论与数理统计在通信工程中用于信道容量、误码率、调制
解调等方面的研究。
边缘分布
对于n维随机变量(X_1,...,X_n)，在概 率论中，分别定义了X_1的边缘分布 、...、X_n的边缘分布。
04
数理统计基础
样本与抽样分布
01
02
03
总体与样本
总体是包含所有可能数据 的数据集合，样本是总体 的一个随机子集。
抽样方法
包括简单随机抽样、分层 抽样、系统抽样等。
样本分布
描述样本数据的分布情况 ，如均值、中位数、标准 差等。
参数估计与置信区间
参数估计
利用样本数据估计总体的 未知参数，如均值、方差 等。
点估计
用样本统计量作为总体参 数的估计值。
置信区间
给出总体参数的一个估计 区间，表示对总体的参数 有一个可信的估计范围。
假设检验与方差分析
假设检验
通过样本数据对总体参数提出 假设，然后根据假设进行检验
01
定义
设E是一个随机试验，X，Y是定义在E上，取值分别为实数的随机变量
。称有序实数对(X，Y)为一个二维随机变量。
02
分布函数
设(X，Y)是一个二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数
F(x,y)=P({X<=x,Y<=y})称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。
03
边缘分布
对于二维随机变量(X,Y)，在概率论中，分别定义了X的边缘分布和Y的
概率论与数理统计课件(共199张PPT)
P(An|A1A2…An-1).
33
例3. r只红球○ t只白球○
每次任取一只球观 察颜色后, 放回, 再 放回a只同色球
在袋中连续取球4次, 试求第一、二次取到红球且 第三、四次取到白球的概率.
34
(三) 全概率公式和贝叶斯公式:
1. 样本空间的划分
定:义 若 B 1,B 2, ,B n一组事 : 件
计算条件概率有两种方法:
1. 公式法：
先计P算(A)P, (AB然 ), 后按公式计算
P(B| A) P(AB.) P(A)
31
2. 缩减样本空间法：
在A发生的前提下, 确定B的缩减样本空间, 并在其 中计算B发生的概率, 从而得到P(B|A). 例2. 在1, 2, 3, 4, 5这5个数码中, 每次取一个数码, 取 后不放回, 连取两次, 求在第1次取到偶数的条件下, 第2
B
A S
(1) AB
8
2.和事件:
AB{x|xA或xB}称 为 A与B的 和 事 . 件
即AB,中 至 少 有 一 ,称个 为 A与 发 B的生,和 记AB.
可 列 个A1事 , A2,件 的 和 事 件 记 Ak. 为
k1
3.积事件： 事件A B={x|x A 且 x B}称A与B的积，
即事件A与B同时发A生. A B 可简记为AB.
i1
1i jn
P(A i A j Ak )
1i jkn
(1)n1 P(A1 A 2 A n ).
27
例4. 设P(A)=p, P(B)=q, P(AB)=r, 用p, q, r表示下列事 件的概率:
( 1 ) P ( A B ) (; P ( 2 A B ) ( ) ; P ( 3 A B ) ) (; ( 4 A B )
33
例3. r只红球○ t只白球○
每次任取一只球观 察颜色后, 放回, 再 放回a只同色球
在袋中连续取球4次, 试求第一、二次取到红球且 第三、四次取到白球的概率.
34
(三) 全概率公式和贝叶斯公式:
1. 样本空间的划分
定:义 若 B 1,B 2, ,B n一组事 : 件
计算条件概率有两种方法:
1. 公式法：
先计P算(A)P, (AB然 ), 后按公式计算
P(B| A) P(AB.) P(A)
31
2. 缩减样本空间法：
在A发生的前提下, 确定B的缩减样本空间, 并在其 中计算B发生的概率, 从而得到P(B|A). 例2. 在1, 2, 3, 4, 5这5个数码中, 每次取一个数码, 取 后不放回, 连取两次, 求在第1次取到偶数的条件下, 第2
B
A S
(1) AB
8
2.和事件:
AB{x|xA或xB}称 为 A与B的 和 事 . 件
即AB,中 至 少 有 一 ,称个 为 A与 发 B的生,和 记AB.
可 列 个A1事 , A2,件 的 和 事 件 记 Ak. 为
k1
3.积事件： 事件A B={x|x A 且 x B}称A与B的积，
即事件A与B同时发A生. A B 可简记为AB.
i1
1i jn
P(A i A j Ak )
1i jkn
(1)n1 P(A1 A 2 A n ).
27
例4. 设P(A)=p, P(B)=q, P(AB)=r, 用p, q, r表示下列事 件的概率:
( 1 ) P ( A B ) (; P ( 2 A B ) ( ) ; P ( 3 A B ) ) (; ( 4 A B )
精品课程《概率论》ppt课件(全)
2. 频率的基本性质：
(1)
(2)
0 f（ A ） 1 ； （非负性） n f n (S ) 1; （规范性）
（3）若A1，A 2， , Ak 两两互不相容 ,则 f n ( A1 A 2 A k ) fn ( A1 ) fn ( A 2 ) fn ( Ak ).(有限可加性）
1.离散样本空间:样本点为有限多个或 可列多个.
2.无穷样本空间:样本点在区间或区域 内取值.
(二) 随机事件 样本空间S的子集称为随机事件，简 称为事件。
E2:将一枚硬币抛两次,观察正反面出现的情况.
事件发生:在一次试验中，当且仅当这 一子集中的一个样本点出现时，称这一 事件发生。
基本事件:由一个样本点组成的单点集. 必然事件: 样本空间S是自身的子集，在 每次试验中总是发生的，称为必然事件。 不可能事件：空集φ不包含任何样本点， 它在每次试验中都不发生，称为不可能 事件。
起源：
17世纪中叶法国贵族梅勒 赌博问题 帕斯卡(1623-1662)
成为数学分支：
瑞士人 雅克比-贝努力(1654-1705)
费马(1601-1665)
荷兰人惠更斯(1629-1695)：1657年<<论赌博中的计算>>
这一时期称为组合概率阶段
大数定理(LLN) 成为数学分支
Black-Scholes期权定价模型：1973年首次在 政治经济学杂志(Journal of Political Economy)发表， 1997年获诺贝尔经济学奖 彭实戈(1947-): 1995年“倒向随机微分方程”获得国家自然科学二等奖(一等奖空缺)。 许宝禄(1910-1970)，陈希孺(1934-2005)，严加安(1941---) 马志明(1948----)，陈木法 (1946---)
人教版初中数学总复习第八章统计与概率第30课时概率课件
考点四 概率的应用
概率是和实际结合非常紧密的数学知识,可以对生活中的某些现象做出评
判,如解释摸奖、评判游戏活动的公平性、数学竞赛获奖的可能性等等,还
可以对某些事件做出决策.
规律方法探究
命题点1
事件的分类
【例1】 下列事件:
①在足球赛中,弱队战胜强队;
②抛掷1枚质地均匀的硬币,硬币落地时正面朝上;
中确定事件有2个,故选B.
答案:B
命题点2
用列举法求概率
【例2】 如图,有三张不透明的卡片,除正面写有不同的数字外,其他均相同.
将这三张卡片背面朝上洗匀后,第一次从中随机抽取一张,并把这张卡片标
有的数字记作一次函数表达式中的k,第二次从余下的两张卡片中再随机
抽取一张,上面标有的数字记作一次函数表达式中的b.
解:(1)画出树状图来说明评委给出A选手的所有可能结果:
(2)由上可知评委给出A选手所有可能的结果有8种,并且它们是等可能的.
故对于A选手,进入下一轮比赛的概率是 1 .
2
命题点3
频率与概率
【例3】 小明在学习了统计与概率的知识后,做了投掷骰子的试验,小明共
做了100次试验,试验的结果如下:
朝上的点数
牌面花色后放回,洗匀后,再由小李随机抽出一张牌,记下牌面花色.当两张
牌面的花色相同时,小王赢;当两张牌面的花色不相同时,小李赢.请你利用
树状图或列表法分析该游戏规则对双方是否公平,并说明理由.
解:(1)P(抽到牌面花色为红心)= 1 .
3
(2)游戏规则不公平.
理由如下:
小王
红心
黑桃
方块
小李
红心
红心、红心
6
=
1
概率论完整PPT课件第30讲
4. 对于给定的置信水平1，根据S(T,)
的分布，确定常数a, b，使得
P(a ≤S(T,)≤b)= 1 5. 对“a≤S(T,)≤b”作等价变形,得到如下
形式: P {ˆ1ˆ2}1
则[ˆ1,ˆ2 ] 就是 的100(1 )％的置信区间.
可见，确定区间估计很关键的是要寻找
也可简记为
X
n u 2
从例1解题的过程，我们归纳出求置 信区间的一般步骤如下:
1. 明确问题, 是求什么参数的置信区间?
置信水平 1 是多少?
2. 寻找参数的一个良好的点估计
T (X1,X2,…Xn)
3. 寻找一个待估参数 和估计量T的函数
S(T, ),且其分布为已知.
称S(T, )为枢轴量.
教材上讨论了以下几种情形：
单个正态总体均值和方差 2的区间估计.
两个正态总体均值差 1 2和方差比
的区间估计.
2 1 2 2
比例 p 的区间估计.
下面我们举几个例子，其余部分请自己看.
休息片刻继续
例2 已知某地区新生婴儿的体重X~N(,2),
, 2未知,
…
随机抽查100个婴儿 得100个体重数据 X1,X2,…,X100
P {( n 22 (1 n ) S1 2)2(1 2 n 2(1 n )S 2 1)}1
(n1)S2 (n1)S2
于是 [22(n1), 122(n1)]即为所求.
需要指出的是，给定样本，给定置信水 平，置信区间也不是唯一的.
对同一个参数，我们可以构造许多置信区间.
引言
前面，我们讨论了参数点估计. 它 是用样本算得的一个值去估计未知参数. 但是，点估计值仅仅是未知参数的一个 近似值，它没有反映出这个近似值的误 差范围，使用起来把握不大. 区间估计 正好弥补了点估计的这个缺陷 .
《概率论》课件
物理学
描述粒子在气体或液体中的运动状态。
金融学
用于股票价格和收益率的分析。
隐马尔科夫模型
定义
隐马尔科夫模型是一种特殊的马尔科夫模型 ，其中观测状态与隐藏状态有关，而隐藏状 态之间相互独立。
应用
语音识别、手写识别、生物信息学等领域。
05
大数定律与中心极限定理
大数定律及其应用
大数定律
在独立重复试验中，当试验次数趋于无穷时，事件发 生的频率趋于该事件发生的概率。
《概率论》ppt课 件
目录
• 概率论简介 • 概率的基本性质 • 随机变量及其分布 • 随机过程与马尔科夫链 • 大数定律与中心极限定理 • 贝叶斯统计推断
01
概率论简介
概率论的定义
概率论
研究随机现象的数学学科，通过数学模型和公式 来描述随机事件、随机变量和随机过程。
随机变量
表示随机现象的数值变量，其取值具有随机性。
THANKS
感谢观看
计算机科学
概率论在计算机科学中用于算法设计和数据 挖掘等领域。
02
概率的基本性质
概率的公理化定义
概率的公理化定义是概率论的基础，它规定了概率的几个基本性质，包括非负性 、规范性、可加性和有限可加性。
非负性指的是任何事件的概率都不小于0；规范性指的是必然事件的概率为1；可 加性指的是两个独立事件的概率等于它们各自概率的和；有限可加性指的是任意 有限个两两独立的事件的概率等于这些事件概率的和。
应用
在统计学中，大数定律用于估计样本的统计量和参数 ，如平均值、方差等。
中心极限定理及其应用
中心极限定理
无论随机变量的分布是什么，当样本量足够大时，样 本均值的分布近似正态分布。
概率论ppt课件
先验概率与后验概率
先验概率是指在事件产生前对某一事件产生的概率的估计， 后验概率是指在事件产生后，根据新的信息对某一事件产生 的概率的重新估计。
贝叶斯分析在实践中的应用
金融风险评估
贝叶斯分析可以用于金融风险评估，通过对历史数据的分析，猜测未来市场的 走势和风险。
医学诊断
在医学诊断中，贝叶斯分析可以用于根据患者的症状和体征，结合疾病的特点 ，对疾病进行诊断和猜测。
遍历性和安稳散布
遍历性的定义
01
如果一个马尔科夫链的任意状态在长期平均下占据相同的时间
比例，则称该马尔科夫链具有遍历性。
安稳散布的定义
02
如果一个马尔科夫链的状态概率散布不随时间变化，则称该散
布为安稳散布。
遍历性和安稳散布的关系
03
一个具有遍历性的马尔科夫链通常会有一个唯独的安稳散布，
该散布描写了马尔科夫链在长期运行下的状态概率散布。
伯努利实验
只有两种可能结果的实验 ，例如抛硬币。
二项散布
在n次伯努利实验中成功的 次数所服从的散布。
泊疏松布
在单位时间内（或单位面 积上）随机事件的次数所 服从的散布。
连续型随机变量
正态散布
一种常见的连续型随机变量，其 概率密度函数呈钟形。
指数散布
描写某随机事件的时间间隔所服从 的散布。
均匀散布
在一定区间内均匀散布的概率密度 函数。
的散布假设检验中。
强大数定律
强大数定律的定义
强大数定律是概率论中的一个强大工具，它表明在独立同散布随 机变量序列中，几乎必定有任意给定的收敛子序列。
强大数定律的证明
可以通过切比雪夫不等式和Borel-Cantelli引理等工具来证明。
先验概率是指在事件产生前对某一事件产生的概率的估计， 后验概率是指在事件产生后，根据新的信息对某一事件产生 的概率的重新估计。
贝叶斯分析在实践中的应用
金融风险评估
贝叶斯分析可以用于金融风险评估，通过对历史数据的分析，猜测未来市场的 走势和风险。
医学诊断
在医学诊断中，贝叶斯分析可以用于根据患者的症状和体征，结合疾病的特点 ，对疾病进行诊断和猜测。
遍历性和安稳散布
遍历性的定义
01
如果一个马尔科夫链的任意状态在长期平均下占据相同的时间
比例，则称该马尔科夫链具有遍历性。
安稳散布的定义
02
如果一个马尔科夫链的状态概率散布不随时间变化，则称该散
布为安稳散布。
遍历性和安稳散布的关系
03
一个具有遍历性的马尔科夫链通常会有一个唯独的安稳散布，
该散布描写了马尔科夫链在长期运行下的状态概率散布。
伯努利实验
只有两种可能结果的实验 ，例如抛硬币。
二项散布
在n次伯努利实验中成功的 次数所服从的散布。
泊疏松布
在单位时间内（或单位面 积上）随机事件的次数所 服从的散布。
连续型随机变量
正态散布
一种常见的连续型随机变量，其 概率密度函数呈钟形。
指数散布
描写某随机事件的时间间隔所服从 的散布。
均匀散布
在一定区间内均匀散布的概率密度 函数。
的散布假设检验中。
强大数定律
强大数定律的定义
强大数定律是概率论中的一个强大工具，它表明在独立同散布随 机变量序列中，几乎必定有任意给定的收敛子序列。
强大数定律的证明
可以通过切比雪夫不等式和Borel-Cantelli引理等工具来证明。
概率论与数理统计课件完整版.ppt
k 1
3.积事件： 事件A B={x|x A 且 x B}称A与B的
积，即事件A与BA同时发生. A B 可简记为AB.
类似地,
事件
SAK
为可列B 个事件A1,
A2,
...的积事件.
k 1
(2)A B
A B
(3)A B
S
9
4.差事件:
事件A-B={x|xA且xB} 称为A与B的差. 当且仅当 A发生, B不发生时事件A-B发生. 即:
A - B A AB
显然: A-A=, A- =A, A-S=
s
A B
(4)A B
10
5.事件的互不相容(互斥): 若A B ,则称A与B是互不相容的,或互斥的,即
A与B不能同时发生.
B
A B
A
11
6. 对立事件(逆事件)：
若A B S且A B ，则称A与B互为逆事件，也称
P(A1 A2 …)=P(A1)+P(A2)+… (可列可加性)
25
2.概率的性质：
性质1. P() 0.
性质2. 若 A1, A2, , An是两两互不相容的事件, 则 P(A1 A2 An)
P(A1) P(A2) P(An). (有限可加性)
性质3. 若A B,则有 P(B A) P(B) P(A);
2. 频率的基本性质：
(1) 0 f（n A） 1；（非负性）
(2) fn(S) 1;
（规范性）
（3）若A1，A2， , Ak两两互不相容,则
fn ( A1 A2 Ak ) fn ( A1 ) fn ( A2 ) fn ( Ak ).(有限可加性）
3. 频率的特性: 波动性和稳定性.
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点”或“6 点”3 个基本事件，即 A {2 ，4 ，6} 。
四、事件的关系与运算
在一个样本空间中显然可以定义不止一个事件。概率论的重要研究课 题之一是希望从简单事件的概率推算出复杂事件的概率。为此，需要研究 事件间的关系与运算。
事件是一个集合，因此事件间的关系和运算自然按照集合之间的关系 和运算来处理。
1 事件的包含与相等
若 A B ，则称事件 B 包含事件 A ，这里指的是事件 A 发生必然导致事件 B 发生， 即属于 A 的样本点都属于 B ，如图1-2所示。显然，对任何事件A，必有 A 。
若 A B 且 B A ，则称事件 A 与 B 相等，记为 A B。
图1-2 A B
事件 A B {x | x A或x B}，称为事件A与事件B的和事件，即当且仅当事件 A 或 事件 B 至少有一个发生时，和事件 A B 发生。它由属于 A 或 B 的所有公共样本点构 成，如图 1-4 所示。
图 1-4 A B
4 事件的差
事件 A B {x | x A且x B}称为事件 A 与事件 B 的差事件，即当且仅当事件 A 发 生但事件 B 不发生时，积事件A B发生。它是由属于 A 但不属于 B 的样本点构成的集 合，如图1-5所示。差事件 A B 也可写作 AB 。
定义1 在相同的条件下重复进行了 n 次试验，如果事件 A 在这 n 次试验中出现
了 nA
次，则称比值
nA n
为事件 A
发生的频率，记为fn ( 源自) ，即fn( A)
nA n
显然，频率 fn ( A) 的大小表示了在 n 次试验中事件 A 发生的频繁程度。频率 大，事件 A 发生就频繁，在一次试验中 A 发生的可能性就大，也就是事件 A 发
四、事件的关系与运算
在一个样本空间中显然可以定义不止一个事件。概率论的重要研究课 题之一是希望从简单事件的概率推算出复杂事件的概率。为此，需要研究 事件间的关系与运算。
事件是一个集合，因此事件间的关系和运算自然按照集合之间的关系 和运算来处理。
1 事件的包含与相等
若 A B ，则称事件 B 包含事件 A ，这里指的是事件 A 发生必然导致事件 B 发生， 即属于 A 的样本点都属于 B ，如图1-2所示。显然，对任何事件A，必有 A 。
若 A B 且 B A ，则称事件 A 与 B 相等，记为 A B。
图1-2 A B
事件 A B {x | x A或x B}，称为事件A与事件B的和事件，即当且仅当事件 A 或 事件 B 至少有一个发生时，和事件 A B 发生。它由属于 A 或 B 的所有公共样本点构 成，如图 1-4 所示。
图 1-4 A B
4 事件的差
事件 A B {x | x A且x B}称为事件 A 与事件 B 的差事件，即当且仅当事件 A 发 生但事件 B 不发生时，积事件A B发生。它是由属于 A 但不属于 B 的样本点构成的集 合，如图1-5所示。差事件 A B 也可写作 AB 。
定义1 在相同的条件下重复进行了 n 次试验，如果事件 A 在这 n 次试验中出现
了 nA
次，则称比值
nA n
为事件 A
发生的频率，记为fn ( 源自) ，即fn( A)
nA n
显然，频率 fn ( A) 的大小表示了在 n 次试验中事件 A 发生的频繁程度。频率 大，事件 A 发生就频繁，在一次试验中 A 发生的可能性就大，也就是事件 A 发
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形式: P {ˆ1ˆ2}1
则[ˆ1,ˆ2 ] 就是 的100(1 )％的置信区间.
可见，确定区间估计很关键的是要寻找
一个待估参数 和估计量T 的函数S(T, ), 且S(T, )的分布为已知, 不依赖于任何未知
参数 (这样我们才能确定一个大概率区间).
而这与总体分布有关，所以，总体分布的 形式是否已知，是怎样的类型，至关重要.
可见，
对参数作区间估计，就是要设法找出
两个只依赖于样本的界限(构造统计量)
ˆ1 ˆ1(X1,…Xn) ˆ2 ˆ2(X1,…Xn)
(ˆ1 ˆ2)
一旦有了样本，就把 估计在区间[ˆ1,ˆ2]
内. 这里有两个要求:
1. 要求 以很大的可能被包含在区间[ˆ1,ˆ2]
内，就是说，概率P{ˆ1ˆ2}要尽可能大.
我们选取未知参数的某个估计量 ˆ，根
据置信水平1 ，可以找到一个正数 ，
使得 P{ˆ||}1
称 为ˆ 与之间的误差限 .
只要知道 ˆ 的概率分布，确定误差限并不难.
由不等式 |ˆ | 可以解出 ：
ˆˆ
这个不等式就是我们所求的置信区间.
下面我们就来正式给出置信区间的定义, 并通过例子说明求置信区间的方法.
在求置信区间时，要查表求分位数.
教材180页已经给出了概率分布的上侧分位数 （分位点）的定义，为便于应用，这里我们 再简要介绍一下.
设0<<1, 对随机变量X，称满足
P(Xx)
的点 x 为X的概率分布的上分位数.
设0<<1, 对随机变量X，称满足
P(Xx)
的点 x 为X的概率分布的上分位数.
即要求估计尽量可靠.
2. 估计的精度要尽可能的高. 如要求区间 长度 ˆ2 ˆ1 尽可能短，或能体现该要求的其 它准则.
可靠度与精度是一对矛盾， 一般是在保证可靠度的条件下
尽可能提高精度.
二、置信区间的求法
例1 设X1,…Xn是取自N(,2)的样本， 2已知,
求参数的置信度为 1的置信区间.
解： 选明确的问点题估,是计求为什么X 参数的寻置找信未区知间参? 数的
下面我们举几个例子，其余部分请自己看.
休息片刻继续
例2 已知某地区新生婴儿的体重X~N(,2),
, 2未知,
…
1. 明确问题, 是求什么参数的置信区间?
置信水平 1 是多少?
2. 寻找参数的一个良好的点估计
T (X1,X2,…Xn)
3. 寻找一个待估参数 和估计量T的函数
S(T, ),且其分布为已知.
称S(T, )为枢轴量.
4. 对于给定的置信水平1，根据S(T,)
的分布，确定常数a, b，使得
P(a ≤S(T,)≤b)= 1 5. 对“a≤S(T, )≤b”作等价变形,得到如下
引言
前面，我们讨论了参数点估计. 它 是用样本算得的一个值去估计未知参数. 但是，点估计值仅仅是未知参数的一个 近似值，它没有反映出这个近似值的误 差范围，使用起来把握不大. 区间估计 正好弥补了点估计的这个缺陷 .
譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若 我们根据一个实际样本，得到鱼数N的极 大似然估计为1000条. 实际上，N的真值可能大于1000条， 也可能小于1000条.
若我们能给出一个区间，在此区间 内我们合理地相信 N 的真值位于其中. 这样对鱼数的估计就有把握多了.
也就是说，我们希望确定一个区间，使我
们能以比较高的可靠程度相信它包含真参
数值.
湖中鱼数的真值
[ •]
这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的， 称为置信概率，置信度或置信水平.
习惯上把置信水平记作1，这里是一个
为什么 这样取？
使 P{|Xn|u2}1
对给定的置信水平1,
查正态分布表得 u 2 ,
使 P{|Xn|u2}1
从中解得
P { X n u 2 X n u 2 } 1
P{Xnu2Xnu2} 1
于是所求的 置信区间为
[X nu2, X nu2]
也可简记为
X
n u 2
从例1解题的过程，我们归纳出求置 信区间的一般步骤如下:
标准正态分布的
上分位数 u
例如: u0.051.645
u0.0251.96
设0<<1, 对随机变量X，称满足
P(Xx)
的点 x 为X的概率分布的上分位数.
自由度为n的
2 分布的上
分位数
2
(n)
例如:
02.02(53)9.348
02.97(53)0.216
设0<<1, 对随机变量X，称满足
P(Xx)
取
U
X
ห้องสมุดไป่ตู้
置信水平是多少？一个良好估计.
~N(0, 1)
n
寻找一个待估参数和 估计量的函数 ，要求 其分布为已知.
有了分布，就可以求出 U取值于任意区间的概率.
对于给定的置信水平(大概率), 根据U的分布， 确定一个区间, 使得U取值于该区间的概率为 置信水平.
对给定的置信水平1,
查正态分布表得 u 2 ,
的点 x 为X的概率分布的上分位数.
自由度为n1,n2的
F分布的上分
位数 F(n1,n2)
书末附有 分2 布、t 分布、F分布的上侧
分位数表，供使用. 需要注意的事项在教 材上有说明.
至于如何由标准正态分布函数表查表 求得分位数，若你对分布函数定义熟悉的 话，这个问题不难解决.
现在回到置信区间题目上来.
很小的正数.
置信水平的大小是根据实际需要选定的.
例如，通常可取置信水平1 =0.95或0.9等.
根据一个实际样本，由给定的置信水平，我
们求出一个尽可能小的区间 [ˆ1,ˆ2]，使
P {ˆ1ˆ2}1
称区间 [ˆ1,ˆ2]为 的 置信水平为1 的
置信区间.
寻找置信区间的方法,一般是从确定 误差限入手.
一、 置信区间定义：
设 是 一个待估参数，给定 0,
若由样本X1,X2,…Xn确定的两个统计量
ˆ1ˆ1(X 1,X 2, ,X n),ˆ2ˆ2(X 1,X 2, ,X n)
(ˆ1 ˆ2) 满足
P {ˆ1ˆ2}1
则称区间 [ˆ1,ˆ2]是 的置信水平（置信度、
置信概率）为 1 的置信区间.
ˆ1和ˆ2 分别称为置信下限和置信上限.
这里，我们主要讨论总体分布为正态 的情形. 若样本容量很大，即使总体分布 未知，应用中心极限定理，可得总体的近 似分布，于是也可以近似求得参数的区间 估计.
教材上讨论了以下几种情形：
单个正态总体均值和方差 2的区间估计.
两个正态总体均值差 1 2和方差比
的区间估计.
2 1 2 2
比例 p 的区间估计.
则[ˆ1,ˆ2 ] 就是 的100(1 )％的置信区间.
可见，确定区间估计很关键的是要寻找
一个待估参数 和估计量T 的函数S(T, ), 且S(T, )的分布为已知, 不依赖于任何未知
参数 (这样我们才能确定一个大概率区间).
而这与总体分布有关，所以，总体分布的 形式是否已知，是怎样的类型，至关重要.
可见，
对参数作区间估计，就是要设法找出
两个只依赖于样本的界限(构造统计量)
ˆ1 ˆ1(X1,…Xn) ˆ2 ˆ2(X1,…Xn)
(ˆ1 ˆ2)
一旦有了样本，就把 估计在区间[ˆ1,ˆ2]
内. 这里有两个要求:
1. 要求 以很大的可能被包含在区间[ˆ1,ˆ2]
内，就是说，概率P{ˆ1ˆ2}要尽可能大.
我们选取未知参数的某个估计量 ˆ，根
据置信水平1 ，可以找到一个正数 ，
使得 P{ˆ||}1
称 为ˆ 与之间的误差限 .
只要知道 ˆ 的概率分布，确定误差限并不难.
由不等式 |ˆ | 可以解出 ：
ˆˆ
这个不等式就是我们所求的置信区间.
下面我们就来正式给出置信区间的定义, 并通过例子说明求置信区间的方法.
在求置信区间时，要查表求分位数.
教材180页已经给出了概率分布的上侧分位数 （分位点）的定义，为便于应用，这里我们 再简要介绍一下.
设0<<1, 对随机变量X，称满足
P(Xx)
的点 x 为X的概率分布的上分位数.
设0<<1, 对随机变量X，称满足
P(Xx)
的点 x 为X的概率分布的上分位数.
即要求估计尽量可靠.
2. 估计的精度要尽可能的高. 如要求区间 长度 ˆ2 ˆ1 尽可能短，或能体现该要求的其 它准则.
可靠度与精度是一对矛盾， 一般是在保证可靠度的条件下
尽可能提高精度.
二、置信区间的求法
例1 设X1,…Xn是取自N(,2)的样本， 2已知,
求参数的置信度为 1的置信区间.
解： 选明确的问点题估,是计求为什么X 参数的寻置找信未区知间参? 数的
下面我们举几个例子，其余部分请自己看.
休息片刻继续
例2 已知某地区新生婴儿的体重X~N(,2),
, 2未知,
…
1. 明确问题, 是求什么参数的置信区间?
置信水平 1 是多少?
2. 寻找参数的一个良好的点估计
T (X1,X2,…Xn)
3. 寻找一个待估参数 和估计量T的函数
S(T, ),且其分布为已知.
称S(T, )为枢轴量.
4. 对于给定的置信水平1，根据S(T,)
的分布，确定常数a, b，使得
P(a ≤S(T,)≤b)= 1 5. 对“a≤S(T, )≤b”作等价变形,得到如下
引言
前面，我们讨论了参数点估计. 它 是用样本算得的一个值去估计未知参数. 但是，点估计值仅仅是未知参数的一个 近似值，它没有反映出这个近似值的误 差范围，使用起来把握不大. 区间估计 正好弥补了点估计的这个缺陷 .
譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若 我们根据一个实际样本，得到鱼数N的极 大似然估计为1000条. 实际上，N的真值可能大于1000条， 也可能小于1000条.
若我们能给出一个区间，在此区间 内我们合理地相信 N 的真值位于其中. 这样对鱼数的估计就有把握多了.
也就是说，我们希望确定一个区间，使我
们能以比较高的可靠程度相信它包含真参
数值.
湖中鱼数的真值
[ •]
这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的， 称为置信概率，置信度或置信水平.
习惯上把置信水平记作1，这里是一个
为什么 这样取？
使 P{|Xn|u2}1
对给定的置信水平1,
查正态分布表得 u 2 ,
使 P{|Xn|u2}1
从中解得
P { X n u 2 X n u 2 } 1
P{Xnu2Xnu2} 1
于是所求的 置信区间为
[X nu2, X nu2]
也可简记为
X
n u 2
从例1解题的过程，我们归纳出求置 信区间的一般步骤如下:
标准正态分布的
上分位数 u
例如: u0.051.645
u0.0251.96
设0<<1, 对随机变量X，称满足
P(Xx)
的点 x 为X的概率分布的上分位数.
自由度为n的
2 分布的上
分位数
2
(n)
例如:
02.02(53)9.348
02.97(53)0.216
设0<<1, 对随机变量X，称满足
P(Xx)
取
U
X
ห้องสมุดไป่ตู้
置信水平是多少？一个良好估计.
~N(0, 1)
n
寻找一个待估参数和 估计量的函数 ，要求 其分布为已知.
有了分布，就可以求出 U取值于任意区间的概率.
对于给定的置信水平(大概率), 根据U的分布， 确定一个区间, 使得U取值于该区间的概率为 置信水平.
对给定的置信水平1,
查正态分布表得 u 2 ,
的点 x 为X的概率分布的上分位数.
自由度为n1,n2的
F分布的上分
位数 F(n1,n2)
书末附有 分2 布、t 分布、F分布的上侧
分位数表，供使用. 需要注意的事项在教 材上有说明.
至于如何由标准正态分布函数表查表 求得分位数，若你对分布函数定义熟悉的 话，这个问题不难解决.
现在回到置信区间题目上来.
很小的正数.
置信水平的大小是根据实际需要选定的.
例如，通常可取置信水平1 =0.95或0.9等.
根据一个实际样本，由给定的置信水平，我
们求出一个尽可能小的区间 [ˆ1,ˆ2]，使
P {ˆ1ˆ2}1
称区间 [ˆ1,ˆ2]为 的 置信水平为1 的
置信区间.
寻找置信区间的方法,一般是从确定 误差限入手.
一、 置信区间定义：
设 是 一个待估参数，给定 0,
若由样本X1,X2,…Xn确定的两个统计量
ˆ1ˆ1(X 1,X 2, ,X n),ˆ2ˆ2(X 1,X 2, ,X n)
(ˆ1 ˆ2) 满足
P {ˆ1ˆ2}1
则称区间 [ˆ1,ˆ2]是 的置信水平（置信度、
置信概率）为 1 的置信区间.
ˆ1和ˆ2 分别称为置信下限和置信上限.
这里，我们主要讨论总体分布为正态 的情形. 若样本容量很大，即使总体分布 未知，应用中心极限定理，可得总体的近 似分布，于是也可以近似求得参数的区间 估计.
教材上讨论了以下几种情形：
单个正态总体均值和方差 2的区间估计.
两个正态总体均值差 1 2和方差比
的区间估计.
2 1 2 2
比例 p 的区间估计.