第三章控制系统的时间响应分析

所示，实际的单位脉冲 (t) 的数学关系为
(t)
01,
t 0与t ，0 t
时 时
（3.3.3）
3.3 典型输入信号
其中,
(t
)dt
1
1
显然，当 0时，实际脉冲 (t) 的极限即为理想脉冲 (t)。
r(t)
1
t
图3.1 实际单位脉冲函数
3.3 典型输入信号
单位脉冲函数的拉氏变换为1，即
3.2 时间响应及其组成
（从外作用力与系统本身固有特性对微分方程的解的 影响分析）。（讲解）
3.3 典型输入信号
在分析和设计控制系统时，我们需要有一个对各种控制 系统性能进行分析的基础。这种基础可以这样来实现：预 先规定一些特殊的试验输入信号（我们称之为典型输入信 号），然后比较各种系统对这些输入信号的响应。(输入 分为确定性信号和非确定性信号)。
（3.3.7）
其中，A为正弦函数的阶跃值；为频率（见图3.5）。
A＝1的正弦函数为单位正弦函数。
图3.5 正弦函数
3.3 典型输入信号
单位正弦函数的拉氏变换为
Lr(t)
s2 2
通常，我们用单位阶跃函数作为典型输入信号，则可 以在一个统一的基础上对各种系统的特性进行比较和研 究。
3.4 控制系统瞬态性能分析
第三章 控制系统的时间响应分析
线性系统的时域分析法 引言
一阶系统时域分析 二阶系统时域分析
3.1 时域分析的提法
3.1.1 时域分析的基本思想
时域分析问题是指在时间域内对系统的性能进行分析，是通过系统在典型信号作用 下的时域响应，来建立系统的结构、参数与系统的性能的定量关系。
3.1.2 系统的时域响应
许多控制系统的设计准则是建立在这些信号的基础上。因 为系统对典型输入信号的响应特性与系统对实际输入信号 的响应特性之间存在一定的关系，所以采用典型输入信号 来评价系统性能是合理的。选择典型输入信号的原则是：
1) 反 映 最 恶 劣 的 工 作 情 况 ； 2) 反 映 实 际 的 工 作 情 况 ； 3) 在数学上和实验中比较容易得到。
斜坡函数的定义为
0 t 0 r(t) Bt t 0
（3.3.5）
其中，B为速度阶跃值（见图3.3）。B＝1的斜坡函数 为单位斜坡函数，其一次微分为单位阶跃函数。
图3.3 斜坡函数
3.3 典型输入信号
单位斜坡函数的拉氏变换为
Lr(t) 1
s2
4．抛物线函数（或加速度阶跃函数） 抛物线函数的定义为
需要指出的是，只有稳定系统，对于其瞬态特性和稳 态特性的研究才是有意义的。
本节将讨论控制系统的瞬能性能分析，下一节介绍稳 态性能分析。
3.4 控制系统瞬态性能分析
3.4.1 瞬态性能指标
瞬态响应指的是一个控制系统在过渡过程中的状态和 输出的行为。所谓过渡过程，是指系统在外力的作用下 从一个稳态转移到另一个稳态的过程。下面我们着重分 析零状态下，线性定常连续系统受到单位阶跃函数输入 作用时，输出响应的瞬态性能指标。在控制系统中，把 阶跃信号当作对系统性能考验最为严重的输入信号。若 系统对该类输入信号的响应良好，则该系统对其它信号 的响应一般也是良好的。为了定量地说明控制系统对单 位阶跃输入信号的瞬态响应特性，通常采用一些瞬态性 能指标。
常用的典型输入信号有下面几种：
3.3 典型输入信号
1．脉冲函数
脉冲函数的定义为 r(t) A (t)
（3.3.1）
其中，A为脉冲函数的阶跃值，A=1的阶跃函数称为 单位阶跃函数，是狄拉克－函数，它的定义为
(t)
0
t0 t0
(t)dt
1
（3.3.2）
工程中常常用实际脉冲近似地表示理想脉冲。如图3.1
稳态响应是指当时间t趋于无穷大时系统的输出响应，它反映了 系统的精度。
3.1 时域分析的提法
系统产生瞬态响应的原因是，由于系统包含一些储 能元件，所以当输入信号作用于系统时，输出量不能立 即跟随输入信号而变化。而是在系统达到稳态响应之前 逐渐趋近于稳态响应的变化过程。
值得指出的是，通常人们只讨论稳定系统的时域响 应，而且往往通过在典型输入信号作用下系统输出的运 动状况对系统的运动性能进行分析。
一个稳定的线性定常连续系统对单位阶跃函数的响应 通常有衰减振荡和单调变化两种类型。具有衰减振荡的 瞬态过程如图3.11所示。
3.4 控制系统瞬态性能分析
图3.11 具有衰减振荡的单位阶跃响应 根据图中所显示的响应特性，我们来定义常用的瞬态性能指标，
对于任何一个控制系统，如果其数学模型及初始条件 、外界输入给定，我们总可以通过求出其时域响应表达 式来对其瞬态响应特性和稳态响应特性进行分析。粗略 地说，在控制系统的全部响应过程里，系统的瞬态性能 表现在过渡过程完结之前的响应中。系统性能的分析， 又以准确的定量方式来描述而被称为系统的性能指标。 在系统分析中，无论是本章介绍的时域分析法，还是后 面各章的其它系统分析方法，都是紧密地围绕系统的性 能指标来分析控制系统的。
通常人们关心的和便于直观分析的往往是系统对于外加作用的反 应情况，也就是当系统受外加作用所引起的输出（即x(t)）随时间 的变化规律，我们称其为系统的“时域响应”。系统的时域响应由 两部分组成：瞬态响应和稳态响应。（这是从稳定性角度分析）。
瞬态响应是指在输入信号的作用下，系统的输出量从初始状态到 达到一个新的稳定状态的响应过程（亦称为动态响应），又称过渡 过程。它还可以细分为状态响应和输出响应，通常用瞬态性能指标 描述，它反映了系统的品质。
L (t) 1
2．阶跃函数
阶跃函数的定义为
Байду номын сангаас
0 t 0
r(t)
A
t0
（3.3.4）
其中，A为阶跃函数的阶跃值（见图3.2）。A＝1的阶
跃函数为单位阶跃函数，记为1(t)，其一次微分为 (t)
图3.2 阶跃函数
3.3 典型输入信号
单位阶跃函数的拉氏变换为
Lr(t) 1
s
3．斜坡函数（或速度阶跃函数）
r(t)
01 2
Ct
2
t0 t0
（3.3.6）
其中，C为加速度阶跃值（见图3.4），C＝1的抛物线 函数为单位抛物线函数，其一次微分为单位斜坡函数。
图3.4 抛物线函数
3.3 典型输入信号
单位抛物线函数的拉氏变换为
Lr(t) 1
s3
5．正弦函数 正弦函数的定义为
r(t
)
0 A sin
t
t0 t0