3.静态电磁场边值问题计算方法

收藕日期：２００６—０８一ｌ ５ 作者简介：朱燎原（１９７３一），女，叶］国石油大学硕士研究生，主要从事电磁场计算厦仿真研究工作
万方数据
大学物理
第２６卷
”箍，妒吣≠１）
槽内电势的解析解为
≥。 罢ｓｉｎ箭ｓｎ器 妒（工，√）
鲁｜。
型。 ｓｈ昙
１”
１”
２数值法
电磁场数值计算是求解电磁场问题重要的方法 之一．它将电磁场原本连续的场域问题转换成离散 系统，并对其求解数值解．通过在场域离散化的模型 上求得各个点上的数值解，近似逼近连续场域的真 实解”１数值法的出现，使电磁场问题的分析研究 从经典方法进入到离散系统的数值分析方法，从而 使许多解析法很难解决的复杂的电磁场问题，有可 能通过电磁场的计算机辅助分析获得高精度的离散 解，同时可极大地促进各种电磁场数值计算方法的 发展有限差分法、有限元法是电磁场数值计算中 最常用的两种方法
ｂ‘ＮＩｌｍ面ｃａｌ Ａｎａｌ”ｉｓ ０ｆ Ｅｌ篦ｔⅫｎａｇＴ】ｅｔｋ Ｆｉｄｄ ＰｒｏＨ唧
［Ｊ］ＩＥＥＥ ｈａｒｌ龃ｃｔ Ｌ（Ⅲｍ Ｍａｇｎｅｌｌｃ＝ｓ，２００６，４２（８）：
ｌ ９６３．１ ９７３
［３］Ｋａｎａｌ，ＹａｓＬ】ｓｈｌ Ａｕｔ∞１ａｔｉｃ ｍ卷ｈ脚ｅｒａｔｉｏｎ ｆｏｒ ３Ｄ ｅｌ牧ｔｒｏ．
误差将更小．
２．２有限元法
有限元法是根据变分原理和离散化取得近似解
的方法．有限元法不是直接对电磁场的偏微分方程
去求解，而是先从偏微分方程边值问题出发，找出一
个能量泛函的积分式，并令其在满足第一类边界条
件的前提下取极值，即构成条件变分问题这个条
件变分问题是和偏微分方程边值问题等价的有限
Baidu Nhomakorabea
元法便是以条件变分问题为对象来求解电磁场
１
有限差分形式：孵ｊ１＝÷（珐…＋珐，一。＋妒？。，十
驴？“．）．设迭代精度为ｌＯ～，利用ＭＡＴＬＡＢ编制 的主要计算程序如下：
ｈｘ＝１１；ｈｙ＝６；
ｖｌ＝ｏｎｅｓ（ｈｙ，ｈｘ）；
％设置网格节点 ％设置行列二维数组
ｆｏｒ ｊ．１：ｈｘ
％上下两行的Ｄ试ｃｈｌｅｔ
边界条件
ｖ１（ｈｙ，ｊ） ｖ１（１，ｊ）＝０；
所示
圈４槽内等电势线分布（有限元法）
比较图３、图４，可以看出用有限差分和有限元 这两种方法对槽内电势分布的计算结果基本 相同．
查看本例的数值解容易发现，矩形场域中的电 势分布是左右对称的，说明计算的场域范围还可以 缩小１倍，即取矩形域左边或右边的一半进行分析 和计算即可这样可以减小计算机内存，取消冗余 数据．但要注意此时已变为混合型边界条件的电磁 场求解问题．槽内１／２区域电势满足的拉普拉斯方 程及边界条件为：
文献标识码：Ａ
文章编号：１０００—０７１２（２００７）０８．００２３—０４
在一个电磁场系统中，电场和磁场的计算对于 完成该系统的有效设计是极端重要的．常用的计算 电磁场问题的方法主要有两大类，其中每一类又包 含若干种方法，第一类是解析法；第二类是数值法 二维静态电磁场的边值问题是求解电磁场的基础， 本文以一个简单的二维静态电磁场边值问题为例介 绍常用的电磁场计算方法
ＭＡＴＬＡＢ有限差分程序及大型有限元分析软件ＡＮｓＹｓ求出了数值解，并与解析法得到的精确解进行比较，得出了用数值法
求解电磁场问题基本满足工程需要的结论采用数值计算时，对如何减小计算机内存，取消冗余数据，也做了进一步的讨论．
关键词：电磁场；数值分析；解析法；有限差分法；ＭＡＴＬＡＢ
中国分类号：（）４１４ ４
第２６卷第８期 ２００７年８月
大学物理 ｃＯＬＬＥ（迕 ＰＨＹＳＩＣＳ
Ｖ０１．２６ Ｎｏ ８ Ａｕｇ ２００７
静态电磁场边值问题计算方法
宋燎原１，王 平１，张海峰１，李柱银２
（１中吲什油大学信控学院，山东东营２５７（）６１；２胜利石油管理局井下作业公司，山东东营２５７０７７）
摘要：介绍常用的电磁场分析方法——解析法、有限差分法、有限元法以静态电磁场边值问题为例，分别用自己编写的
０ １ｌ ２８８ ８ ２３ ６８２ ６
４５ ｌ ３５ ６
３８ ３９４ ６
６６ ８４８ ８ ９５ １０５ ７
５６ ８６５ ０ ８０ ９０１ ７
０
０
０
８ ２ ０１＆ ４ ３１１ ９ ０
１７ ２０６ ４
９ ０４５ ９ ０
２７ ８９５ ３ １４ ６６５ ４ ０
４１ ３１４ ８ ２１ ７２０ ５ ０ ５８ ７７８ ５ ３０ ９０１ ７ ０
＝Ｏ 竺ｙ
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３结束语
计算电磁学之所以能取代经典电磁学而成为现 代电磁理论研究的主流，主要得益于计算机硬件和 软件的飞速发展以及计算数学的丰硕成果计算机 内存容量不断增大，计算速度不断提高，软件功能不 断强大，计算方法不断改进，再加上并行计算机的使 用，使得我们能解决的电磁学问题越来越大、越来越 复杂，相对于经典电磁学而奇，数值方法几乎不再受 限于边界的约束，能解决各种类型的复杂问题“．
计算结果如下：本倒采用简单迭代法，经６６次 迭代后，电势数值解收敛于某一固定值场内所划 分的网格点的电势的计算结果如表１所示若采用
超松弛迭代法：科ｊ１ ２ Ｐ？，，＋詈（兢…＋辨ｊ！ｔ＋
肌２可乖亟霁点札 科：：，，＋Ｐ？一，一４霞，）（其中ｍ为松弛因子，最佳值
ｍ，”分别为ｚ、ｙ方向的网格数），收敛速度将更 快．
１解析法
１８６４年，Ｍａｘｗｅｌｌ在前人理沦和实验的基础上 建立了统一的电磁场理论，并用数学模型揭示了自 然界一切宏观电磁现象所遵循的普遍规律，这就是 Ｍａｘｗｅｌｌ方程组．笼统而言，所有的宏观电磁问题 都可以归结为ＭａｘｗｅＵ方程组在各种边界条件下的 求解问题解析法包括建立和求解偏微分方程或积 分方程严格求解偏微分方程的经典方法是分离变 量法，即在可分离变量的坐标系中求解ＭａｘｗｅＵ方 程组或其退化形式，最后得到解析解严格的求解 积分方程的方法主要是变换数学法
伊０ １ 一无限长直接地金属槽，其ｊ壁电势为
零，顶盖与三壁绝缘且电势为Ｖ。ｓｉｎ兰ｒ，其中Ｖ。＝
“
１００ｖ，截面长宽分别为口＝ｌＯ ｃｍ和６＝５ ｃｍ，如图 １所示求金属槽内的电势分布…．
分析 金属槽无限长，故槽内电势与坐标。 无关由于槽内各点上电荷密度ｐ＝０，槽内电势 满足二维直角坐标系中的拉普拉斯方程及其边界 条件：
４．２８８ ２）／４．２８８ ２＝０ ５２６ ８％，第４行第９列网格
图２电势分布三维曲面图
点数值解与精确解之间的误差（２７ ８９５ ３—２７．７９７ ７）／ ２７．７９７ ７＝０．３５ｌ １％，其他点数值计算的误差也都
很小，用数值解代替精确的解析解完全满足工程需
要若进一步细分网格，得到的解与精确解之间的
１００＊自ｎ（ｐｉ＊（ｊ—１）／（ｈｘ一１））
ｆｏｒ ｉ＝ｌ：ｈｖ
ｖ１（ｉ，１）＝Ｏ； ｖｌ（ｉ，ｈｘ）＝０； ｅｎｄ
％左右两列的Ｄｌｒｉｃｈｌｅｔ 边界条件
ｖ２＝ｖ１；ｍａｘｔ＝１；ｔ＝Ｏ； ｋ＝０：
％初始化
ｗｈｉｌｅ（ｍａｘｔ＞ｌｅ ｋ＝ｋ＋１：
６）％由ｖ１迭代，算出ｖ２ 迭代精度Ｏ ０００ ００１ ％迭代次数
０
Ｏ
Ｏ
８．１５６ ７ １７ １２５ １
４ ２８８ ２ ０ ９ ００３ ２ ０
２７ ７９７ ７ １４ ６１４ １ ０
４１ ２３６ ４ ２ｌ ６７９ ２ ０
５８ ７７８ ５ ３０ ９０１ ７ ０
万方数据
大学物理
第２６卷
国际学术界对有限元法的理论、计算及各方面 的应用做了大量的工作，许多问题都有现成的程序， 可用的商业软件相对较多”１，如美国Ａｎ∞ｆｔ公司的 Ｍａｘｗｅｌｌ和美国ｓｗａｎｓ（）ｎ Ａｎａｌｙｓｌｓ公司推出的Ａｎ— ｓｙｓ．Ａｎｓｙｓ软件是融结构、热、流体、电磁、声学于一 体的大型通用有限元软件，可用来求解不同情况下 的静态电磁场问题
万方数据
第８期
宋燎原，等：静态电磁场边值问胚计算方法 表１场域内网格点电势的数值计算结果——用有限差分法
１
０
２
０
３
Ｏ
４
０
５
０
６
０
０ ４ ３１１ ９ ９ ０４５ ９ １４ ６６５ ４ ２ｌ ７２０ ５ ３０ ９０１ ７
０ ８ ２０１ ８ １７ ２０６ ４ ２７．８９５ ３ ４ｌ ３１４ ８ ５８ ７７８ ５
图ｌ金属槽截面
ｆ舞＋囊＝ｏ
㈩
驴（ｚ，ｙ）ｌ ＝ｏ
（２）
｛ｐ（“ｙ）Ｊ ＝ｏ
（３）
妒（ｚ，＿）Ｊ ＝ｏ
（４）
ｉｆ（“＿）Ｌ ２Ｖ扭ｎ》
（５）
应用分离变量法，得到满足方程（１）和边界条件式 （２）一式（４）的解的形式为
ｆ（“ｙ）２∑Ａ—ｎ孚ｓｈ半
代人边界条件（５）得
％ｉｎ》＝∑屯ｓｉｎ旦笋ｓｈ竽
比较系数得：
０ １３】９７ ９ ２７ ７０９ ｌ ４４ ９７７ ６ ６６ ７２１ ９ ９５ １０５ ７
０ １３ ８７７ １ ２９ １３５ ０ ４７ ２９２ ２ ７０ １５５ ５ １００ ０００ ０
０ １３ １９７ ９ ２７ ７０９ １ ４４ ９７７ ６ ６６ ７２ｌ ９ ９５ １０５ ７
０ １１ ２２６ ８ ２３ ５７０ ７ ３８ ２６０ ２ ５６ ７５７ ０ ８０ ９０ｌ ７
ｎｌａｘｔ＝Ｏ：
ｆｏｒｉ－２：ｈｙ—ｌ ｆｏｒｊ＝２：ｈｘ一１
ｖ２（ｉ，ｊ）＝（ｖｌ（ｉ，ｊ＋１）＋ｖ１（ｉ＋１，ｊ）＋ｖ２（ｉ－１，ｊ） 十ｖ２（ｉ，ｊ＿１））／４；％拉氏差分方程式
ｔ＝ａｂｓ（ｖ２（ｉ，ｊ）一ｖ１（ｉ，ｊ））； ｉｆ（ｔ＞ｍａｘｔ）ｍａｘｔ＝ｔ；ｅｎｄ
ｅｎｄ
ｅｎｄ
ｖｌ＝ｖ２：
ｅｎｄ
本文选用ＭＡＴＬＡＢ来编写程序，ＭＡＴＬＡＢ是 近年来十分流行的通用性很强的优秀软件，它的程 序简单明了，容易看懂”ｏ而且ＭＡＴＬＡＢ还具有一 些更方便的特殊功能，如有专门实现偏微分方程数 值求解的工具箱ＰＤＥ Ｔ００ｌｂｏｘ等，使用这些工具箱 能够直观、快速、准确、形象地描述数值计算的结果
为简单起见，取步长＾＝１，ｚ、ｙ方向的网格数 为优＝１０，ｎ＝５，共有１０×５＝５０个网孔，１１×６＝ ６６个节点，其中槽内节点（电势代求点）有９×４＝３６ 个，边界节点（电势已知点）６６—３６＝３０个．采用１／４
对于上面的那个例子，用有限元软件Ａｎｓｙｓ 分析槽内电势分布．计算步骤如下：１）过滤图形 界面；２）建立模型；３）定义材料性能；４）定义单 元类型；５）指定区域材料属性和划分单元类型； ６）划分网格；７）加载和指定边界，注意：指定顶
盖边界条件妒（ｚ，ｙ）
㈣
＝Ｖ。ｓｉｎ兰ｚ时，要先进 “
行离散化；８）后处理槽内电势分布结果如图４
当然，经典电磁理论的研究也一直在进行着，它 是计算电磁学的理论基础，没有它，计算电磁学也不 可能得到蓬勃的发展．
参考文献：
［１］冯慈璋，马西奎工程电磁场导论［Ｍ］北京：高等教 育出版社，２０００：３２ ４０
［２． Ｄｌａｂ，ＥｍａｄＩ ｅｍａｄ Ｉｎｖｅｒｔｅｄ ａｎｄ Ｆｈｗａｒｄ Ｐｒｅｌ鞠ｃｈ Ｍ０ｄｅｌｓ
０ １１ ２８８ ８ ２３ ６８２ ６ ３８ ３９４ ６ ５６ ８６５ ０ ８０ ９０ｌ ７
０
Ｏ
１３ ２７０ ８ ２７ ８４０ ６
１３ ９５３ ７ ２９ ２７３ ３
４５ １３５ ６
４７ ４５８ ４
６６ ８４８ ８
７０ ２８９ ０
９５ １０５ ７ １００ ０００ ０
０ １３ ２７０ ８ ２７ ８４０ ６
上面的例子属于规则形状的第一类边值问题， 通过分离变量法已得到精确的解析解，为了与解析 解作比较，以验迁数值计算的精度，还以此为例对槽 内电势进行数值分析 ２．１有限差分法
有限差分法是将偏微分方程中的偏导函数用差 商形式来表示，将所求电磁场的区域中计算无限多 个点的函数值变为计算有限多个点上的函数（这一 过程称之为离散化），求出数值解的方法”． ２．１ １有限差分法的计算
图３槽内等电势线、电场线分布（有限差分法）
问题．
寰２由解析法得到的糟内电势的精确解
ｌ
０
２
０
３
０
４
０
５
０
６
０
Ｏ ４ ２８８ ２ ９ ００３ ２ １４ ６１４１ ２ｌ ６７９ ２ ３０ ９０ｌ ７
０ ８ １５６ ７ １７ １２５１ ２７ ７９７ ７ ４１ ２３６ ４ ５８ ７７８ ５
０ １１ ２２６ ８ ２３．５７０ ７ ３８ ２６０ ２ ５６ ７５７ ０ ８０ ９０ｌ ７
矩形槽内电势分布三维曲面图如图２所示 槽 内等势线、电场线分布如图３所示．
２．１．２用有限差分法所得数值解与精确解析解的 比较
利用解析解妒（ｚ，ｙ）＝—告ｓｉｎ坚ｓｈ型＝
ｓｈ翌
８
。
÷等ｓｉｎ器ｓｈ器用ＭＡＴＬＡＢ编程求各网格点上电
“ｉ
势的精确解如表２所示．
对照表ｌ、表２进行误差分析：第２行第２列网
格点数值解与精确解之间的误差（４．３儿９—