在圆锥曲线中的几何图形的面积问题

在圆锥曲线中的几何图形的面积问题（四）

在圆锥曲线中，经常要求最值问题：常常会平面图形的面积问题。我们要分析图形的面积的变化是什么量引起的？我们根据变化的量来建立等量关系，尽量化简变成了两个变量之间的函数关系。我们借助函数来求最值，可以是二次函数法、可以是导数法。若不能变成函数的关系，我们利用方程的几何意义来求最值，我们借助圆锥曲线和直线与圆的知识来解决。我们也可借助参数，把问题变成以“角”为参变量的参数方程，我们借助三角函数的知识来求最值问题。若方程中含有三个变量时，我们可虑有均值不等式法来求最值。在寻找等量关系之间时，恰当地利用原圆锥曲线的性质：变量的取值范围、利用图像的对称性，利用圆锥曲线的参数方程等等知识。

在圆锥曲线中，我们经常求圆中的有关三角形的面积时，通常我们要选择圆心到弦的距离为参数来进行寻找等量关系，便于我们整体思想来化简问题，简化问题，便于我们解决问题。

例4已知椭圆13

42

2=+y x ， 直线x t =（0t >）与曲线E 交于不同的两点,M N ,以线段MN 为直径作圆C ,圆心为C ．若圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，求ABC ∆的面积的最大值.

）解法1：依题意，圆心为(,0)(02)C t t <<．

由22,1,43x t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩

得221234t y -=. ∴ 圆C

的半径为r =． ∵ 圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，且圆心C 到y 轴的距离d t =，

∴

0t <<

，即07

t <<． ∴

弦长||AB === ∴ABC ∆

的面积12S =

⋅

)2127

t =

- )22

1272

t +-≤

=

=，即

t =. ∴ ABC ∆的面积的最大值为7

． 解法2：依题意，圆心为(,0)(02)C t t <<．

由22,1,43

x t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得221234t

y -=. ∴ 圆C 的半径为2

r =． ∴ 圆C 的方程为2

22

123()4t x t y --+=． ∵ 圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，且圆心C

到y 轴的距离d t =，

∴

02t <<，即07

t <<． 在圆C 的方程2

22

123()4t x t y

--+=中，令0x =，得

y = ∴ 弦长||AB =

∴ABC ∆

的面积12S =

⋅

)2127

t =

- )22

1272

t +-≤

7=.

=，即7t

=时，等号成立. ∴ ABC ∆．