2021年高中数学综合质量评估新人教A版选修(I)

2021年高中数学综合质量评估新人教A版选修(I)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.“x>3”是“不等式x2-2x>0”的( )

A.充分不必要条件

B.充分必要条件

C.必要不充分条件

D.非充分必要条件

【解析】选A.解不等式x2-2x>0得x<0或x>2,故“x>3”是“不等式x2-2x>0”的充分不必要条件.

2.(xx·临沂高二检测)命题:“?x∈R,都有x2-x+1>0”的否定是( )

A.?x∈R,都有x2-x+1≤0

B.?x0∈R,使-x0+1>0

C.?x0∈R,使-x0+1≤0

D.?x0∈R,使x2-x0+1<0

【解析】选C.全称命题的否定是特称命题.

3.函数y=f(x)的图象如图1所示,则y=f′(x)的图象可能是( )

【解析】选D.由函数y=f(x)的图象可知当x<0时,函数单调递增,故f′(x)>0,当x>0时,函数单调递减,故f′(x)<0.

4.(xx·河南南阳高二期末)若函数f(x)=x3+ax2+3x-9在x=-1时取得极值,则a等于( )

A.1

B.2

C.3

D.4

【解析】选C.f′(x)=3x2+2ax+3.由题意知f′(-1)=0,解得a=3.

5.设曲线y=ax2在点(1,a)处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a的值为( )

A.1

B.

C.-

D.-1

【解析】选A.y′=2ax,于是曲线y=ax2在点(1,a)处切线的斜率为2a,由题意得2a=2,解得a=1.

6.已知点P是双曲线-=1(a>0)上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1|=3,则|PF2|等于( )

A.7

B.6

C.5

D.3

【解题指南】先根据渐近线方程求出a,再根据双曲线的定义求|PF2|.

【解析】选A.由双曲线方程得渐近线方程为3x±ay=0,

则a=2,双曲线中c=,b=3,

由|PF1|=3知P为双曲线左支上一点,

则|PF2|=|PF1|+4=7.

7.椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,则双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率

为( )

A. B. C. D.

【解析】选B.由题意知=,得a2=4b2,

又a>b>0,所以a=2b.

所以双曲线的离心率e===.

【补偿训练】设双曲线-=1的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为( ) A. B.5 C. D.

【解析】选D.设双曲线的渐近线方程为y=kx,这条直线与抛物线y=x2+1相切,联立方程得整理得x2-kx+1=0,则Δ=k2-4=0,解得k=±2,即=2,故双曲线的离心率e====.

8.(xx·青岛高二检测)设函数f(x)=x2-9lnx在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是( )

A.(1,2]

B.[4,+∞)

C.(-∞,2]

D.(0,3]

【解析】选A.f′(x)=x-=(x>0),

令f′(x)≤0得0

所以f(x)在(0,3]上单调递减,

所以解得1

9.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为( )

A.-=1

B.-=1

C.-=1

D.-=1

【解析】选B.因为双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,所以F(-6,0)是双曲线的左焦点,即a2+b2=36,又双曲线的一条渐近线方程是y=x,所以=,解得a2=9,b2=27,所以双曲线的方程为-=1. 10.(xx·大连高二检测)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,M是抛物线C上的点,若三角形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36π,则p的值为( )

A.2

B.4

C.6

D.8

【解析】选D.因为△OFM的外接圆与抛物线C:y2=2px(p>0)的准线相切,所以

△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径.

因为圆的面积为36π,所以圆的半径为6,

又因为圆心在OF的垂直平分线上,|OF|=,

所以+=6,p=8.

11.(xx·济南二模)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x1处取得极大值,在x2处取得极小值,满足x1∈(-1,0),x2∈(0,1),则的取值范围是( )

A.(0,2)

B.(1,3)

C.[0,3]

D.[1,3]

【解析】选B.因为f(x)=x3+ax2+bx+c,

所以f′(x)=x2+ax+b.

因为函数f(x)在区间(-1,0)内取得极大值,在区间(0,1)内取得极小值,

所以f′(x)=x2+ax+b=0在(-1,0)和(0,1)内各有一个根,

f′(0)<0,f′(-1)>0,f′(1)>0,

即

在aOb坐标系中画出其表示的区域,如图,

=1+2×,

令m=,其几何意义为区域中任意一点与点(-2,-1)连线的斜率,

分析可得0<<1,

则1<<3,

所以的取值范围是(1,3).

12.(xx·厦门模拟)若点O和点F(-2,0)分别是双曲线-y2=1(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则·的取值范围为( )

A.[3-2,+∞)

B.[3+2,+∞)

C. D.

【解析】选B.因为F(-2,0)是已知双曲线的左焦点,所以a2+1=4,即a2=3,所以双曲线方程为-y2=1,设点

P(x0,y0)(x0≥),则有-=1(x0≥),解得=-1

(x0≥),因为=(x0+2,y0),=(x0,y0),所以·=x0(x0+2)+=x0(x0+2)+

-1=+2x0-1,此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=-,因为x0≥,所以当x0=时,·取得最小值×3+2-1=3+2,故·的取值范围是[3+2,+∞).

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)

13.函数f(x)=lnx的图象在点(e,f(e))处的切线方程是.

【解析】因为f′(x)=,

所以f′(e)=,

又f(e)=1,所以切线方程为y-1=(x-e),

即y=x.

答案:y=x

14.若命题“?x0∈R,a+x0+1<0”是假命题,则a的取值范围是.

【解析】因为?x0∈R,a+x0+1<0是假命题,

所以?x∈R,ax2+x+1≥0恒成立,

当a=0时,1≥0,命题成立.

当a≠0时,

即

所以a≥,

所以a的取值范围为a≥或a=0.

答案:a≥或a=0

15.(xx·临沂高二检测)若直线y=kx是y=f(x)=lnx的一条切线,则k= .

【解析】设切点坐标为(x0,y0).

因为y=lnx,所以y′=.

所以f′(x0)==k.

因为点(x0,y0)既在直线y=kx上,

也在曲线y=lnx上,

所以

把k=代入①式得y0=1,

再把y0=1代入②式求出x0=e.

所以k==.

答案:

16.(xx·北京高考)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(,0),则a= ,b= .

【解题指南】焦点在x轴的双曲线的渐近线为y=±x,焦点(±c,0).

【解析】因为渐近线方程y=-2x,所以=2①.焦点(,0),所以c=.所以a2+b2=c2=5②.由①②联立解得a=1,b=2. 答案:1 2

三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)(xx·西安高二检测)命题p:关于x的不等式x2+2ax+4>0对一切x∈R恒成立,q:函数f(x)=(3-2a)x 是增函数,若p或q为真,p且q为假,求实数a的取值范围.

【解析】设g(x)=x2+2ax+4,若p真,

由于关于x的不等式x2+2ax+4>0对一切x∈R恒成立,

所以函数g(x)的图象开口向上且与x轴没有交点,

故Δ=4a2-16<0,

所以-2

若q真,即函数f(x)=(3-2a)x是增函数,

则3-2a>1,所以a<1.

又由于p或q为真,p且q为假,所以p和q一真一假,

(1)若p真q假,则

所以1≤a<2.

(2)若p假q真,

则