2021年高中数学综合质量评估新人教A版选修(I)
人教A版高中数学选修一模块质量评估.docx
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模块质量评估(第一至第三章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求)1.命题“若A⊆B,则A=B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数是( )A.0B.2C.3D.4【解析】选B.原命题为假,故其逆否命题为假;其逆命题为真,故其否命题为真;故共有2个真命题.2.若在区间(a,b)内,f′(x)>0,且f(a)≥0,则在(a,b)内有( )A.f(x)>0B.f(x)<0C.f(x)=0D.不能确定【解析】选A.因为f(x)在(a,b)上为增函数,所以f(x)>f(a)≥0.3.已知命题p:∀x∈[-1,2],函数f(x)=x2-x的值大于0.若p∨q是真命题,则命题q可以是( )A.∃x∈(-1,1),使得cosx<12,2)上有零点”的必要不充分条B.“-3<m<0”是“函数f(x)=x+log2x+m在区间(12件C.x=π6是曲线f(x)=√3sin2x+cos2x的一条对称轴D.若x∈(0,2),则在曲线f(x)=e x(x-2)上任意一点处的切线的斜率不小于-1e 【解题指南】首先根据题中所给的条件,判断出命题p是假命题,再结合p∨q是真命题从而断定命题q是真命题,下边关于命题q所涉及的知识点比较多,需要逐个去分析,A项需要对余弦函数的性质要熟练掌握,B项利用函数零点存在性定理即可解决,C项将函数解析式化简,利用其性质求得,D项利用导数的几何意义,求导函数的值域即可,所以对学生的要求标准比较高.【解析】选C.可判断命题p是假命题,若p∨q是真命题,则命题q为真命题,A,B,D均不正确.f(x)=√3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6),则x=π6是曲线f(x)的一条对称轴.4.“a>0”是“|a|>0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.因为|a|>0,所以a>0或a<0,所以a>0⇒|a|>0,但|a|>0a>0,所以“a>0”是“|a|>0”的充分不必要条件.5.(2016·长春高二检测)若抛物线的准线方程为x=-7,则抛物线的标准方程为( )A.x2=-28yB.x2=28yC.y2=-28xD.y2=28x【解析】选D.由抛物线的准线方程为x=-7,可以得出该抛物线的焦点在x轴上,开口向右,设抛物线标准方程为y2=2px(p>0),则p2=7,所以p=14,抛物线方程为y2=28x.【补偿训练】(2016·邯郸高二检测)抛物线的准线方程为y=-4,则抛物线的标准方程为( )A.x2=16yB.x2=8yC.y2=16xD.y2=8x【解析】选A.由题意可知抛物线的焦点在y轴的正半轴,设抛物线标准方程为:x2=2py(p>0),因为抛物线的准线方程为y=-4,所以-p2=-4,所以p=8,所以抛物线的标准方程为:x2=16y.6.当a取下列哪个值时,函数f(x)=2x3-9x2+12x-a恰好有两个不同的零点( )A.8B.6C.4D.2【解析】选C.f′(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2),知函数的极值点为x=1,x=2,且f(1)=5-a,f(2)=4-a,结合选项可知当a=4时,函数f(x)恰好有两个零点.7.已知命题p:函数f(x)=sinxcosx的最小正周期为π;命题q:函数g(x)=sin(x+π2)的图象关于原点对称.则下列命题中为真命题的是( ) A.p∧q B.p∨q C.¬p D.(¬p)∨q【解析】选B.命题p:函数f(x)=sinxcosx=12sin2x,最小正周期为T=2π2,故命题p是真命题;命题q:函数g(x)=sin(x+π2)=cosx,图象关于y轴对称,故命题q为假命题,所以p∨q为真命题.8.设椭圆x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,焦距为2c,直线y=√3(x+c)与椭圆的一个交点为M,若∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1,则椭圆离心率为 ( ) A.√5−12B.2-√3C.√3−12D.√3-1【解析】选D.如图所示,直线y=√3(x+c)的斜率k=√3,所以倾斜角α=60°, 因为∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1, 所以∠MF 2F 1=30°, 所以∠F 1MF 2=90°, 设|MF 2|=m,|MF 1|=n,则有{m +n =2a,m 2+n 2=|F 1F 2|2=4c 2,m =√3n,解得e=c a=√3-1.【补偿训练】设F 1,F 2是椭圆x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,P 为直线x=32a 上一点,△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形,则椭圆的离心率e 为 ( ) A.12B.23C.34D.45【解析】选C.因为△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形,所以|PF 2|=|F 1F 2|,因为P 为直线x=32a 上一点,所以2(32a −c)=2c,所以椭圆的离心率为e=c a =34.9.已知函数f(x)=13x 3-2x 2+3m,x ∈[0,+∞),若f(x)+5≥0恒成立,则实数m 的取值范围是 ( ) A.[179,+∞) B.(179,+∞)C.(-∞,2]D.(-∞,2) 【解析】选A.f ′(x)=x 2-4x, 由f ′(x)>0,得x>4或x<0. 所以f(x)在(0,4)上单调递减, 在(4,+∞)上单调递增,所以当x ∈[0,+∞)时,f(x)min =f(4).所以要使f(x)+5≥0恒成立,只需f(4)+5≥0恒成立即可,代入解之得m ≥179.【补偿训练】已知f(x)=alnx+12x 2(a>0),若对任意两个不等的正实数x 1,x 2都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2≥2恒成立,则a 的取值范围是 .【解析】因为f(x)=alnx+12x 2(a>0), 对任意两个不等的正实数x 1,x 2都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2≥2恒成立,所以f ′(x)=ax +x ≥2(x>0)恒成立,所以a ≥2x-x 2恒成立, 令g(x)=2x-x 2=-(x-1)2+1, 则a ≥g(x)max ,因为g(x)=2x-x 2=-(x-1)2+1为开口方向向下,对称轴为x=1的抛物线,所以当x=1时,g(x)=2x-x 2取得最大值g(1)=1, 所以a ≥1.即a 的取值范围是[1,+∞). 答案:[1,+∞)10.(2016·南昌高二检测)设O 为坐标原点,F 1,F 2是x 2a2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的焦点,若在双曲线上存在点P,满足∠F 1PF 2=60°,|OP|=√7a,则该双曲线的渐近线方程 为 ( )A.x ±√3y=0B.√3x ±y=0C.x ±√2y=0D.√2x ±y=0【解析】选D.如图所示,因为O 是F 1F 2的中点,PF 1→+PF 2→=2PO →,所以(PF 1→+PF 2→)2=(2PO →)2.即|PF 1→|2+|PF 2→|2+2|PF 1→|·|PF 2→|·cos60°=4|PO →|2. 又因为|PO|=√7a,所以|PF 1→|2+|PF 2→|2+|PF 1→||PF 2→|=28a 2. ① 又由双曲线定义得|PF 1|-|PF 2|=2a, 所以(|PF 1|-|PF 2|)2=4a 2.即|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|=4a 2. ② 由①-②得|PF 1|·|PF 2|=8a 2, 所以|PF 1|2+|PF 2|2=20a 2. 在△F 1PF 2中,由余弦定理得cos60°=|PF 1|2+|PF 2|2−|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|,所以8a 2=20a 2-4c 2.即c 2=3a 2. 又因为c 2=a 2+b 2,所以b 2=2a 2. 即b 2a 2=2,ba=√2. 所以双曲线的渐近线方程为√2x ±y=0.11.(2015·全国卷Ⅰ)设函数f(x)=e x (2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x 0,使得f(x 0)<0,则a 的取值范围是 ( ) A.[−32e ,1) B.[−32e ,34)C.[32e ,34) D.[32e,1)【解析】选D.设g(x)=e x (2x-1),y=ax-a,由题意知存在唯一的整数x 0,使得g(x 0)在直线y=ax-a 的下方.因为g ′(x)=e x (2x+1),所以当x<-12时,g ′(x)<0,当x>-12时,g ′(x)>0,所以,当x=-12时,[g(x)]min =-2e−12.当x=0时,g(0)=-1,g(1)=e,直线y=ax-a 恒过点(1,0),且斜率为a,故-a>g(0)=-1,且g(-1)=-3e -1≥-a-a,解得32e≤a<1.12.已知a,b ∈R,直线y=ax+b+π2与函数f(x)=tanx 的图象在x=-π4处相切,设g(x)=e x +bx 2+a,若在区间[1,2]上,不等式m ≤g(x)≤m 2-2恒成立,则实数 m ( )A.有最小值-eB.有最小值eC.有最大值eD.有最大值e+1 【解析】选D.注意到函数f(x)=tanx=sinx cosx,所以f ′(x)=cosx 2−sinx·(−sinx)cos 2x =1cos 2x,即得a=f ′(−π4)=2,又点(−π4,−1)在直线y=ax+b+π2上,所以-1=2·(−π4)+b+π2,得b=-1,又g(x)=e x -x 2+2,所以g ′(x)=e x -2x,g ″(x)=e x -2, 当x ∈[1,2]时,g ″(x)≥g ″(1)=e-2>0,所以g ′(x)在[1,2]上单调递增,所以g ′(x)≥g(1)=e-2>0,所以g(x)在[1,2]上单调递增,根据不等式恒成立的意义可得{m ≤g(x)min =g(1)=e +1,m 2−2≥g(x)max =g(2)=e 2−2,m 2−2≥m所以m ≤-e 或e ≤m ≤e+1, 所以m 的最大值为e+1,无最小值.二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上) 13.若f(x)在(a,b)内存在导数,则“f ′(x)<0”是“f(x)在(a,b)内单调递减”的 条件.【解析】对于导数存在的函数f(x),若f ′(x)<0,则f(x)在区间(a,b)内单调递减,反过来,函数f(x)在(a,b)内单调递减,不一定恒有f ′(x)<0,如f(x)=-x 3在R 上是单调递减的,但f ′(x)≤0. 答案:充分不必要14.已知椭圆x 220+y 2k =1的焦距为6,则k 的值是 .【解析】当椭圆的焦点在x 轴时,a 2=20,b 2=k, 所以c 2=a 2-b 2=20-k,所以c=√20−k ,因为椭圆x 220+y 2k=1的焦距为6,所以c=√20−k =3,所以k=11; 当椭圆的焦点在y 轴时,a 2=k,b 2=20, 所以c 2=a 2-b 2=k-20,所以c=√k −20, 因为椭圆x 220+y 2k =1的焦距为6,所以c=√k −20=3,所以k=29. 答案:11或29【误区警示】焦点的位置忽视讨论焦点的位置,从而导致漏解,对双曲线与椭圆的题目一定要分清焦点的位置,若不能确定要进行分类讨论.15.若要做一个容积为324的方底(底为正方形)无盖的水箱,则它的高为 时,材料最省.【解题指南】把材料最省问题转化为水箱各面的面积之和最小问题,然后列出所用材料的面积关于边长a 的函数关系式.【解析】设水箱的高度为h,底面边长为a,那么V=a 2h=324,则h=324a ,水箱所用材料的面积是S=a 2+4ah=a 2+1 296a,令S ′=2a-1 296a 2=0,得a 3=648,a=6√33, 所以h=324a2=324(6√33)2=3√33, 经检验当水箱的高为3√33时,材料最省. 答案:3√3316.下列语句:①“x 2=1”是“x=1”的充分不必要条件;②“x=2时,x2-3x+2=0”的否命题为真命题;③命题“∃x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是:“∀x∈R,均有x2+x+1<0”;④命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为真命题.其中说法错误的是.【解析】因为当x=1成立时有x2=1成立;当x2=1时,不一定有x=1,所以“x2=1”是“x=1”的必要不充分条件,故①错;“x=2时,x2-3x+2=0”的否命题为“x≠2时,有x2-3x+2≠0”,而x=1时,x2-3x+2=0,故②错;命题“∃x∈R,使得x2+x+1<0”的否定应为:“∀x∈R,均有x2+x+1≥0”,故③错误;命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为“若sinx≠siny,则x≠y”是真命题,故④正确.答案:①②③【误区警示】“否命题”与“命题的否定”如果原命题是“若p则q”,那么这个命题的否命题是“若非p,则非q”,而这个命题的否定是“若p则非q”.可见,否命题既否定条件又否定结论,而命题的否定只否定结论.一个命题与它的否定形式是完全对立的.两者之间有且只有一个成立.“都是”的否定是“不都是”,“不都是”包含“都不是”,“至少有一个”的否定是“一个都没有”,“所有的”的否定是“某些”,“任意”的否定是“某个”,“至多有一个”的否定是“至少有两个”,“至多有n个”的否定是“至少有n+1个”,“任意两个”的否定是“某两个”.“p且q”的形式,其否定应该为“非p或非q”,“p或q”的形式,其否定应该为“非p且非q”.三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)命题p:方程x 2k−3+y 2k+3=1,(k ∈R)表示双曲线,命题q:函数y=log 2(kx 2+kx+1)的定义域为R,若命题p ∨q 为真命题,p ∧q 为假命题,求实数k 的取值范围.【解题指南】首先分别求出命题p,q 为真命题时,实数k 的取值范围,然后由真值表并结合已知条件命题p,q 的关系可得,命题p,q 为一真一假,最后根据补集的思想可得出实数k 的取值范围.【解析】命题p:由(k-3)(k+3)<0,得-3<k<3, 命题q:令t=kx 2+kx+1, 由t>0对x ∈R 恒成立.(1)当k=0时,1>0,所以k=0符合题意.(2)当k ≠0时,{k >0,Δ<0,解得{k >0,0<k <4,所以q:0≤k<4,又因为p ∨q 为真命题,p ∧q 为假命题,所以{−3<k <3,k <0或k ≥4或{k ≤−3或k ≥3,0≤k <4,所以-3<k<0或3≤k<4.【补偿训练】命题p:方程x 2+mx+1=0有两个不等的负实数根,命题q:方程4x 2+4(m-2)x+1=0无实数根.若“p 或q ”为真命题,“p 且q ”为假命题,求m 的取值范围.【解析】命题p:方程x 2+mx+1=0有两个不等的负实根,所以{Δ=m 2−4>0,m >0,解得m>2.命题q:方程4x 2+4(m-2)x+1=0无实根, 所以Δ′=16(m-2)2-16=16(m 2-4m+3)<0, 解得1<m<3.因为“p 或q ”为真,“p 且q ”为假, 所以p 为真、q 为假或p 为假、q 为真,则{m >2,m ≤1或m ≥3,或{m ≤2,1<m <3,解得m ≥3或1<m ≤2.18.(12分)设椭圆C:x 2a+y 2b =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 是椭圆短轴的一个端点,且焦距为6,ΔPF 1F 2的周长为16. (1)求椭圆C 的方程.(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线l 被椭圆C 所截的线段的中点坐标.【解题指南】(1)利用椭圆的标准方程及其参数a,b,c 的关系即可得出.(2)把直线与椭圆的方程联立,利用根与系数的关系和线段的中点坐标公式即可得出. 【解析】(1)设椭圆的半焦距为c,则由题设得{2c =6,2a +2c =16,解得{a =5,c =3,所以b 2=a 2-c 2=52-32=16, 故所求C 的方程为x 225+y 216=1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y=45(x-3),将之代入C 的方程,得x 225+(x−3)225=1,即x 2-3x-8=0.设直线l 与椭圆有两个交点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 因为x 1+x 2=3,所以线段AB 中点的横坐标为x 1+x 22=32,纵坐标为45×(32−3)=-65.故所求线段的中点坐标为(32,−65).19.(12分)已知函数f(x)=2lnx-x 2+ax(a ∈R). (1)当a=2时,求f(x)的图象在x=1处的切线方程.(2)若函数g(x)=f(x)-ax+m 在[1e ,e]上有两个零点,求实数m 的取值范围.【解析】(1)当a=2时,f(x)=2lnx-x 2+2x, f ′(x)=2x -2x+2,切点坐标为(1,1),切线的斜率k=f ′(1)=2, 则切线方程为y-1=2(x-1), 即y=2x-1. (2)g(x)=2lnx-x 2+m, 则g ′(x)=2x -2x=−2(x+1)(x−1)x.因为x ∈[1e,e],所以当g ′(x)=0时,x=1. 当1e <x<1时,g ′(x)>0;当1<x<e 时,g ′(x)<0.故g(x)在x=1处取得极大值g(1)=m-1. 又g (1e)=m-2-1e2,g(e)=m+2-e 2,g(e)-g (1e)=4-e 2+1e2<0,则g(e)<g (1e),所以g(x)在[1e,e]上的最小值是g(e).g(x)在[1e,e]上有两个零点的条件是{g(1)=m −1>0,g (1e)=m −2−1e2≤0,解得1<m ≤2+1e 2, 所以实数m 的取值范围是(1,2+1e ].20.(12分)(2016·广州高二检测)某食品厂进行蘑菇的深加工,每公斤蘑菇的成本20元,并且每公斤蘑菇的加工费为t 元(t 为常数,且2≤t ≤5),设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x 元(25≤x ≤40),根据市场调查,日销售量q 与e x 成反比,当每公斤蘑菇的出厂价为30元时,销售量为100公斤.(每日利润=日销售量×(每公斤出厂价-成本价-加工费)).(1)求该工厂的每日利润y 元与每公斤蘑菇的出厂价x 元的函数关系式. (2)若t=5,当每公斤蘑菇的出厂价x 为多少元时,该工厂的每日利润y 最大,并求最大值.【解析】(1)设日销售量q=ke ,则k e =100, 所以k=100e 30,所以日销售量q=100e 30e x,所以y=100e 30(x−20−t)e (25≤x ≤40,2≤t ≤5).(2)当t=5时,y=100e 30(x−25)e ,y ′=100e 30(26−x)e .由y ′≥0得x ≤26,由y ′≤0得x ≥26,所以y 在[25,26]上单调递增,在[26,40]上单调递减, 所以当x=26时,y max =100e 4.当每公斤蘑菇的出厂价为26元时,该工厂的利润最大,最大值为100e 4元.21.(12分)(2015·北京高考)设函数f(x)=x 22-klnx,k>0.(1)求f(x)的单调区间和极值.(2)证明若f(x)有零点,则f(x)在区间(1,√e 上仅有一个零点. 【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f ′(x)=x-k x =x 2−kx.因为k>0,所以令f ′(x)=0得x=√,列表如下:减区间为(0,√k ),增区间为(√k ,+∞). 当x=√k 时,取得极小值f(√k )=k−klnk 2.(2)当√k ≤1,即0<k ≤1时,f(x)在(1,√e 上单调递增, f(1)=12,f(√e )=e 2-k 2=e−k2>0,所以f(x)在区间(1,√e )上没有零点.当1<√k <√e ,即1<k<e 时,f(x)在(1,√k )上递减,在(√k ,√e )上递增, f(1)=12>0,f(√e )=e−k 2>0,f(√k )=k−klnk 2=k(1−lnk)2>0,此时函数没有零点.当√k ≥√e ,即k ≥e 时,f(x)在(1,√e )上单调递减,f(1)=12>0,f(√e )=e−k 2<0.所以f(x)在区间(1,√e )上仅有一个零点.综上,若f(x)有零点,则f(x)在区间(1,√e 上仅有一个零点.22.(12分)(2016·银川高二检测)已知椭圆的一个顶点为A(0,-1),焦点在x 轴上,离心率为√63. (1)求椭圆的方程.(2)设椭圆与直线y=kx+m(k ≠0)相交于不同的两点M,N,当|AM |=|AN |时,求m 的取值范围.【解题指南】(1)首先设出椭圆的标准方程为x 2a2+y 2b 2=1(a>b>0),然后由已知可得a,b,c 之间的关系,求解即可.(2)首先联立直线与椭圆的标准方程,并消去y 可得一元二次方程(1+3k 2)x 2+6kmx+3m 2-3=0,然后由直线与椭圆相交于不同的两点可得其判别式Δ>0,再设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),由根与系数的关系可得x 1+x 2,x 1x 2的值,即可得出MN 的中点P 的坐标,并结合已知条件可得等式3k 2=2m-1,最后得出m 的取值范围即可.【解析】(1)因为椭圆的焦点在x 轴上, 故设椭圆的方程为:x 2a+y 2b =1(a>b>0),又椭圆的一个顶点为A(0,-1),离心率为√63, 所以b=1,e=c a =√63,即b=1,c=√63a, 又a 2=b 2+c 2,所以a 2=1+23a 2,所以a 2=3,所以椭圆的方程为:x 23+y 2=1.(2)联立{x 23+y 2=1,y =kx +m,消y 得(1+3k 2)x 2+6kmx+3m 2-3=0,因为直线与椭圆相交于不同的两点, 设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),所以Δ=(6km)2-4(1+3k 2)(3m 2-3)>0, 得:3k 2-m 2+1>0,① 所以x 1+x 2=-6km 1+3k 2,x 1x 2=3m 2−31+3k 2,所以y 1+y 2=kx 1+m+kx 2+m=k(x 1+x 2)+2m=2m1+3k 2,取MN 的中点P,则点P (−3km1+3k 2,m1+3k 2),又|AM |=|AN |,则AP ⊥MN,所以由直线MN 的斜率k ≠0知直线AP 的斜率必存在, 所以k AP ·k=m1+3k 2+1−3km 1+3k 2·k=-1,化简得3k 2=2m-1, 代入①式得2m-1-m 2+1>0, 所以m 2-2m<0,所以0<m<2,所以m 的取值范围是(0,2).【补偿训练】(2016·梅州高二检测)如图所示,椭圆C:x 2-y 2m=1(0<m<1)的左顶点为A,M 是椭圆C 上异于点A 的任意一点,点P 与点A 关于点M 对称.(1)若点P 的坐标为(95,4√35),求m 的值.(2)若椭圆C 上存在点M,使得OP ⊥OM,求m 的取值范围.【解题指南】(1)由题意知M 是线段AP 的中点,由中点坐标公式可得点M 坐标,代入椭圆方程即可得到m 值.(2)设M(x 0,y 0)(-1<x 0<1),则x 02+y 02m=1,①由中点坐标公式可用M 坐标表示P 点坐标,由OP ⊥OM 得OP →·OM →=0②,联立①②消去y 0,分离出m 用基本不等式即可求得m 的范围.【解析】(1)依题意,M 是线段AP 的中点, 因为A(-1,0),P (95,4√35),所以,点M 的坐标为(25,2√35),由于点M 在椭圆C 上, 所以425+1225m=1,解得m=47.(2)设M(x 0,y 0)(-1<x 0<1),则x 02+y 02m=1,①因为M 是线段AP 的中点, 所以P(2x 0+1,2y 0). 因为OP ⊥OM, 所以OP →⊥OM →, 所以OP →·OM →=0, 即x 0(2x 0+1)+2y 02=0.② 由①,②消去y 0,整理得m=2x 02+x 02x 02−2,所以m=1+12(x 0+2)+6x 0+2−8≤12-√34,当且仅当x 0=-2+√3时,上式等号成立. 所以m 的取值范围是(0,12−√34]. 关闭Word 文档返回原板块。
2021-2022学年人教A版高中数学选修1-2 模块综合评价(一) Word版含答案
模块综合评价(一)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若z ＝4＋3i ，则z－|z |＝( ) A ．1 B ．－1 C.45＋35i D.45－35i 解析：z －|z |＝4－3i 42＋32＝45－35i. 答案：D2．下面几种推理是合情推理的是( ) ①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出全部三角形的内角和都是180°； ③张军某次考试成果是100分，由此推出全班同学的成果都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n －2)·180°.A ．①②B ．①③C ．①②④D ．②④解析：①是类比推理；②是归纳推理；④是归纳推理． 所以①、②、④是合情推理． 答案：C3．某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x (千元)与居民人均消费水平y (千元)统计调查发觉，y 与x 具有相关关系，回归方程为y ^＝0.66x ＋1.562.若某城市居民人均消费水平为7.675(千元)，估量该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为( )A ．83%B ．72%C ．67%D ．66%解析：由(x －，7.765)在回归直线y ^＝0.66x ＋1.562上．所以7.765＝0.66x －＋1.562，则x －≈9.4，所以该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为7.7659.4×100%≈83%. 答案：A4．有一段演绎推理是这样的：“若直线平行于平面，则平行于平面内全部直线，已知直线b 在平面α外，直线a 在平面α内，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论明显是错误的，这是由于( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误解析：若直线平行平面α，则该直线与平面内的直线平行或异面，故大前提错误． 答案：A5．执行如图所示的程序框图，如图输入的x ，t 均为2，则输出的S ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：x ＝2，t ＝2，M ＝1，S ＝3，k ＝1.k ≤t ，M ＝11×2＝2，S ＝2＋3＝5，k ＝2； k ≤t ，M ＝22×2＝2，S ＝2＋5＝7，k ＝3；3>2，不满足条件，输出S ＝7. 答案：D6．如图所示，在复平面内，OP →对应的复数是1－i ，将OP →向左平移一个单位后得到O 0P 0→，则P 0对应的复数为( )A ．1－iB ．1－2iC ．－1－iD ．－i解析：要求P 0对应的复数，依据题意，只需知道OP 0→，而OP 0→＝OO 0→＋O 0P 0→，从而可求P 0对应的复数．由于O 0P 0→＝OP →，OO 0→对应的复数是－1， 所以P 0对应的复数， 即OP 0→对应的复数是－1＋(1－i )＝－i . 答案：D7．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：父亲身高x /cm 174 176 176 176 178 儿子身高y /cm175175176177177则y 对x 的线性回归方程为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝x ＋1 C ．y ＝88＋12xD ．y ＝176解析：由于x －＝174＋176＋176＋176＋1785＝176，y －＝175＋175＋176＋177＋1775＝176，又y 对x 的线性回归方程表示的直线恒过点(x －，y －)，所以将(176，176)代入A 、B 、C 、D 中检验知选C. 答案：C8．观看下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋a 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( ) A ．28 B ．76 C ．123D ．199解析：观看可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．连续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即a 10＋b 10＝123.答案：C9．在△ABC 中，tan A ·tan B >1，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不确定解析：由于tan A ·tan B >1，所以A ，B 只能都是锐角，所以tan A >0，tan B >0，1－tan A ·tan B <0. 所以tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A ·tan B<0.所以A ＋B 是钝角，所以角C 为锐角．答案：A10．在复平面内，若复数z 满足|z ＋1|＝|1＋i z |，则z 在复平面内对应点的轨迹是( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆D ．抛物线解析：设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R)， |x ＋1＋y i|＝（x ＋1）2＋y 2，|1＋i z |＝|1＋i(x ＋y i)|＝（y －1）2＋x 2， 则（x ＋1）2＋y 2＝（y －1）2＋x 2，得y ＝－x .所以复数z ＝x ＋y i 对应点(x ，y )的轨迹为到点(－1，0)和(0，1)距离相等的直线y ＝－x . 答案：A11．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系为( )A ．P >QB ．P ＝QC ．P <QD ．由a 的取值确定解析：要比较P 与Q 的大小，只需比较P 2与Q 2的大小，只需比较2a ＋7＋2a （a ＋7）与2a ＋7＋2（a ＋3）（a ＋4）的大小，只需比较a 2＋7a 与a 2＋7a ＋12的大小，即比较0与12的大小，而0<12，故P <Q .答案：C12．依据如图所示的框图，对大于2的整数N ，输出的数列的通项公式是( )A ．a n ＝2nB ．a n ＝2(n －1)C ．a n ＝2nD ．a n ＝2n －1解析：由程序框图知第一次运行：i ＝1，a 1＝2，S ＝2； 其次次运行：i ＝2，a 2＝4，S ＝4； 第三次运行：i ＝3，a 3＝8，S ＝8； 第四次运行：i ＝4，a 4＝16，S ＝16.……第n 次运行，a n ＝2a n －1，因此输出数列的通项公式为a n ＝2n. 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．某学校的组织结构图如图所示：则教研处的直接领导是________．解析：由结构图知，教研处的直接领导为副校长甲． 答案：副校长甲14．复数z 满足(1＋i)z ＝|3－i|，则z 的共轭复数z －＝________． 解析：由于(1＋i)z ＝|3－i|＝2， 所以z ＝21＋i ＝1－i ，则z －＝1＋i.答案：1＋i 15.2＋23＝223， 3＋38＝338， 4＋415＝4415……若 6＋a b ＝6ab(a ，b 均为实数)，猜想，a ＝________，b ＝________．解析：由前面三个等式，推想归纳被平方数的整数与分数的关系，发觉规律，由三个等式知，整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推想6＋a b中：a ＝6，b ＝62－1＝35，即a ＝6，b＝35.答案：6 3516．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n 的值为________．解析：依据程序框图逐一执行． 由x 2－4x ＋3≤0，解得1≤x ≤3.当x ＝1时，满足1≤x ≤3，所以x ＝1＋1＝2，n ＝0＋1＝1； 当x ＝2时，满足1≤x ≤3，所以x ＝2＋1＝3，n ＝1＋1＝2； 当x ＝3时，满足1≤x ≤3，所以x ＝3＋1＝4，n ＝2＋1＝3； 当x ＝4时，不满足1≤x ≤3，所以输出n ＝3. 答案：3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)计算：i －231＋23i＋(5＋i 19)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 222.解：原式＝（i －23）·i（1＋23i ）·i ＋(5＋i 16·i 3)－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 2211＝（i －23）i i －23＋(5－i)－⎝ ⎛⎭⎪⎫2i 211＝i ＋5－i ＋i ＝5＋i.18．(本小题满分12分)某学校对一班级的甲、乙两个班进行“数学学前训练”对“学校数学成果优秀”影响的试验，其中甲班为试验班(实施了数学学前训练)，乙班为对比班(和甲班一样进行常规教学，但没有实施数学学前训练)，在期末测试后得到如下数据：班级 优秀人数 非优秀人数总计 甲班 30 20 50 乙班 25 25 50 总计5545100作用？解：由于K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）＝100×（30×25－20×25）250×50×55×45＝10099≈1.010<6.635. 所以，在犯错误的概率不超过0.01的前提下，不能认定进行“数学学前训练”对“学校数学成果优秀”有乐观作用．19．(本小题满分12分)纸杯从原材料(纸张)到商品(纸杯)主要经过四道工序：淋膜、印刷、模切、成型．首先用淋膜机给原纸淋膜，然后用分切机把已经淋膜好的纸分切成矩形纸张(印刷后作杯壁用)和卷筒纸(作杯底)．再将矩形纸印刷并切成扇形杯壁，将卷筒纸切割出杯底，将杯壁与杯底黏合，最终成型．画出该工序流程图．解：该工序流程图如图所示．20．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥PABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC ＝12AD，点E，F分别为线段AD，PC的中点．(1)求证：AP∥平面BEF；(2)求证：BE⊥平面PAC.证明：(1)连接AC交BE于点O ，连接OF(如图)，不妨设AB＝BC＝1，则AD＝2，由于AB＝BC，AD∥BC，所以四边形ABCE为菱形，由于O，F分别为AC，PC中点，所以OF∥AP，又由于OF⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，所以AP∥平面BEF.(2)由于AP⊥平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AP⊥CD，由于BC∥ED，BC＝ED，所以BCDE为平行四边形，所以BE∥CD，所以BE⊥PA，又由于ABCE为菱形，所以BE⊥AC，又由于PA∩AC＝A，AP，AC⊂平面PAC，所以BE⊥平面PAC.21．(本小题满分12分)设存在复数z同时满足下列条件：(1)复数z在复平面内的对应点位于其次象限；(2)z·z－＋2i z＝8＋a i(a∈R)．试求a的取值范围．解：设z＝x＋y i(x，y∈R)，由(1)得x<0，y>0.由(2)得x2＋y2＋2i(x＋y i)＝8＋a i，即x2＋y2－2y＋2x i＝8＋a i，由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y2－2y＝8，2x＝a，即a24＋y2－2y＝8，所以a24＝－(y2－2y－8)＝－(y－1)2＋9，则a24≤9，x<0，a<0，解得－6≤a<0，所以a的取值范围是[－6，0)．22．(本小题满分12分)已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且其中任意两边长均不相等，若1a，1b，1c成等差数列．(1)比较ba与cb的大小，并证明你的结论；(2)求证：角B不行能是钝角．(1)解：ba<cb.证明如下：要证ba<cb，只需证ba<cb.由于a，b，c>0，所以只需证b2<ac.由于1a，1b，1c成等差数列，所以2b＝1a＋1c≥21ac，所以b2≤ac.又a，b，c均不相等，所以b2<ac.故所得大小关系正确．(2)证明：法一假设角B是钝角，则cos B<0.由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －b 22ac >ac －b 22ac>0，这与cos B <0冲突，故假设不成立． 所以角B 不行能是钝角．法二 假设角B 是钝角，则角B 的对边b 为最大边． 则b >a ，b >c ，所以1a >1b >0，1c >1b>0，则1a ＋1c >1b ＋1b ＝2b ，这与1a ＋1c ＝2b冲突，故假设不成立．所以角B 不行能是钝角．。
2021-2022学年高中数学 1 空间向量与立体几何章末综合测评新人教A版选择性必修第一册
2021-2022学年高中数学1 空间向量与立体几何章末综合测评新人教A版选择性必修第一册年级：姓名：章末综合测评(一) 空间向量与立体几何(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a ＝(－3,2,5)，b ＝(1,5，－1)，则a ·(a ＋3b )＝( ) A ．(0,34,10) B ．(－3,19,7) C ．44D ．23C [a ＋3b ＝(－3,2,5)＋3(1,5，－1)＝(0,17,2)，则a ·(a ＋3b )＝(－3,2,5)·(0,17,2)＝0＋34＋10＝44.]2．设l 1的方向向量为a ＝(1,2，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－2,3，m )，若l 1⊥l 2，则m 等于( )A ．1B ．2C ．12D ．3B [若l 1⊥l 2，则a ⊥b ，∴a ·b ＝0， ∴1×(－2)＋2×3＋(－2m )＝0，解得m ＝2.]3．在空间四边形ABCD 中，若向量AB →＝(－3,5,2)，CD →＝(－7，－1，－4)，点E ，F 分别为线段BC ，AD 的中点，则EF →的坐标为( )A ．(2,3,3)B ．(－2，－3，－3)C ．(5，－2,1)D ．(－5,2，－1)B [取AC 中点M ，连接ME ，MF (图略)，则ME →＝12AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52，1，MF →＝12CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，－12，－2，所以EF →＝MF →－ME →＝(－2，－3，－3)，故选B ．]4．如图所示，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面对角线A 1C 1的中点，若BE →＝AA 1→＋xAB →＋yAD →，则( )A ．x ＝－12，y ＝12B ．x ＝12，y ＝－12C ．x ＝－12，y ＝－12D ．x ＝12，y ＝12A [BE →＝BA →＋AA 1→＋A 1E →＝－AB →＋AA 1→＋12(A 1B 1→＋A 1D 1→)＝－AB →＋AA 1→＋12AB →＋12AD →＝－12AB →＋AA 1→＋12AD →，∴x ＝－12，y ＝12.]5．已知A (2，－5,1)，B (2，－4,2)，C (1，－4,1)，则AB →与AC →的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．45°D ．90°B [由题意得AB →＝(0,1,1)，AC →＝(－1,1,0)，cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝12×2＝12，所以AB →与AC →的夹角为60°.] 6．已知二面角αl β的大小为π3，m ，n 为异面直线，且m ⊥α，n ⊥β，则m ，n 所成的角为( )A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π3B [设m ，n 的方向向量分别为m ，n .由m ⊥α，n ⊥β知m ，n 分别是平面α，β的法向量．∵|cos〈m ，n 〉|＝cos π3＝12，∴〈m ，n 〉＝π3或2π3.但由于两异面直线所成的角的范围为⎝⎛⎦⎥⎤0，π2，故异面直线m ，n 所成的角为π3.]7.如图，在棱长为a 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，P 为A 1D 1的中点，Q 为A 1B 1上任意一点，E ，F 为CD 上两个动点，且EF 的长为定值，则点Q 到平面PEF 的距离( )A ．等于55a B ．和EF 的长度有关 C ．等于23a D ．和点Q 的位置有关A [取B 1C 1的中点G ，连接PG ，CG ，DP ，则PG ∥CD ，所以点Q 到平面PEF 的距离即点Q 到平面PGCD 的距离，与EF 的长度无关，B 错．又A 1B 1∥平面PGCD ，所以点A 1到平面PGCD 的距离即点Q 到平面PGCD 的距离，即点Q 到平面PEF 的距离，与点Q 的位置无关，D 错．如图，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，则C (0，a ,0)，D (0,0,0)，A 1(a ,0，a )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，a ，∴DC →＝(0，a ,0)，DA 1→＝(a ,0，a )，DP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，a ， 设n ＝(x ，y ，z )是平面PGCD 的法向量， 则由⎩⎪⎨⎪⎧n ·DP →＝0，n ·DC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a2x ＋az ＝0，ay ＝0，令z ＝1，则x ＝－2，y ＝0，所以n ＝(－2,0,1)是平面PGCD 的一个法向量． 设点Q 到平面PEF 的距离为d ，则d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪DA 1→·n |n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2a ＋a 5＝5a 5，A 对，C 错．故选A ．]8.如图所示，ABCD A 1B 1C 1D 1是棱长为6的正方体，E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE ＝BF .当A 1，E ，F ，C 1四点共面时，平面A 1DE 与平面C 1DF 所成夹角的余弦值为( )A ．22 B ．12C ．15D ．265B [以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，易知当E (6,3,0)，F (3,6,0)时，A 1，E ，F ，C 1共面，设平面A 1DE 的法向量为n 1＝(a ，b ，c )，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧DE →·n 1＝6a ＋3b ＝0，DA 1→·n 1＝6a ＋6c ＝0，可取n 1＝(－1,2,1)，同理可得平面C 1DF 的一个法向量为n 2＝(2，－1,1)， 故平面A 1DE 与平面C 1DF 的夹角的余弦值为|n 1·n 2||n 1||n 2|＝12.故选B ．]二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的中心为O ，则下列结论中正确的有( ) A ．OA →＋OD →与OB 1→＋OC 1→是一对相反向量 B ．OB →－OC →与OA 1→－OD 1→是一对相反向量C ．OA →＋OB →＋OC →＋OD →与OA 1→＋OB 1→＋OC 1→＋OD 1→是一对相反向量 D ．OA 1→－OA →与OC →－OC 1→是一对相反向量ACD [∵O 为正方体的中心，∴OA →＝－OC 1→，OD →＝－OB 1→，故OA →＋OD →＝－(OB 1→＋OC 1→)，同理可得OB →＋OC →＝－(OA 1→＋OD 1→)，故OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝－(OA 1→＋OB 1→＋OC 1→＋OD 1→)，∴AC 正确；∵OB →－OC →＝CB →，OA 1→－OD 1→＝D 1A 1→，∴OB →－OC →与OA 1→－OD 1→是两个相等的向量，∴B 不正确；∵OA 1→－OA →＝AA 1→，OC →－OC 1→＝C 1C →＝－AA 1→，∴OA 1→－OA →＝－(OC →－OC 1→)，∴D 正确．]10．在以下选项中，不正确的命题有( ) A ．|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件 B ．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λbC ．对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝2OA →－2OB →－OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面D ．若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一个基底ABC [A ．|a |－|b |＝|a ＋b |⇒a 与b 共线，但a 与b 共线时|a |－|b |＝|a ＋b |不一定成立，故不正确；B ．b 需为非零向量，故不正确；C ．因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；D ．由基底的定义知正确．]11．下列说法正确的是( )A ．直线l 的方向向量a ＝(1，－1,2)，直线m 的方向向量b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1，－12，则l与m 垂直B ．直线l 的方向向量a ＝(0,1，－1)，平面α的法向量n ＝(1，－1，－1)，则l ⊥αC ．平面α，β的法向量分别为n 1＝(0,1,3)，n 2＝(1,0,2)，则α∥βD ．平面α经过三点A (1,0，－1)，B (0,1,0)，C (－1,2,0)，向量n ＝(1，u ，t )是平面α的法向量，则u ＋t ＝1AD [对于A ，∵a ＝(1，－1,2)，b ＝⎝⎛⎭⎪⎫2，1，－12，∴a ·b ＝1×2＋(－1)×1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，∴a ⊥b ，∴直线l 与m 垂直，A 正确．对于B ，∵a ＝(0,1，－1)，n ＝(1，－1，－1)，∴a ·n ＝0×1＋1×(－1)＋(－1)×(－1)＝0，∴a ⊥n ，∴l ∥α或l ⊂α，B 错误．对于C ，∵n 1＝(0,1,3)，n 2＝(1,0,2)，∴n 1与n 2不共线，∴α∥β不成立，C 错误．对于D ，由于A (1,0，－1)，B (0,1,0)，C (－1,2,0)，则AB →＝(－1,1,1)，BC →＝(－1,1,0)，又向量n ＝(1，u ，t )是平面α的法向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·BC →＝0，即⎩⎨⎧－1＋u ＋t ＝0，－1＋u ＝0，则u ＋t ＝1，D 正确．]12．如图(1)是一副直角三角板的示意图．现将两三角板拼成直二面角，得到四面体ABCD ，如图(2)所示，则下列结论中正确的是( )A ．BD →·AC →＝0B ．平面BCD 的法向量与平面ACD 的法向量垂直C ．异面直线BC 与AD 所成的角为60° D ．直线DC 与平面ABC 所成的角为30°AD [以B 为坐标原点，分别以BD →，BC →的方向为x 轴，y 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．设BD ＝2，则B (0,0,0)，D (2,0,0)，C (0,23，0)，A (0，3，3)，∴BD →＝(2,0,0)，AC →＝(0，3，－3)，BC →＝(0,23，0)，AD →＝(2，－3，－3)，DC →＝(－2,23，0)．∴BD →·AC →＝(2,0,0)·(0，3，－3)＝0，A 正确；易得平面BCD 的一个法向量为n 1＝(0,0，3)，平面ACD 的一个法向量为n 2＝(3，1,1)，n 1·n 2≠0，B 错误；|cos 〈BC →，AD →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BC →·AD →|BC →||AD →|＝|0，23，0·2，－3，－3|23×10＝310≠12，C 错误；易得平面ABC 的一个法向量为BD →＝(2,0,0)，设直线DC 与平面ABC 所成的角为θ，则sin θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪DC →·BD →|DC →|·|BD →|＝44×2＝12，故D 正确．]三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC ，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP →⊥平面ABC ，则BP →＝________.⎝⎛⎭⎪⎫337，－157，－3 [∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，∴3＋5－2z ＝0，∴z ＝4. ∵BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP →⊥平面ABC ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧BP →·AB →＝0，BP →·BC →＝0，即⎩⎨⎧x －1＋5y ＋6＝0，3x －3＋y －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝407，y ＝－157.故BP →＝⎝⎛⎭⎪⎫337，－157，－3.] 14．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 共面，则λ＝________.657[易知a 与b 不共线，由共面向量定理可知，要使a ，b ，c 共面，则必存在实数x ，y ，使得c ＝x a ＋y b ，即⎩⎨⎧2x －y ＝7，－x ＋4y ＝5，3x －2y ＝λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝337，y ＝177，λ＝657.]15．已知A (0,0，－x )，B (1，2，2)，C (x ，2，2)三点，点M 在平面ABC 内，O 是平面ABC 外一点，且OM →＝xOA →＋2xOB →＋4OC →，则x ＝________，AB →与AC →的夹角为________．(本题第一空2分，第二空3分)－1π3[由A ，B ，C ，M 四点共面可知x ＋2x ＋4＝1，∴x ＝－1. ∴A (0,0,1)，C (－1，2，2)，∴AB →＝(1，2，1)，AC →＝(－1，2，1)， ∴cos〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝12，即AB →与AC →的夹角为π3.]16．如图，等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D 的余弦值为33，M ，N 分别是AC ，BC 的中点，则EM ，AN 所成角的余弦值为________．16[如图所示，过点C 作CO ⊥平面ABDE ，垂足为O ，取AB 的中点F ，连接CF ，OF ，OA ，OB ，则∠CFO 为二面角C AB D 的平面角，所以cos∠CFO ＝33. 设AB ＝1，则CF ＝32，OF ＝12，OC ＝22，所以O 为正方形ABDE 的中心．如图建立空间直角坐标系，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－22，0，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，0，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫24，0，24，N ⎝⎛⎭⎪⎫0，24，24，所以EM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫24，22，24，AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，24，24，所以cos 〈EM →，AN →〉＝EM →·AN →|EM →||AN →|＝16.]四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)若|c |＝3，且c ∥BC →，求向量c ； (2)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值；(3)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求实数k 的值． [解] (1)∵c ∥BC →，∴存在实数m ，使得c ＝mBC →＝m (－2，－1,2)＝(－2m ，－m ,2m )． ∵|c |＝3， ∴－2m2＋－m2＋2m2＝3|m |＝3，∴m ＝±1.∴c ＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)．(2)∵a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，∴a·b ＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1.又∵|a |＝12＋12＋02＝2，|b |＝－12＋02＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |＝－110＝－1010， 即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010. (3)∵k a ＋b ＝(k －1，k ,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，∴(k －1，k ,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0，∴k ＝2或k ＝－52.∴当k a ＋b 与k a －2b 互相垂直时，实数k 的值为2或－52.18.(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上，且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点．(1)求证：B 1D ⊥平面ABD ； (2)求证：平面EGF ∥平面ABD ．[解] 如图，以B 为坐标原点，BA ，BC ，BB 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Bxyz ，则B (0,0,0)，D (0,2,2)，B 1(0,0,4)．(1)设BA ＝a ，则A (a ,0,0)．所以BA →＝(a ,0,0)，BD →＝(0,2,2)，B 1D →＝(0,2，－2)． 所以B 1D →·BA →＝0，B 1D →·BD →＝0＋4－4＝0.所以B 1D ⊥BA ，B 1D ⊥BD ． 又BA ∩BD ＝B ， 所以B 1D ⊥平面ABD ．(2)由题意及(1)，知E (0,0,3)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，1，4，F (0,1,4)，所以EG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，1，1，EF→＝(0,1,1)．所以B 1D →·EG →＝0＋2－2＝0，B 1D →·EF →＝0＋2－2＝0. 所以B 1D ⊥EG ，B 1D ⊥EF . 又EG ∩EF ＝E ， 所以B 1D ⊥平面EGF . 由(1)，知B 1D ⊥平面ABD ， 故平面EGF ∥平面ABD ．19．(本小题满分12分)如图，已知四边形ABCD 为矩形，四边形ABEF 为直角梯形，FA ⊥AB ，AD ＝AF ＝FE ＝1，AB ＝2，AD ⊥BE .(1)求证：BE ⊥DE ；(2)求点F 到平面CBE 的距离．[解] ∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ⊥AB ， 又AD ⊥BE ，AB ∩BE ＝B ， ∴AD ⊥平面ABEF ， 又AD ⊂平面ABCD ， ∴平面ABCD ⊥平面ABEF .∵FA ⊥AB ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ， ∴FA ⊥平面ABCD ．∴FA ⊥AD ． (1)证明：如图，建立空间直角坐标系，则B (0,2,0)，C (1,2,0)，D (1,0,0)，E (0,1,1)，F (0,0,1)， ∴BE →＝(0，－1,1)，DE →＝(－1,1,1)， ∴BE →·DE →＝0×(－1)＋(－1)×1＋1×1＝0， ∴BE →⊥DE →，∴BE ⊥DE .(2)由(1)得BC →＝(1,0,0)，BE →＝(0，－1,1)，FE →＝(0,1,0)， 设n ＝(x ，y ，z )是平面CBE 的法向量，则由 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·BE →＝0，得⎩⎨⎧x ＝0，－y ＋z ＝0，令y ＝1，得z ＝1，∴n ＝(0,1,1)是平面CBE 的一个法向量． 设点F 到平面CBE 的距离为d ， 则d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪FE →·n |n |＝12＝22.∴点F 到平面CBE 的距离为22. 20．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱A 1B 1C 1ABC 中，AC ⊥AB ，AC ＝AB ＝4，AA 1＝6，点E ，F 分别为CA 1，AB 的中点．(1)证明：EF ∥平面BCC 1B 1；(2)求B 1F 与平面AEF 所成角的正弦值．[解] (1)证明：如图，连接EC 1，BC 1，因为三棱柱A 1B 1C 1ABC 为直三棱柱，所以E 为AC 1的中点．又因为F 为AB 的中点，所以EF ∥BC 1.又EF ⊄平面BCC 1B 1，BC 1⊂平面BCC 1B 1，所以EF ∥平面BCC 1B 1.(2)以A 1为原点，A 1C 1，A 1B 1，A 1A 所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A 1xyz ，则A (0,0,6)，B 1(0,4,0)，E (2,0,3)，F (0,2,6)， 所以B 1F →＝(0，－2,6)，AE →＝(2,0，－3)，AF →＝(0,2,0)， 设平面AEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝2x －3z ＝0，n ·AF →＝2y ＝0，令x ＝3，得n ＝(3,0,2)，记B 1F 与平面AEF 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈B 1F →，n 〉|＝|B 1F →·n ||B 1F →|·|n |＝313065.21．(本小题满分12分)如图所示的几何体中，BE ⊥BC ，EA ⊥AC ，BC ＝2，AC ＝22，∠ACB ＝45°，AD ∥BC ，BC ＝2AD ．(1)求证：AE ⊥平面ABCD ；(2)若∠ABE ＝60°，点F 在EC 上，且满足EF ＝2FC ，求平面FAD 与平面ADC 的夹角的余弦值．[解] (1)证明：在△ABC 中，BC ＝2，AC ＝22，∠ACB ＝45°，由余弦定理可得AB 2＝BC 2＋AC 2－2×BC ×AC ×cos 45°＝4，所以AB ＝2(负值舍去)，因为AC 2＝AB 2＋BC 2，所以△ABC 是直角三角形，AB ⊥BC ． 又BE ⊥BC ，AB ∩BE ＝B ， 所以BC ⊥平面ABE .因为AE ⊂平面ABE ，所以BC ⊥AE ， 因为EA ⊥AC ，AC ∩BC ＝C ， 所以AE ⊥平面ABCD ．(2)由题易得EB ＝2AB ＝4，由(1)知，BC ⊥平面ABE ，所以平面BEC ⊥平面ABE ，如图，以B 为原点，过点B 且垂直于平面BEC 的直线为z 轴，BE ，BC 所在直线分别为x ，y 轴，建立空间直角坐标系Bxyz ，则C (0,2,0)，E (4,0,0)，A (1,0，3)，D (1,1，3)，因为EF ＝2FC ，所以F ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，0，易知AD →＝(0,1,0)，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43，－3，设平面FAD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧AD →·n ＝0，AF →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，13x ＋43y －3z ＝0，令z ＝3，则x ＝9，所以n ＝(9,0，3)．由(1)知EA ⊥平面ABCD ，所以EA →＝(－3,0，3)为平面ABCD 的一个法向量． 设平面FAD 与平面ADC 的夹角为α， 则cos α＝|EA →·n ||EA →|·|n |＝2423×221＝277，所以平面FAD 与平面ADC 的夹角的余弦值为277.22．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠DAB ＝60°，∠ADP ＝90°，平面ADP ⊥平面ABCD ，F 为棱PD 的中点．(1)在棱AB 上是否存在一点E ，使得AF ∥平面PCE ？并说明理由；(2)当二面角D FC B 的余弦值为14时，求直线PB 与平面ABCD 所成的角．[解] (1)在棱AB 上存在点E ，使得AF ∥平面PCE ，且E 为棱AB 的中点． 理由如下：如图，取PC 的中点Q ，连接EQ ，FQ ， 由题意得，FQ ∥DC 且FQ ＝12CD ，因为AE ∥CD 且AE ＝12CD ，所以AE ∥FQ 且AE ＝FQ .所以四边形AEQF 为平行四边形． 所以AF ∥EQ .又EQ ⊂平面PCE ，AF ⊄平面PCE ，所以AF ∥平面PCE .(2)连接BD ，DE .由题意知△ABD 为正三角形，所以ED ⊥AB ，即ED ⊥CD ， 又∠ADP ＝90°，所以PD ⊥AD ，且平面ADP ⊥平面ABCD ，平面ADP ∩平面ABCD ＝AD ，所以PD ⊥平面ABCD ，故以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设FD ＝a ，则由题意知F (0,0，a )，C (0,2,0)，B (3，1,0)，则FC →＝(0,2，－a )，CB →＝(3，－1,0)， 设平面FBC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )． 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·FC →＝2y －az ＝0，m ·CB →＝3x －y ＝0，令x ＝1，则y ＝3，z ＝23a，所以m ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，3，23a ，易知平面DFC 的一个法向量n ＝(1,0,0)， 因为二面角D FC B 的余弦值为14，所以|cos 〈m ，n 〉|＝|m·n ||m ||n |＝14，即14＋12a2＝14，解得a ＝1(负值舍去)． 因为PD ⊥平面ABCD ，所以PB 在平面ABCD 内的射影为BD ， 所以∠PBD 为直线PB 与平面ABCD 所成的角， 由题意知在Rt△PBD 中，tan∠PBD ＝PD BD ＝2FDBD＝1，所以∠PBD ＝45°，所以直线PB 与平面ABCD 所成的角为45°.。
人教A版高中数学选修1-1：单元质量评估(一) Word版含答案
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单元质量评估(一)第一章(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2016·宜昌高二检测)下列命题:①面积相等的三角形是全等三角形;②若xy=0,则|x|+|y|=0;③若a>b,则ac2>bc2;④矩形的对角线互相垂直.其中假命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4【解析】选D.①等底等高的三角形都是面积相等的三角形,但不一定全等;②当x,y中一个为零,另一个不为零时,|x|+|y|≠0;③当c=0时不成立;④菱形的对角线互相垂直,矩形的对角线不一定垂直.【补偿训练】下列命题是真命题的是( )A.y=tanx的定义域是RB.y=的值域为RC.y=的递减区间为(-∞,0)∪(0,+∞)D.y=sin2x-cos2x的最小正周期是π【解析】选D.当x=kπ+,k∈Z时,y=tanx无意义,A错;函数y=的定义域为.答案:【拓展延伸】完美解决参数问题通过已知条件,探索命题的真假,然后求解参数的取值范围,是逻辑用语部分常见的、基本的题型.解决此类问题要从三个方面入手:(1)熟练掌握真值表,判断单个命题p,q的真假.(2)具备丰富的基础知识储备,求解单个命题成立的参数范围.(3)辅助应用集合的运算确定参数的最后范围.15.(2016·徐州高二检测)已知命题p:≤1,命题q:x2-2x+1-m2<0(m>0),若p是q的充分不必要条件,则实数m的范围是.【解析】命题p首先化简为-1≤x≤3,命题q是二次不等式,p是q的充分不必要条件说明当-1≤x≤3时不等式x2-2x+1-m2<0恒成立,故又m>0,故可解得m>2.答案:(2,+∞)16.给出下列命题:①数列,3,,,3…的一个通项公式是;②当k∈(-3,0)时,不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立;③函数y=sin2-sin2是周期为π的奇函数;④两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内.其中,真命题的序号是.【解析】①数列,3=,,,3=…的被开方数构成一个以3为首项,以6为公差的等差数列,故它的一个通项公式是,故①正确;②当k∈(-3,0)时,因为Δ=k2+3k<0,故函数y=2kx2+kx-的图象开口朝下,且与x轴无交点,故不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,故②正确;③函数y=sin2-sin2=sin2-cos2=-cos=sin2x,是周期为π的奇函数,故③正确;④两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内,故④正确.故真命题的序号是①②③④.答案:①②③④【补偿训练】下列正确命题有.①“sinθ=”是“θ=30°”的充分不必要条件;②如果命题“(p或q)”为假命题,则p,q中至多有一个为真命题;③设a>0,b>1,若a+b=2,则+的最小值为3+2;④函数f(x)=3ax+1-2a在(-1,1)上存在x0,使f(x0)=0,则a的取值范围是a<-1或a>.【解析】①由θ=30°可得sinθ=,反之不成立,因此“sinθ=”是“θ=30°”的必要不充分条件;②命题“(p或q)”为假命题,则p,q都是假命题;③a+b=2,所以a+b-1=1,+=(a+b-1)=3++≥3+2,最小值为3+2;④由题意得f(-1)f(1)<0,所以(-5a+1)(a-1)<0,所以a<-1或a>.答案:③④三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)判断下列命题是全称命题还是特称命题,并判断其真假.(1)对数函数都是单调函数.(2)至少有一个整数,它既能被11整除,又能被9整除.(3)∀x∈{x|x>0},x+≥2.(4)∃x0∈Z,log2x0>2.【解析】(1)本题隐含了全称量词“所有的”,其实命题应为“所有的对数函数都是单调函数”,是全称命题,且为真命题.(2)命题中含有存在量词“至少有一个”,因此是特称命题,真命题.(3)命题中含有全称量词“∀”,是全称命题,真命题.(4)命题中含有存在量词“∃”,是特称命题,真命题.18.(12分)已知f(x)=x2,g(x)=-m,若对∀x1∈,∃x2∈,有f(x1)≥g(x2),求实数m的取值范围.【解析】根据题意知,f(x1)min≥g(x2)min,当x1∈时,f(x1)min=0.当x2∈时,g(x2)=-m的最小值为g(2)=-m.因此0≥-m,解之得m≥.故实数m的取值范围是.19.(12分)(2016·马鞍山高二检测)已知曲线C:x2+y2+Gx+Ey+F=0(G2+E2-4F>0),求曲线C在x轴上所截的线段的长度为1的充要条件,证明你的结论.【解题指南】先求出必要条件,再证明其充分性.【解析】必要性:令y=0,则x2+Gx+F=0.设x1,x2为此方程的根,若|x1-x2|==1,则G2-4F=1.充分性:若G2-4F=1,x2+Gx+F=0有两根为x1,x2,且x1+x2=-G,x1·x2=F,|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1·x2=G2-4F=1.故所求的充要条件是G2-4F=1.20.(12分)(2016·汕头高二检测)已知p:-2≤1-≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),且p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.【解题指南】先解不等式求出p真和q真的条件.p真:-2≤x≤10;q真:1-m≤x≤1+m,然后利用p是q的必要不充分条件,根据集合之间的包含关系建立关于m的不等式,求出m的取值范围.【解析】由x2-2x+1-m2≤0,得1-m≤x≤1+m,所以q:A={x|x>1+m或x<1-m,m>0}.由-2≤1-≤2,得-2≤x≤10.所以p:B={x|x>10或x<-2},因为p是q的必要不充分条件,所以A B,所以21.(12分)(2016·聊城高二检测)设命题p:函数f(x)=lg的定义域为R:命题q:3x-9x<a 对一切的实数x恒成立,如果命题“p且q”为假命题,求实数a的取值范围.【解析】要使函数f(x)=lg的定义域为R,则不等式ax2-x+>0对于一切x∈R恒成立, 若a=0,则不等式等价为-x>0,解得x<0,不满足恒成立.若a≠0,则满足条件即解得即a>2,所以p:a>2.因为g(x)=3x-9x=-+≤,所以要使3x-9x<a对一切的实数x的恒成立,则a>,即q:a>.要使p且q为假,则p,q至少有一个为假命题.当p,q都为真命题时,满足即a>2,所以p,q至少有一个为假命题时有a≤2,即实数a的取值范围是a≤2.22.(12分)(2016·福州高二检测)已知a>0,b>0,函数f(x)=ax-bx2.(1)求证:∀x∈R均有f(x)≤1是a≤2的充分条件.(2)当b=1时,求f(x)≤1,x∈恒成立的充要条件.【解析】(1)f(x)=ax-bx2=-b+,因为∀x∈R,f(x)≤1,所以≤1,又a>0,b>0,所以a≤2,所以∀x∈R均有f(x)≤1是a≤2的充分条件.(2)因为b=1,所以f(x)=ax-x2,当x=0时,f(x)=0≤1成立,当x∈(0,1]时,f(x)≤1恒成立,即a≤x+在(0,1]上恒成立,又=2,此时x=1,所以0<a≤2,当0<a≤2时,a≤x+在(0,1]上恒成立,所以f(x)≤1在(0,1]上恒成立,所以f(x)≤1,x∈(0,1]上恒成立的充要条件为0<a≤2.关闭Word文档返回原板块。
高中数学学业质量标准自测新人教A版选修1-2(2021学年)
2０17－201８学年高中数学学业质量标准自测新人教Ａ版选修１-2 编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望（2017-2０１8学年高中数学学业质量标准自测新人教A版选修1－2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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学业质量标准自测时间1２0分钟,满分１50分。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题５分，共6０分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数错误!=错误!（ B ）A．1＋i B．１-iC．i D．-i[解析] ＼f(1-3i,2-i)＝＼ｆ(１－3i2+i,2-ｉ2＋i）＝错误!=1－i.２.已知集合A=｛2,a}，B=｛1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆Ｂ”的错误!（ A )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件Ｃ.充要条件D.既不充分也不必要条件[解析] 本题考查了充要条件的判断.当a＝３时,A＝｛2,3｝,故A⊆Ｂ,若A⊆B⇒a＝１或a＝3，故为充分不必要条件．3．下列命题的否命题为“邻补角互补”的是导学号18６74586( C )Ａ．邻补角不互补B.互补的两个角是邻补角C．不是邻补角的两个角不互补D．不互补的两个角不是邻补角［解析] “邻补角”的否定是“不是邻补角”，“互补"的否定是“不互补”,故选Ｃ．4．(2016·江西抚州高二检测)为了帮家里减轻负担,高二学生小明利用暑假时间打零工赚学费,他统计了其中五天的工作时间ｘ(小时）与报酬ｙ(元)的数据,分别是(2,３０)、(4,4０)、（５,m)、(６,5０)、(8,70）,他用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为y＝6.5x+17。
高中数学 学期综合测评(一)(含解析)新人教A版高二选修1-1数学试题
学期综合测评(一)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．若函数f (x )的导数为－2x 2＋1，则f (x )可以等于( ) A ．－2x 3＋1 B ．x ＋1 C ．－4x D ．－23x 3＋x答案 D解析 选项A 中函数的导数为f ′(x )＝－6x 2；选项B 中函数的导数为f ′(x )＝1；选项C 中函数的导数为f ′(x )＝－4；选项D 中函数的导数为f ′(x )＝－2x 2＋1.故选D.2．给出下列三个命题：①“全等三角形的面积相等”的否命题； ②“若lg x 2＝0，则x ＝－1”的逆命题；③“若x ≠y 或x ≠－y ，则|x |≠|y |”的逆否命题． 其中真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B解析 对于①，否命题是“不全等的三角形的面积不相等”，它是假命题；对于②，逆命题是“若x ＝－1，则lg x 2＝0”，它是真命题；对于③，逆否命题是“若|x |＝| y |，则x ＝y 且x ＝－y ”，它是假命题，故选B.3．若集合P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{x |x ≤0或x ≥5，x ∈R }，则P 是綈Q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 ∵Q ＝{x |x ≤0或x ≥5，x ∈R }， ∴綈Q ＝{x |0<x <5，x ∈R }， ∴P ⇒綈Q ，但綈Q ⇒/P ，∴P 是綈Q 的充分不必要条件，选A.4．已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≥0，则綈p 是( ) A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 答案 C解析 因为全称命题p ：∀x ∈M ，p (x )的否定綈p 是特称命题：∃x 0∈M ，綈p (x 0)，所以綈p ：∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0，故选C.5．已知命题p ：∃x 0∈R ，x 0－2>lg x 0，命题q ：∀x ∈R ，sin x <x ，则( )A ．命题p ∨q 是假命题B ．命题p ∧q 是真命题C ．命题p ∧(綈q )是真命题D ．命题p ∨(綈q )是假命题 答案 C解析 对于命题p ：取x ＝10，则有10－2>lg 10， 即8>1，故命题p 为真命题； 对于命题q ，取x ＝－π2，则sin x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－1， 此时sin x >x ，故命题q 为假命题，因此命题p ∨q 是真命题，命题p ∧q 是假命题， 命题p ∧(綈q )是真命题，命题p ∨(綈q )是真命题， 故选C.6．我们把离心率之差的绝对值小于12的两条双曲线称为“相近双曲线”．已知双曲线C ：x 24－y 212＝1，则下列双曲线中与C 是“相近双曲线”的为( ) A ．x 2－y 2＝1 B ．x 2－y 22＝1C ．y 2－2x 2＝1 D.y 29－x 272＝1 答案 B解析 双曲线C 的离心率为2，对于A ，其离心率为2，不符合题意；对于B ，其离心率为3，符合题意；对于C ，其离心率为62，不符合题意；对于D ，其离心率为3，不符合题意．故选B.7．从双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1引圆x 2＋y 2＝a 2的切线，切点为T .延长F 1T交双曲线右支于P 点，若M 为线段F 1P 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |与b －a 的大小关系为( )A ．|MO |－|MT |>b －aB ．|MO |－|MT |＝b －aC ．|MO |－|MT |<b －aD ．不确定 答案 B解析 ∵F 1T 是圆的切线， ∴OT ⊥TF 1，∵|OF 1|＝c ，|OT |＝a ，∴|F 1T |＝|OF 1|2－|OT |2＝c 2－a 2＝b . 设接双曲线的右焦点为F 2， 连接PF 2，则|OM |＝12|PF 2|，又∵|F 1M |＝|MP |，|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴12|PF 1|－12|PF 2|＝a ， ∴|PM |－|OM |＝a ， ∴b ＋|TM |－|OM |＝a ， ∴|OM |－|TM |＝b －a ，故选B.8．函数y ＝x 2e x的单调递减区间是( ) A ．(－1,2)B ．(－∞，－1)与(1，＋∞)C ．(－∞，－2)与(0，＋∞)D ．(－2,0) 答案 D解析 y ′＝(x 2e x )′＝2x e x ＋x 2e x ＝x e x (x ＋2)．∵e x >0，∴x e x(x ＋2)<0，即－2<x <0，故函数y ＝x 2e x的单调递减区间是(－2,0)．故选D.9．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )答案 C解析 因为f (x )在x ＝－2处取得极小值，所以在x ＝－2附近的左侧f ′(x )<0，当x <－2时，xf ′(x )>0；在x ＝－2附近的右侧f ′(x )>0，当－2<x <0时，xf ′(x )<0，故选C.10．把一个周长为12 cm 的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱底面周长与高的比为( )A ．1∶2B ．1∶πC ．2∶1D ．2∶π答案 C解析 设圆柱的高为x ，底面半径为r ，则r ＝6－x 2π，圆柱体积V ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫6－x 2π2x ＝14π(x 3－12x 2＋36x )(0<x <6)，V ′＝34π(x －2)(x －6)．当x ＝2时，V 最大．此时底面周长为6－x ＝4,4∶2＝2∶1，故选C.11．如图，F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点，P 是椭圆上任一点，过一焦点引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，则垂足Q 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线答案 A解析 延长垂线F 1Q 交F 2P 的延长线于点A ，在等腰三角形APF 1中，|PF 1|＝|AP |，从而|AF 2|＝|AP |＋|PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|OQ |＝12|AF 2|＝a .12．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．32答案 B解析 ∵抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，准线为x ＝－2，∴K (－2,0)．设A (x 0，y 0)，如右图所示，过点A 向准线作垂线，垂足为B ，则B (－2，y 0)．∵|AK |＝2|AF |， 又|AF |＝|AB |＝x 0－(－2)＝x 0＋2， ∴由|BK |2＝|AK |2－|AB |2，得y 20＝(x 0＋2)2， 即8x 0＝(x 0＋2)2，解得x 0＝2，y 0＝±4.∴△AFK 的面积为12|KF |·|y 0|＝12×4×4＝8，故选B.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．命题“∃x ∈{正实数}，使x <x ”的否定为________，是________(填“真”或“假”)命题．答案 ∀x ∈{正实数}，使x ≥x 假解析 原命题的否定为“∀x ∈{正实数}，使x ≥x ”，是假命题．14．如图，椭圆的中心在坐标原点，当FB →⊥A B →时，此类椭圆称为“黄金椭圆”，可推算出“黄金椭圆”的离心率e ＝________.答案5－12解析 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意得⎩⎨⎧|AB |2＝a 2＋b 2，|BF |＝b 2＋c 2＝a ，|AF |＝a ＋c ，∵B F →⊥B A →，∴|AB |2＋|BF |2＝|AF |2，∴(a ＋c )2＝a 2＋b 2＋a 2， ∴c 2＋ac －a 2＝0.∴e 2＋e －1＝0，又0<e <1， ∴e ＝5－12. 15．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值等于________．答案 1解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (x )在(0,2)上的最大值为－1. 当x ∈(0,2)时，f ′(x )＝1x －a ，令f ′(x )＝0得x ＝1a.又a >12，∴0<1a<2.当f ′(x )>0时，x <1a ，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上递增；当f ′(x )<0时，x >1a，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2上递减．∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a －a ·1a＝－1，∴ln 1a＝0，得a ＝1.16．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为抛物线C 的焦点．若|FA |＝2|FB |，则k 等于________．答案223解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2，y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.∴x 1＋x 2＝42－k2k 2，x 1x 2＝4.由抛物线定义得|AF |＝x 1＋2，|BF |＝x 2＋2， 又∵|AF |＝2|BF |，∴x 1＋2＝2x 2＋4，∴x 1＝2x 2＋2，代入x 1x 2＝4，得x 22＋x 2－2＝0， ∴x 2＝1或－2(舍去)，∴x 1＝4， ∴42－k2k 2＝5，∴k 2＝89，经检验Δ>0，又∵k >0，∴k ＝223.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，集合B ＝{y |y ＝x 2－2x ＋a }，集合C ＝{x |x 2－ax －4≤0}，命题p ：A ∩B ＝∅，命题q ：A ⊆C .(1)若命题p 为假命题，某某数a 的取值X 围； (2)若命题p ∧q 为假命题，某某数a 的取值X 围． 解 ∵y ＝x 2－2x ＋a ＝(x －1)2＋a －1≥a －1，∴B ＝{y |y ≥a －1}，A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}，C ＝{x |x 2－ax －4≤0}． (1)由命题p 是假命题，可得A ∩B ≠∅，即得a －1≤2，∴a ≤3.(2)∵“p ∧q 为假命题”，则其反面为“p ∧q 为真命题”， ∴p ，q 都为真命题，即A ∩B ＝∅且A ⊆C ，∴有⎩⎪⎨⎪⎧a －1>2，1－a －4≤0，4－2a －4≤0，解得a >3.∴实数a 的取值X 围为a ≤3.18．(本小题满分12分)已知命题p ：∃x 0∈[－1,1]，满足x 20＋x 0－a ＋1＞0，命题q ：∀t ∈(0,1)，方程x 2＋y 2t 2－2a ＋2t ＋a 2＋2a ＋1＝1都表示焦点在y 轴上的椭圆，若命题p∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，某某数a 的取值X 围．解 因为∃x 0∈ [－1,1]，满足x 20＋x 0－a ＋1＞0，所以只需(x 20＋x 0－a ＋1)max ＞0，即3－a ＞0，所以命题p 真时，a ＜3.因为∀t ∈(0,1)，方程x 2＋y 2t 2－2a ＋2t ＋a 2＋2a ＋1＝1都表示焦点在y 轴上的椭圆，所以t 2－(2a ＋2)t ＋a 2＋2a ＋1＞1，t 2－(2a ＋2)t ＋a 2＋2a ＞0，即(t －a )[t －(a ＋2)]＞0，对t ∈(0,1)恒成立，只需a ＋2≤0或a ≥1，得a ≤－2或a ≥1， 所以命题q 为真时，a ≤－2或a ≥1.因为p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，所以p ，q 两个命题一真一假． 若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜3，－2＜a ＜1，所以－2＜a ＜1.若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥3，a ≤－2或a ≥1，所以a ≥3.综上所述：a 的取值X 围是(－2,1)∪[3，＋∞)． 19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 3－kx 2＋x (k ∈R )． (1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)当k <0时，求函数f (x )在[k ，－k ]上的最小值m 和最大值M . 解 f ′(x )＝3x 2－2kx ＋1. (1)当k ＝1时，f ′(x )＝3x 2－2x ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＋23>0， ∴f (x )在R 上单调递增．(2)当k <0时，f ′(x )＝3x 2－2kx ＋1，其开口向上，对称轴x ＝k3，且过点(0,1)．①当Δ＝4k 2－12＝4(k ＋3)(k －3)≤0， 即－3≤k <0时，f ′(x )≥0，f (x )在[k ，－k ]上单调递增．∴m ＝f (x )min ＝f (k )＝k ，M ＝f (x )max ＝f (－k )＝－2k 3－k .②当Δ＝4k 2－12>0，即k <－3时，令f ′(x )＝0 得x 1＝k ＋k 2－33，x 2＝k －k 2－33，且k <x 2<x 1<0.∴m ＝min{f (k )，f (x 1)}，M ＝max{f (－k )，f (x 2)}．又f (x 1)－f (k )＝x 31－kx 21＋x 1－k ＝(x 1－k )(x 21＋1)>0， ∴m ＝f (k )＝k ，又f (x 2)－f (－k )＝x 32－kx 22＋x 2－(－k 3－k ·k 2－k )＝(x 2＋k )[(x 2－k )2＋k 2＋1]<0， ∴M ＝f (－k )＝－2k 3－k .综上，当k <0时，f (x )的最小值m ＝k ， 最大值M ＝－2k 3－k .20．(本小题满分12分)设椭圆C 1与抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中心及C 2的顶点均为原点，从每条曲线上各取两点，将其坐标记录于下表：(1)求曲线C 1，C 2(2)设直线l 过抛物线C 2的焦点F ，l 与椭圆交于不同的两点M ，N ，当OM →·ON →＝0时，求直线l 的方程．解 (1)由题意，可知点(－2,0)是椭圆的左顶点，再根据椭圆上点的横、纵坐标的取值X 围，知点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22在椭圆上． 设椭圆C 1的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由此可得a ＝2，24＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222b 2＝1，∴b 2＝1，∴椭圆C 1的标准方程为x 24＋y 2＝1.由点(3，－23)，(4，－4)在抛物线C 2上，知抛物线开口向右． 设其方程为y 2＝2px (p >0)，∴12＝6p ，∴p ＝2， ∴抛物线C 2的标准方程为y 2＝4x .(2)由(1)，知F (1,0)．当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x 24＋y 2＝1，得l 与椭圆C 1的两个交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，∴OM →·ON →＝14≠0，∴直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0，Δ＝64k 4－4(1＋4k 2)(4k 2－4)＝48k 2＋16>0，x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－41＋4k 2.∵OM →·ON →＝0，∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k (x 1－1)·k (x 2－1)＝(1＋k 2)·x 1x 2－k 2(x 1＋x 2)＋k 2＝(1＋k 2)·4k 2－41＋4k 2－k 2·8k 21＋4k2＋k 2＝0，解得k ＝±2，∴直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋y －2＝0.21．(本小题满分12分)设函数f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)，且方程f ′(x )－9x ＝0的两个根分别为1,4.若f (x )在(－∞，＋∞)内无极值点，求a 的取值X 围．解 由f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d ，得f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c .因为f ′(x )－9x ＝0，即ax 2＋2bx ＋c －9x ＝0的两个根分别为1,4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋c －9＝0，16a ＋8b ＋c －36＝0.(*)由于a >0，所以“f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”．由(*)式得2b ＝9－5a ，c ＝4a . 又Δ＝(2b )2－4ac ＝9(a －1)(a －9)．由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝9a －1a －9≤0，得1≤a ≤9，即a 的取值X 围是[1,9]．22．(本小题满分12分)如图，抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A .点C 在抛物线E 上，以C 为圆心，|CO |为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同的两点M ，N .(1)若点C 的纵坐标为2，求|MN |； (2)若|AF |2＝|AM |·|AN |，求圆C 的半径． 解 (1)抛物线y 2＝4x 的准线l 的方程为x ＝－1. 由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为(1,2)， 所以点C 到准线l 的距离d ＝2，又|CO |＝5， 所以|MN |＝2|CO |2－d 2＝25－4＝2.(2)设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，则圆C 的方程为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 2042＋(y －y 0)2＝y 4016＋y 20，即x 2－y 202x ＋y 2－2y 0y ＝0.由x ＝－1，得y 2－2y 0y ＋1＋y 202＝0，设M (－1，y 1)，N (－1，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4y 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋y 202＝2y 20－4>0，y 1y 2＝y 22＋1.由|AF |2＝|AM |·|AN |，得|y 1y 2|＝4， 所以y 202＋1＝4，解得y 0＝±6，此时Δ>0.所以圆心C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6或⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－6，从而|CO |2＝334，|CO |＝332，即圆C 的半径为332.word - 11 - / 11。
高中数学 模块综合质量测评 新人教A版选修1-2(2021年整理)
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1模块综合质量测评一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：利用复数乘法的运算法则及复数的几何意义求解．∵z＝i(2－i)＝2i－i2＝1＋2i,∴复数z在复平面内的对应点为(1，2),在第一象限．答案: A2．设有一个回归方程错误!＝6－6。
5x，变量x每增加一个单位时，变量错误!平均( ）A．增加6。
5个单位B．增加6个单位C．减少6.5个单位D．减少6个单位解析：错误!＝6－6。
5x的斜率为－6.5，故x每增加一个单位，错误!就减少6。
5个单位．答案：C3．下列框图中，可作为流程图的是( )解析: 流程图具有动态特征，只有答案C符合．2答案：C4．下列推理正确的是（)A．如果不买彩票，那么就不能中奖,因为你买了彩票，所以你一定中奖B．因为a>b，a>c，所以a－b>a－cC．若a,b均为正实数，则lg a＋lg b≥错误!D．若a为正实数，ab<0，则错误!＋错误!＝－错误!≤－2 错误!＝－2解析：A中推理形式错误，故A错;B中b，c关系不确定,故B错；C中lg a，lg b正负不确定，故C错．答案: D5．设z1,z2是复数，则下列命题中的假命题是( )A．若｜z1－z2|＝0，则错误!1＝错误!2B．若z1＝错误!2，则错误!1＝z2C．若｜z1|＝|z2|，则z1·错误!1＝z2·错误!2D．若|z1｜＝｜z2|,则z错误!＝z错误!解析：结合复数的模、共轭复数及复数的运算等判断求解．A,｜z1－z2|＝0⇒z1－z2＝0⇒z1＝z2⇒z1＝z2,真命题；B,z1＝z2⇒错误!1＝错误!2＝z2，真命题;C，|z1|＝|z2|⇒｜z1|2＝|z2｜2⇒z1·错误!1＝z2·错误!2,真命题;D，当|z1｜＝｜z2|时，可取z1＝1，z2＝i，显然z错误!＝1,z错误!＝－1,即z错误!≠z错误!,假命题．答案：D36．已知数列｛a n}满足a n＋1＝a n－a n－1(n≥2，且n∈N），a1＝a，a2＝b，记S n＝a1＋a2＋…＋a n，则下列选项中正确的是( ) A．a100＝－a,S100＝2b－a B．a100＝－b，S100＝2b－aC．a100＝－b，S100＝b－a D．a100＝－a，S100＝b－a解析: a3＝a2－a1＝b－a，S3＝a1＋a2＋a3＝2b；a4＝a3－a2＝－a,S4＝S3＋a4＝2b－a；a5＝a4－a3＝－b，S5＝S4＋a5＝b－a；a6＝a5－a4＝a－b，S6＝S5＋a6＝0；a7＝a6－a5＝a,S7＝S6＋a7＝a.通过观察可知a n，S n都是6项一重复，所以由归纳推理得a100＝a4＝－a，S100＝S4＝2b－a，故选A.答案：A7．三点(3,10)，（7，20）,(11,24)的线性回归方程是( ）A.y，∧＝5－17x B.错误!＝－5。
人教A版高中数学选修一质量评估2.docx
章末质量评估(二)(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛物线y＝4x2的焦点坐标是( )．A．(0,1) B．(1,0)C．(0，116) D．(116，0)解析将抛物线方程变为x2＝2×18y，知p＝18，又焦点在y轴上，且开口向上，所以它的焦点坐标为(0，116 )．答案 C2．已知椭圆x225＋y216＝1上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则点P到另一焦点的距离为( )．A．2 B．3 C．5 D．7解析点P到椭圆的两个焦点的距离之和为2a＝10，10－3＝7.选D.答案 D3．以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( )．A．x2＋y2＋2x＝0 B．x2＋y2＋x＝0C．x2＋y2－x＝0 D．x2＋y2－2x＝0解析因为已知抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以所求圆的圆心为(1,0)，又圆过原点，所以圆的半径r＝1，故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0，故选D.答案 D4．以椭圆x216＋y29＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程是( )．A.x216－y248＝1 B.x29－y227＝1C.x 216－y 248＝1或y 29－x 227＝1D ．以上都不对解析 当顶点为(±4,0)时，a ＝4，c ＝8，b ＝43，x 216－y 248＝1；当顶点为(0，±3)时，a ＝3，c ＝6，b ＝33，y 29 －x 227＝1.答案 C5．已知椭圆与双曲线x 23－y 22＝1有共同的焦点，且离心率为15，则椭圆的标准方程为( )． A.x 220＋y 225＝1 B.x 225＋y 220＝1C.x 225＋y 25＝1D.x 25＋y 225＝1 解析 双曲线x 23－y 22＝1中a 21＝3，b 21＝2，则c 1＝a 21＋b 21＝5，故焦点坐标为(－5，0)，(5，0)，故所求椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的c ＝5，又椭圆的离心率e ＝c a ＝15，则a ＝5，a 2＝25，b 2＝a 2－c 2＝20，故椭圆的标准方程为x 225＋y 220＝1.答案 B6．(2011·山东烟台期末)已知椭圆x 241＋y 225＝1的两个焦点为F 1，F 2，弦AB 过点F 1，则△ABF 2的周长为( )．A ．10B ．20C ．241D ．441 解析 |AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|B F 2|＋|AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝4a ＝441. 答案 D7．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是( )．A．2 B. 3 C. 2 D.3 2解析双曲线x2a2－y2b2＝1的两条渐近线方程为y＝±bax，依题意ba·(－ba) ＝－1，故b2a2＝1，所以c2－a2a2＝1即e2＝2，所以双曲线的离心率e＝ 2.故选C.答案 C8．已知椭圆x2sin α－y2cos α＝1(0≤α<2π)的焦点在y轴上，则α的取值范围是( )．A．(34π，π) B．(π4，34π)C．(π2，π) D．(π2，34π)解析椭圆方程化为x21sin α＋y2－1cos α＝1.∵椭圆焦点在y轴上，∴－1cos α>1sin α>0.又∵0≤α<2π，∴π2<α<3π4.答案 D9．抛物线y＝2x2上两点A(x1，y1)、B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，且x1·x2＝－12，则m等于( )．A.32B．2 C.52D．3解析依题意，得k AB＝y2－y1x2－x1＝－1，而y2－y1＝2(x22－x21)，得x 2＋x1＝－12，且(x2＋x12，y2＋y12)在直线y＝x＋m上，即y2＋y12＝x2＋x12＋m，y2＋y1＝x2＋x1＋2m，∴2(x22＋x21)＝x2＋x1＋2m，2[(x2＋x1)2－2x2x1]＝x2＋x1＋2m，2m＝3，m＝3 2 .答案 A10．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为( )．A.x25－y24＝1 B.x24－y25＝1C.x23－y26＝1 D.x26－y23＝1解析圆心的坐标是(3，0)，圆的半径是2，双曲线的渐近线方程是bx±ay＝0，c＝3，根据已知得3ba2＋b2＝2，即3b3＝2，解得b＝2，得a2＝c2－b2＝5，故所求的双曲线方程是x25－y24＝1.答案 A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．) 11．已知点(－2，3)与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的距离是5，则p＝________.解析∵抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标是(p2，0)，由两点间距离公式，得（p2＋2）2＋（－3）2＝5.解得p＝4.答案 412．若椭圆x2＋my2＝1的离心率为32，则它的长半轴长为________．解析当0<m<1时，y2 1 m ＋x21＝1，e2＝a2－b2a2＝1－m＝34，m＝14，a2＝1m＝4，a＝2；当m>1时，x21＋y21m＝1，a＝1.应填1或2.答案1或213．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)和椭圆x216＋y29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．解析由题意知，椭圆的焦点坐标是(±7，0)，离心率是74.故在双曲线中c＝7，e＝274＝ca，故a＝2，b2＝c2－a2＝3，因此所求双曲线的方程是x24－y23＝1.答案x24－y23＝114．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________．解析由题意，知PF2⊥F1F2，且△F1PF2为等腰直角三角形，所以|PF2|＝|F1F2|＝2c，|PF1|＝2·2c，从而2a＝|PF1|＋|PF2|＝2c(2＋1)，所以e＝2c2a＝12＋1＝2－1.答案2－1三、解答题(本大题共5小题，共54分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)15．(10分)双曲线C与椭圆x28＋y24＝1有相同的焦点，直线y＝3x为C的一条渐近线．求双曲线C的方程．解设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)．由椭圆x28＋y24＝1，求得两焦点为(－2，0)，(2，0)，∴对于双曲线C ：c ＝2.又y ＝3x 为双曲线C 的一条渐近线，∴ba＝3，解得a 2＝1，b 2＝3， ∴双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.16．(10分)双曲线与椭圆有共同的焦点F 1(0，－5)、F 2(0，5)，点P (3，4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求双曲线与椭圆的方程．解 由共同的焦点F 1(0，－5)、F 2(0，5)，可设椭圆方程为y 2a 2＋x 2a 2－25＝1；双曲线方程为y 2b 2－x 225－b 2＝1，点P (3，4)在椭圆上，16a2＋9a 2－25＝1，a 2＝40， 双曲线的过点P (3，4)的渐近线为y ＝b 25－b2x ，即4＝b 25－b2×3，b 2＝16. 所以椭圆方程为y 240＋x 215＝1；双曲线方程为y 216－x 29＝1.17．(10分)已知抛物线y 2＝2x ，直线l 过点(0，2)与抛物线交于M ，N 两点，以线段MN 的长为直径的圆过坐标原点O ，求直线l 的方程． 解 由题意，知直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y ＝kx ＋2(k ≠0)， 解方程组⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，y 2＝2x ，消去x 得ky 2－2y ＋4＝0，Δ＝4－16k >0⇒k <14(k ≠0)，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝2k ，y 1·y 2＝4k，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝12y 21x 2＝12y22⇒x 1·x 2＝14(y 1·y 2)2＝4k2OM ⊥ON ⇒k OM ·k ON ＝－1，∴x 1·x 2＋y 1·y 2＝0， ∴4k 2＋4k＝0，解得k ＝－1.所以所求直线方程为y ＝－x ＋2，即x ＋y －2＝0.18．(12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (0，1)，离心率为22，过点B (0，－2)及左焦点F 1的直线交椭圆于C ，D 两点，右焦点设为F 2. (1)求椭圆的方程； (2)求△CDF 2的面积．解 (1)易得椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)∵F 1(－1，0)，∴直线BF 1的方程为y ＝－2x －2，由⎩⎨⎧y ＝－2x －2，x 22＋y 2＝1，得9x 2＋16x ＋6＝0. ∵Δ＝162－4×9×6＝40>0， 所以直线与椭圆有两个公共点，设为C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－169，x 1·x 2＝23，∴|CD |＝1＋（－2）2|x 1－x 2| ＝5·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝5·（－169）2－4×23＝1092，又点F 2到直线BF 1的距离d ＝455， 故S △CDF 2＝12|CD |·d ＝4910.19．(12分)已知抛物线y 2＝4x 截直线y ＝2x ＋m 所得弦长AB ＝35， (1)求m 的值；(2)设P 是x 轴上的一点，且△ABP 的面积为9，求P 的坐标．解 (1)由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝2x ＋m ，得4x 2＋4(m －1)x ＋m 2＝0，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝1－m ，x 1·x 2＝m 24，|AB |＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝1＋22（1－m ）2－4·m 24＝5（1－2m ）.由|AB |＝35，即5（1－2m ）＝35⇒m ＝－4. (2)设P (a ，0)，P 到直线AB 的距离为d ，则d ＝|2a －0－4|22＋（－1）2＝2|a －2|5，又S △ABP ＝12|AB |·d ，则d ＝2·S △ABP|AB |， 2|a －2|5＝2×935⇒|a －2|＝3⇒a ＝5或a ＝－1， 故点P 的坐标为(5，0)和(－1，0)．。
2021-2022年高中数学 综合素质检测 新人教A版选修1-2
2021-2022年高中数学综合素质检测新人教A版选修1-2一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在等差数列{an }中，若an>0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列{bn }中，若bn>0，公比q>1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是( )A．b4＋b8>b5＋b7B．b4＋b8<b5＋b7C．b4＋b7>b5＋b8D．b4＋b7<b5＋b8[答案] A[解析] 在等差数列{a n}中，由于4＋6＝3＋7时有a4·a6>a3·a7，所以在等比数列{b n}中，由于4＋8＝5＋7，所以应有b4＋b8>b5＋b7，选A.2．在如下图所示的各图中，两个变量具有相关关系的是( ) A．(1)(2) B．(1)(3)C．(2)(4) D．(2)(3)[答案] D[解析] (1)为函数关系，(4)关系很不明显．3．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( )A．有一个解B．有两个解C．至少有三个解D．至少有两个解[答案] C4．设0<θ<π2，已知a1＝2cosθ，a n＋1＝2＋a n(n∈N*)，猜想a n等于( )A．2cos θ2nB．2cosθ2n－1C ．2cosθ2n ＋1 D ．2sinθ2n[答案] B [解析] ∵0<θ<π2，∴a 2＝2＋2cos θ＝2cos θ2. a 3＝2＋2cosθ2＝2cosθ4，a 4＝2＋2cosθ4＝2cosθ8.于是猜想a n ＝2cosθ2n －1.5．(xx·福建文，6)阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i 值等于( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5[答案] C[解析] 本题主要考查框图等知识． S ＝0 i ＝0a ＝1·21＝2S ＝2 i ＝2a ＝2·22＝8S ＝10 i ＝3a ＝3·23＝24S ＝34 i ＝4 ∵S ＝34>11所以输出的i 值等于4.6．在复平面内的▱ABCD 中，点A ，B ，C 分别对应复数4＋i,3＋4i,3－5i ，则点D 对应的复数是( )A ．2－3iB ．4＋8iC ．4－8iD ．1＋4i[答案] C[解析] 由题意知BC →＝AD →且BC →对应的复数为－9i ，设D 点对应的复数为x ＋yi (x ，y ∈R )，则x －4＋(y －1)i ＝－9i ，所以x ＝4，y ＝－8.7．(xx·浙江理，5)对任意复数z ＝x ＋yi (x ，y ∈R )，i 为虚数单位，则下列结论正确的是( )A ．|z －z －|＝2y B ．z 2＝x 2＋y 2C ．|z －z －|≥2xD ．|z |≤|x |＋|y |[答案] D[解析] z ＝x ＋yi ，z ＝x －yi ，有|z －z |＝2x ，而|z |＝x 2＋y 2，则|z |2＝x 2＋y 2，|z |2＝x 2＋y 2≤x 2＋y 2＋2|x |·|y |，故选D.8．已知等比数列a n ＝13n －1，其前n 项和为S n ＝∑nk ＝1a k ，则S k ＋1与S k 的递推关系不满足．．．( )A ．S k ＋1＝S k ＋13k ＋1B ．S k ＋1＝1＋13S kC ．S k ＋1＝S k ＋a k ＋1D ．S k ＋1＝3S k －3＋a k ＋a k ＋1 [答案] A[解析] S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝S k ＋13k .B 、D 可以验证是正确的．9．观察两相关变量得如下数据：A.y ^＝12x ＋1B.y ^＝xC.y ^＝2x ＋13D.y ^＝x ＋1[答案] B[解析] 回归直线过(x ，y )验证即得．10．一等差数列的前n 项和为210，其中前4项的和为40，后4项的和为80，则n 的值为( )A ．12B ．14C ．16D ．18[答案] B[解析] 由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40.a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80.得4(a 1＋a n )＝120，所以a 1＋a n ＝30. 所以S n ＝n (a 1＋a n )2＝n ×302＝210.n ＝14.∴选B.11．(xx·陕西文，2)复数z ＝i1＋i在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[答案] A[解析] 本题考查复数的除法运算．z ＝i 1＋i ＝i(1－i)(1＋i)(1－i)＝1＋i 1－i 2＝12＋i 2，故复数z 在复平面上对应的点位于第一象限． 12．若△ABC 能被一条直线分成两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定[答案] B[解析] 分△ABC 的直线只能过一个顶点且与对边相交，如直线AD (点D 在BC 上)，则∠ADB ＋∠ADC ＝π，若∠ADB 为钝角，则∠ADC 为锐角．而∠ADC >∠BAD ，∠ADC >∠ABD ，△ABD 与△ACD 不可能相似，与已知不符，只有当∠ADB ＝∠ADC ＝∠BAC ＝π2时，才符合题意，∴选B.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上) 13．已知回归直线方程y ^＝0.6x －0.71，则当x ＝25时，y 的估计值是________． [答案] 14.29[解析] 当x ＝25时，y ^＝0.6×25－0.71＝14.29.14．观察下列式子1＋122＜32，1＋122＋132＜53，1＋122＋132＋142＜74，……，则可归纳出________________[答案] 1＋122＋132＋…＋1(n ＋1)2＜2n ＋1n ＋1(n ∈N *)15．(xx·安徽理，14)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出值x ＝________.[答案] 12[解析] x ＝1→x ＝2→x ＝4→x ＝5→x ＝6→x ＝8→x ＝9→x ＝10→x ＝12. 16．给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)： ①“若a 、b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“若a 、b ∈C ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”； ②“若a 、b 、c 、d ∈R ，则复数a ＋bi ＝c ＋di ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出；“若a 、b 、c 、d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③“若a 、b ∈R ，则a －b >0⇒a >b ”类比推出“若a 、b ∈C ，则a －b >0⇒a >b ”； ④“若x ∈R ，则|x |<1⇒－1<x <1”类比推出“若z ∈C ，则|z |<1⇒－1<z <1”． 其中类比结论正确的命题序号为________(把你认为正确的命题序号都填上)． [答案] ①②三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)设复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i，若z 2＋a ·z ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值．[解析] z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i 2＋i ＝(3－i )(2－i )5＝1－i ，∵z 2＋az ＋b ＝1＋i ，∴(1－i )2＋a (1－i )＋b ＝1＋i ， ∴(a ＋b )－(a ＋2)i ＝1＋i∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1－(a ＋2)＝1解得：a ＝－3，b ＝4.∴a ＝－3，b ＝4.18．(本题满分12分)用分析法证明：若a >0，则a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.[证明] 要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，只需证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2.∵a >0，∴两边均大于0. ∴只需证⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋22.只需证a 2＋1a2＋4＋4a 2＋1a 2≥a 2＋1a 2＋2＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a只需证a 2＋1a 2≥22⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a只需证a 2＋1a 2≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋2只需证a 2＋1a2≥2，而这显然是成立的．∴原不等式成立．19．某报对“男女同龄退休”这一公众关注的问题进行了民意调查，数据如下表看法性别赞同 反对 合计 男 198 217 415 女 476 107 585 合计6743261000[解析] 可以求得K 2＝1000×(198×109－217×476)2674×326×585×415≈125.161由K 2≈125.161＞6.635因此，在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“男女同龄退休”这一问题的看法与性别有关．20．(本题满分12分)如图所示，点P 为斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点，PM ⊥BB 1交AA 1于点M ，PN ⊥BB 1交CC 1于点N .(1)求证：CC 1⊥MN ；(2)平面上在任意三角形DEF 中有余弦定理：DE 2＝DF 2＋EF 2－2DF ·EF ·cos∠DFE .拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面的面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式．[解析] (1)证明：因为CC 1∥BB 1，所以CC 1⊥PM ，CC 1⊥PN ，又因为PM ∩PN ＝P ，所以CC 1⊥平面PMN ，而MN ⊂平面PMN ，从而CC 1⊥MN .(2)解：在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有S 2四边形AA 1C 1C ＝S 2四边形AA 1B 1B ＋S 2四边形CC 1B 1B －2S 四边形AA 1B 1B ·S 四边形CC 1B 1B cos α，其中α是侧面AA 1B 1B 与侧面CC 1B 1B 所成的二面角的平面角．21．(本题满分12分)若α，β均为锐角，且cos αsin β＋cos βsin α＝2.求证：α＋β＝π2.[证明] 假设α＋β≠π2，则α＋β>π2或α＋β<π2.若α＋β>π2，由于α，β均为锐角，所以0<π2－β<α<π2， 所以0<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β<sin α，即0<cos β<sin α， 所以cos βsin α<1.同理，可得0<cos α<sin β，所以cos αsin β<1.故cos αsin β＋cos βsin α<2，与已知矛盾． 同理，若α＋β<π2，得cos αsin β＋cos βsin α>2，也与已知矛盾．综上可知，假设不成立．故α＋β＝π2.[点拨] 对于三角恒等式的证明，通常都会从条件出发利用三角变换最后产生结论．本题根据题目特点，发现使用反证法来证明比较简捷．本题的证明关键是否定结论后的分类，必须做到既不重复也不遗漏．22．(本题满分14分)观察以下各等式： sin 230°＋cos 260°＋sin30°cos60°＝34，sin 220°＋cos 250°＋sin20°cos50°＝34，sin 215°＋cos 245°＋sin15°cos45°＝34，分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．[解析] 猜想：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝3 4 .证明：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝1－cos2α2＋1＋cos(60°＋2α)2＋sin(30°＋2α)－sin30°2＝1＋cos(60°＋2α)－cos2α2＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin(30°＋2α)－12＝1＋－2sin(30°＋2α)sin30°2＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin(30°＋2α)－12＝34－12sin(30°＋2α)＋12sin(30°＋2α)＝34._40854 9F96 龖 36389 8E25 踥36473 8E79 蹹 :20846 516E 兮27543 6B97 殗30669 77CD 矍22547 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高中数学综合质量评估(含解析)新人教A版选修1_1
综合质量评估第一至第三章(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.“x>3”是“不等式x2-2x>0”的( )A.充分不必要条件B.充分必要条件C.必要不充分条件D.非充分必要条件【解析】选A.解不等式x2-2x>0得x<0或x>2,故“x>3”是“不等式x2-2x>0”的充分不必要条件.2.(2016·临沂高二检测)命题:“∀x∈R,都有x2-x+1>0”的否定是( )A.∀x∈R,都有x2-x+1≤0B.∃x0∈R,使-x0+1>0C.∃x0∈R,使-x0+1≤0D.∃x0∈R,使x2-x0+1<0【解析】选C.全称命题的否定是特称命题.3.函数y=f(x)的图象如图1所示,则y=f′(x)的图象可能是( )【解析】选D.由函数y=f(x)的图象可知当x<0时,函数单调递增,故f′(x)>0,当x>0时,函数单调递减,故f′(x)<0.4.(2016·河南南阳高二期末)若函数f(x)=x3+ax2+3x-9在x=-1时取得极值,则a等于( )A.1B.2C.3D.4【解析】选C.f′(x)=3x2+2ax+3.由题意知f′(-1)=0,解得a=3.5.设曲线y=ax2在点(1,a)处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a的值为( )A.1B.C.-D.-1【解析】选A.y′=2ax,于是曲线y=ax2在点(1,a)处切线的斜率为2a,由题意得2a=2,解得a=1.6.已知点P是双曲线-=1(a>0)上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1|=3,则|PF2|等于( )A.7B.6C.5D.3【解题指南】先根据渐近线方程求出a,再根据双曲线的定义求|PF2|.【解析】选A.由双曲线方程得渐近线方程为3x±ay=0,则a=2,双曲线中c=,b=3,由|PF1|=3知P为双曲线左支上一点,则|PF2|=|PF1|+4=7.7.椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,则双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为( )A. B. C. D.【解析】选B.由题意知=,得a2=4b2,又a>b>0,所以a=2b.所以双曲线的离心率e===.【补偿训练】设双曲线-=1的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为( )A. B.5 C. D.【解析】选D.设双曲线的渐近线方程为y=kx,这条直线与抛物线y=x2+1相切,联立方程得整理得x2-kx+1=0,则Δ=k2-4=0,解得k=±2,即=2,故双曲线的离心率e====.8.(2016·青岛高二检测)设函数f(x)=x2-9lnx在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是( )A.(1,2]B.[4,+∞)C.(-∞,2]D.(0,3]【解析】选A.f′(x)=x-=(x>0),令f′(x)≤0得0<x≤3.所以f(x)在(0,3]上单调递减,所以解得1<a≤2.9.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选B.因为双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,所以F(-6,0)是双曲线的左焦点,即a2+b2=36,又双曲线的一条渐近线方程是y=x,所以=,解得a2=9,b2=27,所以双曲线的方程为-=1.10.(2016·大连高二检测)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,M是抛物线C上的点,若三角形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36π,则p的值为( )A.2B.4C.6D.8【解析】选D.因为△OFM的外接圆与抛物线C:y2=2px(p>0)的准线相切,所以△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径.因为圆的面积为36π,所以圆的半径为6,又因为圆心在OF的垂直平分线上,|OF|=,所以+=6,p=8.11.(2015·济南二模)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x1处取得极大值,在x2处取得极小值,满足x1∈(-1,0),x2∈(0,1),则的取值范围是( )A.(0,2)B.(1,3)C.[0,3]D.[1,3]【解析】选B.因为f(x)=x3+ax2+bx+c,所以f′(x)=x2+ax+b.因为函数f(x)在区间(-1,0)内取得极大值,在区间(0,1)内取得极小值,所以f′(x)=x2+ax+b=0在(-1,0)和(0,1)内各有一个根,f′(0)<0,f′(-1)>0,f′(1)>0,即在aOb坐标系中画出其表示的区域,如图,=1+2×,令m=,其几何意义为区域中任意一点与点(-2,-1)连线的斜率,分析可得0<<1,则1<<3,所以的取值范围是(1,3).12.(2016·厦门模拟)若点O和点F(-2,0)分别是双曲线-y2=1(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则·的取值范围为( )A.[3-2,+∞)B.[3+2,+∞)C. D.【解析】选B.因为F(-2,0)是已知双曲线的左焦点,所以a2+1=4,即a2=3,所以双曲线方程为-y2=1,设点P(x0,y0)(x0≥),则有-=1(x0≥),解得=-1(x0≥),因为=(x0+2,y0),=(x0,y0),所以·=x0(x0+2)+=x0(x0+2)+-1=+2x0-1,此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=-,因为x0≥,所以当x0=时,·取得最小值×3+2-1=3+2,故·的取值范围是[3+2,+∞).二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.函数f(x)=lnx的图象在点(e,f(e))处的切线方程是.【解析】因为f′(x)=,所以f′(e)=,又f(e)=1,所以切线方程为y-1=(x-e),即y=x.答案:y=x14.若命题“∃x0∈R,a+x0+1<0”是假命题,则a的取值范围是.【解析】因为∃x0∈R,a+x0+1<0是假命题,所以∀x∈R,ax2+x+1≥0恒成立,当a=0时,1≥0,命题成立.当a≠0时,即所以a≥,所以a的取值范围为a≥或a=0.答案:a≥或a=015.(2016·临沂高二检测)若直线y=kx是y=f(x)=lnx的一条切线,则k= . 【解析】设切点坐标为(x0,y0).因为y=lnx,所以y′=.所以f′(x0)==k.因为点(x0,y0)既在直线y=kx上,也在曲线y=lnx上,所以把k=代入①式得y0=1,再把y0=1代入②式求出x0=e.所以k==.答案:16.(2016·北京高考)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(,0),则a= ,b= .【解题指南】焦点在x轴的双曲线的渐近线为y=±x,焦点(±c,0).【解析】因为渐近线方程y=-2x,所以=2①.焦点(,0),所以c=.所以a2+b2=c2=5②.由①②联立解得a=1,b=2.答案:1 2三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2016·西安高二检测)命题p:关于x的不等式x2+2ax+4>0对一切x∈R恒成立,q:函数f(x)=(3-2a)x是增函数,若p或q为真,p且q为假,求实数a的取值范围.【解析】设g(x)=x2+2ax+4,若p真,由于关于x的不等式x2+2ax+4>0对一切x∈R恒成立,所以函数g(x)的图象开口向上且与x轴没有交点,故Δ=4a2-16<0,所以-2<a<2.若q真,即函数f(x)=(3-2a)x是增函数,则3-2a>1,所以a<1.又由于p或q为真,p且q为假,所以p和q一真一假,(1)若p真q假,则所以1≤a<2.(2)若p假q真,则所以a≤-2.综上可知,所求实数a的取值范围为(-∞,-2]∪[1,2).【补偿训练】已知p:f(x)=x+在区间 [1,+∞)上是增函数;q:f(x)=x3+ax2+3x+1在R上有极值.若“p∨q”为真,求实数a的取值范围.【解析】若p真,f′(x)=1-.因为f(x)=x+在区间[1,+∞)上是增函数,则f′(x)=1-≥0在[1,+∞)上恒成立,即a≤x2在[1,+∞)上恒成立,所以a≤(x2)min,所以a≤1.p:A={a|a≤1}.若q真,f′(x)=3x2+2ax+3.要使得f(x)=x3+ax2+3x+1在R上有极值,则f′(x)=3x2+2ax+3=0有两个不相等的实数解,Δ=4a2-4×3×3>0,解得a<-3或a>3.q:B={a|a<-3或a>3}.因为“p∨q”为真,所以A∪B={a|a≤1或a>3}.所以所求实数a的取值范围为(-∞,1]∪(3,+∞).18.(12分)(2016·衡水高二检测)已知函数f(x)=x3-x2+bx+c.(1)若f(x)的图象有与x轴平行的切线,求b的取值范围.(2)若f(x)在x=1处取得极值,且x∈[-1,2]时,f(x)<c2恒成立,求c的取值范围.【解析】(1)f′(x)=3x2-x+b,f(x)的图象上有与x轴平行的切线,则f′(x)=0有实数解. 即方程3x2-x+b=0有实数解.所以Δ=1-12b≥0,解得b≤.(2)由题意,得x=1是方程3x2-x+b=0的一个根,设另一个根为x0,则解得所以f(x)=x3-x2-2x+c,f′(x)=3x2-x-2.当x∈时,f′(x)<0;当x∈(1,2]∪时,f′(x)>0.所以当x=-时,f(x)有极大值+c,又f(-1)=+c,f(2)=2+c,所以当x∈[-1,2]时,f(x)的最大值为f(2)=2+c.因为当x∈[-1,2]时,f(x)<c2恒成立.所以c2>2+c,解得c<-1或c>2,所以c的取值范围是(-∞,-1)∪(2,+∞).19.(12分)已知椭圆的两焦点为F1(-,0),F2(,0),离心率e=.(1)求此椭圆的方程.(2)设直线l:y=x+m,若l与此椭圆相交于P,Q两点,且|PQ|等于椭圆的短轴长,求m的值. 【解析】(1)设椭圆方程为+=1(a>b>0),则c=,=,所以a=2,b2=a2-c2=1.所以所求椭圆方程为+y2=1.(2)由消去y,得5x2+8mx+4(m2-1)=0,则Δ=64m2-80(m2-1)>0,得m2<5(*).设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,y1-y2=x1-x2,|PQ|===2.解得m2=,满足(*),所以m=±.20.(12分)已知函数f(x)=-x3+2ax2-3a2x+b(a>0).(1)当f(x)的极小值为-,极大值为-1时,求函数f(x)的解析式.(2)若f(x)在区间[1,2]上为增函数,在区间[6,+∞)上为减函数,求实数a的取值范围.【解析】(1)f′(x)=-x2+4ax-3a2=-(x-a)(x-3a),令f′(x)≥0,得a≤x≤3a,令f′(x)≤0,得x≥3a或x≤a,所以f(x)在(-∞,a]上是减函数,在[a,3a]上是增函数,在[3a,+∞)上是减函数,所以f(x)在x=a处取得极小值,在x=3a处取得极大值.由已知有即解得所以函数f(x)的解析式为f(x)=-x3+2x2-3x-1.(2)由(1)知f(x)在(-∞,a]上是减函数,在[a,3a]上是增函数,在[3a,+∞)上是减函数,所以要使f(x)在区间[1,2]上为增函数,在区间[6,+∞)上是减函数,则必须有解得实数a的取值范围为.21.(12分)(2016·南阳高二检测)如图,已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线l与抛物线C交于A(x1,y1)(y1>0),B(x2,y2)两点,T为抛物线的准线与x轴的交点.(1)若·=1,求直线l的斜率.(2)求∠ATF的最大值.【解析】(1)由题意得F(1,0),T(-1,0),当直线l与x轴垂直时,A(1,2),B(1,-2),此时·=(2,2)·(2,-2)=0,这与·=1矛盾. 故直线l与x轴不垂直.设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y=k(x-1). ①将①代入y2=4x整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.所以x1+x2=,x1x2=1.所以y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=-4,所以·=(x1+1,y1)·(x2+1,y2)=x1x2+(x1+x2)+1+y1y2=1++1-4==1.解得k=±2.(2)因为y1>0,所以tan∠ATF===≤1.当且仅当y1=即y1=2时取等号.故∠ATF的最大值为.22.(12分)已知函数f(x)=-x3+x2-2x(a∈R).(1)当a=3时,求函数f(x)的单调区间.(2)若对于任意x∈[1,+∞)都有f′(x)<2(a-1)成立,求实数a的取值范围.【解析】(1)当a=3时,函数f(x)=-x3+x2-2x,得f′(x)=-x2+3x-2=-(x-1)(x-2).所以当1<x<2时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;当x<1或x>2时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;所以函数f(x)的单调递增区间为(1,2),单调递减区间为(-∞,1)和(2,+∞).(2)由f(x)=-x3+x2-2x,得f′(x)=-x2+ax-2,因为对于任意x∈[1,+∞)都有f′(x)<2(a-1)成立,所以问题转化为对于任意x∈[1,+∞)都有f′(x)max<2(a-1).因为f′(x)=-+-2,其图象开口向下,对称轴为x=.①当≤1即a≤2时,f′(x)在[1,+∞)上单调递减,所以f′(x)max=f′(1)=a-3,由a-3<2(a-1),得a>-1,此时-1<a≤2.②当>1即a>2时,f′(x)在上单调减增,在上单调递减,所以f′(x)max=f′=-2,由-2<2(a-1),得0<a<8,此时2<a<8,综上可得,实数a的取值范围为(-1,8).。
【全程温习方略】2021-2021学年高中数学 综合质量评估 新人教A版选修1-2(1)
【全程温习方略】2021-2021学年高中数学综合质量评估新人教A版选修1-2一、选择题(本大题共12小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的)1.(2021·东莞高二检测)假设复数z=a+i的实部与虚部相等,那么实数a=( )B.1【解析】选B.复数z=a+i的实部为a,虚部为1,那么a=1.2.变量y与x之间的回归方程=bx+a( )A.表示y与x之间的函数关系B.表示y与x之间的确信关系C.反映y与x之间的真实关系D.反映y与x之间真实关系达到最大限度的吻合【解析】选D.回归方程是表示y与x具有相关关系,相关关系是一种非确信性关系,而回归方程是由最小二乘法求得的,它反映了y与x之间真实关系达到最大限度的吻合.3.(2021·上海高二检测)运算机系统、硬件系统、软件系统、CPU、存储器的知识结构图为( )【解析】选D.由于CPU、存储器属于硬件,故由元素间的从属关系知D正确.4.(2021·天津高二检测)观看以下图,可推断出“x”应该填的数字是( )【解析】选B.由前两个图形发觉:中间数等于周围四个数的平方和,即12+32+42+62=62,22+42+52+82=109,因此“x”处该填的数字是32+52+72+102=183.5.求证:√2+√3>√5.证明:因为√2+√3和√5都是正数,因此为了证明√2+√3>√5,只需证明(√2+√3)2>(√5)2, 展开得5+2√6>5,即2√6>0, 显然成立,因此不等式√2+√3>√5成立. 上述证明进程应用了( ) A.综合法 B.分析法C.综合法、分析法配合利用D.间接证明法【解析】选B.综合法是从已知到结论,分析法是从结论到已知,故B 正确. 6.关于复数a+bi(a,b ∈R),以下结论正确的选项是( ) =0⇔a+bi 为纯虚数 =0⇔a+bi 为实数 +(b-1)i=3+2i ⇔a=3,b=-3 的平方等于i【解析】选=0且b ≠0时,a+bi 为纯虚数,A 错误,B 正确.a+(b-1)i=3+2i ⇒a=3,b=3,C 错误.(-1)2=1,D 错误.故应选B.7.(2021·绍兴高二检测)下面几种推理进程是演绎推理的是( )A.两条直线平行,同旁内角互补,若是∠A 和∠B 是两条平行直线的同旁内角,那么∠A+∠B=180°B.由平面三角形的性质,推测空间四面体性质C.某校高三共有10个班,1班有51人,2班有53人,3班有52人,由此推测各班都超过50人D.在数列{a n }中,a 1=1,a n =12(a n −1+1a n −1)(n ≥2),由此归纳出{a n }的通项公式【解析】选A.演绎推理三段论由大前提——小前提——结论组成,而A知足这一结构,B为类比推理,C,D为归纳推理.【变式训练】命题“有些有理数是无穷循环小数,整数是有理数,因此整数是无穷循环小数”是假命题,推理错误的缘故是( )A.利用了归纳推理B.利用了类比推理C.利用了“三段论”,但推理形式错误D.利用了“三段论”,但小前提错误【解析】选C.由条件知利用了三段论,但推理形式是错误的.【拓展延伸】应用三段论解决问题时,应第一明确什么是大前提,什么是小前提,若是大前提、小前提与推理形式是正确的,结论必然是正确的.若是大前提错误,尽管推理形式是正确的,所得结论也是错误的.8.(2021·福州高二检测)假设一组观测值(x1,y1),(x2,y2),…,(x n,y n)之间知足y i=a+bx i+e i(i=1,2,…,n),假设e i 恒为0,那么R2等于( )<R2<1 【解析】选B.由于e i恒为0,即说明变量对预报变量的奉献率为100%,现在两变量间的相关指数R2=1.9.(2021·西宁高二检测)如下图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网线相连,连线标注的数字表示该段网线单位时刻内能够通过的最大信息量,现从结点A向结点B传递信息,信息能够分开沿不同的线路同时传递,那么单位时刻内传递的最大信息量为( )B.24【解析】选D.单位时刻内传递的线路要紧有(1)A-D-C-B最大信息量为3;(2)A-D-E-B最大信息量为4;(3)A-G-F-B最大信息量为6;(4)A-G-H-B最大信息量为6,因此单位时刻内传递的最大信息量为3+4+6+6=19.10.(2021·济宁高二检测)已知z 1,z 2,z 3∈C,以下结论正确的选项是( ) A.假设z 12+z 22+z 32=0,那么z 1=z 2=z 3=0 B.假设z 12+z 22+z 32>0,那么z 12+z 22>-z 32C.假设z 12+z 22>-z 32,那么z 12+z 22+z 32>0D.假设z 1̅̅̅=-z 1,那么z 1为纯虚数 【解析】选C.复数与实数的性质有专门大的不同,如A,B 在实数范围内都正确,但在复数范围内不必然,如02+12+i 2=0,说明A 错误,如(2+i)2+12+(2-i)2>0成立,但(2+i)2+12>-(2-i)2确实是错误的,即B 错误,C 是正确的,z 12+z 22>-z 32,说明z 12+z 22与-z 32都是实数,固然能取得z 12+z 22+z 32>0,故C 正确,而对D 来讲,z 1=0是知足题设条件的,但z 1不是虚数,D 错误.11.(2021·临沂高二检测)对具有线性相关关系的变量x,y,有一组观测数据(x i ,y i )(i=1,2,3,…,8),其回归直线方程是y=16x+a 且x 1+x 2+…+x 8=3(y 1+y 2+…+y 8)=6.那么实数a 的值是( ) A.116B.18C.14D.16【解析】选B.由题意x̅=68=34,y̅=14,由于(x̅,y ̅)在回归直线y=16x+a 上,因此a=y̅-16x ̅=18.12.(2021·天津高二检测)假设在曲线f(x,y)=0上两个不同点处的切线重合,那么称这条切线为曲线f(x,y)=0的“自公切线”.以下方程:①x 2-y 2=1;②y=x 2-|x|;③y=3sinx+4cosx;④|x|+1=√4−y 2对应的曲线中存在“自公切线”的有( ) A.①② B.②③ C.①④D.③④【解析】选B.①x 2-y 2=1是一个等轴双曲线,没有“自公切线”.②y=x 2-|x|={(x −12)2−14,x ≥0,(x +12)2−14,x <0在x=12和x=-12处的切线都是y=-14,故②有“自公切线”.③y=3sinx+4cosx=5sin(x+φ),cos φ=35,sin φ=45,此函数是周期函数,过图象的最高点的切线都重合,故此函数有“自公切线”. ④由于|x|+1=√4−y 2,即x 2+2|x|+y 2-3=0,结合图象可得,此曲线没有“自公切线”.故答案为B.【拓展延伸】演绎推理的要紧出题模式一样是给出一个一样原理,然后应用这一原理,如此题要紧先明白得什么叫“自公切线”,然后别离判定所给方程对应曲线是不是知足这一原理,进而选择出正确的结论.二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上) 13.以下图为有关函数的结构图,由图咱们可知大体初等函数包括 . 【解析】大体初等函数的下位要素为指数函数,对数函数,幂函数. 答案:指数函数,对数函数,幂函数14.(2021·长沙高二检测)已知一个回归方程为=+,x ∈{1,5,7,13,19},那么y ̅= . 【解析】x̅=9,因此y ̅=×9+=18. 答案:1815.假设t ∈R,t ≠-1,t ≠0,复数z=t1+t+1+t ti 的模的取值范围是 .【解析】|z|2=(t 1+t)2+(1+t t)2≥2(t 1+t)·1+t t=2.因此|z|≥√2. 答案:[√2,+∞)16.(2021·泰安高二检测)假设集合A 1,A 2,…,A n 知足A 1∪A 2∪…∪A n =A,那么称A 1,A 2,…,A n 为集合A 的一种拆分.已知:①当A 1∪A 2={a 1,a 2,a 3}时,有33种拆分; ②当A 1∪A 2∪A 3={a 1,a 2,a 3,a 4}时,有74种拆分; ③当A 1∪A 2∪A 3∪A 4={a 1,a 2,a 3,a 4,a 5}时,有155种拆分;……由以上结论,推测出一样结论: 当A 1∪A 2∪…∪A n ={a 1,a 2,a 3,…an +1}时,有 种拆分.【解析】因为当有两个集合时,33=(4-1)2+1=(22-1)2+1;当有三个集合时,74=(8-1)3+1=(23-1)3+1;当有四个集合时,155=(16-1)4+1=(24-1)4+1;由此能够归纳当有n 个集合时,有(2n -1)n+1种拆分. 答案:(2n -1)n+1【变式训练】已知√2+23=2·√23,√3+38=3·√38,√4+415=4·√415,….若√8+a t=8·√a t(a,t 均为正实数),类比以上等式,可推测a,t 的值,那么a+t= . 【解析】因为√2+23=2·√23,√3+38=3·√38,√4+415=4·√415,由类比推理得:√5+524=5·√524,√6+635=6√635,√7+748=7√748,√8+863=8√863,因此a=8,t=63, 因此a+t=71. 答案:71三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明进程或演算步骤)17.(10分)已知复数z=(−1+3i )(1−i )−(1+3i )i,ω=z+ai(a ∈R),当|ωz|≤√2时,求a 的取值范围.【解析】z=(−1+3i )(1−i )−(1+3i )i=(2+4i )−(1+3i )i=1+i i=−i (1+i )1=1-i.因为ω=z+ai=1-i+ai=1+(a-1)i,因此ωz=1+(a −1)i 1−i =[1+(a −1)i ](1+i )2=2−a +ai2.因此|ωz|=√(2−a )2+a 22≤√2,因此a 2-2a-2≤0, 因此1-√3≤a ≤1+√3.故a 的取值范围是[1-√3,1+√3].18.(12分)(2021·黄山高二检测)小流域综合治理能够有三个方法:工程方法、生物方法和农业技术方法.其中,工程方法包括打坝建库、平整土地、修大体农田和引水浇灌,其功能是贮水拦沙、改善生产条件和合理利用水土.生物方法包括栽种乔木、灌木和草木,其功能是蓄水保土和进展多种经营;农业技术方法包括深耕改土、科学施肥、选育良种,地膜覆盖和轮作套种,其功能是蓄水保土、提高肥力和充分利用光和热. 用结构图把“小流域综合治理”的方法与功能表示出来. 【解析】19.(12分)某小学对一年级的甲、乙两个班进行“数学学前教育”对“小学数学成绩优秀”阻碍的实验,其中甲班为实验班(实施了数学学前教育),乙班为对照班(和甲班一样进行常规教学,但没有实施数学学前教育),在期末测试后取得如下数据:可否在犯错误的概率不超过的前提下,认定进行“数学学前教育”对“小学数学成绩优秀”有踊跃作用?【解析】因为K 2=n (ad −bc )2(a +b )(c +d )(a +c )(b +d )=100×(30×25−20×25)250×50×55×45=10099≈<,因此,在犯错误的概率不超过的前提下,不能认定进行“数学学前教育”对“小学数学成绩优秀”有踊跃作用.20.(12分)画出“数列”一章的知识结构图. 【解析】如下图.21.(12分)已知正数a,b,c,d 知足a+b=c+d,且a<c ≤d<b,求证:√a +√b <√c +√d . 【证明】要证明√a +√b <√c +√d , 需证明(√a +√b )2<(√c +√d )2, 需证明a+b+2√ab <c+d+2√cd , 因为a+b=c+d,因此只需证明ab<cd, 需证明ab-bc<cd-bc, 需证明b(a-c)<c(d-b), 考虑a+b=c+d,即a-c=d-b, 需证明(a-c)(b-c)<0, 考虑a-c<0,需证明b-c>0,而b-c>0显然成立,因此√a +√b <√c +√d 成立.22.(12分)(2021·烟台高二检测)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,a n >0,a 1=23,且-3a 2,1a 3,1a 4成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式.(2)设数列{b n }知足b n ·log 3(1-S n+1)=1,求适合方程b 1b 2+b 2b 3+…+b n b n+1=2551的正整数n 的值.【解析】(1)设数列{a n }的公比为q,由-3a 2,1a 3,1a 4成等差数列,得-3+1q 2=2q ,解得q=13或q=-1(舍),因此a n =2×(13)n .(2)因S n+1=23(1−13n +1)1−13=1-13n +1,得log 3(1-S n+1) =log 313n +1=-n-1,因此b n =-1n +1,b n b n+1=1(n +1)(n +2)=1n +1-1n +2,b 1b 2+b 2b 3+…+b n b n+1=12-13+13-14+…+1n +1-1n +2=12-1n +2,由题意得12-1n +2=2551,解得n=100.。
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2021年高中数学综合质量评估新人教A版选修(I)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.“x>3”是“不等式x2-2x>0”的( )A.充分不必要条件B.充分必要条件C.必要不充分条件D.非充分必要条件【解析】选A.解不等式x2-2x>0得x<0或x>2,故“x>3”是“不等式x2-2x>0”的充分不必要条件.2.(xx·临沂高二检测)命题:“∀x∈R,都有x2-x+1>0”的否定是( )A.∀x∈R,都有x2-x+1≤0B.∃x0∈R,使-x0+1>0C.∃x0∈R,使-x0+1≤0D.∃x0∈R,使x2-x0+1<0【解析】选C.全称命题的否定是特称命题.3.函数y=f(x)的图象如图1所示,则y=f′(x)的图象可能是( )【解析】选D.由函数y=f(x)的图象可知当x<0时,函数单调递增,故f′(x)>0,当x>0时,函数单调递减,故f′(x)<0.4.(xx·河南南阳高二期末)若函数f(x)=x3+ax2+3x-9在x=-1时取得极值,则a等于( )A.1B.2C.3D.4【解析】选C.f′(x)=3x2+2ax+3.由题意知f′(-1)=0,解得a=3.5.设曲线y=ax2在点(1,a)处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a的值为( )A.1B.C.-D.-1【解析】选A.y′=2ax,于是曲线y=ax2在点(1,a)处切线的斜率为2a,由题意得2a=2,解得a=1.6.已知点P是双曲线-=1(a>0)上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1|=3,则|PF2|等于( )A.7B.6C.5D.3【解题指南】先根据渐近线方程求出a,再根据双曲线的定义求|PF2|.【解析】选A.由双曲线方程得渐近线方程为3x±ay=0,则a=2,双曲线中c=,b=3,由|PF1|=3知P为双曲线左支上一点,则|PF2|=|PF1|+4=7.7.椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,则双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为( )A. B. C. D.【解析】选B.由题意知=,得a2=4b2,又a>b>0,所以a=2b.所以双曲线的离心率e===.【补偿训练】设双曲线-=1的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为( ) A. B.5 C. D.【解析】选D.设双曲线的渐近线方程为y=kx,这条直线与抛物线y=x2+1相切,联立方程得整理得x2-kx+1=0,则Δ=k2-4=0,解得k=±2,即=2,故双曲线的离心率e====.8.(xx·青岛高二检测)设函数f(x)=x2-9lnx在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是( )A.(1,2]B.[4,+∞)C.(-∞,2]D.(0,3]【解析】选A.f′(x)=x-=(x>0),令f′(x)≤0得0<x≤3.所以f(x)在(0,3]上单调递减,所以解得1<a≤2.9.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选B.因为双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,所以F(-6,0)是双曲线的左焦点,即a2+b2=36,又双曲线的一条渐近线方程是y=x,所以=,解得a2=9,b2=27,所以双曲线的方程为-=1. 10.(xx·大连高二检测)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,M是抛物线C上的点,若三角形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36π,则p的值为( )A.2B.4C.6D.8【解析】选D.因为△OFM的外接圆与抛物线C:y2=2px(p>0)的准线相切,所以△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径.因为圆的面积为36π,所以圆的半径为6,又因为圆心在OF的垂直平分线上,|OF|=,所以+=6,p=8.11.(xx·济南二模)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x1处取得极大值,在x2处取得极小值,满足x1∈(-1,0),x2∈(0,1),则的取值范围是( )A.(0,2)B.(1,3)C.[0,3]D.[1,3]【解析】选B.因为f(x)=x3+ax2+bx+c,所以f′(x)=x2+ax+b.因为函数f(x)在区间(-1,0)内取得极大值,在区间(0,1)内取得极小值,所以f′(x)=x2+ax+b=0在(-1,0)和(0,1)内各有一个根,f′(0)<0,f′(-1)>0,f′(1)>0,即在aOb坐标系中画出其表示的区域,如图,=1+2×,令m=,其几何意义为区域中任意一点与点(-2,-1)连线的斜率,分析可得0<<1,则1<<3,所以的取值范围是(1,3).12.(xx·厦门模拟)若点O和点F(-2,0)分别是双曲线-y2=1(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则·的取值范围为( )A.[3-2,+∞)B.[3+2,+∞)C. D.【解析】选B.因为F(-2,0)是已知双曲线的左焦点,所以a2+1=4,即a2=3,所以双曲线方程为-y2=1,设点P(x0,y0)(x0≥),则有-=1(x0≥),解得=-1(x0≥),因为=(x0+2,y0),=(x0,y0),所以·=x0(x0+2)+=x0(x0+2)+-1=+2x0-1,此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=-,因为x0≥,所以当x0=时,·取得最小值×3+2-1=3+2,故·的取值范围是[3+2,+∞).二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.函数f(x)=lnx的图象在点(e,f(e))处的切线方程是.【解析】因为f′(x)=,所以f′(e)=,又f(e)=1,所以切线方程为y-1=(x-e),即y=x.答案:y=x14.若命题“∃x0∈R,a+x0+1<0”是假命题,则a的取值范围是.【解析】因为∃x0∈R,a+x0+1<0是假命题,所以∀x∈R,ax2+x+1≥0恒成立,当a=0时,1≥0,命题成立.当a≠0时,即所以a≥,所以a的取值范围为a≥或a=0.答案:a≥或a=015.(xx·临沂高二检测)若直线y=kx是y=f(x)=lnx的一条切线,则k= .【解析】设切点坐标为(x0,y0).因为y=lnx,所以y′=.所以f′(x0)==k.因为点(x0,y0)既在直线y=kx上,也在曲线y=lnx上,所以把k=代入①式得y0=1,再把y0=1代入②式求出x0=e.所以k==.答案:16.(xx·北京高考)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(,0),则a= ,b= .【解题指南】焦点在x轴的双曲线的渐近线为y=±x,焦点(±c,0).【解析】因为渐近线方程y=-2x,所以=2①.焦点(,0),所以c=.所以a2+b2=c2=5②.由①②联立解得a=1,b=2. 答案:1 2三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(xx·西安高二检测)命题p:关于x的不等式x2+2ax+4>0对一切x∈R恒成立,q:函数f(x)=(3-2a)x 是增函数,若p或q为真,p且q为假,求实数a的取值范围.【解析】设g(x)=x2+2ax+4,若p真,由于关于x的不等式x2+2ax+4>0对一切x∈R恒成立,所以函数g(x)的图象开口向上且与x轴没有交点,故Δ=4a2-16<0,所以-2<a<2.若q真,即函数f(x)=(3-2a)x是增函数,则3-2a>1,所以a<1.又由于p或q为真,p且q为假,所以p和q一真一假,(1)若p真q假,则所以1≤a<2.(2)若p假q真,则所以a≤-2.综上可知,所求实数a的取值范围为(-∞,-2]∪[1,2).【补偿训练】已知p:f(x)=x+在区间 [1,+∞)上是增函数;q:f(x)=x3+ax2+3x+1在R上有极值.若“p∨q”为真,求实数a的取值范围.【解析】若p真,f′(x)=1-.因为f(x)=x+在区间[1,+∞)上是增函数,则f′(x)=1-≥0在[1,+∞)上恒成立,即a≤x2在[1,+∞)上恒成立,所以a≤(x2)min,所以a≤1.p:A={a|a≤1}.若q真,f′(x)=3x2+2ax+3.要使得f(x)=x3+ax2+3x+1在R上有极值,则f′(x)=3x2+2ax+3=0有两个不相等的实数解,Δ=4a2-4×3×3>0,解得a<-3或a>3.q:B={a|a<-3或a>3}.因为“p∨q”为真,所以A∪B={a|a≤1或a>3}.所以所求实数a的取值范围为(-∞,1]∪(3,+∞).18.(12分)(xx·衡水高二检测)已知函数f(x)=x3-x2+bx+c.(1)若f(x)的图象有与x轴平行的切线,求b的取值范围.(2)若f(x)在x=1处取得极值,且x∈[-1,2]时,f(x)<c2恒成立,求c的取值范围.【解析】(1)f′(x)=3x2-x+b,f(x)的图象上有与x轴平行的切线,则f′(x)=0有实数解.即方程3x2-x+b=0有实数解.所以Δ=1-12b≥0,解得b≤.(2)由题意,得x=1是方程3x2-x+b=0的一个根,设另一个根为x0,则解得所以f(x)=x3-x2-2x+c,f′(x)=3x2-x-2.当x∈时,f′(x)<0;当x∈(1,2]∪时,f′(x)>0.所以当x=-时,f(x)有极大值+c,又f(-1)=+c,f(2)=2+c,所以当x∈[-1,2]时,f(x)的最大值为f(2)=2+c.因为当x∈[-1,2]时,f(x)<c2恒成立.所以c2>2+c,解得c<-1或c>2,所以c的取值范围是(-∞,-1)∪(2,+∞).19.(12分)已知椭圆的两焦点为F1(-,0),F2(,0),离心率e=.(1)求此椭圆的方程.(2)设直线l:y=x+m,若l与此椭圆相交于P,Q两点,且|PQ|等于椭圆的短轴长,求m的值. 【解析】(1)设椭圆方程为+=1(a>b>0),则c=,=,所以a=2,b2=a2-c2=1.所以所求椭圆方程为+y2=1.(2)由消去y,得5x2+8mx+4(m2-1)=0,则Δ=64m2-80(m2-1)>0,得m2<5(*).设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,y1-y2=x1-x2,|PQ|===2.解得m2=,满足(*),所以m=±.20.(12分)已知函数f(x)=-x3+2ax2-3a2x+b(a>0).(1)当f(x)的极小值为-,极大值为-1时,求函数f(x)的解析式.(2)若f(x)在区间[1,2]上为增函数,在区间[6,+∞)上为减函数,求实数a的取值范围.【解析】(1)f′(x)=-x2+4ax-3a2=-(x-a)(x-3a),令f′(x)≥0,得a≤x≤3a,令f′(x)≤0,得x≥3a或x≤a,所以f(x)在(-∞,a]上是减函数,在[a,3a]上是增函数,在[3a,+∞)上是减函数,所以f(x)在x=a处取得极小值,在x=3a处取得极大值.由已知有即解得所以函数f(x)的解析式为f(x)=-x3+2x2-3x-1.(2)由(1)知f(x)在(-∞,a]上是减函数,在[a,3a]上是增函数,在[3a,+∞)上是减函数,所以要使f(x)在区间[1,2]上为增函数,在区间[6,+∞)上是减函数,则必须有解得实数a的取值范围为.21.(12分)(xx·南阳高二检测)如图,已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线l与抛物线C交于A(x1,y1)(y1>0),B(x2,y2)两点,T为抛物线的准线与x轴的交点.(1)若·=1,求直线l的斜率.(2)求∠ATF的最大值.【解析】(1)由题意得F(1,0),T(-1,0),当直线l与x轴垂直时,A(1,2),B(1,-2),此时·=(2,2)·(2,-2)=0,这与·=1矛盾.故直线l与x轴不垂直.设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y=k(x-1). ①将①代入y2=4x整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.所以x1+x2=,x1x2=1.所以y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=-4,所以·=(x1+1,y1)·(x2+1,y2)=x1x2+(x1+x2)+1+y1y2=1++1-4==1.解得k=±2.(2)因为y1>0,所以tan∠ATF===≤1.当且仅当y1=即y1=2时取等号.故∠ATF的最大值为.22.(12分)已知函数f(x)=-x3+x2-2x(a∈R).(1)当a=3时,求函数f(x)的单调区间.(2)若对于任意x∈[1,+∞)都有f′(x)<2(a-1)成立,求实数a的取值范围.【解析】(1)当a=3时,函数f(x)=-x3+x2-2x,得f′(x)=-x2+3x-2=-(x-1)(x-2).所以当1<x<2时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;当x<1或x>2时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;所以函数f(x)的单调递增区间为(1,2),单调递减区间为(-∞,1)和(2,+∞).(2)由f(x)=-x3+x2-2x,得f′(x)=-x2+ax-2,因为对于任意x∈[1,+∞)都有f′(x)<2(a-1)成立,所以问题转化为对于任意x∈[1,+∞)都有f′(x)max<2(a-1).因为f′(x)=-+-2,其图象开口向下,对称轴为x=.①当≤1即a≤2时,f′(x)在[1,+∞)上单调递减, 所以f′(x)max=f′(1)=a-3,由a-3<2(a-1),得a>-1,此时-1<a≤2.②当>1即a>2时,f′(x)在上单调减增,在上单调递减,所以f′(x)max=f′=-2,由-2<2(a-1),得0<a<8,此时2<a<8,综上可得,实数a的取值范围为(-1,8).。