数列中的数表、数阵问题

( C)
321
A. － 3600 B.1800 C. －1080 D. －720
略解:1，2，3，4，5的全排列数为120，每个数字
各用24次，所以每一列个数之和都是360，用 1，2，
3，4，5形成的数阵中，
b +b +…b =360×(－1+2－3+4－5)=－1080. 9
11.将给定的25个数排成如下图所示的数表，若每 行5个数按从左至右的顺序构成等差数列，每列的 5个数按从上到下的顺序也构成等差数列，且表正 中间一个数a33＝1，则表中所有数之和为_2_5_. 《2006年深圳市高三年级第一次调研考试》
北大附中深圳南山分校 高三数学组倪 杰
2020年1月23日
数列中的有关数阵、数表问题
1.在下面表格中，每格填上一个数字后,使每一横
行成等差数列，每一纵列成等比数列，则
1
15
a=__2_；b+c=__32_.
东莞市2005-2006学年度第一学期教学质量检查
1
32
2
0.5 3 1
53
2 53
a1 2
132
记bi=－ai1+2ai2－3ai3+ …+(－1)nnain，i=1，2， 213
3， …，n! ，用1，2，3可成数阵如右图， 由于数阵中每一列个数之和都是12，所以，
231
b1+b2+…b6=－12+2×12－3×12
312
= －24，那么在用 1，2，3，4，5形成的数
阵中，b1+b2+…b120 =
第14行的第9个数.
4
6.观察下面的数阵, 容易看出, 第n行最右边的数是
n2, 那么第20行最左边的数是几?第20行所有数的和
是多少?
1
234
56789
10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24 25
… …………… 解 第20行最左边的数为192+1=362，第20行共有
287
7 9 11 13 1 ，1 ，1 ， ，1 15 17 19 29
5.给出数表:
1，
①
前m行共有几个数？
1 2
m(m
+1)
②第m行的第一个数和最后一
2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10，
个数各是多少？1 m(m 1) +1，1 m(m 1) ③求第m行的各数2 之和；12 m2(m2 +1) ④数100是第几行的第几个数？
15 13 11 9
数行是以15为首项，16为公
差的等差数列，所以通项公
17 19 21 23 式可写为an=8n－1，其中n取
31 29 27 25
正偶数，当n=250时，
… 3…3 …35 3…7 …39
47 45 43 41
……………
1999 2001 2003 2005
第251行
07
a250=1999，数下来在第250 行上有：第二个数开始分别 为2001，2003，2005，
2
1 [1 n(n 1)(2n 1) 1 n(n +1)]
26
2
3
4到.把小数，列左{大2n1右1小} 的的所原有则数写按成照如从下大数113，15
第七行最后 一个为 1 .
表:第k行有2 k－1个数，第t行的第 s 1 ，1，1 ，1 253
个数（从左数起）记为A(t，s)， 则A(8，17)= _____. 1
b + c = 15 .
4
42
32
1
3 a1 5
3 你能否求出这张
48
2 8 4 表的所有数字之
b5
和？
16
c5
32
2
2.在如图所式的表格中，每格 1 2 3 4
填上一个数字后，使每一横行 成等差数列，每一纵列成等比
0.5
1
数列，则a+b+c的值为
9
____. 8
a=
1 2
，b=
83，c=
14，a
a51 a52 a53 a54 a55 +a35)=25
5a31 5a32 5a33 5a34 5a35 细心观察
10
12.64个正数排成8行8列 ，如下图所示，
a11 a12 a21 a22
a13 a23
a14 a24
a15 a25
a31+a35= 2a33 = 2 a32+a34= 2a33 = 2 a31+a32 + a33 + a34
a31 a32 a33=1 a34 a35 +a35= 5
a41
a42
a43
a44
a45
表中所有数之和为 5(a31+a32 + a33 + a34
第7行 1 1 1 1 1 1 1 1
…………………………
解:由不完全归纳 法知，全行都为1 的是第2 n－1行; ∵ n=6， ∴ 26－1=63， 故第63行共有64 个1，逆推知第62 行共有32个1，第 61行共有32个1. 8
10. 用n个不同的实数a1，a2，…，an可得n! 123
个不同的排列，每个排列为一行写成一个 n!行的数阵，对第i行，ai1，ai2，…，ain，
图1所示的0～1三角数表．从上往下数，第1次全
行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的
是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第__2_n_－__1
行；第61行中1的个数是 32 .
第1行
11
第2行
101
第3行
1111
第4行 1 0 0 0 1
第5行 1 1 0 0 1 1
第6行 1…0……1 …0 …1 …0…1
+b+c=
9 8
a b c
3.在杨辉三角中，斜线AB
1 1A
上方一斜行的前n个数字和
121 1331
则S(n)=1+3+6+…=________.
14641
… …B … …
S(n)=1+3+6+10+…=1+(1+2)+(1+2+3)+…(1+2+…+n)
= 1 [(12+1)+(22+2)+(32+3)+…+(n2+n)]
所以2007排在该表的第251 行，第5列．
6
8. 将正偶数按下表排成5列:
第1列 第2列 第3列 第4列 第5列
第1行
2
4
6
8
第2行 16 14 12 10
第3行
18 20 22 24
第4行 32 30 28 26
…
…… … …
…
则2006在第_2_5_1_行 ，第__4__列.
7
9.将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如
2×20－1=39个连续的自然数，它们的和是
39 (362 400) 14859.
2
或362×39+
1 2
×39×38×1=14859.
5
7.将正奇数按如下规律填在5列的数表中：则2007
排在该表的第 251 行，第 5 列．
(行是从上往下ຫໍສະໝຸດ Baidu，列是从左往右数)
1 3 5 7 解: 仔细观察可发现第1列偶