数理统计试题及答案

一、填空题（本题15分，每题3分）
1、总体)3,20(~N X 的容量分别为10，15的两独立样本均值差~Y X -________；
2、设1621,...,,X X X 为取自总体)5.0,0(~2N X 的一个样本，若已知0.32)16(2
01.0=χ,则
}8{16
1
2∑=≥i i X P =________；
3、设总体),(~2
σμN X ，若μ和2
σ均未知，n 为样本容量，总体均值μ的置信水平为
α-1的置信区间为),(λλ+-X X ，则λ的值为________；
4、设n X X X ,...,,21为取自总体),(~2σμN X 的一个样本，对于给定的显著性水平α，已知关于2
σ检验的拒绝域为χ2
≤)1(21--n αχ，则相应的备择假设1H 为________；
5、设总体),(~2σμN X ，2
σ已知，在显著性水平下，检验假设00:μμ≥H ,01:μμ<H ，
拒绝域是________。

1、)2
1
0(，N ； 2、； 3、n
S n t )
1(2
-α； 4、2
02σσ<； 5、05.0z z -≤。

二、选择题（本题15分，每题3分）
1、设321,,X X X 是取自总体X 的一个样本，α是未知参数，以下函数是统计量的为（ ）。

（A ）)(321X X X ++α （B ）321X X X ++ （C ）
3211
X X X α
（D ）
23
1)(31α-∑=i i X 2、设n X X X ,...,,21为取自总体),(~2σμN X 的样本，X 为样本均值，21
2
)(1X X n S i n i n -=∑=，
则服从自由度为1-n 的t 分布的统计量为（ ）。

（A ）
σμ）
-X n ( （B ）n S X n )(μ- （C ）σ
μ）--X n (1 （D ）n S X n )(1μ--
3、设n X X X ,,,21Λ是来自总体的样本，2
)(σ=X D 存在， 21
2
)(11X X n S i n
i --=∑=, 则（ ）。

（A ）2S 是2σ的矩估计
（B ）2S 是2σ的极大似然估计
（C ）2S 是2σ的无偏估计和相合估计
（D ）2S 作为2σ的估计其优良性与分布有关
4、设总体),(~),,(~2
2
2211σμσμN Y N X 相互独立，样本容量分别为21,n n ，样本方差分别
为2
221,S S ，在显著性水平α下，检验2221122210:,:σσσσ<≥H H 的拒绝域为（ ）。

（A ）
)1,1(122
12
2
--≥n n F s s α （B ）
)1,1(122
12
122
--≥-
n n F
s s α
（C ）
)1,1(212
122
--≤n n F s s α （D ）
)1,1(212
12
122
--≤-
n n F
s s α
5、设总体),(~2σμN X ，2σ已知，μ未知，n x x x ,,,21Λ是来自总体的样本观察值，已
知
μ的置信水平为的置信区间为（，
），则取显著性水平05.0=α时，检验假设0.5:,0.5:10≠=μμH H 的结果是（ ）。

（A ）不能确定 （B ）接受0H （C ）拒绝0H （D ）条件不足无法检验
1、B ；
2、D ；
3、C ；
4、A ；
5、B.
三、（本题14分） 设随机变量X 的概率密度为：⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他θ
θx x x f 0,
0,
2)(2，其中未知
参数0>θ，n X X ,,1Λ是来自X 的样本，求（1）θ的矩估计；（2）θ的极大似然估计。

解：(1) θθ
θ32
2)()(0
2
2
===⎰⎰∞
+∞-x d x
x d x f x X E ， 令θ32
)ˆ(==X X
E ，得X 23
ˆ=θ为参数θ的矩估计量。

(2)似然函数为：),,2,1(,022),(1
212
n i x x x x L i n
i i n
n
n
i i
i Λ=<<==∏∏
==θθ
θ
θ，
， 而)(θL 是θ的单调减少函数，所以θ的极大似然估计量为},,,max{ˆ21n
X X X Λ=θ。

四、（本题14分）设总体),0(~2σN X ，且1021,x x x Λ是样本观察值，样本方差22=s ， （1）求2
σ的置信水平为的置信区间；（2）已知)1(~2
2
2
χσX Y =
，求⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛32σX D 的置信水平为的置信区间；（70.2)9(2975.0=χ，023.19)9(2
025.0=χ）。

解：
（1）2σ的置信水平为的置信区间为⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛)9(18,)9(182975.02025.0χχ，即为（，）；
（2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32σX D =22
2
2222)]1([11σχσσσ==⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛D X D ； 由于2322σσ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛X D 是2σ的单调减少函数，置信区间为⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛222,2σσ， 即为（，）。

五、（本题10分）设总体X 服从参数为θ的指数分布，其中0>θ未知，n X X ,,1Λ为取自总体X 的样本， 若已知)2(~2
21
n X U n
i i χθ
∑==
，求： （1）θ的置信水平为α-1的单侧置信下限；
（2）某种元件的寿命（单位：h ）服从上述指数分布，现从中抽得容量为16的样本，测得样本均值为5010（h ），试求元件的平均寿命的置信水平为的单侧置信下限。

)585.42)32(,985.44)31((2
10.0205.0==χχ。

解：(1) ,1)2(2,1)2(222αχθαχθαα-=⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>∴-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<n X n P n X n P Θ
即θ的单侧置信下限为)
2(22
n X n αχθ=
；（2）706.3764585.425010162=⨯⨯=θ。

六、（本题14分）某工厂正常生产时，排出的污水中动植物油的浓度)1,10(~N X ，今阶段性抽取10个水样，测得平均浓度为（mg/L ），标准差为（mg/L ），问该工厂生产是否正常
（22
0.0250.0250.9750.05,(9) 2.2622,(9)19.023,(9) 2.700t αχχ====）
解：（1）检验假设H 0：σ2
=1，H 1：σ2
≠1； 取统计量：2
2
2
)1(σχs n -=
；
拒绝域为：χ2
≤)9()1(2975.022
1χχ
α
=--
n =或χ2≥2
025.022
)1(χχα=-n =，
经计算：96.121
2.19)1(22
2
2
=⨯=-=
σχs n ，由于)023.19,700.2(96.122∈=χ2，
故接受H 0，即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为σ2
=1。

（2）检验假设101010
≠'='μμ：，：H H ； 取统计量：10
/10S X t -=~ )9(2
αt ；
拒绝域为2622.2)9(025.0=≥t t ；1028.210
/2.1108.10=-=
t Θ< ，所以接受0
H '， 即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是10（mg/L ）。

综上，认为工厂生产正常。

七、（本题10分）设4321,,,X X X X 为取自总体)4,(~2μN X 的样本，对假设检验问题5:,5:10≠=μμH H ，（1）在显著性水平下求拒绝域；（2）若μ=6，求上述检验所犯的第二类错误的概率β。

解：(1) 拒绝域为96.12
5
4
/45025.0=≥-=
-=
z x x z ; （2）由(1)解得接受域为（，），当μ=6时，接受0H 的概率为
921.02608.12692.8}92.808.1{=⎪⎭
⎫
⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫
⎝⎛-Φ=<<=X P β。

八、（本题8分）设随机变量X 服从自由度为),(n m 的F 分布，(1)证明：随机变量X
1
服从 自由度为),(m n 的F 分布；(2)若n m =，且05.0}{=>αX P ，求}1
{α
>X P 的值。

证明：因为),(~n m F X ,由F 分布的定义可令n
V m
U X //=，其中)(~),(~22n V m U χχ，U 与V 相互独立，所以
),(~//1m n F m U n V X =。

当n m =时，X 与X 1服从自由度为),(n n 的F 分布，故有=>}{αX P }1
{α>X P ，
从而 95.005.01}{1}1
{1}1{}1{=-=>-=>-=<=>ααααX P X
P X P X P 。