微分方程与差分方程 详解与例题

第七章 常微分方程与差分方程常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。

微分方程作为考试的重点内容，每年研究生考试均会考到。

特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。

【数学一大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli ）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler ）方程；微分方程的简单应用。

【数学二大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；微分方程的一些简单应用。

【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。

理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。

了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。

会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。

【考点分析】本章包括三个重点内容：1．常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。

求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。

2．微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。

利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。

若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。

3．数学三要求掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法，了解差分与差分方程及其通解与特解等概念，会用差分方程求解简单的经济应用问题。

【考点八十三】形如()()y f x g y '=的一阶微分方程称为变量可分离微分方程。

可分离变量的微分方程的解题程序： 当()0,()()()()dyg y y f x g y f x dx g y '≠=⇔=时，然后左、右两端积分 (),()dyf x dx Cg y =+⎰⎰上式即为变量可分离微分方程的通解。

其中，C 为任意常数，1()()dy g y g y ⎰表示函数的一个原函数，()f x dx ⎰表示函数()f x 的一个原函数. 【例7.1】微分方程1+++='y x xy y 的通解为____________。

【详解】()()dxdyy x y =++='11 ， ()dx x y dy 11+=+∴. 两边积分得()⎰⎰+=+dx x y dy11， 即 ()121211ln c x y ++=+， ()()2211211211++=⋅±=+∴x x c Ce e ey ，()12121-=∴+x Ce y，C 为任意常数。

【例7.2】微分方程()()022=-++dy y y x dx x xy ，当0=x 时，1=y 的特解为____________。

【详解】分离变量得 ()()01122=-++dy x y dx y x ，01122=++-∴dy y y dx x x .积分得⎰⎰=++-12211C dy y y dx x x ，1221ln 211ln 21C y x =++-∴， ()122211ln C y x =+-，即()()C e y x C =±=+-122211.令1,0==y x ，则C =-2， ∴所求特解为()()21122-=+-y x . 【例7.3】若连续函数()f x 满足关系式()20ln 22x t f x f dt ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰，则 ()f x 等于（ ）（A ）ln 2.x e （B ）2ln 2.x e （C ）ln 2.x e +（D ）2ln 2.x e +【详解】对所给关系式两边关于x 求导，得()()2f x f x '=，且有初始条件()0ln 2f =. 于是，()()2f x f x '=，()()2df x dx f x =，积分得 ()ln ||2ln ||f x x C =+，故 ()2.x f x Ce =令()20,ln 2.ln 2.xx C f x e===得故应选（B ）。

【例7.4】已知曲线()()10,,,2y f x x y⎛⎫=- ⎪⎝⎭过点且其上任一点处的切线斜率为()2ln 1,x x +则()_______f x =.【详解】()()201ln 1,|.2x dy y f x x x y dx ===+=-满足()()()()()222222111ln 1ln 11ln 1222y x x dx x d x x x x C =+=+=++-+⎰⎰ 将10,,2x y ==-代入上式1.2C =-得()()()2211ln 11.2f x x x ⎡⎤=++-⎢⎥⎣⎦故【例7.5】一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S 成正比，比例常数0>k 。

假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为0r 的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的87，问雪堆全部融化需要多少小时？ 【详解】半径为r 的球体体积为334r π，表面积为24r π，而雪堆为半球体状，故设雪堆在t 时刻的底面半径为r ，于是雪堆在t 时刻的体积332r V π=，侧面积22r S π=。

其中体积V ，半径r 与侧面积S 均为时间t 的函数。

由题意，有kS dtdv -=. 222332r k dt drr ππ⋅-=⋅∴ 。

即kdt dr k dtdr-=-=,， ⎰⎰-=dt k dr ，c kt r +-=∴ 又0=t 时，00r r t ==, C r =∴0，即0r kt r +-= .而0381===t t V V，即()30303281332r r k ππ⋅=+- . 061r k =∴，0061r t r r +-=。

当雪堆全部融化时，0,0==V r ∴令00610r t r +-= ，得6=t （小时）。

【例7.6】在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的，设该人群的总人数为N ，在0=t 时刻已掌握新技术的人数为0x ，在任意时刻t 已掌握新技术的人数为)(t x （将)(t x 视为连续可微变量），其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例系数0>k ，求)(t x 。

【详解】首先要根据题中所给条件，建立)(t x 的微分方程。

由于题中条件很明确，即：)(t x 的变化率dtdx与())()(t x N t x -⋅成正比，容易得出)(t x 的微分方程，再求出特解即得)(t x 。

由已知得()⎪⎩⎪⎨⎧=-==00x x x N kx dt dxt , 分离变量，得()kdt x N x dx =- .积分得()⎰⎰=-kdt x N x dx即 ()⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-=+dx x N x N x x N dx c kt 1111⎰⎪⎭⎫⎝⎛--=dx N x x N 111xN xN N x x N -=-=ln1ln 1 1lnNc Nkt x N x +=-∴ , Nkt Ntk NC Ce e e xN x =⋅=-1 . NktNkt ce Nce x +=∴1 , 又00x x t == ∴代入得 0x N x C -=， 故 NktNkt ex x N e Nx t x 000)(+-= 。

【考点八十四】形如⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y dx dy ϕ的微分方程称为齐次方程。

其解法是固定的：令xyu =，则dx du x u dx dy ux u +==,，代入得 ()u dxdux u ϕ=+ .分离变量，得()x dx u u du =-ϕ 。

两端积分，得()⎰⎰=-x dx u u duϕ，求出积分后，将u 换成xy，即得齐次方程的通解。

【例7.7】求初值问题()⎪⎩⎪⎨⎧=>=-⎪⎭⎫ ⎝⎛++=00 0122x y x xdy dx yx y 的解。

【详解】022=-⎪⎭⎫ ⎝⎛++xdy dx yx y ()0x >dy dx ∴=21⎪⎭⎫ ⎝⎛++=x y x y故此方程为齐次方程，其解法是固定的。

令dx du x u dx dy xu y x y u +===,,，故21u u dxdu x u ++=+xdxudu =+∴21，积分得 ()12ln 1ln c x u u +=++x e e u u c C x ⋅==++∴+11ln 21Cx =代入x yu =，得 Cx xy x y =++221即222cx y x y =++，由已知01==x y ，代入得101022⋅=++C ， 1=∴C∴所求初值问题的解为 222x y x y =++，化简得()1212-=x y . 【例7.8】设函数)(x f 在),1[+∞上连续。

若由曲线)(x f y =，直线)1(,1>==t t x x 与x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体体积为 )].1()([3)(2f t f t t V -=π试求)(x f y =所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件922==x y的解。

【详解】由旋转体体积计算公式得,)()(12dx x ft V t⎰=π于是，依题意得)]1()([3)(212f t f t dx x f t-=⎰ππ .两边对t 求导得 ).(')(2)(322t f t t tf t f += 将上式改写为 xy y y x 23'22-=，即.2)(32xy x y dx dy ⋅-= 令xy u =，则有 ).1(3-=u u dx dux 当1,0≠≠u u 时，由xdxu u du 3)1(=-. 两边积分得31Cx u u =-. 从而方程xyx y dx dy ⋅-=2)(32的通解为C y Cx x y (3=-为任意常数）。

由已知条件，求得,1-=C 从而所求的解为y x x y 3-=-或).1(13≥+=x xxy 【例7.9】求微分方程222(32)(2)0x xy y dx x xy dy +-+-=的通解.【详解】将微分方程222(32)(2)0x x y y d x x x y d y +-+-=进行恒等变形，化为22223.2dy y xy x dx x xy--=- 设y xu =，有()23121u u du x dx u --=--，则 22131u du dx x u u -=---. 积分得232231,.u u Cx xy x y x C ---=--=即【考点八十五】1. 形如()()0dyp x y Q x dx+=≠的微分方程称为一阶线性非齐次微分方程，其通解公式为：[]⎰+⎰=⎰-c ex Q dx x p )(p(x)dx )(e y . 【评注】由于一阶微分方程的通解只包含一个任意常数c,因此通解公式中的积分⎰和dx x p )(dx ex Q dxx p ⎰⎰)()(，只表示其中一个任意的原函数，不含任意常数c 。