微分方程与差分方程 详解与例题

第七章 常微分方程与差分方程

常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。微分方程作为考试的重点内容，每年研究生考试均会考到。特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。

【数学一大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli ）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler ）方程；微分方程的简单应用。

【数学二大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；微分方程的一些简单应用。

【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。 【考点分析】本章包括三个重点内容：

1．常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。

2．微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。

3．数学三要求掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法，了解差分与差分方程及其通解与特解等概念，会用差分方程求解简单的经济应用问题。

【考点八十三】形如()()y f x g y '=的一阶微分方程称为变量可分离微分方程。可分离变量的微分方程的解题程序： 当()0,()()()()

dy

g y y f x g y f x dx g y '≠=⇔

=时，然后左、右两端积分 (),()dy

f x dx C

g y =+⎰

⎰

上式即为变量可分离微分方程的通解。其中，C 为任意常数，1

()()

dy g y g y ⎰

表示函数的一个原函数，()f x dx ⎰表示函数()f x 的一个原函数. 【例7.1】微分方程1+++='y x xy y 的通解为____________。

【详解】()()dx

dy

y x y =

++='11 ， ()dx x y dy 11+=+∴

. 两边积分得()⎰

⎰

+=+dx x y dy

11， 即 ()1212

1

1ln c x y ++=

+， ()()2

21

12

1

12

1

1++=⋅±=+∴x x c Ce e e

y ，()12

12

1

-=∴+x Ce y

，C 为任意常数。

【例7.2】微分方程()()

022=-++dy y y x dx x xy ，当0=x 时，1=y 的特解为____________。 【详解】分离变量得 ()()

01122=-++dy x y dx y x ，01

1

22=++

-∴

dy y y dx x x .

积分得⎰⎰

=++-1221

1

C dy y y dx x x ，1221ln 2

1

1ln 21C y x =++-∴

， ()

122211ln C y x =+-，即()()C e y x C =±=+-122211.

令1,0==y x ，则C =-2， ∴所求特解为()()

21122-=+-y x . 【例7.3】若连续函数()f x 满足关系式()20ln 22x t f x f dt ⎛⎫

=+ ⎪⎝⎭

⎰

，则 ()f x 等于（ ）

（A ）ln 2.x e （B ）2ln 2.x e （C ）ln 2.x e +（D ）2ln 2.x e +

【详解】对所给关系式两边关于x 求导，得()()2f x f x '=，且有初始条件()0ln 2f =. 于是，

()()2f x f x '=，

()

()

2df x dx f x =，积分得 ()ln ||2ln ||f x x C =+，故 ()2.x f x Ce =

令()20,ln 2.ln 2.x

x C f x e

===得故应选（B ）。

【例7.4】已知曲线()(

)10,,,2y f x x y

⎛

⎫=- ⎪⎝⎭

过点且其上任一点处的切线斜率为()

2ln 1,x x +则()_______f x =.

【详解】()()

201ln 1,|.2x dy y f x x x y dx ===+=-满足

()()()()()

222222111

ln 1ln 11ln 1222

y x x dx x d x x x x C =+=+=++-+⎰⎰ 将

10,,2x y ==-代入上式1

.2

C =-得

()()(

)

221

1ln 11.2

f x x x ⎡⎤=++-⎢⎥⎣⎦故

【例7.5】一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S 成正比，比例常数0>k 。假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为0r 的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的

8

7

，问雪堆全部融化需要多少小时？ 【详解】半径为r 的球体体积为3

3

4r π，表面积为2

4r π，而雪堆为半球体状，故设雪堆在t 时刻

的底面半径为r ，于是雪堆在t 时刻的体积3

3

2r V π=，侧面积22r S π=。其中体积V ，半径r 与侧面积S 均为时间t 的函数。

由题意，有kS dt

dv -=. 222332r k dt dr

r ππ⋅-=⋅∴ 。

即

kdt dr k dt

dr

-=-=,， ⎰⎰-=dt k dr ，c kt r +-=∴ 又0=t 时，00

r r t ==, C r =∴0，即0r kt r +-= .

而03

8

1===t t V V

，即

()30303

2

81332r r k ππ⋅=+- . 06

1r k =

∴，0061

r t r r +-=。

当雪堆全部融化时，0,0==V r ∴令006

1

0r t r +-= ，得6=t （小时）

。 【例7.6】在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的，设该人群的总人数为N ，在0=t 时刻已掌握新技术的人数为0x ，在任意时刻t 已掌握新技术的人数为)(t x （将)(t x 视为连续可微变量），其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例系数0>k ，求)(t x 。

【详解】首先要根据题中所给条件，建立)(t x 的微分方程。由于题中条件很明确，即：)(t x 的变化率

dt

dx

与())()(t x N t x -⋅成正比，容易得出)(t x 的微分方程，再求出特解即得)(t x 。 由已知得()⎪⎩⎪⎨⎧=-==0

0x x x N kx dt dx

t , 分离变量，得()kdt x N x dx =- .