人教版 八年级数学讲义 最短路径问题 (含解析)

第6讲最短路径问题

知识定位

讲解用时：5分钟

A、适用范围：人教版初二，基础较好；

B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习最短路径问题，现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，最值问题不仅使学生难以理解，也是中考中的一个高频考点。本节将利用轴对称知识探究数学史上著名的“将军饮马问题”。

知识梳理

讲解用时：20分钟

两点之间线段最短

C D

A B

E

A地到B地有3条路线A-C-D-B，A-B，A-E-B，那么选哪条路线最近呢？

选A-B，因为两点之间，直线最短

垂线段最短

如图，点P是直线L外一点，点P与直线上各

点的所有连线中，哪条最短？

PC最短，因为垂线段最短

课堂精讲精练

【例题1】

已知点A，点B都在直线l的上方，试用尺规作图在直线l上求作一点P，使得PA+PB的值最小，则下列作法正确的是（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【解析】根据作图的方法即可得到结论．

解：作B关于直线l的对称点，连接这个对称点和A交直线l于P，则PA+PB的值最小，

∴D的作法正确，

故选：D．

讲解用时：3分钟

解题思路：本题考查了轴对称﹣最短距离问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．

教学建议：学会处理两点在直线同侧的最短距离问题.

难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018

【练习1.1】

如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需

管道最短的是（）

A． B．

C．D．

【答案】D

【解析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．

解：作点P关于直线L的对称点P′，连接QP′交直线L于M．

根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短．

故选：D．

讲解用时：3分钟

解题思路：本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别．

教学建议：学会处理两点在直线同侧的最短距离问题.

难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018

【练习1.2】

如图，A、B在直线l的两侧，在直线l上求一点P，使|PA﹣PB|的值最大．

【答案】见解析

【解析】作点A关于直线l的对称点A′，则PA=PA′，因而|PA﹣PB|=|PA′﹣PB|，则当A′，B、P在一条直线上时，|PA﹣PB|的值最大．

解：作点A关于直线l的对称点A′，连A′B并延长交直线l于P．

讲解用时：3分钟

解题思路：本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．

教学建议：学会作对称点，通过“两点之间线段最短”进行解题.

难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018

【例题2】

如图，A、B在直线l的同侧，在直线l上求一点P，使△PAB的周长最小．

【答案】

【解析】由于△PAB的周长=PA+AB+PB，而AB是定值，故只需在直线l上找一点P，使PA+PB最小．如果设A关于l的对称点为A′，使PA+PB最小就是使PA′+PB最小．

解：作法：作A关于l的对称点A′，

连接A′B交l于点P．

则点P就是所要求作的点；

理由：在l上取不同于P的点P′，连接AP′、BP′．

∵A和A′关于直线l对称，

∴PA=PA′，P′A=P′A′，

而A′P+BP＜A′P′+BP′

∴PA+BP＜AP′+BP′

∴AB+AP+BP＜AB+AP′+BP′

即△ABP周长小于△ABP′周长．

讲解用时：3分钟

解题思路：本题考查了轴对称﹣最短路线问题解这类问题的关键是把两条线段的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决．

教学建议：把三角形的周长用线段表示出来，通过转化成一条线段利用两点之间线段最短进行解题.

难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018

【练习2.1】

（Ⅰ）如图①，点A、B在直线l两侧，请你在直线l上画出一点P，使得PA+PB 的值最小；

（Ⅱ）如图②，点E、F在直线l同侧，请你在直线l上画出一点P，使得PE+PF 的值最小；

（Ⅲ）如图③，点M、N在直线l同侧，请你在直线l上画出两点O、P，使得OP=1cm，且MO+OP+PN的值最小．

（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见解析

【解析】（I）图①，显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点；

（II）图2，作E关于直线的对称点，连接FE′即可；

（III）图③，画出图形，作N的对称点N′，作NQ∥直线l，NQ=1cm，连接MQ

得出点O即可．

解：（I）如图①，连接A、B两点与直线的交点即为所求作的点P，这样PA+PB 最小，理由是：两点之间，线段最短；

（II）如图②，先作点E关于直线l的对称点E′，再连接E′F交l于点P，则PE+PF=E′P+PF=E′F，由“两点之间，线段最短”可知，点P即为所求的点；

（III）如图③，

作N关于直线l的对称点N′，过N′作线段N′Q∥直线l，且线段N′Q=1cm，连接MQ，交直线l于O，在直线l上截取OP=1cm，如图，连接NP，

则此时MO+OP+PN的值最小．

讲解用时：5分钟

解题思路：本题考查了轴对称﹣最短路线问题的应用，题目比较典型，第三小题有一定的难度，主要考查学生的理解能力和动手操作能力．

教学建议：学会作对称点，通过“两点之间线段最短”进行解题.

难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018

【例题3】

如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，求△CDM周长的最小值.

【答案】10