2020-2021全国中考数学相似的综合中考真题汇总及详细答案

2020-2021全国中考数学相似的综合中考真题汇总及详细答案

一、相似

1．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线x=1．

（1）求点C的坐标（用含a的代数式表示）；

（2）联结AC、BC，若△ABC的面积为6，求此抛物线的表达式；

（3）在第（2）小题的条件下，点Q为x轴正半轴上一点，点G与点C，点F与点A关于点Q成中心对称，当△CGF为直角三角形时，求点Q的坐标．

【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x=1，

而抛物线与x轴的一个交点A的坐标为（﹣1，0）

∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（3，0）

设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），

即y=ax2﹣2ax﹣3a，

当x=0时，y=﹣3a，

∴C（0，﹣3a）

（2）解：∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3a），

∴AB=4，OC=3a，

∴S△ACB= AB•OC=6，

∴6a=6，解得a=1，

∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3

（3）解：设点Q的坐标为（m，0）．过点G作GH⊥x轴，垂足为点H，如图，

∵点G与点C，点F与点A关于点Q成中心对称，

∴QC=QG，QA=QF=m+1，QO=QH=m，OC=GH=3，

∴OF=2m+1，HF=1，

当∠CGF=90°时，

∵∠QGH+∠FGH=90°，∠QGH+∠GQH=90°，

∴∠GQH=∠HGF，

∴Rt△QGH∽Rt△GFH，

∴ = ，即，解得m=9，

∴Q的坐标为（9，0）；

当∠CFG=90°时，

∵∠GFH+∠CFO=90°，∠GFH+∠FGH=90°，

∴∠CFO=∠FGH，

∴Rt△GFH∽Rt△FCO，

∴ = ，即 = ，解得m=4，

∴Q的坐标为（4，0）；

∠GCF=90°不存在，

综上所述，点Q的坐标为（4，0）或（9，0）．

【解析】【分析】（1）根据抛物线是轴对称图形和已知条件可求得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标，再用交点式可求得抛物线的解析式，然后根据抛物线与y轴交于点C可得x=0，把x=0代入解析式即可求得点C的坐标；

（2）由（1）的结论可求得AB=4，OC=3a，根据三角形ABC的面积=AB•OC=6可求得a的值，则解析式可求解；

（3）设点Q的坐标为（m，0）．过点G作GH⊥x轴，垂足为点H，根据中心对称的性质可得QC=QG，QA=QF=m+1，QO=QH=m，OC=GH=3。分两种情况讨论：①当∠CGF=90°时，由同角的余角相等可得∠GQH=∠HGF，于是根据有两个角相等的两个三角形相似可得

Rt△QGH∽Rt△GFH，则可得比例式，代入可求得m的值，则点Q的坐标可求解；

②当∠CFG=90°时，同理可得另一个Q坐标。

2．已知：如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点0．点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：

（1）当t为何值时，△AOP是等腰三角形？

（2）设五边形OECQF的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形S五边形OECQF：S△ACD=9：16？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分∠COP？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）解：∵在矩形ABCD中，Ab=6cm，BC=8cm，

∴AC=10，

①当AP=PO=t，如图1，过P作PM⊥AO，

∴AM= AO= ，

∵∠PMA=∠ADC=90°，∠PAM=∠CAD，

∴△APM∽△ADC，

∴，

∴AP=t= ，

②当AP=AO=t=5，

∴当t为或5时，△AOP是等腰三角形

（2）解：作EH⊥AC于H，QM⊥AC于M，DN⊥AC于N，交QF于G，

在△APO与△CEO中，

∵∠PAO=∠ECO，AO=OC，∠AOP=∠COE，

∴△AOP≌△COE，

∴CE=AP=t，

∵△CEH∽△ABC，

∴，

∴EH= ，

∵DN= = ，

∵QM∥DN，

∴△CQM∽△CDN，

∴，即，

∴QM= ，

∴DG= = ，

∵FQ∥AC，

∴△DFQ∽△DOC，

∴，

∴FQ= ，

∴S五边形OECQF=S△OEC+S四边形OCQF= =

，

∴S与t的函数关系式为

（3）解：存在，

∵S△ACD= ×6×8=24，

∴S五边形OECQF：S△ACD=（）：24=9：16，解得t= ，t=0，（不合题意，舍去），

∴t= 时，S五边形S五边形OECQF：S△ACD=9：16

（4）解：如图3，过D作DM⊥AC于M，DN⊥AC于N，

∵∠POD=∠COD，

∴DM=DN= ，

∴ON=OM= = ，

∵OP•DM=3PD，

∴OP= ，

∴PM= ，

∵，

∴，解得：t≈15（不合题意，舍去），t≈2.88，

∴当t=2.88时，OD平分∠COP．

【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得：AB=CD=6，BC=AD=8，所以AC=10；而P、Q 两点分别从A点和D点同时出发且以相同的速度为1cm/s运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动，所以点P不可能运动到点D；所以△AOP是等腰三角形分两种情况讨论：①当AP=PO=t时，过P作PM⊥AO，易证△CQM∽△CDN，可得比例式即可求解；②当AP=AO=t=5时，△AOP是等腰三角形；

（2）作EH⊥AC于H，QM⊥AC于M，DN⊥AC于N，交QF于G，可将五边形转化成一个三角形和一个直角梯形，则五边形OECQF的面积S=三角形OCE的面积+直角梯形OCQF的面积；

（3）因为三角形ACD的面积=AD CD=24，再将（2）中的结论代入已知条件S五边形S ：S△ACD=9：16中，可得关于t的方程，若有解且符合题意，则存在，反之，不存五边形OECQF

在；

（4）假设存在。由题意，过D作DM⊥AC于M，DN⊥AC于N，根据角平分线的性质可得DM=DN，由面积法可得;三角形ODP的面积=OP DM=PD CD=3PD,所以可得OP•DM=3PD，则用含t的代数式可将OP和PM表示出来，在直角三角形PDM中，用勾股定理可得关于t的方程，解这个方程即可求解。