2021高职高考数学复习课件9.2 排列与组合
【优化方案】高考数学 第九章 第2课时 排列、组合复习课件 新人教A版
n！ 1 ① An ． n＝ ________ ；②0！＝__________
2．组合与组合数公式 (1)组合与组合数 从 n个不同元素中取 组 合成一组 所有不同 ― ― ― ― ― ― → ― ― ― ― ― ― → 出 m（ m≤n）个元素 合 组合的个数 组合数
(2)组合数公式 n（n－1）（n－2）…（n－m＋1） Am n m＝ m Am m！ Cn ＝_____________________________来自_______________
96 张参观券连号，那么不同的分法种数是________ ．
排列数、组合数公式
2 2 5 (1)若 3A3 ＝ 2A ＋ 6A ＋ x x 1 x，则 x＝________ ； 5－ n 9－ n 5或16 ． (2)Cn ＋Cn＋ 1＝________
[课堂笔记]
【解析】 (1)原方程可化为： 3x(x－1)(x－2)＝ 2(x＋ 1)x＋ 6x(x－ 1)， ∵ x≥3，∴ 3(x－ 1)(x－ 2)＝2(x＋1)＋ 6(x－ 1)， 整理得 3x2－ 17x＋ 10＝0. 2 解之得 x＝ (舍去 )或 x＝ 5，∴原方程的解为 x＝ 5. 3 0≤5－ n≤n (2)由组合数的定义得 ， 0≤9－ n≤n＋ 1 解之得 4≤n≤5， ∵ n∈ N*，∴ n＝4 或 n＝5. 5 当 n＝ 4 时，原式＝ C1 ＋ C 4 5＝ 5， 4 当 n＝ 5 时，原式＝ C0 ＋ C 5 6＝ 16.
3．“2 012”含有数字 0，1，2，且有两个数字 2，则含有数 字 0， 1， 2，且有两个相同数字的四位数的个数为( B ) A． 18 C． 27 B．24 D． 36
x－7 x 7或9 ． 4．若 C2 ＝ C 20 20，则 x＝________
人教A版2021届高考数学一轮复习讲义：排列与组合
排列与组合知识讲解一、基本计数原理1.加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12nN m m m =+++种不同的方法．又称加法原理． 2.乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法．又称乘法原理．3.加法原理与乘法原理的综合运用运用：如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．二、排列与组合1.排列定义：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A mn 表示．排列数公式：A (1)(2)(1)mn n n n n m =---+，m n +∈N ，，并且m n ≤．全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列．n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：0!1=．2.组合定义：一般地，从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合．组合数：从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号C mn 表示． 组合数公式：(1)(2)(1)!C !!()!mn n n n n m n m m n m ---+==-，,m n +∈N ，并且m n ≤． 组合数的两个性质： ①C C m n m n n -=；②11C C C m m m n n n -+=+．（规定0C 1n =）3.排列组合综合问题解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法。
【新教材】高三人教A版数学一轮复习课件：第9章 9.2 排列与组合
能出现在第一步或最后一步,程序B和C在实施时必须相邻,则实验顺序的
编排方法共有
种.
96
程序 A 的顺序有A12 =2(种)情况,将程序 B 和 C 看作一个整体与除 A 外的
程序排列,有A22 A44 =48(种)情况,由分步乘法计数原理,可知试验顺序的编排方
法共有 2×48=96(种).
(2)把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不
叉综合考查.
复习时注意在情境中理解排列与组合的特征;注意总结各种排列和组合问
题模型.本节常用到直接法、间接法、分类讨论、数形结合等思想方法;素
养方面要加强逻辑推理、数学建模、直观想象的培养.
内
容
索
引
01
第一环节
必备知识落实
02
第二环节
关键能力形成
03
第三环节
学科素养提升
第一环节
必备知识落实
【知识筛查】
故共有 150 种不同的方法.故选 A.
解题心得分组分配问题的一般解题思路是先分组,再分配.
(1)分组问题属于“组合”问题:
①对于整体均分,不管它们的顺序如何,都是一种情况,因此分组后一定要
除以 A ;
②对于部分均分,即若有m组元素个数相等,则分组时应除以 A
;
③对于不等分组,只需先分组,后排列.
能力形成点3
分组分配问题
例3 (1)将6名报名参加学校运动会的同学分别安排到跳绳、接力、投
篮三项比赛中(假设这些比赛都不设人数上限),每人只参加一项,则共有x种
不同的方案,若每项比赛至少要安排一人,则共有y种不同的方案,其中x+y
的值为( A )
A.1 269
高三数学精品课件：排列与组合
[主干知识·自主梳理] 重温教材 自查自纠
小题诊断
法一：可分两种情况：第一种情况，只有 1 位女生入选，不 5同．的(2选01法8·高有考C全21C国24＝卷1Ⅰ2(种)从)；2 第位二女种生情，况4 位，男有生2中位选女3生人入参选加， 科不技同比的赛选法，有且 至C22少C14有＝41(种位)．女 生 入 选 ， 则 不 同 的 选 法 共 有 _根__据1_6_分__类_种加．法(计用数数原字理填知写答 ，至案少) 有 1 位女生入选的不同的选 法有 16 种． 法二：从 6 人中任选 3 人，不同的选法有 C36＝20(种)，从 6 人中任选 3 人都是男生，不同的选法有 C34＝4(种)，所以至少 有 1 位女生入选的不同的选法有 20－4＝16(种)．
生组成的田径运动队中选出 4 人参加比赛，要求男、女生都有，
则男生甲与女生乙至少有 1 人入选的方法种数为( )
A．85
B．86
C．91
D．90
思路分析：可采用直接法求解，也可用间接法求解，注意题目
中“至少”的含义．
[主干知识·自主梳理] [考点分类·深度剖析] [创新考点·素养形成] 课时作业 首页 上页 下页 尾页
[主干知识·自主梳理] [考点分类·深度剖析] [创新考点·素养形成] 课时作业 首页 上页 下页 尾页
[主干知识·自主梳理] 重温教材 自查自纠
易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素 是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．
[主干知识·自主梳理] [考点分类·深度剖析] [创新考点·素养形成] 课时作业 首页 上页 下页 尾页
考点二 组合应用题 (核心考点——合作探究)
解析：法一：(直接法)由题意，可分 3 类情况： 第 1 类，若男生甲入选，女生乙不入选，则方法种数为 C31C24＋ C32C14＋C33＝31； 第 2 类，若男生甲不入选，女生乙入选，则方法种数为 C41C23＋ C42C13＋C34＝34； 第 3 类，若男生甲入选，女生乙入选，则方法种数为 C23＋C14C13 ＋C24＝21. 所以男生甲与女生乙至少有 1 人入选的方法种数为 31＋34＋21 ＝86.
2021版新高考数学一轮课件：第9章 第2讲 排列与组合
考点突破 • 互动探究
考点一 排列问题——自主练透
•
例 1 有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，不同的排列方法总数，分别为：
• 5．(2018·新课标Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至 少有1位女生入选，则不同的选法共有______种．(用数字填写答案)
16
[解析] 解法一：从 2 位女生，4 位男生中选 3 人，且至少有 1 位女生入选的情 况有以下 2 种：①2 女 1 男：有 C22C14＝4 种选法；②1 女 2 男：有 C12C24＝12 种选法， 故至少有 1 位女生入选的选法有 4＋12＝16 种．
• 题组三 考题再现
• 3．(2019·安庆模拟)某单位要邀请10位教师中的6位参加一个会议，其
中甲、乙两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法有 ( )
• A．84种 B．98种
D
• C．112种 D．140种
[解析] 由题意分析不同的邀请方法有： C12C58＋C68＝112＋28＝140(种)．
且 m，n∈N＋．
• 对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑 • (1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素． • (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置． • (3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排
列数或组合数．
题组一 走出误区 1．(多选题)下列结论正确的是( BD ) A．所有元素完全相同的两个排列为相同排列 B．两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同 C．若组合式 Cxn＝Cmn ，则 x＝m 成立 D．kCkn＝nCkn－－11
2021年高考数学一轮复习 第53讲 排列与组合
第一节排列与组合[考纲传真] 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题.3.理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.4.理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题．1．两个计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理条件完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法结论完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法完成这件事共有N＝mn种不同的方法排列的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列组合的定义合成一组排列数组合数定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数公式A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！n－m！C m n＝A m nA m m＝n n－1n－2…n－m＋1m！性质A n n＝n！，0！＝1C m n＝C n－mn，C m n＋C m－1n＝Cmn＋11．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( )(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．( )(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．( )(4)k C k n＝n C k－1n－1. ( )[答案](1)×(2)√(3)√(4)√2．(教材改编)图书馆的一个书架有三层，第一层有3本不同的数学书，第二层有5本不同的语文书，第三层有8本不同的英语书，现从中任取1本书，不同的取法有( ) A．12 B．16C．64 D．120B[书架上共有3＋5＋8＝16本不同的书，从中任取一本共有16种不同的取法，故选B.]3．(教材改编)用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为( ) A．8 B．24C．48 D．120C[末位只能从2,4中选一个，其余的三个数字任意排列，故这样的偶数共有A34C12＝4×3×2×2＝48个．故选C.]4．某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )A．85 B．56C．49 D．28C[法一(直接法)：甲、乙两人均入选，有C17C22种方法，甲、乙两人只有1人入选，有C12C27种方法，由分类加法计数原理，共有C22C17＋C12C27＝49种选法．法二(间接法)：从9人中选3人有C39种方法，其中甲、乙均不入选有C37种方法，∴满足条件的选排方法有C39－C37＝84－35＝49种．]5．将6名教师分到三所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．360 [将6名教师分组，分3步完成：第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C16种取法；第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C25种取法；第3步，余下的3名教师作为一组，有C33种取法．根据分步乘法计数原理，共有C16C25C33＝60(种)取法．将这三组教师分配到三所中学，有A33＝6(种)分法，故共有60×6＝360(种)不同的分法．]两个计数原理的综合应用【例1】(1)从甲地到乙地每天有直达汽车4班，从甲到丙地，每天有5个班车，从丙地到乙地每天有3个班车，则从甲地到乙地不同的乘车方法有( )A．12种B．19种C．32种D．60种(2)如图，用6种不同的颜色分别给图中A，B，C，D四块区域涂色，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有( )A．400种B．460种C．480种D．496种(1)B(2)C[(1)分两类：一类是直接从甲到乙，有n1＝4种方法；另一类是从甲经丙再到乙，可分为两步，有n2＝5×3＝15种方法．由分类计数原理可得：从甲到乙的不同乘车方法n＝n1＋n2＝4＋15＝19.故选B.(2)完成此事可能使用4种颜色，也可能使用3种颜色．当使用4种颜色时：从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D有3种，完成此事共有6×5×4×3＝360种方法；当使用3种颜色时，A，D使用同一种颜色，从A，D开始，有6种方法，B有5种，C有4种，完成此事共有6×5×4＝120种方法．由分类加法计数原理可知：不同的涂法有360＋120＝480(种)．][规律方法]与两个计数原理有关问题的解题策略1在综合应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步，但在分步时可能又会用到分类加法计数原理.2对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地画出示意图或列出表格，化抽象为直观.种数为________．五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有________种．(2)用0,1,2,3,4,5,6这7个数字可以组成________个无重复数字的四位偶数．(用数字作答)(1)4554(2)420[(1)五名学生参加四项体育比赛，每人限报一项，可逐个学生落实，每个学生有4种报名方法，共有45种不同的报名方法．五名学生争夺四项比赛的冠军，可对4个冠军逐一落实，每个冠军有5种获得的可能性，共有54种获得冠军的可能性．图(1)(2)①当末位数字是0时，如图(1)所示，共有A 36个不同的四位偶数；图(2)②当末位数字是2或4或6时，如图(2)所示，共有A 15A 25C 13个不同的四位偶数；即共有A 36＋A 15A 25C 13＝120＋5×5×4×3＝420个无重复数字的四位偶数．] 排列问题【例2】 3(1)若女生全排在一起，有多少种排法？(2)若女生都不相邻，有多少种排法？(3)若女生不站两端，有多少种排法？(4)其中甲必须排在乙左边(可不邻)，有多少种排法？(5)其中甲不站最左边，乙不站最右边，有多少种排法？[解] (1)(捆绑法)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同5名男生合在一起有6个元素，排成一排有A 66种排法，而其中每一种排法中，3名女生之间又有A 33种排法，因此共有A 66·A 33＝4 320种不同排法．(2)(插空法)先排5名男生，有A 55种排法，这5名男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有A 36种排法，因此共有A 55·A 36＝14 400种不同排法．(3)法一(位置分析法)：因为两端不排女生，只能从5名男生中选2人排，有A 25种排法，剩余的位置没有特殊要求，有A 66种排法，因此共有A 25·A 66＝14 400种不同排法．法二(元素分析法)：从中间6个位置选3个安排女生，有A 36种排法，其余位置无限制，有A 55种排法，因此共有A 36·A 55＝14 400种不同排法.(4)8名学生的所有排列共A 88种，其中甲在乙左边与乙在甲左边的各占12，因此符合要求的排法种数为12A 88＝20 160. (5)甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置．法一(特殊元素法)：甲在最右边时，其他的可全排，有A 77种不同排法；甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有A 16种．而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个中的任一个上，有A 16种，其余人全排列，共有A 16·A 16·A 66种不同排法．由分类加法计数原理知，共有A77＋A16·A16·A66＝30 960种不同排法．法二(特殊位置法)：先排最左边，除去甲外，有A17种排法，余下7个位置全排，有A77种排法，但应剔除乙在最右边时的排法A16·A66种，因此共有A17·A77－A16·A66＝30 960种排法．法三(间接法)：8名学生全排列，共A88种，其中，不符合条件的有甲在最左边时，有A77种排法，乙在最右边时，有A77种排法，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有A66种排法．因此共有A88－2A77＋A66＝30 960种排法．[规律方法]求解排列应用问题的六种常用方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法相隔问题把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反、等价转化的方法A．144 B．120C．72 D．24(2)旅游体验师小明受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则小李可选的旅游路线数为( )A．24 B．18C．16 D．10(1)D(2)D[(1)先把3把椅子隔开摆好，它们之间和两端共有4个位置，再把3人带椅子插放在4个位置，共有A34＝24(种)方法．故选D.(2)分两种情况，第一种：最后体验甲景区，则有A33种可选的路线；第二种：不在最后体验甲景区，则有C12·A22种可选的路线．所以小李可选的旅游路线数为A33＋C12·A22＝10.故选D.]组合问题【例3】队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生当选；(2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)至多有两名女生当选．[解](1)只有一名女生当选等价于有一名女生和四名男生当选．故共有C15·C48＝350种．(2)两队长当选，共有C22·C311＝165种．(3)至少有一名队长当选含有两类：只有一名队长当选，有两名队长当选．故共有C12·C411＋C22·C311＝825种．(或采用排除法：C513－C511＝825(种))．(4)至多有两名女生当选含有三类：有两名女生当选，只有一名女生当选，没有女生当选．故选法共有C25·C38＋C15·C48＋C58＝966种．[规律方法]组合问题的常见类型与处理方法1“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取.2“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解.人值班1天．若6位员工中的甲不值9日，乙不值11日，则不同的安排方法共有( ) A．30种B．36种C．42种D．48种(2)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为( ) A．232 B．252C．472 D．484(1)C(2)C[(1)若甲在11日值班，则在除乙外的4人中任选1人在11日值班，有C14种选法，9日、10日有C24C22种安排方法，共有C14C24C22＝24(种)安排方法；若甲在10日值班，乙在9日值班，余下的4人有C14C13C22种安排方法，共有12种安排方法；若甲、乙都在10日值班，则共有C24C22＝6(种)安排方法．所以总共有24＋12＋6＝42(种)安排方法．(2)分两类：第一类，含有1张红色卡片，不同的取法共有C14C212＝264(种)；第二类，不含有红色卡片，不同的取法共有C312－3C34＝220－12＝208(种)．由分类加法计数原理知，不同的取法有264＋208＝472(种)．]1．(2017·全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )A．12种 B．18种C．24种D．36种D[由题意可得其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为C 13·C 24·A 22＝36(种)，或列式为C 13·C 24·C 12＝3×4×32×2＝36(种)． 故选D.]2．(2016·全国卷Ⅱ)如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A ．24B ．18C ．12D ．9B [从E 到G 需要分两步完成：先从E 到F ，再从F 到G .从F 到G 的最短路径，只要考虑纵向路径即可，一旦纵向路径确定，横向路径即可确定，故从F 到G 的最短路径共有3条．如图，从E 到F 的最短路径有两类：先从E 到A ，再从A 到F ，或先从E 到B ，再从B 到F .因为从A 到F 或从B 到F 都与从F 到G 的路径形状相同，所以从A 到F ，从B 到F 最短路径的条数都是3，所以从E 到F 的最短路径有3＋3＝6(条)．所以小明到老年公寓的最短路径条数为6×3＝18.]3．(2018·全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案)16 [法一：可分两种情况：第一种情况，只有1位女生入选，不同的选法有C 12C 24＝12(种)；第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有C 22C 14＝4(种)．根据分类加法计数原理知，至少有1位女生入选的不同的选法有16种．法二：从6人中任选3人，不同的选法有C 36＝20(种)，从6人中任选3人都是男生，不同的选法有C 34＝4(种)，所以至少有1位女生入选的不同的选法有20－4＝16(种)．]。
高中数学排列与组合课件(经典)
或 A120 10 9 90
例3.(1)凸五边形有多少条对角线？ (2)凸n（ n>3）边形有多少条对角线？ 解：（1） (5 3) 5 5
2
（2） (n 3) n
2
例4、在100件产品中有98件合格品，2件次品。产品 检验时,从100件产品中任意抽出3件。 (1)一共有多少种不同的抽法? (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?
m个元素的组合数，用符号 Cnm表示.
注意： Cnm 是一个数，应该把它与“组合”区别开来．
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所
有组合个数是: C32 3
如:已知4个元素a 、b 、 c 、 d ,写出每次取出两个
元素的所有组合个数是：C42 6
练一练
1.写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合。
(2)甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁 乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙
例1、一位教练的足球队共有17名初级学员，按照足球 比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人。问：
（1）这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上 场方案？
（2）如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守 门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？
从7位同学中 选出3位同学 构成一个组合
剩下的4位同 对应 学构成一个组
合
从7位同学中 选出3位同学
从7位同学中 选出4位同学
的组合数
C
3 7
的组合C数74
即：C73 C74
思考二：上述情况加以推广可得组合数怎样的性质？
一般地,从n个不同元素中取出m个不同元素后,剩下n–m个元素, 因此从n个不同元素中取出m个不同元素的每一个组合,与剩下的n– m个元素的每一个组合一一对应,所以从n个不同元素中取出m个不同 元素的组合数,等于从这n个元素中取出 n-m个元素的组合数.即
高考数学一轮专题复习 第九章 第2讲 排列与组合
(2)男生甲和女生乙入选，即只要再从除男生甲和女生乙外 的 10 人中任选 3 名即可，共有 C22C310＝120(种)选法． (3)间接法：“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的反面 是“两人都不入选”，即从其余 10 人中任选 5 人有 C510种 选法，所以“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的选法 数为 C512－C510＝540(种)．
＝75(种)．
4．在一展览会上，要展出5件艺术作品，其中不同书法作品2 件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5 件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品 不能相邻，则该次展出这5件作品不同的摆放方案共有 ____2_4___种．(用数字作答)
解析：将 2 件必须相邻的书法作品看作一个整体，同 1 件建 筑设计展品全排列，再将 2 件不能相邻的绘画作品插空，故 共有 A22A22A23＝24(种)不同的展出方案．
考点一 考点二 考点三
排列应用题 组合应用题 排列、组合的综合应用(高频考点)
考点一 排列应用题
3 名男生，4 名女生，按照不同的要求排队，求不同 的排队方案的方法种数． (1)选其中 5 人排成一排； (2)排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人； (3)全体站成一排，男、女各站在一起； (4)全体站成一排，男生不能站在一起； (5)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾．
(3)排列数的性质 ①Ann＝_n_！___；②0！__1____．
2．组合与组合数公式 (1)组合与组合数
从n个不同元 素中取出 m（m≤n）个元素
合―成―一→组
组 合
所―有―不→同
组合的个数
组合数
(2)组合数公式 Cnm＝AAmmnm＝n（n－1）（n－m2！）…（n－m＋1） ＝m！（nn！－m）！. (3)组合数的性质 ①C0n＝___1____；②Cnm＝__C_nn_－_m__；③Cmn ＋Cmn －1＝_C__nm＋_1___．
高考数学一轮复习 9.2 排列和组合精品课件 理 新人教A版
即原方程的解为x=5.
（2）依题意得
{
ห้องสมุดไป่ตู้
38-n≥0
3n≥38-n
n+21≥3n
38-n,3n,21+n∈N*.
解得
19 ≤n≤ 2
21 且n∈N*, 2
∴n=10.
∴ C 38-n + C 3n = C 28 + C 30 = C 2 + C1 = 466 3n 21+ n 30 31 30 31
6 5 5 5
（5）将男生、女生分别各看成一个元素，其排法有 4 3 种，女生的排列有 种，又男生的排列有 种，由分 A A2 A3 4 2 3 4 步乘法计数原理，所有不同的排列数为 A 2 A A 4 =288. 2 3 3 （6）先排男生有A 3 种排法，此三人中间及两端恰 3 4 =144不 有4空供女生排列，有A 4 种排法，从而共有 · A A 3 4 4 同的排列. （7）从7人的全排列中除去男生皆相邻的情况即可， 3 5 故所求不同排列数为 - A7 =4 320. A 3A5 7 （8）只须在7个位置中选4个位置将女生进行排列， 再将3名男生按顺序插入，共有A 4 =840种不同排法. 7
【分析】本题包括了有限制条件的排列问题的
几种基本类型，注意在处理这类问题时一般应遵循： “先特殊，后一般”的原则，即先考虑特殊的元素或 特殊的位置，再考虑一般的元素和位置，对于“必相 邻”元素，常采用“捆绑法”的技巧，对于“不相邻”
元素常采用“插空法”的技巧，此外“正难则反”是
处理排列问题的一个重要策略，还是检查结果是否正 确的重要手段.
.
∴左边=右边.
考点二 排列问题
有3名男生，4名女生，按下述要求，分别求出其不同排列 的种数. （1）选其中5人排成一行； （2）全体排成一行，其中甲只能在中间或者两头的位置； （3）全体排成一行，其中甲、乙必须在两头； （4）全体排成一行，其中甲不在首，乙不在尾； （5）全体排成一行，其中男、女生各站在一起； （6）全体排成一行，其中男生、女生都各不相邻； （7）全体排成一行，其中男生不能排在一起； （8）全体排成一行，其中甲、乙、丙按自左至右的顺序保 持不变； （9）全体排成一行，甲、乙两人间恰有3人； （10）全体排成前后两排，前排3人，后排4人.
高考数学一轮总复习课件：排列与组合
其余 6 人有 A66种方法，故共有 5×A66＝3 600(种)．
方法二：排头与排尾为特殊位置．排头与排尾从非甲的 6 个 人中选 2 个排列，有 A26种方法，中间 5 个位置由余下 4 人和甲进 行全排列，有 A55种方法，共有 A26×A55＝3 600(种)．
(4)(捆绑法)将女生看成一个整体，与 3 名男生在一起进行全 排列，有 A44种方法，再将 4 名女生进行全排列，也有 A44种方法， 故共有 A44×A44＝576(种)．
再除以定序元素的全排列 正难则反，等价转化的方法
思考题 1 (1)(2019·上海春季高考题)某校组队参加辩 论赛，从 6 名学生中选出 4 人分别担任一、二、三、四辩，若其 中学生甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为 ___1_8_0___(结果用数值表示)．
【解析】 先安排甲，有 3 种情况，再从剩下的 5 名学生中选 3 人排列，有 A35种情况，
∴共有 3A35＝180 种方法．
(2)在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施 6 个程序，
其中程序 A 只能出现在第一或最后一步，程序 B 和 C 在实施时
必须相邻，则实验顺序的编排方法共有( C )
A．34 种
B．48 种
C．96 种
D．144 种
【解析】 程序 A 有 A12＝2(种)，将程序 B 和 C 看作一个整体 与除 A 外的元素排列，有 A22A44＝48(种)，所以由分步乘法计数原理， 实验顺序的编排方法共有 2×48＝96(种)．故选 C.
(5)分三步进行： 第一步：选 1 男 1 女分别担任两个职务为 C17C15种； 第二步：选 2 男 1 女补足 5 人有 C26C14种； 第三步：为这 3 人安排工作有 A33种． 由分步乘法计数原理共有 C17C15C26C14A33＝12 600 种选法． 【答案】 (1)120 (2)252 (3)672 (4)596 (5)12 600
高考数学一轮复习 10-2 排列与组合课件 理 新人教A版
(4)插空法．先排好男生，然后将女生插入其中的四个空位，共有
A33A44＝144(种)．
(5) 插 空 法 ． 先 排 女 生 ， 然 后 在 空 位 中 插 入 男 生 ， 共 有
A
4 4
A
3 5
＝
1
440(种)．
(6)定序排列．第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数
为 N；第二步，对甲、乙、丙进行全排列，则为 7 个人的全排列，因此
答案：B
排列应用题(师生共研)
例1 有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方 法总数：
(1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置； (2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边； (3)全体排成一行，其中男生必须排在一起； (4)全体排成一行，男、女各不相邻； (5)全体排成一行，男生不能排在一起； (6)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变； (7)排成前后两排，前排3人，后排4人； (8)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人．
解析 (1)利用元素分析法(特殊元素优先安排)，甲为特殊元素，故 先安排甲，左、右、中共三个位置可供甲选择，有 A13种，其余 6 人全排 列，有 A66种．
由分步乘法计数原理得 A13A66＝2 160(种)． (2)位置分析法(特殊位置优先安排)，先排最左边，除去甲外，有 A16种， 余下的 6 个位置全排有 A66种，但应剔除乙在最右边的排法数 A15A55种． 则符合条件的排法共有 A16A66－A51A55＝3 720(种)． (3)捆绑法．将男生看成一个整体，进行全排列，再与其他元素进行 全排列，共有 A33A55＝720(种)．
定序问题 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以
高中数学课件-第2讲 排列与组合
(2)从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有_□_3__不__同__组__合__的个数，
叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用符号 Cmn 表示.
6
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
3.排列数、组合数的公式及性质
要比 5 000 000 大，则百万位上选 5 或 6，故得个数为 A12A66＝1440. 答案：1440
02
突破核心命题
13
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
考 点 一 排列问题
例1 有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法 总数.
(1)选5人排成一排； (2)排成前后两排，前排3人，后排4人； (3)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边； (4)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边； (5)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定.
7
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
常用结论
1.解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法 (排除法).分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏.
2.对于分配问题，一般先分组、再分配，注意平均分组与不平均分组 的区别，避免重复或遗漏.
8
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
夯基诊断
1.思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( × ) (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.( × ) (3)若组合式 Cxn＝Cmn ，则 x＝m 成立.( × ) (4)(n＋1)！－n！＝n·n！.( √ ) (5)kCkn＝nCkn－－11.( √ )