转子系统存在油膜力与碰摩双重非线性振动分析

转子系统存在油膜力和碰摩双重非线性振动分析沈松1郑兆昌2应怀樵1(1东方振动和噪声技术研究所，北京，100085)(2清华大学工程力学系，北京，100084)摘要：本文针对柔性轴支承的非对称转子-轴承系统，考虑柔性轴和转子的陀螺力矩，使用滑动轴承非线性非稳态油膜力模型，建立了一个比较接近实际的转子模型，并同时考虑由于碰摩产生的非线性振动，然后通过数值方法计算系统在不同转速和转子偏心量等参数下的稳态响应，并使用分叉图、轴心轨迹、Poincarè映像和频谱图等方法分析系统的非线性特性。

关键词：转子轴承系统，非线性振动，碰摩Abstract: For a flexible unsymmetric rotor supported by two oil film journal bearings, considering the gyroscopic moment, describing the oil-film force of journal bearing with unsteady nonlinear model, a rotor-bearing system modal of 8 DOFs has been established which can describe the actual rotor more truly. At the same time, the rubbing between the rotor and stator has been taken into account. Because of the non-linearity of the rotor system, numerical integrations are used to find the response solutions in different condition. The details of bifurcation diagrams, Poincarè maps and power spectrum are used to analyze the behavior of the nonlinear vibrationKey words: rotor-bearing system, nonlinear vibration, rubbing1引言在工程实际中，转子-轴承系统由于滑动轴承非线性油膜力的作用而产生的各种非线性振动一直是重要的研究课题。

在转子模型方面，目前许多文献中都使用比较简化的Jeffott转子模型得到了许多重要的结果，文[2]则对一个柔性轴支承的对称单盘转子-轴承系统进行了数值计算和分析。

对于滑动轴承油膜力模型则一般使用基于半Sommerfeld条件等各种边界假设的稳态油膜力模型，Zhang在文[3]中考虑了非稳态扰动速度对油膜边界位置的影响, 给出了非稳态圆轴承油膜力公式，并对Jeffcott转子进行了非线性分叉特性研究。

此外，引起转子系统产生非线性振动的另一个常见原因就是碰摩。

间隙是机械结构设计不可避免的现象，由于间隙很小，当振幅超过间隙值，将出现转子与定子的碰摩，使转子受到径向冲击力和切向摩擦力的作用，系统成为一个带有分段线性刚度的非线性振动系统。

为进一步反映非线性油膜力作用下的转子振动稳定性，本文在柔性轴支承的转子的基础上，又考虑了当转子不在两支承点中间时的陀螺力矩的影响，并使用非稳态非线性油膜力模型，建立8自由度陀螺转子-轴承系统的力学模型，主要考虑在油膜涡动和油膜振荡的同时，转子振幅若增大到超过间隙值而发生碰摩，系统出现的一些非线性振动形式。

该系统将具有双重非线性因素。

通过Newmark-β法和 Newton-Raphson迭代相结合的数值方法，计算转子在不同转速、外阻尼和偏心量参数下的稳态响应，针对数值结果使用分岔图、Poincarè映像、频谱等方法研究其非线性特性，得到一些很有意义的结果。

2 陀螺转子-轴承系统力学模型考虑如图1所示, 柔性轴支承的非对称转子具有陀螺力矩的影响，坐标XYS为固定坐标，A、B两点为滑动轴承支承点，园盘位于轴的O 点处。

假设园盘处集中质量为m O ，并且具有质量偏心，偏心距为e ，A 端集中质量为m A ，B 端集中质量为m B 。

当转子系统以角速度Ω自转时，轴产生弯曲变形，产生陀螺力矩H ，园盘中轴心的位移为x O 和y O ，转角为θX 和θY ，由于A 、B 两端通过滑动园轴承支承，轴长l ，AO 距离为a ，BO 距离为b ，所以轴的A 端位移为x A 和y A ，轴的B 端位移为x B 和y B 。

A 、B 两端为无限短滑动轴承，轴承宽度为L ，轴截面半径为r ，轴承与轴颈之间的间隙为c ，油膜粘度系数为μ，油膜力采用非线性非稳态油膜力模型[3] ，该模型在决定油膜边界位置时采取压力为零的条件决定非稳态边界，从而考虑了非稳态扰动速度对油膜边界位置的影响，假设轴的中心在油膜中的相对偏移量为c y x /22+=ε，偏移角度为)(x y arctg =φ，则非线性非稳态油膜力的基本表达式如下： ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-Ω-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡εφεφφφφμ)21(cos sin sin cos 62221121123 c c c c c lr F F y x (1) 其中F x 和F y 为瞬态油膜力，形式上为轴颈位移和速度的函数),,,(φφεε f F =，表达式中其它参数可以参见文献[3]。

图1 考虑柔性轴支承具有陀螺力矩转子-轴承系统力学模型转子的碰摩包括径向碰撞和切向摩擦，为建立碰撞冲击力和摩擦力的受力模型，本文作如下假设：碰摩发生时间非常短，碰撞时定子有变形，且为线性变形，转子与定子的摩擦符合库仑摩擦定律，即摩擦力与接触面的法向作用力成正比。

碰摩受力模型如图2所示，图中标出了碰摩力的位置和方向，对于其它重力、偏心力和油膜力等受力情况，同前相同，此处不再表示。

X图2 转子碰摩的力学模型示意图在静止状态时，转子与定子之间有间隙为δ，当转子旋转时，轴将产生弯曲变形，使转子产生径向位移s 和偏移角θ，当δ>s 时，转子与定子将发生碰撞，定子的变形为线性变形，其径向刚度为k d ，并且转子与定子的摩擦符合库仑定律，摩擦系数为f ，转子在碰撞点将受到法向正压力F N 和切向摩擦力F T ，投影到坐标XOY 上，如下[4]：δδ≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧s y x f f s k s F F d d y d x 11)( (2) 综上可得8自由度陀螺转子-轴承系统，在重力、偏心力、油膜力和碰摩力作用下，系统的运动微分方程为：321Q Q Q K u u C uM ++=++ (3) 其中M 为质量矩阵，C 为陀螺阻尼矩阵，K 为刚度矩阵，Q 1为偏心激励力矢量，Q 2为油膜力矢量，3Q 为碰摩力向量，u 为位移矢量，分别如下：{}TB B A A y x o o y x y x y x θθ=u (3a ) {}T B A o o o g m g m g m t e m t e m ---ΩΩΩΩ=0000sin cos 221Q (3b ){}T B y Bx A y A x F F F F 00002=Q (3c ) {}Td y d x F F 0000003=Q (3d)定子⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00000000H H m m m m J J m m B B A A d d o o C M (3e ) ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++-+--+-+--+-------------=2323322222142442112223233222223233222221424421121424421122144414444414332333233323232222232322111411141411210000000021000000102100000010210000010100101000101000010100k l a k l k l a k l a k l k l a k l a b k l k l ab k l b k l k l b k l a b k l k l ab k l b k l k l b k l a k l k l b k l k k k l k l a k l k l b k k k l k l a k l b k l k k k l a k l k l b k l k k K (3f )其中 [1] ：J d =J p /2，H=J p Ω，J p 为园盘的极转动惯量。

k 11=k 22=9k c /8，k 33=k 44=l 2k c /6，k 14=k 41=k 23=k 32=-lk c /4，k c =81EI/l 3，I 为转轴的截面惯性矩。

以上建立了转子的非线性动力方程式，因此可以使用数值方法计算转子系统在各个时刻的运动的数值解，以此研究转子的非线性振动特性。

对于如式(3)表示的微分方程，其瞬态响应的计算通常可以通过各种逐步积分方法[5]，而由于该方程实际为非线性方程，需要采用迭代方法进行计算。

本文使用Newmark-β法与Newton-Raphson 迭代相结合的方法。

3 转子碰摩的实例计算及结果分析对上述转子模型，进行实例分析时，根据文献[1]结构参数取为：m O =28.25Kg ，m A =2.75Kg ，m B =5.5Kg ，l =0.75m ，a =0.25m ，r =0.03m ，L =0.03m ，c =0.0003m ，μ=0.0178PaS ，e =0.00045m 。

考虑转子与定子可能发生的碰摩，转子与定子静止时的间隙m 0006.0=δ，定子的径向刚度m kg k d /1026⨯=，转子与定子的摩擦系数f = 0.3。

使用Poincarè截面法为判定系统稳定性的方法，选择转速Ω为变化参数，计算得到园盘中心O 点Y 方向振动的分岔图如图3所示，图中纵坐标为Y 方向位移相对于轴隙c 的无量纲值，即y ＝y O /c ，横坐标为转速Ω。

(1) 当Ω < 2940 r/min 时，为稳定的周期运动，系统明显受转子重力作用，使轴心轨迹位于y<0的区域，转子此时也存在碰摩，但由于油膜力没有产生分叉，偏心力较小，振动幅度较小，碰摩力也较小，F N 最大值为450kg ，因此并没有因为碰摩产生任何非线性振动现象，系统也能稳定运转。