第三章导数及其应用(教案)
导数及其应用教案人教版
导数及其应用教案人教版教案标题：导数及其应用教案（人教版）教学目标：1. 了解导数的概念和基本性质；2. 掌握求导法则和常见函数的导数；3. 理解导数在实际问题中的应用。
教学重点：1. 导数的定义和基本性质；2. 求导法则的掌握；3. 导数在实际问题中的应用。
教学难点：1. 导数的应用问题解析；2. 导数在实际问题中的应用方法。
教学准备：1. 教材《人教版》导数及其应用相关章节；2. 教学PPT、多媒体设备；3. 导数的应用实例和练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用一个生动的例子引入导数的概念，如汽车行驶过程中的速度变化；2. 提问学生对导数的理解，激发学生的兴趣。
二、导数的定义和基本性质（15分钟）1. 介绍导数的定义和符号表示；2. 解释导数的几何意义和物理意义；3. 讲解导数的基本性质，如导数的线性性、乘法法则和链式法则。
三、求导法则和常见函数的导数（20分钟）1. 介绍求导法则，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数求法；2. 给出常见函数的导数表格，帮助学生记忆和掌握。
四、导数在实际问题中的应用（25分钟）1. 通过实际问题引入导数的应用，如最优化问题、变化率问题等；2. 分析导数在实际问题中的应用方法，并给出相应的解题步骤；3. 给学生提供一些导数应用的实例和练习题，让学生进行实际操作和解答。
五、总结与拓展（10分钟）1. 总结导数的概念、基本性质和求导法则；2. 引导学生思考导数在实际问题中的应用价值；3. 提出拓展问题，鼓励学生进一步探索导数的应用领域。
六、作业布置（5分钟）1. 布置课后作业，包括练习题和思考题；2. 强调学生对导数的应用进行思考和实践。
教学反思：本节课通过引入实际问题和应用案例，使学生对导数的概念和应用有了更深入的理解。
通过讲解导数的定义、基本性质和求导法则，帮助学生掌握了导数的求导方法。
通过导数在实际问题中的应用分析和解题，培养了学生的应用能力和问题解决能力。
《导数及其应用》教案
§3.1.1变化率问题教学目标：1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?⏹ 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π= ⏹ 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(πV V r = 分析: 343)(πV V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈-气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(L dm r r ≈--⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈-气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(L dm r r ≈--可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?1212)()(V V V r V r --问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态?思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =--=；在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)1()2(s m h h v -=--=探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =， 所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （二）平均变化率概念:1．上述问题中的变化率可用式子1212)()(x x x f x f --表示,称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆) 3． 则平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 思考：观察函数f (x )的图象 平均变化率=∆∆x f三．典例分析例1．已,1(x B -∆+-解：)1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+-，∴x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 例2． 求2x y =在0x x =附近的平均变化率。
第三章导数的应用教案
第三章 导数的应用知识点：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∞∞⎪⎩⎪⎨⎧用导数在经济分析中的应的应用函数最值在经济问题中函数的极值、最值函数的单调性函数其他类型未定式型未定式型未定式洛必达法则柯西定理拉格朗日中值定理罗尔定理微分中值定理00 教学目的要求：（1）用数形结合的思想方法掌握罗尔定理与拉格朗日中值定理的条件与结论。
会判断是否满足罗尔定理与拉格朗日中值定理的条件，会求罗尔定理与拉格朗日中值定理结论中的ξ。
（2）知道洛必达法则，能运用洛必达法则求不定式的极限，重点掌握“”型和“∞∞”型，了解“∞-∞”、“∞⋅0”型等。
（3）掌握用一阶导数的符号判别函数单调性的方法，会求函数的单调区间，并利用函数的单调性进行简单不等式的证明；理解函数极值与极值点的概念，掌握极值存在的必要条件，掌握求函数极值的方法（极值点的充分条件），搞清极值点与驻点的区别与联系。
（4）初步掌握简单实际问题中最大值和最小值的求法；会利用导数讨论一些简单的经济问题。
教学重点：1．函数单调性的判断与单调区间的求法 2．函数极值、最值的求法 3．实际应用 教学难点：1．微分中值定理 2．洛必达法则及应用 3．函数极值的求法与应用4．函数最值的求法与应用第一节 微分中值定理【教学内容】罗尔定理，拉格朗日中值定理。
【教学目的】理解罗尔定理，拉格朗日中值定理的分析意义和几何意义;会判断是否满足罗尔定理与拉格朗日中值定理的条件，会求罗尔定理和拉格朗日中值定理结论中的ξ。
初步具有应用中值定理论证问题的能力.【教学重点】1．罗尔定理；2．拉格朗日中值定理。
【教学难点】1．罗尔定理与拉格朗日中值定理条件的判断；2．罗尔定理与拉格朗日中值定理结论中ξ的求解。
【教学时数】1学时 【教学进程】一、 罗尔（Rolle ）定理罗尔（Rolle 1652-1719）法国数学家。
年轻时因家境贫穷，仅受过初等教育，是靠自学精通了代数和Diophantus 分析理论。
导数及其应用教案
导数及其应用教案一、引言在高中数学课程中，导数是一个非常重要的概念。
本教案旨在介绍导数及其应用，帮助学生理解导数的概念和基本性质，并学习如何在实际问题中运用导数进行分析和计算。
二、导数的概念1. 导数的定义：导数表示函数在某一点上的变化率，即函数值随自变量变化而变化的快慢程度。
2. 导数的几何意义：导数等于函数曲线在某一点切线的斜率。
3. 导数的符号表示：通常用f'(x)或dy/dx表示函数f(x)的导数。
三、导数的基本性质1. 常数的导数为0：若f(x) = a（a为常数），则f'(x) = 0。
2. 幂函数的导数：若f(x) = x^n（n为常数），则f'(x) = nx^(n-1)。
3. 和差的导数：若f(x) = u(x) ± v(x)，则f'(x) = u'(x) ± v'(x)。
4. 乘积的导数：若f(x) = u(x)v(x)，则f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)。
5. 商的导数：若f(x) = u(x)/v(x)，则f'(x) = [u'(x)v(x) - u(x)v'(x)] /v(x)^2。
四、导数的应用1. 切线和法线：导数可以用于求函数曲线在某一点的切线和法线方程。
2. 极值问题：导数可以帮助我们判断函数的极值，并求出极值点和极值。
3. 函数图像的画法：导数可以提供函数图像的一些特征，如拐点、极值、单调性等。
4. 物理问题中的应用：导数可以帮助解决一些物理问题，如速度、加速度等。
五、教学活动1. 导数的计算练习：通过给出具体函数的表达式，让学生计算其导数。
2. 导数在几何中的应用：通过给出函数的图像，让学生判断函数的增减性、拐点、极值等。
3. 实际问题解析：将一些实际问题转化为数学模型，并运用导数进行分析和求解。
六、教学反思通过本教案的讲解和练习，学生应能掌握导数的概念和基本性质，具备运用导数进行实际问题分析和计算的能力。
高中数学第3章导数及其应用3.33.3.3函数的最大(小)值与导数1数学教案
3.3.3 函数的最大(小)值与导数如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值和最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点取得．思考：若函数f(x)在区间[a，b]上只有一个极大值点x0，则f(x0)是函数f(x)在区间[a，b]上的最大值吗？[提示]根据极大值和最大值的定义知，f(x0)是函数f(x)在区间[a，b]上的最大值．2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1．下列说法正确的是( )A．函数的极大值就是函数的最大值B．函数的极小值就是函数的最小值C．函数的最值一定是极值D．在闭区间上的连续函数一定存在最值D[极值有可能是最值，但最值未必是极值，故选D．]2．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是()A ．π－1B ．π2－1C ．πD ．π＋1C[y ′＝1－cos x >0，故函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π是增函数，因此当x ＝π时，函数有最大值，且y max ＝π－sin π＝π.]3．函数f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( ) A ．－2 B ．0 C ．2D ．4C [f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝2. 由f (－1)＝－2，f (0)＝2，f (1)＝0得f (x )max ＝f (0)＝2.]求函数的最值(1)f (x )＝2x 3－3x 2－12x ＋5，x ∈[－2,1]； (2)f (x )＝e x (3－x 2)，x ∈[2,5]．[解] (1)f ′(x )＝6x 2－6x －12，令f ′(x )＝0得x ＝－1或x ＝2，又x ∈[－2,1]，故x ＝－1，且f (－1)＝12. 又因为f (－2)＝1，f (1)＝－8，所以，当x ＝－1时，f (x )取最大值12； 当x ＝1时，f (x )取最小值－8. (2)∵f (x )＝3e x－e x x 2，∴f ′(x )＝3e x －(e x x 2＋2e xx ) ＝－e x (x 2＋2x －3) ＝－e x(x ＋3)(x －1)．∵在区间[2,5]上，f ′(x )＝－e x(x ＋3)(x －1)＜0， 即函数f (x )在区间[2,5]上单调递减，∴x ＝2时，函数f (x )取得最大值f (2)＝－e 2；x ＝5时，函数f (x )取得最小值f (5)＝－22e 5.求函数在闭区间上最值的步骤 1求f ′x ，解方程f ′x ＝0；2确定在闭区间上方程f ′x ＝0的根； 3求极值、端点值，确定最值.[跟进训练]1．求函数f (x )＝12x ＋sin x ，x ∈[0,2π]上的最大值和最小值．[解] f ′(x )＝12＋cos x ，令f ′(x )＝0，且x ∈[0,2π]，解得x ＝2π3或x ＝4π3.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x 0 ⎝⎛⎭⎫0，2π32π3 ⎝⎛⎭⎫2π3，4π3 4π3 ⎝⎛⎭⎫4π3，2π 2π f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗极大值↘极小值↗ππ3＋322π3－32∴当x＝0时，f(x)有最小值，为f(0)＝0；当x＝2π时，f(x)有最大值，为f(2π)＝π.由函数的最值求参数值为3，最小值为－29，求a，b的值．[解] 由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾．求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．(1)当a>0时，且x变化时f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x －1(－1,0)0(0,2)2f′(x)＋0－f(x)－7a＋b ↗ b ↘－16a＋b[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3<f(－1)，∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.(2)当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝b＝－29.又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，∴f (2)＝－16a －29＝3，解得a ＝－2. 综上可得，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29. 已知函数最值求参数值范围的思路已知函数在某区间上的最值求参数的值范围是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，用参数表示出最值后求参数的值或范围.[跟进训练]2．设23<a <1，函数f (x )＝x 3－32ax 2＋b (－1≤x ≤1)的最大值为1，最小值为－62，求a ，b 的值．[解] 令f ′(x )＝3x 2－3ax ＝0，得x 1＝0，x 2＝a . 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x －1 (－1,0) 0 (0，a ) a (a,1) 1 f ′(x )＋－0 ＋f (x )－1－32a ＋b ↗b↘－a 32 ＋b↗1－32a ＋b由表可知，f (x )的极大值为f (0)＝b ，极小值为f (a )＝b －a 32，而f (0)>f (a )，f (1)>f (－1)，故需比较f (0)与f (1)及f (－1)与f (a )的大小．因为f (0)－f (1)＝32a －1>0，所以f (x )的最大值为f (0)＝b ＝1.又f (－1)－f (a )＝12(a ＋1)2(a －2)<0，所以f (x )的最小值为f (－1)＝－1－32a ＋b ＝－32a ，所以－32a ＝－62，a ＝63.所以a ＝63，b ＝1.与最值有关的恒成立问题1．对于函数y ＝f (x )，x ∈[a ，b ]，若f (x )≥c 或f (x )≤c 恒成立，则c 满足的条件是什么？提示：c ≤f (x )min 或c ≥f (x )max .2．对于函数y ＝f (x )，x ∈[a ，b ]，若存在x 0∈[a ，b ]，使得f (x )≥c 或f (x )≤c 成立，则c 满足的条件是什么？提示：c ≤f (x )max 或c ≥f (x )min .【例3】 设函数f (x )＝tx 2＋2t 2x ＋t －1(x ∈R ，t >0)． (1)求f (x )的最小值h (t )；(2)若h (t )<－2t ＋m 对t ∈(0,2)恒成立，求实数m 的取值范围． [思路点拨] (1)利用配方法，即可求出二次函数f (x )的最小值h (t )；(2)构造函数g (t )＝h (t )－(－2t ＋m )，只需使g (t )在(0,2)上的最大值小于零即可求得m 的取值范围．[解] (1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：∴g(t)在(0,2))<－2t＋m在(0,2)内恒成立等价于g(t)<0在(0,2)内恒成立，即等价于1－m<0.∴m的取值范围为(1，＋∞)．(变条件)若将本例(2)的条件改为“存在t∈[0,2]，使h(t)<－2t＋m成立”，则实数m的取值范围如何求解？[解] 令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：∴g存在t∈[0,2]，使h(t)<－2t＋m成立，等价于g (t )的最小值g (2)<0.∴－3－m <0， ∴m >－3，所以实数m 的取值范围为(－3，＋∞)． 分离参数求解不等式恒成立问题1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，则这个极值就是最值．2．已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论．3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题． 1．判断正误(1)函数的最大值一定是函数的极大值．( )(2)开区间上的单调连续函数无最值．( )(3)函数f (x )在区间[a ，b ]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．( )[答案] (1)× (2)√ (3)× 2．函数y ＝ln x x的最大值为( )A ．e －1B ．eC ．e 2D ．103A [函数y ＝ln xx的定义域为(0，＋∞)．y ′＝1－ln x x 2，由1－ln x x2＝0得x ＝e ， 当0<x <e 时，y ′>0， 当x >e 时，y ′<0.因此当x ＝e 时，函数y ＝ln x x 有最大值，且y max ＝1e ＝e －1.]3．若函数f (x )＝x 3－3x －a 在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M ，N ，则M －N 的值为( )A ．2B ．4C ．18D ．20D [f ′(x )＝3x 2－3， 令f ′(x )＝0得x ＝±1. 当0≤x <1时，f ′(x )<0； 当1<x ≤3时，f ′(x )>0.则f (1)最小，又f (0)＝－a ，f (3)＝18－a ，f (3)>f (0)，所以最大值为f (3)，即M ＝f (3)， N ＝f (1)，所以M －N ＝f (3)－f (1)＝(18－a )－(－2－a )＝20.]4．设函数f (x )＝12x 2e x，x ∈[－2,2]，若f (x )>m 恒成立，求实数m 的取值范围．[解] f′(x)＝x e x＋12x2e x＝e x2x(x＋2)，由f′(x)＝0得x＝－2或x＝0.当x∈[－2,2]时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：当x＝0时，min要使f(x)>m对x∈[－2,2]恒成立，只需m<f(x)min，∴m<0，即实数m的取值范围为(－∞，0)．。
导数及其应用教案设计
导数及其应用教案设计一、教学目标1.理解导数的定义和概念；2.掌握导数的计算方法；3.了解导数的几何意义和物理意义；4.应用导数解决实际问题。
二、教学重点1.导数的定义和概念；2.导数的计算方法。
三、教学难点1.导数的几何意义和物理意义；2.导数在实际问题中的应用。
四、教学准备1.教学课件；2.教学工具：黑板、彩色笔；3.教学素材：与导数相关的题目和实例。
五、教学过程Step 1 引入导数的概念（10分钟）1.引入问题：小明从家里出发骑自行车到学校，经历了不同的路段，那么他在每个路段上的速度是多少呢？2.学生思考问题，并提出速度的定义。
3.介绍导数的概念：导数是研究函数变化率的工具，它描述了一个函数在其中一点附近的变化速率。
Step 2 导数的计算方法（20分钟）1. 导数的定义：设函数y=f(x)，当x在x0处有极限存在，那么函数f(x)在x0处的导数定义为：f'(x0)=lim(x→x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)。
2.通过例题演示如何计算导数。
3.引入常见导数的计算法则，如幂函数、反函数、指数函数等。
Step 3 导数的几何意义和物理意义（15分钟）1.导数的几何意义：表示函数在其中一点处的切线斜率。
2.通过例题演示导数的几何意义。
3.导数的物理意义：表示物体运动的速度或速度的变化率。
4.通过例题演示导数的物理意义。
Step 4 导数在实际问题中的应用（25分钟）1.介绍导数在实际问题中的应用，如最大值最小值问题、函数的图像判断等。
2.通过例题演示导数在实际问题中的应用。
3.引入微分的概念，并介绍微分的定义和计算方法。
Step 5 拓展与巩固（20分钟）1.指导学生通过课堂练习和课后作业巩固所学知识。
2.引导学生从日常生活中发现和应用导数的问题。
六、教学反思通过引入问题、讲解定义、演示例题等方式，让学生逐步理解导数的概念和计算方法。
在讲解导数的几何意义和物理意义时，通过具体示例，帮助学生更好地理解和应用导数。
《高等数学》教案第三章导数与微分
《高等数学》教案第三章导数与微分教案之一：导数的定义和性质一、教学目标1.理解导数的概念和意义；2.学习导数的计算方法；3.掌握导数的基本性质；4.能够应用导数计算函数在其中一点的切线方程及函数的近似值。
二、教学重点和难点1.导数的概念和计算方法；2.导数的性质；3.函数在其中一点的切线方程的计算。
三、教学内容和方法1.导数的概念和计算方法通过解释导数的概念，引出导数的计算方法，并通过示例进行演示和讲解。
方法：讲解、示例演示、问题解答。
2.导数的性质介绍导数的基本性质，如导数为0的函数、导数的四则运算和导数的符号性。
方法：讲解、示例演示、问题解答。
3.函数在其中一点的切线方程的计算通过解释切线的概念，推导出切线方程的计算公式，并通过示例进行演示和讲解。
方法：讲解、示例演示、问题解答。
四、教学过程1.导数的概念和计算方法a.引出导数的概念和意义；b.讲解导数的计算方法，包括使用函数的极限和差商的方法，以及导数的几何意义；c.通过示例演示导数的计算方法。
2.导数的性质a.介绍导数为0的函数及其性质；b.讲解导数的四则运算和导数的符号性；c.通过示例演示导数的性质。
3.函数在其中一点的切线方程的计算a.解释切线的概念和意义；b.推导出切线方程的计算公式，包括斜截式和点斜式；c.通过示例演示切线方程的计算方法。
五、教学反思本节课主要介绍了导数的定义和性质，通过讲解、示例演示和问题解答，帮助学生理解了导数的概念和计算方法，掌握了导数的基本性质，以及函数在其中一点的切线方程的计算方法。
在教学中，应重点讲解导数的几何意义和切线的概念，帮助学生理解导数及其应用。
同时，通过举例说明导数性质的应用，激发学生的学习兴趣和思考能力。
在教学过程中，要注意引导学生思考问题，提高其自主学习的能力。
希望通过本次教学，学生能够掌握导数的概念和性质，并能够应用导数计算函数在其中一点的切线方程及函数的近似值。
导数及其应用 教案
导数及其应用教案教案标题：导数及其应用教学目标：1. 理解导数的概念和意义；2. 掌握求函数导数的基本方法；3. 理解导数的几何意义和应用。
教学准备：1. 教材：包含导数概念和求导方法的教材；2. 教具：白板、彩色笔、计算器、投影仪等；3. 课件：包含导数概念、求导方法和应用实例的课件；4. 练习题：包含不同难度的求导练习题。
教学过程：Step 1：导入导数概念（15分钟）1. 利用课件和白板，引导学生回顾函数的变化率概念，并与导数进行对比；2. 解释导数的定义和符号表示，强调导数表示函数在某一点的变化率；3. 通过图示和实例，展示导数的几何意义。
Step 2：求导方法介绍（20分钟）1. 介绍求导的基本方法，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的求导法则；2. 利用课件和实例，演示不同类型函数的求导过程；3. 强调求导法则的应用和重要性。
Step 3：导数的应用（25分钟）1. 介绍导数在实际问题中的应用，如速度、加速度、最优化问题等；2. 利用课件和实例，展示导数在实际问题中的具体应用过程；3. 引导学生思考导数在其他学科中的应用，如物理、经济等领域。
Step 4：练习与巩固（20分钟）1. 分发练习题，让学生在课堂上完成求导练习；2. 鼓励学生互相讨论和解答问题，提高求导能力；3. 收集学生的答案，进行讲评和指导。
Step 5：课堂总结（10分钟）1. 总结导数的概念、求导方法和应用；2. 强调导数在数学和其他学科中的重要性；3. 鼓励学生继续深入学习和应用导数知识。
教学延伸：1. 鼓励学生进行更多的导数应用实践，如通过编程模拟物体运动、经济模型等；2. 提供更多的挑战性练习题，培养学生的分析和解决问题的能力；3. 拓展导数概念，引入高阶导数和导数的应用领域，如微分方程等。
教学评估：1. 课堂练习题的完成情况和答案准确性；2. 学生对导数概念、求导方法和应用的理解程度；3. 学生在实际问题中应用导数的能力和创造性。
第3章 《导数及其应用-3.2.2》 教学案
第3章 《导数及其应用-3.2.2》 教学案教学目标：1．理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数； 2．理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数； 3．能够综合运用各种法则求函数的导数．教学重点：函数的和、差、积、商的求导法则的推导与应用．教学过程：一、问题情境1．问题情境．(1)常见函数的导数公式：(默写)(2)求下列函数的导数：23x y =； x y 2=； x y 2log =．(3)由定义求导数的基本步骤(三步法)．2．探究活动．例1 求x x y +=2的导数．思考：已知)(),(x g x f ''，怎样求[]'+)()(x g x f 呢？二、建构数学函数的和差积商的导数求导法则：三、数学运用例1 求下列函数的导数： (1)21()t S t t+=； (2)x y tan =；(3)ln ()x f x x =； (4)x ex y =． 例2 求下列函数的导数： (1)2()sin f x x x =+； (2)323()622g x x x x =--+． 例3 求下列函数的导数：(1)x x x h sin )(=； (2)x x x f ln 2)(=；(3)用两种方法求(21)(3)y x x =-+的导数．例4 求下列函数的导数： (1)21()t S t t+=； (2)x y tan =； (3)ln ()x f x x =； (4)x ex y =． 四、巩固练习1.直线l 是抛物线20.5410y x x =-+在6x =处的切线，则直线l 在y 轴上的截距是2.如图，直线l 是曲线()y f x =在4x =处的切线，则(4)(4)f f '+=3.(1)求曲线x e y =在0=x 处的切线方程；(2)过原点作曲线x e y =的切线，求切点坐标.4.32()3f x ax x =++，若'(1)5f =，则a =__________ ____ 课后练习：1.求下列函数的导数： (1)xx x f 1)(+=； (2)2()cos f x x x =+； (3)()22ln x f x x =-； (4)22log )(x x x f +=； (5)2()x f x x e =； (6)xe xf x=)(.2.求曲线6cos 21π=-=x x x y 在处的切线方程。
高中数学第3章导数及其应用3.13.1.3导数的几何意义教师用书教案新人教A版选修1
3.1.3 导数的几何意义学习目标核心素养1．理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．(重点)2．理解导函数的概念，会求简单函数的导函数．(重点)3．理解在某点处与过某点的切线方程的区别．(难点、易混点) 1．通过学习导数的几何意义，培养学生数学抽象的素养.2．借助导数的几何意义解题，培养学生的数学运算素养.1．导数的几何意义(1)切线的概念：如图，对于割线PP n，当点P n趋近于点P时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．(1)(2)(3)(4)(2)导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，则k＝limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝f′(x0)．(3)切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．思考：曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？[提示]不一定．曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切．如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线．2．导函数的概念(1)定义：当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．(2)记法：f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx.1．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)＝()A．4 B．－4C．－2 D．2D[由导数的几何意义知f′(1)＝2，故选D．]2．已知函数f(x)在x0处的导数为f′(x0)＝1，则函数f(x)在x0处切线的倾斜角为________．45°[设切线的倾斜角为α，则tan α＝f′(x0)＝1，又α∈[0°，180°)，∴α＝45°.]3．若函数f(x)在点A(1,2)处的导数是－1，那么过点A的切线方程是________．x＋y－3＝0[切线的斜率为k＝－1.∴点A(1,2)处的切线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.]导数的几何意义A BA．f′(x A)>f′(x B)B．f′(x A)<f′(x B)C．f′(x A)＝f′(x B)D．不能确定(2)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1(1)B(2)A[(1)由导数的几何意义，f′(x A)，f′(x B)分别是切线在点A，B处切线的斜率，由图象可知f ′(x A )<f ′(x B )．(2)由题意，知k ＝y ′|x ＝0＝lim Δx →(0＋Δx )2＋a (0＋Δx )＋b －bΔx ＝1，∴a ＝1.又(0，b )在切线上，∴b ＝1，故选A ．]1．本例(2)中主要涉及了两点：①f ′(0)＝1，②f (0)＝b . 2．解答此类问题的关键是理解导数的几何意义．3．与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题．[跟进训练]1．(1)设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A ．1 B ．12C ．－12D ．－1(2)如图所示，函数y ＝f (x )的图象在点P (2，y )处的切线是l ，则f (2)＋f ′(2)等于( )A ．－4B ．3C ．－2D ．1(1)A (2)D [(1)由题意可知，f ′(1)＝2. 又lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →a (1＋Δx )2－aΔx＝lim Δx →0(a Δx ＋2a )＝2a .故由2a ＝2得a ＝1.(2)直线l 的方程为x 4＋y4＝1，即x ＋y －4＝0.又由题意可知f (2)＝2，f ′(2)＝－1， ∴f (2)＋f ′(2)＝2－1＝1.]求切点坐标(1)平行于直线y ＝4x －5； (2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0； (3)倾斜角为135°.分别求出满足上述条件的点的坐标．[思路点拨] 先求出函数的导函数f ′(x )，再设切点(x 0，y 0)，由导数的几何意义知切点(x 0，y 0)处的切线的斜率为f ′(x 0)，然后根据题意列方程，解关于x 0的方程即可求出x 0，又点(x 0，y 0)在曲线y ＝x 2上，易得y 0.[解] 设y ＝f (x )，则f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx ＝lim Δx →(2x ＋Δx )＝2x .设P (x 0，y 0)是满足条件的点．(1)因为切线与直线y ＝4x －5平行，所以2x 0＝4，解得x 0＝2，所以y 0＝4，即P (2,4)． (2)因为切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直，且直线2x －6y ＋5＝0的斜率为13，所以2x 0·13＝－1，解得x 0＝－32，所以y 0＝94，即P ⎝⎛⎭⎫－32，94. (3)因为切线的倾斜角为135°，所以切线的斜率为－1，即2x 0＝－1，解得x 0＝－12，所以y 0＝14，即P ⎝⎛⎭⎫－12，14.解答此类题目时，所给直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标.解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等.[跟进训练]2．已知抛物线y ＝2x 2＋1，求(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0? (2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x ＋8y －3＝0?[解]设切点坐标为(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2，∴ΔyΔx＝4x0＋2Δx，∴y′|x＝x0＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(4x0＋2Δx)＝4x0.(1)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，∴斜率为4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1,3)．(2)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，∴斜率为8，即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，该点为(2,9).求曲线的切线方程1．如何求曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程？提示：根据导数的几何意义，求出函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，再由直线方程的点斜式求出切线方程．2．曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线过点(x0，y0)的切线有什么不同？提示：曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线，点(x0，f(x0))一定是切点，只要求出k＝f′(x0)，利用点斜式写出切线方程即可；而曲线f(x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点．【例3】已知曲线C：y＝x3.(1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程；(2)求曲线C过点(1,1)的切线方程．[思路点拨](1)求y′|x＝1―→求切点―→点斜式方程求切线(2)设切点(x 0，y 0)―→求y ′|x ＝x 0―→由y ′|x ＝x 0＝y 0－1x 0－1求(x 0，y 0)―→写切线方程[解] (1)将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1， ∴切点P (1,1)．y ′|x ＝1＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →(1＋Δx )3－1Δx＝lim Δx →0[3＋3Δx ＋(Δx )2]＝3.∴k ＝y ′|x ＝1＝3.∴曲线在点P (1,1)处的切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.(2)设切点为Q (x 0，y 0)，由(1)可知y ′|x ＝x 0＝3x 20，由题意可知k PQ ＝y ′|x ＝x 0，即y 0－1x 0－1＝3x 20，又y 0＝x 30，所以x 30－1x 0－1＝3x 20，即2x 20－x 0－1＝0，解得x 0＝1或x 0＝－12. ①当x 0＝1时，切点坐标为(1,1)，相应的切线方程为3x －y －2＝0.②当x 0＝－12时，切点坐标为⎝⎛⎭⎫－12，－18，相应的切线方程为y ＋18＝34⎝⎛⎭⎫x ＋12，即3x －4y ＋1＝0.(变结论)本例第(1)小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －2，y ＝x 3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－8，从而求得公共点为P (1,1)或M (－2，－8)，即切线与曲线C 的公共点除了切点外，还有另一公共点(－2，－8)．1．求曲线在某点处的切线方程的步骤2.求过点(x1，y1)的曲线y＝f(x)的切线方程的步骤(1)设切点(x0，y0)；(2)求f′(x0)，写出切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)；(3)将点(x1，y1)代入切线方程，解出x0，y0及f′(x0)；(4)写出切线方程．1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．2．“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值．3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．1．判断正误(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点x＝x0处切线的斜率．()(2)若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在．()(3)f′(x0)(或y′|x＝x0)是函数f′(x)在点x＝x0处的函数值．()(4)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．()[答案](1)√(2)×(3)√(4)×2．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( ) A ．f ′(x 0)＞0 B ．f ′(x 0)＜0 C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在B [由x ＋2y －3＝0知，斜率k ＝－12，∴f ′(x 0)＝－12＜0.]3．曲线f (x )＝2x 在点(－2，－1)处的切线方程为________．x ＋2y ＋4＝0 [f ′(－2)＝lim Δx →f (－2＋Δx )－f (－2)Δx＝lim Δx →02－2＋Δx ＋1Δx ＝lim Δx →1－2＋Δx ＝－12，∴切线方程为y ＋1＝－12(x ＋2)，即x ＋2y ＋4＝0.]4．已知直线y ＝4x ＋a 和曲线y ＝x 3－2x 2＋3相切，求切点坐标及a 的值． [解] 设直线l 与曲线相切于点P (x 0，y 0)，则f ′(x )＝lim Δx →(x ＋Δx )3－2(x ＋Δx )2＋3－(x 3－2x 2＋3)Δx ＝3x 2－4x .由导数的几何意义，得k ＝f ′(x 0)＝3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2，∴切点坐标为⎝⎛⎭⎫－23，4927或(2,3)． 当切点为⎝⎛⎭⎫－23，4927时，有4927＝4×⎝⎛⎭⎫－23＋a ， ∴a ＝12127.当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ， ∴a ＝－5，因此切点坐标为⎝⎛⎭⎫－23，4927或(2,3)，a 的值为12127或－5.。
人教A版高中数学选修1-1《三章 导数及其应用 牛顿法──用导数方法求方程的近似解》优质课教案_2
高中数学人教A版选修1-1第三章导数及其应用3.2.2 探究与发现牛顿法——用导数方法求方程的近似解一、教学目标：1.知识与技能（1）复习和巩固用二分法求方程的近似解（2）探究并总结牛顿法求方程的近似解2.过程与方法（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；（2）培养学生在数学学习的过程中的迁移，类比。
3.情感与价值观让学生了解更多数学史事及数学应用更能增进学生对数学的兴趣以及科学研究的价值观。
二、教学重点、难点：教学重点：牛顿法的迭代思想和过程。
教学难点：理解牛顿法的逼近和迭代原理。
三、学法与教学用具：1.通过探究和实践，使学生能够完全理解牛顿法的迭代原理，提高了学生解决实际问题的能力；2.教学用具：投灯片、多媒体。
四、教学过程：（一）创设情景、导入课题（展示ppt，中外历史上的方程求解）1.从一个三次方程求解问题引入，给出一个数学故事，激发学生兴趣，同时对学生渗透德育教育，引起学生对我国古代数学的自豪感。
（二）复习巩固，启发引导1.求Leonardo方程的近似解，我们学习过什么方法？请大家把课前完成的复习巩固环节进行交流。
2.（师生活动）提问学生复习回顾二分法求方程近似解的步骤及二分法的逼近思想，方便在课程教学时进行类比分析。
3.思考并总结：用二分法求方程的近似解时，需要注意一些什么问题？4.学生回答问题，总结二分法的优缺点，并以其缺点入手，引出今天的课题，（板书主题：牛顿法——用导数方法求方程的近似解）。
〖设计意图〗学生在课前完成了学案相应复习部分的内容，复习了高一时所学习过的二分法的内容，为本节课的课程研究打下坚实的基础，包括对算法思想，逼近思想的体会都能有所加深，为研究牛顿法进行类比提供了很好的基础。
（三）师生互动、探究新知1.层层设问：（1）在研究方程的根的问题时，我们常可以将其等价转化为什么问题进行研究？（2）在研究函数的性质时，我们新学习了什么工具可以用来很方便地刻画函数的什么性质？ （3）我们新学习的工具中，在刻画函数性质方面，体现出了什么样的思想？ （4）在研究方程的近似解的时候，二分法体现出了什么样的思想？（5）类比二分法的思想，结合我们新学到的工具，我们能产生什么新的想法求方程的近似解？2. 归纳方法，总结整理（小组讨论，选一个小组先展示，老师再板书）给定函数为()y f x =，迭代初始值为0x ，其切线方程可以写为：()()()000'y f x f x x x -=-，求其零点，令0y =，得()()000'f x x x f x =-。
数学第三章《导数及其应用》教案(新人教A版选修11)
导数及其使用复习【知能目标】1.认识导数看法的某些实质背景（如瞬时速度，加速度、圆滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的看法。
2、熟记基本导数公式：x m(m 为有理数 ) 、sinx 、cosx 、 e x、 a x、 lnx 、 log a x 的导数；掌握两个函数和、差、积、商的求导法规和复合函数的求导法规，会求某些简单函数的导数。
3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；认识可导函数在某点获取极值的必要条件和充分条件 ( 导数在极值点两侧异号) ；会求一些实责问题( 一般指单峰函数) 的最大值和最小值。
[ 授课方法 ]1.采用“教学设计导学”方式进行授课。
2.谈论法、启发式、自主学习、合作研究式授课方法的综合运用。
[ 授课流程 ] ：独立完成基础回顾，合作交流纠错, 老师谈论；尔后经过题目落实双基，依照学生出现的问题有针对性的讲评.[ 授课重点和难点]授课重点：导数的看法、四则运算、常用函数的导数，导数的使用理解运动和物质的关系、授课难点：导数的定义，导数在求函数的单调区间、极值、最值、证明中的使用【综合脉络】1.知识网络导数的实质背景导数定义导数的几何意义导函数基本求四则运算复合函数求导法规导公式求导法规求简单函数的导数导数的使用判断函数的单调性求函数的极大(小)值求函数的最大 (小)值2.考点综述有关导数的内容，在2000 年开始的新课程试卷命题时，其测试要求都是很基本的，今后逐渐加深，察看的基根源则是重点察看导数的看法和计算，力求结合使用问题，不过多地涉及理论商议和严格的逻辑证明。
本部分的要求一般有三个层次：第一层次是主要察看导数的看法，求导的公式和求导法规；第二层次是导数的简单使用，包括求函数的极值、单调区间、证明函数的增减性等；第三层次是综合察看，包括解决 使用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机地结合在一起，设计综合题，经过将新课程内容和传统内 容相结合，加强了能力察看力度，使试题拥有更广泛的实质意义，更表现了导数作为工具分 析和解决一些函数性诘问题的方法，这类问题用传统教材是无法解决的。
第3讲 导数及其应用 第1课时(教案)
第3讲 导数及其应用 第1课时1．导数的意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点． 2．利用导数解决函数的单调性与极值(最值)问题是高考的常见题型． 3．导数与函数零点，不等式的结合常作为高考压轴题出现．热点一 导数的几何意义1．函数f (x )在x 0处的导数是曲线f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，曲线f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(x 0)，相应的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．2．求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的不同．例1 (1)(2017届山西临汾一中等五校联考)已知曲线f (x )＝ax 2x ＋1在点(1，f (1))处切线的斜率为1，则实数a的值为( ) A.32B ．－32C ．－34D.43答案 D解析 对函数求导，可得f ′(x )＝2ax (x ＋1)－ax 2(x ＋1)2，∵曲线f (x )＝ax 2x ＋1在点(1，f (1))处切线的斜率为1，∴f ′(1)＝3a 4＝1，得a ＝43，故选D.(2)(2017届成都一诊)已知曲线C 1：y 2＝tx (y >0，t >0)在点M ⎝⎛⎭⎫4t ，2处的切线与曲线C 2：y ＝e x ＋1＋1也相切，则t 的值为( ) A ．4e 2 B ．4e C.e 24 D.e 4答案 A解析 曲线C 1：y ＝tx ，y ′＝t2tx.当x ＝4t 时，y ′＝t 4，切线方程为y －2＝t4⎝⎛⎭⎫x －4t ， 化简为y ＝t4x ＋1，①与曲线C 2相切，设切点为(x 0，y 0)，001e4x x x t y +='==，x 0＝ln t 4－1，那么010e 114x t y +=+=+，切线方程为y －⎝⎛⎭⎫t 4＋1＝t4⎝⎛⎭⎫x －ln t 4＋1， 化简为y ＝t 4x －t 4ln t 4＋t2＋1，②①②是同一方程，所以－t 4ln t 4＋t 2＋1＝1⇔ln t4＝2，即t ＝4e 2，故选A.思维升华 (1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点．(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解．跟踪演练1 (1)(2017·天津)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________． 答案 1解析 ∵f ′(x )＝a －1x，∴f ′(1)＝a －1.又∵f (1)＝a ，∴切线l 的斜率为a －1，且过点(1，a )， ∴切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)． 令x ＝0，得y ＝1，故l 在y 轴上的截距为1. (2)若y ＝ax ＋b 为函数f (x )＝x ln x －1x图象的一条切线，则a ＋b 的最小值为( ) A ．－4B ．－1C ．1D ．2 答案 B解析 f ′(x )＝1＋x x 2(x >0)．设切点为⎝⎛⎭⎫x 0，ln x 0－1x 0， 则切线方程为y －⎝⎛⎭⎫ln x 0－1x 0＝⎝⎛⎭⎫1x 0＋1x 20(x －x 0)，即y ＝⎝⎛⎭⎫1x 0＋1x 20x －⎝⎛⎭⎫1x 0＋1x 20x 0＋⎝⎛⎭⎫ln x 0－1x 0， 亦即y ＝⎝⎛⎭⎫1x 0＋1x 20x ＋⎝⎛⎭⎫ln x 0－2x 0－1. 令1x 0＝t ，则t >0，由题意得a ＝1x 0＋1x 20＝t ＋t 2，b ＝ln x 0－2x 0－1＝－ln t －2t －1.令a ＋b ＝φ(t )＝－ln t ＋t 2－t －1，则φ′(t )＝－1t ＋2t －1＝(2t ＋1)(t －1)t ，当t ∈(0,1)时，φ′(t )<0，则φ(t )在(0,1)上单调递减；当t ∈(1，＋∞)时，φ′(t )>0，则φ(t )在(1，＋∞)上单调递增， ∴a ＋b ＝φ(t )≥φ(1)＝－1，故a ＋b 的最小值为－1. 热点二 利用导数研究函数的单调性1．f ′(x )>0是f (x )为增函数的充分不必要条件，如函数f (x )＝x 3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f ′(x )≥0. 2．f ′(x )≥0是f (x )为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f ′(x )＝0时，则f (x )为常函数，函数不具有单调性．例2 (2017·全国Ⅱ)设函数f (x )＝(1－x 2)e x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)当x ≥0时，f (x )≤ax ＋1，求a 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝(1－2x －x 2)e x .令f ′(x )＝0，得x ＝－1－2或x ＝－1＋ 2. 当x ∈(－∞，－1－2)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(－1－2，－1＋2)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(－1＋2，＋∞)时，f ′(x )＜0.所以f (x )在(－∞，－1－2)，(－1＋2，＋∞)上单调递减，在(－1－2，－1＋2)上单调递增． (2)f (x )＝(1＋x )(1－x )e x .当a ≥1时，设函数h (x )＝(1－x )e x ，则h ′(x )＝－x e x <0(x >0)，因此h (x )在[0，＋∞)上单调递减．而h (0)＝1，故h (x )≤1，所以f (x )＝(x ＋1)h (x )≤x ＋1≤ax ＋1.当0<a <1时，设函数g (x )＝e x －x －1，则g ′(x )＝e x －1>0(x >0)，所以g (x )在[0，＋∞)上单调递增． 而g (0)＝0，故e x ≥x ＋1. 当0<x <1时，f (x )>(1－x )(1＋x )2， (1－x )(1＋x )2－ax －1＝x (1－a －x －x 2)，取x 0＝5－4a －12， 则x 0∈(0,1)，(1－x 0)(1＋x 0)2－ax 0－1＝0， 故f (x 0)>ax 0＋1.当a ≤0时，取x 0＝5－12，则x 0∈(0,1)，f (x 0)>(1－x 0)(1＋x 0)2＝1≥ax 0＋1. 综上，a 的取值范围是[1，＋∞)．思维升华 利用导数研究函数单调性的一般步骤 (1)确定函数的定义域． (2)求导函数f ′(x )．(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0； ②若已知函数的单调性，则转化为不等式f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在单调区间上恒成立问题来求解． 跟踪演练2 (1)(2017届昆明市第一中学月考)若函数f (x )＝ln x ＋ax 2－2在区间⎝⎛⎭⎫12，2内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B.⎝⎛⎭⎫－18，＋∞ C. ⎝⎛⎭⎫－2，－18 D. (－2，＋∞) 答案 D解析 由题意得f ′(x )＝1x ＋2ax ，若f (x )在区间⎝⎛⎭⎫12，2内存在单调递增区间， 则f ′(x )≥0在⎝⎛⎭⎫12，2上有解， 即a ≥⎝⎛⎭⎫－12x 2的最小值． 又g (x )＝－12x 2在⎝⎛⎭⎫12，2上是单调递增函数， 所以g (x )>g ⎝⎛⎭⎫12＝－2，所以a ≥－2，经检验，当a ＝－2时不成立，所以a >－2. 故选D.(2)设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是( )A ．(－3,0)∪(3，＋∞)B ．(－3,0)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3) 答案 D解析 当x <0时，∵f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0， ∴[f (x )g (x )]′>0，∴y ＝f (x )g (x )为增函数． ∵g (－3)＝0，∴f (－3)g (－3)＝0， ∴f (x )g (x )<0的解集为(－∞，－3)．∵f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，∴y ＝f (x )g (x )在R 上为奇函数，当x >0时，f (x )g (x )<0的解集为(0,3)．综上，不等式的解集为(－∞，－3)∪(0,3)．故选D.热点三 利用导数求函数的极值、最值1．若在x 0附近左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，则f (x 0)为函数f (x )的极大值；若在x 0附近左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，则f (x 0)为函数f (x )的极小值．2．设函数y ＝f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，则f (x )在[a ，b ]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得．例3 (2017届河南息县第一高级中学检测)已知函数f (x )＝mx ＋ln x ，g (x )＝x 3＋x 2－x .(1)若m ＝3，求f (x )的极值；(2)若对于任意的s ，t ∈⎣⎡⎦⎤12，2，都有f (s )≥110g (t )，求m 的取值范围． 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， 当m ＝3时，f (x )＝3x＋ln x ，∴f ′(x )＝－3x 2＋1x ＝x －3x 2，f ′(3)＝0，∴当x >3时，f ′(x )>0，f (x )是增函数， 当0<x <3时，f ′(x )<0，f (x )是减函数． ∴f (x )有极小值f (3)＝1＋ln 3，没有极大值． (2)g (x )＝x 3＋x 2－x ，g ′(x )＝3x 2＋2x －1.当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，g ′(x )>0，∴g (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上是单调递增函数，g (2)＝10最大，对于任意的s ，t ∈⎣⎡⎦⎤12，2，f (s )≥110g (t )恒成立，即对任意x ∈⎣⎡⎦⎤12，2， f (x )＝mx ＋ln x ≥1恒成立，∴m ≥x －x ln x ，令h (x )＝x －x ln x ，则h ′(x )＝1－ln x －1＝－ln x . ∴当x ≥1时，h ′(x )<0，当0<x <1时，h ′(x )>0， ∴h (x )在(0,1)上是增函数，在[1，＋∞)上是减函数， 当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，h (x )最大值为h (1)＝1， ∴m ≥1，即m ∈[1，＋∞)．思维升华 (1)求函数f (x )的极值，则先求方程f ′(x )＝0的根，再检查f ′(x )在方程根的左右函数值的符号． (2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f ′(x )＝0根的大小或存在情况来求解．(3)求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f (a )，f (b )与f (x )的各极值进行比较得到函数的最值．跟踪演练3 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2，在x ＝1处取得极值16.(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的x ∈[0，＋∞)，都有f ′(x )≤k ln(x ＋1)成立(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，求实数k 的最小值．解 (1)由题设可得f ′(x )＝3ax 2＋2bx ， ∵f (x )在x ＝1处取得极值16，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝0，f (1)＝16，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝0，a ＋b ＝16， 解得a ＝－13，b ＝12，经检验知，a ＝－13，b ＝12满足题设条件．(2)由(1)得f (x )＝－13x 3＋12x 2，∴f ′(x )＝－x 2＋x ，∴－x 2＋x ≤k ln(x ＋1)在[0，＋∞)上恒成立，即x 2－x ＋k ln(x ＋1)≥0在x ∈[0，＋∞)上恒成立， 设g (x )＝x 2－x ＋k ln(x ＋1)，则g (0)＝0，g ′(x )＝2x －1＋kx ＋1＝2x 2＋x ＋k －1x ＋1，x ∈[0，＋∞)，设h (x )＝2x 2＋x ＋k －1，①当Δ＝1－8(k －1)≤0，即k ≥98时，h (x )≥0，∴g ′(x )≥0，g (x )在[0，＋∞)上单调递增， ∴g (x )≥g (0)＝0，即当k ≥98时，满足题设条件．②当Δ＝1－8(k －1)>0，即k <98时，设x 1，x 2是方程2x 2＋x ＋k －1＝0的两个实根，且x 1<x 2，由x 1＋x 2＝－12可知，x 1<0，由题设可知，当且仅当x 2≤0，即x 1·x 2≥0，即k －1≥0，即k ≥1时，对任意的x ∈[0，＋∞)有h (x )≥0，即g ′(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立， ∴g (x )在[0，＋∞)上单调递增，∴g (x )≥g (0)＝0，∴当1≤k <98时，也满足条件，综上，k 的取值范围为[1，＋∞)， ∴实数k 的最小值为1.真题体验1．(2017·浙江改编)函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是________．(填序号)答案 ④解析 观察导函数f ′(x )的图象可知，f ′(x )的函数值从左到右依次为小于0，大于0，小于0，大于0，∴对应函数f(x)的增减性从左到右依次为减、增、减、增．观察图象可知，排除①，③.如图所示，f′(x)有3个零点，从左到右依次设为x1，x2，x3，且x1，x3是极小值点，x2是极大值点，且x2＞0，故④正确．2．(2017·全国Ⅱ改编)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·e x－1的极值点，则f(x)的极小值为________．答案－1解析函数f(x)＝(x2＋ax－1)e x－1，则f′(x)＝(2x＋a)e x－1＋(x2＋ax－1)e x－1＝e x－1[x2＋(a＋2)x＋a－1]．由x＝－2是函数f(x)的极值点，得f′(－2)＝e－3(4－2a－4＋a－1)＝(－a－1)e－3＝0，所以a＝－1，所以f(x)＝(x2－x－1)e x－1，f′(x)＝e x－1(x2＋x－2)．由e x－1＞0恒成立，得当x＝－2或x＝1时，f′(x)＝0，且x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当x＞1时，f′(x)＞0.所以x＝1是函数f(x)的极小值点．所以函数f(x)的极小值为f(1)＝－1.3．(2017·山东改编)若函数e x f(x)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质，下列函数中具有M性质的是______．(填序号)①f(x)＝2－x；②f(x)＝x2；③f(x)＝3－x；④f(x)＝cos x.答案①解析若f(x)具有性质M，则[e x f(x)]′＝e x[f(x)＋f′(x)]＞0在f(x)的定义域上恒成立，即f(x)＋f′(x)＞0在f(x)的定义域上恒成立．对于①式，f (x )＋f ′(x )＝2－x －2－x ln 2＝2－x (1－ln 2)＞0，符合题意． 经验证，②③④均不符合题意． 故填①.4．(2017·全国Ⅰ)曲线y ＝x 2＋1x 在点(1,2)处的切线方程为________．答案 y ＝x ＋1解析 ∵y ′＝2x －1x 2，∴y ′|x ＝1＝1，即曲线在点(1,2)处的切线的斜率k ＝1， ∴切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0. 押题预测1．设函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )，若y ＝f (x )的图象在点P (1，f (1))处的切线方程为x －y ＋2＝0，则f (1)＋f ′(1)等于( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1押题依据 曲线的切线问题是导数几何意义的应用，是高考考查的热点，对于“过某一点的切线”问题，也是易错易混点． 答案 A解析 依题意有f ′(1)＝1,1－f (1)＋2＝0，即f (1)＝3， 所以f (1)＋f ′(1)＝4.2．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极大值10，则ab 的值为( )A ．－23B ．－2C ．－2或－23D ．2或－23押题依据 函数的极值是单调性与最值的“桥梁”，理解极值概念是学好导数的关键．极值点、极值的求法是高考的热点． 答案 A解析 由题意知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b －a 2－7a ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9，经检验⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9满足题意，故a b ＝－23.3．已知函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，函数g (x )＝x 2－a ln x 在(1,2)上为增函数，则a 的值等于________．押题依据 函数单调性问题是导数最重要的应用，体现了“以直代曲”思想，要在审题中搞清“在(0,1)上为减函数”与“函数的减区间为(0,1)”的区别． 答案 2解析 ∵函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数， ∴a2≥1，得a ≥2. 又∵g ′(x )＝2x －ax ，依题意g ′(x )≥0在x ∈(1,2)上恒成立，得2x 2≥a 在x ∈(1,2)上恒成立，有a ≤2，∴a＝2.4．已知函数f (x )＝x －1x ＋1，g (x )＝x 2－2ax ＋4，若对任意x 1∈[0,1]，存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是__________．押题依据 不等式恒成立或有解问题可以转化为函数的值域解决．考查了转化与化归思想，是高考的一个热点．答案 ⎣⎡⎭⎫94，＋∞ 解析 由于f ′(x )＝1＋1(x ＋1)2>0，因此函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以当x ∈[0,1]时，f (x )min ＝f (0)＝－1. 根据题意可知存在x ∈[1,2]， 使得g (x )＝x 2－2ax ＋4≤－1， 即x 2－2ax ＋5≤0，即a ≥x 2＋52x 成立，令h (x )＝x 2＋52x，则要使a ≥h (x )在x ∈[1,2]能成立，只需使a ≥h (x )min ， 又函数h (x )＝x 2＋52x 在x ∈[1,2]上单调递减，所以h (x )min ＝h (2)＝94，故只需a ≥94.A 组 专题通关1．(2017届辽宁葫芦岛普通高中月考)已知函数f (x )与f ′(x )的图象如图所示，则函数g (x )＝f (x )e x 的递减区间为( )A ．(0,4)B ．(0,1)，(4，＋∞)C.⎝⎛⎭⎫0，43 D ．(－∞，1)，⎝⎛⎭⎫43，4 答案 B解析 由图可知，先减后增的那条曲线为f ′(x )的图象，先增再减最后增的曲线为f (x )的图象，当x ∈(0,1)∪(4，＋∞)时，f ′(x )<f (x )，令g ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x<0，得f ′(x )－f (x )<0，则x ∈(0,1)∪(4，＋∞)，故g (x )的递减区间为(0,1)，(4，＋∞)，故选B.2．(2017届山西临汾一中等五校联考)已知函数f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝x ln(－x )＋x ＋2，则曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋3B ．y ＝2x －3C ．y ＝－2x ＋3D ．y ＝－2x －3答案 B解析 设x >0，则－x <0，∵f (x )为奇函数，当x <0时，f (x )＝x ln(－x )＋x ＋2，∴f (x )＝－f (－x )＝－[－x ln x －x ＋2]＝x ln x ＋x －2，∴当x >0时，f ′(x )＝ln x ＋2，∴f ′(1)＝2且f (1)＝－1，∴曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程是y ＝2x －3.故选B.3．(2017届内蒙古包头市十校联考)已知函数F (x )＝xf (x )，f (x )满足f (x )＝f (－x )，且当x ∈(－∞，0]时，f ′(x )<0成立，若a ＝20.1·f (20.1)，b ＝ln 2·f (ln 2)，c ＝log 218·f ⎝⎛⎭⎫log 218，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．c >a >bC ．c >b >aD ．a >c >b答案 C解析 F (－x )＝(－x )f (－x )＝－xf (x )＝－F (x )，即函数F (x )是奇函数，并且当x ∈(－∞，0]时，f ′(x )<0，即当x ∈(－∞，0]时，F (x )是单调递减函数，所以在R 上函数F (x )是单调递减函数，a ＝F (20.1)，b ＝F (ln 2)，c ＝F ⎝⎛⎭⎫log 218，20.1>1,0<ln 2<1，log 218＝－3，所以20.1>ln 2>log 218，所以a <b <c ，故选C. 4．设a ∈R ，若函数y ＝e ax ＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则( )A ．a >－3B ．a <－3C ．a >－13D ．a <－13答案 B解析 y ′＝a e ax ＋3＝0在(0，＋∞)上有解，即a e ax ＝－3，∵e ax >0，∴a <0.又当a <0时，0<e ax <1，要使a e ax ＝－3，则a <－3，故选B.5．(2017届河南息县第一高级中学检测)函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是( )A ．20B ．18C ．3D ．0答案 A解析 对于区间(－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，等价于对区间(－3,2]上的任意x 1，x 2，都有f (x )max －f (x )min ≤t ，∵f (x )＝x 3－3x －1，∴f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)．∵x ∈[－3,2]，∴函数在[－3，－1]，[1,2]上单调递增，在[－1,1]上单调递减，∴f (x )max ＝f (2)＝f (－1)＝1， f (x )min ＝f (－3)＝－19，∴f (x )max －f (x )min ＝20，∴t ≥20，实数t 的最小值是20.6．(2017届重庆市第一中学月考)已知直线x －y ＋1＝0与曲线y ＝ln x ＋a 相切，则a 的值为______． 答案 2解析 y ＝ln x ＋a 的导数为y ′＝1x，设切点P (x 0，y 0)，则y 0＝x 0＋1，y 0＝ln x 0＋a .又切线方程x －y ＋1＝0的斜率为1，即1x 0＝1，解得x 0＝1，则y 0＝2，a ＝y 0－ln x 0＝2. 7．(2017届辽宁省沈阳市郊联体期末)f (x )＝23x 3－x 2＋ax －1，已知曲线存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎭⎫3，72解析 原题等价于方程f ′(x )－3＝0有两个大于零的实数根．因为f (x )＝23x 3－x 2＋ax －1， 所以f ′(x )＝2x 2－2x ＋a ，所以f ′(x )－3＝0，即2x 2－2x ＋a －3＝0，设g (x )＝2x 2－2x ＋a －3，要使方程g (x )＝0有两个大于零的实数根需要满足⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，g (0)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧22－4×2×(a －3)>0，a －3>0， 解得3<a <72. 所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫3，72. 8．(2017届重庆模拟)已知x ＝0是函数f (x )＝(x －2a )·(x 2＋a 2x ＋2a 3)的极小值点，则实数a 的取值范围是__________．答案 a >2或a <0解析 因为f (x )＝x 3＋(a 2－2a )x 2－4a 4，所以令f ′(x )＝3x 2＋2(a 2－2a )x ＝3x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2(a 2－2a )3＝0，可得函数f (x )＝x 3＋(a 2－2a )x 2－4a 4的两个极值点分别为x ＝0，x ＝－2(a 2－2a )3，由题意得2(a 2－2a )3>0，即a 2－2a >0，解得a <0或a >2.9．(2017届西安模拟)定义1：若函数f (x )在区间D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在区间D 上也可导，则称函数f (x )在区间D 上存在二阶导数，记作f ″(x )，即f ″(x )＝[f ′(x )]′.定义2：若函数f (x )在区间D 上的二阶导数为正，即f ″(x )>0恒成立，则称函数f (x )在区间D 上是凹函数．已知函数f (x )＝x 3－32x 2＋1在区间D 上为凹函数，则x 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析 f ′(x )＝3x 2－3x ，f ″(x )＝6x －3，令f ″(x )>0，得x >12. 10．(2017·北京)已知函数f (x )＝e x cos x －x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．解 (1)因为f (x )＝e x cos x －x ，所以f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0.又因为f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(2)设h (x )＝e x (cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x .当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，h ′(x )＜0， 所以h (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减， 所以对任意x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2有h (x )＜h (0)＝0， 即f ′(x )＜0，所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减， 因此f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为f (0)＝1，最小值为f ⎝⎛⎭⎫π2＝－π2. B 组 能力提高11．(2017届重庆市调研)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f ′(x )<f (x )对任意的x ∈R 恒成立，则下列不等式均成立的是( )A ．f (ln 2)<2f (0)，f (2)<e 2f (0)B ．f (ln 2)>2f (0)，f (2)>e 2f (0)C ．f (ln 2)<2f (0)，f (2)>e 2f (0)D ．f (ln 2)>2f (0)，f (2)<e 2f (0)答案 A解析 设y ＝f (x )e x ，∴y ′＝f ′(x )－f (x )e x. ∵f ′(x )<f (x )，∴y ′<0，∴y ＝f (x )e x 在R 上为减函数． ∵ln 2>0，∴f (ln 2)e ln 2<f (0)e 0，∴f (ln 2)<2f (0)． ∵2>0，∴f (2)e 2<f (0)e 0， ∴f (2)<e 2f (0)．故选A.12. (2017届湖北省部分重点中学联考)已知S ＝(x －a )2＋(ln x －a )2(a ∈R )，则S 的最小值为( ) A.22 B.12 C. 2 D ．2答案 B解析 设A (x ，ln x )，B (a ，a )，则问题化为求平面上两动点A (x ，ln x )，B (a ，a )之间距离的平方的最小值的问题，即求曲线f (x )＝ln x 上的点到直线y ＝x 上的点的距离最小值问题．因为f ′(x )＝1x，设切点P (t ，ln t )，则切线的斜率k ＝1t ，由题设知，当1t＝1，即t ＝1时，点P (1,0)到直线y ＝x 的距离最近，其最小值为d min ＝12，所以所求S 的最小值为S min ＝12，故选B. 13．(2017·山东)已知函数f (x )＝13x 3－12ax 2，a ∈R . (1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(3，f (3))处的切线方程；(2)设函数g (x )＝f (x )＋(x －a )cos x －sin x ，讨论g (x )的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 解 (1)由题意f ′(x )＝x 2－ax ，所以当a ＝2时，f (3)＝0，f ′(x )＝x 2－2x ，所以f ′(3)＝3，因此曲线y ＝f (x )在点(3，f (3))处的切线方程是y ＝3(x －3)，即3x －y －9＝0.(2)因为g (x )＝f (x )＋(x －a )cos x －sin x ，所以g ′(x )＝f ′(x )＋cos x －(x －a )sin x －cos x＝x (x －a )－(x －a )sin x ＝(x －a )(x －sin x )．令h (x )＝x －sin x ，则h ′(x )＝1－cos x ≥0，所以h (x )在R 上单调递增．因为h (0)＝0，所以当x >0时，h (x )>0；当x <0时，h (x )<0.①当a <0时，g ′(x )＝(x －a )(x －sin x )，当x ∈(－∞，a )时，x －a <0，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x∈(a,0)时，x－a>0，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(0，＋∞)时，x－a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增．所以当x＝a时，g(x)取到极大值，极大值是g(a)＝－13－sin a；6a当x＝0时，g(x)取到极小值，极小值是g(0)＝－a.②当a＝0时，g′(x)＝x(x－sin x)，当x∈(－∞，＋∞)时，g′(x)≥0，g(x)单调递增；所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，g(x)无极大值也无极小值．③当a>0时，g′(x)＝(x－a)(x－sin x)，当x∈(－∞，0)时，x－a<0，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(0，a)时，x－a<0，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(a，＋∞)时，x－a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增．所以当x＝0时，g(x)取到极大值，极大值是g(0)＝－a；当x＝a时，g(x)取到极小值，极小值是g(a)＝－13－sin a.6a综上所述，当a<0时，函数g(x)在(－∞，a)和(0，＋∞)上单调递增，在(a,0)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g(a)＝－13－sin a，极小值是g(0)＝－a；6a当a＝0时，函数g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值；当a>0时，函数g(x)在(－∞，0)和(a，＋∞)上单调递增，在(0，a)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g(0)＝－a，极小值是g(a)＝－13－sin a.6a。
导数及其应用教案
导数及其应用教案导数及其应用教案一、教学目标：1. 了解导数的定义和性质；2. 掌握导数的计算方法；3. 了解导数的应用领域及其作用。
二、教学内容：1. 导数的定义和性质；2. 导数的计算方法；3. 导数在函数图像研究中的应用；4. 导数在物理、经济等领域的应用。
三、教学过程：1. 导入导数的概念，引出导数的定义：导数是函数在某一点处的变化率，用极限表示。
给出导数的定义：若函数在点a处的导数存在，则称函数在点a处可导，记为f'(a)。
2. 介绍导数的计算方法：a. 用导数定义法计算：根据导数的定义，利用极限运算求出导数；b. 用基本导数公式计算：介绍常见函数的导数公式，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等；c. 用导数运算法则计算：介绍导数的四则运算法则，包括常数倍、和差、积、商。
3. 导数在函数图像研究中的应用：a. 求函数的增减区间：根据函数的导数求出函数的增减性和极值点；b. 求函数的凹凸区间和拐点：根据函数的导数求出函数的凹凸性和拐点。
4. 导数在物理、经济等领域的应用：a. 导数表示速度和加速度：介绍物理学中速度和加速度的概念，并利用导数计算速度和加速度；b. 导数表示边际效应和弹性：介绍经济学中边际效应和弹性的概念，并利用导数计算边际效应和弹性。
5. 总结导数的应用：导数在数学、物理、经济等领域中都有广泛的应用，帮助我们研究函数的性质、分析物体的运动和评估经济的效益等。
四、教学方法：1. 讲授导数的定义和性质，引导学生思考导数的计算方法；2. 结合例题和实际问题，让学生动手计算导数和应用导数；3. 培养学生的分析和解决问题的能力，引导学生思考导数的实际应用。
五、教学评价：1. 练习题：布置一些导数计算和应用题目，要求学生独立完成；2. 口头回答问题：提问学生导数的定义和应用，检查学生对导数的理解程度；3. 个案分析：根据学生的学习情况，进行个别辅导和评价。
六、板书设计：导数的概念：导数是函数在某一点处的变化率，用极限表示。
高中数学第3章导数及其应用第4课时导数教案苏教版选修11
第三章 导数及其应用第4课时 导数教学目标：1.理解导数的概念、掌握简单函数导数符号表示和求解方式；2.理解导数的几何意义；3.理解导函数的概念和意义.教学重点：导数的求解方式和进程, 导数的灵活运用教学难点：导数概念的理解教学进程：Ⅰ.问题情境1.求函数2)(x x f =在点（2，4）处的切线斜率.2.直线运动的汽车速度V 与时间t 的关系是12-=t V ，求o t t =时的瞬时速度.Ⅱ.建构数学1.导数的概念：2.导数的几何意义：Ⅲ.数学应用例1：求下列函数在相应位置的导数（1）1)(2+=x x f ，2=x （2）12)(-=x x f ，2=x（3）3)(=x f ，2=x练习：求1)(2+=x x f 在a x =处的导数.例2：函数)(x f 知足2)1('=f ，则当x 无穷趋近于0时，（1）→-+xf x f 2)1()1( （2）→-+x f x f )1()21(练习：设f(x)在x=x 0处可导，（1）xx f x x f ∆-∆+)()4(00无穷趋近于1，则)(0x f '=___________ （2）xx f x x f ∆-∆-)()4(00无穷趋近于1，则)(0x f '=________________ （3）当△x 无穷趋近于0，x x x f x x f ∆∆--∆+)2()2(00所对应的常数与)(0x f '的 关系为_______________例3：若2)1()(-=x x f ，求：（1）)2('f 和((2))'f ； （2）()x f '.练习：已知函数x x f =)(，求)(x f 在2=x 处的切线.Ⅳ.课时小结:Ⅴ.课堂检测Ⅵ.课后作业书本P 67 习题2,41.求下列函数在已知点处的导数（1）31y x =+在3x =处的导数；（2）2y x =在x a =处的导数；（3）1y x=在2x =处的导数2.质点运动方程为31S t =+(位移单位:m,时间单位:s),别离求1,2t s t s ==时的速度。
高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 1 第1讲 变化率与导数、导数的计算教学案
第三章导数及其应用知识点最新考纲变化率与导数、导数的计算了解导数的概念与实际背景，理解导数的几何意义．会用基本初等函数的导数公式表和导数运算法则求函数的导数，并能求简单的复合函数的导数(限于形如f(ax＋b)的导数).导数在研究函数中的应用了解函数单调性和导数的关系，能用导数求函数的单调区间．理解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大(小)值，会求闭区间上函数的最大(小)值.1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率lim Δx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝limΔx→0ΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx.(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x －x0)．(3)函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝limΔx→0f（x＋Δx）－f（x）Δx为f(x)的导函数．2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0f(x)＝x n(n∈Q*)f′(x)＝nx n－1(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0)．4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同．( ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( ) (5)函数f (x )＝sin(－x )的导数是f ′(x )＝cos x ．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× [教材衍化]1．(选修2－2P65A 组T2(1)改编)函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( ) A ．x sin x B ．－x sin x C ．x cos xD ．－x cos x解析：选B.y ′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sinx .2．(选修2－2P18A 组T6改编)曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为________．解析：因为y ′＝2（x ＋2）2，所以y ′|x ＝－1＝2.故所求切线方程为2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝03．(选修2－2P7例2改编)有一机器人的运动方程为s ＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则该机器人在t ＝2时的瞬时速度为________．解析：因为s ＝t 2＋3t ，所以s ′＝2t －3t2，所以s ′|t ＝2＝4－34＝134.答案：134[易错纠偏](1)求导时不能掌握复合函数的求导法则致误； (2)不会用方程法解导数求值．1．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，则f ′(x )＝________． 解析：f ′(x )＝[sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3]′＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3′＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 答案：2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π32．设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________．解析：因为f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，所以f ′(x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos x －sin x ， 所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos π2－sin π2，即f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1，所以f (x )＝－sin x ＋cos x ，f ′(x )＝－cos x －sin x .故f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－cos π4－sin π4＝－ 2. 答案：－ 2导数的计算求下列函数的导数：(1)y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)；(2)y ＝x 2sin x ； (3)y ＝3x e x －2x＋e ；(4)y ＝ln(2x －5)．【解】 (1)因为y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)＝6x 3＋3x 2－8x 2－4x ＝6x 3－5x 2－4x ，所以y ′＝18x 2－10x －4.(2)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (3)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x)′ ＝3x e x ln 3＋3x e x －2x ln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x －2xln 2. (4)令u ＝2x －5，y ＝ln u ，则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5.[提醒] 求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．1．已知f (x )＝x (2 017＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 018，则x 0＝( ) A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e解析：选B.因为f (x )＝x (2 017＋ln x )， 所以f ′(x )＝2 017＋ln x ＋1＝2 018＋ln x ， 又f ′(x 0)＝2 018， 所以2 018＋ln x 0＝2 018， 所以x 0＝1.2．求下列函数的导数： (1)y ＝x n e x；(2)y ＝cos x sin x ；(3)y ＝e xln x ；(4)y ＝(1＋sin x )2. 解：(1)y ′＝nxn －1e x＋x n e x ＝xn －1e x(n ＋x )．(2)y ′＝－sin 2x －cos 2x sin 2x ＝－1sin 2x .(3)y ′＝e x ln x ＋e x·1x＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋ln x .(4)y ′＝2(1＋sin x )·(1＋sin x )′ ＝2(1＋sin x )·cos x .导数的几何意义(高频考点)导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题也有填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，属中低档题．主要命题角度有：(1)求切线方程；(2)已知切线方程(或斜率)求切点坐标； (3)已知切线方程(或斜率)求参数值． 角度一 求切线方程(1)曲线y ＝x 2＋1x在点(1，2)处的切线方程为____________________．(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为________．【解析】 (1)因为y ′＝2x －1x2，所以在点(1，2)处的切线方程的斜率为y ′|x ＝1＝2×1－112＝1， 所以切线方程为y －2＝x －1，即y ＝x ＋1. (2)因为点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， 所以设切点为(x 0，y 0)． 又因为f ′(x )＝1＋ln x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝（1＋ln x 0）x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.所以切点为(1，0)，所以f ′(1)＝1＋ln 1＝1. 所以直线l 的方程为y ＝x －1. 【答案】 (1)y ＝x ＋1 (2)y ＝x －1 角度二 已知切线方程(或斜率)求切点坐标若曲线y ＝e－x上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．【解析】 设P (x 0，y 0)，因为y ＝e －x， 所以y ′＝－e －x，所以点P 处的切线斜率为k ＝－e －x 0＝－2， 所以－x 0＝ln 2，所以x 0＝－ln 2， 所以y 0＝eln 2＝2，所以点P 的坐标为(－ln 2，2)． 【答案】 (－ln 2，2)角度三 已知切线方程(或斜率)求参数值(1)(2020·宁波调研)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1，3)，则2a ＋b 的值等于( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2(2)(2020·绍兴调研)若直线y ＝ax 是曲线y ＝2ln x ＋1的一条切线，则实数a ＝________．【解析】 (1)依题意知，y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧13＋a ＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ＋1＝3，由此解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，k ＝2，所以2a ＋b ＝1，选C.(2)依题意，设直线y ＝ax 与曲线y ＝2ln x ＋1的切点的横坐标为x 0，则有y ′|x ＝x 0＝2x 0，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2x 0ax 0＝2ln x 0＋1，解得x 0＝e ，a ＝2x 0＝2e －12.【答案】 (1)C (2)2e －12(1)求曲线切线方程的步骤①求出函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率；②由点斜式方程求得切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)． (2)求曲线的切线方程需注意两点①当曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴(此时导数不存在)时，切线方程为x ＝x 0；②当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解．1．(2020·杭州七校联考)曲线y ＝e 12x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.92e 2B ．4e 2C ．2e 2D ．e 2解析：选D.因为y ′＝12e 12x ，所以k ＝12e 12×4＝12e 2，所以切线方程为y －e 2＝12e 2(x －4)，令x ＝0，得y ＝－e 2，令y ＝0，得x ＝2，所以所求面积为S ＝12×2×|－e 2|＝e 2.2．已知函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x(其中e 是自然对数的底数，a ∈R )，若f (x )在(0，f (0))处的切线与直线x ＋y －1＝0垂直，则a ＝________．解析：f ′(x )＝(x 2＋ax －1)′e x ＋(x 2＋ax －1)(e x )′＝(2x ＋a )e x ＋(x 2＋ax －1)e x ＝[x 2＋(a ＋2)x ＋(a －1)]e x，故f ′(0)＝[02＋(a ＋2)×0＋(a －1)]e 0＝a －1.因为f (x )在(0，f (0))处的切线与直线x ＋y －1＝0垂直，故f ′(0)＝1，即a －1＝1，解得a ＝2.答案：23．(2020·台州高三月考)已知曲线f (x )＝xn ＋1(n ∈N *)与直线x ＝1交于点P ，设曲线y＝f (x )在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2 018x 1＋log 2 018x 2＋…＋log 2 018x 2 017的值为________．解析：f ′(x )＝(n ＋1)x n，k ＝f ′(1)＝n ＋1，点P (1，1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝nn ＋1. 所以x 1·x 2·…·x 2 017＝12×23×34×…×2 0162 017×2 0172 018＝12 018.则log 2 018x 1＋log 2 018x 2＋…＋log 2 018x 2 017＝log 2 018(x 1·x 2·…·x 2 017)＝log 2 01812 018＝－1.答案：－1两条曲线的公切线若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________．【解析】 设y ＝kx ＋b 与y ＝ln x ＋2和y ＝ln(x ＋1)的切点分别为(x 1，ln x 1＋2)和(x 2，ln(x 2＋1))．则切线分别为y －ln x 1－2＝1x 1(x －x 1)，y －ln(x 2＋1)＝1x 2＋1(x －x 2)，化简得y ＝1x 1x＋ln x 1＋1，y ＝1x 2＋1x －x 2x 2＋1＋ln(x 2＋1)， 依题意⎩⎪⎨⎪⎧1x 1＝1x 2＋1，ln x 1＋1＝－x2x 2＋1＋ln （x 2＋1），解得x 1＝12，从而b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2.【答案】 1－ln 2求两条曲线的公切线的方法(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一条曲线相切，列出关系式求解． (2)利用公切线得出关系式．设公切线l 在y ＝f (x )上的切点P 1(x 1，y 1)，在y ＝g (x )上的切点P 2(x 2，y 2)，则f ′(x 1)＝g ′(x 2)＝f （x 1）－g （x 2）x 1－x 2.1．已知函数f (x )＝x 2－4x ＋4，g (x )＝x －1，则f (x )和g (x )的公切线的条数为( ) A ．三条 B ．二条 C ．一条D ．0条解析：选A.设公切线与f (x )和g (x )分别相切于点(m ，f (m ))，(n ，g (n ))，f ′(x )＝2x－4，g ′(x )＝－x －2，g ′(n )＝f ′(m )＝g （n ）－f （m ）n －m ，解得m ＝－n －22＋2，代入化简得8n 3－8n 2＋1＝0，构造函数f (x )＝8x 3－8x 2＋1，f ′(x )＝8x (3x －2)，原函数在(－∞，0)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞上单调递增，极大值f (0)＞0，极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜0，故函数和x 轴有3个交点，方程8n 3－8n 2＋1＝0有三个解，故切线有3条．故选A.2．曲线f (x )＝e x 在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝ax 2－a (a ≠0)相切，则过切点且与该切线垂直的直线方程为__________．解析：曲线f (x )在x ＝0处的切线方程为y ＝x ＋1. 设其与曲线g (x )＝ax 2－a 相切于点(x 0，ax 20－a )． 则g ′(x 0)＝2ax 0＝1，且ax 20－a ＝x 0＋1. 解得x 0＝－1，a ＝－12，切点坐标为(－1，0)．所以过切点且与该切线垂直的直线方程为y ＝－1·(x ＋1)，即x ＋y ＋1＝0.答案：x ＋y ＋1＝0[基础题组练]1．函数y ＝x 2cos x 在x ＝1处的导数是( ) A ．0 B ．2cos 1－sin 1 C ．cos 1－sin 1D ．1解析：选B.因为y ′＝(x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2·(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，所以y ′|x ＝1＝2cos 1－sin 1.2．(2020·衢州高三月考)已知t 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －t )且f ′(－1)＝0，则t 等于( )A ．0B ．－1 C.12D ．2解析：选C.依题意得，f ′(x )＝2x (x －t )＋(x 2－4)＝3x 2－2tx －4，所以f ′(－1)＝3＋2t －4＝0，即t ＝12.3．(2020·温州模拟)已知函数f (x )＝x 2＋2x 的图象在点A (x 1，f (x 1))与点B (x 2，f (x 2))(x 1＜x 2＜0)处的切线互相垂直，则x 2－x 1的最小值为( )A.12 B ．1C.32D ．2解析：选B.因为x 1＜x 2＜0，f (x )＝x 2＋2x ， 所以f ′(x )＝2x ＋2，所以函数f (x )在点A ，B 处的切线的斜率分别为f ′(x 1)，f ′(x 2)， 因为函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线互相垂直， 所以f ′(x 1)f ′(x 2)＝－1. 所以(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝－1， 所以2x 1＋2＜0，2x 2＋2＞0，所以x 2－x 1＝12[－(2x 1＋2)＋(2x 2＋2)]≥－（2x 1＋2）（2x 2＋2）＝1，当且仅当－(2x 1＋2)＝2x 2＋2＝1，即x 1＝－32，x 2＝－12时等号成立．所以x 2－x 1的最小值为1.故选B.4．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2.若f ′(2 018)＝6，则f ′(－2 018)＝( ) A ．－6 B ．－8 C ．6D ．8解析：选D.因为f ′(x )＝4ax 3－b sin x ＋7. 所以f ′(－x )＝4a (－x )3－b sin(－x )＋7 ＝－4ax 3＋b sin x ＋7. 所以f ′(x )＋f ′(－x )＝14. 又f ′(2 018)＝6，所以f ′(－2 018)＝14－6＝8，故选D.5.如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：选B.由题图可得曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.6．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为( ) A ．1 B. 2 C.22D. 3解析：选B.因为定义域为(0，＋∞)，令y ′＝2x －1x＝1，解得x ＝1，则在P (1，1)处的切线方程为x －y ＝0，所以两平行线间的距离为d ＝22＝ 2.7．已知f (x )＝ln x x 2＋1，g (x )＝(1＋sin x )2，若F (x )＝f (x )＋g (x )，则F (x )的导函数为________．解析：因为f ′(x )＝（ln x ）′（x 2＋1）－ln x （x 2＋1）′（x 2＋1）2＝1x （x 2＋1）－2x ln x （x 2＋1）2＝x 2＋1－2x 2ln x x （x 2＋1）2， g ′(x )＝2(1＋sin x )(1＋sin x )′＝2cos x ＋sin 2x ，所以F ′(x )＝f ′(x )＋g ′(x )＝x 2＋1－2x 2ln x x （x 2＋1）2＋2cos x ＋sin 2x .答案：x 2＋1－2x 2ln x x （x 2＋1）2＋2cos x ＋sin 2x8．(2020·绍兴市柯桥区高三模拟)已知曲线y ＝14x 2－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为________．解析：设切点为(m ，n )(m ＞0)，y ＝14x 2－3ln x 的导数为y ′＝12x －3x ，可得切线的斜率为12m －3m ＝－12，解方程可得，m ＝2. 答案：29．(2020·金华十校高考模拟)函数f (x )的定义域为R ，f (－2)＝2 018，若对任意的x ∈R ，都有f ′(x )＜2x 成立，则不等式f (x )＜x 2＋2 014的解集为________．解析：构造函数g (x )＝f (x )－x 2－2 014，则g ′(x )＝f ′(x )－2x ＜0，所以函数g (x )在定义域上为减函数，且g (－2)＝f (－2)－22－2 014＝2 018－4－2 014＝0，由f (x )＜x2＋2 014有f (x )－x 2－2 014＜0，即g (x )＜0＝g (－2)，所以x ＞－2，不等式f (x )＜x 2＋2 014的解集为(－2，＋∞)．答案：(－2，＋∞)10．如图，已知y ＝f (x )是可导函数，直线l 是曲线y ＝f (x )在x ＝4处的切线，令g (x )＝f （x ）x，则g ′(4)＝________． 解析：g ′(x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）x ′＝xf ′（x ）－f （x ）x 2.由题图可知，直线l 经过点P (0，3)和Q (4，5)， 故k 1＝5－34－0＝12.由导数的几何意义可得f ′(4)＝12，因为Q (4，5)在曲线y ＝f (x )上，故f (4)＝5. 故g ′(4)＝4×f ′（4）－f （4）42＝4×12－542＝－316. 答案：－31611．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． 因为f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.所以f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. 所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)， 即y ＝13x －32.(2)因为切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，所以切线的斜率k ＝4. 设切点的坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，所以x 0＝±1.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18， 即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14.12．已知函数f (x )＝ax ＋bx(x ≠0)在x ＝2处的切线方程为3x －4y ＋4＝0. (1)求a ，b 的值；(2)求证：曲线上任一点P 处的切线l 与直线l 1：y ＝x ，直线l 2：x ＝0围成的三角形的面积为定值．解：(1)由f (x )＝ax ＋b x ，得f ′(x )＝a －b x2(x ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ′（2）＝34，3×2－4f （2）＋4＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧a －b 4＝34，5－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋b 2＝0.解得a ＝1，b ＝1.(2)证明：由(1)知f (x )＝x ＋1x，设曲线的切点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋1x 0，f ′(x 0)＝1－1x 20，曲线在P 处的切线方程为y －⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 20(x －x 0)．即y ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－1x20x ＋2x 0.当x ＝0时，y ＝2x 0.即切线l 与l 2：x ＝0的交点坐标为A ⎝⎛⎭⎪⎫0，2x 0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 20x ＋2x 0，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 0，y ＝2x 0，即l 与l 1：y ＝x 的交点坐标为B (2x 0，2x 0)．又l 1与l 2的交点为O (0，0)，则所求的三角形的面积为S ＝12·|2x 0|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0＝2.即切线l 与l 1，l 2围成的三角形的面积为定值．[综合题组练]1．若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ B ．[－12，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：选D.f ′(x )＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x(x >0)，根据题意有f ′(x )≥0(x >0)恒成立，所以2ax 2＋1≥0(x >0)恒成立，即2a ≥－1x2(x >0)恒成立，所以a ≥0，故实数a 的取值范围为[0，＋∞)．故选D.2．(2020·金华十校联考)已知函数y ＝x 2的图象在点(x 0，x 20)处的切线为l ，若l 也与函数y ＝ln x ，x ∈(0，1)的图象相切，则x 0必满足( )A ．0＜x 0＜12B.12＜x 0＜1 C.22＜x 0＜ 2 D.2＜x 0＜ 3解析：选D.令f (x )＝x 2，f ′(x )＝2x ，f (x 0)＝x 20，所以直线l 的方程为y ＝2x 0(x －x 0)＋x 20＝2x 0x －x 20，因为l 也与函数y ＝ln x (x ∈(0，1))的图象相切，令切点坐标为(x 1，ln x 1)，y ′＝1x ，所以l 的方程为y ＝1x 1x ＋ln x 1－1，这样有⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝1x 1，1－ln x 1＝x 20，所以1＋ln(2x 0)＝x 20，x 0∈(1，＋∞)，令g (x )＝x 2－ln(2x )－1，x ∈(1，＋∞)，所以该函数的零点就是x 0，又因为g ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x，所以g (x )在(1，＋∞)上单调递增，又g (1)＝－ln 2＜0，g (2)＝1－ln 22＜0，g (3)＝2－ln 23＞0，从而2＜x 0＜3，选D.3．(2020·宁波四中高三月考)给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″ (x )＝(f ′(x ))′.若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是凸函数的是________(把你认为正确的序号都填上)．①f (x )＝sin x ＋cos x ； ②f (x )＝ln x －2x ； ③f (x )＝－x 3＋2x －1；④f (x )＝x e x.解析：①中，f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＜0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上恒成立；②中，f ′(x )＝1x －2(x ＞0)，f ″(x )＝－1x 2＜0在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上恒成立；③中，f ′(x )＝－3x 2＋2，f ″(x )＝－6x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上恒小于0.④中，f ′(x )＝e x ＋x e x ，f ″(x )＝2e x ＋x e x ＝e x(x ＋2)＞0在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上恒成立，故④中函数不是凸函数．故①②③为凸函数．答案：①②③4．(2020·浙江省十校联合体期末检测)已知函数f (x )＝a e x＋x 2，g (x )＝cos (πx )＋bx ，直线l 与曲线y ＝f (x )切于点(0，f (0))，且与曲线y ＝g (x )切于点(1，g (1))，则a ＋b＝________，直线l 的方程为________．解析：f ′(x )＝a e x＋2x ，g ′(x )＝－πsin (πx )＋b ，f (0)＝a ，g (1)＝cos π＋b ＝b －1， f ′(0)＝a ，g ′(1)＝b ，由题意可得f ′(0)＝g ′(1)，则a ＝b ， 又f ′(0)＝b －1－a1－0＝a ，即a ＝b ＝－1，则a ＋b ＝－2； 所以直线l 的方程为x ＋y ＋1＝0. 答案：－2 x ＋y ＋1＝05．设有抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限．(1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标．解：(1)由题意得，y ′＝－2x ＋92.设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1，①y 1＝－x 21＋92x 1－4，②－2x 1＋92＝k ，③联立①②③得，x 1＝2，x 2＝－2(舍去)．所以k ＝12.(2)过P 点作切线的垂线，其方程为y ＝－2x ＋5.④将④代入抛物线方程得，x 2－132x ＋9＝0.设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，则2x 2＝9， 所以x 2＝92，y 2＝－4.所以Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫92，－4. 6．(2020·绍兴一中月考)已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由已知得f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ， 因为f ′(－1)＝0，所以3a －6－6a ＝0，所以a ＝－2.(2)存在．由已知得，直线m 恒过定点(0，9)，若直线m 是曲线y ＝g (x )的切线，则设切点为(x 0，3x 20＋6x 0＋12)．因为g ′(x 0)＝6x 0＋6，所以切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0)， 将(0，9)代入切线方程，解得x 0＝±1. 当x 0＝－1时，切线方程为y ＝9； 当x 0＝1时，切线方程为y ＝12x ＋9. 由(1)知f (x )＝－2x 3＋3x 2＋12x －11， ①由f ′(x )＝0得－6x 2＋6x ＋12＝0， 解得x ＝－1或x ＝2.在x ＝－1处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝－18； 在x ＝2处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝9， 所以y ＝f (x )与y ＝g (x )的公切线是y ＝9. ②由f ′(x )＝12得－6x 2＋6x ＋12＝12， 解得x ＝0或x ＝1.在x ＝0处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝12x －11； 在x ＝1处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝12x －10，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.。
理科高三数学教案：导数及其应用
理科高三数学教案：导数及其应用【】鉴于大伙儿对查字典数学网十分关注，小编在此为大伙儿搜集整理了此文理科高三数学教案：导数及其应用，供大伙儿参考!本文题目：理科高三数学教案：导数及其应用第三章导数及其应用高考导航考试要求重难点击命题展望1.导数概念及其几何意义(1)了解导数概念的实际背景;(2)明白得导数的几何意义.2.导数的运算(1)能依照导数定义，求函数y=c(c为常数)，y=x，y=x2，y=x3，y= ，y= 的导数;(2)能利用差不多初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax+b)的复合函数)的导数.3.导数在研究函数中的应用(1)了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一样不超过三次);(2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一样不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一样不超过三次).4.生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题.5.定积分与微积分差不多定理(1)了解定积分的实际背景，了解定积分的差不多思想，了解定积分的概念;(2)了解微积分差不多定理的含义. 本章重点：1.导数的概念;2.利用导数求切线的斜率;3.利用导数判定函数单调性或求单调区间;4.利用导数求极值或最值;5.利用导数求实际问题最优解.本章难点：导数的综合应用. 导数与定积分是微积分的核心概念之一，也是中学选学内容中较为重要的知识之一.由于其应用的广泛性，为我们解决有关函数、数列问题提供了更一样、更有效的方法.因此，本章知识在高考题中常在函数、数列等有关最值不等式问题中有所表达，既考查数形结合思想，分类讨论思想，也考查学生灵活运用所学知识和方法的能力.考题可能以选择题或填空题的形式来考查导数与定积分的差不多运算与简单的几何意义，而以解答题的形式来综合考查学生的分析问题和解决问题的能力.知识网络3 .1 导数的概念与运算典例精析题型一导数的概念【例1】已知函数f(x)=2ln 3x+8x，求f(1-2x)-f(1)x的值.【解析】由导数的定义知：f(1-2x)-f(1)x=-2 f(1-2x)-f(1)-2x=-2f(1)=-20.【点拨】导数的实质是求函数值相关于自变量的变化率，即求当x0时，平均变化率yx的极限.【变式训练1】某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时刻t(min)的函数关系能够近似地表示为f(t)=t2100，则在时刻t=10 min的降雨强度为()A.15 mm/minB.14 mm/minC.12 mm/minD.1 mm/min【解析】选A.题型二求导函数【例2】求下列函数的导数.(1)y=ln(x+1+x2);(2)y=(x2-2x+3)e2x;(3)y=3x1-x.【解析】运用求导数公式及复合函数求导数法则.(1)y=1x+1+x2(x+1+x2)=1x+1+x2(1+x1+x2)=11+x2.(2)y=(2x-2)e2x+2(x2-2x+3)e2x=2(x2-x+2)e2x.(3)y=13(x1-x 1-x+x(1-x)2=13(x1-x 1(1-x)2=13x (1-x)【变式训练2】如下图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A、B、C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0))= ; f(1+x)-f(1)x= (用数字作答).【解析】f(0)=4，f(f(0))=f(4)=2，由导数定义f(1+x)-f(1)x=f(1).当02时，f(x)=4-2x，f(x)=-2，f(1)=-2.题型三利用导数求切线的斜率【例3】已知曲线C：y=x3-3x2+2x，直线l：y=kx，且l与C切于点P(x0，y0) (x00)，求直线l的方程及切点坐标.【解析】由l过原点，知k=y0x0 (x00)，又点P(x0，y0) 在曲线C上，y0=x30-3x20+2x0，因此y0x0=x20-3x0+2.而y=3x2-6x+2，k=3x20-6x0+2.又k=y0x0，因此3x20-6x0+2=x20-3x0+2，其中x00，解得x0=32.因此y0=-38，因此k=y0x0=-14，因此直线l的方程为y=-14x，切点坐标为(32，-38).【点拨】利用切点在曲线上，又曲线在切点处的切线的斜率为曲线在该点处的导数来列方程，即可求得切点的坐标.【变式训练3】若函数y=x3-3x+4的切线通过点(-2，2)，求此切线方程.【解析】设切点为P(x0，y0)，则由y=3x2-3得切线的斜率为k=3x20-3.因此函数y=x3-3x+4在P(x0，y0)处的切线方程为y-y0=(3x20-3)(x-x0).又切线通过点(-2,2)，得2-y0=(3x20-3)(-2-x0)，①而切点在曲线上，得y0=x30-3x0+4，②由①②解得x0=1或x0=-2.则切线方程为y=2 或9x-y+20=0.总结提高1.函数y=f(x)在x=x0处的导数通常有以下两种求法：(1) 导数的定义，即求yx= f(x0+x)-f(x0)x的值;(2)先求导函数f(x)，再将x=x0的值代入，即得f(x0)的值.2.求y=f(x)的导函数的几种方法：(1)利用常见函数的导数公式;(2)利用四则运算的导数公式;(3)利用复合函数的求导方法.3.导数的几何意义：函数y=f(x)在x=x0处的导数f(x0)，确实是函数y =f(x)的曲线在点P(x0，y0)处的切线的斜率.3.2 导数的应用(一)典例精析题型一求函数f(x)的单调区间【例1】已知函数f(x)=x2-ax-aln(x-1)(aR)，求函数f(x)的单调区间.【解析】函数f(x)=x2-ax-aln(x-1)的定义域是(1，+).f(x)=2x-a-ax-1=2x(x-a+22)x-1，①若a0，则a+221，f(x)=2x(x-a+22)x-10在(1，+)上恒成立，因此a0时，f(x)的增区间为(1，+).②若a0，则a+221，故当x(1，a+22]时，f(x)=2x(x-a+22)x-1当x[a+22，+)时，f(x)=2x(x-a+22)x-10，因此a0时，f(x)的减区间为(1，a+22]，f(x)的增区间为[a+22，+).【点拨】在定义域x1下，为了判定f(x)符号，必须讨论实数a+22与0及1的大小，分类讨论是解本题的关键.【变式训练1】已知函数f(x)=x2+ln x-ax在(0,1)上是增函数，求a的取值范畴.【解析】因为f(x)=2x+1x-a，f(x)在(0,1)上是增函数，因此2x+1x-a0在(0,1)上恒成立，即a2x+1x恒成立.又2x+1x22(当且仅当x=22时，取等号).因此a22，故a的取值范畴为(-，22].【点拨】当f(x)在区间(a，b)上是增函数时f(x)0在(a，b)上恒成立;同样，当函数f(x)在区间(a，b)上为减函数时f(x)0在(a，b)上恒成立.然后就要依照不等式恒成立的条件来求参数的取值范畴了.题型二求函数的极值【例2】已知f(x)=ax3+bx2+cx(a0)在x=1时取得极值，且f(1)=-1.(1)试求常数a，b，c的值;(2)试判定x=1是函数的极小值点依旧极大值点，并说明理由.【解析】(1)f(x)=3ax2+2bx+c.因为x=1是函数f(x)的极值点，因此x=1是方程f(x)=0，即3ax2+2bx+c=0的两根.由根与系数的关系，得又f(1)=-1，因此a+b+c=-1. ③由①②③解得a=12，b=0，c=-32.(2)由(1)得f(x)=12x3-32x，因此当f(x)=32x2-320时，有x-1或x当f(x)=32x2-320时，有-1因此函数f(x)=12x3-32x在(-，-1)和(1，+)上是增函数，在(-1,1)上是减函数.因此当x=-1时，函数取得极大值f(-1)=1;当x=1时，函数取得极小值f (1)=-1.【点拨】求函数的极值应先求导数.关于多项式函数f(x)来讲，f(x)在点x=x0处取极值的必要条件是f(x)=0.然而，当x0满足f(x0)=0时，f(x)在点x=x0处却未必取得极值，只有在x0的两侧f(x)的导数异号时，x0才是f(x)的极值点.同时假如f(x)在x0两侧满足左正右负，则x0是f(x)的极大值点，f(x0)是极大值;假如f(x)在x0两侧满足左负右正，则x0是f(x)的极小值点，f(x0)是极小值.【变式训练2】定义在R上的函数y=f(x)，满足f(3-x)=f(x)，(x-32)f(x) 0，若x13，则有()A. f(x1)f(x2)C. f(x1)=f(x2)D.不确定【解析】由f(3-x)=f(x)可得f[3-(x+32)]=f(x+32)，即f(32-x)=f(x+32)，因此函数f(x)的图象关于x=32对称.又因为(x-32)f(x)0，因此当x32时，函数f (x)单调递减，当x32时，函数f(x)单调递增.当x1+x22=32时，f(x1)=f(x2)，因为x1+x23，因此x1+x2232，相当于x1，x2的中点向右偏离对称轴，因此f(x1)f(x2).故选B.题型三求函数的最值【例3】求函数f(x)=ln(1+x)-14x2在区间[0,2]上的最大值和最小值.【解析】f(x)=11+x-12x，令11+x-12x=0，化简为x2+x-2=0，解得x1=-2或x2=1，其中x1=-2舍去.又由f(x)=11+x-12x0，且x[0,2]，得知函数f(x)的单调递增区间是(0,1)，同理，得知函数f(x)的单调递减区间是(1,2)，因此f(1)=ln 2-14为函数f(x)的极大值.又因为f(0)=0，f(2)=ln 3-10，f(1)f(2)，因此，f(0)=0为函数f(x)在[0,2]上的最小值，f(1)=ln 2-14为函数f(x)在[0,2]上的最大值.【点拨】求函数f(x)在某闭区间[a，b]上的最值，第一需求函数f(x)在开区间(a，b)内的极值，然后，将f(x)的各个极值与f(x)在闭区间上的端点的函数值f(a)、f(b)比较，才能得出函数f(x)在[a，b]上的最值.【变式训练3】(2021江苏)f(x)=ax3-3x+1对x[-1,1]总有f(x)0成立，则a= .【解析】若x=0，则不管a为何值，f(x)0恒成立.当x(0,1]时，f(x)0能够化为a3x2-1x3，设g(x)=3x2-1x3，则g(x)=3(1-2x)x4，x(0，12)时，g(x)0，x(12，1]时，g(x)0.因此g(x)max=g(12)=4，因此a4.当x[-1,0)时，f(x)0能够化为a3x2-1x3，现在g(x)=3(1-2x)x40，g(x)min=g(-1)=4，因此a4.综上可知，a=4.总结提高1.求函数单调区间的步骤是：(1)确定函数f(x)的定义域D;(2)求导数f(3)依照f(x)0，且xD，求得函数f(x)的单调递增区间;依照f(x)0，且xD，求得函数f(x)的单调递减区间.2.求函数极值的步骤是：(1)求导数f(2)求方程f(x)=0的根;(3)判定f(x)在方程根左右的值的符号，确定f(x)在那个根处取极大值依旧取极小值.3.求函数最值的步骤是：先求f(x)在(a，b)内的极值;再将f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.3.3 导数的应用(二)典例精析题型一利用导数证明不等式【例1】已知函数f(x)=12x2+ln x.(1)求函数f(x)在区间[1，e]上的值域;(2)求证：x1时，f(x)23x3.【解析】(1)由已知f(x)=x+1x，当x[1，e]时，f(x)0，因此f(x)在[1，e]上为增函数.故f(x)max=f(e)=e22+1，f(x)min=f(1)=12，因而f(x)在区间[1，e]上的值域为[12，e22+1].(2)证明：令F(x)=f(x)-23x3=-23x3+12x2+ln x，则F(x)=x+1x-2x2=(1-x) (1+x+2x2)x，因为x1，因此F(x)0，故F(x)在(1，+)上为减函数.又F(1)=-160，故x1时，F(x)0恒成立，即f(x)23x3.【点拨】有关超越性不等式的证明，构造函数，应用导数确定所构造函数的单调性是常用的证明方法.【变式训练1】已知对任意实数x，有f(-x)=-f(x)，g(-x)=g(x)，且x0时，f(x)0，g(x)0，则x0时()A.f(x)0，g(x)0B.f(x)0，g(x)0C.f(x)0，g(x)0D.f(x)0，g(x)0【解析】选B.题型二优化问题【例2】(2009湖南)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两个桥墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元;距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+x) x万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素.记余下工程的费用为y万元.(1)试写出y关于x的函数关系式;(2)当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小?【解析】(1)设需新建n个桥墩，则(n+1)x=m，即n=mx-1.因此y=f(x)=256n+(n+1)(2+x)x=256(mx-1)+mx(2+x)x=256mx+mx+2m-256.(2)由(1)知f(x)=-256mx2+12mx =m2x2(x -512).令f(x)=0，得x =512.因此x=64.当00，f(x)在区间(64,640)内为增函数.因此f(x)在x=64处取得最小值.现在n=mx-1=64064-1=9.故需新建9个桥墩才能使y最小.【变式训练2】(2021上海)如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，骨架把圆柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面).当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值?并求出该最大值(结果精确到0.01平方米).【解析】设圆柱底面半径为r，高为h，则由已知可得4(4r+2h)=9.6，因此2r+h=1.2.S=2.4r2，h=1.2-2r0，因此r0.6.因此S=2.4r2(0令f(r)=2.4r2，则f(r)=2 .4r.令f(r)=0得r=0.4.因此当00;当0.4因此r=0.4时S最大，Smax=1.51.题型三导数与函数零点问题【例3】设函数f(x)=13x3-mx2+(m2-4)x，xR.(1)当m=3时，求曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程;(2)已知函数f(x)有三个互不相同的零点0，，，且.若对任意的x[，]，都有f(x)f(1)恒成立，求实数m的取值范畴.【解析】(1)当m=3时，f(x)=13x3-3x2+5x，f(x)=x2-6x+5.因为f(2)=23，f(2)=-3，因此切点坐标为(2，23)，切线的斜率为-3，则所求的切线方程为y-23=-3(x-2)，即9x+3y-20=0.(2)f(x)=x2-2mx+(m2-4).令f(x)=0，得x=m-2或x=m+2.当x(-，m-2)时，f(x)0，f(x)在(-，m-2)上是增函数;当x(m-2，m+2)时，f(x)0，f(x)在(m-2，m+2)上是减函数;当x(m+2，+)时，f(x)0，f(x)在(m+2，+)上是增函数.因为函数f(x)有三个互不相同的零点0，，，且f(x)=13x[x2-3mx+3(m2-4)]，因此解得m(-4，-2)(-2,2)(2,4).当m(-4，-2)时，m-2因此现在f()=0，f(1)f(0)=0，与题意不合，故舍去.当m(-2,2)时，m-20因此因为对任意的x[，]，都有f(x)f(1)恒成立，因此1.因此f(1)为函数f(x)在[，]上的最小值.因为当x=m+2时，函数f(x)在[，]上取最小值，因此m+2=1，即m=-1.当m(2,4)时，0因此0因为对任意的x[，]，都有f(x)f(1)恒成立，因此1.因此f(1)为函数f(x)在[，]上的最小值.因为当x=m+2时，函数f(x)在[，]上取最小值，因此m+2=1，即m=-1(舍去).综上可知，m的取值范畴是{-1}.【变式训练3】已知f(x)=ax2(aR)，g(x)=2ln x.(1)讨论函数F(x)=f(x)-g(x)的单调性;(2)若方程f(x)=g(x)在区间[2，e]上有两个不等解，求a的取值范畴.【解析】(1)当a0时，F(x)的递增区间为(1a，+)，递减区间为(0，1a);当a0时，F(x)的递减区间为(0，+).(2)[12ln 2，1e).总结提高在应用导数处理方程、不等式有关问题时，第一应熟练地将方程、不等式问题直截了当转化为函数问题，再利用导数确定函数单调性、极值或最值.3.4 定积分与微积分差不多定理典例精析题型一求常见函数的定积分【例1】运算下列定积分的值.(1) (x-1)5dx;(2) (x+sin x)dx.【解析】(1)因为[16(x-1)6]=(x-1)5，因此(x-1)5dx= =16.(2)因为(x22-cos x)=x+sin x，因此(x+sin x)dx= =28+1.【点拨】(1)一样情形下，只要能找到被积函数的原函数，就能求出定积分的值;(2)当被积函数是分段函数时，应对每个区间分段积分，再求和;(3)关于含有绝对值符号的被积函数，应先去掉绝对值符号后积分;(4)当被积函数具有奇偶性时，可用以下结论：①若f(x)是偶函数时，则f(x)dx=2 f(x)dx;②若f(x)是奇函数时，则f(x)dx=0.【变式训练1】求(3x3+4sin x)dx.【解析】(3x3+4sin x)dx表示直线x=-5，x=5，y=0和曲线y=3x3+4si n x所围成的曲边梯形面积的代数和，且在x轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号.又f(-x)=3(-x)3+4sin(-x)=-(3x3+4sin x)=-f(x).因此f(x)=3x3+4sin x在[-5,5]上是奇函数，因此(3x3+4sin x)dx=- (3x3+4sin x)dx，因此(3x3+4sin x)dx= (3x3+4sin x)dx+ (3x3+4sin x)dx=0.题型二利用定积分运算曲边梯形的面积【例2】求抛物线y2=2x与直线y=4-x所围成的平面图形的面积.【解析】方法一：如图，由得交点A(2,2)，B(8，-4)，则S= [2x-(-2x)]dx+ [4-x-(-2x)]dx=163+383=18.方法二：S= [(4-y)-y22]dy= =18.【点拨】依照图形的特点，选择不同的积分变量，可使运算简捷，在以y为积分变量时，应注意将曲线方程变为x=(y)的形式，同时，积分上、下限必须对应y的取值.【变式训练2】设k 是一个正整数，(1+xk)k的展开式中x3的系数为1 16，则函数y=x2与y=kx-3的图象所围成的阴影部分(如图)的面积为.【解析】Tr+1=Crk(xk)r，令r=3，得x3的系数为C3k1k3=116，解得k =4.由得函数y=x2与y=4x-3的图象的交点的横坐标分别为1,3.因此阴影部分的面积为S= (4x-3-x2)dx=(2x2-3x- =43.题型三定积分在物理中的应用【例3】(1) 变速直线运动的物体的速度为v (t)=1-t2，初始位置为x0 =1，求它在前2秒内所走过的路程及2秒末所在的位置;(2)一物体按规律x=bt3作直线运动，式中x为时刻t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方，试求物体由x=0运动到x=a时阻力所做的功.【解析】(1)当01时，v(t)0，当12时，v(t)0，因此前2秒内所走过的路程为s= v(t)dt+ (-v(t))dt= (1-t2)dt+ (t2-1)dt= + =2.2秒末所在的位置为x1=x0+ v(t)dt=1+ (1-t2)dt=13.因此它在前2秒内所走过的路程为2,2秒末所在的位置为x1=13.(2) 物体的速度为v=(bt3)=3bt2.媒质阻力F阻=kv2=k(3bt2)2=9kb2t4，其中k为比例常数，且k0.当x=0时，t=0;当x=a时，t=t1=(ab) ，又ds=vdt，故阻力所做的功为W阻= ds = kv2vdt=k v3dt= k (3bt 2)3dt=277kb3t71 = 277k3a7b2.【点拨】定积分在物理学中的应用应注意：v(t)= a(t)dt，s(t)= v(t)dt和W= F(x)dx这三个公式.【变式训练3】定义F(x，y)=(1+x)y，x，y(0，+).令函数f(x)=F[1，log 2(x2-4x+9)]的图象为曲线C1，曲线C1与y轴交于点A(0，m)，过坐标原点O向曲线C1作切线，切点为B(n，t)(n0)，设曲线C1在点A，B之间的曲线段与线段OA，OB所围成图形的面积为S，求S的值.【解析】因为F(x，y)=(1+x)y，因此f(x)=F(1，log2(x2-4x+9))= =x2-4x +9，故A(0,9)，又过坐标原点O向曲线C1作切线，切点为B(n，t)(n0)，f(x) =2x-4.因此解得B(3,6)，因此S= (x2-4x+9-2x)dx=(x33-3x2+9x) =9.总结提高1.定积分的运算关键是通过逆向思维求得被积函数的原函数.?2.定积分在物理学中的应用必须遵循相应的物理过程和物理原理.?3.利用定积分求平面图形面积的步骤：?(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象;?(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限;?(3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和;?死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。
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如何培养学生良好的行为习惯
我国著名教育家陶行知先生说：“播种行为，就收获习惯；播种习惯，就收获性格；播种性格，就收获命运。
”这一育人哲理道出了培养行为习惯的重要性。
叶圣陶先生十分重视少年儿童良好行为习惯的培养。
他认为，“我们在学校里受教育，目的在养成习惯，增强能力。
我们离开了学校，仍然要从多方面受教育，并且要自我教育，其目的还是在养成习惯，增强能力。
”习惯越自然越好，能力越增强越好。
良好的行为习惯是促进一个人健康成长的重要条件，是健全人格形成的基础。
习惯有好坏之分，好习惯终身受其益，坏习惯终身受其累”。
生活中有两种习惯养成不得，一种是不养成习惯的习惯，另一种是妨害他人的习惯（所谓不养成习惯的习惯就是指一个人做事没有强制与警觉，今天东，明天西，今儿这样，明儿又那样，这就可能什么习惯也养不成。
久而久之，就成为一种不养成习惯的习惯）”。
陶行知先生在改造中国教育的实践中提出了“生活教育理论”。
他非常重视在做中学，主张在做中养成习惯，即实践中养成习惯。
“生活即教育”。
到处是生活，即到处是教育。
整个社会是生活的场所，亦即教育之场所。
教育无处不在。
作为教育工作者，我们应该充分挖掘各自现有教育资源，结合各种教学活动，把“做人、做事、学习”的正确习惯的培养融入平常的教学活动中。
持之以恒，自然成习惯。
班主任是学生接触最多的老师，也是给学生影响最大的人，培养学生形成好的行为习惯对于班主任来说至关重要。
那么作为班主任应该怎样培
养学生地习惯呢？下面我谈谈自己的观点：
一、教师要正确面对学生存在的不良习惯
先贤哲人孔子曾说：“少成若天性，习惯如自然。
”充分说明人在自然状态下，不假思索，不必费什么心思，更不用意志去控制而形成的某种行为，就是一种习惯。
所谓习惯也可以理解成人的一种自动化的行为，坏习惯也是一种自动化行为。
作为教育者要认识到每个学生都追求上进，都希望获得别人（尤其是老师）的肯定和赞扬，他们不想犯错更不想故意与老师作对，他们之所以犯错是因为他们已有的习惯。
这样，作为教师在教育学生的过程中就会减少一些情绪化的语言和手段，多一些理智的思考。
既有利于对学生的教育，又有利于教师的心理健康。
因为当教师在面对学生坏习惯的时候首先表现出的不能是生气和发脾气，当你用理解，用爱心去面对时问题就会变的简单化，处理起来也会更顺畅一些。
所以用平和的心态，正确的面对学生的不良习惯是关健。
作为班主任经常会遇到学生各种各样的突发事件，他们出现的一些坏习惯坏行为的确让人头痛，那么一定要先让自己心平气和，通过思考冷静的去处理。
这样的效果肯定比发怒更管用。
我们班有一位男生，进校时行为习惯特别差，经常给我带来麻烦事，起初我也很生气，认为他是朽木一个，总是以责备为主，但后来冷静思考后觉的自己处理的不好，因为责骂的效果并不好。
于是我改变了方法，当他犯错时自己先保持平和心态然后让他讲原因，和他讲道理并且从学生角度想问题，处理问题。
慢慢的他有了一些变化，虽然还是会有一些小毛病但己经有了很大进步，这学期当了校卫生督察后经
常受到老师的表扬，在班里的表现也改进了很多。
这件事让我明白一个好班主任首先应该是学生的朋友而不是他惧怕的对象。
二、营造良好的学习环境
我们的祖辈十分注重学习环境对行为习惯的影响，“昔孟母，择邻处”就是一个非常典型的例子。
在班主任工作中我们应该十分注重班集体的建设，努力创造良好的学习环境。
学生的良好的行为习惯与优良班风的形成之间具有密切的联系。
一个个具有良好行为习惯的学生就会组成一个优秀的班集体。
当一个班级具有了良好的班风，那些个别的行为习惯差的学生由于从众心理的作用自然就会向好的方面发展。
如果班级风气不正，习惯好的学生也会在从众心理的影响下向坏的方面发展。
因此培养学生良好的行为习惯，就必须注重班集体的建设，营造良好的学习环境。
这不是一个一蹴而就的过程，它需要一个长期的过程和良好有效的方法。
班主任在建设班风班貌时一定要用心思，花功夫，基础打好了，对后面的班级管理有很好的帮助。
三、习惯训练无小事
“学校无小事，件件需认真。
”对于学生行为习惯的培养更是没有小事可言。
习惯的养成正是一件件小事中情绪体验的积累。
正因为如此，我们要十分注重学校规章制度的执行，学校的规定对学生良好习惯的养成具有促进的作用，我们坚持不懈去做。
譬如，下课时关电灯，可以使学生养成勤俭节约的好习惯；学生离校时到家电话通知老师，可以使学生养成按时离校，遵守纪律的好习惯。
四、榜样的力量（教师、家长要做好表率）
首先从家庭教育来说，家长应该多和孩子沟通，自己做好榜样，比如我们职高生，很多家长在外打工，那么家长要经常和孩子联系，请老家的长辈给予关注，时常关心孩子，而不是一味给钱，其他不管。
另外家长也要注意自己的言行，如自己不赌博，教导孩子不能参于，自己不讲究吃穿，教导孩子要节约，自己尊敬老人，教育孩子也要尊敬老人，等等家长的一言一行直接影响孩子，所以家庭教育十分重要。
其次要从教师开始，身体力行，身教重于言教，教师自觉拾起一片废纸，扶正课桌椅，学生受到这种行为的影响也都会自觉坚持学习。
如要求学生守纪律、有礼貌。
教师自己就要守纪律、懂礼貌，否则学生就不听你的。
又如要求学生有干净整洁的仪容仪表，那么老师也要以朴素大方，给学生以榜样。
所以最重要的是老师必须事事处处以身作则，以自己的行动潜移默化地影响学生。
学生才会逐步形成良好的行为习惯。
另外凡是学生行为习惯好的，有进步的，改正缺点快的在班内进行表扬，促进其互相模仿行为。
并且对于屡教不改的学生要与家长多进行沟通，一起想办法来解决。
五、持之以恒
养成良好习惯不是一朝一夕的事情，师生都应作长远打算。
教师，须允许学生习惯形成有个过程；学生，须一步一个脚印，不要图快。
师生须密切配合，老师督促学生认真练、经常练，学生要持之以恒，坚持不懈。
这样必有成效。
六、协调学生的“知”与“行”
学生知道了要做什么，也知道了为什么要这样做，但做起来时往
往会因为主观的或者客观的原因而不能顺利地进行，这时就很有必要对“知”与“行”进行协调，注意调查、了解情况，及时给予指导，或与学生一道寻求方法解决问题。
七、鼓励上进，巩固习惯
为了使学生尽快形成良好的行为习惯，班级可以建立一整套评比制度，开展文明小组、爱学小组、卫生小组的评比活动，组织班干部互相督促检查，每月做好总评一次。
那个小组做得最好，给予鼓励或奖励，一步一个脚印，扣紧每一阶段，利用每一件事，用规范行为教育，每一位学生的言行举止，衣着打扮也十分注意。
对一些差生，教师只能关怀鼓励教育他们，不能疏远打击、冷淡他们，特别是后进生要注意从小事中发现学生的细微变化和刚冒出来的不良习惯，一旦发现就竭尽全力将其消灭在萌芽状态中，不给学生重复不良行为习惯的机会。
常言道，三岁定八十。
大教育家孔子云：“少年居性，习惯之为常。
”而培根在《论人生》中便明确指出：“习惯真是一种顽强而巨大的力量，它可以主宰人生。
因此人自幼年就应通过教育，去建立一种良好的习惯。
”可见，年少养成习惯的好坏对人的一生有直接影响。
因此，在班主任工作中应该十分重视培养学生良好的行为习惯，这也是具有良好师德的具体表现之一。