圆与相似三角形综合问题演示教学

N

M

E

D

C

B

A

E

D

C

B

A

E D

C

B

A

l3

l2

l1

C/

B/

A/

C

B

A

l3

l2

l1

B/

A/

B

A

学生：科目：数学教师：谭前富

知识框架

相似三角形的性质是几何证明的重要工具，是证明线段和差问题、相等问题、比例问题、角相等问题的重要方法,尤其在圆中,相似三角形有着极其重要的作用.

1、相似三角形的性质

相似三角形的对应边成比例，对应角相等，对应边上的中线，角平分线，高线，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方.

2、相似三角形的判定方法

（1）三边对应成比例的两个三角形相似

（2）两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似

（3）两组角对应相等的两个三角形相似.

3、相似三角形中几个的基本图形

4、由相似三角形得到的几个常用定理

定理1 平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形形似.

如图，若DE∥BC,则

AD AE DE

AB AC BC

==,

或

AD BD

AE CE

=.

定理2 平行切割定理

如图，,D E分别是ABC

D的边,

AB AC上的点，

过点A的直线交,

DE BC于,

M N,若DE∥MN,

则

DM BN

ME NC

=

定理3 （平行线分线段成比例定理）两条直线被一组平行线截得的对应线段成比例.

如图，若

1

l∥

2

l∥

3

l，则

E

D

C

B

A

AB BC AC

A B B C A C

==

ⅱⅱⅱ,

定理4（角平分线性质定理） 如图，,AD AE 分别是

ABC D 的内角平分线与外角平分线，

则DB EB AB DC EC AC

==.

定理5 射影定理

直角三角形斜边上的高分原三角形成两个直角三角形，这两个三角形与原三角形相似.

定理6 相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。

即：在⊙O 中，∵弦AB 、CD 相交于点P ， ∴PA PB PC PD ⋅=⋅

定理7 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

即：在⊙O 中，∵直径AB CD ⊥， ∴2

CE AE BE =⋅

定理8 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

即：在⊙O 中，∵PA 是切线，PB 是割线

∴ 2

PA PC PB =⋅

定理9 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。 即：在⊙O 中，∵PB 、PE 是割线 ∴PC PB PD PE ⋅=⋅

【例题精讲】

二例题讲解

O E

D

C

A

D

C

B

P

A

O

P

O D

C

B

A

H

E

D

C

B

A

F

E

D

C

A

G F

E

D C

B

A

P

F

E

D C B

A F

E

G

H D

C

B

A

1 利用相似证明角相等

例 1 如图，ABC D 中，90,BAC AB AC ??,D 是边的中点，AH BD ^，垂足为H ,

交BC 于点E . (1) 求证：ADB

CDE ??

(2) 若2AB =,求CDE D 的面积.

练习 在ABC D 中，AD BC ^于点D ，DE AB ^于点E ，

DF AC ^于点F ，求证：AFE

ABC ??.

2 利用相似证明线段相等

例2 已知点,E F 分别在矩形ABCD 的边,AB AD 上，EF ∥BD ，,EC FC 分别交BD 于点

,G H ，求证：BG DH =.

练习 1、如图，梯形ABCD 中AD ∥BC ，对角线,AC BD 交于点P ，过点P 作BC 的平行线分别交,AB DC 于点,E F ，求证PE PF .

2、如图，ABC D 中，,AB AC AD BC =^于D ，,E G 分别是,AD AC 的中点，DF BE ^于F ，求证:FG DG =.

3 证明比例（等积）线段

F E

D

C

B

A

F

E

D

C

B

A

D

C

B

A

N

M

F

E H G

F

E

D

C

B

A

D

C

B

A

S N

M

O R

P

D

C

B

A

例 3 如图，,BD CD 为的两条角平分线，过点D 作直线分别交,AB AC 于点,E F ，若

AE AF =，求证：24EF BE CF =?

例 4 如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，直线l 平行于BD ，且与

,AB DC ,BC AD 及AC 的延长线分别交于点,,,M N R S 和P ，

求证：PM PN PR PS ??

练习

1、如图，在ABC D 中，AD 是A Ð的平分线，AD 的垂直平分线交AD 于点E ，交BC 的延长线于点F .求证:2

FD FB FC =?

2、,AD BE 是ABC D 的高线，过D 作AB 的垂线， 垂足为F ，与BE 及AC 的延长线分别相交于,M N ， 求证：2

DF FM FN =?

3、AD 是Rt ABC D 的角平分线，90C ??，求证：

222AC BC

AD BD

=

4 求线段比

例5 ABCD 是正方形，,E F 是,AB BC 的中点，

联接EC 交,DB DF 于,G H ，求::EG GH HC .