指数函数的图像和性质导学案

合集下载

指数函数的概念导学案

4.2.1 指数函数的概念导学案【学习目标】1.了解指数函数的概念.2.会画出指数函数图象(重点).3.会应用指数函数的性质求复合函数的定义域、值域(重点、难点).【自主学习】一．指数函数的定义一般地，函数 (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R .【答案】y ＝a x二．指数函数的图象和性质指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象和性质如下表：a >1 0<a <1图象定义域 R 值域(0，＋∞)性质过定点过定点，即x ＝0时，y ＝1函数值的变化当x >0时，；当x <0时，当x >0时，；当x <0时，单调性在R 上是在R 上是【答案】【当堂达标基础练】1. 下列图象中，有可能表示指数函数的是（）【答案】C【解析】由指数函数的增长速度及定义，可知C 正确． 2．已知函数1()12xf x =+，则对任意实数x ，有（） A ．()()0f x f x B ．()()0f x f x --= C ．()()1f x f x -+= D ．1()()3f x f x --=【答案】C3.函数2(2)x y a a =-是指数函数，则（） A ．1a =或3a = B ．1a = C ．3a = D ．0a >且1a ≠【答案】C【分析】由指数函数的定义可得2(2)1a -=，同时0a >，且1a ≠，从而可求出a 的值【详解】由指数函数定义知2(2)1a -=，同时0a >，且1a ≠，所以解得3a =. 故选：C4．若()233xy a a a =-+是指数函数，则有（）A ．1a =或2B ．1a =C ．2a =D ．0a >且1a ≠【答案】C【分析】根据指数函数的概念，由所给解析式，可直接求解.【详解】因为()233xy a a a =-+是指数函数，所以233101a aa a ⎧-+=⎪>⎨⎪≠⎩，解得2a =.故选：C ．5．已知函数1(),02()0xx f x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则[(4)]f f =________.故答案为：46.若函数()132xf x a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（0a >，且1a ≠）是指数函数，则=a ________．一、选择题1．若函数y ＝(a 2－4a ＋4)a x是指数函数，则a 的值是( ) A ．4 B ．1或3 C ．3 D ．1[答案C【解析】由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ≠1，a 2－4a ＋4＝1，解得a ＝3，故选C.2．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x(x ≥8)的值域是( ) A ．RB.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1256C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1256 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1256，＋∞【答案】B【解析】因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在[8，＋∞)上单调递减，所以0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤⎝ ⎛⎭⎪⎫128＝1256.3．函数y ＝2x－1的定义域是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，0] C ．[0，＋∞) D ．(0，＋∞)【答案】C【解析】由2x－1≥0得2x≥1，即x ≥0，∴函数的定义域为[0，＋∞)，选C. 4．当a >0，且a ≠1时，函数f (x )＝a x ＋1－1的图象一定过点( )A ．(0,1)B ．(0，－1)C ．(－1,0)D ．(1,0)【答案】C 【解析】∵f (－1)＝a－1＋1－1＝a 0－1＝0，∴函数必过点(－1，0)．5．函数f (x )＝a x与g (x )＝－x ＋a 的图象大致是( )A B C D【答案】A【解析】当a >1时，函数f (x )＝a x单调递增，当x ＝0时，g (0)＝a >1，此时两函数的图象大致为选项A.二、填空题6．函数f (x )＝3x －1的定义域为________．【答案】[1，＋∞)【解析】由x －1≥0得x ≥1，所以函数f (x )＝3x －1的定义域为[1，＋∞)．7．已知函数f (x )＝a x＋b (a >0，且a ≠1)经过点(－1,5)，(0,4)，则f (－2)的值为________．【答案】7【解析】由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝5，a 0＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝3，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3，所以f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＋3＝4＋3＝7.8．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x <0，－2－x，x >0，则函数f (x )的值域是________．【答案】(－1,0)∪(0,1)【解析】由x <0，得0<2x<1；由x >0， ∴－x <0,0<2－x<1， ∴－1<－2－x<0.∴函数f (x )的值域为(－1,0)∪(0,1)．] 三、解答题 9．已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，其中a >0且a ≠1.(1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域．[解] (1)因为函数图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，所以a2－1＝12，则a ＝12.(2)由(1)知函数为f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1(x ≥0)，由x ≥0，得x －1≥－1.于是0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2，所以函数的值域为(0,2]．10．已知f (x )＝9x－2×3x＋4，x ∈[－1,2]． (1)设t ＝3x，x ∈[－1,2]，求t 的最大值与最小值； (2)求f (x )的最大值与最小值．[解] (1)设t ＝3x ，∵x ∈[－1,2]，函数t ＝3x在[－1,2]上是增函数，故有13≤t ≤9，故t 的最大值为9，t 的最小值为13.(2)由f (x )＝9x －2×3x ＋4＝t 2－2t ＋4＝(t －1)2＋3，可得此二次函数的对称轴为t ＝1，且13≤t ≤9，故当t ＝1时，函数f (x )有最小值为3，当t ＝9时，函数f (x )有最大值为67.【当堂达标素养练】1．函数y ＝a－|x |(0<a <1)的图象是( )A B C D【答案】A【解析】y ＝a －|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a |x |，易知函数为偶函数，∵0<a <1，∴1a>1，故当x >0时，函数为增函数，当x <0时，函数为减函数，当x ＝0时，函数有最小值，最小值为1，且指数函数为凹函数，故选A.2．若a >1，－1<b <0，则函数y ＝a x＋b 的图象一定在( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、三、四象限 C ．第二、三、四象限 D ．第一、二、四象限【答案】A【解析】∵a >1，且－1<b <0，故其图象如图所示．3．已知函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在[－2，－1]上的最小值是m ，最大值是n ，则m ＋n 的值为________．【答案】12【解析】∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上为减函数，∴m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9，故m ＋n ＝12. 4．函数f (x )＝3x3x ＋1的值域是________．【答案】(0,1)【解析】函数y ＝f (x )＝3x3x ＋1，即有3x ＝－y y －1，由于3x＞0，则－y y －1＞0，解得0＜y ＜1，值域为(0,1)．5．已知函数f (x )＝a x＋b (a >0，a ≠1)．(1)若f (x )的图象如图①所示，求a ，b 的取值范围；(2)若f (x )的图象如图②所示，|f (x )|＝m 有且仅有一个实数解，求出m 的范围． [解] (1)由f (x )为减函数可知a 的取值范围为(0,1)，又f (0)＝1＋b <0，所以b 的取值范围为(－∞，－1)． (2)由图②可知，y ＝|f (x )|的图象如图所示．由图象可知使|f (x )|＝m 有且仅有一解的m 值为m ＝0或m ≥3.6．设函数()3x f x =，且(2)18f a +=，函数()34()ax x g x x R =-∈．（1）求()g x 的解析式；（2）若方程()g x －b=0在 [－2，2]上有两个不同的解，求实数b 的取值范围．【答案】（1）()24x x g x =-，（2）31,164b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭【详解】试题分析：（1）；本题求函数解析式只需利用指数的运算性质求出a 的值即可，（2）对于同时含有2,x x a a 的表达式，通常可以令进行换元，但换元的过程中一定要注意新元的取值范围，换元后转化为我们熟悉的一元二次的关系，从而解决问题．试题解析：解：（1）∵()3x f x =，且(2)18f a += ∴⇒∵∴（2）法一：方程为令，则144t ≤≤ 且方程为在有两个不同的解．设2211()24y t t t =-=--+ ，y b = 两函数图象在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个交点由图知31,164b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，方程有两不同解．法二：方程为，令，则144t ≤≤ ∴方程在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 上有两个不同的解．设21(),,44f t t t b t ⎡⎤=-+-∈⎢⎥⎣⎦解得31,164b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭考点：求函数的解析式，求参数的取值范围【方法点睛】求函数解析式的主要方法有待定系数法，换元法及赋值消元法等；已知函数的类型（如一次函数，二次函数，指数函数等），就可用待定系数法；已知复合函数的解析式，可用换元法，此时要注意自变量的取值范围；求分段函数的解析式时，一定要明确自变量的所属范围，以便于选择与之对应的对应关系，避免出错．。

《指数函数的图像与性质》导学案

《指数函数的图像与性质》导学案一、学习目标1、理解指数函数的概念，掌握指数函数的形式。

2、能够通过绘制图像，观察并总结指数函数的性质。

3、运用指数函数的性质解决相关的数学问题。

二、学习重点1、指数函数的概念和形式。

2、指数函数的图像特征。

3、指数函数的单调性、奇偶性等性质。

三、学习难点1、对指数函数底数范围的理解。

2、运用指数函数的性质进行综合运算和实际应用。

四、知识回顾1、正整数指数幂的运算性质：（1）＄a^m×a^n ＝ a^｛m ＋ n}＄（＄m$，＄n$为正整数）（2）＄（a^m)＾n ＝ a^｛mn}＄（＄m$，＄n$为正整数）（3）＄（ab)＾n ＝ a^n b^n$（＄n$为正整数）2、根式的性质：（1）＄＼sqrtn{a^n} ＝＼begin{cases} a, ＆ n 为奇数＼＼｜a|，＆n 为偶数＼end{cases}＄（2）＄（＼sqrtn{a}）＾n ＝ a$五、新课导入在实际生活中，我们经常会遇到一些增长或衰减的现象，比如细胞的分裂、放射性物质的衰变等。

这些现象都可以用数学中的函数来描述，其中一种常见的函数就是指数函数。

六、指数函数的概念一般地，函数$y ＝ a^x$（＄a ＞ 0$且$a ≠ 1$）叫做指数函数，其中$x$是自变量，函数的定义域是$R$。

思考：为什么规定$a ＞ 0$且$a ≠ 1$？当$a ＝ 0$时，若$x ＞ 0$，＄a^x ＝ 0$；若$x ≤ 0$，＄a^x$无意义。

当$a ＜ 0$时，对于$x ＝＼frac{1}｛2}＄，＄＼sqrt{a}＄在实数范围内无意义。

当$a ＝1$时，＄y ＝1^x ＝1$，是一个常数函数，不是指数函数。

七、指数函数的图像我们通过列表、描点、连线的方法来绘制指数函数的图像。

例如，绘制函数$y ＝ 2^x$和$y ＝（＼frac{1}｛2}）＾x$的图像。

｜＄x$ ｜＄－3$ ｜＄－2$ ｜＄－1$ ｜＄0$ ｜＄1$ ｜＄2$ ｜＄3$ ｜｜｜｜｜｜｜｜｜｜＄y ＝ 2^x$ ｜＄＼frac{1}｛8}＄｜＄＼frac{1}｛4}＄｜＄＼frac{1}｛2}＄｜＄1$ ｜＄2$ ｜＄4$ ｜＄8$ ｜｜＄y ＝（＼frac{1}｛2}）＾x$ ｜＄8$ ｜＄4$ ｜＄2$ ｜＄1$ ｜＄＼frac{1}｛2}＄｜＄＼frac{1}｛4}＄｜＄＼frac{1}｛8}＄｜图像如下：通过观察图像，我们可以发现：1、指数函数的图像都过点$（0, 1)＄。

指数函数的图像与性质导学案.docx

指数函数的图像与性质主备人：陈兆兴审核人：唐新波时间：2016年10月20日一、学习目标：掌握指数函数的图像和性质，进一步体会指数函数的图像和性质与底数的关系。

二、定向自学：1、指数函数的图像与性质y - axa>l 0<a<l图像性质 (1)定义域： (2)值域： (3)过点，即当时x 二吋，y 二 ⑷当x>0时，当x<0时， ⑷当x>0时，当x<0时，(5)在R 是函数 (5)在R 是函数(1 函数V = 6Z r 和9=- 的图像关于对称. 丿2、指数函数y = a x(a>09且心1)中，底数。

对函数图像有什么影响? 三、思考探究：对函数图像有什么影响?1、在同一坐标系中作出y = 2V ，y = 3', y = — y =— J A (2丿 (3丿的图像，观察底数。

x2、总结：(1) 底数互为倒数吋，图像关于y 轴对称。

(2) 做直线x=l,底数从下往上底数越來越大。

三、典型例题例1：求下列函数的定义域：(1) y = 3、门例2：已知指数函数/(x) = a x(a>0,且QH1)的图象经过点(3,龙)，求/(0),/(1),/(-3)的值. (6) 1.703与 0.9九1 丄⑺ 比较小与历的大小，0>0,且4北1.例3：比较下列各题中两个值的大小:的大小：练习：已知下列不等式，比较m,n (1) 1.725与讦 (2)与 (3) OS与 <1<2 1J8 (4) (1) 2W <2M (2) 0.2w >0.2” (3) a w> a" (a > 0且a 丰 1) (5)与(0.2严(四)课堂小结(五)布置作业《练习》1.下列函数中，指数函数的个数是( )/ 2、*①y = 2-3x②歹=3曲③三④y = x2⑤y = 2”—l⑥y = (—3)“(3丿A, 0 B, 1 C, 2 D, 32.( 1 )函数y = 3^ 的定义域是 ________________ , (2)函数)，=37-1的定义域是_________________ ，值域是________________ 03.比较大小(1) 0.9" __________ 0.9314(2) 0.2-3 __________ 3七$4.己知a = O.80"7,/? = 0.8°"9,C = 1.2°",则a,/?,c的大小关系是____________________ .5.已知Ovavl"v-1,则函数y = a x + b不经过( )A,第一象限B,第二象限C,第三象限D,第四象限6.函数y = a^(a>i)的图像是( )A, 10" B,—— C, -10' D, --------------------(10丿110丿补充题=—1—的定义域？1.求函数yXz [ \X 2-2X - 的值域为. （3丿2.在[m,n]_h, f(x) = a x(a > 0,且 a Hl)的值域? 四、课堂练习1、如图是指数函数①y = /,②y = b“，③y = c“，④y = d x的图象，则a,b,c,d 的大小关系是（）A. a<b <\<c <dB. b < a <\< d <cC. lcacbcccdD. a<b<\<d <c (1) 4.5"与3.7? .6 (2) 0.5"与0・少 3、已知一lvxvO, 比较3二0.5"的大小,并说明理由。

指数函数图像与性质教学设计精选10篇

指数函数图像与性质教学设计精选10篇指数函数及其性质教学设计解读篇一《2.1.2 指数函数及其性质(2 》教学设计【学习目标】1.知识与技能①.熟练掌握指数函数概念、图象、性质。

②.掌握指数函数的性质及应用。

③.理解指数函数的简单应用模型, 认识数学与现实生活及其他学科的联系。

2.情感、态度、价值观①让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理。

②培养学生观察问题，分析问题的能力。

③体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想；3.过程与方法让学生通过观察函数图象，进而研究指数型函数的性质, 主要通过小组讨论、小组展示、及时评价完成整个导学过程【学习重点】熟练掌握指数函数的的概念，图象和性质及指数型增长模型。

【学习难点】用数形结合的方法从具体到一般地探索、指数型函数的图象，性质。

【导学过程】教学内容师生互动设计意图互查每组两名同学互查识记内容教师提问记忆方法，学生回答，其他同学可以相互借鉴。

复习指数函数的图象及性质，为本节课中的内容储备知识基础。

展系吗？→请用一句话概括下图是指数函数2x y =, 3xy =, 0.3x y =, 0.5x y =的图象，请指出它们各自对应的图象。

教师随时点评，引导，欣赏，鼓励。

每组选派一名代表课堂上展示交流成果，组内同学补充。

其他同学可让学生从图象直观的理解指数函数，从变化中找到不变的规律，提高学生的总结归纳能示交流结论：针对展示交流成果提出问题，进一步加深理解。

力教学内容师生互动设计意图展示交流探究二：指数形式的函数定义域、值域：求下列函数的定义域、值域：(121 x y =+,(2y =,(3 1 4 2x y-=.首先提问给出的三个函数是否是指数函数，加深学生对指数函数概念的理解。

学生小组讨论，交流。

每组选派一名代表课堂上展示交流成果，组内同学补充。

其他同学可针对展示交流成果提出问题，进一步加深理解。

所给函数虽然不是指数函数，但是由指数函数得到的复合函数，其性质与指数函数密切相关，通过训练能够培养学生的创造性思维能力。

指数函数图像与性质的学案

指数函数及其性质（导学案）老师寄语：聪明的你一定能从本节课学到新的知识，得到新的提高！一、学习目标：1、理解指数函数的概念和意义，注意底数的取值范围及指数函数的定义域。

2、掌握指数函数的图象和性质，会用指数函数的性质解决一些简单的问题。

二、学习过程：（一）引入1、某种细胞分裂时,第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，······如此下去，如果第x 次分裂得到y 个细胞，那么细胞个数y 与分裂次数x 的函数关系是。

2、单位长为1的木棍，每次截取一半，截取x 次后，得到的木棍长度y 与次数x 之间的函数关系是。

思考：上面两个函数关系式有什么共同特征？（1）（2）（二）指数函数的定义：一般地，函数叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是。

（三）尝试练习（你一定能完成好！）指出下列函数哪些是指数函数？（1） 1.073x y = （2）13x y =（3）12x y +=（4）1()12x y =+ （5）4x y =- （6）(4)x y =- （7） 57301()2t y =（8）x y x = （9）1(21)(1)2x y a a a =->≠且（四）指数函数x y a =（a>0且1a ≠）的图象和性质1、画函数2x y =和1()x y =的图象思考：函数2x y =的图象和1()2xy =的图象有什么关系？可否用2x y =的图象得到1()2x y =的图象？2、指数函数x y a =（a>0且1a ≠）的图象和性质：已知指数函数()x f x a =（a>0且1a ≠）的图象经过点（3,π）求(0)f ，(1)f ，(3)f -的值（六）达标练习：（相信你有能力完成好！）（1）已知指数函数()f x 的图象过点（1-，0.1）,求(1)f (2)f -的值。

新教材人教B版必修第二册指数函数的性质与图像学案

4.1.2 指数函数的性质与图像学习目标1.通过具体实例,了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图像,探索并理解指数函数的单调性与特殊点,发展学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理等核心素养.3.初步运用指数函数的性质解决诸如比较大小等简单问题,提升学生的数学运算和数学建模的核心素养.课堂探究考古学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间.当有机体生存时,会持续不断地吸收碳14,从而其体内的碳14含量会保持在一定的水平;但当有机体死亡后,就会停止吸收碳14,其体内的碳14含量就会逐渐减少,而且每经过大约5 730年后会变为原来的一半.你能用函数表示有机体内的碳14含量与其死亡时间之间的关系吗?一种死亡已经一万年的有机体,其体内的碳14含量是其生存时的百分之多少?利用本节课我们要学习的指数函数知识,可以顺利解决情境中的问题.问题探究一:在以上情境中,假设有机体生存时碳14的含量为1,如果用y 代表该有机体死亡x 年后体内碳14的含量,则x=5 730时,y=12;x=2×5 730时,y=(12)2=14.由此可知:x=3×5 730时,y= ; x=5 730n 时,y= ;从而y 与x 的关系可以表示为 .要点归纳1:指数函数的定义:一般地,函数称为指数函数,其中a 是常数, .问题探究二:请同学们用描点法画出指数函数y=2x的图像,小组讨论完成以下问题:观察y=2x的图像图像特征代数表述图像向x 轴的、方向无限延伸定义域图像位于x 轴的值域图像不关于和对称奇偶性续表自左向右看,图像单调性第一象限内的函数图像在y=1的上方当x>0时,y ∈ 第二象限内的函数图像在y=1的下方当x<0时,y ∈问题探究三:类比指数函数y=2x的图像和性质,研究指数函数y=(12)x的性质和图像,完成以下问题:观察y=(12)x的图像图像特征代数表述图像向x轴的、方向无限延伸定义域图像位于x轴的值域图像不关于和对称奇偶性自左向右看,图像单调性第一象限内的函数图像在y=1的上方当x>0时,y∈第二象限内的函数图像在y=1的下方当x<0时,y∈思考并回答下面问题:(1)指数函数y=2x和y=(12)x的图像的公共点是什么?(2)能得出指数函数y=a x的图像一定过哪个定点吗?(3)为什么要限定a>0且a≠1?要点归纳2:由以上实例,归纳指数函数y=a x(a>0且a≠1)的性质: 0<a<1 a>1图像定义域值域性质定点单调性典型例题:例1(多选)若函数f(x)=(12x-3)·a x(a>0,且a≠1)是指数函数,则下列说法正确的是()A.a=8B.f(0)=-3C.f(12)=2√2 D.a=4例2利用指数函数的性质,比较下列各题中两个值的大小.(1)0.8-0.1与0.8-0.2;(2)2.5a与2.5a+1.变式训练1已知实数a,b满足(37)x>(37)x,试判断6a与6b的大小.变式训练2求不等式(13)x2-8>3-2x的解集.例3利用指数函数的性质与图像求方程3x=2x+1的解集.变式训练3利用指数函数的性质与图像求不等式(13)x>-23x+1的解集.课堂练习1.下列的关系式:(1)y=2x+2;(2)y=(-2)x;(3)y=-2x;(4)y=x2;(5)y=πx,其中是指数函数,理由是.2.函数y=a x-2(a>0,且a≠1)的图像必过定点.3.将下列三个数按从小到大的顺序用不等号连接起来:(13)23,34,(13)-2.核心素养专练1.(多选)若函数y=a x+b-1(a>0,且a≠1)的图像经过第一、三、四象限,则下列选项中正确的有()A.a>1B.0<a<1C.b>0D.b<02.(多选)若指数函数y=a x在区间[-1,1]上的最大值和最小值的和为52,则a的值可能是()A.2B.12C.3 D.133.(多选)已知实数a,b满足等式(12)x=(13)x,则下列五个关系式中不可能成立的是()A.0<b<aB.a<b<0C.0<a<bD.b<a<04.用清水漂洗衣服,若每次能洗去污垢的34,写出存留污垢的百分比y与漂洗次数x的函数关系式,并求出若要使存留的污垢不超过原有的1%所要漂洗的最少次数.参考答案课堂探究问题探究一(1 2)3(12)x y=(12)x5 730要点归纳1:y=a x a>0且a≠1问题探究二第一行:负半轴上方R第二行:上方(0,+∞)第三行:y轴原点非奇非偶函数第四行:上升递增第五行:(1,+∞)第六行:(0,1)问题探究三第一行:正半轴上方R第二行:上方(0,+∞)第三行:y轴原点非奇非偶函数第四行:下降递减第五行:(0,1)第六行:(1,+∞)思考并回答下面问题:(1)(0,1)(2)(0,1)(3)其他范围没有研究的意义.要点归纳2:第一行:图像参考课本第二行:R第三行:(0,+∞)第四行:(0,1)第五行:单调递减单调递增典型例题例1解析:因为函数f(x)是指数函数,所以12a-3=1,所以a=8,所以f(x)=8x,所以f(0)=1,f(12)=812=2√2,故B,D错误,A,C正确.故选AC.例2(1)< (2)<变式训练1<变式训练2解:不等式(13)x2-8>3-2x化为(13)x2-8>(13)2x.所以由指数函数的性质可知x2-8<2x,∴-2<x<4.例3解:函数y=3x和y=2x+1的图像如图:由图知方程的解集是{0,1}.变式训练3解:函数y=(13)x和y=-23x+1的图像如图:由图知不等式的解集是{x|x<0或x>1}.课堂练习符合指数函数的定义2.(2,1)3.(13)23<(13)-2<34核心素养专练1.AD2.AB3.CD4.y=(14)x(x∈N*);至少漂洗4次.学习目标1.通过对指数函数概念的理解,培养数学抽象的核心素养;2.通过对指数函数性质和图像的掌握,培养直观想象、数据分析等数学素养;3.通过对指数函数的应用,培养数学建模、逻辑推理、数学运算等数学素养.自主预习1.指数函数的定义:.思考:定义中为什么限定a>0且a≠1?2.用列表描点法画出下列函数图像.(1)y=2x和y=(12)x(由1,2组完成).(2)y=3x和y=(13)x(由3,4组完成).x-2 -1 0 1 2y=y=3.指数函数的性质函数y=a x0<a<1 a>1图像定义域值域定点单调性课堂探究1.探究一比较大小例1利用指数函数的性质,比较下列各题中两个值的大小.(1)0.8-0.1与0.8-0.2;(2)2.5a与2.5a+1;(3)1.70.3与0.93.1.学后反思:变式训练(1)已知实数a,b满足(37)x>(37)x,试判断6a与6b的大小;(2)求函数y=√1-(12)x的定义域.2.探究二指数函数恒过定点问题例2(1)函数y=a x(a>0且a≠1)必过定点;(2)函数y=a x+1(a>0且a≠1)必过定点;(3)函数y=a x+1+1(a>0且a≠1)必过定点.学后反思:变式训练函数y=a2x+b+1恒过定点(1,2),则b= .课堂小结:核心素养专练A组1.下列函数是指数函数的是()A.y=3-xB.y=32xC.y=3x2D.y=3x+12.比较两个值的大小.(1)(15)-12(15)23;(2)1.72.51.73;(3)(14)0.8(12)1.8;(4)1.70.30.93.1.3.已知对不同的a值,函数f(x)=2+a x-1(x>0,x≠1)的图像恒过定点P,则P点的坐标是.4.解指数函数不等式.(1)(12)x2-2≤2;(2)(13)x-8<3-2x.5.求下列函数的定义域.(1)y=√(19)x-1;(2)y=√2x-1;(3)y=√1-6x-2.B组1.比较大小:a0.5与a0.6(x>0,x≠1).2.已知(a2+a+2)x>(a2+a+2)1-x,求x的取值范围.3.已知f(x)的定义域为(0,1),则f(3x)的定义域为.4.求y=4x-2x+1+3,x∈(-∞,1]的值域.5.函数f(x)=a x(a>0,且a≠1)在区间[-1,2]中的最大值比最小值大x2,则a的值为.参考答案自主预习课堂探究核心素养专练A组1.B2.(1)> (2)< (3)> (4)>3.(1,3)4.(1)[1,+∞)∪(-∞,-1] (2)(-∞,-8]5.(1)(-∞,0] (2)[0,+∞) (3)(-∞,2] B 组1.当a>1时,a 0.5<a 0.6,当0<a<1时,a 0.5>a 0.6. 2.由于a 2+a+2>1恒成立,所以x>1-x ,即x>12.3.(-∞,0)4.[3,+∞)5.12或32。

《指数函数的图像和性质》教学设计、导学案、同步练习

第四章指数函数与对数函数《4.2.2指数函数的图像和性质》教学设计【教材分析】本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第四章第4.2.2节《指数函数的图像和性质》。

从内容上看它是学生学习了一次函数、二次函数、反比例函数，以及函数性质基础上，通过实际问题的探究，建立的第四个函数模型。

其研究和学习过程，与先前的研究过程类似。

先由实际问题探究，建立指数函数的模型和概念，再画函数图像，然后借助函数图像讨论函数的性质，最后应用建立的指数函数模型解决问题。

体现了研究函数的一般方法，让学生充分感受，数学建模、直观想象、及由特殊到一般的思想方法。

【教学目标与核心素养】【教学重难点】教学重点：指数函数的图象和性质。

教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质及其应用。

【教学过程】（一）、创设问题情境你能说说研究函数的一般步骤和方法吗？（二）、探索新知问题１用描点法作函数1.列表2.描点3.连线.用描点法作函数观察这四个图像有何特点？问题1：图象分别在哪几个象限？问题2：图象的上升、下降与底数a 有联系吗？问题3：图象有哪些特殊的点？问题4：图象定义域和值域范围？指数函数的图像与性质图象定义域值域性质过定点非奇非偶在R 上是在R 上是（三）典例解析例3：说出下列各题中两个值的大小：(1)1.72.5__1.73；(2)0.8—1__0.8—2；(3)1.70.5__0.82.5开门见山，通过对函数研究的一般方法回顾，提出研究方法。

培养和发展逻辑推理和数学建模的核心素养。

探究问题：问题1.通过对特殊的指数函数图像观察，归纳出指数函数的性质；发展学生数学抽象、数学建模和逻辑推理等核心素养；x xy =2y =3.和的图象⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭xx11y =y =.23和的图象解：①∵函数y=1.7x在R上是增函数，又∵2.5<3，∴1.72.5<1.73②∵函数y=0.8x在R上是减函数，又∵-1>-2，∴0.8—1<0.8—2③∵1.70.5>1.70=1=0.80>0.82.5，∴1.70.5>0.82.5[规律方法] 比较幂的大小的方法1同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较2指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象，当x取相同幂指数时可观察出函数值的大小3底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较4当底数含参数时，要按底数a>1和0<a<1两种情况分类讨论例4：如图，某城市人口呈指数增长．（１）根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）；（２）该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？分析：（1）因为该城市人口呈指数增长，而同一指数函数的倍增期是相同的，所以可以从图象中选取适当的点计算倍增期．（2）要计算20年后的人口数，关键是要找到20年与倍增期的数量关系．5．设f (x )＝3x，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x.(1)在同一坐标系中作出f (x )，g (x )的图象；(2)计算f (1)与g (－1)，f (π)与g (－π)，f (m )与g (－m )的值，从中你能得到什么结论？【答案】 (1)函数f (x )，g (x )的图象如图所示： (2)f (1)＝31＝3，g (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3，f (π)＝3π，g (－π)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－π＝3π， f (m )＝3m，g (－m )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m＝3m .从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y 轴对称．6．已知函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，19.(1)比较f (2)与f (b 2＋2)的大小； (2)求函数g (x )＝ax 2－2x (x ≥0)的值域．【答案】 (1)由已知得a 2＝19，解得a ＝13，因为f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上递减，则2≤b 2＋2，所以f (2)≥f (b 2＋2)．(2)因为x ≥0，所以x 2－2x ≥－1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x ≤3，即函数g (x )＝ax 2－2x(x ≥0)的值域为(0,3]．《4.2.2 指数函数的图像和性质》导学案【学习目标】1.理解指数函数的概念和意义，会画指数函数的图像。

指数函数的图像与性质导学案

指数函数的图像与性质（第2课时）市级一等奖岚皋中学阳钊一、教材分析（一）教材的地位和作用“指数函数”的教学共分三个课时完成，第1课时为指数函数的概念，具体指数函数的图像和性质；第2课时为指数函数的图像和性质及简单应用；第三课时为指数函数的性质应用。

本课时主要通过对指数函数图像的研究归纳其性质，并进行简单的应用。

“指数函数”是函数中的一个重要基本初等函数，是后续知识——对数函数（指数函数的反函数）的准备知识。

通过这部分知识的学习进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识并体会研究函数较为完整的思维方法，此外还可类比学习后面的其它函数。

（二）教学目标1、知识目标：i会做指数函数的图像；ii能归纳出指数函数的几个基本性质；iii会进行指数函数性质的简单应用。

2、能力目标：通过由指数函数的图像归纳其性质的学习过程，培养学生探究、归纳分析问题的能力。

3、情感目标：通过探究体会“数形结合”的思想；感受知识之间的关联性；体会研究函数由特殊到一般再到特殊的研究学习过程；体验研究函数的一般思维方法。

（三）教学重点和难点1、重点：指数函数的性质和图像。

2、难点：指数函数性质的归纳。

二、教法分析（一）教学方式直接讲授与启发探究相结合（二）教学手段借助多媒体，展示学生的做图结果；演示指数函数的图像三、教学基本思路：1、引入1）复习指数函数概念2）回忆指数函数图像的画法2、探究指数函数的性质1）研究指数函数的图象2）归纳总结指数函数的性质3、指数函数性质的简单应用4、巩固练习5、小结6、作业布置五、教学设计说明1、探究指数函数的性质从“数”的角度用解析式不易解决，转而由“形”——图象突破，体会数形结合的思想。

通过研究几个具体的指数函数引导学生通过观察图象发现指数函数的图象规律，从而归纳指数函数的一般性质，经历一个由特殊到一般的探究过程。

让学生在研究出指数函数的一般性质后进行总结归纳函数的其他性质，从而对函数进行较为系统的研究。

新人教版高中数学《指数函数的图像与性质》导学案

第3课时指数函数的图象与性质1.理解指数函数的概念和意义.2.能画出指数函数的图象.3.初步掌握指数函数的性质与指数函数图象的特点,并会简单应用.将一张厚度为1个单位的纸进行对折,对折一次后厚度变为原来的2倍,即纸的厚度变为了2个单位;然后再将其对折,这样第二次对折后纸的厚度变为了22,第三次对折后变为了23,经多次实验最多可对折7次,那么其最厚的厚度是多少个单位?如果可以对折无限次,那么对折x次后的厚度又是多少?问题1:(1)对折x次后纸的厚度y与x的函数解析式为.(2)一般地,函数叫作指数函数,其中x叫自变量,函数的定义域为.(3)判断一个函数是否是指数函数,一看底数是否是一个大于0且不为1的常数,二看自变量x是否是在指数位置上,三看指数幂的系数是否为1,满足这三个条件的函数才是指数函数.问题2:指数函数的图象有何特点?有哪些性质?问题3:为什么指数函数的概念中规定a>0,且a≠1?因为当a=0时,a x总为或;当a<0时,如a=-2,x=,a x=(-2=-显然没意义;当a=1时,a x恒等于,没有研究的必要.因此规定a>0,且a≠1.问题4:(1)函数y=2x与函数y=()x的图象有什么特点?函数y=2x的图象与函数y=()x的图象关于对称.(2)函数y=a x(a>0,a≠1)随着底数a的变化,图象有什么变化?随着底数取值的不同,函数的增长情况也不同,你能得出什么规律呢?当a>1时,底数越大,图象得越快,在y轴的侧,图象越靠近y 轴;当0<a<1时,底数越小,图象得越快,在y轴的侧,图象越靠近y轴.(3)函数y=a x与y=a x+m(a>0,a≠1,m∈R)之间有什么关系?函数y=a x+m的图象可以由函数y=a x的图象变换而来.当m>0时,y=a x的图象向移动m个单位得到y=a x+m的图象.当m<0时,y=a x的图象向移动|m|个单位得到y=a x+m的图象.指数函数的概念下列函数中是指数函数的是.①y=3x;②y=x3;③y=-3x;④y=x x;⑤y=(6a-3)x(a>,且a≠).对指数函数图象和性质的简单应用(1)若函数y=a x+b-1(a>0,且a≠1)的图象经过第二、三、四象限,则一定有().A.0<a<1,且b>0B.a>1,且b>0C.0<a<1,且b<0D.a<1,且b>0(2)比较下列各题中两个值的大小.①3π与33.14;②0.99-1.01与0.99-1.11;③1.40.1与0.90.3.指数函数的实际应用问题某种储蓄按复利计算利息,若本金为a元,每期利率为r,设存期是x的本利和(本金加上利息)为y元.(1)写出本利和y随存期x变化的函数关系式;(2)如果存入本金1000元,每期利率为3.25%,试计算5期后的本利和.已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(a∈R).若f[g(1)]=1,则a=().A.1B.2C.3D.-1考题变式(我来改编):第3课时指数函数的图象与性质知识体系梳理问题1:(1)y=2x(x∈N*)(2)y=a x(a>0,且a≠1)R问题2:R(0,+∞)(0,1)问题3:0没有意义 1问题4:(1)y轴(2)上升右下降左(3)左右重点难点探究探究一:【解析】根据指数函数的定义,易知y=3x是指数函数.又当a>,且a ≠时,6a-3>0,且6a-3≠1,所以y=(6a-3)x(a>,且a≠)也是指数函数.【答案】①⑤【小结】判断一个函数是否为指数函数或求指数函数中未知数的值或取值范围时,要紧扣指数函数的概念,特别要注意底数的取值范围.探究二:【解析】(1)根据题意画出函数y=a x+b-1(a>0,且b<0)的大致图象(如图), 所以0<a<1,且1+b-1<0,即0<a<1,且b<0,故选C.(2)①构造函数y=3x,由a=3>1,知y=3x在(-∞,+∞)上是增函数.而π>3.14,故3π>33.14.②构造函数y=0.99x,由0<a=0.99<1,知y=0.99x在(-∞,+∞)上是减函数.而-1.01>-1.11,故0.99-1.01<0.99-1.11.③分别构造函数y=1.4x与y=0.9x.由1.4>1,0<0.9<1,知y=1.4x与y=0.9x在(-∞,+∞)上分别为增函数和减函数.由0.1>0,知1.40.1>1.40=1,由0.3>0,知0.90.3<0.90=1,而1.40.1>1>0.90.3,故1.40.1>0.90.3.【答案】(1)C【小结】(1)如果本题改为函数y=a x+b-1(a>0,且a≠1)过第一、三、四象限,那么参数a,b会取怎样的值呢?事实上,应满足a>1,且b<0.(2)注意③的指数式的底数和幂指数都不同,可考虑引入中间值进行比较.探究三:【解析】(1)已知本金为a元,利率为r,则1期后的本利和为y=a+a×r=a(1+r);2期后的本利和为y=a(1+r)+a(1+r)·r=a(1+r)2;3期后的本利和为y=a(1+r)3;……x期后的本利和为y=a(1+r)x,x∈N*.(2)将a=1000元,r=3.25%,x=5代入上式,得y=1000×(1+3.25%)5=1000×1.03255≈1173.4(元),即5期后本利和约为1173.4元.【小结】形如y=ka x(k∈R,a>0且a≠1)的函数称为指数型函数,它是一个常见的指数增长模型.如设原有量为N,平均增长率为P,则经过时间x后的总量为y=N(1+P)x.全新视角拓展【解析】∵g(x)=ax2-x,∴g(1)=a-1.∵f(x)=5|x|, ∴f[g(1)]=f(a-1)=5|a-1|=1,∴|a-1|=0,∴a=1.【答案】A思维导图构建R(0,1)。

《指数函数的图像和性质》第2课时导学案

课题:4.2.2《指数函数的图像和性质》（第2课时）导学案命制人：审核人：使用人: 高一全体学生使用日期:学习目标：1.能用指数函数的图像研究函数的值域和单调性。

2.能运用指数函数的图像和性质解决有关数学问题。

任务一：知识回顾底数a 的范围10<<a 1>a图象性质定义域值域过定点单调性任务二：知识应用题型一：求指数型函数的定义域例1．函数121x x y -=-的定义域是（）A ．RB ．{}|1x x ≠C ．{}|0x x ≠D ．{|0x x ≠且}1x ≠练习1函数()39x f x =-的定义域为练习2函数()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为练习3函数()1182102xf x x ⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭的定义域为题型二：求值域和最值例2．函数()[]1,0,22xf x x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则()f x 的值域是练习1函数3x y =+1在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是．练习2求函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭-2，[]1,3x ∈的最大值与最小值。

例3．已知函数()1,02,0x x f x xa x ⎧<⎪=⎨⎪-≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是 . 练习1函数4,104,023x x x y x ⎧-≤≤⎪=⎨⎛⎫<≤⎪ ⎪⎝⎭⎩的值域为 . 例4．函数3132x x y -=-的值域是．练习1求函数2121x x y -=+的值域例5．已知函数()2234x x f x +=-⨯定义域为[]1,1x ∈-，则()f x 的最大值和最小值分别是（）A ．2,03B ．4,13C ．45,34D ．log3,1题型三指数型函数的单调性与最值例6.函数y ＝13x 的单调递减区间是( )A.(－∞，＋∞)B.(－∞，0)C.(0，＋∞)D.(－∞，0)和(0，＋∞)练习1函数的单调递增区间是 . 练习2函数y=a x 在［0，1］上的最大值与最小值的和为3，则a=________________.任务三：能力提高1.若且求的取值范围. 2.（多选）已知实数满足等式，则下列关系式中，可能成立的关系式有( ) A. B. C. D.3.若函数则不等式的解集为 .4.函数1423x x y +=-+的定义域为[]1,1x ∈-，求函数的值域.5.已知函数. （1）若，求的单调区间；（2）若的最大值为3，求实数的值；（3）若的值域是，求实数的值.作业布置：课本习题4.2的1.3.6题及同步练习册。

《指数函数的图像和性质》教案、导学案与同步练习

《第四章指数函数与对数函数》《4.2.2指数函数的图像和性质》教案【教材分析】本节课在已学指数函数的概念，接着研究指数函数的图像和性质，从而深化学生对指数函数的理解，并且了解较为全面的研究函数的方法，为以后在研究对数函数幂函数等其它函数打下基础。

另外，我们日常生活中的很多方面都涉及到了指数函数的知识，例如细胞分裂，放射性物质衰变，贷款利率等，所以学习这一节具有很大的现实价值。

【教学目标与核心素养】课程目标1、掌握指数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力；2、通过观察图象，分析、归纳、总结指数函数的性质；3、在指数函数的学习过程中,体验数学的科学价值并养成勇于探索的良好习惯.数学学科素养1.数学抽象：指数函数的图像与性质；2.逻辑推理：图像平移问题；3.数学运算：求函数的定义域与值域；4.数据分析：利用指数函数的性质比较两个函数值的大小：5.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的数形结合思想总结指数函数性质.【教学重难点】重点：指数函数的图象和性质；难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质．【教学方法】：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

【教学过程】一、情景导入请学生用三点画图法画图像，观察两个函数图像猜测指数函12,()2x x y y ==数有哪些性质？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本116-117页，思考并完成以下问题1.结合指数函数的图象，可归纳出指数函数具有哪些性质？2.指数函数的图象过哪个定点？如何求指数型函数的定义域和值域问题？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1、指数函数的图象和性质四、典例分析、举一反三题型一指数函数的图象问题题点一：指数型函数过定点问题例1函数y＝a x－3＋3(a＞0，且a≠1)的图象过定点________．【答案】(3,4)【解析】因为指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y＝a x－3＋3中，令x－3＝0，得x＝3，此时y＝1＋3＝4，即函数y＝a x－3＋3的图象过定点(3,4)．题点二：指数型函数图象中数据判断例2函数f(x)＝a x －b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a ＞1，b ＜0B ．a ＞1，b ＞0C ．0＜a ＜1，b ＞0D.0＜a ＜1，b ＜0【答案】D【解析】从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有0＜a ＜1；从曲线位置看，是由函数y ＝a x (0＜a ＜1)的图象向左平移|－b|个单位长度得到，所以－b ＞0，即b ＜0.题点三：作指数型函数的图象例3画出下列函数的图象，并说明它们是由函数f(x)＝2x 的图象经过怎样的变换得到的．(1)y ＝2x ＋1；(2)y ＝－2x .【答案】见解析【解析】如图．(1)y ＝2x ＋1的图象是由y ＝2x 的图象向上平移1个单位长度得到的；(2)y ＝－2x 的图象与y ＝2x 的图象关于x 轴对称．解题技巧：（指数函数的图像问题）1.指数函数在同一平面直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系:在y 轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小;在y 轴左侧,图象从上到下相应的底数由小变大.无论指数函数的底数a 如何变化,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象与直线x=1相交于点(1,a),因此,直线x=1与各图象交点的纵坐标即为底数,由此可得底数的大小.2.因为函数y=ax 的图象恒过点(0,1),所以对于函数f(x)=kag(x)+b(k,a,b 均为常数,且k≠0,a>0,且a≠1).若g(m)=0,则f(x)的图象过定点(m,k+b).3.指数函数y=ax 与y=(1a )x(a>0,且a≠1)的图象关于y 轴对称.4.处理函数图象问题的常用方法:一是抓住图象上的特殊点;二是利用图象的变换;三是利用函数的奇偶性与单调性.跟踪训练一1、如图是指数函数:①y=a x,②y=b x,③y=c x,④y=d x的图象,则a,b,c,d 与1的大小关系是( )A.a<b<1<c<dB.b<a<1<d<cC.1<a<b<c<dD.a<b<1<d<c2、已知函数f(x)=a x+1+3的图象一定过点P,则点P 的坐标是 .3、函数y=的图象有什么特征?你能根据图象指出其值域和单调区间吗?【答案】1.B2.(-1,4)3.原函数的图象关于y 轴对称.由图象可知值域是(0,1],单调递增区间是(-∞,0],单调递减区间是(0,+∞).【解析】1、解析:(方法一)①②中函数的底数小于1且大于0,在y 轴右边,底数越小,图象向下越靠近x 轴,故有b<a,③④中函数的底数大于1,在y 轴右边,底数越大, 图象向上越靠近y 轴,故有d<c.故选B.(方法二)作直线x=1,与函数①,②,③,④的图象分别交于A,B,C,D 四点, 将x=1代入各个函数可得函数值等于底数值, 所以交点的纵坐标越大,则对应函数的底数越大. 由图可知b<a<1<d<c.故选B. 答案:B2、解析:∵当x+1=0,即x=-1时,f(x)=a 0+3=4恒成立,故函数f(x)=a x+1+3恒过(-1,4)点.3、解:∵y=(12)|x|={(12)x,x≥0,(12)-x ,x<0,∴其图象由y=(12)x(x≥0)和y=2x (x<0)的图象合并而成.||1()2x而y=(12)x(x>0)和y=2x(x<0)的图象关于y 轴对称,所以原函数的图象关于y轴对称.由图象可知值域是(0,1],单调递增区间是(-∞,0],单调递减区间是(0,+∞).题型二指数函数的性质及其应用题点一：比较两个函数值的大小例4比较下列各题中两个值的大小: （1）1.72.5与1.73 （2）0.8−√2与0.8−√3 （3）1.70.3与0.93.1【答案】(1)1.72.5<1.73(2)0.8−√2<0.8−√3（3）1.70.3>0.93.1【解析】(1)(单调性法)由于1.72.5与1.73的底数是1.7,故构造函数y=1.7x,而函数y=1.7x在R 上是增函数.又2.5<3,∴1.72.5<1.73(2)(单调性法)由于0.8−√2与0.8−√3的底数是0.8,故构造函数y=0.8x,而函数y=0.8x在R 上是减函数.又0.8−√2<0.8−√3（3）(中间量法)由指数函数的性质,知0.93.1<0.90=1,1.70.3>1.70=1,则1.70.3>0.93.1题点二：指数函数的定义域与值域问题例5求下列函数的定义域与值域 (1)y=21x−4; (2)y=(23)-|x|.【答案】(1)定义域为{x|x ∈R,且x≠4},值域为(0,1)∪(1,+∞). (2)定义域为R,值域为[1,+∞). 【解析】(1)∵由x-4≠0,得x≠4,∴函数的定义域为{x|x ∈R,且x≠4}.∵1x−4≠0,∴21x−4≠1.∴y=21x−4的值域为(0,1)∪(1,+∞).（2）函数的定义域为R.∵|x|≥0,∴y=(23)-|x|=(32)|x|≥(32)0=1.故y=(23)-|x|的值域为[1,+∞).解题技巧：（指数函数的性质及其应用） 1.函数y=af(x)(a>0,且a≠1)的定义域、值域:(1)定义域的求法.函数y=a f(x)的定义域与y=f(x)的定义域相同.(2)函数y=af(x)的值域的求法如下.①换元,令t=f(x); ②求t=f(x)的定义域x ∈D; ③求t=f(x)的值域t ∈M;④利用y=a t的单调性求y=a t(t ∈M)的值域. 2.比较幂的大小的常用方法:跟踪训练二1、比较下面两个数的大小: (a-1)1.3与(a-1)2.4(a>1,且a≠2). 2、比较下列各题中两个值的大小: ①2.53,2.55.7; ②1.5-7,(827)4;③2.3-0.28,0.67-3.1.【答案】1.当a>2时,(a-1)1.3<(a-1)2.4;当1<a<2时,(a-1)1.3>(a-1)2.4. 2.①2.53<2.55.7..②1.5-7>(827)4.③2.3-0.28<0.67-3.1.【解析】1、因为a>1,且a≠2,所以a-1>0,且a-1≠1, 若a-1>1,即a>2,则y=(a-1)x是增函数,∴(a-1)1.3<(a-1)2.4.若0<a-1<1,即1<a<2,则y=(a-1)x 是减函数,∴(a-1)1.3>(a-1)2.4. 故当a>2时,(a-1)1.3<(a-1)2.4; 当1<a<2时,(a-1)1.3>(a-1)2.4.2.①(单调性法)由于2.53与2.55.7的底数是2.5,故构造函数y=2.5x,而函数y=2.5x在R 上是增函数.又3<5.7,∴2.53<2.55.7. ②(化同底)1.5-7=(32)-7=(23)7,(827)4=[(23)3]4=(23)12,构造函数y=(23)x.∵0<23<1,∴y=(23)x 在R 上是减函数.又7<12,∴(23)7>(23)12,即1.5-7>(827)4. ③(中间量法)由指数函数的性质,知2.3-0.28<2.30=1,0.67-3.1>0.670=1,则2.3-0.28<0.67-3.1.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本118页习题4.2 【教学反思】本节通过运用指数函数的图像及应用解决相关问题，侧重用实操，培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养.《4.2.2 指数函数的图像和性质》导学案【学习目标】知识目标1、掌握指数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力；2、通过观察图象，分析、归纳、总结指数函数的性质；3、在指数函数的学习过程中,体验数学的科学价值并养成勇于探索的良好习惯.核心素养1.数学抽象：指数函数的图像与性质；2.逻辑推理：图像平移问题；3.数学运算：求函数的定义域与值域；4.数据分析：利用指数函数的性质比较两个函数值的大小：5.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的数形结合思想总结指数函数性质.【重点与难点】重点：指数函数的图象和性质；难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质．【学习过程】一、预习导入阅读课本111-113页，填写。

指数函数的图像与性质教案

指数函数的图像与性质教案一、教学目标1. 理解指数函数的定义和基本性质。

2. 能够绘制和分析指数函数的图像。

3. 掌握指数函数在实际问题中的应用。

二、教学内容1. 指数函数的定义与表达式指数函数是一种特殊类型的函数，形式为f(x) = a^x，其中a 是底数，x 是指数。

指数函数的定义域是所有实数，值域是正实数。

2. 指数函数的图像特点(1) 当a > 1 时，指数函数的图像上升。

(2) 当0 < a < 1 时，指数函数的图像下降。

(3) 指数函数的图像经过点(0, 1)。

3. 指数函数的性质(1) 单调性：当a > 1 时，指数函数单调递增；当0 < a < 1 时，指数函数单调递减。

(2) 指数函数的值域为正实数。

(3) 指数函数的图像具有无限多条切线，且切线斜率恒为a。

三、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、分析和解决实际问题，深入理解指数函数的图像与性质。

2. 利用数学软件或图形计算器绘制指数函数的图像，帮助学生直观地感受指数函数的特点。

3. 设计具有挑战性的练习题，激发学生的思考和探索能力，巩固所学知识。

四、教学评估1. 通过课堂讲解、练习题和小组讨论，评估学生对指数函数定义、图像和性质的理解程度。

2. 布置课后作业，要求学生绘制指数函数的图像，并运用指数函数解决实际问题，以评估学生的应用能力。

3. 在课程结束后，进行一次小测验，检验学生对指数函数的整体掌握情况。

五、教学资源1. 教学PPT或教案文档，包含指数函数的定义、图像和性质的相关知识点。

2. 数学软件或图形计算器，用于绘制指数函数的图像。

3. 练习题和案例分析题，供学生巩固所学知识和应用实践。

六、教学步骤1. 引入指数函数的概念，引导学生思考指数函数在实际生活中的应用场景。

2. 讲解指数函数的定义与表达式，引导学生理解指数函数的基本形式。

3. 利用数学软件或图形计算器，绘制不同底数的指数函数图像，引导学生观察和分析指数函数的图像特点。

指数函数的图像和性质教案设计

指数函数的图像和性质教案设计第一章：指数函数的定义与性质1.1 指数函数的定义引导学生回顾函数的概念，引入指数函数的定义。

通过实际例子，让学生理解指数函数的形式和特点。

1.2 指数函数的性质分析指数函数的单调性，奇偶性，周期性等基本性质。

通过图表和实际例子，让学生直观地理解指数函数的性质。

第二章：指数函数的图像2.1 指数函数图像的特点引导学生绘制简单的指数函数图像，观察其特点。

分析指数函数图像的渐近线和拐点等特殊点。

2.2 指数函数图像的应用通过实际例子，让学生了解指数函数图像在实际问题中的应用，如人口增长、放射性衰变等。

第三章：指数函数的导数3.1 指数函数的导数公式引导学生回顾导数的基本概念，引入指数函数的导数公式。

通过例题和练习，让学生掌握指数函数的导数计算方法。

3.2 指数函数的单调性分析指数函数的单调性，引导学生理解导数与单调性的关系。

通过实际例子，让学生了解如何利用导数判断指数函数的单调性。

第四章：指数函数的极限4.1 指数函数的极限定义引导学生回顾极限的概念，引入指数函数的极限定义。

通过实际例子，让学生理解指数函数在趋近于无穷大或无穷小时的极限值。

4.2 指数函数的极限性质分析指数函数的极限性质，如单调性和连续性。

通过练习题，让学生掌握指数函数极限的计算方法。

第五章：指数函数的应用5.1 指数函数在实际问题中的应用通过实际例子，让学生了解指数函数在实际问题中的应用，如人口增长、放射性衰变等。

引导学生运用指数函数解决实际问题，培养学生的应用能力。

5.2 指数函数在其他学科中的应用引导学生了解指数函数在其他学科中的应用，如物理学中的放射性衰变、生物学中的种群增长等。

培养学生的跨学科思维和综合运用能力。

第六章：指数函数与对数函数的关系6.1 对数函数的定义引导学生回顾对数函数的概念，引入对数函数的定义。

通过实际例子，让学生理解对数函数的形式和特点。

6.2 指数函数与对数函数的关系分析指数函数与对数函数的互为反函数关系。

高中数学《指数函数的图像与性质的应用》导学案北师大版必修1(1)

第4课时指数函数的图像与性质的应用1.理解和掌握指数函数的图像与性质.2.掌握不同的指数函数的图像间的关系与图像变换.3.能根据指数函数的图像研究它的定义域、值域、特殊点、单调性、奇偶性、最值.4.会求指数型复合函数的定义域、值域、单调性.在上一节课我们已经归纳了指数函数的概念及其图像和性质,并会利用指数函数的单调性比较幂的大小.这一节课我们将进一步探究指数函数的图像变换,以及指数型复合函数的单调性、值域的求法.问题1:函数y=2x与y=()x的图像有什么关系?函数y=2x与y=()x的图像关于对称,实质是y=2x上的点与y=()x上的点关于y轴对称.问题2:基本函数图像变换有以下几种形式:y=f(x)y=f(x+a)(a≠0)y=f(x)y=f(x)+b(b≠0)y=f(x)y=f(-x)y=f(x)y=-f(x)y=f(x)y=f(|x|)y=f(x)y=|f(x)|问题3:什么是复合函数?复合函数的单调性怎么判断?设y=f(u),u=φ(x),且函数φ(x)的值域包含在f(u)的定义域内,那么y通过u的联系也是自变量x的函数,我们称y为x的,记为y=f[φ(x)],其中u称为中间变量.复合函数y=f[φ(x)]的单调性与构成它的函数u=φ(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律如下:即有结论:“”.问题4:指数型复合函数y=f(a x)或y=a f(x)的定义域和值域如何求?(1)指数型复合函数y=f(a x)的定义域是;它的值域应先求a x的取值范围,再求y=f(a x)的值域.(2)指数型复合函数y=a f(x)的定义域就是的定义域,这样,就把求这种类型的函数的定义域问题转化为求指数有意义的x的集合;它的值域不但要考虑f(x)的值域,还要明确a>1还是0<a<1,利用指数函数的求值域.1.若指数函数f(x)=(a-1)x是R上的减函数,则a的取值范围是().A.a>2B.a<2C.0<a<1D.1<a<22.函数y=(的值域是().A.(-∞,0)B.(0,1]C.[1,+∞)D.(-∞,1]3.满足()x>1的x的取值范围是.4.若函数f(x)=的最大值为m,且f(x)是偶函数,求m+u的值.指数型函数图像的变换利用函数y=2x的图像作出下列函数的图像.①y=2x-1;②y=2x-1.指数型复合函数的定义域、值域已知函数y=(,求函数的定义域、值域.指数函数性质的综合应用定义运算a⊕b=若函数y=2x⊕2-x.求:(1)f(x)的解析式;(2)画出f(x)的图像,并指出单调区间、值域以及奇偶性.作出下列各函数图像.①y=2|x|;②y=-2x;③y=|2x-1|.求函数y=(的单调递减区间.若函数f(x)=a x-1(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[0,2],求实数a的值.1.下列结论正确的是().A.对于x∈R,恒有3x>2xB.y=()-x是增函数C.对a>1,x∈R,一定有a x>a-xD.y=2|x|是偶函数2.预测人口的变化趋势有多种方法,最常用的是“直接推算法”,使用的公式是P n=P0(1+k)n(k为常数,k>-1),其中P n为预测期内n年后的人口数,P0为初期人口数,k为预测期内的年增长率,如果-1<k<0,那么在这期间人口数().A.呈上升趋势B.呈下降趋势C.先上升后下降D.先下降后上升3.已知(a2+a+2)x>(a2+a+2)1-x,则x的取值范围是.4.已知函数f(x)=a x-1(x≥0)的图像经过点(2,),其中a>0且a≠1.(1)求a的值;(2)求函数y=f(x)的值域.(2011年·福建卷)已知函数f(x)=若f(a)+f(1)=0,则实数a的值等于().A.-3B.-1C.1D.3考题变式(我来改编):答案第4课时指数函数的图像与性质的应用知识体系梳理问题1:y轴(x,y)(-x,y)问题3:复合函数同增异减问题4:(1)R(2)f(x)(3)单调性基础学习交流1.D由题意知,0<a-1<1,解得1<a<2.2.B由≥0且y=()x是减函数,知0<y=(≤()0=1.3.(-∞,0)可结合指数函数的图像,也可利用指数函数y=()x的单调性解决.画出指数函数y=()x的图像,可以看出,当x<0时,函数值()x>1.或利用其单调性求解,由于()x>1=()0,而y=()x在R上是减函数,所以x<0.4.解:∵f(-x)=f(x),∴=,∴(x+u)2=(x-u)2,u=0,故f(x)=.∵x2≥0,-x2≤0,∴0<≤1,∴m=1,故m+u=1+0=1.重点难点探究探究一:【解析】①y=2x-1的图像可由y=2x的图像向右平移一个单位得到.如图.②y=2x-1的图像可由y=2x的图像向下平移一个单位得到.如图.【小结】(1)函数y=f(x+b)的图像是由函数y=f(x)的图像向右(b<0)或向左(b>0)平移|b|个单位得到的;(2)函数y=f(-x)的图像与函数y=f(x)的图像关于y轴对称;(3)函数y=-f(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于x轴对称;(4)函数y=f(|x|)的图像是保留函数f(x)在y轴右边的图像不动,并作其关于y轴对称的图像.函数y=|f(x)|的图像是保留函数y=f(x)在x轴上方的图像不动,并把x轴下方的图像翻折到x轴上方,即关于x对称.探究二:【解析】设u=-x2+2x,∵y=()u,u=-x2+2x的定义域都是R,∴y=(的定义域为R.∵u=-x2+2x=-(x-1)2+1≤1,∴()u≥()1,∴函数的值域为[,+∞).【小结】对于形如y=a f(x)(a>0且a≠1)一类的函数,y=a f(x)的定义域与f(x)的定义域相同.求值域时,先确定函数f(x)的值域,再根据指数函数的单调性,求函数y=a f(x)的值域.探究三:【解析】(1)由a⊕b=知y=2x⊕2-x=(2)y=f(x)的图像如图所示,在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,值域为(0,1],为偶函数.【小结】研究函数时,函数图像的作用要充分重视,它可以十分直观地体现函数的性质.思维拓展应用应用一:①函数y=2|x|(x≥0)的图像就是y=2x(x≥0)的图像,因为y=2|x|是偶函数,所以x≤0时的图像可由y=2x(x≥0)的图像关于y轴对称得到.于是可得到y=2|x|的完整图像.如图①.②函数y=-2x的图像可由y=2x的图像关于x轴对称得到.如图②.③函数y=|2x-1|的图像可在y=2x-1的图像基础上,保留x轴上方的部分,把x轴下方的部分关于x轴对称翻折上去即可得到.如图③.应用二:设u=x2-2x,则y=()u,对任意的1≤x1<x2,有u1<u2.又∵y=()u是减函数,u1<u2,∴y1>y2,∴y=(的单调递减区间为[1,+∞).应用三:当a>1时,f(x)在[0,2]上递增,∴即∴a=±.又a>1,∴a=.当0<a<1时,f(x)在[0,2]上递减,∴即此时,无解.综上所述,实数a的值为.基础智能检测1.D当x<0时,2x>3x,A项不正确;y=()x=()x在R上单调递减,B项不正确;当x=0时,就有a x=1,a-x=1,C项不正确;D符合偶函数的定义.2.B由于-1<k<0,所以0<1+k<1,从而函数P n=P0(1+k)n为减函数,从而呈下降趋势.3.{x|x>}因为a2+a+2=(a+)2+>1,所以y=(a2+a+2)x在R上为增函数,所以x>1-x,则x>,即x的取值范围是{x|x>}.4.解:(1)因为函数图像过点(2,),所以a2-1=,则a=.(2)由(1)知f(x)=()x-1(x≥0).由x≥0得x-1≥-1.于是0<()x-1≤()-1=2,所以函数的值域为(0,2].全新视角拓展A∵f(x)=∴f(1)=2.若f(a)+f(1)=0,则f(a)=-2.∵2a>0,∴a+1=-2,解得a=-3,故选A.思维导图构建同增异减。

指数函数的图像和性质导学案

学习内容： 2.1.2指数函数的图像和性质导学案学科：数学编写：高一数学组马玲班级姓名【课程学习目标】（一）【知识技能目标】1. 了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；2. 理解指数函数的概念和意义；3. 能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质；4. 能简单应用概念、图像和性质解题。

（二）【过程与方法】学习过程：引→探→导→学→议→练→延。

自主探究指数函数的概念、意义、图像和性质，培养学生观察分析、探索归纳能力，并在此鼓励学生积极思考，大胆猜想，培养学生自主学习能力和创新意识。

学习方法：阅读自学导引，小组合作探究，小组交流展示，群体质疑，小组归纳提练，拓展延伸。

（三）【情感与态度价值观】通过各学习小组对本节内容的自主探索，合作研讨，培养学生的积极探索新知的激情，培养学生倾听，学会学习，学会合作，学会交流，展示，归纳总结的能力，提高学生学习数学的兴趣。

【教学重点及难点】【教学重点】指数函数的概念、图像和性质【教学难点】指数函数图像、性质的熟念掌握及简单应用教学过程：第一学习时间新知预习----- 不看不讲（自主学习）【学习情境构建】（创设情境，引入课题：）实例：A．细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么？B：一把长为1的尺子，第1次截去它的一半,第2次截去剩余部分的一半，第3次截去第2次剩余部分的一半，······，依次截下去,问截的次数x与剩下的尺子长度y之间的关系？观察归纳两个函数式的共性：再由具体到一般的思想可做怎样的延伸拓展？抽象出怎样的函数？图像怎样？性质怎样？带着问题请大家阅读教材P54-58并完成以下问题。

【读记材料交流】（读、看、填、练交互进行）（概念形成）●探究点（一）指数函数的定义（1）一般地，函数叫做指数函数（exponential function），其中x是自变量，函数的定义域为，值域为。

(完整版)《指数函数图像及其性质》导学案.docx

《指数函数的图像与性质》导学案一、学习目标1．理解并掌握指数函数的图像与性质.2．会利用指数函数的图像与性质比较大小，解指数不等式。

二、教学重难点教学重点：指数函数的图像与性质教学难点：用数形结合的方法，从具体到一般的探索、概括指数函数的性质.三、教学过程：（一）创设情境1.复习：（ 1）一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为.（ 2）指数函数解析式的特征：。

2.导入：一般来说，函数的图像与性质紧密联系，图像可反映函数的性质 , 所以我们今天学习指数函数的图像与性质。

（二）自主探究（学生通过自主学习完成下列任务）1x1. 用列表、描点、连线的作图步骤，画出指数函数y 2 x、y的图像2x-2 -1 0 12y2xyx121x2．通过图象，分析y 2x、 y的性质（定义域、值域、单调性、特殊点）2函数y 2x x1y2定义域值域单调性特殊点y 的分布情况当 x0 时，当 x0 时，当 x0 时，当 x0 时，1x3．比一比：y 2x与 y的图象有哪些相同点，哪些不同点？21x4．画一画：在平面直角坐标系中画出函数y3x、y的图像，试分析性质。

3x5．议一议：通过以上四个函数的图像和性质，归纳指数函数y a（ a 0,且 a 1）的图象和性质如下：a ＞10＜a＜1图y像----定义域值域性定点过定点，即 x =时， y =质单调性在 R上是函数在 R 上是函数函数值当 x ＞0时，当 x ＞0时，的变化当 x ＜0时，当 x ＜0时，奇偶性（三）典例精讲类型一两个数比较大小例 1. 比较下列各题中两个数的大小：（ 1）0.8 和0.7；（ 2）0.75-0.1和0.750.1；（ 3）0.80.7与0.70.8.33类型二解指数不等式例 2.（1）求使不等式4 x32 成立的 x 的集合；4a 2 , 求数 a 的取值范围 .（ 2）已知 a 5（四）当堂检测1. 课本第 73 页练习 1 1.2. 解下列不等式：(1)3x 11;(2)4 x2x 13 0.81（五）课堂小结（ 1）通过本节课的学习，你学到了哪些知识？（ 2）你学会了哪些数学思想方法？（六）布置作业必做题：课本 77 页， A 组.4,5,6选做题：课本 77 页， B 组 1，6.四、教学反思达标训练1.y (1) x 2+2的定义域是_____________，值域是______________，在定义域2上，该函数单调递 _________.2.若函数 y a x 1 3 的图象恒过定点.3.指数函数 y f (x) 的图象经过点（2,4 ），求f ( x)的解析式和 f (3) 的值.4.比较下列各组值的大小；（ 1）0.32,20.3222；（2）4.15,3.8 5,1.9 5.5.函数 y a x在[ 0,1]上的最大值与最小值的和为，求a值.3a x16.已知函数 f ( x) a x11),（1）判断函数 f ( x) 的奇偶性；（2）证明：函数 f ( x) 在上是增函数。

指数函数的图像和性质导学案

指数函数的概念导学案

《指数函数的图像与性质》 导学案

指数函数的图像与性质导学案.docx

指数函数图像与性质教学设计精选10篇

指数函数图像与性质的学案

新教材人教B版必修第二册 指数函数的性质与图像 学案

《指数函数的图像和性质》教学设计、导学案、同步练习

指数函数的图像与性质 导学案

新人教版高中数学《指数函数的图像与性质》导学案

《指数函数的图像和性质》第2课时导学案

《指数函数的图像和性质》教案、导学案与同步练习

指数函数的图像与性质教案

指数函数的图像和性质教案设计

高中数学《指数函数的图像与性质的应用》导学案 北师大版必修1(1)

指数函数的图像和性质导学案

(完整版)《指数函数图像及其性质》导学案.docx

《指数函数的图像与性质》导学案

新教材人教B版必修第二册指数函数的性质与图像学案

指数函数的图像与性质导学案

高中数学《指数函数的图像与性质的应用》导学案北师大版必修1(1)