第3章 静电场及其边值问题的解法
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第3章 边值问题及静电场的求解
r r
Q Q
const.
若镜像位置满足
OQ ~ P OPQ
r r
R0 a
const .
由三角形相似，
b R0 R0 a
2 R0 b a Q R0 Q a
导体球外部空间的电势为
Q R 0Q 4 0 r ar 1 4 0 1 Q R a 2 Ra cos
sin d
(sin
sin
0
该方程的解有两种情况
■
1 d
2
d
2
m
2
的解
0,
当电位与方位角无关时，
2 即： m 0
( ) A
■
1 d R dr
(r
2
2
dR dr
) n ( n 1) 的解
1
(1) n 0 时， R ( r ) A0 B 0 r
n
|S f 2 ( S )
称为第二类边界条件或“诺伊曼”条件。 这类问题称为第 二类边值问题。 （3）已知场域边界面S上各点电位和电位法向导数的线性 组合值， 即给定
( N ) |S f 3 ( S )
称为第三类边界条件或“混合边界条件”。 这类问题称为 第三类边值问题。
P
Q Q 4 0 r r 1
考察空间：导体球外部空间。 镜像电荷：用位于对称轴上的等效代
替导体球面上的感应电荷。
球面上任意点P 的电势
Q Q ( P) 0 4 0 r r 1
r r
Q Q
镜像电荷不应随P 变化，
第3章---- 静电场及其边值问题的解法--4
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
结论：
由两个半无限大接地导体平面形成角形边界，当其夹角 , n
π n
为整数时，该角域中的点电荷将有(2n-1)个镜像电荷，该角 域中的场可以用镜像法求解;
当n=3时：
/3
q
/3
q
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
q
q
当n=3时：
r
2π
r
S
衔接条件
----不同媒质分界面上的边界条件，如
1 2 1 2 , 1 2 n n
1 2
1
2
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
例：
b
y
U0
2 2 2 0 2 x y (0, y) 0, (a, y) 0
1
d1
q d2 2 q1 d2
d1 R1
d1 R
q
d2
d2
q3
R3
d1
R2
d1
d2
q2
电位函数 q 1 1 1 1 ( ) 4π R R1 R2 R3
镜像电荷q1=－q，位于(－d1, d2 ) 镜像电荷q3 = q , 位于(－d1, －d2 )
镜像电荷q2=－q，位于( d1, －d2 )
（第三类边值问题）
§3.5 电磁场
静电场边值问题，唯一性定理
第3章 静电场及其边值问题的解法
3. 边值型问题的解法
解析法
镜像法
分离变量法
复变函数法 格林函数法 计算法
…
有限差分法 有限元法 数值法 边界元法 矩量法
第3章---- 静电场及其边值问题的解法 (1)
积分形式:
∫ D ⋅ dS = q ∫ E ⋅ dl = 0
S l
微分形式：
∇⋅D = ρ ∇× E = 0
D = εE
静电场:无旋有散场
本构关系:
线形、各向同性媒质
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
二、静电场的无旋性与电位
一 、静电场的无旋性
试验电荷q0位移dl时，电场力作功：
dA= F ⋅ dl = q0E ⋅ dl
从A点移到B点：
A = ∫ q0 E ⋅ dl
A
B
定义： A、B点间电压：
U AB
A = = ∫ E ⋅ dl q A
B
(2 - 19)
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
∫ E ⋅ dl = ∫ E ⋅ dl + ∫ E ⋅ dl = ∫ E ⋅ dl − ∫ E ⋅ dl = 0
_____ _____
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
均匀电场中带电粒子的 轨迹
阴极射线示波器原理
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
磁分离器 回旋加速器
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
磁悬浮列车
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
磁录音原理：
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
§3.1 静电场基本方程与电位方程 一、静电场的麦克斯韦方程组
∞
r
ρ 0a ρ 0a dr = 2 3ε 0 r 3ε 0 r
3
3
当r<a时，
ϕ = ∫ Er dr = ∫ Er dr + ∫
r r
∞
a
第三章 静电场边值关系
电位所满足的拉普拉斯方程在圆柱坐标系
中的展开式只剩下包含变量r 的一项，即电 位微分方程为
2 1 d d r 0 r dr dr
求得
C1 ln r C 2
利用边界条件：
V r a
C1 ln a C 2 V C1 ln b C 2 0
q q 4 π r 4 π r
可见，为了保证球面上任一点电位为零，必须选择镜像电荷为
r q q r
上任一点均具有同一数值。由上图可见，若要求三角形 △OPq
r 为了使镜像电荷具有一个确定的值，必须要求比值 对于球面 r
r a 与 △ OqP 相似，则 常数。由此获知镜像电荷应为 r f
代入上述边界条ห้องสมุดไป่ตู้，求得镜像电荷如下：
q
1 2 q 1 2
q
2 2 q 1 2
例 已知同轴线的内导体半径为a，电位为V，外导体接地，其
内半径为b。试求内外导体之间的电位分布函数以及电场强度。
解
V a b
O
对于这种边值问题，镜像法不适
用，只好求解电位方程。为此，选用圆柱 坐标系。由于场量仅与坐标 r 有关，因此，
以格林函数表示的积分解。
数学物理方程是描述物理量随空间和时间的变化规律。对于某 一特定的区域和时刻，方程的解取决于物理量的初始值与边界值， 这些初始值和边界值分别称为初始条件和边界条件，两者又统称为 该方程的定解条件。静电场的场量与时间无关，因此电位所满足的 泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边界 条件求解空间任一点的电位就是静电场的边值问题。
q q
电场线与等位面的分布特性与第二章所述的电偶极子的上半
电磁场及电磁波_第三章
从而电场为:
3.1.3 导体系统的电容
电容是导体系统的一种基本属性, 它是描 述导体系统储存电荷能力的物理量。 定义两导体系统的电容为任一导体上的总 电荷与两导体之间的电位差之比, 即
电容单位是F(法拉), 此比值为常数
1. 双导体的电容计算
在电子与电气工程中常用的传输线，例如 平行板线、平行双线、同轴线都属于双导 体系统。通常，这类传输线的纵向尺寸远 大于横向尺寸。因而可作为平行平面电场 （二维场来研究），只需要计算传输线单 位长度的电容。 其计算步骤如下:
√ 所有电位系数
, 且具有对称性, 即
（2）电容系数
对电位系数的矩阵方程求逆，可得:
或表示为:
式中, 称为电容系数或感应系数。下
标相同的系数
称为自电容系数或自
感应系数，下标不同的系数
称
为互电容系数或互感应系数。
电容系数具有以下特点:
√ 在数值上等于第j个导体的电位为一个 单位而其余导体接地时, 第i个导体上的电 量, 即
可见, 点P、Q之间电位差的物理意义是把 一个单位正电荷从点P沿任意路径移动到点 Q的过程中, 电场力所做的功, 根据静电场 的无旋性, 这个功是路径无关的。因而电 位差是唯一的。。
为了使电场中每一点电位具有确定的值， 必须选定场中某一固定点作为电位参考点， 即规定该固定点的电位为零。 例如，若选定Q点为零，则
电场强度为: • 内外导体间的电压为:
可得同轴线单位长度的绝缘电阻为:
方法之二:
已经知道同轴线单位长度的电容为: 因此，同轴线单位长度的漏电导为:
例二: 计算半球形接地器的接地电阻 解: 通常要求电子、电气设备与大地有良 好的连接，将金属物体埋入地内，并将需 接地的设备与该物体连接就构成接地器。
第三章作业答案
μ0
μ0
ˆx 10 + e ˆy 20 + e ˆz 20 V / m ，试问该电场能否表示匀强电场？为什么？电场 7、已知电场 A = e ˆx 20 − e ˆy 5 − e ˆz 5 V / m ， 大小是多小？方向余弦？如果有另一电场 B = e 试问这两个矢量是否
垂直？为什么？
G
G
ˆx 10 + e ˆy 20 + e ˆz 20 是匀强电场，电场的大小是 答：矢量 A = e G 1 2 2 E = 102 + 202 + 202 = 30 V / m ，方向余弦为 cos α = ， cos β = ， cos γ = ； 3 3 3 G G 两矢量垂直，因为 A ⋅ B = 0 。
μ0
2
c b
(
I 2 c2 − ρ 2 2 μ I2 ) ( 2 2 ) 2 πρ dρ = 0 2 πρ c − b 4π
单位长度内总的磁场能量为
Wm = Wm1 +Wm2 + Wm3
b μ0 I 2 ln + = + 16 Βιβλιοθήκη 4π a 4πμ0 I 2
μ0 I 2
15、 一个点电荷 q 与无限大接地导体平面距离为 d， 如果把它移至无穷远处， 需要做多少功？ 解：由镜像法，感应电荷可以用像电荷-q 替代。当电荷 q 移至 x 时，像电荷 q 应位于－x， 则像电荷产生的电场强度
G ˆx 2 + e ˆz 4 ，求电介质中的电场？ E =e
解：由在介质表面处 z = 0 ， E1t = E2t 即 E1x = E2x = 2 ， z = 0 时， D1n = D2 n 即 D1z = D2 z
静电场的边值问题
电磁场与电磁波
静电场的边值问题
第三章 静电场旳边值问题
1. 电位微分方程 2. 镜像法 3. 直角坐标系中旳分离变量法 4. 圆柱坐标系中旳分离变量法 5. 球坐标系中旳分离变量法
1
电磁场与电磁波
静电场的边值问题
3.1 电位微分方程
已知电位 与电场强度 E 旳关系为
E 对上式两边取散度，得
E 2
r0作为参照点，则 及l 在l 圆柱面上P点共同产生
旳电位为
P
l 2π
ln r0 l r 2π
ln r0 r
l 2π
ln r r
已知导体圆柱是一种等位体，必须要求比值
r 常数 r
与前同理，可令 r a d
r fa
d a2 f
21
电磁场与电磁波
静电场的边值问题
（4）点电荷与无限大旳介质平面
或者
X (x) C sinh x D cosh x
含变量 x 或 y 旳常微分方程旳解完全相同。
♣这些解旳线性组合依然是方程旳解。一般为了
满足给定旳边界条件，必须取其线性组合作为方
程旳解。
解旳形式旳选择决取于给定旳边界条件。
解中待定常数也取决于给定旳边界条件。
30
电磁场与电磁波
静电场的边值问题
8
电磁场与电磁波
静电场的边值问题
3.2 镜像法
实质: 以一种或几种等效电荷替代边界旳影响， 将原来具有边界旳非均匀空间变成无限大旳均匀自 由空间，从而使计算过程大为简化。
这些等效电荷一般处于原电荷旳镜像位置，所以 称为镜像电荷，而这种措施称为镜像法。
9
电磁场与电磁波
静电场的边值问题
根据：惟一性定理。等效电荷旳引入不能变化原 来旳边界条件。
静电场的边值问题
第三章 静电场旳边值问题
1. 电位微分方程 2. 镜像法 3. 直角坐标系中旳分离变量法 4. 圆柱坐标系中旳分离变量法 5. 球坐标系中旳分离变量法
1
电磁场与电磁波
静电场的边值问题
3.1 电位微分方程
已知电位 与电场强度 E 旳关系为
E 对上式两边取散度，得
E 2
r0作为参照点，则 及l 在l 圆柱面上P点共同产生
旳电位为
P
l 2π
ln r0 l r 2π
ln r0 r
l 2π
ln r r
已知导体圆柱是一种等位体，必须要求比值
r 常数 r
与前同理，可令 r a d
r fa
d a2 f
21
电磁场与电磁波
静电场的边值问题
（4）点电荷与无限大旳介质平面
或者
X (x) C sinh x D cosh x
含变量 x 或 y 旳常微分方程旳解完全相同。
♣这些解旳线性组合依然是方程旳解。一般为了
满足给定旳边界条件，必须取其线性组合作为方
程旳解。
解旳形式旳选择决取于给定旳边界条件。
解中待定常数也取决于给定旳边界条件。
30
电磁场与电磁波
静电场的边值问题
8
电磁场与电磁波
静电场的边值问题
3.2 镜像法
实质: 以一种或几种等效电荷替代边界旳影响， 将原来具有边界旳非均匀空间变成无限大旳均匀自 由空间，从而使计算过程大为简化。
这些等效电荷一般处于原电荷旳镜像位置，所以 称为镜像电荷，而这种措施称为镜像法。
9
电磁场与电磁波
静电场的边值问题
根据：惟一性定理。等效电荷旳引入不能变化原 来旳边界条件。
第三章静电场及其边值问题的解
r e ez z ，故
在圆柱面坐标系中，取 E 0与x轴方向一致，即 E 0 e E ，而 x 0
r r r r ( P) E0 gr ex gE0 (e ez z ) E0 cos
电磁场基础
第3章 静电场及其边值问题的解法
由此解得
C1
利用边界条件，有
x 0 处， 1 (0) 0 2 (a) 0 x a处， x b 处，1 (b) 2 (b),
S 0 2 ( x) 1 ( x) x 0 x x b
所以 D 0 1 C2 a D2 0 C1b D1 C2b D2 C2 C1 S 0 0
故单位长度的电容为
l
U
0
ln ( D a)
F/m
电磁场基础
第3章 静电场及其边值问题的解法
19
例3.1.6 同轴线内导体半径为a，外导体半径为为b，内外导体
间填充的介电常数为 的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。 解 设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为 ll， ll 和 应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为
2. 导体内部不存在任何净电荷，电荷都以面电荷形式分布于
导体表面 3.导体为一等位体，其表面为等位面 4.导体表面切向电场为0，而只有法向电场分量En
En en E s /
电磁场基础
第3章 静电场及其边值问题的解法
14
任何两个导体都可看作一点容器 电容器广泛应用于电子设备的电路中： • • • 在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁 路、选频等作用； 通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂 电路； 在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以
在圆柱面坐标系中，取 E 0与x轴方向一致，即 E 0 e E ，而 x 0
r r r r ( P) E0 gr ex gE0 (e ez z ) E0 cos
电磁场基础
第3章 静电场及其边值问题的解法
由此解得
C1
利用边界条件，有
x 0 处， 1 (0) 0 2 (a) 0 x a处， x b 处，1 (b) 2 (b),
S 0 2 ( x) 1 ( x) x 0 x x b
所以 D 0 1 C2 a D2 0 C1b D1 C2b D2 C2 C1 S 0 0
故单位长度的电容为
l
U
0
ln ( D a)
F/m
电磁场基础
第3章 静电场及其边值问题的解法
19
例3.1.6 同轴线内导体半径为a，外导体半径为为b，内外导体
间填充的介电常数为 的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。 解 设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为 ll， ll 和 应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为
2. 导体内部不存在任何净电荷，电荷都以面电荷形式分布于
导体表面 3.导体为一等位体，其表面为等位面 4.导体表面切向电场为0，而只有法向电场分量En
En en E s /
电磁场基础
第3章 静电场及其边值问题的解法
14
任何两个导体都可看作一点容器 电容器广泛应用于电子设备的电路中： • • • 在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁 路、选频等作用； 通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂 电路； 在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以
第三章 静电场的边值问题
oP adq′r′OP adq′r′为常数。
对于不接地的导体球，若引入镜像电荷 q' 后，为了满足电荷守 恒原理，必须再引入一个镜像电荷q"，且必须令q ′′ = − q ′P a O d q′ r′ r q f而且，为了保证球面边界是 一个等位面，镜像电荷 q′′ 必须位 于球心。
事实上，由于导体球不接地，因此，其电位不等于零。
由q 及 q‘在球面边界上形成的电位为零，因此必须引入第二个镜像电荷 q“ 以提供一定的电位。
（思考：等位线的形状是否和以前一样？）（3）线电荷与带电的导体圆柱。
P a O d f -ρl已知线电荷为rr′ρl，导体圆柱单位ρl长度的电荷量为-ρl 。
在圆柱轴线与线电荷之间，离轴线的距离d 处，平行放置一根 镜像线电荷 − ρ l 。
求d 的大小。
已知无限长线电荷产生的电场强度为E=ρl er 2πε r因此，离线电荷 r 处，以 r0 为参考点的电位为ϕ=∫r0rEdr =ρl ⎛ r0 ⎞ ln⎜ ⎟ 2πε ⎝ r ⎠若令镜像线电荷 − ρ l 产生的电位也取相同的 r0 作为参考点， 则 ρ l 及 − ρ l 在圆柱面上 P 点共同产生的电位为P a O d f -ρlr′rρlϕP =ρl ⎛ r0 ⎞ ρl ⎛ r0 ⎞ ln⎜ ⎟ − ln⎜ ⎟ 2πε ⎝ r ⎠ 2πε ⎝ r ′ ⎠ ρl ⎛ r ′ ⎞ = ln⎜ ⎟ 2πε ⎝ r ⎠已知导体圆柱是一个等位体,即 ϕ p 是一个常数，因此，为了 满足这个边界条件，必须要求比值r′ r为常数。
2a r′ a d 与前同理，可令 = = ，由此得 d = r f a f可以想象与实际导体圆柱对称位置的右侧，也存在一个圆柱等位 面，如上图，则可计算两根平行导线间的电容（P79）。
（4）点电荷与无限大的介质平面。
qq′ Enr0r0′E'E t′ Etq"ε1 ε2et en=ε1 ε1q'θ+ε2 ε2r0′′θ′ E n′E t′′EnEE"为了求解上半空间的场可用镜像电荷 q' 等效边界上束缚电 荷的作用，将整个空间变为介电常数为ε1 的均匀空间。
第三章 边值问题的解法
解：根据轴对称的特点和无限长的假设， 可确定电位函数满足一维拉普拉斯方程，
R2
采用圆柱坐标系
R1
1 (r ) 0 积分 Aln r B
r r r
由边界条件 U A ln R1 B 0 Aln R2 B
A U ln R1 R2
B
U ln R1
ln
R2
第3章 边值问题的解 法
给定边界条件下求有界空间 的静电场和电源外恒定电场的问 题，称之为边界值问题。
3.1边值问题的提法(分类)
3.1.1边值问题的分类
1 狄利克雷问题：给定整个场域边界面S上各点电位的（函数）
值
f (s)
2 聂曼问题：给定待求位函数在边界面上的法向导数值
/ n f (s)
q
4π0
(r
2
2dr
1
cos
d
)2 1/ 2
(d
2r2
a
2dra2 cos
a4 )1/ 2
导体球不接地：
q a q d
b a2 d
q q a q d
a
—
a
导体球不接地：根据电荷守恒定律，导体球上感应电荷代
数和应为零，就必须在原有的镜像电荷之外再附加另一镜
球壳内：边界为r = a1的导体球面，
边界条件为 (a1, ,) 0
➢ 根据球面镜像原理，镜像电荷
的位置和大小分别为
a1 q1
q
1
b1
a12 d1
q1
q1
第3章静电场及其边值问题的解法
Rˆ R2
，并利用矢量恒等式
∇ ⋅ φ A = φ∇ ⋅ A + A⋅∇φ
12
§3.2 静电场中的介质
可将电位中的积分分为两项：
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ φ r
∫ ∫ = 1
4πε 0
∇′
v
⋅
⎜⎜⎝⎛
P r′ R
⎟⎟⎠⎞dv′ −
1 4πε 0
∇′⋅ P r′ dv′ vR
导体表面的总感应电荷
∫ ∫ ∫ Qi =
S ρsds =
2π dϕ
0
∞ 0
⎜⎛ ⎝
−
qh
2π
静
场强或位函数
态
场
第一类
问
边界条件
题
边值型问题
给定边界条件，求任意点 位函数或场强
第二类 边界条件
第三类 边界条件
已知场域边界上各点 电位值
ϕ s = f1 (s )
已知场域边界上各点
电位的法向导数
∂ϕ ∂n
s
=
f 2 (s )
一、二类边界条件的
线性组合
ϕ s1
=
f3 (s )
∂ϕ ∂n
s2
=
f 4 (s )
式中负号表示电场强度从高电位指向低电位。 2）已知电荷分布求电位
定义式中 φ不是单值的，任加一常数C都有 ∇(φ +C) = ∇φ ，但任意两点间的
电位差是不变的：
∫ ∫ ∫ ∫ φ A − φB =
A
d
φ
=
B
A
∇
φ
⋅ dl
=
−
A
E ⋅ dl =
B
第3章 静态电磁场及其边值问题的解剖析
2r ρr
ε
(Poisson方程)
（2）
该式即为静电位满足的微分方程— Poisson方程。Poisson 方程和上述方程组等价，故它也唯一确定了静电场。
在无电荷分布区域
2 r 0
(Laplace方程)
求解Poisson方程或Laplace方程时，解电位中的积分常 数需要应用电位的边界条件确定：
第三章 静态电磁场及其 边值问题的解
3.1 静电场分析
1. 基本方程
微
D ρ
分
形
或
积 分
SD dS V ρdV
形
式 E 0
式 l E dl 0
这组方程揭示静电场的基本性质：有散、无旋、保守性
2. 边界条件
eˆn E1 E2 0 或
E1t E2t
eˆn D1 D2 S
1 r2
d dr
r2
d
dr
0
r
c1 r
c2
c
c1、c2待定积分常数。
边界条件：
求解区域的边界是r=a
和r=的两闭合球面
① r a, U
② r , 0
利用条件 1得 c1 aU 利用条件 2得 c2 0
故解 r aU
r
5. 导体系统的电容
电容是导体系统的一种基本属性，它是 描述导体系统储存电荷能力的物理量。任何导体和导体之 间以及导体和大地之间都存在电容。
-E0
r
eˆz
rE0
E0r cosθ
在柱坐标系中，取x轴与电场方向一致，则
P
-E0
r
eˆx E0
eˆρ ρ eˆzz
E0 cos
o
E0
在坐
点
ε
(Poisson方程)
（2）
该式即为静电位满足的微分方程— Poisson方程。Poisson 方程和上述方程组等价，故它也唯一确定了静电场。
在无电荷分布区域
2 r 0
(Laplace方程)
求解Poisson方程或Laplace方程时，解电位中的积分常 数需要应用电位的边界条件确定：
第三章 静态电磁场及其 边值问题的解
3.1 静电场分析
1. 基本方程
微
D ρ
分
形
或
积 分
SD dS V ρdV
形
式 E 0
式 l E dl 0
这组方程揭示静电场的基本性质：有散、无旋、保守性
2. 边界条件
eˆn E1 E2 0 或
E1t E2t
eˆn D1 D2 S
1 r2
d dr
r2
d
dr
0
r
c1 r
c2
c
c1、c2待定积分常数。
边界条件：
求解区域的边界是r=a
和r=的两闭合球面
① r a, U
② r , 0
利用条件 1得 c1 aU 利用条件 2得 c2 0
故解 r aU
r
5. 导体系统的电容
电容是导体系统的一种基本属性，它是 描述导体系统储存电荷能力的物理量。任何导体和导体之 间以及导体和大地之间都存在电容。
-E0
r
eˆz
rE0
E0r cosθ
在柱坐标系中，取x轴与电场方向一致，则
P
-E0
r
eˆx E0
eˆρ ρ eˆzz
E0 cos
o
E0
在坐
点
02-静电场的边值问题及求解PDF
静电场的边值问题
及求解
1.ϕ的微分方程
ϕ
∇=-E E D ε=0=⨯∇E ρ=⋅∇
D ρ
=⋅∇)(E ερϕ-=∇⋅∇)(ερ
ϕϕ-=∇⋅∇+∇⋅∇εερϕ-=∇⋅∇εερ
ϕ-
=∇202=∇ϕ⎯泊松方程⎯拉普拉斯方程
ρ=0的无源空间均匀介质0=∇ε
2.边界条件
(1)第一类边界条件：已知场域边界面上各点的电位值，即给定边界上的电位(2)第二类边界条件：已知场域边界面上各点的电位法向导数值，即给定边界上的电位法向导数
(3)第三类边界条件：一部分边界上给定每一点的电位，一部分边界上给定每一点的电位法向导数
3.唯一性定理
满足下述条件的电位函数的解，是给定场域静电场的唯一解：
(1)在给定场域电位满足泊松方程或拉普拉斯方程；
(2)在不同媒质分界面；
(3)在给定场域边界电位满足给定的边界条件。
4.静电场边值问题的求解
(1)直接法：直接求解电位的微分方程得到解析解，如直接积分法、分离变量法；(2)间接法：依据唯一性定理和物理概念间接求解，如镜象法；
(3)数值法：利用数值分析求近似解，如有限差分法、有限元法。
[工学]静电场及其边值问题的解法
![[工学]静电场及其边值问题的解法](https://img.taocdn.com/s3/m/923e28d2551810a6f524866c.png)
a）高斯定律的微分形式
（真空中） E v 0
（电介质中） E v v 0
代入v P ,得
E
1 0
(v
P)
(0E P) v
定义电位移矢量（ Displacement） D 0E P 则有 D 电介质中高斯定律的微分形式
2 0l
ln R2
R1
3) 球形电容器
Q
E 40r 2
R2
R1
U＝ Q
4 0
R2 R1
dr＝ Q
r2 4 0
1 R1
1 R2
C0
Q U1 U2
4 0
R1 R2 R2 R1
15
§3.4 静电场中的边界条件
3.4.1 E 和 D 的边界条件
q q 0 得 q q 4 R0
于是，
q
4
1 R
1 R
q4 来自1x2 y2 (z h)2
1
x2 y2 (z h)2
R
1
40
＝8.99 109 (m)
103
Re
12
§3.3 静电场中的导体
二、两个导体的电容
Q
ssds
nˆ Eds
s
E ds
s
B
U A E dl l E dl
C Q ＝ sE ds U E dl
求电容的两条途径 l
折射定律
16
习题答案 第3章 静电场及其边值问题的解法
第3章 静电场及其边值问题的解法3.1 / 3.1-1 一个半径为a ，壁厚d 极薄的肥皂泡对无穷远点的电位为U 0。
当它破灭时假定全部泡沫集中形成一个球形水滴。
试求此水滴（drop ）对无穷远处的电位U d 。
若U 0=20V ，a=3cm ，d=10μm ，则U d =? [解] V d a aUd a aU U d 2001010109320103334436423203200=⨯⨯⨯⨯⨯⨯===---πεπε3.2 / 3.1-2空气中有一半径为a 的球形电荷分布，已知球体内的电场强度为2ˆCr r E =（r<a ），C 为常数。
求：a)球体内的电荷分布；b)球体外的电场强度；c)球内外的电位分布；d)验证静电场的电位方程。
[解] a) ()()Cr Crrdrd rE r v 0222041εεερ=⋅=⋅∇= (r<a)b) 24ˆra C r E = (r>a)c) 取 ∞→r 处为电位参考点，得 ()333332424333:raC CaCr Ca dr ra Cdr Cr Edr a r arar-=+-=+==<⎰⎰⎰∞∞φ⎰∞==>rraCE d r a r 4:φd) 022224331:ερφv Cr r C r r r a r -=-=⎪⎭⎫⎝⎛-⋅∂∂=∇< 得证。
()01:24222=⋅∂∂=∇>-rCa rrra r φ 得证。
3.3 / 3.1.3空气中有一半径为a ，体电荷密度为ρv 的无限长圆柱体。
请计算该圆柱体内外的电场强度。
[解] :a <ρ ρερ02ˆv rE =:a >ρ ρερ022ˆarE v =3.4 / 3.1-4 已知空气中半径为a 的圆环上均匀地分布着线电荷，其密度为ρl ，位于z =0平面，试求其轴线上任意点P （0，0，z ）处的电位和电场强度（参看图2.1-7，注意与之不同）。
第3章静电场及其边值问题的解法
2
y 2
2
z2
0
二维问题 0：
z
2 2
x2 y 2 0
设 因此 即
于是有
(x, y, z) X (x)Y ( y)
YZ d 2 X XZ d 2Y 0
dx2
dy 2
s
n
z0
z
z0
2
qh x2 y2 h2
3 2
导体表面的总感应电荷
Qi
S sds
2
d
0
0
qh 2
(
2
d h2
)3
2
qh
q
2 h2 0
ห้องสมุดไป่ตู้
可见， 镜像电荷 q 代q 替了导体表面所有感应电荷对上半空间的作用。
9
§ 3.6 镜像法
二、导体劈间的点电荷
设有两块接地半无限大导体平板相交成角，且 ＝n为n，正整数，交角内置一点电荷
11
§3.7 分离变量法The Method of Separation of Variables
* 分离变量法是一种最经典的微分方程解法。
* 采用正交坐标系可用分离变量法得出拉普拉斯方程或波动方程的通解; * 只有当场域边界与正交坐标面重合(或平行)时，才可确定积分常数，
从而得到边值问题的特解。
x2 y2 (z h)2
可见，引入镜像电荷 q q 后保证了边界条件不变；镜像点电荷位于z<0的空间，未改变所
求空间的电荷分布，因而在z>0的空间，电位仍然满足原有的方程。由惟一性定理知结果正确。
注意：仅对上半空间等效。
8
§ 3.6 镜像法
（2）根据静电场的边界条件，求导体表面的感应电荷密度：
第三章静电场边值问题
导体B = 常数
∫ S D ⋅ dS = −τ ,
电荷分布不均匀
能否用高斯定理求解？ 能否用高斯定理求解？ 根据唯一性定理，寻找等效线电荷 电轴。 根据唯一性定理，寻找等效线电荷——电轴。 电轴
y p ρ1 +τ b o ρ2 b −τ x
2. 两根细导线产生的电场
h
图3.2.10
h
两根细导线的电场计算
q1 = − q q2 = − q q3 = q
d2 y
F = F1 + F 2+ F3
d1
q2
d2 d2
d1 o
q
d2 d2
q2 F1 = − y 4πε 0 (2d 2 ) 2 q2 F2 = − x 4πε 0 (2d1 ) 2 x
∧ ∧ F3 = 2d1 x + 2d 2 y 2 2 3/ 2 4πε 0 (2d1 ) + (2d 2 ) ∧
0≤r≤a a≤r≤∞
电场强度（球坐标梯度公式）：
∂ϕ 1 ρr E 1 ( r ) = −∇ ϕ 1 = − er = er ∂r 3ε 0
0≤r≤a
ρa 2 ∂ϕ 2 E 2 ( r ) = −∇ ϕ 2 = − er = e 2 r ∂r 3ε 0 r
a≤r≤∞
对于一维场（场量仅仅是一个坐标变量的函数），只要对二阶常系数微分 方程积分两次，得到通解；然后利用边界条件求得积分常数，得到电位的解； 再由 E = −∇ϕ 得到电场强度E的分布。
∇ 2ϕ = 0
点外的导体球外空间） ( 除 q 点外的导体球外空间）
ϕ
p r2 +q' +q R
o
r→ ∞ 球面 s
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其中 r 1 e ——相对介电常数；
——介电常数，单位（F/m）
9
§3.2 静电场中的介质 图示平行板电容器中放入一块介质后，其D 线、E 线和P 线的分布。
E'
D线
E线
D、E与 P 三者之间的关系
P线
• D 线由正的自由电荷发出，终止于负的自由电荷；
• E 线的起点与终点既可以在自由电荷上，又可以在极化电荷上； • P 线由负的极化电荷发出，终止于正的极化电荷。
R
1 40
＝8.99 10 (m) 10 Re
9 3
12
§3.3 静电场中的导体
二、两个导体的电容
ˆ E ds E ds Q s ds n
s s s
U E dl E dl
B
求电容的两条途径
Q sE ds C ＝ U E dl
2
R r r
拉普拉斯方程
2 0
6
§3.2 静电场中的介质
3.2.1
介质的极化
无极性分子 电介质的极化过程
有极性分子
电介质在外电场E作用下发生极化，形成有向排列的电偶极矩； 电介质内部和表面产生极化电荷； 极化电荷与自由电荷都是产生电场的源。
7
§3.2 静电场中的介质
用极化强度P表示电介质的极化程度，即
E1t E2t E1 sin1 E2 sin2
tan 1 1 tan 2 2
折射定律
16
§3.4 静电场中的边界条件
2、介质与导体之间的边界条件
当分界面为导体与电介质的交界面时，分界面上的衔接条件为：
D2 n D1n s E1t E2t
2 1 2 1 s n n 在介质分界面上， s 0 所以
2 n
1 2 1 2 n n
18
§3.4 静电场中的边界条件
3.4.2 电位的边界条件 2、介质与导体之间的电位边界条件
const
1 1 s n 介质与导体之间 两种介质之间
定义电位移矢量（ Displacement） 则有
D 0E P
D
电介质中高斯定律的微分形式
D线从正的自由电荷发出而终止于负的自由电荷。 在各向同性介质中
D 0 E P 0 E e 0 E 0 (1 e )E r 0 E E
的积分关系
E dl dl
[
p0
dx dy dz] d x y z
p0 p
d ( p) ( p0 ) E dl
p
设P0为参考点
( p)
参考点
p
E dl
4
§3.1 静电场基本方程与电位方程 ４) 电位参考点的选择原则
一、静电场边值问题 分布型问题 静 态 场 问 题
给定场源分布，求任 意点场强或位函数
直接求解 高斯方法求解 间接求解 第一类 边界条件
s f1 s
已知场域边界上 各点电位值 已知场域边界上各 点电位的法向导数 f 2 s n s 一、二类边界条件 的线性组合，即
21
15
§3.4 静电场中的边界条件
3.4.1
E
和 D 的边界条件
ˆ E1 E2 0 n
ˆ D1 D2 s n
1、两种介质之间的边界条件
在交界面上不存在 s 时，E、D满 足折射定律。 D1n D2 n 1 E1 cos1 2 E2 cos2
第 3章
静电场及其边值问题解法
The Electrostatic Field and Solution Techniques for Boundary –Value Problems
主要内容 静电场基本方程与电位方程 静电场中的介质、导体与电容 静电场边值问题、惟一性定理 镜像法 分离变量法
§3.1
（1） （2）
E dl 0
l
（3） （4）
D v
D ds Q
s
E v （2.a）
E ds Q
s
（4.a）
2
§3.1 静电场基本方程与电位方程
3.1.2
1)
电位定义
电位的引出
E 0, 根据矢量恒等式 0 E
§ 3.6 镜像法
z
q
p ( x, y , z )
E1t E2t 1E1n 2 E2n
E1t 0 1E1n s
1 2
1 2 1 2 n n
const
1 1 s n
19
§3.4 静电场中的边界条件
例题:3.4-1
例题:3.4-2
20
§3.5
静电场边值问题，唯一性定理
Electrostatic-Field Boundary-Value Problems, Uniqueness Theorem
Q 板间场强： E 0S
Qd 电势差： U 1 －U 2 ＝Ed＝ 0S
S d
0S Q 电容： C 0 U1 U 2 d
2) 圆柱形电容器
R2 R 1
E 2 0 r
14
§3.3 静电场中的导体
dr R2 U＝ ＝ ln R 2 r 2 R1 0 0
证明见P.86～ P.87(反证法)
惟一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、解
析解、数值解等）提供了思路及理论根据。
24
§ 3.6 镜像法Image Method
镜像法: 用虚设的镜像电荷来替代实际边界,将原来具有边 界的空间变成同一媒质空间，使计算简化。 要点： 确定镜像电荷的个数、位置与大小，使镜像电荷和原 电荷共同产生的场保持原有边界条件不变，根据唯一
P
式中
V 0
lim
p
V
C/m2
电偶极矩体密度
p 为体积元 V内电偶极矩的矢量和，P的方向从负极化电荷指向
P e 0 E
正极化电荷。 实验结果表明，在各向同性、线性、均匀介质中
e——电介质的极化率,无量纲量。
各向同性：媒质的特性不随电场的方向而改变,反之称为各向异性； 线性：媒质的参数不随电场的值而变化； 均匀：媒质参数不随空间坐标（x,y,z）而变化。
11
§3.3 静电场中的导体
3.3.2 电容 一、孤立导体的电容 孤立导体球的电势: 当R确定时,
U
Q 4 0 R
R Q
Q ＝ 4 0 R const. U
C Q U
定义电容:
单位: 1F（法拉）=1C/V= 103 mF 106 F 1012 pF 例: 用孤立导体球要得到1F 的电容，球半径为大？
8
§3.2 静电场中的介质
3.2.2
介质中的高斯定理,相对介电常数
v 0
1
a）高斯定律的微分形式 （真空中） E （电介质中） E
v v 0
P ,得 E 代入v
0
( v P)
( 0 E P) v
其间距为d，d 0 ,则
1 2 lim E dl lim( E1n
1 2 1
2
因此
1 2
1 n ,
d 0
d d E2 n ) 0 2 2
表明:
在介质分界面上，电位是连续的。
D1n 1 E1n 1
D2 n 2 E2 n 2
l
A
l
电容与电场强度的大小无关, 但与电场强度的分布有关.电 容值取决与导体的形状,尺寸 以及介电常数
1)先假定两导体带等量异号的电量Q,通过计算电场得出两导体 间的电压U,然后计算出电容 2)先假定两导体间的电压U,通过计算电场得出电量Q,然后计算 出电容 13
§3.3 静电场中的导体
三、几种典型的电容器及电容 1) 平行板电容器
q 4 0 R
q
电荷分布在有限区域时，选择无穷远处为参考点；
4 0 R
q 4 0 R1
电荷分布在无穷远区时，选择有限远处为参考点。
5
§3.1 静电场基本方程与电位方程
3.1.2
1)
电位方程
泊松方程
解为: 2)
v v 1 r dv 4 v R
R2
1
3) 球形电容器
2 0 l Q C0 R2 U1 U 2 ln R1
E
U＝ 4 0 R1 Q
R2
Q 40 r
2
R2
R1
dr Q 1 1 ＝ 2 r 4 0 R1 R2
R1 R2 Q C0 4 0 U1 U 2 R R 1 2
边值型问题
给定边界条件，求任 意点位函数或场强
第二类 边界条件
第三类 边界条件
§3.5 静电场边值问题，唯一性定理
直接求解 (2.1-8)
分布型 问题解 法
高斯方法求解 (2.1-16) 间接求解 (3.1-9)-(3.1-12)
22
§3.5 静电场边值问题，唯一性定理
镜像法 分离变量法
解析法
计算法 边值型 问题解 法 实验法 图解法
静电场基本方程与电位方程
Fundamental Equations of Electrostatic-Field and electric potential equations
3.1.1 静电场的基本方程 静电场是一个无旋、有源场，静止电荷就是静电场的源。
——介电常数，单位（F/m）
9
§3.2 静电场中的介质 图示平行板电容器中放入一块介质后，其D 线、E 线和P 线的分布。
E'
D线
E线
D、E与 P 三者之间的关系
P线
• D 线由正的自由电荷发出，终止于负的自由电荷；
• E 线的起点与终点既可以在自由电荷上，又可以在极化电荷上； • P 线由负的极化电荷发出，终止于正的极化电荷。
R
1 40
＝8.99 10 (m) 10 Re
9 3
12
§3.3 静电场中的导体
二、两个导体的电容
ˆ E ds E ds Q s ds n
s s s
U E dl E dl
B
求电容的两条途径
Q sE ds C ＝ U E dl
2
R r r
拉普拉斯方程
2 0
6
§3.2 静电场中的介质
3.2.1
介质的极化
无极性分子 电介质的极化过程
有极性分子
电介质在外电场E作用下发生极化，形成有向排列的电偶极矩； 电介质内部和表面产生极化电荷； 极化电荷与自由电荷都是产生电场的源。
7
§3.2 静电场中的介质
用极化强度P表示电介质的极化程度，即
E1t E2t E1 sin1 E2 sin2
tan 1 1 tan 2 2
折射定律
16
§3.4 静电场中的边界条件
2、介质与导体之间的边界条件
当分界面为导体与电介质的交界面时，分界面上的衔接条件为：
D2 n D1n s E1t E2t
2 1 2 1 s n n 在介质分界面上， s 0 所以
2 n
1 2 1 2 n n
18
§3.4 静电场中的边界条件
3.4.2 电位的边界条件 2、介质与导体之间的电位边界条件
const
1 1 s n 介质与导体之间 两种介质之间
定义电位移矢量（ Displacement） 则有
D 0E P
D
电介质中高斯定律的微分形式
D线从正的自由电荷发出而终止于负的自由电荷。 在各向同性介质中
D 0 E P 0 E e 0 E 0 (1 e )E r 0 E E
的积分关系
E dl dl
[
p0
dx dy dz] d x y z
p0 p
d ( p) ( p0 ) E dl
p
设P0为参考点
( p)
参考点
p
E dl
4
§3.1 静电场基本方程与电位方程 ４) 电位参考点的选择原则
一、静电场边值问题 分布型问题 静 态 场 问 题
给定场源分布，求任 意点场强或位函数
直接求解 高斯方法求解 间接求解 第一类 边界条件
s f1 s
已知场域边界上 各点电位值 已知场域边界上各 点电位的法向导数 f 2 s n s 一、二类边界条件 的线性组合，即
21
15
§3.4 静电场中的边界条件
3.4.1
E
和 D 的边界条件
ˆ E1 E2 0 n
ˆ D1 D2 s n
1、两种介质之间的边界条件
在交界面上不存在 s 时，E、D满 足折射定律。 D1n D2 n 1 E1 cos1 2 E2 cos2
第 3章
静电场及其边值问题解法
The Electrostatic Field and Solution Techniques for Boundary –Value Problems
主要内容 静电场基本方程与电位方程 静电场中的介质、导体与电容 静电场边值问题、惟一性定理 镜像法 分离变量法
§3.1
（1） （2）
E dl 0
l
（3） （4）
D v
D ds Q
s
E v （2.a）
E ds Q
s
（4.a）
2
§3.1 静电场基本方程与电位方程
3.1.2
1)
电位定义
电位的引出
E 0, 根据矢量恒等式 0 E
§ 3.6 镜像法
z
q
p ( x, y , z )
E1t E2t 1E1n 2 E2n
E1t 0 1E1n s
1 2
1 2 1 2 n n
const
1 1 s n
19
§3.4 静电场中的边界条件
例题:3.4-1
例题:3.4-2
20
§3.5
静电场边值问题，唯一性定理
Electrostatic-Field Boundary-Value Problems, Uniqueness Theorem
Q 板间场强： E 0S
Qd 电势差： U 1 －U 2 ＝Ed＝ 0S
S d
0S Q 电容： C 0 U1 U 2 d
2) 圆柱形电容器
R2 R 1
E 2 0 r
14
§3.3 静电场中的导体
dr R2 U＝ ＝ ln R 2 r 2 R1 0 0
证明见P.86～ P.87(反证法)
惟一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、解
析解、数值解等）提供了思路及理论根据。
24
§ 3.6 镜像法Image Method
镜像法: 用虚设的镜像电荷来替代实际边界,将原来具有边 界的空间变成同一媒质空间，使计算简化。 要点： 确定镜像电荷的个数、位置与大小，使镜像电荷和原 电荷共同产生的场保持原有边界条件不变，根据唯一
P
式中
V 0
lim
p
V
C/m2
电偶极矩体密度
p 为体积元 V内电偶极矩的矢量和，P的方向从负极化电荷指向
P e 0 E
正极化电荷。 实验结果表明，在各向同性、线性、均匀介质中
e——电介质的极化率,无量纲量。
各向同性：媒质的特性不随电场的方向而改变,反之称为各向异性； 线性：媒质的参数不随电场的值而变化； 均匀：媒质参数不随空间坐标（x,y,z）而变化。
11
§3.3 静电场中的导体
3.3.2 电容 一、孤立导体的电容 孤立导体球的电势: 当R确定时,
U
Q 4 0 R
R Q
Q ＝ 4 0 R const. U
C Q U
定义电容:
单位: 1F（法拉）=1C/V= 103 mF 106 F 1012 pF 例: 用孤立导体球要得到1F 的电容，球半径为大？
8
§3.2 静电场中的介质
3.2.2
介质中的高斯定理,相对介电常数
v 0
1
a）高斯定律的微分形式 （真空中） E （电介质中） E
v v 0
P ,得 E 代入v
0
( v P)
( 0 E P) v
其间距为d，d 0 ,则
1 2 lim E dl lim( E1n
1 2 1
2
因此
1 2
1 n ,
d 0
d d E2 n ) 0 2 2
表明:
在介质分界面上，电位是连续的。
D1n 1 E1n 1
D2 n 2 E2 n 2
l
A
l
电容与电场强度的大小无关, 但与电场强度的分布有关.电 容值取决与导体的形状,尺寸 以及介电常数
1)先假定两导体带等量异号的电量Q,通过计算电场得出两导体 间的电压U,然后计算出电容 2)先假定两导体间的电压U,通过计算电场得出电量Q,然后计算 出电容 13
§3.3 静电场中的导体
三、几种典型的电容器及电容 1) 平行板电容器
q 4 0 R
q
电荷分布在有限区域时，选择无穷远处为参考点；
4 0 R
q 4 0 R1
电荷分布在无穷远区时，选择有限远处为参考点。
5
§3.1 静电场基本方程与电位方程
3.1.2
1)
电位方程
泊松方程
解为: 2)
v v 1 r dv 4 v R
R2
1
3) 球形电容器
2 0 l Q C0 R2 U1 U 2 ln R1
E
U＝ 4 0 R1 Q
R2
Q 40 r
2
R2
R1
dr Q 1 1 ＝ 2 r 4 0 R1 R2
R1 R2 Q C0 4 0 U1 U 2 R R 1 2
边值型问题
给定边界条件，求任 意点位函数或场强
第二类 边界条件
第三类 边界条件
§3.5 静电场边值问题，唯一性定理
直接求解 (2.1-8)
分布型 问题解 法
高斯方法求解 (2.1-16) 间接求解 (3.1-9)-(3.1-12)
22
§3.5 静电场边值问题，唯一性定理
镜像法 分离变量法
解析法
计算法 边值型 问题解 法 实验法 图解法
静电场基本方程与电位方程
Fundamental Equations of Electrostatic-Field and electric potential equations
3.1.1 静电场的基本方程 静电场是一个无旋、有源场，静止电荷就是静电场的源。