第3章 静电场及其边值问题的解法

场中任意两点的电位差与参考点无关。 同一个物理问题，只能选取一个参考点。 选择参考点尽可能使电位表达式比较简单，且要有意义。
例如：点电荷产生的电场：

q 40 R
C
R r r


R 0
R
0 C
0 C 0
表达式无意义

R R1
0
C
q 40 R
R2
1
3) 球形电容器
2 0 l Q C0 R2 U1 U 2 ln R1
E
U＝ 4 0 R1 Q
R2
Q 40 r
2
R2
R1
dr Q 1 1 ＝ 2 r 4 0 R1 R2
R1 R2 Q C0 4 0 U1 U 2 R R 1 2
证明见P.86～ P.87(反证法)
惟一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、解
析解、数值解等）提供了思路及理论根据。
24
§ 3.6 镜像法Image Method
镜像法: 用虚设的镜像电荷来替代实际边界,将原来具有边 界的空间变成同一媒质空间，使计算简化。 要点： 确定镜像电荷的个数、位置与大小，使镜像电荷和原 电荷共同产生的场保持原有边界条件不变，根据唯一
其中 r 1 e ——相对介电常数；

——介电常数，单位（F/m）
9
§3.2 静电场中的介质 图示平行板电容器中放入一块介质后，其D 线、E 线和P 线的分布。
E'
D线
E线
D、E与 P 三者之间的关系
P线
• D 线由正的自由电荷发出，终止于负的自由电荷；
• E 线的起点与终点既可以在自由电荷上，又可以在极化电荷上； • P 线由负的极化电荷发出，终止于正的极化电荷。
2
R r r
拉普拉斯方程
2 0
6
§3.2 静电场中的介质
3.2.1
介质的极化
无极性分子 电介质的极化过程

有极性分子
电介质在外电场E作用下发生极化，形成有向排列的电偶极矩； 电介质内部和表面产生极化电荷； 极化电荷与自由电荷都是产生电场的源。
7
§3.2 静电场中的介质
用极化强度P表示电介质的极化程度，即
8
§3.2 静电场中的介质
3.2.2
介质中的高斯定理,相对介电常数
v 0
1
a）高斯定律的微分形式 （真空中） E （电介质中） E
v v 0
P ,得 E 代入v
0
( v P)
( 0 E P) v
复变函数法 格林函数法
…
有限差分法 有限元法 数值法 边界元法 矩量法
…
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§3.5 静电场边值问题，唯一性定理
二、惟一性定理Uniqueness Theorem 对于任一静电场，若整个边界上的边界条件给定(可能给 出一部分边界上的位函数，另一部分边界上位函数的法向导 数)，则空间中的场就惟一地确定了。 也就是说，满足边界条件的泊松方程或拉普拉斯方 程的解是惟一的，这就是静电场惟一性定理。
第 3章
静电场及其边值问题解法
The Electrostatic Field and Solution Techniques for Boundary –Value Problems
主要内容 静电场基本方程与电位方程 静电场中的介质、导体与电容 静电场边值问题、惟一性定理 镜像法 分离变量法
§3.1
P
式中
V 0
lim
p
V
C/m2
电偶极矩体密度
p 为体积元 V内电偶极矩的矢量和，P的方向从负极化电荷指向
P e 0 E
正极化电荷。 实验结果表明，在各向同性、线性、均匀介质中
e——电介质的极化率,无量纲量。
各向同性：媒质的特性不随电场的方向而改变,反之称为各向异性； 线性：媒质的参数不随电场的值而变化； 均匀：媒质参数不随空间坐标（x,y,z）而变化。
性定理，所得的解是唯一的。
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§ 3.6 镜像法
一、导体平面附近的点电荷 设一无限大接地导体平面附近有一点电荷q，它与导体板 的垂直距离是h，如图3.6-1(a)所示。 现求（1）导体上方（即z>0的空间）的电位分布； （2）导体表面的感应电荷。
z
q
p ( x, y , z )

h
x
图3.6-1 导体平面附近的点电荷与其镜象法等效处理
边值型问题
给定边界条件，求任 意点位函数或场强
第二类 边界条件
第三类 边界条件
§3.5 静电场边值问题，唯一性定理
直接求解 (2.1-8)
分布型 问题解 法
高斯方法求解 (2.1-16) 间接求解 (3.1-9)-(3.1-12)
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§3.5 静电场边值问题，唯一性定理
镜像法 分离变量法
解析法
计算法 边值型 问题解 法 实验法 图解法
D2 n s E2 t 0
表明：（1）导体表面是一等位面，电力线与导体表面垂直，电场仅 有法向分量；（ 2 ）导体表面上任一点的 D 就等于该点的自由电荷密 度
s
。
17
§3.4 静电场中的边界条件
3.4.2 电位的边界条件 1、两种介质之间的电位边界条件
设点1与点2分别位于分界面的两侧，
2 1 2 1 s n n 在介质分界面上， s 0 所以
2 n
1 2 1 2 n n
18
§3.4 静电场中的边界条件
3.4.2 电位的边界条件 2、介质与导体之间的电位边界条件
const
1 1 s n 介质与导体之间 两种介质之间
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§3.3 静电场中的导体
3.3.2 电容 一、孤立导体的电容 孤立导体球的电势: 当R确定时,
U
Q 4 0 R
R Q
Q ＝ 4 0 R const. U
C Q U
定义电容:
单位: 1F（法拉）=1C/V= 103 mF 106 F 1012 pF 例: 用孤立导体球要得到1F 的电容，球半径为大？
（1） （2）
E dl 0
l
（3） （4）
D v
D ds Q
s
E v （2.a）
E ds Q
s
（4.a）
2
§3.1 静电场基本方程与电位方程
3.1.2
1)
电位定义
电位的引出
E 0, 根据矢量恒等式 0 E
15
§3.4 静电场中的边界条件
3.4.1
E
和 D 的边界条件
ˆ E1 E2 0 n
ˆ D1 D2 s n
1、两种介质之间的边界条件
在交界面上不存在 s 时，E、D满 足折射定律。 D1n D2 n 1 E1 cos1 2 E2 cos2
R
1 40
＝8.99 10 (m) 10 Re
9 3
12
§3.3 静电场中的导体
二、两个导体的电容
ˆ E ds E ds Q s ds n
s s s
U E dl E dl
B
求电容的两条途径
Q sE ds C ＝ U E dl
Q 板间场强： E 0S
Qd Leabharlann Baidu势差： U 1 －U 2 ＝Ed＝ 0S
S d
0S Q 电容： C 0 U1 U 2 d
2) 圆柱形电容器
R2 R 1
E 2 0 r
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§3.3 静电场中的导体
dr R2 U＝ ＝ ln R 2 r 2 R1 0 0
§ 3.6 镜像法
z
q
p ( x, y , z )
l
A
l
电容与电场强度的大小无关, 但与电场强度的分布有关.电 容值取决与导体的形状,尺寸 以及介电常数
1)先假定两导体带等量异号的电量Q,通过计算电场得出两导体 间的电压U,然后计算出电容 2)先假定两导体间的电压U,通过计算电场得出电量Q,然后计算 出电容 13
§3.3 静电场中的导体
三、几种典型的电容器及电容 1) 平行板电容器
静电场基本方程与电位方程
Fundamental Equations of Electrostatic-Field and electric potential equations
3.1.1 静电场的基本方程 静电场是一个无旋、有源场，静止电荷就是静电场的源。
这两个重要特性用简洁的数学形式为：
E 0
其间距为d，d 0 ,则
1 2 lim E dl lim( E1n
1 2 1
2
因此
1 2
1 n ,
d 0
d d E2 n ) 0 2 2
表明:
在介质分界面上，电位是连续的。

D1n 1 E1n 1
D2 n 2 E2 n 2
26
§ 3.6 镜像法
(1)设想将导体板抽去，使整个空间充满同一种媒质，在与
原来点电荷对称的位置上放置一 q 的镜像点电荷来代替原 导体平板上的感应电荷.
z
q
p ( x, y , z )

h
x
* 这时，在z>0的空间里任一点p(x,y,z)的电位就等于原点电荷 q 所产生电位的总和。 q和镜像 27
q 4 0 R

q
电荷分布在有限区域时，选择无穷远处为参考点；
4 0 R

q 4 0 R1
电荷分布在无穷远区时，选择有限远处为参考点。
5
§3.1 静电场基本方程与电位方程
3.1.2
1)
电位方程
泊松方程
解为: 2)
v v 1 r dv 4 v R
一、静电场边值问题 分布型问题 静 态 场 问 题
给定场源分布，求任 意点场强或位函数
直接求解 高斯方法求解 间接求解 第一类 边界条件
s f1 s
已知场域边界上 各点电位值 已知场域边界上各 点电位的法向导数 f 2 s n s 一、二类边界条件 的线性组合，即
21
10
§3.3 静电场中的导体
3.3.1
静电场中的导体
静电场中的导体具有以下特征：
导体内部各处电场强度为零
导体内部不存在任何净电荷,电荷都一面电荷的形式分布于
导体表面;
导体为一等位体,其表面为等位面; 导体表面切向电场为零,而只有法向电场分量,简单媒质中导 体表面处的电场强度为:
ˆ E s En n
E1t E2t E1 sin1 E2 sin2
tan 1 1 tan 2 2
折射定律
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§3.4 静电场中的边界条件
2、介质与导体之间的边界条件
当分界面为导体与电介质的交界面时，分界面上的衔接条件为：
D2 n D1n s E1t E2t

在静电场中可通过求解电位函数(Potential)， 再利用上式可方便地 求得电场强度E 。式中负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位。 ２) E 与
的微分关系
E
在静电场中，任意一点的电场强度 方向，其大小等于电位的最大变化率。
E
的方向总是沿着电位减少的最快
3
§3.1 静电场基本方程与电位方程 ３) E 与
的积分关系
E dl dl
[
p0
dx dy dz] d x y z
p0 p
d ( p) ( p0 ) E dl
p
设P0为参考点
( p)
参考点
p
E dl
4
§3.1 静电场基本方程与电位方程 ４) 电位参考点的选择原则
定义电位移矢量（ Displacement） 则有
D 0E P
D
电介质中高斯定律的微分形式
D线从正的自由电荷发出而终止于负的自由电荷。 在各向同性介质中
D 0 E P 0 E e 0 E 0 (1 e )E r 0 E E
E1t E2t 1E1n 2 E2n
E1t 0 1E1n s
1 2
1 2 1 2 n n
const
1 1 s n
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§3.4 静电场中的边界条件
例题:3.4-1
例题:3.4-2
20
§3.5
静电场边值问题，唯一性定理
Electrostatic-Field Boundary-Value Problems, Uniqueness Theorem