例谈数学建模在解决实际问题中的应用

例谈数学建模在解决实际问题中的应用

【摘要】数学建模就是设法将实际问题转化为数学问题，然后解决数学问题，从而达到解决实际问题的方法，本文介绍了数学建模在解决实际问题的应用，以及通过建模培养学生应用数学的能力。

【关健词】数学建模；实际问题；数学能力；应用意识。

一、问题的提出

普通高中新的数学教学大纲中明确提出要“切实培养学生解决实际问题的能力”，要求“增强用数学的意识，能初步运用数学模型解决实际问题”，逐步让学生把实际问题归结为数学模型，然后运用数学方法进行探索、猜测、判断、证明、运算、检验等使问题得到解决。基于这个理念，在教学中通过“建模”，培养学会应用数学解决实际问题，提高学生解题能力是当务之急。下面结合具体实例，对建模在实际问题中的应用作一些探讨。

二、数学建模的步骤和意义

在实际应用中，数学建模是很复杂的。要求学生能够进行数学建模，其目的并不是单纯地为了让学生解决一些具体的实际问题，而是着眼于培养学生的数学应用意识，提高数学能力和数学素养。因此，在数学的教学过程中应当注重过程性和学生的参与性，避免走以前传统教学中只注重讲授知识的路子。在实际创设模型的过程中，教师所起到的作用只是给学生提出问题，让学生在解决这些问题的过程中能够培养数学学习的能力，从而提高搜集、分析数据以

及将这些问题转化为数学问题的能力。

三、具体实例分析

数学建模的素材多种多样，可以从书本上、实际生活、社会热点问题以及其它相关学科中选材。建立模型的最终目的是要使模型能够应用于实际。下面通过对两个问题的分析，进一步剖析数学建摸的方法。

[案例1]：实际生活问题：购物中的讨价还价问题

在当前市场经济条件下，在商店尤其是私人商店里，标价a与其进价b之间都存在着相当大的差距。对购物的消费者来说，总希望这个差距越小越好，即希望比值=r→1，而商家则希望r>1。这样就存在两个问题：第一，商家应如何根据商品的进价来确定其标价才较为合理？第二，购物者根据商品标价，如何与商家“讨价还价”？

1.问题假设

对于第一个问题，国家关于零售商品的定价有相关的规定，但是在个体商家的实际定价中，可采用“黄金分割”方法，即按进价b 定出标价a，使其满足0.618。

对于第二个问题，一种常见的方法是“对半讨价还价法”；消费者第一次还价为标价的一半，商家第一次还价则加上两者差价的一半；消费者第二次还价再减去两者差价的一半，商家则又加上两者差价的一半；如此下去，直到达到双方都能接受的价格为止。这样讨价还价的结果，其理想的最终价格是否为标价的黄金分割点呢？现在通过建立数学模型来分析“讨价还价”的过程，并求出其极限，

即最终结果。

2.模型建立

设标价为a，易知前n次讨价还价的结果为

3.模型求解

由此可见，bn和cn的摆动数列{an}：an=的交错项，而

就是{bn}和{cn}共同的极限值，也就是说“对半讨价还价法”的最终结果是原价的。应该说，这一个结果与0.618是比较接近的。

4.应用

进而易知，即使商家按“黄金分割法”定价，即a，经过对半讨价还价之后，若最终成交，商家出售一件商品的实际价格c=≈×≈1.078b ，还有接近8%的赢利，这对买卖双方来说，都是可以接受的。

本案例让学生从日常生活中常见的购买物品的讨价还价事件入

手学习数学知识，使学生获得积极的情感体验，激发他们的学习兴趣。在课堂上，每个学生都想知道讨价还价是否有理论可依。教师引导学生依据：问题……假设……建模……应用这一基本过程进行数学学习。

[案例2] 社会热点问题：客房定价问题

1.问题提出

一个星级旅馆有150间客房，经过一段时间的经营，旅馆经理得到了一些数据：

欲使每天的收入最高，问每间客房的定价应该是多少？

2.假设

假设1：在无其它信息时，不妨设每间客房的最高定价为160元；假设2：根据经理提供的数据，设随房价的下降，住房率呈线性增长；

假设3：设每间客房的定价相等。

3.建立模型

分析：根据题意，设y表示旅馆一天的总收入，x为与160元相比降低的房价。

由假设2可知，每降低1元房价，住房率增加为=0.005。

因此，y=150（160-x）（0.55+0.005x）……①，由0.55+0.005 x1，可知0x90。

我们的问题是：当0x90时，求y=150（160-x）（0.55+0.005x）的最大值点。

4.解模型

把①式左边同除以（150×0.005）得：y1=-x2+50x+17600。因此，配方可得，y1=-（x-25）2+18225，显然，当x=25时，y1最大。所以，最大收入对应的房价为160元-25元=135元，住房率为

0.55+0.005×25=67.5%，最大收入为150×135×67.5%=13668.75（元）

5.检验

（1）容易验证此收入在己知各种定价对应的收入中是最大的。事实上，如果便于管理，那么定价140元/（天·间）也是可以的。

（2）如果定价180元/（天·间），住房率应为45%，其相应收入只有12150元，由此可假设1是合理的。而二次函数在定义域内只有一个极点值25。

数学教育家弗赖登塔尔认为“学一个活动的最好的方法是实践”。本教学设计的一个很大的优点就是很贴近学生的生活实际，一方面，让学生从生活实际出发，来解决实际中存在的问题，从而指导实践；另一方面，让学生学会从实际中找到数学问题，并加以解决，锻炼学生的数学发现和思维能力。

四、体会与认识

数学建模不仅能够促使理论和实践相结合，培养学生应用数学的意识，还增强了学生的参与意识，体现了学生的主体地位。在问题解决的全过程中学生得到学数学、做数学、用数学的实际体验，亲身体会到数学探索的愉悦，学生“领略到了数学的魅力”，对数学的学习产生更浓厚兴趣，数学建模把数学知识延伸到了实际生活中，呈现给学生一个五彩缤纷的数学世界，数学建模问题如投资买卖、手机付费等方面的问题都贴近实际生活，有较强的趣味性，学生容易产生兴趣，这种兴趣又能激发学生更努力地学习数学。

数学建模是对数学教师的新的要求和挑战，教师不仅要有扎实的专业功底，还要有丰富的生产、生活经验、努力保持自己的“好奇心”，留心向各行业的能手学习，开通自己的“问题源”储备库和咨询网，在自己的视野范围内因地制宜地收集、编制、改造适合学生使用、贴近学生生活实际的数学建模问题，同时注意问题的开放