小学数学数论讲解及练习题整数分拆之最值与应用

整数分拆之最值与应用

一、拆分的基础知识

整数的拆分问题常常以计数问题、最值问题等形式出现，因此除了掌握有关的等差数列、数的整除、平均数等基本知识外，还要求掌握加法原理、乘法原理、枚举法、筛选法等基本的记数原理和方法。

二、拆分基本方法

1.题目要求拆质数且乘积最大——若可以拆相同的数字就按照“多拆3，少拆2，不拆1——拆分后

乘积最大”原则。

2.若题目要求拆成若干个互不相同的自然数之和——要求这些自然数的乘积尽量大

应将数列拆分成：a=2+3+4+…的形式，但是实际计算的时候会发现一般不能拆成恰好相同，则：

⑴当多0时，将a拆成a=2+3+4+…+ (n-1)+n；

⑵当多1时，将a拆成a=3+4+5+…+ (n-1)+( n-1)；

⑶当多2，3，…，n－1中的数时，就将该数从2，3，…，n－1，n中删除，其余数即为所拆之数。

例如：将30拆成若干个互不相同的自然数之和，要求这些自然数的乘积尽量大，应怎样拆？

2+3+4+5+6+7+8=35

比30大5，故将5去掉

30被拆成2+3+4+6+7+8

3.根据约数倍数关系进行拆分

【例1】把53拆分成互不相等的正整数之和，最多能写成几项之和？

【例2】一个自然数，它可以表示为3个连续自然数之和，也可以表示为4个连续自然数之和，还可以表示为7个连续自然数之和，这个自然数最小是几？

【例3】农民叔叔阿根想用24米长的金属网建一个靠墙的长方形鸡窝（如图），要使所建的鸡窝面积最大BC的长应是多少米？

例3图

〖答案〗【例1】8 【例2】42【例3】12