高三数学模拟试题一理新人教A版
2021年高三数学第一次模拟考试试题 理 新人教A版
2021年高三数学第一次模拟考试试题 理 新人教A 版本试卷共4页，分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分共150分考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1、设全集，集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2、已知,是虚数单位，则在复平面中复数对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3、设随机变量服从正态分布N (0,1)，若P (>1)= p ，则P (-1<<0)=（ ）A ．B ．C ．D ．4、设0＜x ＜π2，则“x sin 2x ＜1”是“x sin x ＜1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5、已知两个不同的平面、和两条不重合的直线、，有下列四个命题：①若则；②若则；③若则；④若则.其中正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36、要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）A ．向左平移个单位长度B ．向右平移个单位长度C ．向左平移个单位长度D ．向右平移个单位长度7、已知双曲线的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．8、某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加．当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻．那么不同的发言顺序的种数为 （ ）A ．360B ．520C ．600D ．7209、设函数若，，则关于x 的方程的解的个数为 （ ）A ．4B ．3C ．2D ．110、已知向量与的夹角为，=2，=1，，，在时取得最小值.当时，夹角的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷 （非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11、若对任意的恒成立，则实数k 的取值范围为___________．12、如图给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内应填入的是_ _． 13. 已知圆C 过点，且圆心在x 轴的负半轴上，直线l ：被该圆所截得的弦长为，则圆C 的标准方程为 .14、定义：，在区域内任取一点，则x 、y 满足{}22min 2,42x x y x y x x y ++++=++的概率为___________．15、已知，若恒成立，则实数的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16、（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，且.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若b = 2，求△ABC 面积的最大值．17、（本小题满分12分）如图，在七面体ABCDMN 中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD ，平面ABCD ，且MD =2，NB =1，MB 与ND 交于P 点．（Ⅰ）在棱AB 上找一点Q ，使QP // 平面AMD ，并给出证明；（Ⅱ）求平面BNC 与平面MNC 所成锐二面角的余弦值．18、（本小题满分12分）某高校自主招生选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰. 已知某同学能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为、、,且各轮问题能否正确回答互不影响.（Ⅰ）求该同学被淘汰的概率；（Ⅱ）该同学在选拔中回答问题的个数记为，求随机变量的分布列与数学期望.结束开始i =2, S =0 i =i +2S =S+1/i 输出S 否 是19、（本小题满分12分）设数列的各项都是正数，且对任意，都有，其中为数列的前n项和．(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ）设(为非零整数，)，试确定的值，使得对任意，都有成立.20、（本小题满分13分）已知椭圆过点，且长轴长等于4.（I）求椭圆C的方程；（II）F1，F2是椭圆C的两个焦点，⊙O是以F1，F2为直径的圆，直线与⊙O相切，并与椭圆C交于不同的两点A，B，若的值.21、（本小题满分14分）已知函数在点的切线方程为.（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）设，求证：在上恒成立；（Ⅲ）已知，求证：.xx级高三一模数学（理）参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，共50分）1、B2、A3、D4、B5、D6、C7、A8、C9、B 10、C二、填空题（每小题5分，共25分）11、 12、 13、 14、 15、三、解答题：本大题共六小题，共75分。
高三数学仿真模拟考试试题理新人教A版
黄梅县 高三高考仿真模拟考试数学理试题本试卷共4页。
全卷满分１50分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卷指定位置,认真核对与准考证号条形码上的信息是否一致,并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置，用统一提供的2B 铅笔将试卷类型A 或Ｂ后方框涂黑。
２.选择题的作答：选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
答在试题卷、草稿纸上无效。
3.填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
４．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的２B 铅笔涂黑。
考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选。
答题答在答题卡上对应的答题区域内,答在试题卷、草稿纸上无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁,考试结束，监考人员将答题卡和试题卷一并收回。
一、选择题（本大题共１0小题,每小题５分，满分５0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求)1.在复平面内,复数122ii-+对应的点的坐标为（ ） A.（0，１) ﻩﻩ B ．(0,-1)Ｃ.（45，－35）ﻩﻩ D.(45,35）２．设随机变量δ服从正态分布Ｎ（3，7）,若p （δ＞a ＋2）＝p （δ<ａ－2),则a ＝( )Ａ.１ﻩ B ．2 C.ﻩﻩﻩ D.43．已知某几何体的三视图(右上图）,则该几何体的体积为( )A ．4+52πﻩ ﻩ ﻩﻩB ．4+32π Ｃ.4+2πﻩﻩ ﻩﻩﻩD.4＋π4．如右图,已知K 为如图所示的程序框图输出结果,二项式（x ｋ+1x)n的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ ) Ａ.4ﻩ B.5ﻩ ﻩC.６ ﻩD ．7５.先后掷骰子（骰子的六个面分别标有1、２、3、4、5、6个点)两次落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x 、y ，设事件A 为“x +y 为偶数”,事件B 为“x 、y 中有偶数，且x ≠y ”，则概率Ｐ(B ｜Ａ)＝（ ）A ．12 ﻩB.13 ﻩ C.14Ｄ．25 ６．正项等比数列{a ｎ｝中，存在两项a m 、ａn 使得m n a a =4a 1，且a 6＝a 5+2a ４,则14m n+的最小值是( ）A.32ﻩﻩﻩB．2 C.73ﻩＤ．2567.函数ｆ(ｘ)＝sinωx+a cｏsωｘ(ω＞0)的图象关于Ｍ(3π，0)对称，且在ｘ=6π处函数有最小值，则a+ω的一个可能取值是（）Ａ．0 ﻩB．3 ﻩＣ．6 ﻩﻩD.98.已知半径为5的球Ｏ被互相垂直的两个平面所截，得到两圆的公共弦长为４，若其中一圆的半径为4，则另一圆的半径为( ）A．10ﻩﻩ B.11ﻩﻩC．23ﻩD.139．设ｘ、y满足约束条件223231x yx yx y--⎧⎪-⎨⎪+⎩≥≤≥，若x2+y2≥a恒成立,则实数a的最大值为( ）A．12ﻩB．34ﻩﻩﻩC．45D.5610．f(ｘ）是定义在（－１，1）上的函数,对于∀x，ｙ∈（-1,1)有ｆ(x)－f(y)=f1x yxy-⎛⎫⎪-⎝⎭成立,且当x∈(－1，0）时,f(x）>0,给出下列命题：①f（0)＝０②函数f（x）是偶函数③函数f(ｘ）只有一个零点④f(12）+f(13）<ｆ(14)，其中正确命题的个数是（）A．１ﻩﻩＢ.2ﻩC．3 D．4二、填空题(本大题共５小题,每小题5分,满分2５分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清、模棱两可均不得分）11．已知函数f(ｘ)＝21111xx xe x⎧--⎨>⎩≤≤，则21()f x dx-⎰= .1２．已知｜a｜=|b|=2，a与b的夹角为6０°，则a+b在a上的投影为．13.某校高三(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏,但可见部分如下,据此解答如下问题：(１)频率分布直方图中[８0,90)间的矩形的高为 .（2）若要从分数在［80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中,至少有一份分数在[90,100］之间的概率为.1４.如右上图是斯特林数三角阵表，表中第r行每一个数等于它左肩上的数加上右肩上的数的r－1倍，则此表中：(Ⅰ)第6行的第二个数是；(Ⅱ)第n＋１行的第二个数是．（用n表示）15.（选修４－1:几何证明选讲）如右下图,Ａ,B是圆O上的两点,且OA⊥OB，OＡ=2，Ｃ为OA的中点，连结B Ｃ并延长交圆Ｏ于点D ,则CD = .16.(选修４-4：坐标系与参数方程）已知直线l 的参数方程为{212x ty t==+（t 为参数),以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线Ｃ的极坐标方程为ρc ｏs 2θ=sin θ.设直线l 与曲线Ｃ交于A ,B 两点,则OA OB ⋅＝ .三、解答题（本大题共6小题，共７5分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） １７．（本小题满分12分）在△ABC 中,已知三个内角A 、B 、C 的对边分别是ａ、b 、c ，向量m =(a ,b )，n =（cos(2π－Ｂ)，s ｉn(2π+A )）,若a ≠b 且m ∥n ,(Ⅰ)试求内角C 的大小;（Ⅱ）若a =６，b =８，△ＡＢC 的外接圆圆心为O ，点P 位于劣弧AC 上，∠PAB =6０°,求四边形ABCP 的面积．1８．(本小题满分12分)公安部最新修订的《机动车驾驶证申领和使用规定》于 1月1日起正式实施,新规实施后,获取驾照要经过三个科目的考试，先考科目一(理论一）,科目一过关后才能再考科目二(桩考和路考),科目二过关后还要考科目三（理论二).只有三个科目都过关后才能拿到驾驶证.某驾校现有１０0名新学员,第一批参加考试的20人各科目通过的人数情况如下表:参考人数 通过科目一人数通过科目二人数通过科目三人数20１242(Ⅰ)估计该驾校这１00名新学员有多少人一次性(不补考)获取驾驶证；(Ⅱ）第一批参加考试的2０人中某一学员已经通过科目一的考试，求他能通过科目二却不能通过科目三的概率；（Ⅲ)该驾校为调动教官的工作积极性,规定若所教学员每通过一个科目的考试,则学校奖励教官100元．现从这2０人中随机抽取1人,记X 为学校因为该学员而奖励教官的金额数，求Ｘ的数学期望.20．(本小题满分１2分）已知函数f (x )＝kx +ｍ，当x ∈［ａ1，b 1]时,f (x )的值域为［a 2,b 2]，当ｘ∈[a 2,ｂ2］时,f （x )的值域为［a 3,b ３]，依次类推，一般地，当ｘ∈[a ｎ－1,b ｎ－1]时,ｆ(x )的值域为[ａn ，b n ],其中k 、m 为常数,且a 1＝0,ｂ１=1. (Ⅰ）若k =1,求数列{ａn }，{b n ｝的通项公式；（Ⅱ）若ｋ＞0且ｋ≠1，问是否存在常数m ，使数列｛b n ｝是公比不为1的等比数列?请说明理由;（Ⅲ)或ｋ＜０,设数列{ａn },｛b n }的前ｎ项和分别为Ｓn ，Ｔn ，求(Ｔ1+T ２+…＋Ｔ2012)－（Ｓ１+S 2+…＋S 201２)的值.2１．(本小题共1３分)已知椭圆Ｃ：22221y x a b+=（a ＞b ＞0)的离心率e ，原点到过点A （ａ，0)，B （0,-b ）（Ⅰ）求椭圆C 的方程;(Ⅱ）若椭圆Ｃ上一动点P （x 0,ｙ0)关于直线y =2ｘ的对称点为P 1(x 1,ｙ１),求x 12+ｙ1２的取值范围;（Ⅲ)如果直线y =kx +1（k ≠０)交椭圆C 于不同的两点E ,Ｆ，且E ，Ｆ都在以B 为圆心的圆上,求k 的值.22.(本小题满分１４分)设函数f （x )=x ln x .（Ⅰ)求函数f (x )的最小值； (Ⅱ）设x 1，x 2>0,p 1,p 2＞0，且ｐ１+p ２=1，证明:ｐ１ｆ(ｘ1)+p 2ｆ(ｘ2）≥f (p 1x １＋p 1ｘ1）; (Ⅲ）设x 1,x 2,…,ｘn ＞０,p １,ｐ２，…，p n ＞0，且p 1+p 2+…+p n =１,如果p 1x 1+p 2x 2+…+ｐn x n ≥e ,证明:p 1f （x 1)＋ｐ2f (ｘ２)+…+p n f (x ｎ)≥e .数学（理科)模拟试题参考答案一、选择题二、填空题1１．22e e π+-ﻩ 12. ３ ﻩ 13．① ０.016 ②351４.① 27４ ②11(1...)!2n n +++ ﻩ１５.35516． 0 三、解答题17.（本小题满分12分)18.(本小题满分1２分)解:(Ⅰ）由表中数据可知一次性（不补考）获取驾驶证的频率为110,估计这100名新学员中有１00×110=10人;3ﻩ分 （Ⅱ)设“通过科目一、二、三”分别为事件A ,Ｂ，C ,则 P =P (B C ｜A )=21126=ﻩ６分(Y 0123P25 25 110 1108分EY ＝0×25+１×25+２×110＋3×110＝910ﻩ１０分而X =100Y ，所以E Ｘ=10０EY ＝１０0×910=90 .......................... 12分20．解：(Ⅰ）ｋ=1时函数ƒ（x )=kx +m 为增函数，所以a n =a n －１+m ｂn =b n －1＋m所以a n =a 1+（n －1）m =（n －１)m ｂn =b 1+（n -1）m =(n -1)ｍ+１4ﻩ分(Ⅱ)b ｎ=kb ｎ-1+m ,1n n bb -=k +1n m b -（为常数）则必有ｍ＝０，故当m ＝0时｛ｂn }是公比为k的等比数列 ......................................................... 8分 （Ⅲ)b n =ka ｎ-1＋m ﻩ① a n =k ｂn -1+m ﻩ②①－②得ｂn －a ｎ=－k (ｂn －１-a n －１)若k =－１，则b n －a n =b ｎ-1-ａn -１=…=b 1-ａ1=1 可得T ｎ－S ｎ＝ｎ（T 1＋T 2+…+T 20１2)－(S 1+S 2+…+S 2012)=1＋２+…+2012=202507８若ｋ≠１,则b n -a n =（－k ）n -１T ｎ－S n ＝1(k)()1111n n k k k k---=-+++ (T 1＋Ｔ2+…+T 20１2）－（S 1＋S 2+…+S 201２)=22012(k)(k)2012...1111k k k k k ⎛⎫----+++ ⎪++++⎝⎭2013220121(1)k k k k -=-++ .................................................. 12分 ２1．(共13分)解:（Ⅰ)因为3c a=,ａ２－ｂ2＝c 2 所以a =2ｂ因为原点到直线A Ｂ:y x a b -＝1的距离d =22455ab a b =+, 解得a =4，b ＝2.故所求椭圆Ｃ的方程为221164y x +=．(Ⅲ）由题意2211164y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得 （1+4k 2）x 2+8k ｘ－1２＝0. 可知Δ＞0.设E （ｘ2,y 2）,Ƒ(ｘ3,y 3)，E Ƒ的中点是M (x M ,y M ）,则x M =2324214x x k k +-=+,ｙ=kx M ＋1=2114k +．所以k BM ＝21M M y x k+=-.所以x Ｍ+ky M +２k =0.即2241414k k k k -+++＋2ｋ＝0. 又因为k ≠0,所以k ２=18．所以ｋ=2. ......................................... 13分（Ⅲ）先证明p 1ƒ(x １)＋p 2ƒ（x 2)＋…＋ｐn ƒ（x n ）≥ƒ(p 1ｘ１+p 2x 2+…+p n x n ）.当n =2时,由（Ⅱ)知不等式成立. 假设当ｎ＝k 时,不等式成立，即p 1ƒ(x １)+p 2ƒ(x 2)＋…＋p ｋƒ(x k ）≥ƒ(p 1x 1+ｐ２x 2＋…+ｐｋx k )． 当ｎ=k +1时,ƒ(p 1x １＋p 2x ２＋…+p k x k +ｐk +1x k ＋１)=ƒ()11221111...1p 1k k k k k k p x p x p x p x p +++++++⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭≤()()11221111...1p 1k kk k k k p x p x p x f p f x p +++++++⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭≤()()()()()1121121111111p ...111k k k k k k k k p p p f x f x f x p f x p p p ++++++++⎡⎤-++++⎢⎥---⎣⎦=p 1ƒ(ｘ1)+ｐ2ƒ(x 2)＋…＋p k +1ƒ(ｘk +1)+ｐk +1ƒ(ｘk +1). 所以，当n =k +１时，不等式成立，∴p 1ƒ(x 1)＋p 2ƒ（x 2）+…+p n ƒ(ｘn )≥ƒ(ｐ1x 1+ｐ２x 2＋…＋p ｎx n )．由(Ⅰ）ƒ(x )在（1e,＋∞)上单调递增,因此ƒ(x )在(ｅ，+∞）上也单调递增．∵p 1ｘ１＋p 2x 2+…+p ｎx n ≥e ,∴ƒ(p 1x 1＋p 2x ２+…＋p n x n )≥ƒ(e )＝e .∴p 1ƒ(x 1）+ｐ２ƒ（x 2)+…+p n ƒ（x ｎ)≥e . ............................... 1４分。
天津市高三数学第一次模拟检测试题(一模)理新人教A版
注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．i 为虚数单位,复数i i++13=A.i +2B. i -2C.2-iD. 2--i2．已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3004x y x y x ，则y x z +=2的最小值是A ．-4B ．－2C ．0D ．23．函数()2-+=x e x f x的零点所在区间是A ．()1,0B ．()2,1C ．()3,2D ．()4,34．如果执行右面的程序框图，那么输出的S =A ．119B ．719C ．4949D ．6005．在正项等比数列{}n a 中，442=a a ,143=S ,数列{}n b 满足n n a b 2log =,则数列{}n b 的前6项和是A ．0B ．2C ．3 D. 56．要得到一个奇函数，只需将函数()x x x f 2cos 32sin -=的图象（ ）A ．向右平移π6个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ．向左平移π3个单位第4题0768.0088.0)8.01(8.0)8.01(8.0)8.01(8.0)8.01(8.0)(22=⋅⋅-+⋅-⋅-+⋅-⋅=B P .……8分 ②ξ可能取值为1，2，3，4，5. …… 9分8.0)1(==ξP ; 16.08.0)8.01()2(=⋅-==ζP032.08.0)8.01()3(2=⋅-==ζP0064.08.0)8.01()4(3=⋅-==ζP0016.0)8.01()5(4=-==ζP ……11分ζ1 2 3 4 5 P0.80.160.0320.00640.00162496.1=∴ζE .17.（本小题满分14分）所以二面角1C AD C--的余弦值为23.则△=222222164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>,即22840k m -+> 12221224122812km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩,19.（Ⅰ）解：(1)(),(1,)1x a ax f x x x --'=∈-+∞+. ………………2分（Ⅱ）解：① 当0=a 时，()1xf x x '=+.故)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-. ………………5分② 当0a >时，令()0f x '=，得10x =，或211x a =-.当10<<a 时，()f x 与()f x '的情况如下：所以，()f x 的单调增区间是1(0,1)a -；单调减区间是)0,1(-和1(1,)a -+∞. …6分当1=a 时，)(x f 的单调减区间是),1(+∞-. ………………7分当1a >时，210x -<<，()f x 与()f x '的情况如下：x2(1,)x - 2x21(,)x x1x 1(,)x +∞()f x ' -0 +0 +()f x↘ 2()f x↗[] 1()f x↘所以，()f x 的单调增区间是1(1,0)a -；单调减区间是1(1,1)a --和(0,)+∞. …8分[高当1=a 时，)(x f 的减区间是),1(+∞-；当1a >时，()f x 的增区间是1(1,0)a -；减区间是1(1,1)a --和(0,)+∞.………………10分由1(1)(0)0 ffa->=，知不合题意. ………………12分当1≥a时，)(xf在(0,)+∞单调递减，可得)(xf在[0,)+∞上的最大值是0)0(=f，符合题意.因为122<-=+ba,所以212223-=+=baa,23==bb.因为3312a b+=-<,所以334124a ba+==-,43b b==.下面用数学归纳法证明：①当2k=时，已证成立.②假设当k l=（l*∈N，且2l≥）猜想成立，即11l la b--+<，1l lb b-==，102llaa-=<.- 11 - 故211,1 2.2n n n a n --=⎧⎪=⎨-≥⎪⎩. ……………………………………………… 6分 （Ⅱ）解：当s k ≤≤2时，假设110k k a b --+<，根据已知条件则有1-=k k b b ，所以111111()22k k k k k k k a b b a a b a -----+-=-=-; …………………… 8分当s k ≤≤2时，总有111()2k k k k b a b a ---=-成立.又110b a -≠，所以数列}{k k a b -(s k ,,2,1 =)是首项为11b a -，公比为12的等比数列,11121)(-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-k k k a b a b ，1,2,,k s =,n n c c m +=21.因为2 11n n nc c cm+=+，所以211n n nc c cm+-=>.由2≥m，则nnnccmc+=+211<nnncccm++11，即1111n nc c m+->-.……12分因此1122111)11()11()11(1ccccccccmmmmm+-++-+-=---mmmm121+=+-->.- 12 -。
河南省洛阳市高三数学“一练”试题 理(含解析)新人教A版
河南省洛阳市高三“一练”数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）（•洛阳模拟）设复数z=﹣1﹣i（i为虚数单位），z 的共轭复数为=（）A．B．2C．D．1考点：复数代数形式的乘除运算；复数求模．专题：计算题．分析：给出z=﹣1﹣i ，则，代入整理后直接求模．解答：解：由z=﹣1﹣i ，则，所以=．故选A．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的模，考查了学生的运算能力，此题是基础题．2．（5分）（•洛阳模拟）已知集合，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为（）A．1B．2C．4D．8考点：集合的包含关系判断及应用；其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：通过解分式不等式求出好A，无理不等式求出集合B，通过满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数即可．解答：解：∵={1，2}={0，1，2，3，4}，因为A⊆C⊆B，所以C中元素个数至少有1，2；至多为：0，1，2，3，4；所以集合C的个数为{0，3，4}子集的个数：23=8．故选D．点评：本题考查分式不等式与无理不等式的求法，集合的子集的求解，考查计算能力，转化思想．3．（5分）（•洛阳模拟）如果函数y=3sin（2x﹣φ）（φ＞0）的图象关于直线对称，则φ的最小值为（）A．B．C．D．考点：正弦函数的对称性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：根据正弦函数图象对称轴方程的公式，建立关于φ的等式，化简可得﹣φ=+kπ（k∈Z），取k=﹣1得φ=，即为正数φ的最小值．解答：解：∵函数y=3sin（2x ﹣φ）的图象关于直线对称，∴当x=时，函数达到最大或最小值由此可得：2﹣φ=+kπ（k∈Z）∴﹣φ=+kπ（k∈Z），取k=﹣1，得φ=因此，φ的最小值为故选：C点评：本题给出三角函数图象的一条对称轴方程，求参数φ的最小值，着重考查了三角函数和图象与性质和正弦函数图象的对称性等知识，属于基础题．4．（5分）（•揭阳一模）如图，阅读程序框图，任意输入一次x（0≤x≤1）与y（0≤y≤1），则能输出数对（x，y）的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：计算题．分析：据程序框图得到事件“能输出数对（x，y）”满足的条件，求出所有基本事件构成的区域面积；利用定积分求出事件A构成的区域面积，据几何概型求出事件的概率．解答：解：是几何概型所有的基本事件Ω=设能输出数对（x，y）为事件A，则A=S（Ω）=1S（A）=∫01x2dx==故选A点评：本题考查程序框图与概率结合，由程序框图得到事件满足的条件、考查利用定积分求曲边图象的面积；利用几何概型概率公式求出事件的概率．5．（5分）（•洛阳模拟）若函数为常数）在定义域内为奇函数，则k的值为（）A．1B．﹣1 C．±1D．0考点：函数奇偶性的判断．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由奇函数定义知f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，进行化简整理即可求得k值．解答：解：因为f（x）为定义域内的奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），即=﹣，所以（2﹣x﹣k•2x）（2x+k•2﹣x）=﹣（2x﹣k•2﹣x）（2﹣x+k•2x），所以2﹣x•2x+k•2﹣2x﹣k•22x﹣k2•2x•2﹣x=﹣2x•2﹣x﹣k•22x+•k•2﹣2x+k2•2﹣x•2x，即1﹣k2=﹣1+k2，解得k=±1，故选C．点评：本题考查函数的奇偶性，考查指数幂的运算法则，考查学生的运算能力，属中档题．6．（5分）（•洛阳模拟）在△ABC中，D为BC 边上的点，的最大值为（）A．1B．C．D．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：在△ABC中，D为BC边的点，由D，B，C三点共线可知λ+μ=1，（λ、μ＞0），利用基本不等式即可求得λμ的最大值．解答：解：∵在△ABC中，D为BC边的点，∴D，B，C三点共线且D在B，C之间，∴λ+μ=1，（λ＞0，μ＞0）∴λμ≤==（当且仅当λ=μ时取“=”）．∴λμ的最大值为．故选D．点评：本题考查基本不等式，求得λ+μ=1，（λ＞0，μ＞0）是关键，属于中档题．7．（5分）（•洛阳模拟）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．64+32πB．64+64πC．256+64πD．256+128π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，上面是一个圆柱，底面直径为8，高为4；下面是一个长宽高分别为8，8，4的长方体．据此即可计算出．解答：解：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，上面是一个圆柱，底面直径为8，高为4；下面是一个长宽高分别为8，8，4的长方体．∴该几何体的体积V=8×8×4+π×42×4=256+64π．故选C．点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．8．（5分）（•洛阳模拟）已知F是抛物线y2=4x的焦点，过点F1的直线与抛物线交于A，B两点，且|AF|=3|BF|，则线段AB的中点到该抛物线准线的距离为（）A．B．C．D．10考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义即条件，求出A，B的中点横坐标，即可求出线段AB的中点到抛物线准线的距离．解答：解：抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=﹣1设A（x1，y1），B（x2，y2），则∵|AF|=3|BF|，∴x1+1=3（x2+1），∴x1=3x2+2∵|y1|=3|y2|，∴x1=9x2，∴x1=3，x2=∴线段AB 的中点到该抛物线准线的距离为[（x1+1）+（x2+1）]=故选B．点评：本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离是关键．9．（5分）（•洛阳模拟）函数的最大值为（）A．2B．3C．D．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．专题：计算题．分析：函数解析式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域，即可确定出f（x）的最大值．解答：解：f（x）=1﹣cos （+2x ）﹣cos2x=1+（sin2x ﹣cos2x）=1+2sin（2x ﹣），∵≤x≤，∴≤2x﹣≤，∵≤sin（2x ﹣）≤1，即2≤1+2sin（2x ﹣）≤3，则f（x）的最大值为3．故选B点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．10．（5分）（•洛阳模拟）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC ，，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，则球O的表面积为（）A．4πB．12πC．16πD．64π考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC ，，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，知BC=，∠ABC=90°．故△ABC截球O所得的圆O′的半径r==1，由此能求出球O的半径，从而能求出球O的表面积．解答：解：如图，三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，∵SA⊥平面ABC ，，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，∴BC==，∴∠ABC=90°．∴△ABC截球O所得的圆O′的半径r==1，∴球O的半径R==2，∴球O的表面积S=4πR2=16π．故选C．．点评：本题考查球的表面积的求法，合理地作出图形，数形结合求出球半径，是解题时要关键．11．（5分）（•洛阳模拟）已知的两个零点，则（）A．B．1＜x1x2＜e C．1＜x1x2＜10 D．e＜x1x2＜10考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：若的两个零点，则x1，x2是函数y=e﹣x和y=|lnx|的图象交点的横坐标，在同一个坐标系中，画函数y=e﹣x和y=|lnx|的图象，利用对数函数的性质，可判断出x1x2的范围．解答：解：若的两个零点，则x1，x2是函数y=e﹣x和y=|lnx|的图象交点的横坐标在同一个坐标系中，画函数y=e﹣x和y=|lnx|的图象如下图所示：由图可得即﹣1＜ln（x1•x2）＜1即又∵﹣lnx1＞lnx2∴ln（x1•x2）＜0∴x1•x2＜1综上故选A点评：本题考查的知识点是函数的零点，对数函数的图象和性质，其中画出函数的图象，并利用数形结合的办法进行解答是关键．12．（5分）（•洛阳模拟）设F1，F2分别为双曲线的左右焦点，过F1引圆x2+y2=9的切线F1P交双曲线的右支于点P，T为切点，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，则|MO|﹣|MT|等于（）A．4B．3C．2D．1考点：两点间的距离公式；双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由双曲线方程，算出c==5，根据三角形中位线定理和圆的切线的性质，并结合双曲线的定义可得|MO|﹣|MT|=4﹣a=1，得到本题答案．解答：解：∵MO是△PF1F2的中位线，∴|MO|=|PF2|，|MT|=|PF1|﹣|F1T|，根据双曲线的方程得：a=3，b=4，c==5，∴|OF1|=5，∵PF1是圆x2+y2=9的切线，|OT|=3，∴Rt△OTF1中，|FT|==4，∴|MO|﹣|MT|=|=|PF2|﹣（|PF1|﹣|F1T|）=|F1T|﹣（|PF1|﹣|PF2|）=4﹣a=1故选：D点评：本题给出双曲线与圆的方程，求|MO|﹣|MT|的值，着重考查了双曲线的简单性质、三角形中位线定理和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．二、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）（•洛阳模拟）设变量x，y 满足约束条件：．则目标函数z=2x+3y 的最小值为7 ．考点：简单线性规划．专题：数形结合．分析：先根据条件画出可行域，设z=2x+3y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=2x+3y，过可行域内的点B（1，1）时的最小值，从而得到z最小值即可．解答：解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域△ABC，A（2，1），B（4，5），C（1，2），当直线过A（2，1）时，目标函数z=2x+3y的最小，最小值为7．故答案为：7．点评：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．14．（5分）（•洛阳模拟）曲线处的切线方程为x+y﹣2=0 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：由y=，知，由此能求出曲线处的切线方程．解答：解：∵y=，∴，∴曲线处的切线方程的斜率k=y′|x=0=﹣1，∴曲线处的切线方程为y﹣2=﹣x，即x+y﹣2=0．故答案为：x+y﹣2=0．点评：本题考查曲线方程在某点处的切线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意导数的几何意义的灵活运用．15．（5分）（•洛阳模拟）的展开式中各项系数之和为729，则该展开式中x2的系数为160 ．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；概率与统计．分析：由的展开式中各项系数之和为729，知3n=729，解得n=6．再由（2x+）6的通项公式为T r+1==，能求出该展开式中x2的系数．解答：解：∵的展开式中各项系数之和为729，令x=1，得3n=729，解得n=6．∵（2x+）6的通项公式为T r+1==，由6﹣=2，得r=3．∴该展开式中x2的系数为=8×=160．故答案为：160．点评：本题考查二项式系数的性质的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．16．（5分）（•洛阳模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2bcosB=acosC+ccosA，且b2=3ac，则角A 的大小为或．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由条件利用正弦定理、诱导公式可得sin2B=sin（A+C），得B=60°，A+C=120°．又b2=3ac，即sin2B=3sinAsinC，利用积化和差公式求得cos（A﹣C）=0，得A﹣C=±90°，由此可得A的大小．解答：解：△ABC中，∵2bcosB=acosC+c•cosA，由正弦定理可得2sinBcosB=sinAcosC+sinC•cosA，∴sin2B=sin（A+C）．得2B=A+C （如果2B=180°﹣（A+C），结合A+B+C=180°易得B=0°，不合题意）．A+B+C=180°=3B，得B=60°，A+C=120°．又b2=3ac，故 sin2B=3sinAsinC，∴=3sinAsinC=3×[cos（A﹣C）﹣cos（A+C）]=（cos（A﹣C）+），解得 cos（A﹣C）=0，故A﹣C=±90°，结合A+C=120°，易得 A=，或A=．故答案为A=，或A=点评：本题主要考查正弦定理、诱导公式、积化和差公式的应用，已知三角函数值求角的大小，属于中档题．三、解答题：本大题共8小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（•洛阳模拟）设数列{a n}满足：a1+2a2+3a3+…+na n=2n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=n2a n，求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列递推式；数列的求和．专题：计算题．分析：（1）根据题意，可得a1+2a 2+3a3++（n﹣1）a n﹣1=2n﹣1，两者相减，可得数列{a n}的通项公式．（2）根据题意，求出b n的通项公式，继而求出数列{b n}的前n项和S n．解答：解：（1）∵a1+2a2+3a3+…+na n=2n①，∴n≥2时，a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）a n﹣1=2n﹣1②①﹣②得na n=2n﹣1，a n=（n≥2），在①中令n=1得a1=2，∴a n=（2）∵b n=．则当n=1时，S1=2∴当n≥2时，S n=2+2×2+3×22+…+n×2n﹣1则2S n=4+2×22+3×23+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n相减得S n=n•2n﹣（2+22+23+…+2n﹣1）=（n﹣1）2n+2（n≥2）又S1=2，符合S n的形式，∴S n=（n﹣1）•2n+2（n∈N*）点评：此题主要考查数列通项公式的求解和相关计算．18．（12分）（•洛阳模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=PB=3，BC=1，AB=2，AD=3，O是AB的中点．（1）证明：CD⊥平面POC；（2）求二面角C﹣PD﹣O的余弦值的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间向量及应用．分析：（1）利用侧面PAB⊥底面ABCD，可证PO⊥底面ABCD，从而可证PO⊥CD，利用勾股定理，可证OC⊥CD，从而利用线面垂直的判定，可得CD⊥平面POC；（2）建立坐标系，确定平面OPD、平面PCD的一个法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角O﹣PD ﹣C的余弦值；解答：证明：（1）∵PA=PB=，O为AB中点，∴PO⊥AB∵侧面PAB⊥底面ABCD，PO⊂侧面PAB，侧面PAB∩底面ABCD=AB，∴PO⊥底面ABCD∵CD⊂底面ABCD，∴PO⊥CD在Rt△OBC中，OC2=OB2+BC2=2在Rt△OAD中，OD2=OA2+AD2=10在直角梯形ABCD中，CD2=AB2+（AD﹣BC）2=8∴OC2+CD2=OD2，∴△ODC是以∠OCD为直角的直角三角形，∴OC⊥CD∵OC，OP是平面POC内的两条相交直线∴CD⊥平面POC…（6分）解：（2）如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，则P（0，0，2），D（﹣1，3，0），C（1，1，0）∴=（0，0，2），=（﹣1，3，0），=（﹣1，﹣1，2），=（﹣2，2，0）假设平面OPD 的一个法向量为=（x，y，z），平面PCD 的法向量为=（a，b，c），则由可得，令x=3，得y=1，z=0，则=（3，1，0），由可得，令a=2，得b=2，c=，即=（2，2，）∴cos＜，＞===故二面角O﹣PD﹣C 的余弦值为．…（12分）点评：本题考查线面垂直，考查面面角，考查向量方法解决空间角问题，正确运用线面垂直的判定是关键．19．（12分）（•洛阳模拟）随着建设资源节约型、环境友好型社会的宣传与实践，低碳绿色的出行方式越来越受到追捧，全国各地兴起了建设公共自行车租赁系统的热潮，据不完全统计，已有北京、株洲、杭州、太原、苏州、深圳等城市建设成公共自行车租赁系统，某市公共自行车实行60分钟内免费租用，60分钟以上至120分钟（含），收取1元租车服务费，120分钟以上至180分钟（含），收取2元租车服务费，超过180分钟以上的时间，按每小时3元计费（不足一小时的按一小时计），租车费用实行分段合计．现有甲，乙两人相互到租车点租车上班（各租一车一次），设甲，乙不超过1小时还车的概率分别为小时以上且不超过2小时还车的概率分别为小时以上且不超过3小时还车的概率分别为，两人租车时间均不会超过4小时．（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率．（2）设甲一周内有四天（每天租车一次）均租车上班，X表示一周内租车费用不超过2元的次数，求X的分布列与数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题．分析：（1）甲、乙两人租车费用相同包括0，1，3，6元，然后利用互斥事件的概率公式分别求出相应的概率，最后求和可求出所求；（2）X的取值可能为0，1，2，3，4，然后利用二项分布的概率公式分别求出相应的概率，列出分布列，最后利用数学期望公式解之即可．解答：解：（1）甲、乙两人租车费用相同包括0，1，3，6元两人都付0元的概率为P1=×=两人都付1元的概率为P2=×=两人都付3元的概率为P3=×=两人都付6元的概率为P4=（1﹣﹣﹣）×（1﹣﹣﹣）=×=则甲，乙两人所付租车费用相同的概率为P=P1+P2+P3+P4=（2）依题意，甲某每天租车费用不超过2元的概率为P=+=则P（X=0）=××=，P（X=1）==P（X=2）==，P（X=3）==P（X=4）==∴X的分布列为X 0 1 2 3 4PX的数学期望为E（X ）=1×+2×+3×+4×=3点评：本题主要考查了事件、互斥事件的概率，以及离散型随机变量的分布列和数学期望，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．20．（12分）（•洛阳模拟）在平面直角坐标系中xOy中，O为坐标原点，A（﹣2，0），B（2，0），点P为动点，且直线AP与直线BP 的斜率之积为．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点D（1，0）的直线l交轨迹C于不同的两点M，N，△MON的面积是否存在最大值？若存在，求出△MON 的面积的最大值及相应的直线方程；若不存在，请说明理由．考点：轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设P点坐标为（x，y）根据直线AP与直线BP 的斜率之积为，代入斜率公式，整理可得动点P的轨迹C的方程；（2）设出交点M，N的坐标及直线l的方程为x=ny+1，联立方程根据韦达定理求出y1+y2，y1•y2的值，根据弦长公式求出MN长，求出△MON的面积的表达式，分析出对应函数的单调性，可得答案．解答：解：设P点的坐标为（x，y）∵A（﹣2，0），B（2，0），直线AP与直线BP 的斜率之积为．∴•=（x≠±2）整理得P 点的轨迹方程为（x≠±2）（2）设直线l的方程为x=ny+1联立方程x=ny+1与（x≠±2）得（3n2+4）y2+6ny﹣9=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=，y1•y2=△MON的面积S=•|OP|•|y1﹣y2|====令t=，则t≥1，且y=3t+在[1，+∞）是单调递增∴当t=1时，y=3t+取最小值4此时S 取最大值此时直线的方程为x=1点评：本题考查的知识点是轨迹方程，直线与圆锥曲线的关系，熟练掌握设而不求，联立方程，韦达定理，弦长公式等一系列处理直线与圆锥曲线关系的方法和技巧是解答的关键．21．（12分）（•洛阳模拟）已知函数．（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；（2）若对任意的，求实数m的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）当a=2时，求出f（x），在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；（2）对任意的a∈（1，2），当x0∈[1，2]时，都有f（x0）＞m（1﹣a2），等价于f（x0）min＞m（1﹣a2），用导数可求f（x0）min，构造函数g（a）=f（x0）min﹣m（1﹣a2）（1＜a＜2），问题转化为g（a）min＞0（1＜a＜2），分类讨论可求出m的取值范围．解答：解：（1）当a=2时，f（x）=，定义域为（﹣，+∞）．f′（x）=2x﹣2+=2x﹣2+=．由f′（x）＞0，得，或x ＞；由f′（x）＜0，得0＜x ＜．所以函数f（x ）的单调递增区间为（，0），（，+∞），单调递减区间为（0，）．（2）y=f（x ）的定义域为（﹣，+∞）．f′（x）=2x﹣a+=2x﹣a+==．当1＜a＜2时，﹣1==＜0，即，所以当1＜x＜2时，f′（x）＞0，f（x）在[1，2]上单调递增，所以f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=1﹣a+ln （）．依题意，对任意的a∈（1，2），当x0∈[1，2]时，都有f（x0）＞m（1﹣a2），即可转化为对任意的a∈（1，2），1﹣a+ln （）﹣m（1﹣a2）＞0恒成立．设g（a）=1﹣a+ln （）﹣m（1﹣a2）（1＜a＜2）．则g′（a）=﹣1++2ma==，①当m≤0时，2ma﹣（1﹣2m）＜0，且＞0，所以g′（a）＜0，所以g（a）在（1，2）上单调递减，且g（1）=0，则g（a）＜0，与g（a）＞0矛盾．②当m＞0时，g′（a）=，若，则g′（a）＜0，g（a）在（1，2）上单调递减，且g（1）=0，g（a）＜0，与g（a）＞0矛盾；若1＜＜2，则g（a）在（1，）上单调递减，在（，2）上单调递增，且g（1）=0，g（a）＜g（1）=0，与g（a）＞0矛盾；若，则g（a）在（1，2）上单调递增，且g（1）=0，则恒有g（a）＞g（1）=0，所以，解得m，所以m的取值范围为[，+∞）．点评：本题考查综合运用导数求函数的单调区间、最值及函数恒成立问题，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，考查分类讨论思想的运用．22．（10分）（•洛阳模拟）选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知PE切⊙O于点E，割线PBA交⊙O于A，B两点，∠APE的平分线和AE，BE分别交于点C，D．求证：（1）CE=DE；（2）．考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．专题：选作题．分析：（1）由弦切角定理是，及PC为∠APE的平分线，可证得∠ECD=∠EDC，进而证得CE=DE （2）先由AA证明出△PBC∽△ECD，进而证得△PBC∽△PEC，可由相似三角形对应边成比例得到结论．解答：解：（1）PE切圆O于点E∴∠A=∠BEP∵PC平分∠APE，∴∠A+∠CPA=∠BEP+∠DPE∵∠ECD=∠A+∠CPA，∠EDC=∠BEP+∠DPE∴∠ECD=∠EDC，∴EC=ED（2）∵∠PDB=∠EDC，∠EDC=∠ECD∴∠PDB=∠PCE∵∠BPD=∠EPC∴△PDB∽△PEC∴=同理△PDE∽△PCA∴=∴=∵DE=CE∴点评：本题考查的往右点是与圆相关的比例线段，相似三角形的性质，熟练掌握弦切角定理及相似三角形的判定及性质是解答的关键．23．（•洛阳模拟）选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l经过点P（﹣1，0），其倾斜角为α，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+5=0．（1）若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围；（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．考点：直线与圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；直线与圆．分析：（1）先根据极坐标与直角坐标互化的公式，算出曲线C的直角坐标方程，再结合直线l 的参数方程：，联解得到关于参数t的二次方程，运用根的判别式列式并解之，即可得到角α的取值范围；（2）由（1）可得曲线C的参数方程，从而得到x+y=3+2sin （θ+），最后结合正弦函数的值域，即可得到x+y的取值范围．解答：解：（1）将曲线ρ2﹣6ρcosθ+5=0化成直角坐标方程，得圆C：x2+y2﹣6x+5=0直线l 的参数方程为（t为参数）将其代入圆C方程，得（﹣1+tcosα）2+（tsinα）2﹣6tsinα+5=0整理，得t2﹣8tcosα+12=0∵直线l与圆C有公共点，∴△≥0，即64cos2α﹣48≥0，可得cosα≤﹣或cosα≥∵α为直线的倾斜角，得α∈[0，π）∴α的取值范围为[0，]∪[，π）（2）由圆C：x2+y2﹣6x+5=0化成参数方程，得（θ为参数）∵M（x，y）为曲线C上任意一点，∴x+y=3+2cosθ+2sinθ=3+2sin （θ+）∵sin（θ+）∈[﹣1，1]∴2sin （θ+）∈[﹣2，2]，可得x+y的取值范围是[3﹣2，3+2]．点评：本题给出直线与圆的极坐标方程，要求我们将其化成直角坐标方程并研究直线与圆位置关系．着重考查了直角坐标与极坐标的互化、简单曲线的极坐标方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．24．（•洛阳模拟）选修4﹣5：不等式选讲设函数f（x）=|x+1|+|x﹣4|﹣a．（1）当a=1时，求函数f（x）的最小值；（2）若对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．考点：函数恒成立问题；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：函数的性质及应用．分析：（1）当a=1时，利用绝对值不等式的性质即可求得最小值；（2）⇔|x+1|+|x﹣4|﹣1≥a+⇔a+≤4，对a进行分类讨论可求a的取值范围．解答：解：（1）当a=1时，f（x）=|x+1|+|x﹣4|﹣1≥|（x+1）﹣（x﹣4）|﹣1=5﹣1=4．所以函数f（x）的最小值为4．（2）对任意的实数x恒成立⇔|x+1|+|x﹣4|﹣1≥a+对任意的实数x恒成立⇔a+≤4对任意实数x恒成立．当a＜0时，上式显然成立；当a＞0时，a+≥2=4，当且仅当a=即a=2时上式取等号，此时a+≤4成立．综上，实数a的取值范围为（﹣∞，0）∪{2}．点评：本题考查绝对值函数、基本不等式以及恒成立问题，考查分类讨论思想，恒成立问题一般转化为函数最值问题解决，．四、附加题（满分0分，不计入总分）25．（•洛阳模拟）有小于1的n（n≥2）个正数x1，x2，x3，…，x n，且x1+x2+x3+…+x n=1．求证：．考点：不等式的证明．专题：证明题；不等式的解法及应用．分析：由x1，x2，x3，…，x n均为小于1的正数，可得，由均值定理及放缩法，证得成立．解答：证明：∵x1，x2，x3，…，x n均为小于1的正数，∴∴＞≥又∵≤=∴≥n∴＞n2≥22=4即＞4点评：本题考查的知识点是不等式的证明，熟练掌握均值定理及放缩法是解答的关键．。
四川省成都市高三数学一诊模拟试题 理 新人教A版
命 题： 审 核：本试卷分第一部分（选择题）、第二部分（填空题）和第三部分（解答题）三部分。
考试结束后，将本试题卷交回。
第一部分（选择题 共50分 每题5分）1、复数()21i i -等于（ ）A.4B.-4C.4iD.4i -2、设全集U=R ，{}{}43,16A x x x B x x =<-≥=-<<或，则集合{}13x x -<<是（ ） A.()()UUA B B.()UAB C.()U A B D.A B3、给出如下四个命题：①若“P q 且”为假命题，则,p q 均为假命题 ②命题“若a b >，则221a b >-”的否命题为“若a b ≤，则2221b ≤-” ③“2,11x R x ∀∈+≥”的否定是“2,11x R x ∃∈+<” ④命题“若cos cos x y =，则x y =”的逆否命题为真命题 其中正确的命题的个数是（ ） A.4 B.3 C.2 D.14、已知正方体1111ABCD ABC D -的棱长为a ，112AM MC =，点N 为1B B 的中点，则MN =（ ）5、已知圆C 的方程为222210x y x y ++-+=，当圆心C 到直线40kx y ++=的距离最大时，k 的值为（ ）A.15B.15- C.5- D.56、已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为则其左视图的面积是（ ）A.4B.7、铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的2CO 的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如表。
某冶炼厂至少要生产1.9（万吨）铁，若要求2CO 排放量不超过2（万吨），则购买铁矿石的最少费用为（ ） A.12百万元 B.13百万元 C.14百万元 D.15百万元8.已知函数231(),2()24log ,02x x f x x x ⎧⎪+≥=⎨<<⎪⎩，若函数()()g x f x k =-有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是（ ）A.()3,14B.()30,4 C.(),1-∞ D.()0,1 9.如果存在正整数ω和实数ϕ，使得函数()2()cos f x x ωϕ=+的图象如图所示，且图象经过点（1，0），那么ω的值为（ ） A.4 B.3 C.2 D.110.定义方程()()f x f x '=（()f x '是()f x 的导函数）的实数根0x 叫做函数的f 若函数()3(),()ln 1,()1g x x h x x x x ϕ==+=-的“新驻点”分别为,,αβγ，则,,αβγ的大小关系为（）A.αβγ>>B.βαγ>>C.βγα>>D.γαβ>> 第二部分（填空题 共25分 每题5分）11、若()12nx x -展开式中各项的二项式系数之和为32，则该展开式中含3x 的项的系数为12、执行如图所示的程序框图，若输入2x =，则输出y 的值为 13、设点M 是半径为R 的圆周上一个定点，其中O 为圆心，连接OM ，在圆周上等可能地取任意一点N ，连接MN ，则弦MN 的概率为 14、在平面直角坐标系中，以点（1，0）为圆心，r 为半径作圆，依次与抛物线2y x =交于A 、B 、C 、D 四点，若AC 与BD 的交点F 恰好为抛物线的焦点，则r =15、设集合X 是实数集R 上的子集，如果0x R ∈满足：对0a ∀>，都x X ∃∈，使得00x x a <-<，那么称0x 为集合X 的聚点，用Z 表示整数集，则给出下列集合：①{},01n n Z n n ∈≥+；②{}\0R （R 中除去元素0）；③{}1,0n Z n n∈≠；④整数集Z 其中以0为聚点的集合的序号有 （写出所有正确集合的序号）第三部分（解答题 共75分）16、（12分）已知向量()()2sin(),cos(),cos(),2sin()12121212a x xb x x ππππ=+-=+-，函数2()2cos f x a b x =⋅-；（1）求()f x 的最小正周期；（2）若函数()y g x =的图象是由()y f x =的图象向左平移4π个单位长度，再向下平移1个单位长度得到的，当0,2x π⎡⎤∈⎣⎦时，求()y g x =的最大值和最小值。
福建省福州一中高三数学模拟试题 理 新人教A版
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分（满分150分 考试时间120分钟）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置．） 1．已知复数1iz i=-（i 为虚数单位）则复数z 在复平面对应的点位于 （ ） A ． 第一象限 B ． 第二象限 C. 第三象限． D ． 第四象限 2．等差数列{}n a 中，192a =-,352a =-,则该数列前n 项和n S 取得最小值时n 的值是 A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 ( ) 3．若向量)1,1(),0,2(==b a ，则下列结论正确的是 ( )A ．⊥-)( B.||||a = C ．1=⋅b a D ．b a // 4．下列有关命题的说法正确的是 ( )A ．若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题 ；B ．“2>x ”是“2320x x -+>”的必要不充分条件；C ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈， 均有210x x ++<”； D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题．5．函数()f x =ln ||(0)1(0)x x x x<⎧⎪⎨>⎪⎩的图像大致是 ( )6．关于直线m 、n 与平面α、β，有下列四个命题：①若m ∥α，n ∥β且α∥β，则m ∥n ； ②若m α⊥，n β⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ③若m α⊥，n ∥β且α∥β，则m n ⊥； ④若m ∥α，n β⊥且αβ⊥，则m ∥n ． 则其中真命题的是 （ ） A ．①② B ．③④ C ．①④ D ．②③7.已知抛物线2x =的准线过双曲线2221x y m-=-的一个焦点，则双曲线的离心率为( )A.32 B.6C.3D.38．在ABC ∆中，,,a b c 是角,,A B C 的对边，若,,a b c 成等比数列，60A ︒=，则sin b Bc= ( )A ．12B ．2C ． 3D ．349. 设,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥-≤--,0,0,0,023y x y x y x 若目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的最大值为1，则b a 11+的最小值为 ( )A ．625B ．38C ．311 D ．410．若对任意,x A y B ∈∈，（,A R B R ⊆⊆）有唯一确定的(,)f x y 与之对应，则称(,)f x y 为关于,x y 的二元函数。
2019-2020年高三数学第一次模拟考试 理 新人教A版
2019-2020年高三数学第一次模拟考试 理 新人教A 版本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)，第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上．2．考生作答时，请将答案答在答题纸上，在本试卷上答题无效．按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．3．答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．保持答题纸纸面清洁，不破损．考试结束后，本试卷自行保存，将答题纸交回． 参考公式： 样本数据，，…，的标准差：22121()()n s x x x x x x n 2=[-+-+⋯+(-)]，其中为样本平均数；柱体体积公式：，其中为底面面积，为高； 锥体体积公式：，其中为底面面积，为高； 球的表面积、体积公式：，，其中为球的半径． 第Ⅰ卷（选择题共50分） 一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡相应位置）1．若i 为虚数单位，且复数满足，则复数的虚部是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．已知命题，则（ ） A ． B ． C ． D ．3．在等差数列中，若，则等于（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 4．设随机变量服从正态分布.若，则的值为（ ） A ． B ． C ． D ． 5．已知数列中，，，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是（ ） A ． B ．C ．D ． 6．已知点的坐标满足条件则点到直线的距离的最小值为（ ） A ． B ． C ． D ． 7．函数的部分图象大致是（ ）8．若双曲线与直线无交点，则离心率的取值范围（）A．B．C．D．9．若函数的图象与x轴交于点A，过点A的直线与函数的图象交于B、C两点，则（）A．B．C．D．10．如图，在平面直角坐标系中，正六边形的中心在坐标原点，边长为，平行于轴，直线(为常数)与正六边形交于两点，记的面积为，则关于函数的奇偶性的判断正确的是（）A．一定是奇函数B．—定是偶函数C．既不是奇函数，也不是偶函数D．奇偶性与有关第Ⅱ卷（非选择题共100分）本卷包括必答题和选答题两部分．第21（1）、（2）、（3）题为选考题，请考生根据要求选答；第16题~第20题为必答题，每个试题考生都必须做答．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置）11．展开式中常数项为．12．已知函数若，则等于．13．某班级有50名学生，现要采取等距系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1—50号，并分组，第一组1—5号，第二组6—10号，…，第十组46—50号．若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为___ 的学生.14．一个几何体的三视图如右图所示，则它的体积为．15．定义：平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系(两条数轴的原点重合且单位长度相同)称为平面斜坐标系．在平面斜坐标系xOy中，，平面上任意一点P关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若（其中，分别是x轴，y轴同方向的单位向量），则P点的斜坐标为(x，y)，向量的斜坐标为(x，y)．给出以下结论：①若，P(2,－1)，则；②若，，则；③若，，则；④若，以O为圆心，1为半径的圆的斜坐标方程为．其中正确结论的序号是___________（写出所有正确结论的序号）．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．(本小题满分13分)如图1，在Rt中，，．D、E分别是上的点，且．将沿折起到的位置，使，如图2．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，求与平面所成角的正弦值；17．(本小题满分13分)函数部分图象如图所示，其图象与轴的交点为，它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和ABCDE图1 图2A1BCDE第14题图（Ⅰ）求的解析式及的值；（Ⅱ）在中，、、分别是角、、的对边，若，的面积为，求、的值.18．(本小题满分13分)有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙．已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响．假设汽车(Ⅰ)为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车A和汽车B应如何选择各自的路径；(Ⅱ)若通过公路1、公路2的“一次性费用”分别为万元、万元(其它费用忽略不计)，此项费用由生产商承担．如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到，则销售商一次性支付给生产商40万元，若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给生产商2万元；若在约定日期后送到，每迟到一天，销售商将少支付给生产商2万元．如果汽车A、B长期按(Ⅰ)所选路径运输货物，试比较哪辆汽车为生产商获得的毛利润更大．(注：毛利润=(销售商支付给生产商的费用)一(一次性费用)) ．19．(本小题满分13分)已知椭圆经过点，且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）动直线交椭圆于、两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得以为直径的圆恒过点．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分14分)已知函数．（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）设函数．若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围．21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．（1）(本小题满分7分)选修4－2：矩阵与变换选做题已知矩阵A=有一个属于特征值1的特征向量.(Ⅰ) 求矩阵A；(Ⅱ) 矩阵B=，点O(0,0)，M(2，-1)，N(0，2)，求在矩阵AB的对应变换作用下所得到的的面积. （2）(本小题满分7分)选修4－4：坐标系与参数方程选做题在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的参数方程为，曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）将曲线的参数方程化为普通方程；（Ⅱ）判断曲线与曲线的交点个数，并说明理由．（3）(本小题满分7分)选修4－5：不等式选讲选做题已知函数，不等式在上恒成立．（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）记的最大值为，若正实数满足，求的最大值．南安一中xx 届高三毕业班第一次模拟考试数学科试卷参考答案 1．【解析】D ．，故复数的虚部是． 2．【解析】A ．全称命题的否定是特称命题，所以. 3．【解析】C ．由于，所以，解得． 4．【解析】B ．因为，所以，从而12(2)120.2(01)0.322P P ξξ-≥-⨯<<===．5．【解析】B ．第1次循环，s=1+1=2 ，n=1+1=2；第2次循环，s=2+2=4， n=2+1=3；当执行第10项时，，的值为执行之后加1的值，所以，判断条件应为进入之前的值，故答案为或. 6．【解析】C ．作出可行域，可知可行域内的点到直线的距离的最小，其值为． 7．【解析】C ．函数为奇函数，所以图象关于原点对称，排除B ；当时，，排除D ；，由，得，所以函数的极值有很多个，所以选C. 8．【解析】B ．因为双曲线的渐近线为，要使直线与双曲线无交点，则直线，应在两渐近线之间，所以有，即，所以，，即，，所以． 9．【解析】D ． 由，解得，即，过点A 的直线与函数的图象交于B 、C 两点，根据对称性可知，是的中点，所以，所以22()222432OB OC OA OA OA OA +⋅=⋅==⨯=.10．【解析】B ．设点、关于原点的对称点分别为为、，可知、在正六边形的边上．当直线在某一个确定的位置时，对应有一个的值，那么易得直线的斜率仍为，对应的截距为，显然的面积与 的面积相等，即函数关于轴对称，所以是偶函数． 11．【解析】．展开式的通项为，由，得，所以常数项为． 12．【解析】或．当时，由，得；当时，由，得． 13．【解析】37．因为，即第三组抽出的是第二个同学，所以每一组都相应抽出第二个同学，所以第8组中抽出的号码为号． 14．【解析】．由三视图可知，该几何体是一个放到的四棱锥，其中四棱锥的底面是主视图，为直角梯形，直角梯形的上底为1，下底为4，高为 4.又棱锥的高为4，所以四棱锥的体积为．15．【解析】①②④．①若，P(2,－1)，则，2222121122121(2)4444cos601541132OP =-=-⋅+=-⋅+=-⨯⨯⨯=e e e e e e e e ，所以，①正确；若，，则，，所以，即，所以②正确；，，则，，所以111221221212122112()()())OP OQ x y x y x x y y x y x y ⋅=+⋅+=+++⋅e e e e e e ，所以③错误；若，以为圆心，1为半径的圆，设圆上的任意一点，由，可得，即，所以，所以④正确，故填①②④．16．【解析】（Ⅰ）在图1△中，．. …………………………2分又11,,A D CD CD DE D A D BCDE ⊥⋂=∴⊥面.…………………………4分由1,,BC CD CD BC C BC A DC ⊥⋂=∴⊥面. …………………………6分（Ⅱ）如图，以为原点，建立空间直角坐标系． ……………………7分 ．…………………………8分 设为平面的一个法向量，因为所以，令，得.所以为平面的一个法向量． ……………………10分 设与平面所成角为． 则． 所以与平面所成角的正弦值为．……………13分 17． 【解析】（Ⅰ）由图可知，．设函数的周期为，则，所以，所以． ……………2分此时，．又点在图象上，所以，可得，因为，所以． ……………………………………………4分 所以的解析式为． …………………………………5分[ ，所以又因为是最小的正数，所以．……………………………………………………8分 （Ⅱ）由，得，即． ，，所以，所以．…………………10分 由，得，① 由，得，即，② 从而得，③解①③得．………………………………………13分………………………………………………………2分设分别表示汽车A 在前11天出发选择公路1、2将货物运往城市乙；分别表示汽车B 在前12天出发选择公路1、2将货物运往城市乙； ，，所以汽车A 应选择公路1，……………………………4分 ，，所以汽车B 应选择公路2．…………………6分（Ⅱ）设表示汽车A 选择公路1时，销售商付给生产商的费用，则. 的分布列如下：42 40 38 36()420.2400.4380.2360.239.2P X=⨯+⨯+⨯+⨯=．所以表示汽车A选择公路1时的毛利润为（万元）．…………9分设表示汽车B选择公路2时给生产商的费用，则则的分布列如下：()440.1420.4400.4380.141P Y=⨯+⨯+⨯+⨯=，所以表示汽车B选择公路1时的毛利润为（万元）．因为，所以汽车B为生产商获得毛利润更大．……………12分19．【解析】（Ⅰ）椭圆的两焦点与短轴的一个端点连线构成等腰直角三角形，所以，故椭圆的方程为．又因为椭圆经过点，代入可得，………………………………………2分所以，故所求椭圆方程为．………………………………………4分（Ⅱ）当直线的斜率为0时，直线为，直线交椭圆于、两点，以为直径的圆的方程为；当直线的斜率不存在时，直线为，直线交椭圆于、两点，以为直径的圆的方程为，由解得即两圆相切于点，因此，所求的点如果存在，只能是．………………8分事实上，点就是所求的点．证明如下：当的斜率不存在时，以为直径的圆过点．………………………………9分若的斜率存在时，可设直线为，由消去得．记点、，则…………………………10分又因为，所以1212121244(1)(1)()()33 TA TB x x y y x x kx kx ⋅=+--=+--916918123491816)1(222=++⋅-+-⋅+=kkkkk．所以，即以为直径的圆恒过点，…………………………………12分所以在坐标平面上存在一个定点满足条件．……………………………………13分20．【解析】函数的定义域为，．…………………………………………………1分（Ⅰ）当时，函数，，．所以曲线在点处的切线方程为，即．………………………………………………………………………4分（Ⅱ）函数的定义域为．（1）当时，在上恒成立，则在上恒成立，此时在上单调递减．……………5分（2）当时，，（ⅰ）若，由，即，得或；………………6分由，即，得．………………………7分所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．……………………………………8分（ⅱ）若，在上恒成立，则在上恒成立，此时在上单调递增．…………………………………………………9分（Ⅲ））因为存在一个使得，则，等价于.………………………………………………10分令，等价于“当时，”.对求导，得. ……………………………………………11分因为当时，，所以在上单调递增. ……………13分所以，因此. …………………………………………14分另解：设，定义域为，.依题意，至少存在一个，使得成立，等价于当时，. ………………………………………10分（1）当时，在恒成立，所以在单调递减，只要，不满足题意. …………………………………11分（2）当时，令得.（ⅰ）当，即时，在上，所以在上单调递增，所以，由得，，所以. …………………………………………………………12分（ⅱ）当，即时，在上，所以在单调递减，所以，由得.…………………………………………………13分（ⅲ）当，即时，在上，在上，所以在单调递减，在单调递增，，等价于或，解得，所以，.综上所述，实数的取值范围为. ………………………………………14分21．（1）【解析】(Ⅰ)由已知得，所以…………2分解得故A=. ……………………………………………………3分(Ⅱ) AB==，所以，，，……………5分即点O，M，N变成点O′(0，0)，M ′(4，0)，N ′(0，4)，的面积为.…………………………………………………7分（2）【解析】（Ⅰ）由已知得……………………………………1分消去参数,得．………………………3分（Ⅱ）由得曲线的直角坐标方程为, ………4分由消去,得，……………………5分解得……………………6分故曲线与曲线只有一个交点．……………………7分（3）【解析】（Ⅰ）因为，所以. …………………2分因为不等式在R上恒成立，所以，的取值范围为. …………………3分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，由柯西不等式得：，所以. ……………5分当且仅当即时，的最大值为. ……………7分。
2021年高三数学第一次模拟考试试卷 理(含解析)新人教A版
2021年高三数学第一次模拟考试试卷 理（含解析）新人教A 版注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释） 1．设全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B. 【解析】 试题分析：先利用集合的补集的定义求出集合的补集，即；再利用集合的交集的定义求出.故应选B.考点：交、补、并集的混合运算.2．已知是虚数单位，则在复平面中复数对应的点在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A.【解析】试题分析：因为函数，所以，化简得，所以i i i i i i i i i 53515311062)3)(3()3(232+=+=+=-+-=+=.根据复数的几何意义知，所对应的点的坐标为，所以其对应的点在第一象限.故应选A.考点：复数的代数表示法及其几何意义.3．设随机变量服从正态分布，若，则（ ）A. B. C. D.【答案】D.【解析】试题分析：因为随机变量服从正态分布，所以正态分布曲线关于直线对称，所以，，所以.故应选D.考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.4．设，则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B.【解析】试题分析：若“”，则由知，，所以，而，此时不能推出，即“”不是“”的充分条件；反过来，若“”，则，又，所以，所以，即“”是“”的充分条件，即“”是“”的必要条件.综上可知，“”是“”的必要不充分条件.故应选B.考点：充分条件与必要条件.5．已知两个不同的平面和两个不重合的直线m、n，有下列四个命题：①若；②若；③若；④若.其中正确命题的个数是（）A.0B.1C.2D.3【答案】D.【解析】试题分析：对于①，因为，所以直线与平面所成的角为，又因为∥，所以直线与平面所成的角也为，即命题成立，故正确；对于②，若，，则经过作平面，设，，又因为，，所以在平面内，，，所以直线、是平行直线.因为，，∥，所以∥.经过作平面，设，，用同样的方法可以证出∥.因为、是平面内的相交直线，所以∥，故正确；对于③，因为，∥，所以.又因为，所以，故正确；对于④，因为∥，，当直线在平面内时，∥成立，但题设中没有在平面内这一条件，故不正确.综上所述，其中正确命题的个数是3个，应选D.考点：平面的基本性质及推论.6．要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度【答案】C.【解析】试题分析：因为函数，所以将函数的图象向左平移个单位长度，即可得到函数的图像.故应选C.考点：函数的图像变换.7．已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A.【解析】试题分析：双曲线的渐近线方程是，过右焦点分别作两条渐近线的平行线和，由下图图像可知，符合条件的直线的斜率的范围是.故应选A.考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率；双曲线的简单性质.8．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为A.360B.520C.600D.720【答案】C.【解析】试题分析：根据题意，可分2种情况讨论：①只有甲乙其中一人参加，有种情况；②甲乙两人都参加，有种情况，其中甲乙相邻的有种情况；则不同的发言顺序种数为种，故应选C ． 考点：排列、组合的实际应用.9．设函数若，则关于的方程的解的个数为（ ）A.4B.3C.2D.1【答案】B.【解析】试题分析：先由可得，，解之可得，再由可得，解之可得，故，令可得或，解之可得或或，故应选B. 考点：根的存在性及根的个数判断. 10．已知向量与的夹角为，→→→→→→→-====PQ OB t OQ OA t OP OB OA ,)1(,,1,2时取得最小值，当时，夹角的取值范围为（ ）A. B. C. D.【答案】C.【解析】试题分析：由题意知，，，所以 θcos )1(44)1()1(2)1(2222222t t t t OB OA t t OA t OB t PQ -=+-=⋅--+-=→→→→→，由二次函数的图像及其性质知，当上式取最小值时，.由题意可得，，求得，所以，故应选C.考点：向量数量积表示两个向量的夹角.第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题（题型注释）11．若对任意的恒成立，则实数k的取值范围为_________.【答案】.【解析】试题分析：要使得不等式对任意的恒成立，需的最小值大于，问题转化为求的最小值.首先设，则有.当时，有最小值为4；当时，有最小值为4；当时，有最小值为4.综上所述，有最小值为4.所以，.故答案为.考点：含绝对值不等式；函数恒成立问题.12．如图给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内应填入的是 .【答案】.【解析】试题分析：根据程序框图可得计算出的为：，为了计算，当时，代替，并用代替，进入下一次运算；而当时，代替，恰好，用代替得，，在这次运算中结束循环体并输出的值，因此，判断框内应填.考点：程序框图.13．已知圆C过点，且圆心在轴的负半轴上，直线被该圆所截得的弦长为，则圆C的标准方程为 .【答案】.【解析】试题分析：设圆C的圆心C的坐标为，则圆C的标准方程为.圆心C到直线的距离为：，又因为该圆过点，所以其半径为.由直线被该圆所截得的弦长为以及弦心距三角形知，，即，解之得：或（舍）.所以，所以圆C的标准方程为.考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系.14．定义：，在区域内任取一点(){}22，则、满足的概率为．++++=++p x y x y x x y x y x x y,min2,42【答案】.【解析】试题分析：由题意知，如下图所示，实验包含的所有事件对应的集合，其面积为；满足条件的事件}42,60,20),{(2++≤++≤≤≤≤=y x y x x y x y x A ，即，由几何概型的计算公式知，.故应填.考点：几何概型.15．已知，若恒成立，则实数的取值范围是 ．【答案】.【解析】试题分析：因为，所以由基本不等式知，，当且仅当即等号成立.问题恒成立转化为，即，由一元二次不等式解法知，.考点：一元二次不等式及其解法；均值不等式的应用.评卷人得分 三、解答题（题型注释）16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为，且..（1）求的值；（2）若面积的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）在△ABC 中，首先运用余弦定理公式，并结合已知条件即可求出；然后根据三角形的内角和等于和倍角公式，将所求式子化简为只关于的式子，最后将的值代入即可；（2）将已知b=2代入，即可得到式子；试题解析：（1）在△ABC 中，由余弦定理可知，，由题意知，∴；又在△ABC 中，∴1cos 22cos 12cos 2cos 2cos 2sin 2cos 2sin 2222-++=+=+-=++B B B B B B B C A π ，又，∴.（2）∵b=2 ，∴由可知，，即，∴.∵，∴ ∴.∴△ABC 面积的最大值为．考点：余弦定理；均值不等式.17．如图，在七面体ABCDMN中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且（1）在棱AB上找一点Q，使QP//平面AMD，并给出证明；（2）求平面BNC与平面MNC所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）当时，有//平面AMD.证明：因为MD平面ABCD，NB平面ABCD，所以MD//NB，所以，又，所以，所以在中，OP//AM.又面AMD，AM面AMD，∴// 面AMD.（2）锐二面角的余弦值为.【解析】试题分析：（1）设Q为AB上的一点，满足.由线面平行的性质证出MD//NB，结合题中数据利用平行线的性质，得到，从而在中得到OP//AM.最后利用线面平行判定定理，证出// 面AMD，说明在棱AB上存在满足条件的点；（2）建立如图所示空间直角坐标系，算出向量、和的坐标.利用垂直向量数量积为0的方法建立方程组，算出平面CMN的法向量.根据线面垂直的判定定理证出DC平面BNC，从而得到即是BNC的法向量，最后利用空间向量的夹角公式加以计算，即可算出平面CMN与平面BNC 所成锐二面角的余弦值.试题解析：（1）当时，有//平面AMD.证明：因为MD平面ABCD，NB平面ABCD，所以MD//NB，所以，又，所以，所以在中，OP//AM.又面AMD，AM面AMD，∴// 面AMD.（2）以DA、DC、DM所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），M（0，0，2）N（2，2，1），所以=（0，-2，2），=（2，0，1），=（0，2，0），设平面CMN的法向量为=（x，y，z）则，所以，所以=（1，-2，-2）.又NB平面ABCD，∴NBDC，BCDC，∴DC平面BNC，∴平面BNC的法向量为==（0，2，0），设所求锐二面角为，则.考点：利用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定.18．某高校自主招生选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某同学能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，且各轮问题能否正确回答互不影响。
高三数学第一次模拟考试试题理新人教A版
(吨)0.0.0.0.0.第6题图黄冈中学 高三第一次模拟考试数学（理）试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．纯虚数z 满足23z -=，则z 为 AB ．C ．D ．5或1-2．命题甲：2≠x 或3≠y ；命题乙：5≠+y x ，则甲是乙的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分条件也不必要条件3．已知双曲线的焦距为，则双曲线的标准方程为A ．2212y x -= B ．2212x y -= C ．2212y x -=或2212x y -= D ．2212x y -=或2212y x -= 4．用0，1，2，3，4排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则该五位数的个数是A ．36B ．32C ．24D ．20 5．已知cos()63πα+=，则sin(2)6πα-的值为 A ．13 B．13- C ． D ．-6．对某小区100户居民的月均用水量进行统计， 得到样本的频率分布直方图，则估计此样本的众数、中位数分别为 A ．2， 2.5B ．2.25， 2.02C ．2.25， 2.5D ．2.5， 2.257．在游乐场，有一种游戏是向一个画满均匀方格的桌面上投硬币，若硬币恰落在任何一个第9题图侧视图俯视图正视图第8题图第12方格内不与方格线重叠，即可获奖．已知硬币的直径为2，若游客获奖的概率不超过19，则方格边长最长为(单位：cm )A ．3B ．4C ．5D ．6 8．某几何体的三视图如图示，则此几何体的体积是 A ．20π3B ．6πC ．10π3D ．16π9．如图，AB 是圆O的直径，C D 、是圆O 上的点，60CBA ∠=，45ABD ∠=，CD xOA yBC =+，则x y +的值为A ．3-B ．13- C ．23D ．10．已知定义在(0,)+∞上的单调函数()f x ，对(0,)x ∀∈+∞，都有2[()log ]3f f x x -=，则方程()'()2f x f x -=的解所在的区间是 A ．（0，12） B ．（1,12） C ．（1，2） D ．（2，3） 二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，书写不清楚，模拟两可均不得分． （一）必考题（11 — 14题）11．1012x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中,含4x 项的系数为 ． 12．执行如图所示的程序框图，输出的k 值是 ．M第16题图13．已知(0,)x y z ∈+∞、、，且2221ln ln ln 3x y z ++=，则2x yz 的最大值为 ．14．对于实数x ，将满足“01y ≤<且x y -为整数”的实数y 称为实数x 的小数部分，用符号x 〈〉表示．已知无穷数列{}n a 满足如下条件：①1a a =〈〉；②11(0)0(0)n nn n a a a a +⎧〈〉≠⎪=⎨⎪=⎩．（Ⅰ）若a ={}n a 通项公式为 ；（Ⅱ）当13a>时，对任意*n N ∈都有n a a =，则a 的值为 ． （二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果给分．） 15．（极坐标与参数方程）已知抛物线C 的极坐标方程为2sin 8cos 0ρθθ-=，若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，与圆()2224(0)x y r r -+=>相切，则r = ．16．（几何证明选讲） 如图，过半径为4的O 上的一点A 引半径为3的O '的切线，切点为B ，若O 与O '内切于点M ，连结AM 与O '交于C 点，则AB AM= ．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知ABC ∆中，角AB C 、、的对边分别为a b c 、、，a=(1,1)m =-，(cos cos ,sin sin 2n B C B C =-，且m n ⊥． （Ⅰ）求A 的大小； （Ⅱ）当7sin cos()12B C π+-取得最大值时，求角B 的大小和ABC ∆的面积．ACMPQ D第19题图18．（本小题满分12分）某象棋比赛规则如下：两名选手比赛时，每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束.假设选手甲与选手乙比赛时，甲、乙每局获胜的概率分别为23和13，且各局比赛胜负互不影响. （Ⅰ）求比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分的概率；（Ⅱ）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60BAD ︒∠=，Q 为AD 的中点，2PA PD AD ===．（Ⅰ）点M 在线段PC 上，PM tPC =，试确定t 的值，使//PA 平面MQB ； （Ⅱ）在（I ）的条件下，若平面PAD ⊥平面ABCD ，求二面角M BQ C --的大小．20．（本小题满分12分） 数列{}n a 中，已知11a =，2n ≥时，11122333n n n a a --=+-．数列{}n b 满足：1*3(1)()n n n b a n N -=+∈．（Ⅰ）证明：{}n b 为等差数列，并求{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记数列1n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，是否存在正整数,m n ，使得1331m n m n S m S m +-<-+ 成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对(,)m n ；若不存在，说明理由．21．（本小题满分13分）我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”．如图，“盾圆C ”是由椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与抛物线24y x =中两段曲线弧合成，第21题图12F F 、为椭圆的左、右焦点，2(1,0)F ．A 为椭圆与抛物线的一个公共点，252AF =． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求定积分时，可以使用下面的换元法公式：函数()y f x =中，令()x t ϕ=， 则[][]2211()()()()()bt t a t t f x dx f t d t f t t dt ϕϕϕϕ'==⎰⎰⎰（其中12()()a t b t ϕϕ==、）． 如22221cos 2(sin )cos (sin )cos 2tt t t dt tdt dt πππ+'====⎰⎰⎰⎰． 阅读上述文字，求“盾圆C ”的面积．（Ⅲ）过2F 作一条与x 轴不垂直的直线，与“盾圆C ”依次交于M N G H 、、、四点，P 和P '分别为NG MH 、的中点，问22MH PF NG P F ⋅'是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．22．（本小题满分14分）设函数()ln ()ln()f x x x a x a x =+--(0)a >． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）证明：对12,(0,)x x ∀∈+∞，都有[]11221212ln ln ()ln()ln 2x x x x x x x x +≥++-；（Ⅲ）若211nii x==∑，证明：21ln ln 2nn i i i x x =≥-∑ *(,)i n ∈N ．数学（理）试卷答案 BBCD ABAC AC11答案：15- 12答案：5 13答案：14答案：（1）1n a =；（21-或12- 15 16答案：121答案：B解析：设()z bi b R =∈9b =∴=，则z =．2答案：B解析：甲⇒/乙，例如，1,4x y ==；乙⇒甲，“若5≠+y x ，则2≠x 或3≠y ”的逆否命题为“若2x =且3y =，则5x y +=” 此逆否命题为真命题，所以原命题为真命题． 3答案：C解析：由题易知2c b ==1a =，这样的双曲线标准方程有两个．4答案：D解析：排除法．偶数字相邻，奇数字也相邻有32232224A A A =，然后减去0在首位的情况，有22224A A =，故322223222220A A A A A -=．5答案：A解析：由cos()63πα+=得，1cos(2)33πα+=-， 所以1sin(2)sin(2)cos(2)63233ππππααα-=+-=-+=． 6答案：B解析：样本的众数为最高矩形底边中点对应的横坐标，为2 2.52.252+= 中位数是频率为0.5时，对应的样本数据，由于(0.080.160.300.44)0.50.49+++⨯=，故中位数为0.0120.5 2.020.25+⨯=． 7答案：A解析：设方格边长为x ，则221()39x x x -≤⇒≤． 8答案：C解析：此几何体为半个圆锥与半个圆柱的组合体，体积1110[4241]233V πππ=⨯+⨯=． 9答案：A解析：()()CD xOA yBC xOA y OC OB x y OA yOC =+=+-=++设1OA =，建立如图所示坐标系，则1(,12CD =-+(1,0)OA =-，1(,22OC =-，故3x y +=10答案：C解析：由题2()log f x x C -=（C 为常数），则()f x 故22[()log ]()log 3f f x x f C C C -==+=，得2C =，故2()log 2f x x =+，记21()()()2log ln 2g x f x f x x x '=--=-在(0,)+∞上为增函数 且112ln 21(1)0,(2)10ln 22ln 22ln 2g g -=-<=-=>, 故方程()'()2f x f x -=的解所在的区间是（1，2）． 11答案：15-12答案：5解析：由题意，得：5,016,18,2n k n k n k ==⇒==⇒==4,32,41,5n k n k n k ⇒==⇒==⇒==⇒终止当2n =时，执行最后一次循环；当1n =时，循环终止，这是关键，输出5k =． 13答案：解析：2222222(ln ln ln )[2(1)(1)](2ln ln ln )x y z x y z +++-+-≥--14答案：（1）1na =-；（21-或12解析：（Ⅰ）若a=时，11a ==-,则21a ===． （Ⅱ）当13a>时，由n a a =知，1a <，所以1a a a =〈〉=，21a a =〈〉，且1(1,3)a ∈．①当1(1,2)a ∈时，211a a a1=〈〉=-，故1112a a a -=⇒=（12a =舍去） ②当1[2,3)a ∈时，212a a a 1=〈〉=-，故21a a a1-=⇒=（1a =舍去）综上，1a =-或1215解析：将2sin 8cos 0ρθθ-=化为普通方程即28y x =，得(2,0)F16答案：12解析：作两圆的公切线MDE ，连结AO ，CO '，则2AB AC AM =所以222AB AM AC AC AM AM AM==由弦切角定理知2AOM EMA ∠=∠，2CO M EMA '∠=∠， 则AOM CO M '∠=∠,AO CO ',所以434AC OO AM AO '-==，即12AB AM ==. 17答案：（1）因为m n ⊥，所以cos cos sin sin 02B C B C -+-= 即()cos 2B C +=-，因为A B C π++=，所以cos()cos B C A+=- 所以 cos 24A A π==． 4分 （2）由3,44A CB ππ==-，故73sin cos()sin cos()sin )12626B C B B B B B πππ+-=+-==+ 由3(0,)4B π∈cos()4B C π-+最大值时，3B π=． 8分 由正弦定理，2sin sina bA B==，得b =故13sin sin()22434ab C ππ+=+= 12分Eξ2 4 6P59 2081168118答案：（Ⅰ）比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分即头两局乙胜一局，3,4局连胜，则所求概率为1212114333381P C =⋅⋅⋅=. 4分 （Ⅱ）由题意知，ξ的取值为2,4,6. 则22215(2)()()339P ξ==+=，12122212212120(4)()()33333381P C C ξ==+=1221216(6)()3381P C ξ=== 故ξ的分布列为10分则520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=12分 19解：（I ）当13t =时，//PA 平面MQB证明：连AC 交BQ 于N ，连MN ． 由//AQ BC 可得，ANQ BNC ∆∆∽，12AQ AN BC NC ∴==，所以13AN AC =． 若13t =，即13PM ANPC AC==， //PA MN ∴ 由MN ⊂平面PAC ，故//PA 平面MQB ． 4分 （II ）由PA=PD=AD=2， Q 为AD 的中点，则PQ⊥AD 又平面PAD⊥平面ABCD ，所以PQ⊥平面ABCD ，连BD ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AD=AB， 由 ∠BAD=60°得△ABD 为正三角形，又∵Q 为AD 中点， ∴AD⊥BQ 8分 以Q 为坐标原点，分别以QA 、QB 、QP 所在的直线为,,x y z 轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为A （1，0，0），B （3,0），Q （0，0，0），P （0，03设平面MQB 的法向量为()z y x n ,,=，可得00,//,00n QB n QB PA MN n MN n PA ⎧⎧⋅=⋅=⎪⎪∴⎨⎨⋅=⋅=⎪⎪⎩⎩，⎪⎩⎪⎨⎧=-=0303z x y 令z=1，解得(3,0,1)n = 取平面ABCD 的法向量()3,0,0=，设所求二面角为θ，则21cos ==θ 故二面角M BQ C --的大小为60°． 12分20解答： (Ⅰ)方法1：由2n ≥时，11122333n n n a a --=+-得，11121(1)33n n n a a --+=++ 两边同时乘以13n -得，1213(1)3(1)2n n n n a a ---+=++，即2n ≥时，12n n b b -=+故{}n b 是公差为2的等差数列．又01322b =⨯=， 所以22(1)2n b n n =+-=． 6分 方法2：2n ≥时，12113(1)3(1)n n n n n n b b a a -----=+-+，代入11122333n n n a a --=+- 整理得12n 11111213()3(1)2333n n n n n n b b a a -------=++-+=，故{}n b 是公差为2的等差数列． (Ⅱ)由(Ⅰ)得，13(1)2n n n b a n -=+=，故1123n n a n -+=，所以12(1)133(1)1313n n n S -==-- 8分 则111111323331111(3)313333n n n n nn n n m S m S m m m m --+----==-=-------- 因为13113131m n m mn S m S m +-<=--++，得21(3)3131n m m >--+ *(3)310,1,2n m m N m -->∈∴=当1m =时，2112314n n >⇒=⋅-；当2m =时，211,23110nn >⇒=- 综上，存在符合条件的所有有序实数对(,)m n 为：(1,1),(2,1),(2,2)． 12分 21解答：（Ⅰ）由24y x =的准线为1x =-，2512A AF x ∴=+=，故记3(2A 又1(1,0)F -，所以12752622a AF AF =+=+=，故椭圆为22198x y +=． 3分 （Ⅱ）由22198x y +=知，y =3sin ()26x t t ππ=-≤≤1S ==62(3sin )t ππ-=⎰262cos tdt ππ-=62(1cos2)t dt ππ-+621sin2)|24x xππ-=+=+；3322204()|3S x===根据对称性，“盾圆C”的面积为122()2S S-=-． 7分（Ⅲ）设过2F的直线为1(0)x my m=+≠，(,)(,)(,)(,)M M N N G G H HM x y N x y G x y H x y、、、联立221198x myx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(89)16640m y my++-=，则2216896489M HM Hmy ymy ym-⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩联立214x myy x=+⎧⎨=⎩，得2440y my--=，则44N GN Gy y my y+=⎧⎨=-⎩由M N G H P P'、、、、、共线，所以2222N GM HM HN Gy yMH PF y yy yNG P F y y+-⋅=⋅+'-代入韦达定理整理得，222431689MH PF mmNG P Fm⋅=='+故22MH PFNG P F⋅'为定值3． 13分22答案：（Ⅰ）1a=时，()ln(1)ln(1)f x x x x x=+--，(01x<<)，则()ln ln(1)ln1xf x x xx'=--=-．令()0f x'=，得12x=．当12x<<时，()0f x'<，()f x在1(0,)2是减函数，当112x<<时，()0f x'>，()f x在1(,1)2是增函数，所以()f x在12x=时取得最小值，即11()ln22f=．（4分）（Ⅱ）因为 ()ln ()ln()f x x x a x a x =+--，所以 ()ln ln()ln xf x x a x a x'=--=-． 所以当2a x =时，函数()f x 有最小值．∀x 1，x 2∈R +，不妨设12x x a +=，则 121211221111ln ln ln ()ln()2ln()22x x x xx x x x x x a x a x +++=+--≥⋅[]1212()ln()ln 2x x x x =++-． （8分） （Ⅲ）（证法一）数学归纳法ⅰ)当1n =时，由（Ⅱ）知命题成立．ⅱ）假设当n k =( k ∈N *)时命题成立， 即若1221k x x x +++=，则112222ln ln ln ln 2k k k x x x x x x +++≥-．当1n k =+时，1x ，2x ，…，121k x +-，12k x +满足 11122121k k x x x x ++-++++=．设11111122212122()ln ln ln ln k k k k F x x x x x x x x x ++++--=++++，由（Ⅱ）得11111212212212()()ln[()ln 2]()ln[()ln 2]k k k k F x x x x x x x x x ++++--≥++-++++-=111111212122122122()ln()()ln()(...)ln 2k k k k k x x x x x x x x x x x +++++--++++++-+++ =11111212212212()ln()()ln()ln 2k k k k x x x x x x x x ++++--++++++-．由假设可得 1()ln 2ln 2ln 2kk F x +≥--=-，命题成立．所以当 1n k =+时命题成立．由ⅰ)，ⅱ）可知，对一切正整数n ∈N *，命题都成立， 所以 若211nii x==∑，则 21ln ln 2nn i i i x x =≥-∑ *(,)i n ∈N ． （13分）（证法二）若1221n x x x +++=，那么由（Ⅱ）可得112222ln ln ln n n x x x x x x +++1212212212()ln[()ln 2]()ln[()ln 2]n n n n x x x x x x x x --≥++-++++-1212122122122()ln()()ln()(...)ln 2n n n n n x x x x x x x x x x x --=++++++-+++ 1212212212()ln()()ln()ln 2n n n n x x x x x x x x --=++++++-12341234212212()ln()()ln()2ln 2n n n n x x x x x x x x x x x x --≥+++++++++-121222(...)ln[()ln 2](1)ln 2n n x x x x x x n ≥≥++++++---ln 2n =-． （14分）。
四川省成都市高三数学摸底考试 理 新人教A版
数学（理）试题本试卷分选择题和非选择题两部分。
第I 卷（选择题），第Ⅱ卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0．5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，只将答题卡交回。
第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合P={1，2，3，4}，{|37,}Q x x x N =≤<∈，则P ∪Q=A ．∅B ．{3,4}C ．{1,2,5,6}D ．{1,2,3,4,5,6} 2．对于函数1()(01,)x f x a a a x R -=>≠∈且，下列命题正确的是A ．函数f （x ）的图象恒过点（1，1）B ．0x ∃∈R ，使得0()0f x ≤C ．函数f （x ）在R 上单调递增D ．函数f （x ）在R 上单调递减3．在等差数列*45619{}(),27,n a n N a a a a a ∈++=+中若则等于A ．9B ． 27C ．18D ．544．函数()lg 3f x x x =+-的零点所在区间为A ．（3,+∞）B ．（2,3）C ．（1,2）D ．（0,1）5．已知α为第四象限的角，且4sin(),tan 25παα+=则= A ．34-B ．34 C ．一43 D ．43 6．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A ．15B ．20C ． 30D ．607．设l ，m ，n 为不重合的三条直线，其中直线m ，n 在平面α内，则“l ⊥α”是“l ⊥m 且l ⊥n ”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．既不充分也不必要条件D ．必要不充分条件8．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，且12||F F =2c ，若点P 在椭圆上，且满足2212120,PF F F PF PF c ⋅=⋅=，则该椭圆的离心率e 等于 A ．12 B ．312- C ．512 D ．229．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为线段BC 1上的动点，则下列判断错误．．的是 A ．DB 1⊥平面ACD 1B ．BC 1∥平面ACD 1C ．BC 1⊥DB 1D ．三棱锥P-ACD 1的体积与P 点位置有关10．一批物资随17辆货车从甲地以v km/h （100≤v ≤120）的速度匀速运达乙地．已知甲、乙两地间相距600 km ，为保证安全，要求两辆货车的间距不得小于2()20v km （货车长度忽略不计），那么这批货物全部运达乙地最快需要的时间是A ．6小时B ．9．8小时C ．10小时D ．10．5小时 11．在直角坐标系xOy 中，直线Z 的参数方程为,4x t y t =⎧⎨=+⎩（t 为参数，且t>0）；以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c 的极坐标方程为42)4πρθ=+．则直线l 和曲线C 的公共点有 A ．0个 B ．l 个 C ．2个 D ．无数个12．已知奇函数f （x ）满足f （x+1）=f （x-l ），给出以下命题：①函数f （x ）是周期为2的周期函数；②函数f （x ）的图象关于直线x=1对称；③函数f （x ）的图象关于点（k ，0）（k ∈Z ）对称；④若函数f （x ）是（0，1）上的增函数，则f （x ）是（3，5）上的增函数，其中正确命题的番号是A ．①③B ．②③C ．①③④D ．①②④第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案填在答题卡上．13．某单位有青年职工300人，中年职工150人，老年职工100人．为调查职工健康状况，采用分层抽样的方法，抽取容量为33的样本，则应从老年职工中抽取的人数为 ．14．函数1()ln 12x f x x+=-的定义域为 ．15．若实数z 、y 满足不等式组，则1y z x +=的最大值为 ． 16．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果为 .三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．17．（本小题满分12分）已知函数2()2sin cos 23cos 3,f x x x x x R =+-∈（I ）化简函数f （x ）的解析式，并求函数f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）在锐角△ABC 中，若()1,2f A AB AC =⋅=，求△ABC 的面积．18．（本小题满分12分）如图，已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 分别是D 1C 、AB 的中点． （I ）求证：EF ∥平面ADD 1A 1；（Ⅱ）求二面角D —EF —A 的余弦值．19．（本小题满分12分）某幼儿园在“六·一儿童节"开展了一次亲子活动，此次活动由宝宝和父母之一（后面以家长代称）共同完成，幼儿园提供了两种游戏方案：方案一宝宝和家长同时各抛掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6），宝宝所得点数记为z ，家长所得点数记为y ；方案二宝宝和家长同时按下自己手中一个计算器的按钮（此计算器只能产生区间[1，6]，的随机实数），宝宝的计算器产生的随机实数记为m ，家长的计算器产生的随机实数记为挖．（I ）在方案一中，若x+l=2y ，则奖励宝宝一朵小红花，求抛掷一次后宝宝得到一朵小红花的概率；（Ⅱ）在方案二中，若m>2n ，则奖励宝宝一本兴趣读物，求按下一次按钮后宝宝得到一本兴趣读物的概率．20．（本小题满分12分）已知函数()log ,()log (22),[1,2],01,a a f x x g x x m x a a m R ==+-∈>≠∈其中且．（I ）当m=4时，若函数()()()F x f x g x =+有最小值2，求a 的值；（Ⅱ）当0<a<l 时，f （x ）≥2g （x ）恒成立，求实数m 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右顶点分别为A 、B ，右焦点为F ，0），一条渐近线的方程为2y x =-，点P 为双曲线上不同于A 、B 的任意一点，过P 作x 轴的垂线交双曲线于另一点Q 。
辽宁省大连24中高三数学模拟考试试题 理 新人教A版
数学试题（理科）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
13i -在复平面内对应点的直线的倾斜角为A ．6πB ．-6πC ．23π D ．56π2．已知集合A ，B 都是非空集合，则“x ∈（A ∪B ）”是“x ∈A 且x ∈B ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．若双曲线x 2+ky 2=1的离心率是2，则实数k 的值是（ ）A ．-3B ．13-C ．3D ．134．在△ABC 中，15,,0,,||3,||5,4ABC AB a AC b a b S a b ∆==⋅<===则∠BAC= A ．30° B ． 120° C ．150° D ． 30°或150°5．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线：已知直线bα平面，直线a α⊂平面，直线b ∥平面α，则b ∥a ”的结论显然是错误的，这是因为 A ．大前提错误 B ．小前提错误 C ．推理形式错误 D ．非以上错误6．庆“元旦”的文艺晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须安排往前两位，节目乙不能安排在第一位，节目丙 必须安排在最后一位，则该晚会节目演出顺序的编排方案共有 A ．36种； B ．42种； C ．48种； D ．54种 7．在右程序框图中，当(1),()n n N n f x +∈>时函数表示函数1()n f x -的导函数，若输入函数1()sin cos f x x x =+，则输出的函数()n f x 可化为 A 2)4x π- B 2)4x π-C 2)4x π+D 2)4x π+8．对于平面α和共面的直线m ，n ，下列命题是真命题的是 A ．若m ，n 与α所成的角相等，则m//nB ．若m//α，n//α，则m//nC ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n//αB ．若,//,m n αα⊂则m//n9．已知实数x ，y 满足14,0x x y ax by c ≥⎧⎪+≤⎨⎪++≤⎩且目标函数z=2x+y 的最火值为7最小值为 1，则ab c+的值A ．-3B ．3C ．13-D ．1310．已知集合M={1，2，3}，N ={1，2，3，4）．定义函数f ：M →N ．若点(1,(1)),(2,(2)),(3,(3))A f B f C f ，△ABC的外接圆圆心为D ，且()DA DC DB R λλ+=∈，则满足条件的函数f （x ）有A ．6个B ．10个C ．12个D ．16个11．定义在R 上的函数f （x ）满足：对任意α，β∈R ，总有 ()[()()]2012f f f αβαβ+-+=，则下列说法正确的是 A ．()1f x -是奇函数 B ．()1f x +是奇函数C ．f （x ）—2012是奇函数D ．f （x ）+2012是奇函数12．三棱锥P-ABC 中，顶点P 在平面ABC 上的射影为D 满足0OA OB OC ++=，A 点在侧面PBC 上的射影H 是△PBC 的垂心，PA =6，则此三棱锥体积最大值是 A ．12 B ．36 C ．48 D ．24第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．已知5sin()(0)4134x x ππ-=<<，则cos 2cos()4x x π+的值为 。
河北省三河一中高考数学仿真模拟试卷 理 新人教A版
数学(理科)一.选择题：每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合{}1,3,5,7,9U =，{}1,5,7A =，则U C A =A.{}1,3B.{}3,7,9C.{}3,5,9D.{}3,92.已知{}n a 为等比数列，S n 是其前n 项和，若2312a a a ⋅=， 且4a 与27a 的等差中项为54，则5S =A ．35 B.33 C.31 D.29 3.设向量(1,0)a =，11(,)22b =,则下列结论中正确的是A. =a bB.22⋅a b = C. a//b D. a -b 与b 垂直4．将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 A.12种 B.18种 C.36种 D.54种 5.如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示,则该几何体的体积为A.23π+6 B.234π C.33π6 D.334π36.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦点分别为12F F 、，P 为双曲线上一点，O 为坐标原点，满足2PO b =，212PF PF a ⋅=，则其离心率为15 B. 355 C. 533 D. 537.下列命题错误的．．．是 A.命题“若0232=+-x x ，则1=x ”的逆否命题为“若1≠x ，则0232≠+-x x ”; B.若q p ∧为假命题，则p 、q 均为假命题;C.命题p ：存在0x ∈R ,使得01020<++x x ，则p ⌝：任意0x ∈R ,都有012≥++x x ;D.“2>x ”是“0232>+-x x ”的充分不必要条件. 8.执行右面的程序框图，如果输入30,72==n m ，则输出的n 是A. 12B. 6C. 3D. 09．设不等式组x 1x-2y+30y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域是1Ω,平面区域是2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称,对于1Ω中的任意一点A 与2Ω中的任意一点B, ||AB 的最小值等于A ．285B ．4C ． 125D ．210.四面体ABCD 的棱长均为1，E 是△ABC 内一点，点E 到边AB 、BC 、CA 的距离之和为x ，点E 到平面DAB 、DBC 、DCA 的距离之和为y ，则22y x +的值为A. 1 B .26 C .35 D.121711.已知垂直竖在水平地面上相距20米的两根旗杆的高分别为10米和15米,地面上的动点P 到两旗杆顶点的仰角相等,则点P 的轨迹是A.椭圆B.圆C.双曲线D.抛物线 12.设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且f (1)＝－a2，3a >2c >2b ，则函数f (x )在区间(0,2)内A.至少有一个零点B.当0>b 时有一个零点C.当0<a 时有一个零点D.不确定 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若(2i i=i(a b a,b -+∈R)）,其中i 为虚数单位，则=+b a ________ .14.某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为7人，则样本容量为_____15.圆心在抛物线22x y =上，与直线2230x y ++=相切的面积最小的圆的方程为_____16.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<<=4,62140|,log |)(2x x x x x f ，若方程0)(=+k x f 有三个不同的解c b a ,,，且c b a <<，则c ab +的取值范围是___________三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．ABDC17.(本小题满分12分)在某海湾为我国商船护航的甲、乙两驱逐舰分别在海面上A ，B 两点处正常巡航，甲舰位于乙舰北偏西25°方向的A 处.两舰先 后接到在同一海域上一艘商船丙的求救信号，商船 丙在乙舰北偏东035方向距甲驱逐舰62海里的 C 处，两舰协商后由乙舰沿BC 航线前去救援， 甲舰仍在原地执行任务.乙舰航行30海里后到达D 处，此时,A D 相距42海里，问乙舰还要航行多少海里才能到达C 处实施营救？18.(本小题满分12分)已知棱柱ABCD A B C D ''''-,底面ABCD 是边长为a 的菱形，60BAD ∠=，对角线AC 、BD 交于点O ，A O ABCD '⊥平面.（Ⅰ）证明：不论侧棱AA '的长度为何值，总有AA C C BB D D ''''⊥平面平面;（Ⅱ）当二面角B DD C '--为45时，求侧棱AA '的长度.19.某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为128、、、…，其中5X ≥为标准A ，3X ≥为标准B ，已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准.（Ⅰ）已知甲厂产品的等级系数1X 的概率分布列如下所示：且1X 的数字期望16EX =，求,a b 的值；（Ⅱ）为分析乙厂产品的等级系数2X ，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 34 6 3 4 75 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 56 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数2X 的数学期望. （Ⅲ）在（Ⅰ），（Ⅱ）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．注：（1）产品的“性价比”=产品的零售价期望产品的等级系数的数学；（2）“性价比”大的产品更具可购买性.20.设动点P 到点(10)A -，和(10)B ，的距离分别为1d 和2d ，2APB θ∠=，若212cos 1d d θ=．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点B 作直线l 交轨迹C 于M N ，两点,交直线4x =于点E ,求||||EM EN 的最小值．21．已知函数3()ln ,()2af x xg x x==- (a ∈R ). (I)当1=a 时，求函数)()()(x g x f x -=ϕ在),4[+∞∈x 上的最小值； (Ⅱ)若方程2()e()(e f x g x =为自然对数的底数）在区间]1,21[上有解，求a 的取值范围；(Ⅲ)证明：[]1512(21)()(1)21,460nk n f k f k f k n =+<+--+<+∑*N n ∈ （参考数据：6931.02ln ≈）选做题：22.选修4-1：几何证明选讲:如图，E 是O 中直径CF 延长线上一点，弦AB ⊥CF,AE 交O 于P,PB 交CF 于D ，连接AO 、AD.求证：（Ⅰ）∠E=∠OAD ；（Ⅱ）2OF OD OE =.23.选修4-4：坐标系与参数方程:以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若椭圆C两焦点的极坐标分别是)π，长轴长是4.（I ）求椭圆C 的参数方程；（II ）设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆C 交于两点A 、B ，P 是l 上满足||||1PA PB =的点，求P 点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．24．选修4-5：不等式选讲:已知()2f x x a a =-- （a ∈R ）.（Ⅰ）若(2)1f a ≤-，求a 的取值范围；（Ⅱ）若1a x =-，解不等式()2f x ≥.三河一中2012届高考仿真模拟试卷数学(理科)参考答案 2012.5.22C一.选择题:DCDBC ABBBD BA二.填空题：13.3 14.15 15.()2211122x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭ 16.(9,13)三.解答题：17. 解：设BAD α∠=,在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AD BDABD α=∠, 04230sin 60sin α∴=,sin 14α=060α<，11cos 14α∴=, cos cos()3ADC απ∴∠=+17=-.在ADC ∆中，设CD x =,由余弦定理得2222222cos 16242242()7AC AD CD AD CD ADCx x =+-⋅∠=+-⨯⋅- 21220800x x ∴+-=,解得52x =-（舍），40x =.答：乙舰还要航行40海里才能到达C 处实施营救. 18. 解：（Ⅰ）因为ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，又A O ABCD '⊥平面，BD ABCD ⊂平面，所以A O BD '⊥，A OAC O '=，BD AA C C ''⊥平面， BD BB D D ''⊂平面,所以AA C C BB D D ''''⊥平面平面，故不论侧棱AA '的长度为何值，总有AA C C BB D D ''''⊥平面平面. （Ⅱ）设CDD C ''平面的法向量为()222,,x y z =p ，,02a DC AB ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，DD AA h ⎛⎫''== ⎪ ⎪⎝⎭0,0.DC DD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩p p22220,220.ax y x hy ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩取2221,2x y z h===，则⎛= ⎝⎭p ,ABDCcos ,==n m 又二面角B DD C '--为45，所以cos ,=n m ,22223342144a a h h ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭2238a h =此时4AA a '===，故4AA a '= . 19. 解:（Ⅰ）因为16EX =，即67 3.2a b +=，又0.40.11a b +++=，所以0.5a b +=， 解方程组67 3.2,0.5a b a b +=⎧⎨+=⎩解得0.3a =，0.2b =.用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数2X 的概率分布列：所以230.340.250.260.170.180.1 4.8EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （Ⅲ）甲厂的产品的等级系数的数学期望为6，价格为6元/件，所以性价比为616=， 甲厂的产品的等级系数的数学期望为4.8，价格为4元/件，所以性价比为4.81.214=>． 所以，乙厂的产品更具可购买性．20. 解：（Ⅰ）在PAB ∆中 由余弦定理得2221212||2cos 2AB d d d d θ=+-，因为||2AB =， 221212121212cos 2(2cos 1)2cos 2d d d d d d d d d d θθθ=-=-=-，所以12||2d d AB +=>=，所以点P 的轨迹方程为2212x y +=. （Ⅱ）易知直线l 的斜率存在，设其方程为(1)y k x =-，11(,)M x y ，22(,)N x y ,由221,2(1).x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得 2222(12)4220k x k x k +-+-=， ∆=)22)(21(416224-+-k k k 2880k =+>，所以21224,12k x x k +=+ 21222212k x x k -=+.1||)EM x ==-，2||)EN x ==-，||||EM EN 212(1)(4)(4)k x x =+--21212(1)[164()]k x x x x =+-++222221622(1)[16]1212k k k k k -=+-+++2221418(1)12k k k +=++=2252329212k k +++22592(12)7212k k =++++, 令2121k t +=≥，则||||EM EN 15(9)72t t=++在[1,)+∞单调递增， 所以||||EM EN 1(95)7142≥++=,1t =时取得最小值，此时0k =,所以||||EM EN 的最小值为14.21. 解：（Ⅰ）当1=a 时，231ln )()()(-+=-=x x x g x f x ϕ，221.11)('xx x x x -=-+=ϕ，令0)('>x ϕ，又0>x ，)(x ϕ∴在]1,0(∈x 上单调递减，在),1[+∞∈x 上单调递增．∴当4≥x 时，454ln 23414ln )4()(-=-+=≥ϕϕx ．)(x ϕ∴的最小值为454ln -． (Ⅱ) 2()e()f x g x =在]1,21[∈x 上有解，x a e x -=⇔23ln 2在]1,21[∈x 上有解323x x a -=⇔在]1,21[∈x 上有解． 令]1,21[,23)(3∈-=x x x x h ，因为2231()33()22h x x x '=-=-，令0)('>x h ，又0>x ，解得：220<<x ． 323)(x x x h -=∴在]22,21[∈x 上单调递增，]1,22[∈x 上单调递减， 又)21()1(h h <，)22()()1(h x h h ≤<∴，即22)(21≤≤x h ，故]22,21[∈a ．(Ⅲ)设)1()()12(2+--+=k f k f k f a k ，)1(144ln )1ln(ln )12ln(22+++=+--+=k k k k k k k a k ，由（Ⅰ），)4(0454ln )(min≥>-=x x ϕ，)4(123ln ≥->∴x xx ，4)1(1442>+++k k k k． )32)(12(14145)12(14145144)1(2322+++>++=+++->∴k k k k k k k a k ，)321121(8145+-++=k k ．)32112171515131(8145+-+++-+-+>∴∑=n n n a nI k k60145)5131(8145)32131(8145+=-+≥+-+=n n n n ． 构造函数xxx x F x x x x F -=-=≥+-=111)('),4(2ln )(，∴当4≥x 时，01)('<-=x xx F ．)(.x F ∴在),4[+∞上单调递减，即0)12(ln 224ln )4()(<-=-=≤F x F ． ∴当4>x 时，2ln -<x x ．21114)1114ln(-+-+<+-+=∴k k k k a k ．即1112+-+<k k a k ．1211121+<+-+<∴∑=n n n a rik k ． 所以[]1512(21)()(1)21460n k n f k f k f k n =+<+--+<+∑*,N n ∈ 22. 证明： 略.23. 答案：（I）2cos ,(.x y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）；（II ）即P 点轨迹为椭圆2212x y +=及椭圆22163x y +=夹在两直线2x =±之间的部分. 24. 解:（Ⅰ）1,a ≥或 1.a ≤-（Ⅱ）[)1,+∞.。
2021年高三数学第一次模拟考试 理 新人教A版
2021年高三数学第一次模拟考试理新人教A版一、选择题：（本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知复数，则它的共轭复数等于( )A． B． C． D．2．命题“”的否定是（）A． B．C． D．3．已知是两个不同的平面，下列四个条件中能推出的是（）①存在一条直线；③存在两条平行直线；②存在一个平面；④存在两条异面直线.A.①③B.②④C.①④D.②③4．已知平面向量的夹角为且，在中，，，为中点，则( )A.2B.4C.6D.85．已知sinα＋2cosα＝3，则tanα＝( )A．22B． 2 C．－22D．－ 26．执行如图所示的程序框图后，输出的值为4，则P的取值范围是（）A． B.C． D.7．某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为和的线段，则的最大值为（）A. B. C. D.8．将甲、乙、丙等六人分配到高中三个年级，每个年级2人，要求甲必须在高一年级，乙和丙均不能在高三年级，则不同的安排种数为 ( )A．18 B．15 C．12 D．99．设双曲线C的中心为点O,若有且只有一对相交于点O,所成的角为60°的直线A1B1和A2B2,使=,其中A1,B1和A2,B2分别是这对直线与双曲线C的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是( )A． B． C． D．10．已知实数满足，则的最大值为（）A．11 B．12 C．13 D．1411．已知函数()3111,0,36221,,112x x f x x x x ⎧⎡⎤-+∈⎪⎢⎥⎣⎦⎪=⎨⎛⎤⎪∈ ⎥⎪+⎝⎦⎩，函数若存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）[A. B. C. D.12．已知任何一个三次函数都有对称中心,记函数 的导函数为,的导函数为，则有=0.若函数，则1234017()()()()2014201420142014f f f f ++++=A. 4027B. -4027C.8054D. -8054第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二．填空题（每题5分，共20分。
高三数学高考模拟试题(11) 理 新人教A版
高三数学高考模拟试题（11） 理 新人教A 版本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知}2|{,}|{222=+===y x y •N •x y y M ，则=⋂N M （ ）A ．)}1,1(,)1,1{(••••••-B ．{1}C ．[0，1]D ．]2,0[••2．不等式|log ||||log |33x x x x +<+的解集是（ ）A ．（0，1）B ．（0，+∞）C ．（1，+∞）D ．（-∞，+∞）3．已知点),(•y x•P 在曲线1)cos sin ()sin cos (:22=-++θθθθy x y x C 上，则|OP |（O 为坐标原点）的值为（ ）A ．21B ．22C ．23 D ．1 4．已知函数12||4)(-+=x x f 的定义域是[a ，b ]（a ，b ∈Z ），值域是[0，1]，则满足条件的整数对（a ，b ）共有（ ）A ．2个B ．5个C ．6个D ．无数个5．如图，非零向量、与x 轴正半轴的夹角分别为6π和32π，且 0=++，则与x 轴正半轴的夹角的取值范围是（ ）A ．)3,0(π••B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ65,3•• 本套试卷严格遵照最新考试大纲要求，同时又争取涵盖人教社新教材要求的知识. 测试的目的是帮助考生构建知识体系，落实教材的通性通法，注重知识间的内在联系，提高数学素质. 整套试卷基本按照由易到难的顺序编排，充分发挥了各种题型的考查功能，在试题的细节设计上，也有诸多创新之处，如信息给予题（第6、16题），开放题（第19题），函数与概率的综合题（第11题），函数图象的应用题（第21题）等等. 试题富有创意，同时也加大了思维量，真正地体现了试题的选拨功能.C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ32,2••D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ65,32•• 6．在∠AOB 的两边上分别有A 1、A 2、A 3、A 4、B 1、B 2、B 3、B 4、B 5共9个点，连结线段)51,41(≤≤≤≤j ••i B A j i ，如果其中两条线段不相交，则称之为一对“和睦线”，则共有 对“和睦线”.A ．60B ．80C ．120D ．1607．指数函数x a y =和对数函数)1,0(log ≠>=•a •a x y a 的图象分别为C 1、C 2，点M 在曲线C 1上，线段OM （O 为坐标原点）交曲线C 1于另一点N ，若曲线C 2上存在一点P ，点P 的横坐标与点M 的纵坐标相等，点P 的纵坐标是点N 横坐标的2倍，则点P 的坐标为（ ）A ．（4，4）B ．)4log ,4(a ••C ．)4,(4••aD ．)2,4(log ••a 8．当实数x 、y 满足约束条件y x •z •k •k y x x y x 3,)(020+=⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤≥时为常数有最大值为12，则实数k 的值是（ ）A ．-12B ．-9C ．9D ．129．过点A (a ，0)作椭圆1:22221=+by a x C 的弦，弦中点的轨迹仍是椭圆，记为C 2，若C 1和C 2的离心率分别为e 和e '，则e 和e '的关系是（ ）A ．e =e 'B ．e =2e 'C ．2e =e 'D ．不能确定10．如图，在三棱锥P ——ABC 中，PA ⊥平面ABC ，•E •D•AC•AB •BAC ,,,90≠︒=∠分别是BC 、AB 的中点，AC>AD ，设PC 与DE所成的角为α，PD 与平面ABC 所成的角为β，二面角P —BC —A 的平面角为γ，则α、β、γ的大小关系是（ ）A ．γ<β<α B ．β<γ<α C ．γ<α<β D ．α<β<γ11．在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组个数为（ ）A ．57B ．49C ．43D ．3712．如图，在公路MN 的两侧有四个村镇：A 1、B 1、C 1、D 1通过小路和公路相连，各路口分别是A 、B 、C 、D ，现要在公路上建一个长途汽车站，为使各使镇村民到汽车站所走的路程总和最小，汽车站应建在（ ）A ．A 处B ．D 处C ．B 、C 之间的任何一处（包括B 、C ）D ．A 、B 之间的任何一处（包括A 、B ）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 将答案填在题中的横线上.13．i 是虚数单位，复数3i )i 2)(i 1(++-=z 的虚部为 .14．函数)(x f 满足)(1)(1ln x f x f x -+=，且21,•x •x 均大于e ，1)()(21=+x f x f ，则)(21x x f 的是小值为 .15．将正整数按表所示规律排列，把i 行j 列交叉处的一个数记作ij a (i ，j ∈N *). 如第2行第4列的数是15，记作1524=a ，则有序实数=),(8328•a •a .1 4 5 16 17 36 …2 3 6 15 18 35 …9 8 7 14 19 34 …10 11 12 13 20 33 …25 24 23 22 21 32 …26 27 28 29 30 31 …… … … … … … …16．设集合n n S X ••n ••••••S ⊆=若,},,3,21{ ，把X 的所有元素的乘积称为X 的容量（若X 中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0）.若X 的容量为奇（偶）数，则称X 为S n 的奇（偶）子集. 若n =4，则S n 的所有奇子集的容量之和为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17（本小题满分10分）在不等边ABC ∆中，设A 、B 、C 、所对的边分别为a ，b ，c ，已知C •B••A•222sin ,sin ,sin 依次成等差数列，给定数列.cos ,cos ,cos •aC ••a B ••a A（1）试根据下列选项作出判断，并在括号内填上你认为是正确选项的代号：数列)(cos ,cos ,cos •••••••aC ••a B ••a A A ．是等比数列而不是等差数列 B ．是等差数列而不是等比数列C ．既是等比数列也是等差数列D ．既非等比数列也非等差数列（2）证明你的判断.18．（本小题满分12分）某小组中有男生、女生若干人，如果从中选一人参加某项测试，女生被选中的概率是53；如果从中选两人参加测试，两人都是女生的概率为31（每个人被选中是等可能的）. （1）求该小组男生、女生各多少人？（2）从该小组中选出3人，求男、女生都有的概率；（3）若对该小组的同学进行某项测试，其中女生通过的概率为54，男生通过的概率为53，现对该小组中男生甲、乙和女生丙三人进行测试，求至少有2人通过测试的概率.19．（本小题满分12分）如图，O ，P 分别是正四棱柱ABCD ——A 1B 1C 1D 1的底面中心，E 是AB 的中点，AB=kAA 1.（1）求证：A 1E ∥平PBC ；（2）当2 k 时，求直线PA 与平面PBC 所成角的大小；（3）当k 取何值时，O 在平面PBC内的射影恰好为PBC ∆的重心？20．（本小题满分12分）已知抛物线)0(2:2>=p px y C 上横坐标为4的点到焦点的距离为5.（1）求抛物线C 的方程；（2）设直线)0(≠+=k b kx y 与抛物线C 交于两点),(,),(2211•y •x •B ••y •x A ， 且)0(||21>=-a a y y ，M 是弦AB 的中点，过M 作平行于x 轴的直线交抛物线C 于点D ，得到ABD ∆；再分别过弦AD 、BD 的中点作平行于x 轴的直线依次交抛物线C 于点E ，F ，得到ADE ∆和BDF ∆；按此方法继续下去.解决下列问题： ①求证：22)1(16k kb a -=；②计算ABD ∆的面积ABD S ∆；③根据ABD ∆的面积ABD S ∆的计算结果，写出BDF •ADE•∆∆,的面积；请设计一种求抛物线C 与线段AB 所围成封闭图形面积的方法，并求出此封闭图形的面积.21．（本小题满分12分）已知函数.)(,ln )(x•x •g x •x f ==（1）若⎪⎭⎫ ⎝⎛+->>112)(:,1x x g x f ••x 求证； （2）是否存在实数k ，使方程k x f x g =+-)1()(2122有四个不同实数根，若存在，求实数k 的取值范围；若不存在，说明理由.22．（本小题满分12分）已知曲线1:=xy C ，过C 点上一点),(n n n •y •x A 作一斜率为21+-=n n x k 的直线交曲线C 于另一点),(111+++n n n •y x A ，点A 1、A 2、A 3、…A n 、…的横坐标构成数列}{n x ，其中17111=x . （1）求1+n n x x 与的关系式；（2）若)(,21)(n n x f •a •x x f =-=，求}{n a 的通项公式； （3）求证：1)1()1()1(221<-++-+-n n x x x （∈n N *）.参考答案与解析1．D }22|{,}0|{≤≤-=≥=y y •N •y y M ，选D.误区警示：本题考查了集合的意义，用韦恩图表示集合方法及集合运算. 注意：集合表示的是范围不是点，切不可求两曲线的交点从而选A.2．A 由绝对值不等式的性质，知.10,0log 3•x ••x x <<<•思路点拨：本题主要利用绝对值不等式||||||||||||b a b a b a +≤+≤-，左边等号成立当且仅当0≤ab ，右边等号成立当且仅当0≥ab .3．D 令θθθθcos sin ,sin cos y x •v •y x u -=+=，则•v u 122=+，222222)cos sin ()sin cos (y x y x y x v u +=-++=+θθθθ，故|OP |=1思路点拨：本题考查了三角函数运算性质及换元、函数思想方法的运用. 观察到θθθθcos sin sin cos y x y x -+与两式的对称关系，采用换元法的思想予以解决4．B )(x f 在R 上是偶函数，故)(x f 的图象关于y 轴对称，作出)(x f 的图象，截取值域是[0，1]的一段，发现a ，b 的取值只可能在-2，-1，0，1，2中取得，但在0，-2，2中必须至少有一个，故选B.拓展迁移：本题是利用函数的奇偶性结合函数的图象解决的，体现数形结合的思想. 在解题中要注意其图象的特点，从图形入手就会简单明了.5．B x OC 与轴正半轴的夹角的取值范围应在向量x OB ••OA 与--,轴正半轴的夹角之间，故选B.拓展迁移：同一顶点出发的三向量之和为零向量，它们的方向有什么特点，可以通过合力为零进行思考，通过本题也可以进行总结.6．A 一个四边形，有且只有一对“和睦线”，这9个点可组成60C C 2524=个四边形，故图中关于60对“和睦线”.思路点拨：对于本题要善于建立模型，即取四个点置于四边形中，从四边形中考查“和睦线”.7．B 设),(,),(2121x x •a •x •N ••a •x M ，则有1211log 2,x a x •y •a x x a p x p ====又O 、M 、N 三点共线，故22121==x x a a x x ，即2222x x a a =，解得2log 2a x =，故)4log ,4(a ••P思路点拨：本题考查了对数运算性质及运算能力. 指数与对数的互换要熟练掌握，同时，结合三点共线的条件解决.8．B 当0≥k，画出可行域，可知y x z 3+=在点（0，-k ）处取得最大值，故z =-3k ，得k =-4与0≥k 矛盾. 当0<k 时，由y x ••z •k ••k B ••k y x x y 3.3,3,02+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎩⎨⎧=++=得在点B 处取得最大值. 即3k --k =12，解得k =-9符合条件. 拓展迁移：本题考查了线性规划的最优解问题，考查了学生逆向思维的能力，本题是含有参数的线性规划问题，解决过程中渗透分类讨论、数形结合的思想.9．A 设弦AB 中点14)2(,)2,2(,),(2222=+--b y a a x ••y •a•x B •••y x•P 由则，)0(14)2(42222>>=+-b a b y a a x 不妨令，∴44222b a c -='， ∴ab a a b a e 222222-=-='，∴e e '=. 规律总结：本题考查了相关点方法求轨迹，用相关点法求轨迹时，关键是分清主动点与从动点，从主动点的轨迹探求从动点的轨迹.10．A 过A 作AF ⊥BC 于F ，连结PF ，则∠PFA 为二面角P —BC —A 的平面角，∴∠PFA =γ，∠PCA 为异面直线DE 与PC的夹角，即∠PCA =α，连结AD ，PD 与平面ABC 的夹角为∠PDA ，则∠PDA =β，∵AB AC ≠，∴AF<AD ，又AC>AD ，∴AF<AC ，∴AC PA AD PA AF PA >>， ∴γβααβγ••••••,,,tan tan tan 又>>为锐角，∴γβα<<.规律总结：为比较三个锐角的大小，设法比较同一个三角函数值的大小即可.11．B 以顶点为线段端点的共线三点组有C 2828=个，以棱中点为端点的共线三点组有182312=⨯个，面的中心为端点的共线三点组共3个，故共有共线三点组49个. 规律总结：本题以立体几何载体，考查了排列组合的相关知识，现在高考以考查能力立意为主，喜欢在知识交汇处命题，在平时的复习中要注意这一类型的题目.12．C 由于四个村镇的村民到路口A 、B 、C 、D 的距离是固定的，故要使所走的路程总和最小，只需使其到A 、B 、C 、D 四地的距离和最小，又汽车站在A 、D 之间时的总路程和一定比汽车站在A 、D 之外要小，所以应建在A 、D 之间，又由于这时A 与D 到汽车站的总路程和就为AD ，故只需使汽车站到B 、C 两地的距离最小即可，故应建在B 、C 间的任何一处（包括B 、C ）.命题动向：对于应用性题目，在近几年高考中有加强考查的趋势，应用题的解决，要善于建立函数模型，转化为数学问题予以解决.13．-3 i 31i-i 3i -1-i 2i )i 2)(i 1(3--=+-=+-=++-=z . 误区警示：本题考查了复数的运算，注意复数i b a +的虚部是b ，而不是b i.14．75 由题设知1ln 1ln )(+-=x x x f ，故而1)()(2)(1)(1ln 21111+=-+=x f x f x f x f x ，1)()(2)(1)(1ln 12222+=-+=x f x f x f x f x ， 则61)()(21)()(2ln ln )ln(12212121≥+++=+=x f x f x f x f x x x x ，故)(21x x f 的最小值为751621=+-. 思路点拨：本题考查了函数的最值的求法、均值不等式的运用. 解决中关键是整体思想的运用.15．（63，52） 第1，3，5，…行的第一个数分别为12，32，52，…，第2，4，6…列的第一个数分别为22，42，62，可得5221,63171831828=++==-=a •a •a a .思路点拨：本题考查了观察能力和分析、解决问题的能力. 通过观察表中的数的排列规律进行思考.16．7 由题意可知，X 为X n 的奇子集时，X 中的所有元素都为奇数，故n =4时S n 的所有奇子集为：{1}，{3}，{1，3}，故容量之和为7.规律总结：信息给予型的题目要读懂题意，通过题目给予的信息，进行联想与发散.17．（1）B（2）因为C •B••A•222sin ,sin ,sin成等差数列， 所以2222222,sin sin sin 2c a b •C•A B +=+=所以.又abcc b a c C ••abc a c b a A ••abc b c a b B 2cos ,2cos ,2cos 222222222-+=-+=-+=. 显然cC ••b B •a A ••c C a A b B cos ,cos ,cos ,cos cos cos 2即+=成等差数列. 若其为等比数列，有c C ••b B •a A cos cos cos ==，所以•C•B A ,tan tan tan == C B A ==，与题设矛盾.规律总结：本题综合考查了正弦定理、余弦定理、及等差等比数列等知识，是一道不可多得的好题.18．（1）设该小组田男、女生共n 人，其中女生有x 人，根据题意得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==31C C 5322n x n x ，解得：.106•n x ⎩⎨⎧== ∴男生4人，女生6人.（2）由题意得：.54C C C 13103634•=+-（3）.1259354535453153C 541532122••=•⎪⎭⎫ ⎝⎛+•⎪⎭⎫ ⎝⎛-••+⎪⎭⎫ ⎝⎛-•⎪⎭⎫ ⎝⎛ 规律总结：本题考查了排列组合与概率等相关知识，解决此类问题的关键是分清是哪各类型的概率问题及基本事件的总数的求法，在平时的学习中要学会各种类型的题目的解决方法.19．（1）过P 作MN ∥B 1C 1，分别交A 1B 1、D 1C 1于M 、N ，则M 、N 分别为A 1B 1、D 1C 1的中点，连MB ，NC ，则四边形BCNM 是平行四边形，∵E 、M 分别为AB 、A 1B 1中点，∴A 1E ∥MB ，又⊂MB 平面PBC ，∴A 1E ∥平面PBC .（2）过A 作AF ⊥MB ，垂足为F ，连PF ，∵BC ⊥平面ABB 1A 1，AF ⊂平面ABB 1A 1，∴AF ⊥BC ，BC ⋂MB=B ，∴AF ⊥平面PBC ， ∴∠APF 就是直线AP 与平面PBC 所成的角，设AA 1=a ，则a •AF a•AB 332,2==，.36sin ,2•AP AF APF •a•AP ===所以，直线AP 与平面PBC 所成的角是36arcsin. （3）连OP 、OB 、OC ，则BC OP ⊥，由三垂线定理易得PC OB ⊥，PB OC ⊥，所以O 在平面PBC 中的射影是PBC ∆的垂心，又O 在平面PBC 中的射影是PBC ∆的重心，则PBC ∆为正三角形. 即PB=PC=BC ，所以2=k .反之，当2=k时，PA=AB=PB=PC=BC ，所以三棱锥O ——PBC 为正三棱∴O 在平面PBC 内的射影为PBC ∆的重心.考点拓展：本题考查了立体几何中的线面平行，直线与平面所成的角. 测试了空间想象能力和推理论证能力. 对于立体几何中的证明，最常见的是证明平行或垂直，分清脉络，从线线，到线面，到面面，形成知识网络，这类问题解决就得心应手了. 立体几何中的计算性问题，一般要遵循“一作”、“二证”、“三算”的步骤.20．（1）由抛物线定义，抛物线)0(2:2>=p px y C 上点),4(0•y •P 到焦点的距离等于它到准线2px-=的距离，得245p +=，∴p =2，所以抛物线C 的方程为x y 42=.（2）由044,422=+-⎩⎨⎧+==b y ky ••bkx y xy 得，当1,01616<>-=∆kb ••kb 即且0≠k 时，kb y •y •k y y 4,42121==+， ①由a y y =-||21，即2212214)(a y y y y =-+，得221616a kbk =-，所以22)1(16kkb a -=.②由①知，AB 中点M 的坐标为•••k ••k D ••k ••k kb ,2,1,2,222⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-点 32|1|21||||213221a a k kb y y MD S ABD=•-=-•=∆. ③由问题②知，△ABD的面积值仅与a y y =-||21有关，由于2||,2||ay y ••a y y D B D A =-=-，所以△ADE 与△BDF 的面积：256832322333a a a S S BDFADE =⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛==∆∆，设131314328322---⨯=⨯•=n n n n a a a . 由题设构造三角形的方法，可以将抛物线C 与线段AB 所围成的封闭图形的面积看成无穷多个三角形的面积的和，即数列}{n a 的无穷项和，所以244324324324323233332333a a a a a a S n=+⨯++⨯+⨯+⨯+= ，因此，所求封闭图形的面积为243a .规律总结：本题是个研究型试题，考查了直线与圆锥曲线的关系，同时渗透了极限的思想. 在最后一问中，实际上是无限细分的思想，这也是高考数学和初等数学的一个衔接点知识，课本在推导球的体积公式中予以体现. 在高考数学和初等数学衔接点命题，这也是现行高考的一个动向.21．（1）令1)1(2ln 112)()(+--=⎪⎭⎫⎝⎛+--=x x x x x g x f x F ， 则222)1()1()1()1(2)1(21)(+-=+--+-='x x x x x x x x F ，由x >1，得0)(>'x F ， 知F (x )在（1，+∞）上为增函数，又F (x )在x =1处连续，所以F (x )在[)∞+•••,1上为增函数，当x >1，得0)1()(=>F x F ，即⎪⎭⎫⎝⎛+->112)(x x g x f .（2）将)(x f 与)(x g 代入原方程得k x x =+-)1ln(2122，①令2x t=，并变形得k t t =+-)1ln(21，②要使方程①有四个不同的解，则就要使方程② 有两不同的正根. 令)1ln(,2121t •y k•t y +=-=，它们的图象 如图所示，当直线y 1在点0t t=处与曲线y 2相切时，由021121,11t ••t y +=+='得，于是10=t ，得切点为（1，ln2），这时切线方程为)212(ln 21,)1(212ln -+=-==t y ••t y即，y 与y 轴的交点为)212ln ,0(-••，要使直线y 1与曲线y 2在y 轴右边有两个不同交点，则，02ln 21,212ln 0<<--<-<k ••k 即.所以当02ln 21<<-k 时，原方程有四个不同的实根. 规律总结：在导数的应用中，用导数证明不等式的考查在加大. 一般其解题步骤是：一作差；二构造函数；三求函数的最小值.22．（1）nn n n n n n n n n nx x x x x x x x y y k 11111111+++++=--=--=，∴21+=+n n n x x x .（2）21-=n nx a ，则n n n nn n n a x x x x x a 2122212111--=-=-+=-=++，∴)31(2311+-=++n n a a ， 又02311≠-=+a ，∴{31+n a }为等比数列，∴31+n a =n )2(-，∴31)2(--=n n a . （3）31)2(12--+=n nx ，∴nnnn n x )1(3121)1(2)1(-•-+-•=-.令n 为奇数，则<-++=+++=-+-+++++)312)(312(2231213121)1()1(11111n n n n n n n n n nx x11121212222++++=•+n n n n n n . （令n 为偶数，也可得1112121)1()1(++++<-+-n n n n n n x x ）①当n 为偶数时，<+++<-++-+--n n n n x x x 21212121)1()1()1(12221121121=-. ②当n 为奇数时，221212121)1()1()1(122221-+++<-++-+---n n n n x x x 11312131212211213121<-+=++--<++n n n .综上：1)1()1()1(221<-++-+-n n x x x .规律总结：数列是高中数学的重要内容，又是初等数学与高等数学的重要衔接点，所以在历年的高考题中都占有重要的地位. 不等式也是高中数学的重要内容，以这二者交汇处为主干，构筑成知识网络型代数推理题是高考数学试卷中的常见题型.。
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南城一中 高三数学（理）模拟试题一一．选择题（每题5分，总共50分） 1．复数=+2)2(ii （ ）A ．-3-4iB ．-3+4iC ．3-4iD ．3+4i2. 一空间几何体的三视图如图2所示, 该几何体的体积为85123π+，则正视图中x 的值为( )A. 5B. 4C. 3D. 2 3．如图：在山脚下A 测得山顶P 的仰角为α， 沿倾斜角为β的斜坡向上走a 米到达B ，在B 处 测得山顶P 的仰角为γ，则山高PQ 为 （ ） A ．sin sin()sin()a a βγγβ--B ．sin sin()sin()a αγβγα--C ．sin()sin()sin a γαγβα--D ．sin()sin()sin a γαγββ--4．偶函数f(x)满足f(x-1) =f(x+1)，且在[]0,1x ∈时，f(x)=-x+1，则关于x 的方程1()()10x f x =，在[]0,3x ∈上解的个数是 （ ）.2 C5.定义某种运算S a b =⊗，运算原理如右图所示，则式子131100lg ln )45tan 2(-⎪⎭⎫⎝⎛⊗+⊗e π的值为（ ）A ．13B ．11C ．8D ．46、已知:p 存在x R ∈，使210mx +≤；:q 对任意x R ∈，恒有210x mx ++>。
若p q 或为假命题，则实数m 的取值范围为( )A.2≥mB.2m ≤-C.2,m 2m ≤-≥或D.22≤≤-m7.设m ∈N *，F (m )表示log 2m 的整数部分，则F (210＋1)＋F (210＋2)＋F (210＋3)＋…＋F (211)的值为( )×210 ×210＋1 ×210＋2 ×210－18．设函数2()(21)f x g x x =-+，曲线()(1,(1))y g x g =在点处的切线方程为21y x =+，则曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线方程为图2侧视图俯视图正视图4x33x 4（ ）A ．620x y --=B ．620x y --=C ．6310x y --=D ．20y -=9．点(,)M a b 在函数1y x =的图象上，点N 与点M 关于y 轴对称且在直线30x y -+=上，则函数2()()1f x abx a b x =++-在区间[)2,2-上 （ ）A ．既没有最大值也没有最小值B ．最小值为-3，无最大值C ．最小值为-3，最大值为9D ．最小值为134-，无最大值 10．已知直线)3(-=x k y 与双曲线12722=-y m x ，有如下信息：联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=127)3(22y m x x k y 消去y 后得到方程02=++C Bx Ax ，分类讨论：（1）当0=A 时，该方程恒有一解；（2）当0≠A 时，042≥-=∆AC B 恒成立。
在满足所提供信息的前提下，双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．[9,)+∞ B ．(1,9] C ．(1,2] D ．[2,)+∞二．填空题（每题5分，总共20分）11．已知00,(cos sin )aa x x dx >-⎰当取最大值21-时，a 的最小值为 。
12、给出下列五个命题：①不等式22430x ax a -+<的解集为{|3}x a x a <<；②若函数(1)y f x =+为偶函数，则()y f x =的图象关于1x =对称；③若不等式|4||3|x x a -+-<的解集为空集，必有1a ≥；④函数()y f x =的图像与直线x a =至多有一个交点。
其中所有正确命题的序号是____________13.如图，将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标数字0，点(1,0)处标数字1，点(1，－1)处标数字2，点(0，－1)处标数字3，点(－1，－1)处标数字4，点(－1,0)处标数字5，点(－1,1)处标数字6，点(0，1)处标数字7，…以此类推，①标数字50的格点的坐标为 .②记格点坐标为(m ，n)的点(m 、n均为正整数)处所标的数字为f(m ，n)，若n>m ，则f(m ，n)＝ .14．给出定义：若2121+≤<-m x m (其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作}{x ，即m x =}{. 在此基础上给出下列关于函数|}{|)(x x x f -=的四个命题：①)(x f y =的定义域是R ，值域是[0，21]；②)(x f y =的图像关于直线)(2Z k kx ∈=对称；③函数)(x f y =是周期函数，最小正周期是1；④ 函数)(x f y =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是增函数；则其中真命题是 。
三．选做题（从下列两题中选做一题，多做则按第一题给分，总共5分） 15．（A ） 4—4(坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()42πρθ+=．圆O的参数方程为cos 2sin x r y r θθ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，（θ为参数，0r >） 则圆心的极坐标是 ； 15.（B ） 4—5(不等式证明)设对于任意实数x ，不等式|7||1|x x ++-≥m 恒成立． 则m 的取值范围是 。
四．解答题（总共75分）16、（12分）某超市元旦期间将举办“购物摇奖100％中奖”活动，凡消费者在该超市购物满20元，可享受一次摇奖机会；购物满40元，可享受两次摇奖机会，依此类推。
下图是摇奖机的结构示意图，摇奖机的旋转圆盘是均匀的，扇形A 、B 、C 、D 所对应的圆心角的比值是1﹕2﹕3﹕4，相应区域的奖金分别为4元、3元、2元、1元，摇奖时，转动圆盘，待停止后，固定指针指向哪个区域（指针落在边界线上时重摇）即可获得相应的奖金。
（Ⅰ）求摇奖两次，均获胜4元奖金的概率； （Ⅱ）某消费者购物刚好满40元，求摇奖后所获奖金超过4元的概率.17、（本小题满分12分） 在ABC ∆中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，且3C π=，a b c λ+=，(其中(Ⅰ)若2c λ==时，求AC BC ⋅的值； (Ⅱ)若41(3)6AC BC λ⋅=+时，求边长c 的最小值及判定此时ABC ∆的形状。
18、（12分）已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ， 底面ABCD 是直角梯形，90,//,ADC AD BC ∠=,2,AB AC AB AC G ⊥==为PAC ∆的重心， E 为PB 的中点，F 在BC 上，且2CF FB =； （1）求证：FG AC ⊥；（2）当二面角P CD A --的正切值为多少时， FG ⊥平面AEC ；（3）在（2）的条件下，求直线FG 与平面PBC 所成角的正弦值； 19.（12分）．已知数列}{n a 满足nn a n a a n n 64)33(,111+++=-=+。
（1）求数列}{n a 的通项公式； F（2）令231+=-n n n a b ，数列}{n b 的前n 项和为n S ，求证：当2≥n 时)32(2322n S S S S n n +++> ； （3）证明：54221<+++++n n n b b b 。
20、（本小题满分13分）设椭圆C 1：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是F 1、F 2，下顶点为A ，线段OA 的中点为B （O 为坐标原点），如图．若抛物线C 2：21y x =-与y 轴的交点为B ，且经过F 1，F 2点。
（Ⅰ）求椭圆C 1的方程；（Ⅱ）设M （0，45-），N 为抛物线C 2上的一动点，过点N 作抛物线C 2的切线交椭圆C 1于P 、Q 两点，求MPQ ∆面积的最大值。
21. （14分）已知函数1()(2)(1)2ln ,().()xf x a x xg x xe a -=---=∈R（1）当1,()a f x =时求的单调区间；（2）若函数1()(0,),2f x a 在上无零点求的最小值；（3）若对任意给定的(](]00,,0,(1,2)i x e e x i ∈=在上总存在两个不同的，使得 0()(),i f x g x a =成立求的取值范围。
数学答案 题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B D A A B B D D11.4π 12. ②④ 13. (4,2) (2n ＋1)2＋m －n －1，(n>m) 14. ①②③15. （A ） ,(B)8≤m16、解：设摇奖一次，获得4元、3元、2元、1元奖金的事件分别记为A 、B 、C 、D ，又因为摇奖的概率大小与扇形区域A 、B 、C 、D 所对应的圆心角的大小成正比， ∵P （A ）=110，P （B ）=210，P （C ）=310，P （D ）=410。
5(1,)4π422r -=（1）摇奖两次，均获得4元奖金的概率为1111.1010100P =⨯= （2）购物刚好满40元，可获两次摇奖机会，奖金不超过4元，设奖金为2元、3元、4元的事件分别为1H ，2H 、3H ，则14416()1010100P H =⨯=，1224324()1010100P H C =⨯=， 132423325()10101010100P H C =⨯+⨯=。
且1H ，2H 、3H 为互斥事件， ∴摇奖两次，奖金不超过4元的概率为12316242565()()().100100100100P P H P H P H =++=++=∴摇奖两次，奖金超过4元的概率为2351.100P P =-=17、解：（Ⅰ）∵a b c λ+= 由正弦定理得：sin sin sin A B C λ+=又∵22,sin sin()sin()1336C B B B πππλ==⇒+-=⇒+= ∴3B π=∴cos 2AC BC ab C ==（Ⅱ）由正弦定理得：2222222cos ()3c a b ab C a b ab a b ab =+-=+-=+-由4411(3)(3)63AC BC ab λλ=+⇒=+ 又a b c λ+= ∴42224222234(3)(1)2611c c c λλλλλλ+=-+⇒==-++≥--∴min c =当且仅当λ=时取等号。
此时4,c ab a b==+=∴a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩或a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩ ∴ABC ∆为直角三角形 18、（1）连结CG 并延长交PA 于H ，连结BH ∵G 是△PAC 的重心 ∴CG:GH=2:1∵CF:FB=2:1 ∴CG:GH=CF:FB ∴FG ∥BH ∵PA ⊥平面ABCD ∴PA ⊥AC ∴AC ⊥平面PAB∴ AC ⊥BH ∵FG ∥BH ∴FG ⊥AC ------------4分 （2）如图所示，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系∵AB=AC=2且AB ⊥AC ∴∠ACB=45°在直角梯形ABCD 中 ∵∠BCD=90°∴∠ACD=45°∵AC=2 ∴ ∵PA ⊥平面ABCD ∴PA ⊥CD ∵CD ⊥AD∴CD ⊥平面PAD ∴CD ⊥PD∴∠PDA 为二面角P-CD-A 的平面角∴,,0)设P(0,0,a) ∴H(0,0,2a) E(2,2-,2a )∵FG ⊥平面AEC ∴FG⊥AE ∵FG ∥BH ∴BH⊥AE∴BH =(2a ) AE2a) ∴0BH AE ⋅= ∴a =∴PA=∴tan ∠PDA=2 ∴当二面角P-CD-A 的正切值为2时，FG ⊥平面AEC （3）∵BH ∥FG ∴FG 与平面PBC 所成的角等于BH 与平面PBC 所成的角∵BH =（2，2） BC =（0，22，0） PC =，22-）设平面PBC 的法向量n =(x,y,z) ∴00n BC n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴02y x z =⎧⎨=⎩ 令z=1 ∴n =(2,0,1)∴15cos ,BH n BHn BH n⋅<>==-⋅设直线FG 与平面PBC 所成的角为θ∴15sin cos ,BH n θ=<>= ∴直线FG 与平面PBC19. 解：（1）由已知得64)1(31+++=+n a n na n n ，两边同除以)1(+n n 得：126311+-+=++n n n a n a n n ，所以na n a n n 23121+=+++， 所以}2{n a n +是首项为1，公比为3=q 的等比数列。