最新122两点之间线段最短专题训练
微专题利用两点之间线段最短解决线段最值问题
微专题 利用“两点之间，线段最短”解决线段最值问题 模型一 “一线两点”型（一动+两定）类型一异侧线段和最小值问题 问题：两定点A , B 位于直线I 异侧，在直线I 上找一点P ,使P 冊PB 值最小. 【解题思路】根据两点之间线段最短，PA + PB 的最小值即为线段AB 的长•连接 AB 交直线I 于点P ,点P 即为所求. 连接4*史直 -1* ______ 线#于点尸.9li 1 \针对训练：1、如图，等边△ ABC 勺边长为4, AD 是BC 边上的中线，F是AD 边上的动点，E 是AB 边上一点，且 AE= 2,则线段EF + CF 的最小值为 .类型二同侧线段和最小值问题（将军饮马模型）问题：两定点A , B 位于直线I 同侧，在直线I 上找一点P ,使得PA + PB 值最小.【解题思路】将两定点同侧转化为异侧问题，同类型一即可解决.作点 B 关于I 2、如图，在Rt A ABC 中，AC = BC -4,点D , E 分别是AB, AC 边的中点，在CD 上找一点P ,使PA + PE 的值最小，则这个最小值为 ____________.3、如图，在边长为2的菱形ABCD 中，/ DAB= 60°, E 是AB 边上的一点，且 AE - 1,点Q 为对角线AC 上的动点，则△ BEQ 周长的最小值为 _________ .类型三 同侧差最大值问题问题：两定点A , B 位于直线I 同侧，在直线I 上找一点P ,使得|PA — PB|的值最 大.【解题思路】根据三角形任意两边之差小于第三边，|PA — PB|< AB,当A , B , P 点共线时，等号成立，即|PA — PB|的最大值为线段AB 的长.连接AB 并延长, 与直线I 的交点即为点P.A 连接M £* *林 并 芷长1与直线厂苍交于点P 针对训练： 4、如图，在矩形 ABCD 中，AB = 3, AD = 4,连接AC,点0是AC 的中点，M 是AD 上一点, 且MD =1, P 是BC 上一动点，贝U PM — P0的最大值为 _______________ 。
七年级数学上册-考点训练： 两点之间线段最短-课后练习
4．（2007•威海）如图，一条街道旁有A，B，C，D，E五幢居民楼． 某大桶水经销商统计各楼居民每周所需大桶水的数量如下表：
楼号
ABCDE
大桶水数/桶 38 55 50 72 85
他们计划在这五幢楼中租赁一间门市房，设立大桶水供应点．若仅考虑 这五幢楼内的居民取水所走路程之和最小，可以选择的地点应在 （ ）
段（图中l），A、B分别在河的两旁．现要在河边修建一个水泵站，同 时向A、B两村供水，为了节约建设的费用，就要使所铺设的管道最 短．某人甲提出了这样的建议：从B 向河道作垂线交l于 P，则点P为水 泵站的位置． （1）你是否同意甲的意见？ 否 （填“是”或“否”）； （2）若同意，请说明理由，若不同意，那么你认为水泵站应该建在 哪？请在图中作出来，并说明作图的依据．
始点P处，那么如果将选项C、D的圆锥侧面展开图还原成圆锥 后，位于母线OM上的点P应该能够与母线OM′上的点（P′）重合， 而选项C还原后两个点不能够重合． 故选D．
点 本题考核立意相对较新，考核了学生的空间想象能力． 评： 二、填空题（共3小题）（除非特别说明，请填准确值） 6．（2011•广西）在修建崇钦高速公路时，有时需要将弯曲的道路改 直，依据是 两点之间线段最短 ．
考 线段的性质：两点之间线段最短．1527949 点： 专 常规题型． 题： 分 根据两点之间线段最短，连接AB与直线m的交点即为所求． 析： 解 解：如图，连接AB交直线m于点O， 答： 则O点即为所求的点．
理由如下：根据连接两点的所有线中，线段最短， ∴OA+OB最短．
点 本题主要考查了线段的性质，熟记两点之间线段最短并灵活运用 评： 是解题的关键． 10．画一画 如下图所示，河流在两个村庄A、B的附近可以近似地看成是两条折线
2024贵阳中考数学二轮中考题型研究 微专题 利用“两点之间,线段最短”解决最值问题(课件)
∴当 E，M，N，F 在同一直线上时，EM＋MN＋FN 取得最小值，
最小值等于线段 EF 的长．
∵B，D 分别是 CE，CF 的中点，
E
∴BD 是△CEF 的中位线，∴EF＝2BD.
又∵∠A＝60°，AB＝AD＝ 3，
∴△ABD 是等边三角形，∴BD＝ 3，
∴EF＝2 3，∴CM＋MN＋CN 的最小值为 2 3， ∴△CMN 周长的最小值为 2 3.
微专题 利用“两点之间，线段最短” 解决最值问题
模型一 “一线两点”型(一动两定)
一、利用两点之间线段最短求线段和最小值
1．异侧线段和最小值问题 问题：两定点 A、B 位于直线 l 异侧，在直线 l 上找一点 P，使得 PA＋PB 的值最小．
解决： 结论：两点之间线段最短．
2．同侧线段和最小值问题 问题：两定点 A，B 位于直线 l 同侧，在直线 l 上找一点 P，使得 PA＋PB 的值最小． 解决：
结论：将异侧两定点转化为同侧两定点问题，同类型 1 即可解决．
5． 如图，在正方形 ABCD 中，AB＝6，点 F 是对角线 BD 上靠近点 B 的三等分点，点 E 是 AD 边上的一点，且 DE＝2. P 为 BC 上一点．连接 PE、PF. (1)在图中画出 PE－PF 的值最大时点 P 的位置(为区分点 P，请用字母 P′ 标记)；
第 4 题图
二、利用两点之间线段最短求线段差最大值
1．同侧线段差最大值问题 问题：两定点 A，B 位于直线 l 同侧，在直线 l 上找一点 P，使得 |PA－PB|的值最大． 解决：
2．异侧线段差最大值问题 问题：两定点 A，B 位于直线 l 异侧，在直线 l 上找一点 P，使得 |PA－PB|的值最大． 解决：
人教版七年级数学知识点试题精选-两点之间线段最短的习题
两点之间线段最短的习题一．选择题（共20小题）1．已知线段AB的中点是C，BC的中点是D，AD的中点是E，则AE等于AB的（）A．B．C．D．2．已知线段AB=5厘米，线段BC=3厘米，则线段AC的长为（）A．8厘米B．2厘米C．2厘米或8厘米D．不能确定3．如图所示，甲、乙之间有四条路可走，那么最短线路的序号是（）A．①B．②C．③D．④4．按下面长度，A、B、C不在同一直线上的为（）A．AB=5cm，BC=15cm，AC=20cm B．AB=8cm，BC=6cm，AC=10cmC．AB=11cm，BC=21cm，AC=10cm D．AB=30cm，BC=16cm，AC=14cm5．如图所示，小明到小颖家有四条路，小明想尽快到小颖家，他应该走（）A．①B．②C．③D．④6．下列生活或生产现象中，可用公理“两点之间，线段最短”来解释的现象有（）A．用两个钉子就可以把木条固定在墙上B．把弯曲的公路改直，就能缩短路程C．植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线D．以上说法都不能用此公理解释7．已知M、N、P三点在同一条直线上，如果线段MN=6cm，NP=2cm，那么M，P两点的距离是（）A．8cm B．4cm C．8cm或4cm D．无法确定8．下列说法：①把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这是由于两点之间线段最短；②若线段AC=BC，则点C是线段AB的中点；③射线AB与射线AD是同一条射线；④连接两点的线段叫做这两点的距离；⑤将一根细木条固定在墙上，至少需要两根钉子，是因为两点确定一条直线．其中说法正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．如图，把弯曲的河道改直，能够缩短航程．这样做根据的道理是（）A．两点之间，直线最短B．两点确定一条直线C．两点之间，线段最短D．两点确定一条线段10．已知：如图，点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点，AB=20cm，那么线段AD等于（）A．16cm B．5 cmC．10cm D．15cm11．如图所示，A、B两点所对的数分别为a、b，则AB的距离为（）A．a﹣b B．a+b C．b﹣a D．﹣a﹣b12．把原来弯曲的河道改直，两地间的河道长度会变短，这其中蕴含的数学道理是（）A．两地之间线段最短B．直线比曲线短C．两点之间直线最短D．两点确定一条直线13．“把弯曲的河道改直，就能缩短路程”，其中蕴含的数学道理是（）A．直线比曲线短B．两点之间线段最短C．两点之间直线最短D．两点确定一条直线14．下列现象中，可用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的现象是（）A．把弯曲的公路改直，就能缩短路程B．用两个钉子就可以把木条固定在墙上C．利用圆规可以比较两条线段的大小关系D．植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线15．如图，把原来弯曲的河道改直，A，B两地间的河道长度变短，这样做的道理是（）A．两点确定一条直线B．两点之间线段最短C．两点之间直线最短D．垂线段最短16．如图，C、M是线段AB上的两点，且点M是线段AC的中点，若AB=8cm，BC=2cm，则AM的长为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm17．下列说法中：①过两点有且只有一条直线；②两点之间选段最短；③在平面内有一点P使得PA=PB，那么，点P就是线段AB的中点；④连接两点的线段叫两点之间的距离；其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个18．如图，小红同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（）A．两点之间，线段最短B．两点确定一条直线C．过一点，有无数条直线D．连接两点之间的线段叫做两点间的距离19．已知点在线段上，下列条件中不能确定点C是线段AB中点的是（）A．AC=BC B．AB=2AC C．AC+BC=AB D．20．已知A，B，C三点在同一条直线上，M，N分别为线段AB，BC的中点，且AB=60，BC=40，则MN的长为（）A．10 B．50 C．10或50 D．无法确定二．填空题（共20小题）21．如果A、B、C三点在同一直线上，且线段AB=4cm，BC=2cm，那么A、C两点之间的距离为多少？22．如图，AB=12cm，M点是线段AB的中点，点C将线段MB分成MC：CB=1：2则线段AC的长度是cm．23．两点之间的所有连线中，线段最短．简单地说：，线段最短．两点之间线段的叫做这两点之间的距离．24．已知把一段弯曲的公路改成直道可以缩短路程，这样做的数学道理是．25．在桌面上放了一个正方体的盒子，一只蚂蚁在顶点A处，它要爬到顶点B 处，你能帮助蚂蚁设计一条最短的爬行路线吗？．26．如图，用“＞”、“＜”或“=”连接下列各式，并说明理由．AB+BC AC，AC+BC AB，BC AB+AC，理由是．27．如图，已知C、D是线段AB上的两点，且AC=AB，BD=BC，图中一共有条线段；若所有线段的长度的总和为31，则AD=．28．线段AB=9cm，点C在AB上，且AC=AB，M是AB的中点，那么MC=．29．如图所示，设L=AB+AD+CD，M=BE+CE，N=BC．试比较M、N、L的大小：．30．如图，从城市A到城市B有三种不同的交通工具：汽车、火车、飞机，除去速度因素，坐飞机的时间最短是因为．31．线段AB=8cm，C是AB的中点，D是BC的中点，A、D两点间的距离是cm．32．某工程队在修建高速公路时，有时需要将弯曲的道路改直以缩短路程，这样的理论依据是．33．如图，BC=4，BD=7，且D是AC的中点，则AC=．34．如图，C、D是线段AB上的点，D为BC的中点，AB=12cm，AC=AB，则CD=cm．35．若将弯曲的河道改直，可以缩短航程，根据是．36．已知线段AB=6cm，AB所在直线上有一点C，若AC=2BC，则线段AC的长为cm．37．为抄近路践踏草坪是一种不文明现象．请你用几何知识解释出现这一种现象的原因：．38．某乡在重修通往县城的公路时，把原来弯曲的路改直，其中蕴含的数学道理是．39．如图，点C在线段AB的延长线上，BC=2AB，点D是线段AC的中点，AB=2cm，则BD的长度是．40．如图，M是线段AC的中点，N是线段CB的中点．如果AB=14cm，那么MN=．三．解答题（共10小题）41．如图，（1）一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？（2）如果要爬行到顶点C呢？说出你的理由．42．如图，点B在线段AD上，C是线段BD的中点，AD=10，BC=3．求线段CD、AB的长度．43．已知线段AB=5cm，回答下列问题：是否存在一点C，使它到A、B两点的距离之和等于4？44．在已知直线MN的两侧各有一个点A和B，在MN上找出一个点C，使点C到A、B的距离为最短，画出图形，并说明为什么最短？45．如图所示，已知A、B、C、D，请在图中找出一点P，使PA+PB+PC+PD最小．46．画图并计算：已知线段AB=10cm．（1）在线段AB上画线段BC=4cm，求线段AC的长；（2）在直线AB上画线段BC=4cm，求线段AC的长．47．如图，C是线段BD的中点，AD=3，AC=7，求线段AB的长．48．如图，A，B，C是一条公路上的三个村庄，A，B间的路程为100km，A，C 间的路程为40km，现在A，B之间设一个车站P，设P，C之间的路程为xkm．（1）用含x的代数式表示车站到三个村庄的路程之和；（2）当x=10km时，车站到三个村庄的路程之和是多少千米？（3）若要使车站到三个村庄的路程总和最短，问车站应设在何处？最小值是多少？49．如图，公园里设计了曲折迂回的九曲桥，与修一座笔直的桥相比，这样做是否增加了游人在桥上行走的路程？说出其中的道理．50．如图，已知AD=6cm，B是AC的中点，，求AB、BC、CD的长．两点之间线段最短的习题参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．已知线段AB的中点是C，BC的中点是D，AD的中点是E，则AE等于AB的（）A．B．C．D．【分析】根据中点的性质，即可推出AB=2BC，BC=AC=2CD，由此可得AB=4CD，AD=3CD，可得，AB=AD，然后根据AD=2AE，即可推出AE与AB的数量关系．【解答】解：∵线段AB的中点是C，BC的中点是D，AD的中点是E，∴AB=2BC，BC=AC=2CD，AD=2AE，∴AB=AD，∵AD=2AE，∴AE=AB．故选C．【点评】本题主要考查线段中点的性质，关键在于根据中点的性质推出AB=AD，AD=2AE，再进行正确等量代换．2．已知线段AB=5厘米，线段BC=3厘米，则线段AC的长为（）A．8厘米B．2厘米C．2厘米或8厘米D．不能确定【分析】分两种情况讨论：①A、B、C三点共线，②A、B、C三点不共线，从而可得出答案．【解答】解：①A、B、C三点共线时，AC=2厘米或8厘米；②A、B、C三点不共线时，AC的长度没办法确定．综上可得AC的长没办法确定．故选D．【点评】本题主要考查两点间的距离的知识点，由于没有说明AB与BC的位置，故不能确定A，C两点的距离．3．如图所示，甲、乙之间有四条路可走，那么最短线路的序号是（）A．①B．②C．③D．④【分析】根据线段的性质（两点之间线段最短）进行解答即可．【解答】解：由图可知，甲乙两地之间的四条路只有③是线段，故最短路线的序号是③；故选C．【点评】本题考查的是线段的性质，即两点之间线段最短．4．按下面长度，A、B、C不在同一直线上的为（）A．AB=5cm，BC=15cm，AC=20cm B．AB=8cm，BC=6cm，AC=10cmC．AB=11cm，BC=21cm，AC=10cm D．AB=30cm，BC=16cm，AC=14cm【分析】根据两点间的距离公式对各选项进行逐一解答即可．【解答】解：A、∵AB=5cm，BC=15cm，AC=20cm，∴AB+BC=AC，故本选项正确；B、∵AB=8cm，BC=6cm，AC=10cm，∴AC+BC≠AB，故本选项错误；C、∵AB=11cm，BC=21cm，AC=10cm，∴AB+AC=BC，故本选项正确；D、∵AB=30cm，BC=16cm，AC=14cm，∴BC+AC=AB，故本选项正确．故选B．【点评】本题考查的是两点间的距离，熟知同一直线上两点间的距离公式是解答此题的关键．5．如图所示，小明到小颖家有四条路，小明想尽快到小颖家，他应该走（）A．①B．②C．③D．④【分析】根据“两点之间线段最短”的性质进行解答．【解答】解：∵小明到小颖家的四条路中只有②是线段，∴第②条路最近．故选B．【点评】本题考查的是线段的性质，熟知“两点之间线段最短”的知识是解答此题的关键．6．下列生活或生产现象中，可用公理“两点之间，线段最短”来解释的现象有（）A．用两个钉子就可以把木条固定在墙上B．把弯曲的公路改直，就能缩短路程C．植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线D．以上说法都不能用此公理解释【分析】根据两点确定一条直线，两点之间线段最短的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、用两个钉子就可以把木条固定在墙上是利用了“两点确定一条直线”，故本选项错误；B、把弯曲的公路改直，就能缩短路程是利用了“两点之间线段最短”，故本选项正确；C、植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线是利用了“两点确定一条直线”，故本选项错误；D、因为B选项可以解释，故本选项错误．故选B．【点评】本题考查了线段的性质以及直线的性质，熟记性质公理是解题的关键，是基础题．7．已知M、N、P三点在同一条直线上，如果线段MN=6cm，NP=2cm，那么M，P两点的距离是（）A．8cm B．4cm C．8cm或4cm D．无法确定【分析】画出图形，则有：（1）M、P在N的同侧，（2）M、P在N的两侧．【解答】解：如图所示，可知：（1）M、P在N的同侧，则M，P两点的距离是6﹣2=4cm；（2）若M、P在N的两侧，则M，P两点的距离是6+2=8cm．故选C．【点评】利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．8．下列说法：①把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这是由于两点之间线段最短；②若线段AC=BC，则点C是线段AB的中点；③射线AB与射线AD是同一条射线；④连接两点的线段叫做这两点的距离；⑤将一根细木条固定在墙上，至少需要两根钉子，是因为两点确定一条直线．其中说法正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据线段的性质及两点间距离的定义对各小题进行逐一分析即可．【解答】解：①符合两点之间线段最短，故本小题正确；②当ABC不共线时，点C不是线段AB的中点，故本小题错误；③射线AB与射线AD可能是两条不同的射线，故本小题错误；④连接两点的线段的长度叫做这两点的距离，故本小题错误；⑤符合两点确定一条直线，故本小题正确．故选B．【点评】本题考查的是线段的性质，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．9．如图，把弯曲的河道改直，能够缩短航程．这样做根据的道理是（）A．两点之间，直线最短B．两点确定一条直线C．两点之间，线段最短D．两点确定一条线段【分析】此题为数学知识的应用，由题意弯曲的河道改直，肯定为了尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理．【解答】解：因为两点之间线段最短，把弯曲的河道改直，能够缩短航程．故选：C．【点评】此题为数学知识的应用，考查知识点两点之间线段最短．10．已知：如图，点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点，AB=20cm，那么线段AD等于（）A．16cm B．5 cmC．10cm D．15cm【分析】根据线段中点的定义得到BC=AB=×20cm=10cm，BD=BC=×10cm=5cm，然后利用AD=AB﹣BD计算即可．【解答】解：∵点C是线段AB的中点，AB=20cm，∴BC=AB=×20cm=10cm，∵点D是线段BC的中点，∴BD=BC=×10cm=5cm，∴AD=AB﹣BD=20cm﹣5cm=15cm．故选D．【点评】本题考查了两点间的距离：两点之间的连线段长叫这两点之间的距离．也考查了线段中点的定义．11．如图所示，A、B两点所对的数分别为a、b，则AB的距离为（）A．a﹣b B．a+b C．b﹣a D．﹣a﹣b【分析】根据AB两点之间的距离即为0到B的距离与0到A的距离之和，由数轴可知a＜0，b＞0，得出AB的距离为b﹣a．【解答】解：∵A、B两点所对的数分别为a、b，∵a＜0，b＞0，∴AB之间的距离为b﹣a，故选C．【点评】本题考查了两点之间的距离，图形结合，判断出a、b的符号，难度适中．12．把原来弯曲的河道改直，两地间的河道长度会变短，这其中蕴含的数学道理是（）A．两地之间线段最短B．直线比曲线短C．两点之间直线最短D．两点确定一条直线【分析】直接利用线段的性质进而分析得出答案．【解答】解：把原来弯曲的河道改直，两地间的河道长度会变短，这其中蕴含的数学道理是两地之间线段最短．故选：A．【点评】本题考查的是线段的性质，正确掌握两点之间线段最短是解题关键．13．“把弯曲的河道改直，就能缩短路程”，其中蕴含的数学道理是（）A．直线比曲线短B．两点之间线段最短C．两点之间直线最短D．两点确定一条直线【分析】根据线段的性质即可得出结论．【解答】解：∵两点之间线段最短，∴把弯曲的河道改直，就能缩短路程．故选：B．【点评】本题考查的是线段的性质，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．14．下列现象中，可用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的现象是（）A．把弯曲的公路改直，就能缩短路程B．用两个钉子就可以把木条固定在墙上C．利用圆规可以比较两条线段的大小关系D．植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线【分析】利用直线的性质以及线段的性质分别分析得出答案．【解答】解：A、把弯曲的公路改直，就能缩短路程，可用基本事实“两点之间，线段最短”来解释，故此选项正确；B、用两个钉子就可以把木条固定在墙上，利用两点确定一条直线，故此选项错误；C、利用圆规可以比较两条线段的大小关系，是比较线段大小，不是两点之间，线段最短，故此选项错误；D、植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线，利用两点确定一条直线，故此选项错误；故选：A．【点评】此题主要考查了直线的性质以及线段的性质，正确把握相关性质是解题关键．15．如图，把原来弯曲的河道改直，A，B两地间的河道长度变短，这样做的道理是（）A．两点确定一条直线B．两点之间线段最短C．两点之间直线最短D．垂线段最短【分析】根据线段的性质：两点之间线段最短进行解答．【解答】解：把原来弯曲的河道改直，A，B两地间的河道长度变短，这样做的道理是两点之间线段最短，故选：B．【点评】此题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间线段最短，是需要记忆内容．16．如图，C、M是线段AB上的两点，且点M是线段AC的中点，若AB=8cm，BC=2cm，则AM的长为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm【分析】由图形可知AC=AB﹣BC，依此求出AC的长，再根据中点的定义可得AM 的长．【解答】：由图形可知AC=AB﹣BC=8﹣2=6cm，∵M是线段AC的中点，∴AM=AC=3cm．故AM的长为3cm．故选B．【点评】考查了两点间的距离的计算；求出与所求线段相关的线段AC的长是解决本题的突破点．17．下列说法中：①过两点有且只有一条直线；②两点之间选段最短；③在平面内有一点P使得PA=PB，那么，点P就是线段AB的中点；④连接两点的线段叫两点之间的距离；其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】分别利用直线的性质以及两点之间距离和线段的性质分别判断得出即可．【解答】解：①过两点有且只有一条直线，正确；②两点之间线段最短，正确；③若AC=BC，则点C是线段AB的中点，C可能在线段垂直平分线上，故此选项错误．④连接两点的线段的长叫两点的距离，是线段的长，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了直线的性质以及两点之间距离和线段的性质等知识，正确把握相关性质是解题关键．18．如图，小红同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（）A．两点之间，线段最短B．两点确定一条直线C．过一点，有无数条直线D．连接两点之间的线段叫做两点间的距离【分析】根据“用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小”得到线段AB的长小于点A绕点C到B的长度，从而确定答案．【解答】解：∵用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，∴线段AB的长小于点A绕点C到B的长度，∴能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短，故选A．【点评】本题考查了线段的性质，能够正确的理解题意是解答本题的关键，属于基础知识，比较简单．19．已知点在线段上，下列条件中不能确定点C是线段AB中点的是（）A．AC=BC B．AB=2AC C．AC+BC=AB D．【分析】根据线段中点的定义，结合选项一一分析，排除答案．显然A、B、D 都可以确定点C是线段AB中点【解答】解：解：A、AC=BC，则点C是线段AB中点；B、AB=2AC，则点C是线段AB中点；C、AC+BC=AB，则C可以是线段AB上任意一点；D、BC=AB，则点C是线段AB中点．故选C．【点评】本题主要考查线段中点，解决此题时，能根据各选项举出一个反例即可．20．已知A，B，C三点在同一条直线上，M，N分别为线段AB，BC的中点，且AB=60，BC=40，则MN的长为（）A．10 B．50 C．10或50 D．无法确定【分析】根据题意画出图形，再根据图形求解即可．【解答】解：（1）当C在线段AB延长线上时，如图1，∵M、N分别为AB、BC的中点，∴BM=AB=30，BN=BC=20；∴MN=50．（2）当C在AB上时，如图2，同理可知BM=30，BN=20，∴MN=10；所以MN=50或10，【点评】本题考查线段中点的定义，比较简单，注意有两种可能的情况；解答这类题目，应考虑周全，避免漏掉其中一种情况．二．填空题（共20小题）21．如果A、B、C三点在同一直线上，且线段AB=4cm，BC=2cm，那么A、C两点之间的距离为多少？【分析】分类讨论：当点C在线段AB上，则有AC=AB﹣BC；当点C在线段AB 的延长线上，则AC=AB+BC，然后把AB=4cm，BC=2cm分别定义计算即可．【解答】解：当点C在线段AB上，则AC=AB﹣BC=4cm﹣2cm=2cm；当点C在线段AB的延长线上，则AC=AB+BC=4cm+2cm=6cm，所以A、C两点之间的距离为2cm或6cm．【点评】本题考查了两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．22．如图，AB=12cm，M点是线段AB的中点，点C将线段MB分成MC：CB=1：2则线段AC的长度是8cm．【分析】设MC=xcm，由MC：CB=1：2得到CB=2xcm，则MB=3x，根据M点是线段AB的中点，AB=12cm，得到AM=MB=AB=×12=3x，可求出x的值，又AC=AM+MC=4x，即可得到AC的长．【解答】解：设MC=xcm，则CB=2xcm，∴MB=3x，∵M点是线段AB的中点，AB=12cm，∴AM=MB=AB=×12=3x，而AC=AM+MC，∴AC=3x+x=4x=4×2=8（cm）．故答案为8．【点评】本题考查了两点间的距离：两点的连线段的长叫两点间的距离．也考查了方程思想的运用．23．两点之间的所有连线中，线段最短．简单地说：两点之间，线段最短．两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离．【分析】根据线段的性质与两点间的距离的定义填空．【解答】解：两点之间的所有连线中，线段最短．简单地说：两点之间，线段最短．两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离．故答案为：两点之间；长度．【点评】本题考查了线段的性质，以及两点间的距离的定义，是基础题，需熟记．24．已知把一段弯曲的公路改成直道可以缩短路程，这样做的数学道理是两点之间的连线中，线段最短．【分析】此题为数学知识的应用，由题意把一段弯曲的公路改成直道，可以缩短路程，就用到两点间线段最短定理．【解答】解：弯曲的道路改直，使两点处于同一条线段上，两点之间线段最短．【点评】本题主要考查两点之间线段最短．25．在桌面上放了一个正方体的盒子，一只蚂蚁在顶点A处，它要爬到顶点B 处，你能帮助蚂蚁设计一条最短的爬行路线吗？蚂蚁可由：点A﹣点EF的中点（或CE的中点）﹣B点．【分析】考查最短路径问题．【解答】解：因为两点之间线段最短，所以蚂蚁可沿点A﹣点EF的中点（或CE 的中点）﹣B点．【点评】熟练掌握最短路径问题，能够应用到生活中一些简单的例子．26．如图，用“＞”、“＜”或“=”连接下列各式，并说明理由．AB+BC＞AC，AC+BC ＞AB，BC＜AB+AC，理由是两点之间的所有连线中，线段最短．【分析】两点之间的所有连线中，线段最短．【解答】解：AB+BC＞AC，AC+BC＞AB，BC＜AB+AC；在两点之间的所有连线中，线段最短．【点评】掌握两点之间，线段最短．27．如图，已知C、D是线段AB上的两点，且AC=AB，BD=BC，图中一共有6条线段；若所有线段的长度的总和为31，则AD=7．【分析】从图可知，小线段一共有3条，根据线段的计数方法可得：线段总条数就是3+2+1=6条；将所有线段加起来可得3AB+CD=31，从而根据题意可判断出AB的取值．【解答】解：如图，图中的线段的条数为：3+2+1=6（条）；∵AC=AB，BD=BC，∴AB=CD．根据题意可得：AC+AD+AB+CD+CB+DB=31，即（AC+CB）+（AD+DB）+（AB+CD）=31，∴3AB+CD=31，即CD=1，解得，CD=4，则AB=9，AC=3，∴AD=AC+CD=3+4=7．故填：7．【点评】本题考查了两点间的距离．此题易错的地方是所有线段的长度的总和为31，同学们解题时，往往认为线段AB的长度是31．28．线段AB=9cm，点C在AB上，且AC=AB，M是AB的中点，那么MC= 1.5cm．【分析】先根据“AC=AB，M是AB的中点”求出AC、AM的长度，然后两者相减即可求解．【解答】解：如图，∵AC=AB，M是AB的中点，AB=9cm，∴AC=×9=3cm，AM=×9=4.5cm，∴CM=AM﹣AC=4.5﹣3=1.5cm．故答案为：1.5cm．【点评】本题考查了线段长度的计算，画出图形更加形象直观，并且有助于问题的解决．29．如图所示，设L=AB+AD+CD，M=BE+CE，N=BC．试比较M、N、L的大小：L＞M＞N．【分析】根据连接两点的所有线中，直线段最短的性质解答．【解答】解：∵AB+AE＞BE，CD+DE＞CE，∴AB+AE+CD+DE＞BE+CE，即l＞m，又BE+CE＞BC，即m＞n，∴l＞m＞n．【点评】此题考查知识点两点之间，线段最短．30．如图，从城市A到城市B有三种不同的交通工具：汽车、火车、飞机，除去速度因素，坐飞机的时间最短是因为两点之间，线段最短．【分析】此题为数学知识的应用，由题意从城市A到城市B，肯定要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理．【解答】解：因为坐飞机是从城市A到城市B，是一条线段上，沿直线走，A和B处于一条线段上，两点之间，线段最短．【点评】本题主要考查两点之间线段最短．31．线段AB=8cm，C是AB的中点，D是BC的中点，A、D两点间的距离是6 cm．【分析】可依据题意作出简单的图形，进而结合图形求解线段的长度．【解答】解：如图∵AB=8cm，C是AB的中点，∴AC=4cm，又D是BC的中点，∴CD=BC=2cm∴AD=AC+CD=6cm．【点评】会求解一些简单的两点间的距离问题．32．某工程队在修建高速公路时，有时需要将弯曲的道路改直以缩短路程，这样的理论依据是两点之间线段最短．【分析】此题为数学知识的应用，由题意将弯曲的道路改直以缩短路程，就用到两点间线段最短定理．【解答】解：弯曲的道路改直，使两点处于同一条线段上，两点之间线段最短．故答案为：两点之间线段最短．【点评】本题主要考查两点之间线段最短．33．如图，BC=4，BD=7，且D是AC的中点，则AC=6．【分析】根据CD=BD﹣BC代入数据求出CD，再根据线段中点的定义解答．【解答】解：∵BC=4，BD=7，∴CD=BD﹣BC=7﹣4=3，∵D是AC的中点，∴AC=2CD=2×3=6．故答案为：6．【点评】本题考查了两点间距离，熟记中点的定义是解题的关键．34．如图，C、D是线段AB上的点，D为BC的中点，AB=12cm，AC=AB，则CD=cm．【分析】先根据AB=12cm，AC=AB求出AC的长，进而得出线段BC的长，根据D为BC的中点即可得出结论．【解答】解：∵AB=12cm，AC=AB，∴AC=×12=cm，∴BC=12﹣=cm，∵D为BC的中点，∴CD=×=cm．故答案为：．【点评】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．35．若将弯曲的河道改直，可以缩短航程，根据是两点之间线段最短．【分析】根据两点之间线段最短解答．【解答】解：将弯曲的河道改直，可以缩短航程，根据是：两点之间线段最短．故答案为：两点之间线段最短．【点评】本题考查了线段的性质，是基础题，熟记两点之间线段最短是解题的关键．36．已知线段AB=6cm，AB所在直线上有一点C，若AC=2BC，则线段AC的长为4或12cm．【分析】有两种情况：当C在AB的延长线上时，当C在线段AB上时，根据已知求出即可．【解答】解：如图，有两种情况：当C在AB的延长线上时，如图①，∵AB=6cm，AC=2BC，∴AB=BC=6cm，∴AC=12cm；当C在线段AB上时，如图②∵AB=6cm，AC=2BC，∴AC=4cm；。
两点间线段最短与两点间的距离 小学数学 练习题
一、选择题1. 图中，从点A到直线BE的4条线段中，最短的一条是线段( )．A．ABB．ACC．AD2. 小丽去奶奶家，最近的路线是（）。
A．B．C．3. 在一组平行线之间有4条线段，线段的两个端点都在平行线上，长度分别为7.5厘米、6.4厘米、6厘米、5.8厘米，其中有一条是与平行线垂直的线段，它是（）厘米。
A．7.5 B．6.4 C．6 D．5.84. 星期六上午9：00至10：00，文文去艺海艺术中心学画画，走（）条路最近。
A．①B．②C．③5. 小明欲从A点走到BC段的对岸，请问最短距离是（）。
A．AC的连线B．AB的连线C．作A到BC的垂线二、填空题6. 从学校经少年宫到植物园，共有( )条路可走，其中走( )最近（用字母表示）。
7. 如下图，淘气要从家到公路上，走线段( )最近。
8. 修隧道不绕路是因为( )。
9. 如下图，点O到直线b的距离是线段( )的长度．10. 在公路上有三条小路通往小明家，它们的长度分别是125米，207米，112米，其中有一条小路与公路是垂直的，那么这条小路的长度是___米。
三、解答题11. （1）小兔和小猴是好朋友，它们经常到对方家里去做客，于是两个好朋友商量，要在两家之间修一条最近的路，请你将两家门口A、B的最短路线画一画，并说明这样画的理由____________________。
（2）如果小兔和小猴分别从水管主道接一条水管到自己家，怎样接用的材料最少？请你画一画。
12. 银河路与世纪大道互相垂直，并相交于明珠广场．（如图，测量数据保留整厘米数．）（1）邮电局位于明珠广场（）偏（）（）°方向（）米处．（2）邮电局需往世纪大道建造一条道路，怎样建最短，请在图中画出来．（3）教育局位于明珠广场南偏东30°方向1千米处，请在图中标出教育局的位置．13. 小明家有一块三角形的菜地，菜地的最大角是120°，是最小角的4倍。
（1）这块三角形菜地其它角的度数是多少？（2）如果从小明家到菜地，有如图三条路线，你会选择哪一条？为什么？14. 东东和芳芳家分别住在育英小学和汇育学校附近，他们放学同时从树人小学出发步行回家。
七上数学每日一练：线段的性质：两点之间线段最短练习题及答案_2020年综合题版
（2） 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： ①数轴上表示4和－2的两点之间的距离是，表示－2和－4两点之间的距离是.
一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m-n|．
如果表示数a和-2的两点之间的距离是3，即
那么a=
②若数轴上表示数a的点位于－3和2之间，则
的值是；
③当a取时，|a+4|+|a-1-|+|a-4|的值最小，最小值是.
（1） BD=
（2） 数轴上表示数x和数-3两点之间的距离可表示为
（3） 直接写出方程
的解是
（4） 小明发现代数式
有最小值，最小值是。此时x的值是
考点： 数轴及有理数在数轴上的表示;绝对值及有理数的绝对值;线上 数 学 ： 图 形 的 性 质 _图 形 认 识 初 步 _线 段 的 性 质 ： 两 点 之 间 线 段 最 短 练 习 题 答 案
1.答案：
2.答案： 3.答案： 4.答案：
5.答案：
=n，点Q为线段PB的中点，求AQ的长．
答案解析
考点： 一元一次方程的解;线段的性质：两点之间线段最短;
答案解析
4.
(2019鄞州.七上期中) 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内 在联系，它是“数形结合”的基础．
（1） 在数轴上标示出－4、－3、－2、4、
考点： 数轴及有理数在数轴上的表示;绝对值及有理数的绝对值;线段的性质：两点之间线段最短;
答案解析
5.
(2019朝阳.七上期中) 阅读材料． 点M，N在数轴上分别表示数m和n，我们把m，n之差的绝对值叫做点M，N之间的距离，即MN=|m﹣n|．如图，在数 轴上，点A，B，O，C，D的位置如图所示，则DC=|3﹣1|=|2|=2；CO=|1﹣0|=|1|=1；BC=|（﹣2）﹣1|=|﹣3|=3；AB=|（ ﹣4）﹣（﹣2）|=|﹣2|=2．
七上数学每日一练：线段的性质：两点之间线段最短练习题及答案_2020年填空题版
七上数学每日一练：线段的性质：两点之间线段最短练习题及答案_2020年填空题版答案解析答案解析答案解析答案解析答案解析答案解析答案解析2020年七上数学：图形的性质_图形认识初步_线段的性质：两点之间线段最短练习题1.(2020通榆.七上期末) 把一条弯路改成直道，可以缩短路程，其数学道理是________。
考点： 线段的性质：两点之间线段最短;2.(2020安图.七上期末) 如图，甲、乙两地之间有多条路可走，其中最短路线的走法序号是②-④，其理由是________.考点： 线段的性质：两点之间线段最短;3.(2020南京.七上期末) 如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是________.考点： 线段的性质：两点之间线段最短;4.(2020西湖.七上期末) 下列说法：①两点确定一条直线；②射线OA 和射线AO 是同一条射线；③对顶角相等；④三角形任意两边和大于第三边的理由是两点之间线段最短.正确的序号是________.考点： 直线、射线、线段;直线的性质：两点确定一条直线;线段的性质：两点之间线段最短;对顶角、邻补角;5.(2020南京.七上期末) 下列三个日常现象：①用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上；②把弯曲的公路改直，就能够缩短路程；③体育课上，老师测量某名同学的跳远成绩．其中，可以用“两点之间线段最短”来解释的是________ .(填序号)考点： 直线的性质：两点确定一条直线;线段的性质：两点之间线段最短;6.(2020安陆.七上期末) 如图，从A 到B 有多条道路，人们通常会走中间的直路，而不走其他的路，这其中的道理是________ ．考点： 线段的性质：两点之间线段最短;7.(2020洛宁.七上期末) 把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程.用几何知识解释其道理是________.考点： 线段的性质：两点之间线段最短;答案解析答案解析答案解析8.(2019兴隆台.七上期末) 修路时，通常把弯曲的公路改直，这样可以缩短路程，其根据的数学道理是________.考点： 线段的性质：两点之间线段最短;9.(2019法库.七上期末) 将弯曲的河道改直，可以缩短航程，其中的道理是________.考点： 线段的性质：两点之间线段最短;10.(2019鼓楼.七上期末)下列三个现象：用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上； 从A 地到B 地架设电线，只要尽可能沿着线段AB 架设，就能节省材料； 植树时，只要定出两棵树的位置，就能使同一行树在一条直线上.其中可用“两点确定一条直线”来解释的现象有________ 填序号考点： 直线的性质：两点确定一条直线;线段的性质：两点之间线段最短;2020年七上数学：图形的性质_图形认识初步_线段的性质：两点之间线段最短练习题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：。
线段的性质：两点之间线段最短-初中数学习题集含答案
线段的性质：两点之间线段最短（北京习题集）（教师版）一．选择题（共3小题）1．（2019秋•西城区期末）如图，点、在直线上，点是直线外一点，可知，其依据是 A ．两点之间，线段最短B ．两点确定一条直线C ．两点之间，直线最短D ．直线比线段长 2．（2019秋•顺义区期末）把弯曲的河道改直，能够缩短船舶航行的路程，这样做的道理是A ．垂线段最短B ．两点确定一条直线C ．两点之间，直线最短D ．两点之间，线段最短 3．（2018秋•延庆区期末）兴延高速是世界园艺博览会重点配套工程，2019年1月1日，兴延高速正式通车．石峡隧道是兴延高速项目中最长的隧道，也是北京市最长的公路隧道，总长约5.8公里．正因为穿越的隧道多，所以兴延高速最大的特点是“直”，明显缩短了北京市区到延庆的距离，其主要依据是A ．两点确定一条直线B ．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C ．垂线段最短D ．两点之间，线段最短二．填空题（共5小题）4．（2019秋•怀柔区期末）如图是一个正方形，把此正方形沿虚线剪去一个角，得到一个五边形，则这个五边形的周长 原来正方形的周长．（填“大于”“小于”或“等于” ，理由是 ．5．（2019秋•房山区期末）如下图，从小华家去学校共有4条路，第 条路最近，理由是 ．A B l C l CA CB AB +>()()()AB )6．（2018秋•昌平区期末）现在人们锻炼身体的意识日渐增强，但是一些人保护环境的意识却很淡薄．如图是昌平滨河公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路，走“捷径”，于是在草坪内走出了一条不该有的“路线”．请你用数学知识解释出现这一现象的原因是 ．7．（2018秋•北京期末）如图是北京地铁的路线图，佳佳家住建国门，打算趁着新年放假去复兴门玩，看了路线图后，佳佳打算乘坐①号线地铁去，用几何知识解释他这样做的依据是 ．8．（2018秋•通州区期末）从小华家去图书馆共有三条路，你认为第 条路最短，理由是： ．三．解答题（共2小题）9．（2018秋•海淀区校级月考）如图，在四边形内找一点，使它到四边形四个顶点的距离之和最小，并说明你作图的理论依据．10．（2017秋•石景山区期末）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：如图，要在，两个小区和公路之间修建地下管道，请你设计一种线路最短的修建方AC AC ABCD O OA OB OC OD +++A B l根据以上信息，你认为 同学的方案最节省材料，理由是 ．线段的性质：两点之间线段最短（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．（2019秋•西城区期末）如图，点、在直线上，点是直线外一点，可知，其依据是 A ．两点之间，线段最短B ．两点确定一条直线C ．两点之间，直线最短D ．直线比线段长 【分析】依据线段的性质，即可得出结论．【解答】解：点、在直线上，点是直线外一点，可知，其依据是：两点之间，线段最短， 故选：．【点评】本题主要考查了线段的性质，两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．2．（2019秋•顺义区期末）把弯曲的河道改直，能够缩短船舶航行的路程，这样做的道理是 A ．垂线段最短B ．两点确定一条直线C ．两点之间，直线最短D ．两点之间，线段最短 【分析】根据两点之间线段最短即可得出答案．【解答】解：由两点之间线段最短可知，把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这样做根据的道理是两点之间线段最短，故选：．【点评】本题考查了线段的性质，属于概念题，关键是掌握两点之间线段最短．3．（2018秋•延庆区期末）兴延高速是世界园艺博览会重点配套工程，2019年1月1日，兴延高速正式通车．石峡隧道是兴延高速项目中最长的隧道，也是北京市最长的公路隧道，总长约5.8公里．正因为穿越的隧道多，所以兴延高速最大的特点是“直”，明显缩短了北京市区到延庆的距离，其主要依据是 A B l C l CA CB AB +>()A B l C l CA CB AB +>A ()D ()A ．两点确定一条直线B ．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C ．垂线段最短D ．两点之间，线段最短【分析】直接利用线段的性质分析得出答案．【解答】解：兴延高速最大的特点是“直”，明显缩短了北京市区到延庆的距离，其主要依据是：两点之间，线段最短．故选：．【点评】此题主要考查了线段的性质，正确理解题意是解题关键．二．填空题（共5小题）4．（2019秋•怀柔区期末）如图是一个正方形，把此正方形沿虚线剪去一个角，得到一个五边形，则这个五边形的周长 小于 原来正方形的周长．（填“大于”“小于”或“等于” ，理由是 ．【分析】利用两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短，可以得出结论．【解答】解：将正方形沿虚线裁去一个角得到五边形，则这个五边形的周长小于原来正方形的周长，理由是两点之间线段最短．故答案为：小于；两点之间线段最短．【点评】本题主要考查了线段的性质，正确掌握线段的性质是解题关键．5．（2019秋•房山区期末）如下图，从小华家去学校共有4条路，第 ③ 条路最近，理由是 ．【分析】根据两点之间线段最短的性质作答．【解答】解：从小华家去学校共有4条路，第③条路最近，理由是两点之间，线段最短．D AB )【点评】此题考查知识点两点间线段最短．6．（2018秋•昌平区期末）现在人们锻炼身体的意识日渐增强，但是一些人保护环境的意识却很淡薄．如图是昌平滨河公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路，走“捷径”，于是在草坪内走出了一条不该有的“路线”．请你用数学知识解释出现这一现象的原因是 两点之间，线段最短 ．【分析】根据线段的性质，可得答案．【解答】解：为了抄近道而避开横平竖直的路，走“捷径”，用数学知识解释出现这一现象的原因是两点之间，线段最短．故答案为两点之间，线段最短．【点评】本题考查了线段的性质，熟记线段的性质是解题关键．7．（2018秋•北京期末）如图是北京地铁的路线图，佳佳家住建国门，打算趁着新年放假去复兴门玩，看了路线图后，佳佳打算乘坐①号线地铁去，用几何知识解释他这样做的依据是 两点之间，线段最短 ．【分析】两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．【解答】解：由图可得，他这样做的依据是：两点之间，线段最短．故答案为：两点之间，线段最短．【点评】本题主要考查了线段的性质：两点之间，线段最短．8．（2018秋•通州区期末）从小华家去图书馆共有三条路，你认为第 ② 条路最短，理由是： ．【分析】两点之间，线段最短，根据线段的性质即可得出答案．【解答】解：从小华家去图书馆共有三条路，选择第②条路最短，理由：两点之间线段最短．故答案为：②，两点之间线段最短．AC AC AC【点评】本题主要考查了线段的性质，两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．三．解答题（共2小题）9．（2018秋•海淀区校级月考）如图，在四边形内找一点，使它到四边形四个顶点的距离之和最小，并说明你作图的理论依据．【分析】连接、相交于点，则点就是所要找的点；取不同于点的任意一点，连接、、、，根据三角形任意两边之和大于第三边可得，，然后结合图形即可得到，从而可得点就是所要找的四边形内符合要求的点．【解答】解：要使最小，则点是线段、的交点．理由如下：如果存在不同于点的交点，连接、、、，那么，即，同理，，，即点是线段、的交点时，之和最小．【点评】本题考查了三角形的任意两边之和大于第三边的性质，作出图形更助于问题的解决，把问题转化为求两条线段的和是解决问题的关键．10．（2017秋•石景山区期末）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：如图，要在，两个小区和公路之间修建地下管道，请你设计一种线路最短的修建方ABCD O OA OB OC OD +++AC BD O O O P PA PB PC PD PA PC AC +>PB PD BD +>PA PB PC PD OA OB OC OD +++>+++O ABCD OA OB OC OD +++O AC BD O P PA PB PC PD PA PC AC +>PA PC OA OC +>+PB PD OB OD +>+PA PB PC PD OA OB OC OD ∴+++>+++O AC BD OA OB OC OD +++A B l案．根据以上信息，你认为 小力 同学的方案最节省材料，理由是 ．【分析】根据两点之间线段最短和直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短得出即可．【解答】解：小力同学的方案最节省材料，理由是：（1）两点之间线段最短，（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．故答案为：小力，两点之间线段最短，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．【点评】本题考查了两点之间线段最短和直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短等知识点，能灵活运用定理进行说理是解此题的关键．。
北师大版2024新版七年级数学上册基础练：4.1 课时2 比较线段的长短
《比较线段的长短》基础练易错诊断（打√或×）1.连接两点的线段叫做两点之间的距离.（）2.射线AB与射线BA表示同一条射线.（）3.若AC=BC，则C是线段AB的中点.（）4.两点之间，线段最短.（）对点达标知识点1 两点之间，线段最短1.如图，从A点走到B点有三条路径，那么三条路径中最短的是（）A.A→C→BB.A→D→BC.A→E→BD.三条路径一样长2.如图1，A，B两个村庄在一条河l（不计河的宽度）的两侧，现要建一座码头，使它到A，B两个村庄的距离之和最小，图2中所示的C点即为所求的码头的位置，那么这样做的理由是（）A.两直线相交只有一个交点B.两点确定一条直线C.两点之间，线段最短D.经过一点有无数条直线3.下列4个生产、生活现象中，可用“两点之间线段最短”来解释的是（）A.用两根钉子就可以把木条固定在墙上B.植树时，只要选出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线C.把弯曲的公路改直，就能缩短路程D.砌墙时，经常在两个墙角的位置分别插一根木桩拉一条直的参照线4.如图，用剪刀沿直线将一片平整的长方形纸片剪掉部分，发现剩下纸片的周长比原纸片的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是________________.5.如图，在一条笔直道路l的两侧，分别有A，B两个小区，为了方便居民出行，现要在公路l上建一个公共自行车存放点，要使存放点到A，B小区的距离之和最小，则存放点应该建在E处，理由是________________________.知识点2 线段中点和等分点6.如图，已知线段AB的长为4，点C为AB的中点，则线段AC的长为（）A.1B.2C.3D.47.已知线段AB=9，点C是AB的中点，点D是AB的三等分点，则C，D两点间距离为（）A.3B.1.5C.1.2D.18.如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD=9，BD=2.若点E在直线AD上，且EA=1，则BE的长为（）A.4B.6或8C.6D.89.如图，已知线段AB=8cm，M是AB的中点，P是线段MB上一点，N为PB的中点，NB=1.5cm，则线段MP=________cm.10.如图所示，BC=6cm，BD=7cm，D是AC的中点，求AD的长.11.如图，点B是线段AC上一点，且AB=21cm，BC=13 AB.（1）试求出线段AC的长；（2）如果点O是线段AC的中点，请求线段OB的长.参考答案易错诊断1.×2.×3.×4.√对点达标1.B2.C3.C4.两点之间线段最短5.【解析】公共自行车存放点应该建在E处，理由是：两点之间，线段最短.答案：两点之间，线段最短6.B7.B8.B9.110.【解析】∵BC=6cm，BD=7cm，∴CD=BD-BC=1cm；∵点D是AC的中点，∴AD=CD=1cm.11.【解析】（1）∵AB=21cm，BC=13AB=7cm，∴AC=AB+BC=21+7=28（cm）；（2）由（1）知：AC=28cm，∵点O是线段AC的中点，∴CO=12AC=12×28=14（cm），∴OB=CO-BC=14-7=7（cm）.。
人教版2020-2021年初一数学上册同步练习：两点之间线段最短【含答案】
人教版2020-2021年初一数学上册同步练习：两点之间线段最短【含答案】一.选择题1．如图，用剪刀沿直线将一片平整的长方形纸片剪掉一部分，发现剩下纸片的周长比原纸片的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是()A．经过两点，有且仅有一条直线B．经过一点有无数条直线C．两点之间，线段最短D．垂线段最短【答案】C【详解】解：用剪刀沿直线将一片平整的长方形纸片剪掉一部分，发现剩下纸片的周长比原纸片的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是两点之间线段最短．故选：C．2．有下列生活,生产现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②把弯曲的公路改直,就能缩短路程；③植树时,只要确定两棵树的位置,就能确定同一行树所在的直线；④从A地到B地架设电线,总是尽可能沿着线段AB架设。
其中能用“两点之间,线段最短”来解释的现象有（）A．①② B．①③ C．②④ D．③④【答案】C【详解】解:①用两个钉子就可以把木条固定在墙上,利用的是两点确定一条直线，故本小题错误；②把弯曲的公路改直,就能缩短路程，利用的是两点之间线段最短，故本小题正确；③植树时,只要确定两棵树的位置,就能确定同一行树所在的直线，利用的是两点确定一条直线，故本小题错误；④从A地到B地架设电线,总是尽可能沿着线段AB架设，利用的是两点之间线段最短，故本小题正确. 综上所述，②④正确．故选：C.3．把弯曲的河道改成直的，可以缩短航程，其理由是（）A．经过两点有且只有一条直线B．两点之间，线段最短C．两点之间，直线最短D．线段可以比较大小【答案】B【详解】解：要想把弯曲的河道改成直的，就是尽量使两地在一条直线上，因为两点之间，线段最短．故选：B．4．如图，从A地到B地有①、②、③三条路线，每条路线的长度分别为l、m、n，则（）A．l＞m＞n B．l=m＞n C．m＜n=l D．l＞n＞m【答案】C【详解】由题意可得：∵从C到B地有①②③条路线可以走，每条路线长分别为l，m，n，则AC+AB=l＞BC∴l=n＞m．故选：C．5．下列实例中，能用基本实事：“两点之间，线段最短”加以解释的是（）A．在正常情况下，射击时要保证目标在准星和缺口确定的直线上，才能射中目标B．栽树时只要确定两个树坑的位置，就能确定同一行树坑所在的直线；C．建筑工人在砌墙时，经常在两根标志杆之间拉一根绳，沿绳可以砌出直的墙D．把弯曲的公路改直，就能缩短路程【答案】D解：把弯曲的公路改直，就能缩短路程是利用了“两点之间，线段最短”，故选：D．【点睛】本题考查的知识点是线段的性质，解题关键是正确把握相关性质.6．如图，从A地到B地，最短路线是（）A．A-C-G-E-B B．A-C-E-B C．A-D-G-E-B D．A-F-E-B【答案】D【详解】∵从A-E所走的线段中A-F-E最短，∴从A到B最短的路线是A-F-E-B.故选D.7．如图,将一块三角形木板截去一部分后,发现剩余木板的周长要比原三角形木板的周长大,能正确解释这一现象的数学知识是( )A．两直线相交只有一个交点B．两点确定一条直线C．经过一点有无数条直线D．两点之间,线段最短【答案】D【详解】将一块三角形木板截去一部分后，发现剩余木板的周长要比原三角形木板的周长大，能正确解释这一现象的数学知识是：两点之间线段最短，故选D．8．兴延高速是世界园艺博览会重点配套工程，2019年1月1日，兴延高速正式通车．石峡隧道是兴延高速项目中最长的隧道，也是北京市最长的公路隧道，总长约5.8公里．正因为穿越的隧道多，所以兴延高速最大的特点是“直”，明显缩短了北京市区到延庆的距离，其主要依据是( )A．两点确定一条直线B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．垂线段最短D．两点之间，线段最短【答案】D【详解】解：兴延高速最大的特点是“直”，明显缩短了北京市区到延庆的距离，此操作的依据是两点之间，线段最短。
两点之间线段最短的习题
1.A、B是河流l两旁的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出抽水站点P的位置，并说明你的理由：2.从A地到B地有五条道路，时间紧急，张先生要从B地赶往A地乘车，问：此时张先生应该怎么走？3.已知正方体的棱长是10cm，一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？如果要爬行到顶点C呢？4.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5厘米，3厘米和1厘米，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物。
请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路线是多少？5.有一圆柱形油罐，底面圆的周长为24米，高为6米，一只老鼠从距底面1米的A处爬行到对角B 处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？6.不大，可看成圆柱体。
测得树干的周长为3米，高位20米。
有一紫藤自树的根部均匀地盘绕在树干上，恰好绕7周到达树干的顶部。
紫藤长多少7.小丽自己动手做一顶圆锥形的圣诞帽，她想在帽子上缠一根漂亮的丝带，从A出发绕帽子侧面一周，请用图形表示出需要最短丝带。
8.已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上。
一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示。
若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，请画出所得侧面展开图。
9.如图，有座山大致是圆锥形，山脚是圆形，半径是4千米，山高是4√15千米，在山坡SA的中点C有一联络站，要从山脚A修一盘山公路，绕山坡一周将物资运往SA的中点C处，这条公路的最短路程是多少？10.有一位将军骑着马要从A地走到B地，但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？11.如图，在边长为2cm 的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接A B①②③⑤④CAlBAABSCAPB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为 cm （结果不取近似值）．（11） （12）12. 如图，已知梯形ABCD ，AD BC ∥，4AD DC ==，8BC =，点N 在BC 上，2CN =，E 是AB 中点，在AC 上找一点M 使 EM MN +的值最小，此时其最小值一定等于13. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD=AD=1, ∠B=60°,直线MN 为梯形ABCD 的对称轴，P 为MN 上一点，那么PC+PD 的最小值为14. 如图，A 为马厩，B 为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷。
两点间线段最短与两点间的距离 小学数学 课后练习
一、选择题1. 下图中，A点到直线BE的连线中最短的是（）。
A．AB B．AD C．AE2. A、B两点间的距离是（）A．①B．②C．③D．④3. 如下图所示，以下线段中最短的一条是线段()．A．OA B．OB C．OC4. 小红从家去学校有三条路可走，走第（）条路最近。
A．①B．②C．③5. 如图所示，从A地到B地有四条路可以选择，其中距离最短的是第（）条路。
A．①B．②C．③D．④二、填空题6. 两点之间( )最短，直线外一点到直线上各点所连的线段中( )最短。
7. 如图，从地到地，第( )条路线是两地间的距离，因为两点之间( )最短。
8. 下图中，小动物们距离森林游乐园最近的是( )。
9. 学校到书店有3条路线（如图），( )号路线最近。
10. 四个小朋友在游戏过程中所站的位置如下图所示，小明离_____最近。
三、解答题11. 溺水是孩子的头号杀手，防溺水教育刻不容缓。
一个小孩落水后浮在水面上动弹不了（如下图），救生员选样尽快将小孩救上岸？画出救生员的救生路线，并说明理由。
我这样画的理由是：。
12. 如图，冬冬从家到图书馆有几条路线可走？哪条最近？为什么？13.（1）把上面的比例尺改为数值比例尺是（）。
（2）商店在学校（）偏（）方向大约（）米处。
（3）西木村想从吉祥路引一条自来水管道进村，怎样修水管最节省材料，请你在图上画出来。
（4）小明家所在的青年路与平安大道平行，在图上用直线画出这条青年路。
14. 明明家有一块三角形的菜地，菜地的最大角是120°，是最小角的4倍．①这三角形菜地其他两个角是多少度？这是一个什么样的三角形菜地？②在图上指定的底边上做一条高．③如果从池塘引水到菜地，有如图两条路线，你一般会选择哪一条？为什么？。
2024中考数学全国真题分类卷 模型八 利用两点之间线段最短求最值 强化训练(含答案)
2024中考数学全国真题分类卷模型八 利用两点之间线段最短求最值 强化训练类型一 “一线两点”型(一动点＋两定点)1. (2022永州)如图，A ，B 两点的坐标分别为A (4，3)，B (0，－3)，在x 轴上找一点P ，使线段P A ＋PB 的值最小，则点P 的坐标是________．第1题图2. (2023眉山)如图，点P 为矩形ABCD 的对角线AC 上一动点，点E 为BC 的中点，连接PE ，PB ，若AB ＝4，BC ＝4 3 ，则PE ＋PB 的最小值为________．第2题图3. (2018铜仁)已知在平面直角坐标系中有两点A (0，1)，B (－1，0)，动点P 在反比例函数y ＝2x的图象上运动，当线段P A 与线段PB 之差的绝对值最大时，点P 的坐标为________． 4. (2023遵义)如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠BAC ＝90°，点M ，N 分别为BC ，AC 上的动点，且AN ＝CM ，AB ＝ 2 .当AM ＋BN 的值最小时，CM 的长为________.第4题图5. (挑战题) (2023成都)如图，在菱形ABCD 中，过点D 作DE ∠CD 交对角线AC 于点E ，连接BE ，点P 是线段BE 上一动点，作P 关于直线DE 的对称点P ′，点Q 是AC 上一动点，连接P ′Q ，DQ .若AE ＝14，CE ＝18，则DQ －P ′Q 的最大值为________．第5题图类型二 “—点两线”型(两动点＋一定点)6. 如图，在∠ABC 中，∠ABC ＝50°，点P 为∠ABC 内一定点，点M ，N 分别在AB ，BC 上，当∠PMN 周长最小时，∠MPN 的度数是( )A. 120°B. 90°C. 80°D. 60°第6题图7. (2023聊城)如图，一次函数y ＝x ＋4的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，点C (－2，0)是x 轴上一点，点E ，F 分别为直线y ＝x ＋4和y 轴上的两个动点，当∠CEF 周长最小时，点E ，F 的坐标分别为( )A. E (－52 ，32)，F (0，2) B. E (－2，2)，F (0，2) C. E (－52 ，32 )，F (0，23 ) D. E (－2，2)，F (0，23)第7题图类型三“两点两线”型(两动点＋两定点)8. 如图，在Rt∠ABC中，∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝210 ，点D，E在BC边上，BD＝CE＝1，点G，F分别是边AB，AC上的两个动点，则四边形DEFG周长的最小值为________．第8题图9. (2023滨州)如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10.若点E是边AD上的一个动点，过点E作EF∠AC且分别交对角线AC，直线BC于点O，F，则在点E移动的过程中，AF＋FE＋EC的最小值为______________________．第9题图类型四“定长＋定点”型10. (2023鄂州)如图，定直线MN∠PQ，点B，C分别为MN，PQ上的动点，且BC＝12，BC 在两直线间运动过程中始终有∠BCQ＝60°.点A是MN上方一定点，点D是PQ下方一定点，且AE∠BC∠DF，AE＝4，DF＝8，AD＝24 3 ，当线段BC在平移过程中，AB＋CD的最小值为()A. 2413B. 2415C. 1213D. 1215第10题图11. (2022聊城)如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，B，D两点坐标分别为B(－4，6)，D(0，4)，线段EF在边OA上移动，保持EF＝3，当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标为________．第11题图12. (2023自贡)如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，G是AD的中点，线段EF在边AB 上左右滑动，若EF＝1，则GE＋CF的最小值为________．第12题图参考答案与解析1. (2，0) 【解析】由题意可知，当点P 为AB 与x 轴的交点时，P A ＋PB 的值最小，最小为AB 的长．设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，∵点A (4，3)，B (0，－3)在直线上，∴直线AB的解析式为y ＝32 x －3，当y ＝0时，0＝32x －3，解得x ＝2，∴P (2，0). 2. 6 【解析】如解图，作点B 关于AC 的对称点B ′，交AC 于点F ，连接B ′E 交AC 于点P ，则PE ＋PB 的最小值为B ′E 的长度，∵四边形ABCD 为矩形，∴AB ＝CD ＝4，∠ABC ＝90°，在Rt △ABC 中，AB ＝4，BC ＝43 ，∴tan ∠ACB ＝AB BC ＝33，∴∠ACB ＝30°，由对称的性质可知，BB ′＝2BF ，BB ′⊥AC ，∴BF ＝12BC ＝23 ，∠CBF ＝60°，∴BB ′＝2BF ＝43 ，∵E 是BC 的中点，∴BE ＝BF ，∴△BEF 是等边三角形，∴EF ＝B ′F ，设∠FB ′E ＝α，则∠FEB ′＝α，∴2α＝60°，∴∠FB ′E ＝30°，∴∠B ′EB ＝90°，∴B ′E ＝B ′B 2－BE 2 ＝（43）2－（23）2 ＝6，∴PE ＋PB 的最小值为6.第2题解图3. (1，2)或(－2，－1) 【解析】如解图，设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，将A (0，1)，B (－1，0)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1－k ＋b ＝0 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1b ＝1 ，∴直线AB 的解析式为y ＝x ＋1，直线AB 与反比例函数y ＝2x图象的交点即为所求点P ，此时|P A －PB |＝AB ，即线段P A 与线段PB 之差的绝对值取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1y ＝2x，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－1 ，∴点P 的坐标为(1，2)或(－2，－1).第3题解图4. 2－2【解析】如解图①，过点A作AH⊥BC于点H.设AN＝CM＝x.∵AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，∴BC＝（2）2＋（2）2＝2.∵AH⊥BC，∴BH＝AH＝1，∴AH＝BH＝CH＝1，∴AM＋BN＝12＋（1－x）2＋（2）2＋x2，要求AM＋BN的最小值，相当于在x轴上寻找一点P(x，0)，到E(1，1)，F(0，2)的距离和的最小值，如解图②，作点F 关于x轴的对称点F′，当E，P，F′三点共线时，PE＋PF的值最小，此时直线EF′的解析式为y＝(2＋1)x－2，当y＝0时，x＝2－2，∴AM＋BN的值最小时，CM的值为2－2.第4题解图【一题多解】2－2【解析】如解图③，过点A作AD∥BC，且AD＝AC，连接DN，BD，∴∠DAN＝∠ACM，又∵AN＝CM，∴△AND≌△CMA，∴DN＝AM，∴AM＋BN＝DN＋BN≥BD，当B，N，D三点共线时，AM＋BN取得最小值，此时如解图④所示，∵在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，∴BC＝2AB＝2，∵△AND≌△CMA，∴∠ADN＝∠CAM，∵AD＝AC＝AB，∴∠ADN＝∠ABN，∵AD∥BC，∴∠ADN＝∠MBN，∴∠ABN＝∠MBN，设∠CAM＝α，∴∠BAM＝∠BAC－α＝90°－α，∴∠ABM＝∠ABN＋∠MBN＝2α＝45°，∴α＝22.5°，∴∠AMB＝∠BAM＝67.5°，∴AB＝BM＝2，∴CM＝BC－BM＝2－2，即BN＋AM取得最小值时CM的长为2－2.第4题解图5. 1623【解析】如解图，连接BD交AC于点O，过点D作DK⊥BC于点K，延长DE交AB于点R，连接EP′并延长交AB于点J，连接BQ，BP′，∵四边形ABCD是菱形，∴点B、D关于AC对称，∴DQ＝BQ，当点P是定点时，DQ－QP′＝BQ－QP′，当B，P′，Q三点共线时，DQ－QP′的值最大，最大值是线段BP′的长，当点P与B重合时，点P′与J重合，当点Q与A重合时，此时BQ－QP′的值最大，最大值是线段BJ的长．∵四边形ABCD是菱形，∴AC ⊥BD ，AO ＝OC ，∵AE ＝14，EC ＝18，∴AC ＝32，AO ＝OC ＝16，∴OE ＝AO －AE ＝16－14＝2，∵DE ⊥CD ，∴∠DOE ＝∠EDC ＝90°，∵∠DEO ＝∠DEC ，∴△EDO ∽△ECD ，∴ED EC ＝EO ED，即DE 2＝EO ·EC ＝36，∴DE ＝EB ＝EJ ＝6(负值已舍去)，∴BC ＝CD ＝EC 2－DE 2 ＝182－62 ＝122 ，OD ＝DE 2－OE 2 ＝62－22 ＝42 ，∴BD ＝82 ，∵S △DCB ＝12 OC ·BD ＝12 BC ·DK ，∴DK ＝16×82122＝323 .∵∠DEB ＋∠DCK ＝180°，∠DEB ＋∠BER ＝180°，∴∠BER ＝∠DCK ，∴sin ∠BER ＝BR BE ＝sin ∠DCK ＝DK CD＝323122＝429 ，∴RB ＝BE ×429 ＝823 ，∵EJ ＝EB ，ER ⊥BJ ，∴JR ＝BR ＝823 ，∴JB ＝1623 ，∴DQ －P ′Q 的最大值为1623.第5题解图6. C 【解析】如解图，分别作点P 关于BA ，BC 的对称点P 1，P 2，连接P 1，P 2，交BA 于点M ，交BC 于点N ，连接BP 1，BP ，BP 2，∴BP 1＝BP ＝BP 2，∠BP 1M ＝∠MPB ，∠NPB ＝∠NP 2B ，根据轴对称的性质可得MP ＝P 1M ，PN ＝P 2N ，∴△PMN 周长的最小值为P 1P 2的长，由轴对称的性质可得∠P 1BP 2＝2∠ABC ，∴∠BP 1P 2＋∠BP 2P 1＝180°－2∠ABC ＝80°，∴∠MPN ＝∠BPM ＋∠BPN ＝∠BP 1M ＋∠BP 2M ＝∠BP 1P 2＋∠BP 2P 1＝80°.第6题解图7. C 【解析】如解图，作C (－2，0)关于y 轴的对称点G (2，0)，作C (2，0)关于直线y ＝x ＋4的对称点D ，连接AD ，连接DG 交AB 于E ，交y 轴于F ，∴DE ＝CE ，CF ＝GF ，∴CE ＋CF ＋EF ＝DE ＋GF ＋EF ＝DG ，此时△CEF 周长最小，由y ＝x ＋4得A (－4，0)，B (0，4)，∴OA ＝OB ，△AOB 是等腰直角三角形，∴∠BAC ＝45°.∵C ，D 关于直线AB 对称，∴∠DAB ＝∠BAC ＝45°，∴∠DAC ＝90°.∵C (－2，0)，∴AC ＝OA －OC ＝2＝AD ，∴D (－4，2)，∴直线DG 解析式为y ＝－13 x ＋23 ，在y ＝－13 x ＋23 中，令x ＝0得y ＝23 ，∴F (0，23)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋4y ＝－13x ＋23 ，解得⎩⎨⎧x ＝－52y ＝32 ，∴E (－52 ，32).第7题解图8. 12 【解析】如解图，作点D 关于AB 的对称点M ，点E 关于AC 的对称点N ，连接MN 交AB 于G ，交AC 于F ，得到四边形DEFG 的周长最小，延长MD 交NE 的延长线于T ，设DM 交AB 于点J ，EN 交AC 于点K .在Rt △ABC 中，根据勾股定理得出，BC ＝7，∵BD ＝CE ＝1，∴DE ＝5，∵点D ，M 关于AB 对称，∴DJ ＝JM ，DJ ∥AC ，∴△BJD ∽△BAC ，∴DJ AC ＝BD BC ，∴DJ 3 ＝17 ，∴DJ ＝37，∵∠A ＝∠AJT ＝∠AKE ＝90°，∴四边形AJTK 是矩形，∴∠T ＝90°，ET ∥BJ ，∴△BDJ ∽△EDT ，∴DB DE ＝DJ DT ，∴15 ＝37DT ，∴DT ＝157，∴MT ＝DT ＋2DJ ＝3，同理EK ＝2107 ，在Rt △DTE 中，根据勾股定理得，ET ＝10107，∴TN ＝ET ＋2EK ＝210 ，∴MN ＝TM 2＋NT 2 ＝7，∴四边形DEFG 的周长的最小值为DE ＋EF ＋FG ＋DG ＝DE ＋FN ＋FG ＋GM ＝DE ＋MN ＝5＋7＝12.第8题解图9. 25＋552【解析】如解图，过点E 作EM ⊥BC 于点M ，过点A 作AN ∥EF 使得AN ＝EF ，连接NE ，∴四边形ANEF 是平行四边形，∴AF ＝NE ，∴AF ＋CE ＝NE ＋CE .∴当N ，E ，C 三点共线时，NE ＋CE 最小，最小值为CN 的长．∵EF ⊥AC ，E ，F 分别在边AD ，直线BC 上，∴EF 始终保持不变，∴AF ＋FE ＋EC 的最小值为CN ＋FE .∵四边形ABCD 是矩形，AB ＝5，AD ＝10，∴CD ＝AB ＝5，∠D ＝90°，∴AC ＝AD 2＋CD 2 ＝55.∵EM ⊥BC ，∴∠EMF ＝∠AEM ＝90°，EM ＝CD ＝5.又∵EF ⊥AC ，∴∠AOE ＝90°，∴∠AEO ＋∠FEM ＝∠AEO ＋∠OAE ，∴∠FEM ＝∠OAE ，∴tan ∠FEM ＝tan ∠DAC ，∴FM EM ＝CD AD ，即FM 5＝510 ，解得FM ＝52 .在Rt △EFM 中，由勾股定理得EF ＝FM 2＋EM 2 ＝552 ，∴AN ＝552 .又∵EF ⊥AC ，AN ∥EF ，∴NA ⊥AC ，∴∠CAN ＝90°，∴在Rt △ACN 中，由勾股定理得CN＝AC 2＋AN 2 ＝252 ，∴AF ＋FE ＋EC 的最小值为CN ＋EF ＝25＋552.第9题解图10. C 【解析】如解图，过点B 作BG ⊥PQ 于点G ，过点D 作DL ⊥PQ 于点L ，过点A 作PQ 的垂线AR ，交PQ 的平行线DR 于点R ，AR ，MN 交于点K ，延长DF 至T ，使DT ＝BC ＝12，连接AT 交MN 于点B ′，作B ′C ′∥BC ，交PQ 于点C ′，则当BC 在B ′C ′时，AB ＋CD 最小，最小值为AT 的长，可得AK ＝AE ·sin 60°＝32 AE ＝23 ，DL ＝32 DF ＝43 ，BG ＝32 BC ＝63 ，∴AR ＝23 ＋63 ＋43 ＝123 ，∵AD ＝243 ，∴sin ∠ADR ＝AR AD ＝12，∴∠ADR ＝30°，∵∠PFD ＝∠BCQ ＝60°，∴∠ADT ＝90°，∴AT ＝AD 2＋DT 2 ＝（243）2＋122 ＝1213 .第10题解图11. (－25，0) 【解析】如解图，在BC 上截取BM ＝3，作点D 关于x 轴的对称点D ′，连接ED ′，则BM ＝EF ，∴M (－1，6)，D ′(0，－4).∵四边形OABC 为矩形，∴BC ∥OA ，∴四边形BMEF 为平行四边形，∴BF ＝ME ，∴BF ＋DE ＝ME ＋DE .∵点D 和D ′关于x 轴对称，∴ED ＝ED ′.∵BD ，EF 都是定值，∴当点M ，E ，D ′在同一条直线上时，BF ＋DE ＝ME ＋DE ＝ME ＋D ′E 的值最小．设直线MD ′的解析式为y ＝kx ＋b ，把M (－1，6)，D ′(0，－4)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝6b ＝－4 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－10b ＝－4 ，∴直线MD ′的解析式为y ＝－10x －4，当y ＝0时，x ＝－25 ，∴点E 的坐标为(－25，0).第11题解图12. 32 【解析】如解图，作点G 关于AB 的对称点M ，连接EM ，∴GE ＝ME ，在CD 上截取CH ＝1，连接EH ，得四边形EFCH 为平行四边形，∴CF ＝HE ，连接HM 交AB 于点E ′，则GE ＋CF ＝ME ＋HE ≥HM ，当M ，E ，H 三点共线时，GE ＋CF 最小，∵G 为AD 的中点，∴AG ＝DG ＝AM ＝1，DM ＝AD ＋AM ＝3，DH ＝CD －CH ＝3，在Rt △DMH 中，MH ＝DH 2＋DM 2 ＝32＋32 ＝32 ，∴GE ＋CF 的最小值为32 .第12题解图。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
的2.5倍，圆珠笔的单价是 2.5x 元.
（3）全校学生总数是m,其中女生占总数48﹪则 男生人数是 (14800)m.
（4）一辆汽车的速度是v千米/时，它t小时行驶
的路程为 vt .
（5） 每包书有12册，n包书有 12n 册；
（6）一台电视机原价 a 元，现按原价的9折出 售，
（这个4）长用方式体包子装表盒示的数体n积的a相·a·反h c数m3. 即a2h cm3.
数n的相反数是 -n .
h
aa
例题解析
例2
（1）一条河的水流速度是2.5 km/h，船 在静水中的速度是v km/h ,用式子表示船 在这条河中顺水行驶和逆水行驶的速度；
分解析：:船在河流中行驶时，船的速度需要分两种情况讨论：
学而不思则殆
课
堂
这节课你都学会了哪些知识？
小
结
：
还有哪些困惑？
课本59习题1、2 预习：2.2
需要y元 ,买一个足球需要 z 元，用式子
表示买3个篮球、5个排球、2个足球共需
要的钱数；
解：
买3个篮球、5个排球、2个足球
共需要（3x+5y+2z）元；
例题解析
例2
（3）用式子表示三角尺的面积（长度单位:cm）
解：
根据图中的数据，得三角形的面积是
1 2
a
b
cm2，圆的面积是πr2 cm2 .因此三角尺的面
积（单位： cm2 ）是 1 ab r 2 .
2
例题解析
例2
（4）下图是一所住宅的建筑平面图，用式子表 示这所住宅的建筑面积.
解：
根据图中标出的尺 寸，可得这所住宅的 建筑面积（单位：平 方米）是 x2+2x+18.
(1)正方形 1 的面积= a2 ,长方形 2 的面积= ab ,
长方形 3 的面积= ab ,
2、小丽5小时走了s千米，那么她的平均速 度是 s÷5 千米/时。 s
5
3、一辆车以30 km∕h的速度行驶了t小时，
路程为 t30 km∕h 30t
4、一支钢笔
7
1 2
元，买x支需要
7
1 2
x
元。
15
x
2
课堂 检测
1、此三角形的面积是_—a2_h___
a
h
2、图中阴影部分的面积是 0.5πr2，
个图案中由 3n 1 个基础图形组成．
-
…… 第n个
(1)
(2)
(3)
311 321 331 …… 3n 1
一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿，扑通一声跳下水; 两只青蛙两张嘴，四只眼睛八条腿，扑通两声跳下水; 三只青蛙三张嘴，六只眼睛十二条腿，扑通三声跳下水; ……
……
n只青蛙n张嘴，2n只眼睛4n条腿，扑通n声跳下水；
正方形
由这四个图形拼成的大正
方形的面积=a2+ab+ab+b2. a
1
2
(2)大正方形的面积又可以=
(a+b)2 或 (a+b)(a+b) . b
3
4
所以 (a+b)2=a2+a b+a b+b2
巩固练习
用含有字母的式子填空：
（1）边长为a的正方体的表面积为 6 a 2,体积为 a 3 .
a
rb
课堂 检测
6.某种商品每袋4.8元，在一个月内的销 售量是m袋，用式子表示在这个月内销售 这种商品的收入.
4.8m 7.圆柱体的底面半径、高分别是r、h， 用式子表示圆柱体的体积.
h r
8、 如图,在一个长方形休闲广场的四角都设计一块半径 相同的四分之一圆形的花坛,若圆形的半径为r米,广 场的长为a米,宽为b米.
顺逆船水水行行在驶驶这时时，，条船船河的的速速中度度顺==船船水在在静静速水水度中中的的是速速(度度v+-+水水2流流.5速速)度k度；m；/h，
逆水速度是（v -2 .5） km/h ；
※结果含加减运算的，单位前加“（ ）”。 例：“a+2岁”应为（a+2）岁。
例题解析
例2
（2）买一个篮球需要x元，买一个排球
在含有字母的式子中如果出现乘号， 通常将乘号写成“ · ”或省略不写。
例：50×t 可以写成 50·t 或 50t
2. a的15倍是 15a ,
协作探究
掌握新知 例1
（1）苹果原价是每千克p元，按8折优惠
出售，用式子表示现价； （2）某现产价品是前每年千n件克，0.8去p元年；的产量是前年 产量的m倍，用式子表示去年的产量； （3）一去个年长的方产体量包是装m盒n件的；长和宽都是a cm，高是h cm,用式子表示它的体积；
这台电视机现在的售价是 0.9元a；
（7）一个长方形的长是0.9 m，宽是a m ，这个
长方形的面积是 0.9ma2.
（8）一支铅笔的单价为0.9元，买a支，需要
0.9a 元。
【举一反三】
你能赋予0.9a更多的现实含义吗？
用字母表示数后，同一个式子可以 表示不同的含义．
火眼精金
1、小明今年n岁，小明比小丽大2岁，小丽 今年 n-2岁 （n-2）
3、这个长方体的体积是
___a_b_c___,表面积是
___2_(_a_b_+_b__c_+_c_a_)____.
a
b
c
课堂 检测
4、某种苹果的售价是每千克x元，用50元的 人民币购买了6千克,花费__6_x__元，应找回 _(_5_0_-_6_x_）元.
5、图中的阴影部分的面积为__a__b_____r_2__.
• (1)请列式表示广场空地的面积; • (2)若休闲广场的长为500米,宽为200米,圆形花坛的
半径为20米,求广场空地的面积(计算结果保留π).
（1）abπr2
（2）abπr2 100004 00π0
测得一种树苗的高度与树苗生长的
找规律 年数的有关数据如下表（树苗原高100cm):
年数 1 2 3 4
……
高度∕cm 100+5 100+10 100+15 100+20 ……
前四年树苗高度的变化与年数有什么关系？假设以 后各年树苗高度的变化与年数保持上述关系，用式子表 示生长了n年的树苗的高度。
找规律
如图，是一组有规律的图案，第 1 个 图案由 4 个基础图形
组成，第 2 个图案由 7 个基础图形组成……第 n (n 是正整数)
122两点之间线段最短专题训练
用字母表示圆的周长和面积
r
圆的周长和面积分别为：2πr πr2
协作探究 掌握新知
1. 一辆汽车的行驶速度是50km ∕h, 2 h行驶的路程（单位：km）是 50×2=100 ； 3 h行驶的路程（单位：km）是 50×3=150 ； t h行驶的路程（单位：km）是 50×t=50t 。