2.1.2 认识无理数导学案

认识无理数学案（学生版教师版）

学案 2.1.2认识无理数班级______________姓名___________【学习目标】1．借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想。

2．会判断一个数是有理数还是无理数。

【学习过程】一、复习回顾1．在实际生活中，有理数不够用了，有些数不是整数，也不是分数，那么一定不是有理数。

2．你还记得小数的分类吗？二、探究新知1．问题情境：如图，面积为2的正方形的边长a 究竟为多少呢？2．探究学习（1）上图3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？【解答】 ∵1<s<4 ∴1<a <2（2）边长a 的整数部分是几？十分位是几？百分位是几？千分位呢？……借助计算器探索！【解答】 ∵1<s<4 ∴1<a <2 小数有限小数无限小数无限循环小数无限不循环小数边长a的整数部分是1∵1.96<s<2.25∴1.4<a<1.5边长a的十分位是4∵1.9881<s<2.0164∴1.41<a<1.42边长a的百分位是1∵1.999396<s<2.002225∴1.414<a<1.415边长a的千分位是4……（3）请将你的探索过程整理在表格中边长a面积s1<a<21<s<41.4<a<1.5 1.96<s<2.251.41<a<1.42 1.9881<s<2.01641.414<a<1.415 1.999396<s<2.0022251.4142<a<1.4143 1.99996164<s<2.00024449归纳小结：a=1.41421356……，a不是有限小数，是无限不循环小数2.做一做：（1）估计面积为5的正方形的边长b的值，并用计算器探索整理在表格中！边长b面积s2<b<3 4<s<92.2<b<2.3 4.84<s<5.292.23<b<2.24 4.9729<s<5.01762.236<b<2.237 4.999696<s<5.0041692.2360<b<2.2361 5.004169<s<5.00014321归纳小结：b=2.236067978……，b不是有限小数，是无限不循环小数(2)估计体积为5的正方体的边长c 的值，并用计算器探索整理在表格中！边长c 体积v 1<c <2 1<v<8 1.2<c <1.3 1.728<v<2.197 1.25<c <1.26 1.953125<v<2.000376 1.259<c <1.260 1.99561698<v<2.000376 1.2599<c <1.2601.99998976<v<2.000376归纳小结：c =1.25992105……，c 不是有限小数，是无限不循环小数学以致用：（1）.一个高为3米，宽为2米的大门，对角线大约是3.61米(精确到0.01). （2）.已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝3，则AB 的取值范围是( B ) A ．3.0<AB<3.1 B ．3.1<AB<3.2 C ．3.2<AB<3.3 D ．3.3<AB<3.43.议一议：把下面各数表示成小数，你发现了什么？ 3，54，95，458-，112，【解答】3=3.0 54=0.8 95=•5.0 458-=•-71.0 11=••81.0知识点：无限不循环小数叫做无理数。

北师大版八年级上册导学案 212 认识无理数(第二课时)

第一章实数课题：2.1.2认识无理数（第二课时）★学习目标★1. 探索无理数的定义，以及无理数与有理数的区别2. 能辨别出一个数是无理数还是有理数.★学习过程★【铺垫练习】图中阴影部分是正方形，求出此正方形的面积。

此正方形的边长是有理数吗？为什么？【导入新课】我们在上节课了解到有理数不够用了，我们发现了一些数，例如：...161,8,2222===c b a中的a,b,c...既不是整数，也不是分数，那么它们究竟是什么数呢？【探究新知】1.观察下列各图判断：3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由.(3个正方形的面积分别为1，2，4，而面积又等于边长的平方，所以它们的面积的大小关系是__________.) 你能判断一下面积为2的正方形的边长a 的大致范围吗?小明把自己的探索过程整理后，用表格的形式反映出来.边长a面积S 1＜a ＜21＜S ＜4 1.4＜a ＜1.51.96＜S ＜2.25 1.41＜a ＜1.421.9881＜S ＜2.0164 1.414＜a ＜1.4151.999396＜S ＜2.002225 1.4142＜a ＜1.4143 1.99996164＜S ＜2.00024449还可以继续下去吗？并判断a 是有限小数吗？★归纳总结★...41421356.1=a ，还可以再继续进行，且a 是一个无限不循环小数【合作交流】（1）设面积为20的正方形的边长为x ，x 是有理数吗？说说你的理由.（2）估计x 的值（结果精确到十分位），并用计算器验证你的估计。

（3）如果结果精确到百分位呢？(4)x 是无限不循环小数吗？【典例精讲】：★例1★把下列各数表示成小数.3，.32,458,95,54-它们是有限小数还是无限小数，是循环小数还是不循环小数？. 【新知归纳】（1）上面这些数都是有理数，有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示.反过来，任何有限小数或无限循环小数都是有理数.（2）无理数的定义：像上面研究过的中的...161,8,2222===c b a 中的a ，b ，c 是无限不循环小数.无限不循环小数叫无理数★例2★下面1、在实数3.14，201-， 0.10110111011110…，π，中，有（）个无理数？A ．2个B ．3个 C.4个 D ．5个★跟踪练习★1各正方形的边长不是有理数的是（）A.面积为25的正方形B.面积为169的正方形 C.面积为27的正方形 D.面积为1.44的正方形2. 下列数:...3030030003.0722...315315315.0214.3，，，，π中，无理数有个．3.下列说法正确的是（）A.有理数只是有限小数B.无理数是无限不循环小数C.无限小数都是无理数D.3π是分数【达标检测】（或课后作业）1.下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ π，0.351，••-69.432，，3.14159，－5.2323332…，0，0.1234567891011112131…（小数部分由相继的正整数组成）在下列每一个圈里填入适当的数.2.下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？0.4583，•7.3，－π，－71，18.3 3.判断题(1)有理数与无理数的差都是有理数. (2)无限小数都是无理数.(3) 无理数都是无限小数.(4)两个无理数的和不一定是无理数.4.正三角形的边长为6cm,高为h,则2h =_________,若精确到个位，那么h 约________cm 。

《认识无理数》

《认识无理数》郑州高新一中（郑州中学梧桐校区）xx学年八年级上学期数学学科导学案班级：姓名：日期：月日2.1认识无理数导学案学习目标：1、通过拼图活动，知道现实生活中确实存在不是有理数的数。

2、经历无理数的探索过程，归纳出无理数的定义。

3、通过对无理数和有理数的对比，能准确区别有理数与无理数。

学习重点：1.无理数概念的探索过程；2.准确判断有理数与无理数学习难点：1.无理数概念的建立及估算。

2.用所学定义正确判断所给数的属性。

.一、温故导学：1..我们都学过哪些数：2.有理数包括和，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢。

自主预习1.有两个边长为1的小正方形，剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形。

（1）设大正方形的边长为a，a2=。

（2）a可能是整数吗。

说说你的理由。

（3）a可能是分数吗。

说说你的理由，并与同伴交流。

zzgxyzs021主备人：郭巧霞审核人：杜姣姣，白创洋，朱艳平领导签字：郑州高新一中（郑州中学梧桐校区）xx学年八年级上学期数学学科导学案结论。

事实上，在等式a2。

2中，a既不是，也不是，所以a不是。

2.下图中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少。

假设它的边长为b，则b满足什么条件。

b是有理数吗。

结论：在上面问题中，数a，b确实存在，但都不是。

自主探究，合作交流：2（1）在a。

2中，a的整数部分是几。

十分位是几。

百分位呢。

千分位呢。

……借助计数器进行探索。

（2）小明根据他的探索过程整理出如下的表格，你的结果呢。

还可以继续算下去吗。

a可能是有限小数吗。

事实上，a=1.41421356……，是一个无限不循环小数。

zzgxyzs021主备人：郭巧霞审核人：杜姣姣，白创洋，朱艳平领导签字：郑州高新一中（郑州中学梧桐校区）xx学年八年级上学期数学学科导学案2.（1）估计面积为5的正方形的边长b的值（结果精确到十分位），并用计算器验证你的估计；（2）如果结果精确到百分位呢。

事实上，b=2.236067978…，也是一个无限不循环小数。

北师大版数学八年级上册2.1.2认识无理数教学设计

（二）过程与方法
1.通过探索无理数的发现过程，培养学生自主探究、合作交流的能力。
2.通过数轴比较无理数的大小，使学生掌握数形结合的数学思想方法。
3.利用实际问题引入无理数，引导学生运用数学知识解决生活中的问题，提高学生将数学应用于实际情境的能力。
4.通过讲解和练习，使学生掌握无理数的运算方法，培养他们的逻辑思维能力和数学推理能力。
3.合作交流，共同提高：鼓励学生进行小组讨论和交流，分享彼此的学习心得和问题解决方法，提高他们的合作能力和沟通能力。
4.紧密联系生活，注重实际应用：结合生活实际，设计相关习题，让学生在实际问题中运用无理数知识，提高数学应用能力。
5.适时总结，巩固知识：在教学过程中，教师应适时进行总结，帮助学生梳理无理数知识体系，巩固所学内容。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教师通过提问方式引导学生回顾有理数的知识，为新课的学习做好铺垫：“同学们，我们已经学习了有理数，那么有理数包括哪些数呢？它们有什么特点？”
2.学生回答后，教师继续引导：“今天我们将学习一种新的数，它和有理数不同，它叫做无理数。那么，什么是无理数呢？它又有什么特点呢？接下来，我们就一起来探讨这个问题。”
4.课后拓展：
a.查找资料，了解无理数的发现和发展历程，了解数学家们在无理数研究方面的贡献。
b.尝试利用无理数知识解决实际问题，例如计算圆形物体的面积、周长等。
5.家长参与：
a.请同学们向家长介绍本节课所学无理数知识，增进家长对子女学习情况的了解。
b.家长协助孩子完成课后作业，关注孩子在数学学习中的困难和问题。
2.学生在小组内进行讨论，教师巡回指导，关注学生的讨论过程，适时给予提示和引导。
3.各小组汇报讨论成果，教师点评并总结。

八年级数学上册 2.1.2 认识无理数教案 (新版)北师大版

2.1.2认识无理数1．借助计算器探索无理数是无限不循环小数,并从中体会无限逼近的思想.探索无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数．2.通过学生活动准确认识到有理数都可以划成有限小数和无限循环小数，发展学生的抽象概括能力.3．让学生理解估算的意义，掌握估算的方法，同时发展学生的估算能力，在数学活动发挥学生的积极作调学生参与数学问题的积极性，培养学生的合作精神.教学重点与难点：重点：无理数概念的建立过程；了解无理数与有理数的区别，并能正确判断.难点：无理数概念的建立及估算；会判断一个数是无理数还是有理数，有理数与无理数的区别．教法与学法指导：本节课是在上一节课对无理数定性分析的基础上，借助于计算器，采用估算等方法，对无理数的产生进行定性的研究.在教学中要强调让学生探究概念形成的过程，鼓励学生自主探索与合作交流，以学生自主探索为主，并强调小组之间的合作与交流，强化应用意识，培养学生多方面的能力.学生要借助工具多动手、动口、动脑，自主探究，提高学习的兴趣，进一步体会数学的地位和作用.课前准备:多媒体课件、计算器.教学过程：一、创设情境，导入新课教师：同学们还记得有理数是如何分类的吗？教师：很好！上节课我们了解到一些数，如a2=2，b2=5中的a，b既不是整数，也不是分数，那么它们究竟是什么数呢？本节课我们就来探究这些数的真面目．设计意图：通过这些问题让学生发现有理数不够用了，这些数既不是整数，也不是分数，激发学生的求知欲，去揭示它的真面目.实际效果：激发学生的好奇心和求知欲，吸引学生注意力，引出本节课题“数怎么又不够用了”.二、合作探究，发现新知探究一：计算器探索面积为2的正方形的边长a．（课件展示）教师：大家还记的我们上节课是怎样得到面积为2的正方形的吗？学生：把两个边长为1的小正方形，通过剪切、拼图拼成一个大的正方形，它的面积就是2.教师：面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢？你能不能估计大正方形的边长a在什么范围内？学生：（观察课件后回答）通过图形可以看出1＜a＜2.因为12=1，22=4，而a的平方等于2，所以1＜a＜2.教师：非常好！既然1＜a＜2，那么a是1点几呢？为什么？学生：（探究后回答）1.4＜a＜1.5．因为1.42=1.96，1.52=2.25，而a的平方等于2，所以1.4＜a＜1.5．教师：你能精确到它的百分位吗？千分位呢？万分位呢？下面给大家几分钟的时间，借助计算器进行探索.（学生小组合作，探索交流）教师：谁能说一下小组探索的结果？学生：a=1.4142．教师：恰好是1.4142吗？学生：约等于1.4142，在1.4142与1.4143之间.教师：还有几位小数？学生：无数位.它是一个无限小数.教师：对，大家可以看一下小明同学的探索过程.（展示课件）教师：如果继续探索下去，你会有什么发现？学生：这个数是无限小数而且不循环.教师：对，事实上，它是一个无限不循环小数.探究二：计算器探索面积为5的正方形的边长b（课件展示）教师：模仿上一个探索过程，你能探索面积为5的正方形的边长b吗？如果能，把探究的结果填入下表.学生：（小组合作，交流探索）把探究结果填入表格.教师：谁能说一下你能得到什么结论？学生：b=2.23606…，它也是一个无限不循环小数.教师：同学们探索的非常好. 模仿刚才的探索方法，我们也可以探索体积为2的正方体的棱长.借助计算限逼近的数学思想.实际效果：通过探究让学生真切感受到无理数确实是无限不循环的，为无理数概念打下基础.议一议（课件展示）：把下列有理数表示成小数，你发现了什么？3，，，，．学生1：3=3.0， =0.8， =，，．学生2：我发现3，是有限小数，是无限循环小数．教师：好！上面这些数都是有理数，所以有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示.反过来，任何有限小数或无限循环小数都是有理数.你能给这类数取个名字吗？生：无理数.教师：很好，哪位同学给无理数下个定义？学生：无理数就是无限不循环小数.但是仍然不是一个精确的数值.故π是无理数.像上面研究过的a2=2，b2=5中的a，b是无限不循环小数都是无理数．教师：理解无理数的概念一定要抓住哪两方面？学生：一是无限小数；二是不循环小数．教师：同学们一定要抓住这两点，只要有一点不符合，它就不是无理数.你能举出其他的无理数例子吗？教师：无理数多不多？学生：多．教师：在我们生活中除了π以外，还有非常多的无理数.下面我们看例1，你能分清有理数和无理数吗？设计意图：通过学生的活动与探究，得出无理数的概念.教学效果：通过师生互动的教学活动，既培养学生独立思考与小组合作讨论的能力，又感受到无理数存在的必然性,建立了无理数的概念.三、例题示范，应用概念（课件展示）例1 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？教师：回答得很好，大家鼓励一下.只要你抓住了无理数的两个特征，你就能把它识别出来.跟踪练习：1．填空:有理数有：；无理数有：．2．判断下列说法是否正确:(1)有限小数是有理数；（）(2)无限小数都是无理数；（）(3)无理数都是无限小数；（）(4)有理数是有限小数. （）教师强调:1．无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数．2．任何一个有理数都可以化成分数形式，而无理数则不能．例2（1）设面积为10的正方形的边长为x，x是有理数吗？说说你的理由．(2)估计x的值（结果精确到0.1），并用计算器验证你的估计．（3）如果结果精确到百分位呢？解：(1)由题意得x2=10，因为32=9，42=16，而 32 <x2<42．故3<x<4，所以x不是整数，没有一个分数的平方等于10，所以x不是分数．因为x即不是整数也不是分数，故x不是有理数．(2) 估计x≈3.2．(3) x≈3.16．设计意图：通过例1及练习的讲解，让学生充分理解无理数、有理数的概念、区别，感受数的分类，培养学生总结归纳的能力.而例2属于数的估算.，进一步发展学生的思维判断能力.实际效果：通过师生的共同探究，形成对中学阶段数的系统认识，提高了总结归纳能力.四、课堂总结，盘点收获教师：通过本节课的学习你有哪些收获呢？你还存在疑问吗？学生：我的主要收获是认识了无理数，并且能把无理数与有理数区别开.有理数包括整数和分数，能够化成有限小数或者是无限循环小数,而无理数是无限不循环小数.教师：还有要补充的吗？学生：我还学会了π是无理数以及利用估算的方法探索无理数的范围.教师：大家总结的很全面.以后我们还会学到很多关于无理数的知识,希望同学们继续努力.设计意图：让学生学会及时对知识点、数学方法进行总结，并整理成经验，形成良好的学习习惯，提高学生的归纳总结能力，进一步发展学生的思维判断能力。

【教育资料】北师大版八年级上册第二章 2.1.2 认识无理数导学案(无答案)学习精品

2.1.2认识无理数（导学案）学习目标：让学生经历无理数发现的过程.感知生活中确实存在着不同于有理数的数.会判断一个数是否为无理数.重难点：把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程.判断一个数是否为无理数.一、知识回顾：1、使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？ 3，95,9011,119,847,532、有理数：______和______统称为有理数，任何一个有理数都可以写成分数m n（m ，n 都是整数，且n ≠0）的形式。

任何______小数或____________小数都是有理数.例：有两个边长为1的小正方形，剪一剪，拼一拼，设法得一个大正方形。

（1）设大正方形的边长为a ，a （2） a 可能是整数吗？可能是分数吗？理由是什么？结论：训练：正三角形ABC 的边长为2，高为h ，h 可能是整数吗？可能是分数吗？例：(1)判断一下3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由(2)边长a的整数部分是几？十分位是几？百分位是几？千分位呢？……探索过程如下还可以继续算吗？a是有限小数吗？结论：无理数：____________小数叫无理数。

实数：分为____________和____________两类。

实数的分类：例：练习：在73; －π；；0；0.3 ；3π ；0.33 ；0.3131131113…（两个3之间依次多一个1）中，属于有理数的有：__________________；属于无理数的有：_______________；属于实数的有：___________________________________。

当堂检测：一、按要求完成下列题目1.下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？3.14，－34，∙∙75.0，0.1010010001…，0.4583，∙7.3，－π，－71 2.把下列各数分别填入相应的集合里：π31-，1322-，7，327，0.1010010001…，0.5，36.0-，39，924，16实数集{ …}，无理数集{ …}，有理数集{ …}，分数集{ …}，负无理数集{ …}3.判断下面的语句对不对？并说明判断的理由。

2.1 第2课时认识无理数(教学设计——精品教案)

2.1认识无理数第2课时教学目标【知识与能力】掌握无理数的概念;能用所学定义正确判断所给数的属性.【过程与方法】借助计算器探索无理数是无限不循环小数,从中体会无限逼近的思想.【情感态度价值观】在掌握估算方法的过程中,发展学生的数感和估算能力.教学重难点【教学重点】能用所学定义正确判断所给数的属性.【教学难点】无理数概念的建立.教学准备计算器、立方体、多媒体课件.教学过程第一环节：情境引入导入:前面我们学习了有理数,有理数是如何分类的呢?1.有理数是如何分类的?【问题解决】有理数{整数(如−1,0,2,3,…)分数(如13,−25,911,0.5,…)2.除上面的数以外,我们还学习过哪些不同的数? 如圆周率π,0.020020002…上节课又了解到一些数,如a 2=2,b 2=5中的a ,b 不是整数,能不能转化成分数呢?那么它们究竟是什么数呢?本节课我们就来揭示它们的真面目.[设计意图] 通过这些问题让学生发现有理数不够用了,存在既不是整数,也不是分数的数,激发学生的求知欲,去揭示它们的真面目.第二环节：新知构建面积为2的正方形的边长a 究竟是多少呢?(1)如图所示,三个正方形的边长之间有怎样的大小关系?说说你的理由.(2)边长a 的整数部分是几?十分位是几?百分位呢?千分位呢?……借助计算器进行探索.(3)【思考】 a ,哪个更接近正方形的实际边长?【归纳总结】 a 是介于1和2之间的一个数,既不是整数,也不是分数,则a 一定不是有理数.如果写成小数形式,它是有限小数吗?事实上,a =1.41421356…,它是一个无限不循环小数.【做一做】 (1)请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b 的值(结果精确到0.1),并用计算器验证你的估计.(2)如果结果精确到0.01呢?(提示:精确到0.1,b ≈2.2,精确到0.01,b ≈2.24)同样,对于体积为2的正方体,借用计算器,可以得到它的棱长c =1.25992105…,它也是一个无限不循环小数.[设计意图] 让学生有充分的时间进行思考和交流,逐渐缩小范围,借助计算器探索出a =1.41421356…,b =2.2360679…,c =1.25992105…是无限不循环小数的过程,体会无限逼近的思想.2.有理数的小数表示,明确无理数的概念思路一:请同学们以学习小组的形式活动.【议一议】把下列各数表示成小数,你发现了什么?3,45,59,-845,211. 【答案】 3=3.0,45=0.8,59=0.5·,-845=-0.17·,211=0.1·8·.分数化成小数,最终此小数的形式有哪几种情况?思路二:回忆小学我们学过的计算圆的周长和面积的时候,用到的π取多少?(3.14)它是确切的值吗?(不是,是近似值)那π是有理数吗?(不是)并且,我们还知道,利用计算机,现在π已经算到几亿分位,但是还是没有算出来.当然,π也不能化为分数的形式,所以π不是有理数,那π是什么数呢?【探究结论】分数只能化成有限小数或无限循环小数,即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.【强调】像0.585885888588885…,1.41421356…,-2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的,并且不是循环的,它们都是无限不循环小数.我们把无限不循环小数称为无理数.(圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数,故π是无理数)【想一想】你能找到其他的无理数吗?[设计意图] 通过学生的活动与探究,得出无理数的概念,通过师生互动的教学活动,既培养学生独立思考与小组合作讨论的能力,又感受到无理数存在的必要性,建立了无理数的概念.3.例题讲解下列各数中,哪些是有理数?哪些是无理数?3.14,-43, 0.5·7·,0.1010001000001…(相邻两个1之间0的个数逐次加2).解:有理数有:3.14,-43,0.5·7·;无理数有:0.1010001000001…(相邻两个1之间0的个数逐次加2).【强调】 1.无理数是无限不循环小数,有理数是有限小数或无限循环小数.2.任何一个有理数都可以化成分数p q 的形式(q ≠0,p ,q 为整数且互质),而无理数不能.[设计意图] 通过例题的讲解,让学生充分理解无理数、有理数的概念、区别,感受数的分类.[知识拓展] 确定x 2=a (a ≥0)中正数x 的近似值的方法:1.确定正数x 的整数部分.根据平方的定义,把x 夹在两个连续的正整数之间,确定其整数部分.例如:求x 2=5中的正数x 的整数部分,因为22<5<32,即22<x 2<32,所以2<x <3,因此x 的整数部分为2.2.确定x 的小数部分十分位上的数字.(1)将这两个整数平方和的平均数与a 比较,预测十分位上数字的取值范围,如两个整数2和3的平方和的平均数为22+322=6.5>5,所以x 的十分位上的数字一定比3小,不妨设x ≈2.2.(2)设误差为k (k 必为一个纯小数,且k 可能为负数),则x =2.2+k ,所以(2.2+k )2=5,所以4.84+4.4k +k 2=5,因为k 是小数,所以k 2很小,把它舍去,所以4.84+4.4k =5,所以k ≈0.036,所以x =2.2+k ≈2.2+0.036=2.236.实际估算中,整数部分的数字容易估计,十分位上的数字也可以采用试验的方法进行估计,即2.12=4.41,2.22=4.84,2.32=5.29,因为4.84<5<5.29,所以2.22<x 2<2.32,所以2.2<x <2.3,所以十分位上的数字为2.第三环节：课堂小结数{有理数:有限小数或无限循环小数{整数分数无理数:无限不循环小数第四环节：检测反馈1.下列说法中正确的是 ( )A .无限小数都是无理数B .有限小数是无理数C .无理数都是无限小数D .有理数是有限小数答案:C2.以下各正方形的边长是无理数的是 ( )A .面积为25的正方形B .面积为425的正方形C .面积为8的正方形D .面积为1.44的正方形解析:52=25,(25)2=425,(1.2)2=1.44.故选C . 3.一个直角三角形两条直角边的长分别是3和5,则斜边长a 是有理数吗?解:由勾股定理得: a 2=32+52,即a 2=34.因为不存在有理数的平方等于34,所以a 不是有理数. 4.已知-34,5,-1.4·2·,π,3.1416,23,0,42,(-1)2n ,-1.4242242224…(相邻两个4之间2的个数逐次加1).(1)写出所有有理数;(2)写出所有无理数.解:(1)有理数:-34,5,-1.4·2·,3.1416,23,0,42,(-1)2n . (2)无理数:π,-1.4242242224…(相邻两个4之间2的个数逐次加1).第五环节：布置作业1.教材作业【必做题】教材随堂练习.【选做题】教材习题2.2第2,4题.2.课后作业【基础巩固】1.面积为3的正方形的边长为x ,则x ( )A .1<x <2B .2<x <3C .3<x <4D .4<x <52.一个正三角形的边长是4,高为h ,则h 是 ( )A .整数B .分数C .有限小数D .无理数【能力提升】3.在直角三角形中,若两条直角边的长分别是2和3,则斜边长的平方是 ,则斜边长是数.【拓展探究】4.设半径为a 的圆的面积为20 π.(1)a 是有理数吗?说说你的理由;(2)估计a 的值(精确到十分位,并利用计算器验证你的估计);(3)如果精确到百分位呢?5.在某项工程中,需要一块面积为3平方米的正方形钢板.应该如何划线、下料呢?要解决这个问题,必须首先求出正方形的边长,那么,请你算一算:(1)如果精确到十分位,正方形的边长是多少?(2)如果精确到百分位呢?【答案与解析】1.A(解析:12=1,22=4.)2.D(解析:由勾股定理,得h2=42-22=12,没有整数或分数的平方等于12,所以h为无理数.)3.13无理(解析:由勾股定理,可得斜边的平方为13,没有整数或分数的平方为13,所以是无理数.)4.解:(1)∵πa2=20π,∴a2=20.a不是有理数,因为a既不是整数,也不是分数,而是无限不循环小数.(2)a≈4.5.(3)a≈4.47.5.解析:1.72=2.89,1.73=2.9929.解:(1)1.7米.(2)1.73米.板书设计2.1.2认识无理数1.数的小数表示.2.有理数的小数表示,明确无理数的概念.3.例题讲解.教学设计反思成功之处本节课借助寻找正方形边长这一“现实生活中的实例”,让学生通过估算、借助计算器进行探索、讨论等途径,体会数学学习的乐趣,体会无限逼近的数学思想,得到无理数的概念.不足之处对基础较薄弱的学生和班级,这一探索过程所需时间较长,会影响后面环节的进行.再教设计知识分类整理环节,学生自主整理和接受会有一定困难,若学生学习例题后再进行知识分类整理可能会更好.感知过程是学生理解无理数这一抽象概念所必需的,所以绝对不能淡化.。

北师大版数学八年级上册2.1.2认识无理数优秀教学案例

2.问题导向：设计具有启发性的问题，引导学生思考无理数的概念、性质以及与有理数的关系，让学生在思考中逐步理解无理数，提高学生的抽象思维能力和问题解决能力。
3.小组合作：组织学生进行小组讨论，分享彼此对无理数概念的理解，促进学生之间的交流与合作，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
4.总结归纳：引导学生对无理数的概念、性质以及应用进行总结，提高学生的归纳能力，使学生明确无理数在现实生活中的重要性，激发学生学习无理数的兴趣。
2.组织学生分享讨论成果，培养学生的合作意识和团队精神。
3.针对学生的讨论结果，进行点评和指导，帮助学生巩固所学知识。
（四）总结归纳
1.引导学生对无理数的概念、性质以及应用进行总结，提高学生的归纳能力。
2.强调无理数在现实生活中的重要性，激发学生学习无理数的兴趣。
3.总结本节课的学习内容，为后续学习打下基础。
在教学评价方面，我注重过程性评价与终结性评价相结合，通过观察学生的课堂表现、作业完成情况以及课堂讨论，全面了解学生对无理数知识的理解和掌握程度，为后续教学提供有效的反馈。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.了解无理数的定义，掌握无理数的基本性质，能够正确识别生活中的无理数实例。
2.理解无理数与有理数的关系，掌握无理数与有理数在数轴上的位置关系，能够进行无理数的大小比较。
（五）作业小结
1.布置与本节课内容相关的作业，让学生巩固所学知识。
2.提醒学生在完成作业时注意无理数的性质和应用，避免常见错误。
3.鼓励学生在作业中发挥创新能力，解决实际问题。
4.对学生的作业进行批改和评价，了解学生对无理数的掌握程度，为后续教学提供有效反馈。
五、案例亮点
1.生活实例引入：通过奥运会火炬手传递过程中火炬形状的圆周率符号，引导学生关注无理数在现实生活中的存在，激发学生的学习兴趣，使学生感受到数学与生活的紧密联系。

八年级数学上册2_1认识无理数导学案无答案新版北师大版

2.1.1 认识无理数班级：姓名：【学习目标】1．通过拼图活动，感受无理数产生的实际背景和引入的必要性。

2．感知生活中确实存在着不同于有理数的数.3．会判断一个数是否为有理数.学习重点：会判断一个数是否为有理数学习难点：感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.【课前导学】1．和统称为有理数。

2．想一想⑴一个整数的平方一定是整数吗？⑵一个分数的平方一定是分数吗？【课堂研讨】1．自主探究（1）如图把边长为1的两个小正方形通过剪、拼，拼成了一个大正方形，得大正方形的面积22=a ，请问：①a 可能是整数吗？②a 可能是分数吗？为什么？（2）事实上，在等式22=a 中，a 既整数，分数，所以a 有理数。

（填写“是”或“不是”）2．合作探究（1）图1—18（2）设该正方形的边长为b ，b 满足什么条件？（3）b 是有理数吗？3．归纳小结：在上面的两个问题中，数a ，b 确实存在，但它们都有理数。

【课堂练习】 1．如图，正三角形ABC 的边长为2，高为h ，h 可能是整数吗？可能是分数吗？2．长、宽分别是3，2的长方形，它的对角线的长可能整数吗？可能是分数吗？3．下图是由6个边长为1的小正方形拼成的，作出以下线段，请说出这些线段中长度是有理数的有几条？长度不是有理数的有几条？4．(选做题）下图中阴影部分是正方形，求出此正方形的面积。

此正方形的边长是有理数吗？为什么？B C D【课堂小结】1．通过本课学习，感受有理数又不够用了，请问你有什么收获与体会？2．客观世界中，的确存在不是有理数的数，你能列举几个吗？3．除了本课所认识的非有理数的数以外，你还能找到吗？【课后作业】课本第22页问题解决第2题八年级数学第一学期导学案2.1.2 数怎么不够用了班级：姓名：【学习目标】1．借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想。

2．会判断一个数是有理数还是无理数。

学习重点：会判断一个数是有理数还是无理数。

北师大版八年级数学上册 2.1认识无理数导学案(无答案)

国际部八年级数学（上）“明·学·研·展·测”导习案学生姓名____________年级：八（上）课题： 2.1认识无理数课本21-25页编号：M8220101 主备人：审核人：学习目标 1.让学生感受客观世界中无理数的存在；2.能正确地进行判断某些数是否为有理数，加深对有理数和无理数的理解；3.探索无理数是无限不循环小数，比较无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数重难点：了解无理数的几种表现形式，会区分有理数和无理数明确任务自主学习学法导航展示交流1 探索、理解现实生活中存在不是有理数的数做一做：1、如图所示以直角三角形三条边为边长的三个正方形的面积Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别是。

2、如果直角三角形的斜边长为a,那么a满足。

3、a可能是整数吗？为什么？4、a可能是以2、3、4为分母的分数吗？为什么？a可能为分数吗？5、图中的a确实存在，它既不是整数又不是分数，所以它不是_________________。

探索、发现，联系旧知总结1.抽签后，组长分工、交流，2.板书、预展、上台展示2 估计数值的大小1、面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢？判断下面3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？边长a的取值范围大致是多少?如何估算的？是否存在一个小数的平方等于2? 说说你的理由.边长a面积s1<a<21<s<4<a< <s<<a<<s<<a< <s<<a< <s<采用无限逼近的方法，将s范围逐渐缩小，渗透近似的思想1.抽签后，组长分工、交流，2.组员原座位起立回答即可21aⅡⅠⅢ。

第二章 2.1.2 认识无理数(2) 教案

边长 a 1<a<2 1.4<a<1.5 1.41<a<1.42 1.414<a<1.415 1.4142<a<1.4143
面积 s 1<s<4 1.96<s<2.25 1.9881<s<2.0164 1.999396<s<2.002225 1.99996164<s<2.00024449
归纳总结:a 是介于 1 和 2 之间的一个数，既不是整数，也不是分数，则 a 一定不是有理数.如果写成小数形式，它们是无限不循环小数. 请大家用上面的方法估计面积为 5 的正方形的边长 b 的值. 目的：让学生有充分的时间进行思考和交流，逐渐地缩小范围，借助计算器探索出 a=1.41421356…，b=2.2360679…，是无限不循环小数的过程，体会无限逼近的思想. 效果：学生感受到无理数确实是无限不循环的，为后续定义无理数打下基础.
第三个环节：知识分类整理(10min)
内容：到目前为止我们所学过的数可以分为几类？(按小数的形式来分).
2
整数有理数：有限小数或无限循环小数数无理数：无限不循环小数分数
强调“无限不循环小数”与“无限循环小数”的联系和区别.无理数还可以进行怎样的分类? 目的：培养学生总结归纳的能力，把新学知识纳入已有的知识体系，进一步发展学生的思维判断能力，加强学生对分类思想的理解. 效果：通过师生的共同探究，形成对中学现阶段数的系统认识，提高了总结归纳能力.
第五个环节：布置作业
习题 2.2
4
内容：本节课你有哪些收获?
课堂小结 (3min
1．无理数的定义. 2．你是怎样判断一个数是无理数还是有理数的？ 3．请把已学过的数怎样分类？

北师大版数学八年级上册教学设计：2.1.2认识无理数

四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动设计：通过多媒体展示生活中常见的无理数，如π（圆周率）、√2（勾股定理中的斜边长度）等，让学生初步感知无理数的存在。提问学生：“这些数有什么特殊之处？它们与我们之前学过的有理数有什么不同？”引发学生思考。
2.教学目标：激发学生对无理数的好奇心，为新课的学习奠定基础。
4.设计丰富的课堂活动，如小组讨论、问题抢答等，激发学生的学习兴趣，提高学生的课堂参与度。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学的兴趣和热情，使学生认识到数学在生活中的重要作用。
2.培养学生的逻辑思维能力和批判性思维，让学生在学习过程中形成严谨、踏实的学术态度。
3.引导学生学会合作与交流，培养团队Fra bibliotek识和集体荣誉感。
2.自主探究，感悟无理数：组织学生进行自主探究，让学生通过实际操作、观察和思考，发现无理数的特征，如无法表示为两个整数的比值等，从而深入理解无理数的定义。
3.合作交流，突破难点：在小组内讨论无理数的数轴表示和比较大小，鼓励学生发表自己的观点，倾听他人的意见，形成共识，提高学生的合作能力和解决问题的能力。
（2）学生总结无理数的性质、数轴表示和近似计算方法。
（3）教师强调本节课的重点和难点，布置课后作业。
五、作业布置
为了巩固学生对无理数知识的掌握，提高学生的解题能力和应用能力，特布置以下作业：
1.基础巩固题：
（1）列举生活中的无理数实例，并说明其特点。
（2）在数轴上表示出给定的无理数，并比较大小。
2.提高拓展题：
4.能够运用无理数的知识解决数学问题，如计算无理数的平方、立方等，以及解决与无理数相关的方程和不等式问题。
（二）过程与方法
1.通过自主探究、合作交流的方式，引导学生发现无理数的存在，培养学生的问题发现和解决能力。

八年级数学上册导学案无2.1 认识无理数

1主备人：审核人：八年级备课组第二章实数2.1《认识无理数》导学案模块一目标导航【学习目标】1、通过拼图活动，感受无理数产生的实际背景和引入的必要性。

2、借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想。

3、会判断一个数是有理数还是无理数。

【学习重难点】重点：1、无理数概念的探索过程。

2、用计算器进行无理数的估算。

3、了解无理数与有理数的区别，并能正确地进行判断。

难点：1、无理数概念的建立及估算。

2、用所学定义正确判断所给数的属性。

【学习方法】自主探究与小组合作【学习过程】模块二预习反馈一、学习准备1、有理数的概念：__________和___________统称为有理数。

2、有理数总可以用__________或____________________表示，反过来__________或____________________也都是有理数。

3、阅读教材：第一节《认识无理数》二、教材精读4、理解无理数的概念例1 （1）把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，设法得到一个大正方形，设大正方形的边长为a,计算_____2=a ，小组讨论：a 可能是整数吗？a 可能是分数吗？讨论结果：。

（2）_______2=b ，b 是有理数吗？归纳：无限不循环小数称为无理数。

例如：圆周率⋯⋯=14159265.3π是一个无限不循环小数，因此它是一个无理数。

再如：0.121221222122221……（相邻两个1之间2的个数逐次加1）也是无理数。

实践练习：1、下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？0.4583，∙7.3，－π，－71，18.注意：无理数是一种与有理数不同的数，要区分“无限不循环小数”与“无限循环小数”的差别，前者不能化为分数，后者可以化为分数。

事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。

反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。

特殊的常数π是三、教材拓展6、例3 把下列各数表示成小数，你发现了什么？95,9011,119,847,53,3-实践练习：1、下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？，9，32∙∙69.4，，π 3.14159，，7－5.2323332…，123456789101112…(由相继的正整数组成). 解：2、在下列每一个圈里，至少填入三个适当的数.模块三题型突破1、回答下列问题：中，在,90oC ABC Rt =∠∆（1）________;,4,3===c b a 则若（2）分数吗？可能是整数吗？可能是则若c c b a ________,,3,22=== 答：（3）分数吗？可能是整数吗？可能是则若b b c a ________,,3,22===2答：2、已知正方形ABCD 的面积是16平方厘米，E 、F 、G 、H 分别是正方形四条边的中点，依次连接E 、F 、G 、H 得到一个正方形，则这个正方形的边长为________cm 。

034.北师大版八年级数学上册2.1 第2课时认识无理数(教案)

2.1认识无理数第2课时教学目标【知识与能力】掌握无理数的概念;能用所学定义正确判断所给数的属性.【过程与方法】借助计算器探索无理数是无限不循环小数,从中体会无限逼近的思想.【情感态度价值观】在掌握估算方法的过程中,发展学生的数感和估算能力.教学重难点【教学重点】能用所学定义正确判断所给数的属性.【教学难点】无理数概念的建立.教学准备计算器、立方体、多媒体课件.教学过程第一环节：情境引入导入:前面我们学习了有理数,有理数是如何分类的呢?1.有理数是如何分类的?【问题解决】有理数{整数(如−1,0,2,3,…)分数(如13,−25,911,0.5,…)2.除上面的数以外,我们还学习过哪些不同的数? 如圆周率π,0.020020002…上节课又了解到一些数,如a 2=2,b 2=5中的a ,b 不是整数,能不能转化成分数呢?那么它们究竟是什么数呢?本节课我们就来揭示它们的真面目.[设计意图] 通过这些问题让学生发现有理数不够用了,存在既不是整数,也不是分数的数,激发学生的求知欲,去揭示它们的真面目.第二环节：新知构建面积为2的正方形的边长a 究竟是多少呢?(1)如图所示,三个正方形的边长之间有怎样的大小关系?说说你的理由.(2)边长a 的整数部分是几?十分位是几?百分位呢?千分位呢?……借助计算器进行探索.(3)【思考】 a ,哪个更接近正方形的实际边长?【归纳总结】 a 是介于1和2之间的一个数,既不是整数,也不是分数,则a 一定不是有理数.如果写成小数形式,它是有限小数吗?事实上,a =1.41421356…,它是一个无限不循环小数.【做一做】 (1)请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b 的值(结果精确到0.1),并用计算器验证你的估计.(2)如果结果精确到0.01呢?(提示:精确到0.1,b ≈2.2,精确到0.01,b ≈2.24)同样,对于体积为2的正方体,借用计算器,可以得到它的棱长c =1.25992105…,它也是一个无限不循环小数.[设计意图] 让学生有充分的时间进行思考和交流,逐渐缩小范围,借助计算器探索出a =1.41421356…,b =2.2360679…,c =1.25992105…是无限不循环小数的过程,体会无限逼近的思想.2.有理数的小数表示,明确无理数的概念思路一:请同学们以学习小组的形式活动.【议一议】把下列各数表示成小数,你发现了什么?3,45,59,-845,211. 【答案】 3=3.0,45=0.8,59=0.5·,-845=-0.17·,211=0.1·8·.分数化成小数,最终此小数的形式有哪几种情况?思路二:回忆小学我们学过的计算圆的周长和面积的时候,用到的π取多少?(3.14)它是确切的值吗?(不是,是近似值)那π是有理数吗?(不是)并且,我们还知道,利用计算机,现在π已经算到几亿分位,但是还是没有算出来.当然,π也不能化为分数的形式,所以π不是有理数,那π是什么数呢?【探究结论】分数只能化成有限小数或无限循环小数,即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.【强调】像0.585885888588885…,1.41421356…,-2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的,并且不是循环的,它们都是无限不循环小数.我们把无限不循环小数称为无理数.(圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数,故π是无理数)【想一想】你能找到其他的无理数吗?[设计意图] 通过学生的活动与探究,得出无理数的概念,通过师生互动的教学活动,既培养学生独立思考与小组合作讨论的能力,又感受到无理数存在的必要性,建立了无理数的概念.3.例题讲解下列各数中,哪些是有理数?哪些是无理数?3.14,-43, 0.5·7·,0.1010001000001…(相邻两个1之间0的个数逐次加2).解:有理数有:3.14,-43,0.5·7·;无理数有:0.1010001000001…(相邻两个1之间0的个数逐次加2).【强调】 1.无理数是无限不循环小数,有理数是有限小数或无限循环小数.2.任何一个有理数都可以化成分数p q 的形式(q ≠0,p ,q 为整数且互质),而无理数不能.[设计意图] 通过例题的讲解,让学生充分理解无理数、有理数的概念、区别,感受数的分类.[知识拓展] 确定x 2=a (a ≥0)中正数x 的近似值的方法:1.确定正数x 的整数部分.根据平方的定义,把x 夹在两个连续的正整数之间,确定其整数部分.例如:求x 2=5中的正数x 的整数部分,因为22<5<32,即22<x 2<32,所以2<x <3,因此x 的整数部分为2.2.确定x 的小数部分十分位上的数字.(1)将这两个整数平方和的平均数与a 比较,预测十分位上数字的取值范围,如两个整数2和3的平方和的平均数为22+322=6.5>5,所以x 的十分位上的数字一定比3小,不妨设x ≈2.2.(2)设误差为k (k 必为一个纯小数,且k 可能为负数),则x =2.2+k ,所以(2.2+k )2=5,所以4.84+4.4k +k 2=5,因为k 是小数,所以k 2很小,把它舍去,所以4.84+4.4k =5,所以k ≈0.036,所以x =2.2+k ≈2.2+0.036=2.236.实际估算中,整数部分的数字容易估计,十分位上的数字也可以采用试验的方法进行估计,即2.12=4.41,2.22=4.84,2.32=5.29,因为4.84<5<5.29,所以2.22<x 2<2.32,所以2.2<x <2.3,所以十分位上的数字为2.第三环节：课堂小结数{有理数:有限小数或无限循环小数{整数分数无理数:无限不循环小数第四环节：检测反馈1.下列说法中正确的是 ( )A .无限小数都是无理数B .有限小数是无理数C .无理数都是无限小数D .有理数是有限小数答案:C2.以下各正方形的边长是无理数的是 ( )A .面积为25的正方形B .面积为425的正方形C .面积为8的正方形D .面积为1.44的正方形解析:52=25,(25)2=425,(1.2)2=1.44.故选C . 3.一个直角三角形两条直角边的长分别是3和5,则斜边长a 是有理数吗?解:由勾股定理得: a 2=32+52,即a 2=34.因为不存在有理数的平方等于34,所以a 不是有理数. 4.已知-34,5,-1.4·2·,π,3.1416,23,0,42,(-1)2n ,-1.4242242224…(相邻两个4之间2的个数逐次加1).(1)写出所有有理数;(2)写出所有无理数.解:(1)有理数:-34,5,-1.4·2·,3.1416,23,0,42,(-1)2n . (2)无理数:π,-1.4242242224…(相邻两个4之间2的个数逐次加1).第五环节：布置作业1.教材作业【必做题】教材随堂练习.【选做题】教材习题2.2第2,4题.2.课后作业【基础巩固】1.面积为3的正方形的边长为x ,则x ( )A .1<x <2B .2<x <3C .3<x <4D .4<x <52.一个正三角形的边长是4,高为h ,则h 是 ( )A .整数B .分数C .有限小数D .无理数【能力提升】3.在直角三角形中,若两条直角边的长分别是2和3,则斜边长的平方是 ,则斜边长是数.【拓展探究】4.设半径为a 的圆的面积为20 π.(1)a 是有理数吗?说说你的理由;(2)估计a 的值(精确到十分位,并利用计算器验证你的估计);(3)如果精确到百分位呢?5.在某项工程中,需要一块面积为3平方米的正方形钢板.应该如何划线、下料呢?要解决这个问题,必须首先求出正方形的边长,那么,请你算一算:(1)如果精确到十分位,正方形的边长是多少?(2)如果精确到百分位呢?【答案与解析】1.A(解析:12=1,22=4.)2.D(解析:由勾股定理,得h2=42-22=12,没有整数或分数的平方等于12,所以h为无理数.)3.13无理(解析:由勾股定理,可得斜边的平方为13,没有整数或分数的平方为13,所以是无理数.)4.解:(1)∵πa2=20π,∴a2=20.a不是有理数,因为a既不是整数,也不是分数,而是无限不循环小数.(2)a≈4.5.(3)a≈4.47.5.解析:1.72=2.89,1.73=2.9929.解:(1)1.7米.(2)1.73米.板书设计2.1.2认识无理数1.数的小数表示.2.有理数的小数表示,明确无理数的概念.3.例题讲解.教学设计反思成功之处本节课借助寻找正方形边长这一“现实生活中的实例”,让学生通过估算、借助计算器进行探索、讨论等途径,体会数学学习的乐趣,体会无限逼近的数学思想,得到无理数的概念.不足之处对基础较薄弱的学生和班级,这一探索过程所需时间较长,会影响后面环节的进行.再教设计知识分类整理环节,学生自主整理和接受会有一定困难,若学生学习例题后再进行知识分类整理可能会更好.感知过程是学生理解无理数这一抽象概念所必需的,所以绝对不能淡化.初中数学公式大全1过两点有且只有一条直线2两点之间线段最短3同角或等角的补角相等4同角或等角的余角相等5过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9同位角相等，两直线平行10内错角相等，两直线平行11同旁内角互补，两直线平行12两直线平行，同位角相等13两直线平行，内错角相等14两直线平行，同旁内角互补15定理三角形两边的和大于第三边16推论三角形两边的差小于第三边17三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180 °18推论1直角三角形的两个锐角互余19推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形21平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形22平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形23平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形24矩形性质定理1矩形的四个角都是直角25矩形性质定理2矩形的对角线相等26矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形27矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形28菱形性质定理1菱形的四条边都相等29菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角30菱形面积= 对角线乘积的一半，即S= （a×b ）÷231菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形32菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形33正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等34正方形性质定理2 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角35定理1关于中心对称的两个图形是全等的36定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分37逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称38等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等。

初中数学最新版《认识无理数》精品导学案(2022年版)

第二章实数2.1 认识无理数第一环节：质疑【想一想】⑴一个整数的平方一定是整数吗？⑵一个分数的平方一定是分数吗？第二环节：课题引入【算一算】一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，算一算斜边长x的平方，问题：x是整数〔或分数〕吗？【剪剪拼拼】把边长为1的两个小正方形通过剪、拼，设法拼成一个大正方形，你会吗？第三环节：获取新知【议一议】：22a=，请问：①a可能是整数吗？②a可能是分数吗？【释一释】：释1．满足22a=的a为什么不是整数？释2．满足22a=的a为什么不是分数？【忆一忆】：回忆“有理数〞概念，既然a不是整数也不是分数，那么a一定不是有理数，这说明：有理数不够用了，为“新数〞〔无理数〕的学习奠定了根底【找一找】：在以下正方形网格中，先找出长度为有理数的线段，再找出长度不是有理数的线段第四环节：应用与稳固【画一画1】：在右1的正方形网格中，画出两条线段：1．长度是有理数的线段2．长度不是有理数的线段〔右1〕【画一画2】：在右2的正方形网格中画出四个三角形2．三边长都是有理数2．只有两边长是有理数3．只有一边长是有理数 4．三边长都不是有理数【仿一仿】：例：在数轴上表示满足()220x x =>的x解：〔右2〕仿：在数轴上表示满足()250x x =>的x【赛一赛】：右3是由五个单位正方形组成的纸片，请你把它剪成三块，然后拼成一个正方形，你会吗？试试看！〔右3〕第五环节：课堂小结内容：1．通过本课学习，感受有理数又不够用了，请问你有什么收获与体会？ 2．2．客观世界中，确实存在不是有理数的数，你能列举几个吗？3．除了本课所认识的非有理数的数以外，你还能找到吗？ §3.5 分式的加法与减法教学案第二课时【教与学目标】1、经历探索分式的加减法运算法那么的过程，通过与分数加减法法那么的类比，开展学生的联想与合情推理能力.2、能熟练地进行异分母的分式加减法的运算.【重、难点】能熟练地进行异分母的分式加减法的运算.【教与学过程】一、知识引桥1、回想一下同分母的分式加减法的运算并计算以下题目(1) x y x y +3 (2) x y y z y x z x -----22二、学习新知〔一〕交流与发现小亮和小莹练习用电脑打字，小亮每分钟打a 个字，小莹每分钟比小亮多打20个字，当他们都打完了3000个字时，小亮比小莹多用多少时间？与同学们交流一下，最后结果是什么？归纳一下异分母分式加减法法那么：_______________________________ 〔二〕例题精讲例2 计算：〔1〕bc ab 6121+；〔2〕253bb a ab b a --+例3 计算：〔1〕mm -+-329122；〔2〕121112-+--+x x x x 〔三〕反响检测：仔细做一下，检验一下你掌握了本节知识没有. 计算：(1) 24a b a b - (2) aa a +--22142 (3) ba b a --+11 (4) y x x y x x +--222 (5)1－y x x +24 (6) --12x x x －1 三、学习思考整式与分式相减及异分母分式相减时应注意什么问题？四、教学反思。

2.1.2认识无理数(教案)

2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考，如无理数在科技发展中的作用。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了无理数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对无理数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调无理数的定义和表示方法这两个重点。对于难点部分，我会通过构造正方形对角线长度√2的例子，以及π在圆的周长中的应用，来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与无理数相关的实际问题，如√3在等边三角形中的应用。
2.1.2认识无理数（教案）
一、教学内容
本节课选自《数学》八年级上册第二章“数的开方”中的2.1.2节“认识无理数”。教学内容主要包括以下两个方面：
1.无理数的定义：引导学生理解无理数的概念，掌握无理数是无限不循环小数的特性，并能识别常见的无理数。
2.无理数的表示：学习无理数的表示方法，包括根号表示法（如√2、√3等）和无限不循环小数表示法（如π、e等），了解无理数与有理数的区别和联系。
然而，在讲解无理数的表示方法时，我发现有些学生对根号表示法还不够熟悉，对无限不循环小数的理解也有些困难。这可能是因为我对这些概念的解释不够清晰，或者例子不够丰富。在以后的教学中，我需要准备更多生动、具体的例子，帮助学生更好地理解这些表示方法。
在实践活动环节，学生们分组讨论和实验操作的过程比我预期的要顺利。他们能够将所学的无理数知识应用到实际问题中，这让我感到很欣慰。但同时，我也注意到有些学生在操作过程中遇到了困难，可能是由于他们对无理数的理解还不够深入。针对这个问题，我计划在下一节课中增加一些针对性的练习，让学生在实践中进一步巩固对无理数的理解。

北师大版八年级数学认识无理数导学案

2.1 认识无理数(二) 20XX年9月9日学习目标(一) 知识与技能：1.借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想.2.会判断一个数是有理数还是无理数.3.借助计算器进行估算，培养学生的估算能力，发展学生的抽象概括能力，并在活动中进一步发展学生独立思考、合作交流的意识和能力.（二）过程与方法：探索无理数的定义，以及无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数，训练思维判断能力.(三)情感、态度与价值观：1.理解估算的意义，掌握估算的方法，发展数感和估算能力.2.培养合作精神，提高辨识能力.学习重点：1.无理数概念的探索过程. 2.用计算器进行无理数的估算.3.了解无理数与有理数的区别，并能正确地进行判断.学习难点1.无理数概念的建立及估算. 2.用所学定义正确判断所给数的属性.学习过程一、创设问题情境，引入新课［师］同学们，我们在上节课了解到有理数又不够用了，并且我们还发现了一些数，如a2=2,b2=5中的a，b既不是整数，也不是分数，那么它们究竟是什么数呢？二、新课导入：请看图大家判断一下3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由. 由此大家能不能判断一下面积为2的正方形的边长a的大致范围呢？a究竟是1点几呢？请大家用计算器进行探索，首先确定十分位，十分位究竟是几呢？如1.12=1.21，1.22=1.44，1.32=1.69，1.42=1.96，1.52=2.25，而a2=2，故a应比1.4大且比1.5小，可以写成1.4＜a＜1.5，所以a是1点4几，即十分位上是4，请大家用同样的方法确定百分位、千分位上的数字. 请一位同学把自己的探索过程整理一下，用边长a 面积S1＜a＜2 1＜S＜41.4＜a＜1.5 1.96＜S＜2.25［师］请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b 的值.边长b 会不会算到边长b 面积S请大家把下列各数表示成小数.3，112,458,95,54，并看它们是有限小数还是无限小数，是循环小数还是不循环小数.大家可以每个小组计算一个数，这样可以节省时间.［师］上面这些数都是有理数，所以有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示.反过来，任何有限小数或无限循环小数都是有理数.像上面研究过的a 2=2,b 2=5中的a ，b 是无限不循环小数.无限不循环小数叫无理数(irrational number).除上面的a ，b 外，圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数，0.5858858885…(相邻两个5之间8的个数逐次加1)也是一个无限不循环小数，它们都是无理数.3.有理数与无理数的主要区别(1)无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数.(2)任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能. 4.例题讲解：下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？3.14，－34，••75.0，0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1). 解：有理数有：无理数有：三、课堂练习(一)下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？0.4583，•7.3，－π，－71，18. 解：有理数有：无理数有：(二)判断题(1)有理数与无理数的差都是有理数.（） (2)无限小数都是无理数.（）(3)无理数都是无限小数. （） (4)两个无理数的和不一定是无理数.（）下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？0.351，－••69.4,32，3.14159，－5.2323332…，123456789101112…(由相继的正整数组成). 在下列每一个圈里，至少填入三个适当的数.四、课时小结：回忆本节课我们学习了哪些内容？1.用计算器进行无理数的估算.2.无理数的定义.3.判断一个数是无理数或有理数._________⎧⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎭⎩⎩⎪⎪⎪⎪⎫⎧⎨⎬⎪⎩⎪⎭⎩______整数____________有限小数或循环小数______实数负分数____________________________________________。

八(上)2.1.2 认识无理数(2)

认识无理数（2）【学习目标】1、能够对无理数进行估算，培养学生的估算能力，发展学生的抽象概括能力，并从中体会无限逼近的思想；2、掌握无理数的概念；3、学会辨别有理数和无理数。

【学习活动】1、有理数是如何分类的？2、我们还学习过哪些不同的数？如圆周率π，0.020020002…，上节课又了解到一些数，如22=a ，25=b 中的a ，b 不是整数，能不能转化成分数呢？那么它们究竟是什么数呢？【探究活动一】探索无理数的小数表示以小组讨论的形式对面积为2的正方形的边长a 和面积为5的正方形的边长b 进行估计．【探究活动二】实数的分类到目前为止我们所学过的数可以分为几类？数例题解析例1．填空：0.351， 4.96••-，32-，3.14159，6，－5.2323332…，3π，1234567891011…(由相继的正整数组成) ．有理数集合无理数集合 … …实践练习：在数－43，－••24.1，π，3.1416，32，0，42，(－1)2n ，－1.424224222…中，解：（1）写出所有有理数：（2）写出所有无理数：（3）把这些数按由小到大的顺序排列起来，并用符号“<”连接．例2．设面积为6π的圆的半径为a ．（1）a 是有理数吗？说说你的理由．（2）a 的整数部分是多少？估计a 的值(精确到十分位) ．（3）如果精确到百分位呢？实践练习：判断下列说法是否正确(1)有限小数是有理数；（） (2)无限小数都是无理数；（）(3)无理数都是无限小数；（） (4)有理数是有限数．（）【学习评价】1、下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？3.14，－34，••75.0，0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)．解：有理数：无理数：2、以下各正方形的边长是无理数的是（）A ．面积为25的正方形；B ．面积为254的正方形；C ．面积为8的正方形；D ．面积为1.44的正方形．3、判断题(1) 有理数与无理数的差都是有理数；（） (2) 无限小数都是无理数；（） (3) 无理数都是无限小数；（） (4) 两个无理数的和不一定是无理数．（） 4、面积为7的正方形的边长为x ，请你回答下列问题．（1）x 的整数部分是多少？（2）把x 的值精确到十分位是多少？精确到百分位呢？。