数值分析：第六章 线性代数方程组的直接法

(k
akk
)
(k
均1不, 2为,零n)，从而顺序Gauss
消去法可顺利执行。
注：当线性方程组的系数矩阵为对称正定或严格对角占优 阵时，按顺序Gauss消去法计算是稳定的。
3、列主元Gauss消去法计算步骤：
1、输入矩阵阶数n，增广矩阵 A(n,n+1);
2、对于 k 1, 2, , n 1
(1) 按列选主元：选取 l 使
a1n a2n
ann
a1n1 a2n1
ann1
a(1) 11
a(1) 21
a(1) n1
a(1) 12
a(1) 22
a(1) n2
a(1) 1n
a(1) 1,n1
a a (1) (1) 2n 2,n1
a(1) nn
a(1) n,n1
对k=1,2,…n-1,
若
a(k) kk
0, k
a21x1 a22 x2 a23 x3 a2n xn a2, n1
Байду номын сангаас
an1x1 an2 x2 an3 x3 ann xn an, n1
基本思想：通过消元将上述方程组化为上三角形 方程组，再利用回代法进行求解。
记
A(1) ( A, b)
a11 a12
a21
a22
an1 an2
b
b2
bn
线性方程组数值解法的分类
➢直接法（适用于中等规模的n阶线性方程组）
◆ Gauss消去法及其变形 ◆矩阵的三角分解法
➢迭代法（适用于高阶线性方程组）
◆Jacobi迭代法 ◆ Gauss-Seidel迭代法 ◆逐次超松弛法 ◆共轭斜量法
§1 高斯消去法
1．三角形方程组的解法---回代法
若共有n个部门，记一定时期内第i个部门的总产出为 xi, 其中对第 j个部门的投入为xij ，满足的外部需求为 di ，则
n
xi xij di , i 1, 2, , n j 1
(6.1.1)
记第j个部门的单位产出需要第i个部门的投入为aij ，在每个 部门的产出与投入成正比的假定下，有
aij
表6.1.1 国民经济各个部门间的关系
表6.1.2 投入产出表
表中的第一行，第二列的数字表示生产1个单位产值的制 造业产品需要投入0.10个单位的产值的农产品，同样第三 行、第一列的数字表示，生产1个单位产值的农产品需要 0.20个单位的服务业产值。表6.1.2的数字称为投入系数和 消耗系数，如果技术水平没有变化，可以假设投入系数是 常数。已知投入系数如表2.1.2所示，若今年对农业、制造 业和服务业的外部需求分别为50、150、100亿元，试计 算三个部门的总产出分别为多少？
设国民经济仅由农业、制造业和服务业三个部门构成，已 知某年它们之间的投入和产出关系、外部需求、初始投 入等如表6.1.1所示（数字表示产值，单位为亿元）。
表中第一行数字表示农业总产出为100亿元，其中15亿元农产品 用于农业生产本身，20亿元用于制造业，30亿元用于服务业， 剩下的35亿元农产品用于满足外部需求。类似地可以解释第二、 三行数字。第一列数字中，15亿元如前所述，30亿元是制造业 对农业的投入，20亿元是服务业对农业的投入，35亿元的初始 投入包括工资、税收、进口等，总投入100亿元和总产出相等。 假定每个部门的产出和投入是成正比的，由表6.1.1能够确定这 三个部门的投入产出表，如表6.1.2所示。
1, 2,
, n 1, 则可得
消元公式 回代公式
laiki(jk1)aaik((kkkk
) )
a(k ij
)
lik
i a(k)
kj
k
1,
,n
i k 1, n;
j k 1, , n 1
xn
a(n) n,n1
a(n) n,n
xnk
a(nk ) nk ,n1
k
a(k) nk ,n
j xn
alk
max
k in
aik
0
(2) 如果 l ，k交换 A(n,n+1) 的第k行与第l 行元素
(3) 消元计算 ：
aik
aik akk
i k 1, , n
aij aij aik akj i k 1, , n; j k 1,
3、回代计算
n
xi ai,n1 aij x j aii
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1
a22 x2 a2n xn
b2
an1x1 an2 x2 ann xn bn
AX = b
a11
A
a21
an1
a12 a22
a1n a2n
an2 ann
x1
X
x2
xn
（3.1）
b1
a11 x1
b1
a21x1
a22 x2
b2
an1x1 an2 x2 ann xn bn
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a22 x2 a2n xn b2
ann xn bn
（3.2） （3.3）
2．顺序高斯消去法
a11x1 a12 x2 a13 x3 a1n xn a1, n1
xij xj
,
(i, j 1, 2,
, n)
(6.1.2)
投入系数即为aij，将(6.1.2)式代入(6.1.1)）式得方程组
n
xi aij x j di , (i 1, 2, , n) j 1
用矩阵表示为
x Ax d 或 I A x d
(6.1.3)
因此投入产出模型最终可归结为求解线性方程组的问题，下面 介绍求解线性方程组数值方法。
j
j 1
a , (nk ) nk ,nk
k 1,
,n 1
顺序Gauss消去法可执行的前提
定理 1 给定线性方程组 A，x 如b果n阶方阵
A
的所有顺序主子式都不为零，即
D1 a11 0,
D2
a11 a21
a12 a22
0,
Dk
a11 a1k ak1 akk
0
则按顺序Gauss消去法所形成的各主元素
第六章
线性方程组 的直接解法
问题驱动：投入产出分析
投入产出分析是20世纪30年代由美国经济学家首先提出的， 它是研究整个经济系统各部门之间“投入”与“产出”关系的线性 模型，一般称为投入产出模型。国民经济各个部门之间存在着 相互依存的关系，每个部门在运转中将其它部门的成品或半成 品经过加工（称为投入）变为自己的产品（称为产出），如何 根据各部门之间的投入-产出关系，确定各部门的产出水平，以 满足社会的需求，是投入产出综合平衡模型研究的问题，试讨论 如下简化问题。