三垂线定理及其典型例题(课堂PPT)
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三垂线定理及其典型例题知识讲解
P a
Ao α
用法:
∵PA⊥α, a α,
AO是斜线PO在平面 α内的射影, a⊥PO ∴ a⊥AO
说明:三垂线定理及其逆定理是证明线线垂
直的重要方法。
例题分析: 1、判定下列命题是否正确
三垂线定理
(1)若a是平面α的斜线、直线b垂直于a在平面
α内的射影,则a⊥b。
( ×)
(2)若a是平面α的斜线,b是平面α内的直线,
二、平面的斜线、垂线、射影
三垂线定理
PO是平面α的斜线, O为斜足; PA是平面α的垂线, A为垂足; P AO是PO在平面α内的射影.
oa
如果a α, a⊥AO,
α
A
思考a与PO的位置关
系如何?
结论:a⊥PO 为什么呢?
二、三垂线定理:
三垂线定理
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条
斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。
D1
C1
又DD1⊥平面ABCD
A1
B1
∴BD是斜线D1B在平面ABCD上的
射影
∵AC在平面AC内,∴BD1⊥AC
D
请同学思考:如何证明D1B⊥AB1 A 而AB1, AC相交于点A且都在平面
AB1C内 ∴BD1⊥平面AB1C
C B
三垂线定理
关于三垂线定的应用,关键是找出平面(基准面)的垂线。 至于射影则是由垂足、斜足来确定的,因而是第二位的。
三垂线定理及其典型例题
一、射影的概念
定义:自一点P向平面α引垂线,垂足P1 叫做P
在平面α内的正射影(简称射影)。 如果图形F上的所有点在一平面内的射影构成图 形F1,则F1叫做图形F在这个平面内的射影。
.P
立体几何之三垂线定理 PPT
P
A
a
O
α
三垂线定理说明(2)
• 如果平面α内得直线a垂直于斜线 OP得射影OA,那么α必垂直于斜线 OP;反之也成立
P
A
a
O
α
三垂线定理说明(3)
• 满足条件(2)得直线a必垂直于斜线 及射影所确定得平面
P
A
a
O
α
三垂线定理说明(4)
• 运用三垂线定理及逆定理得规律: 确定平面、找到斜线、找到(做出) 垂线、连成射影、查面内线
则AG BC,连结A'G则A'G BC
A'F FG 3 a A'G 6 a
4
4
即A'点到BC的距离是 6 a 4
AG 3 a, 2
A
E F D
B
C G
垂直于AB的两条相等的斜线,且分别在 AB的两侧,若AB 5cm,AC BD 8cm,
AB和平面的距离为7cm,求CD的长
A
B
C
A1 O α
B1 D
举一个例子
分析:①因为AB 平面,又因为AB AC,
A
B
AB BD,则应想AA1 BB1 7cm且AA1 所以A1B1 AB 5cm
得距离 • 求二面角得平面角
一些例子
• 判定空间中两条直线相互垂直
已知:正方体中截去以P为定点的一角得截面ABC 求证:所截得的 ABC是锐角三角形
P C
A
B
一些例子
• 判定空间中两条直线相互垂直
证明:过P作PD AB于D, ABP是Rt , PD的垂足D在AB内, 连结CD,由三垂线定理可知,CD AB, CD为 ABC中AB边上的高线且满足垂足在AB内, 同理可证 ABC中BC边、AC边上的高线的垂足也在BC、AC内 ABC的垂心在 ABC内,故 ABC为锐角三角形
三垂线定理及其典型例题ppt课件
思考:
a 如果把定理中的条a⊥AO与结 论a⊥PO互换,命题是否成立?
三垂线定理的逆定理: 为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能
在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条 斜线垂直,那么它也和这条斜线在这个平面内的 射影垂直。
三垂线定理
(1)若a是平面α的斜线、直线b垂直于a在平面
α内的射影,则a⊥b。
( ×)
(2)若a是平面α的斜线,b是平面α内的直线,
且b垂直于a在β内的射影,则a⊥b。
( ×)
强调:1°四线是相对同一个平面而言
2°定理的关键找“平面”这个参照学。
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
P a
Ao α
用法:
∵PA⊥α, a α,
AO是斜线PO在平面 α内的射影, a⊥PO ∴ a⊥AO
说明:三垂线定理及其逆定理是证明线线垂
直的重要方法。
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
例题分析: 1、判定下列命题是否正确
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
复习提问:
1。直线与平面垂直的定义。 2。直线与平面垂直的判定定理。 3。证明线面垂直的方法。 4。证明线线垂直的方法。
一、射影的概念 为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能
三垂线定理说课ppt
证明:连结AO,并延长AO交 BC于D ∵O是△ABC的垂心
P
∴AD ⊥BC
又∵ AD是PA在平面ABC 的射影
A
O
C D B∴ PA ⊥ BC五、课堂小结:知识内容:三垂线定理
应用步骤: “一垂二射三证” 思想方法:转化思想,点明转化的关键是
“找平面的垂线”。
六、布置作业:
1、已知:如图, VA⊥VB, VA⊥VC , VD⊥BC. 求证: AD⊥BC V
PO平面PAO
a⊥PO
三、新授
三垂线定理
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条
斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。
(线射垂直 线斜垂直) P a
A
O
三垂线定理包含几种垂直关系?
①线面垂直 ②线射垂直 ③ 线斜垂直
P A O P P O
α
a
α
A
a
α
A
O
a
直 线 和
平面垂直
平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直
B
A
D
C
2、如图,AB是⊙O的直径,PA垂直圆O所在的 平面,点C是圆周上异于A、B的一点。 试说明: ①图中有哪几个直角三角形? ②如果点C在圆周上运动呢?
P
A
C
·
O
B
(3)非书面作业:
① 、三垂线定理的逆命题是否成立?
② 、证明空间两条直线垂直有哪几种途径?
谢 谢 大 家!
精品课件!
精品课件!
2、 已知:PA⊥平面PBC,PB=PC, P M是BC的中点, 求证:BC⊥AM C 证明: PB=PC
M是BC的中点
A
M B BC⊥AM
三垂线定理应用PPT课件
(3) 在正方体AC1中,求证:A1C⊥B1D1,A1C⊥BC1
P
A
O B
(1)
D A
C
P
D1
C1
A1 C
D
B1 C
M (2) . B
A
B
(3)
11
(1) PA⊥正方形ABCD所在平 面,O为对角线BD的中点, 求证:PO⊥BD,PC⊥BD
证明: ∵ABCD为正方形 O为BD的中点
P
A
O B
D C
PA⊥平面ABC
∴PC是平面ABC的斜线
∴∵ABCC是 平PC面在A平BC面且ABACC上⊥的B射C 影A ∴由三垂线定理得
M
PC ⊥ BC
B C
.
10
1.直接利用三垂线定理证明下列各题:
(1) PA⊥正方形ABCD所在平面,O为对角线BD的中点 求证:PO⊥BD,PC⊥BD (2) 已知:PA⊥平面PBC,PB=PC,M是BC的中点, 求证:BC⊥AM
∴ AO⊥BD
PO⊥BD 又AO是PO在ABCD上的射影
同理,AC⊥BD AO是PO在ABCD上的射影 PC⊥BD
.
12
P
(2) 已知:PA⊥平面PBC,PB=PC,
M是BC的中点,
求证:BC⊥AM
证明: ∵ PB=PC
A
M是BC的中点
C M
PM ⊥BC
B
∵PA⊥平面PBC
BC⊥AM
∴PM是AM在平面PBC上的射影
C B
14
.
1
我们已经学习了直线和平面的垂直关 系,学新课之前,让我们作个简单的 回顾: 1.直线和平面垂直的定义? 2.直线和平面垂直的判定定理.
P
A
O B
(1)
D A
C
P
D1
C1
A1 C
D
B1 C
M (2) . B
A
B
(3)
11
(1) PA⊥正方形ABCD所在平 面,O为对角线BD的中点, 求证:PO⊥BD,PC⊥BD
证明: ∵ABCD为正方形 O为BD的中点
P
A
O B
D C
PA⊥平面ABC
∴PC是平面ABC的斜线
∴∵ABCC是 平PC面在A平BC面且ABACC上⊥的B射C 影A ∴由三垂线定理得
M
PC ⊥ BC
B C
.
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1.直接利用三垂线定理证明下列各题:
(1) PA⊥正方形ABCD所在平面,O为对角线BD的中点 求证:PO⊥BD,PC⊥BD (2) 已知:PA⊥平面PBC,PB=PC,M是BC的中点, 求证:BC⊥AM
∴ AO⊥BD
PO⊥BD 又AO是PO在ABCD上的射影
同理,AC⊥BD AO是PO在ABCD上的射影 PC⊥BD
.
12
P
(2) 已知:PA⊥平面PBC,PB=PC,
M是BC的中点,
求证:BC⊥AM
证明: ∵ PB=PC
A
M是BC的中点
C M
PM ⊥BC
B
∵PA⊥平面PBC
BC⊥AM
∴PM是AM在平面PBC上的射影
C B
14
.
1
我们已经学习了直线和平面的垂直关 系,学新课之前,让我们作个简单的 回顾: 1.直线和平面垂直的定义? 2.直线和平面垂直的判定定理.
三垂线定理 PPT课件 6 人教课标版
•
80、乐观者在灾祸中看到机会;悲观者在机会中看到灾祸。
三垂线定理的逆理:
在平面内的一条直线,如果和 这个平面的一条斜线垂直,那 么,它也和这条斜线的射影垂 直。
线射垂直
定 理
逆 定 理
线斜垂直
例3 如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等, 那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。
已知:∠BAC在平面内,点P,PE⊥AB,PF⊥AC,
PO⊥ ,垂足分别是E、F、O,PE=PF
•
36、每临大事,心必静心,静则神明,豁然冰释。
•
37、别人认识你是你的面容和躯体,人们定义你是你的头脑和心灵。
•
38、当一个人真正觉悟的一刻,他放弃追寻外在世界的财富,而开始追寻他内心世界的真正财富。
•
39、人的价值,在遭受诱惑的一瞬间被决定。
•
40、事虽微,不为不成;道虽迩,不行不至。
•
41、好好扮演自己的角色,做自己该做的事。
题 直线垂直的判定定理, 回 这两条直线可以是:
顾 ①相交直线
②异面直线
e dc
αA
Ob a
注意:如果将定理中 例如:当 b⊥ 时,
“在平面内”的条件
b⊥OA
解 去掉,结论仍然成立 吗?
但 b不垂直于OP
题
P
b
回 顾
直线a 在一定要在 平面内,如果 a 不
在平面内,定理就 不一定成立。
•
42、自信人生二百年,会当水击三千里。
•
43、要纠正别人之前,先反省自己有没有犯错。
•
44、仁慈是一种聋子能听到、哑巴能了解的语言。
•
45、不可能!只存在于蠢人的字典里。
三垂线定理11 PPT课件
结论1:斜线上任意一P 点在平面的射影一定在 该斜线的l射影上。
结论2:当直线α与平A 面垂O直时,直线在平面内 的射影是一个点。
二、猜想与发现
根据直线和平面垂直的定义,我们知道,平面内 的任意一条直线都和平面的垂线垂直。现在我们想一想, 平面内的任意一条直线是否也都和平面的一条斜线垂直 呢?
P m
水平平面的限制.定理的实质是研究平面内的一条直线与这
个平面的斜线及斜线在这个平面内的射影三者的垂直关系,
与平面的位置无关.
(2)因为a是平面α内的任意一条直线,所以a与斜线PO的
位置关系有两种情况:一是不过斜足O的异面垂直;一是过
斜足O的相交垂直.反映三垂线定理的图形有四种情况(如图).
p
p
p
p
a
a
七、作业
P24、1,2 P25、4
P C
OD B
垂直。
2.已知: 正方体ABCD A1B1C1D1中.求证 :
(1) A1C BC1; (2) A1C 平面C1DB D1
C1
A1
B1
(2)证明:A1C BC1
同理证A1C BD A1C 平面C1DB A
D
C B
BC1 DB B
六、小结
(1)本节课的教学可概括为四个字: 猜、证、剖、用
a
a
AO
AO
AO
AO
五、定理的应用
1.已知: 如图,O 是ABC的垂心,PO 平面ABC,
连结PA, 求证:BC PA
归纳:应用三垂线定理的思维过程是
“一定”——定平面及平面内的一条直线 “二找”——找这个平面的垂线、斜线及 A 斜线在这个平面上的射影; “三证”——证明平面内的一条直线与射影
结论2:当直线α与平A 面垂O直时,直线在平面内 的射影是一个点。
二、猜想与发现
根据直线和平面垂直的定义,我们知道,平面内 的任意一条直线都和平面的垂线垂直。现在我们想一想, 平面内的任意一条直线是否也都和平面的一条斜线垂直 呢?
P m
水平平面的限制.定理的实质是研究平面内的一条直线与这
个平面的斜线及斜线在这个平面内的射影三者的垂直关系,
与平面的位置无关.
(2)因为a是平面α内的任意一条直线,所以a与斜线PO的
位置关系有两种情况:一是不过斜足O的异面垂直;一是过
斜足O的相交垂直.反映三垂线定理的图形有四种情况(如图).
p
p
p
p
a
a
七、作业
P24、1,2 P25、4
P C
OD B
垂直。
2.已知: 正方体ABCD A1B1C1D1中.求证 :
(1) A1C BC1; (2) A1C 平面C1DB D1
C1
A1
B1
(2)证明:A1C BC1
同理证A1C BD A1C 平面C1DB A
D
C B
BC1 DB B
六、小结
(1)本节课的教学可概括为四个字: 猜、证、剖、用
a
a
AO
AO
AO
AO
五、定理的应用
1.已知: 如图,O 是ABC的垂心,PO 平面ABC,
连结PA, 求证:BC PA
归纳:应用三垂线定理的思维过程是
“一定”——定平面及平面内的一条直线 “二找”——找这个平面的垂线、斜线及 A 斜线在这个平面上的射影; “三证”——证明平面内的一条直线与射影
高二数学下学期-三垂线定理课件人教.ppt
这是偶然的巧合,还是必然?
cos·cos=cos
A
=∠AOB
=∠DOB
=∠AOD
O
BM
ED
P
A
Oa
AE⊥OD
PO⊥ a
三垂线定理
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直,那么它就和这条斜线垂直。
如图:已知 PA、PO
P
分别是平面的垂线、斜
线,AO是PO在平面上
的射影。a ,a⊥AO。
不在平面内,定理 就不一定成立。
Oa
αA
练习:
判断下列命题是否正确:
⑴若a是平面α的斜线,直线b垂直于
a在平面α内的射影,则 a⊥b ( ×)
ห้องสมุดไป่ตู้
⑵若 a是平面α的斜线,平面β内
的直线b垂直于a在平面α内的射
影,则 a⊥b
(× )
⑶若a是平面α的斜线,直线b α
且b垂直于a在另一平面β内的射
影则a⊥b
α
α
α
直线和 平面垂直
平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直
平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直
例1 已知P 是平面ABC 外一点, PA⊥平面 ABC ,AC ⊥ BC, 求证: PC ⊥ BC
证明:∵ P 是平面ABC 外一点
P
PA⊥平面ABC
∴PC是平面ABC的斜线
∴AC是PC在平面ABC上的射影
(
×
)
⑷若a是平面α的斜线,b∥α,直线
b垂直于a在平面α内的射影,
则 a⊥b
()
⑷若a是平面α的斜线,b∥α,直线 b垂直 于a在平面α内的射影,则 a⊥b
l P
A Oa α
cos·cos=cos
A
=∠AOB
=∠DOB
=∠AOD
O
BM
ED
P
A
Oa
AE⊥OD
PO⊥ a
三垂线定理
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直,那么它就和这条斜线垂直。
如图:已知 PA、PO
P
分别是平面的垂线、斜
线,AO是PO在平面上
的射影。a ,a⊥AO。
不在平面内,定理 就不一定成立。
Oa
αA
练习:
判断下列命题是否正确:
⑴若a是平面α的斜线,直线b垂直于
a在平面α内的射影,则 a⊥b ( ×)
ห้องสมุดไป่ตู้
⑵若 a是平面α的斜线,平面β内
的直线b垂直于a在平面α内的射
影,则 a⊥b
(× )
⑶若a是平面α的斜线,直线b α
且b垂直于a在另一平面β内的射
影则a⊥b
α
α
α
直线和 平面垂直
平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直
平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直
例1 已知P 是平面ABC 外一点, PA⊥平面 ABC ,AC ⊥ BC, 求证: PC ⊥ BC
证明:∵ P 是平面ABC 外一点
P
PA⊥平面ABC
∴PC是平面ABC的斜线
∴AC是PC在平面ABC上的射影
(
×
)
⑷若a是平面α的斜线,b∥α,直线
b垂直于a在平面α内的射影,
则 a⊥b
()
⑷若a是平面α的斜线,b∥α,直线 b垂直 于a在平面α内的射影,则 a⊥b
l P
A Oa α
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8
三垂线定理
2、如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,连结BD1, AC,CB1,B1A,求证:BD1⊥平面AB1C
证明:连结BD,连结A1B ∵ABCD是正方形,∴AC⊥BD
D1
C1
又DD1⊥平面ABCD
A1
B1
∴BD是斜线D1B在平面ABCD上的
射影
∵AC在平面AC内,∴BD1⊥AC
三垂线定理
P
oa
α
A
.
1
复习提问:
1。直线与平面垂直的定义。 2。直线与平面垂直的判定定理。 3。证明线面垂直的方法。 4。证明线线垂直的方法。
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2
一、射影的概念
定义:自一点P向平面α引垂线,垂足P1 叫做P
在平面α内的正射影(简称射影)。 如果图形F上的所有点在一平面内的射影构成图 形F1,则F1叫做图形F在这个平面内的射影。
D
请同学思考:如何证明D1B⊥AB1 A 而AB1, AC相交于点A且都在平面
AB1C内 ∴BD1⊥平面AB1C .
C B
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三垂线定理
关于三垂线定的应用,关键是找出平面(基准面)的垂线。 至于射影则是由垂足、斜足来确定的,因而是第二位的。
从三垂线定理的证明得到证明a⊥b的一个程序:一垂、 二射、三证。即
直的重要方法。
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例题分析: 1、判定下列命题是否正确
三垂线定理
(1)若a是平面α的斜线、直线b垂直于a在平面
α内的射影,则a⊥b。
( ×)
(2)若a是平面α的斜线,b是平面α内的直线,
且b垂直于a在β内的射影,则a⊥b。
( ×)
强调:1°四线是相对同一个平面而言 2°定理的关键找“平面”这个参照学。
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5
对三垂线定理的说明:
三垂线定理
1、三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射影)、
a(直线)之间的垂直关系。
2、a与PO可以相交,也可以异面。
3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和
平面内的一条直线垂直的判定定理。
用法:∵PA⊥α, a α,AO是斜线PO在平面α
内的射影,a⊥AO ∴a⊥PO
P Ao α
O C
PE⊥AB,PF⊥AC,PO⊥ α,垂足 分别是E、F、O,PE=PF
求证:∠BAO=∠CAO
证明:连接PA,OE,OF∵ PE⊥AB,PF⊥AC,PO⊥ α,
∴AB⊥OE,AC⊥OF(三垂线定理的逆定理)
∵ PE=PF,PA=PA,∴Rt PAE≌RtPAF。
∴AE=AF又AO=AO∴,∴Rt AOE≌Rt AOF。
PA2+PE2=
.
9+
-11-43-4
=
-21-3-2-9
15
系如何?
.
4
结论:a⊥PO 为什么呢?
二、三垂线定理:
三垂线定理
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条
斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。
PA⊥α ①
aα
PA⊥a
AO⊥a
② a⊥平面PAO
PO 平面PAO
③
a⊥PO
P
a
Ao α
① 线面垂直
② 线线垂直
③ 线面垂直
线线垂直
性质定理
判定定理
性质定理
PC=6,求点P到平面ABC的距离。
解: 作PH⊥平面ABC, P
连AH交BC于E,连PE
∵PA、PB、PC两两垂直
∴PA⊥平面PBC ∴PA⊥BC
C
AH为PA在平面ABC内的射影 A
H
E
∴BC⊥AH
B
在Rt△PBC中,PE= -4-×--6-- = -1-2--
42+62
13
在Rt△APE中,AE=
.P
α
p1
思考:
1。两条异面直线在同一平面 内的射影的位置关系如何?
2。一个三角形在另一平面 中的射影可能是什么图形?
.
3
二、平面的斜线、垂线、射影
三垂线定理
PO是平面α的斜线, O为斜足; PA是平面α的垂线, A为垂足; P AO是PO在平面α内的射影.
oa
如果a α, a⊥AO,
α
A
思考a与PO的位置关
思考:
a 如果把定理中的条a⊥AO与结
论a⊥PO互换,命题是否成立?
.
6
三垂线定理的逆定理:
在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条 斜线垂直,那么它也和这条斜线在这个平面内的 射影垂直。
P a
Ao α
用法:
∵PA⊥α, a α,
AO是斜线PO在平面 α内的射影, a⊥PO ∴ a⊥AO
说明:三垂线定理及其逆定理是证明线线垂
第一、找平面(基准面)及平面垂线 第二、找射影线,这时a、b便成平面上的一条直线与 一条斜线。 第三、证明射影线与直线a垂直,从而得出a与b垂直。
.
10
例3.如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离
相等,那么这点在平面内的射影在这个角的平分线
上。
P 已知:∠BAC在平面α内,点在α外,
A
αF
B E
∴ ∠BAO=∠CAO
.
11
三垂线定理
例4、道旁有一条河,彼岸有电塔AB,高15m,只有测角 器和皮尺作测量工具,能否求出电塔顶与道路的距离? 解:在道边取一点C,使BC与道边所成水平角等于90°,
再在道边取一点D,使水平角CDB等于45°, 测得C、D的距离等于20cm
A
B
是AC的射影 且CD⊥BC ∴CD⊥AC
三垂线定理
因此斜线AC的长度就是电塔顶与道路的距离。
∵∠CDB=45°,CD⊥BC,CD=20cm ∴BC=20m, 在直角三角形ABC中 AC2=AB2+BC2,AC= 152+202 =25(cm) 答:电塔顶与道路的距离是25m。
A
B
90°
C
45°
D
.
13
小结
三垂线定理
三垂线定理:在平面内的一条直线,如果 和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也 和这条斜线垂直。
1°定理中四条线均针对同一平面而言 2°应用定理关键是找“基准面”这个参照系 3°操作程序分三个步骤——“一垂二射三证”
.
14
三垂线定理
例4、设PA、PB、PC两两互相垂直,且PA=3,PB=4,